DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA Cm...

Company

LOGO

Laporan Tugas Akhir

Click to add subtitle

DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL

KORONA Cm⊙Kn

Oleh :

Yogi Sindy Prakoso

(1206100015)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2011

Company

LOGO

LATAR BELAKANG

DAFTAR ISI

Laporan Tugas Akhir

1. PENDAHULUAN

2. TINJAUAN PUSTAKA

PENGERTIAN GRAPH

JENIS-JENIS GRAPH

DIMENSI PARTISI

OPERASI KORONA

3. METODOLOGI PENELITIAN

BAGAN ALIR

4. ANALISIS & PEMBAHASAN

5. KESIMPULAN

RUMUSAN MASALAH

BATASAN MASALAH

TUJUAN & MANFAAT

Cm⊙Kn, n = 1, m Umum



Cm⊙Kn, n = Umum, m Umum

DAFTAR PUSTAKA

Company

LOGO

PENDAHULUAN

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO LATAR BELAKANG

GRAPH

G = (V, E)

Permasalahan

dari berbagai

disiplin ilmu

Dimensi

partisi

Graph hasil

korona

Cm⊙Kn

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO RUMUSAN MASALAH

• Bagaimana menentukan dimensi partisi pada

graph hasil korona Cm⊙Kn.

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO BATASAN MASALAH

• Graph yang digunakan adalah graph yang

terbatas (finite) dan sederhana (simple).

• Graph yang digunakan adalah graph hasil korona

Cm⊙Kn.

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO TUJUAN DAN MANFAAT

• Tujuan :

Mendapatkan dimensi partisi graph G / pd(G) dari

graph hasil korona Cm⊙Kn.

• Manfaat :

Memberikan kontribusi penelitian dalam bidang

teori graph, khususnya dimensi partisi pada graph

hasil korona Cm⊙Kn.

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

TINJAUAN PUSTAKA

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO PENGERTIAN GRAPH

• Graph tak berarah, selanjutnya disebut sebagai graph G,

didefinisikan sebagai pasangan terurut G(V,E), dimana V

adalah himp. tidak kosong dari titik-titik (vertex), V = {v1, v2,

..., vk} dan E adalah himp. sisi-sisi (edge) yang

menghubungkan sepasang vertex, E = {e1, e2, ..., ek}.

• Graph sederhana adalah graph yang tidak memuat loop dan

sisi rangkap (multiple edge). Loop adalah sisi yang

menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri. Jika

terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik,

maka sisi-sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple

edge). Graph tak-berarah (undirected graph) adalah graph

yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah.

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

• GRAPH CYCLE

Graph cycle adalah suatu walk tertutup yang

mengandung setidaknya tiga buah vertex dan semua vertex-

nya berbeda. Graph cycle dengan n buah edge, dinotasikan

dengan Cn.

Contoh :

JENIS-JENIS GRAPH

C3 C6

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

• GRAPH LENGKAP

Graph lengkap adalah graph sederhana yang setiap

vertex-nya mempunyai sisi ke semua vertex lainnya. Graph

lengkap dengan n buah vertex dilambangkan dengan Kn.

Pada umumnya graph lengkap mempunyai jumlah vertex dan

edge masing – masing adalah |V(Kn)| = n dan |Kn| =

Contoh :

JENIS-JENIS GRAPH

K5 K6

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO DIMENSI PARTISI• Misalkan terdapat sebuah graph terhubung G dengan V(G) adalah

himpunan vertex-vertexnya, S ⊆ V(G) dan titik v ∈ V(G), jarak antara v

dengan S yang dinotasikan d(v,S) didefinisikan sebagai berikut :

d(v,S) = min{d(v,x)| x ∈ S}

• Misalkan terdapat sebuah graph terhubung G dan k buah partisi dan

untuk himpunan terurut Π = {S1, S2,..., Sk} dari vertex-vertex dalam graph

terhubung G dan vertex v pada V(G), representasi dari v terhadap Π

adalah k-vektor.

r(v|Π) = (d(v,S1), d(v,S2),..., d(v,Sk))

• Jika k-vektor r(v|Π), untuk setiap vertex v pada V(G) berbeda, maka Π

disebut himpunan partisi pembeda dari V(G). Himpunan partisi pembeda

dengan kardinalitas minimum disebut dimensi partisi dari G dinotasikan

dengan pd(G).

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO DIMENSI PARTISI

Lemma 2.1 Jika d(u,w) = d(v,w), untuk semua w ∈V(G)-{u,v} maka u dan v harus berada di kelas

partisi yang berbeda. (Chartrand, 2000)

Proposisi 2.1 Misal G adalah graph terhubung orde

n ≥ 2. Jadi, pd(G) = 2 jika dan hanya jika G = Pn.

(Syah, 2008)

Proposisi 2.2 Misal G adalah graph terhubung orde

n ≥ 2. Jadi, pd(G) = n jika dan hanya jika G = Kn.

(Syah, 2008)

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

• Misalkan G dan H adalah dua buah graph. Hasil

korona pada graph G terhadap H dinotasikan

dengan G⊙H, merupakan graph dengan himpunan

vertex sebagai berikut :

• Dan mempunyai himpunan edge sebagai berikut :

OPERASI KORONA

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

Contoh :

OPERASI KORONA

H

G⊙H

G

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

METODOLOGI PENELITIAN

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO BAGAN ALIR TAHAP PENELITIAN

Konstruksi

Analisis

Evaluasi

Penyimpulan Hasil Penelitian

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

ANALISIS & PEMBAHASAN

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

Lemma 4.1 : Misalkan terdapat graph hasil korona Cm⊙Kn

dengan m ≥ 3, Π = {S1, S2, ..., Sp} merupakan partisi

pembeda dari V(Cm⊙Kn), dan xi ∈ V(Cm) dengan 1 ≤ i ≤ m

maka S1 = {xi| xi ∈ V(Cm), 1 ≤ i ≤ m}.

Bukti : Misalkan xi ∈ V(Cm), yij ∈ V(Kn) dengan 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤

n karena jarak antara xi dan yij sama dengan 1, sehingga

representasi himpunan partisi pembeda berbeda, yaitu :

r(xi|Π) = (0, ...) yang berada pada himpunan partisi pembeda

S1 dan r(yij|Π) = (1, ...) yang berada pada himpunan partisi

pembeda {S2, S3, ..., Sp}. ▲


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

Dimensi Partisi Graph Hasil Korona Cm⊙Kn

Dengan n = 1, m Secara Umum


x3

x2

x1

x4x5

x6

xm

....

ym1

y61

y31

y21

y11

y51

y41

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO



Lemma 4.2 : Untuk graph hasil korona Cm⊙Kn

dengan m ≥ 3, n = 1, m bilangan bulat positif maka

berlaku pd(Cm⊙K1) = 3.


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

Bukti : Misalkan terdapat himpunan partisi pembeda dari V(Cm⊙K1), Π =

{S1, S2, S3}, menggunakan Lemma 4.1, dimana S1 = {x1, x2, x3, x4, x5, x6 ,

y11, y21, y31}, S2 = {y41, y51, ..., y(m-1)1}, S3 = {ym1}, maka diperoleh vektor

koordinat titik-titik graph relatif terhadap Π adalah sebagai berikut :

r(y11|Π) = (0, ..., 3),

r(y21|Π) = (0, ..., 4),

...,

r(y(m-1)1|Π) = (1, 0, 3),

r(ym1|Π) = (1, 3, 0),

r(x1|Π) = (0, ..., 2),

r(x2|Π) = (0, 3, 3),

...,

r(xm-1|Π) = (0, 1, 2),

r(xm|Π) = (0, 2, 1),


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

yang memberikan representasi yang berbeda, jadi Π = {{x1, x2,

x3, x4, x5, x6, y11, y21, y31}, {y41, y51, ..., y(m-1)1}, {ym1}}

merupakan himpunan partisi pembeda Cm⊙K1 dengan

kardinalitas |Π| ≤ 3. Jadi, pd(Cm ⊙K1) ≤ 3. Sedangkan, untuk

menemukan batas bawahnya, maka akan dibuktikan bahwa

jika kardinalitas |Π| = 3 - 1 = 2, yaitu Π = {S1, S2}, maka

bukan himpunan partisi pembeda, karena menurut Proposisi

2.1 hanya jika graph Pn sehingga Π = {S1, S2} bukan

merupakan himpunan partisi pembeda. Jadi, 3 ≤ |Π| atau 3 ≤

pd(Cm⊙K1). Karena pd(Cm⊙K1) adalah 3 ≤ pd(Cm⊙K1) ≤ 3,

maka pd(Cm⊙K1) = 3. Jadi, terbukti bahwa pd(Cm⊙K1) = 3.


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO




x3

x2

x1

x4x5

x6

xm

....

y61

y31

y21

y11

ym1

y51

y41

y12

y22

y32

y42

y52

y62

ym2

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO





berlaku pd(Cm⊙K2) = p dengan p merupakan

bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi

≥ m.


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

Bukti : Misalkan himpunan partisi pembeda dari V(Cm⊙K2), Π = {S1, S2, ...,

Sp}, dengan menggunakan Lemma 4.1, sehingga xi ∈ S1,

Untuk setiap edge xi dengan yij khususnya (p-1) dimana p = i. Dengan

y(p-1)j buah vertex dimana j = 1 merupakan anggota S1, sedangkan y(p-1)j

buah vertex lainnya dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-1) partisi selain S1.

Untuk y(p-2)j buah vertex dimana j = 1 adalah anggota S2, sedangkan y(p-2)j

dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-2) partisi selain S1 dan S2.

Langkah ini dilakukan terus sampai bersisa 1 batang dimana kedua

vertex-nya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang

terakhir, vertex yang berlabel ganjil adalah anggota Sp-1 dan vertex yang

berlabel genap adalah anggota Sp.

Maka diperoleh vektor koordinat titik-titik graph relatif terhadap Π adalah

sebagai berikut :


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

r(y11|Π) = (0, 1, 3, ..., 3, 3),

r(y12|Π) = (1, 0, 3, ..., 3, 3),

r(y21|Π) = (0, 3, 1, ..., 3, 4),

r(y22|Π) = (1, 3, 0, ..., 3, 4),

...,

r(ym1|Π) = (1, ..., 0, 1),

r(ym2|Π) = (1, ..., 1, 0),

r(x1|Π) = (0, 1, 2, ...),

r(x2|Π) = (0, 2, 1, ...),

...,

r(xm|Π) = (0, ..., 1, 1).

sehingga, pd(Cm⊙K2) ≤ p.


Jika Π = {S1, S2, ..., Sp-1} maka pasti ditemukan representasi koordinat vertex yang

sama yaitu pasti terdapat d(u,Sj) = d(v,Sj), 1 ≤ j ≤ p-1. Maka sesuai dengan

Lemma 2.1, u dan v harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan

merupakan himpunan partisi pembeda, maka pd(Cm⊙K2) ≥ p. Terdapat (1 + 2 +

3 + ... + (p-1)) buah pasang vertex xi dengan yij atau

≥ m

≥ m

≥ m

Jadi, pd(Cm⊙K2) = p, p adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi ≥ m.

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO




x3

x2

x1

x4x5

x6

xm

....

ym1

y61

y31

y21

y11

y51

y41

ym2

ym3

y12 y13

y22

y23

y32

y33

y42

y43

y52y53

y62

y63

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO





berlaku pd(Cm⊙K3) = p dengan p merupakan

bilangan bulat positip terkecil yang memenuhi

≥ m.


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

Bukti : Misalkan himpunan partisi pembeda dari V(Cm⊙K3), Π = {S1, S2, ...,


Untuk setiap edge xi dengan yij khususnya dimana p = i. Dengan

buah vertex dimana j = 1 merupakan anggota S1, sedangkan

buah vertex lainnya dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-1) partisi

selain S1.

Untuk buah vertex dimana j = 1 adalah anggota S2, sedangkan

dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-2) partisi selain S1 dan S2.

Langkah ini dilakukan terus sampai bersisa 1 batang dimana kedua

vertex-nya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang

terakhir, vertex yang berlabel ganjil adalah anggota Sp-1 dan vertex yang

berlabel genap adalah anggota Sp.

maka diperoleh vektor koordinat titik-titik graph relatif terhadap Π adalah

sebagai berikut :


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

r(y11|Π) = (0, 1, 1, 3, ..., 3, 3),

r(y12|Π) = (1, 0, 1, 3, ..., 3, 3),

r(y13|Π) = (1, 1, 0, 3, ..., 3, 3),

r(y21|Π) = (0, 1, 3, 1, ..., 3, 4),

r(y22|Π) = (1, 0, 3, 1, ..., 3, 4),

r(y23|Π) = (1, 1, 3, 0, ..., 3, 4),

...,

r(ym1|Π) = (1, ..., 0, 1, 1),

r(ym2|Π) = (1, ..., 1, 0, 1),

r(ym3|Π) = (1, ..., 1, 1, 0),

r(x1|Π) = (0, 1 , 1, 2, ...),

r(x2|Π) = (0, 1, 2 , 1, ...),

...,

r(xm|Π) = (0, ..., 1, 1, 1).

sehingga, pd(Cm⊙K3) ≤ p


Jika Π = {S1, S2, ..., Sp-1} maka pasti ditemukan representasi koordinat vertex yang

sama yaitu pasti terdapat d(u,Sj) = d(v,Sj), 1 ≤ j ≤ p-1. Maka sesuai dengan

Lemma 2.1, u dan v harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan

merupakan himpunan partisi pembeda, maka pd(Cm⊙K3) ≥ p. Terdapat (1 + 3 +

6 + ... + ) buah pasang vertex xi dengan yij atau

≥ m

≥ m

≥ m

Jadi, pd(Cm⊙K2) = p, p adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi ≥ m.

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO


Dengan n Secara Umum, m Secara Umum

Teorema 4.1 : Untuk graph hasil korona Cm⊙Kn

dengan m ≥ 3, n ≥ 1 , m, n bilangan bulat positif

maka berlaku

pd(Cm⊙Kn) =

dengan p merupakan bilangan bulat positip terkecil

yang memenuhi ≥ m.


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

Bukti :

pd(Cm⊙Kn) = 3, untuk n = 1 :

Untuk pd(Cm⊙Kn) = 3, untuk n = 1 telah dibuktikan pada Lemma 4.2.

pd(Cm⊙Kn) = p, untuk n > 1 :

Misalkan himpunan partisi pembeda dari V(Cm⊙Kn), dengan n ≥ 1, Π = {S1, S2, ...,


Perhatikan pada setiap edge xi dengan yij khususnya dimana

p = i. Dengan buah vertex dimana j = 1 merupakan anggota S1,

sedangkan buah vertex lainnya dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-1)

partisi selain S1.

Lalu perhatikan buah vertex dimana j = 1 adalah anggota S2,

sedangkan dimana j ≠ 1 adalah anggota (p-2) partisi selain S1

dan S2.

Langkah ini dilakukan terus sampai bersisa 1 batang dimana kedua vertex-nya

belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang terakhir, vertex yang

berlabel ganjil adalah anggota Sp-1 dan vertex yang berlabel genap adalah

anggota Sp.


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

r(y11|Π) = (0, 1, ..., 3, 3),

r(y12|Π) = (1, 0, ..., 3, 3),

...,

r(y1n|Π) = (1, 1, ..., 3, 3),

r(y21|Π) = (0, 1, ..., 3, 1, ..., 3, 4),

r(y22|Π) = (1, 0, ..., 3, ..., 3, 4),

...,

r(y2n|Π) = (1, 1, ..., 3, 0, ..., 3, 4),

...,

r(ym1|Π) = (1, ..., 0, 1, ...),

r(ym2|Π) = (1, ..., 1, 0, ...),

...,

r(ymn|Π) = (1, ..., 1, 0),

r(x1|Π) = (0, ..., 1, 2, ...),

r(x2|Π) = (0, ..., 2, 1, ...),

...,

r(xm|Π) = (0, ..., 1, 1).

sehingga, pd(Cm⊙Kn) ≤ p

ANALISIS & PEMBAHASANMaka diperoleh vektor koordinat titik-titik graph relatif terhadap Π adalah

sebagai berikut :

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

Jika Π = {S1, S2, ..., Sp-1} maka pasti ditemukan representasi

koordinat vertex yang sama yaitu pasti terdapat d(u,Sj) =

d(v,Sj), 1 ≤ j ≤ p-1, maka sesuai dengan Lemma 2.1, u dan v

harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan

merupakan himpunan partisi pembeda, maka pd(Cm⊙Kn) ≥

p. Terdapat (1 + n + +...+ ) buah pasang

vertex xi dengan yij atau 1 + n + + ... + ≥ m

≥ m

≥ m

≥ m

Jadi, pd(Cm⊙Kn) = p, dengan p adalah bilangan bulat terkecil

yang memenuhi ≥ m. ▲


Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

KESIMPULAN

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

Sesuai dengan Teorema 4.1, dapat disimpulkan

bahwa dimensi partisi pada graph hasil korona

Cm⊙Kn, dengan m ≥ 3, n ≥ 1, diperoleh :

pd(Cm⊙Kn) =

dengan p merupakan bilangan bulat positif terkecil

yang memenuhi ≥ m.

KESIMPULAN

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO DAFTAR PUSTAKAChartrand, G., Salehi, E., Zhang, P. 2000. The Partition Dimension Of Graph.

Aequationes Mathematicae, 45-54.

Harary, F. 1969. Graph Teory. Wesley Publishing Company, Inc.

Harary, F., Frucht, R. 1970. On The Corona Of Two Graphs. Aequationes

Mathematicae, 322-325.

Iqbal, M. 2010. Dimensi Partisi Pada Pengembangan Graph Kincir Dengan Pola

K1+mKn. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITS.

Syah, N. 2008. Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir. Tugas Akhir, Jurusan

Matematika FMIPA ITB

Laporan Tugas Akhir

Company

LOGO

Laporan Tugas Akhir

DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA Cm...

Documents

Transcript of DIMENSI PARTISI PADA GRAPH HASIL KORONA Cm...