Diktat Statistik2

Diktat Kuliah Statistika Terapan 1

BAB I PENGUJIAN HIPOTESIS

Tujuan Belajar

Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan mampu membuat hipotesis dan melakukan

pengujiannya untuk mendapatkan suatu keputusan

Pengujian hipotesis diperlukan karena banyak persoalan menuntut kita untuk

memutuskan atau tidak suatu pernyataan tentang parameter yang benar atau salah.

Pernyataan tersebut biasanya disebut sebuah hipotesis. Prosedur membuat keputusan

tentang kebenaran atau kesalahan hipotesis disebut pengujian hipotesis.

Hipotesis Secara Statistik

Sebuah hipotesis statistik adalah sebuah pernyataan tentang distribusi probabilita

sebuah variabel random. Hipotesis statistik sering mencakup satu atau lebih parameter

distribusi tersebut. Sebagai contoh, misalkan kita tertarik dalam rata-rata kekuatan

tekanan sebuah jenis beton tertentu. Secara khusus, kita tertarik untuk memutuskan

apakah rata-rata kekuatan tekanan (katakan ) 2500 psi atau tidak. Masalah tersebut

dapat dirumuskan seperti:

H0 : = 2500 psi

H1 : ≠ 2500 psi

Pernyataan H0 disebut hipotesis nol dan H1 disebut hipotesis alternatif. Karena hipotesis

alternatif mencakup nilai yang dapat lebih besar atau lebih kecil dari 2500 psi, maka ini

disebut hipotesis alternatif dua arah.

1.1 Pengujian hipotesis pada rata-rata, varian diketahui

Misalkan variabel random X menyatakan beberapa proses atau populasi yang

diteliti. Kita mengasumsikan distribusi X normal. Kita juga mengasumsikan bahwa rata-

rata dan X tidak diketahui, tapi varian 2 diketahui. Kita tertarik untuk menguji hipotesis

H0 : = 0

H1 : ≠ 0

dimana 0 adalah sebuah konstanta tertentu.


Prosedur pengujian untuk H0 : = 0 menggunakan pengujian statistik

n

oXZo

/

(1.1)

H0 ditolak jika Z0 > Z /2 atau Z0 < - Z /2

Jika kita menguji hipotesis alternatif satu arah

H0 : = 0

H1 : > 0

Maka H0 ditolak jika Z0 > Z

Demikian pula untuk pengujian:

H0 : = 0

H1 : < 0

Kita menolak H0 jika Z0 < - Z

Contoh 1.1

Tingkat pembakaran pada sebuah roket propellant sedang dipelajari. Spesifikasi yang

dibutuhkan bahwa rata-rata tingkat pembakaran harus menjadi 40 cm/s. Walaupun

misalnya kita mengetahui varian tingkat pembakaran 4,0. Pelaku percobaan menentukan

untuk merinci probabilita error = 0,05 dan ia akan mendasarkan pengujian pada sebuah

sample random yang besarnya n = 25 dengan rata-rata tingkat pembakaran yang

diperoleh 41,25 cm/s.

Hipotesis: H0 : = 40 cm/s

H1 : ≠ 40 cm/s

Nilai pengujian statistik adalah

125,325/2

4025,41

Zo

Pada = 0,05, perbatasan daerah kritis Z0,025 = 1,96 dan - Z0,025 = -1,96. Zo terletak dalam

daerah kritis. Maka, H0 ditolak dan kita menyimpulkan bahwa rata-rata tingkat pembakaran

tidak sama dengan 40 cm/s


1.2 Pengujian Hipotesis pada Persamaan Dua Rata-rata, Varian diketahui

Misalkan terdapat dua populasi yang diteliti, katakan X1 dan X2. Kita asumsikan

bahwa X1 mempunyai rata-rata 1 tidak diketahui dan varian 12, sedangkan X2

mempunyai rata-rata 2 tidak diketahui dan varian 22

Hipotesis:

H0 : 1 = 2

H1 : 1 ≠ 2

Pengujian statistik:

2

22

1

12

21

nn

XXZo

(1.2)

Prosedur untuk pengujian H0 : 1 = 2 adalah menghitung pengujian statistik Z0 dan

menolak hipotesis nol jika Z0 > Z /2 atau Z0 < - Z /2

Hipotesis alternatif satu arah dianalisis dengan cara serupa. Untuk pengujian

H0 : 1 = 2

H1 : 1 > 2

Pengujian statistik Z0 dihitung dengan persamaan (1.2) dan hipotesis nol ditolak jika Z0 >

Z .

Untuk pengujian hipotesis alternatif satu arah lainnya

H0 : 1 = 2

H1 : 1 < 2

Dengan menggunakan pengujian statistik Z0 dalam persamaan (1.2) dan menolak H0 jika

Z0 > - Z

Contoh 1.2

Manajer pabrik sari jeruk tertarik dalam membandingkan pelaksanaan dua proses

produksi yang berbeda dalam pabriknya. Proses produksi 1 secara relatif baru, ia mengira

bahwa hasil proses produksi ini jumlah kasus setiap hari adalah lebih besar dari jumlah

kasus yang dihasilkan oleh proses produksi 2. Data sepuluh hari yang dipilih secara

random untuk masing-masing proses produksi, dieroleh

1x = 824,9 kasus per hari dan


2x = 818,6 kasus per hari. Berdasarkan pengalaman dengan pengoperasian tipe ini

diketahui bahwa 2

1 = 40 dan 2

2 = 50. Kita ingin menguji

H0 : 1 = 2

H1 : 1 > 2

Nilai pengujian statistiknya adalah:

2

22

1

12

21

nn

XXZo

10,2

1050

1040

6,818824

Dengan menggunakan = 0,05 kita dapatkan Z0,05 = 1,645, dan karena Z0 > Z0,05 maka H0

ditolak dan menyimpulkan rata-rata jumlah kasus per hari yang dihasilkan oleh proses

produksi baru lebih besar dari pada rata-rata jumlah kasus per hari yang dihasilkan oleh

proses produksi lama.

1.3 Pengujian Hipotesis pada Rata-rata Sebuah Distribusi Normal, Varian tidak diketahui

Misalkan X variabel random berdistribusi normal dengan rata-rata dan varian

2 tidak diketahui. Kita ingin menguji hipotesis sama dengan sebuah konstanta

0.

Misalkan kita ingin menguji alternatif dua arah

H0 : = 0

H1 : ≠ 0

Prosedur pengujian didasarkan pada statistik

nS

Xt oo

/

(1.3)

yang mengikuti distribusi t dengan derajat kebebasan n-1 jika hipotesis nol benar. H0

ditolak jika t0 > t /2, n-1 atau jika t0 < - t /2, n-1.

Untuk hipotesis alternatif satu arah

H0 : = 0

H1 : > 0

menolak H0 jika t0 > t , n-1


Untuk alternatif satu arah lainnya H0 : = 0

H1 : < 0

menolak H0 jika t0 < - t , n-1

Contoh 1.3

Daya kekuatan serat tekstil adalah variabel random yang berdistribusi normal. Spesifikasi

yang dibutuhkan pada rata-rata daya kekuatan harus sama dengan 150 psi. Pengusaha

pabrik ingin untuk menemukan secara nyata nilai ini. Maka ia mengharapkan menguji

H0 : = 150 psi

H1 : ≠ 150 psi

Sampel random 15 serat dipilih dan dicatat daya kekuatannya. Rata-rata sampel adalah

x

= 152,18 dan s2 = 16,63. Selanjutnya, pengujian statistiknya adalah

07,215/63,16

15018,152

to

Jika ditetapkan = 0,05, maka t0,025;14 = 2,145 dan - t0,025;14 = - 2,145 dan dapat

disimpulkan bahwa tidak terdapatnya cukup bukti untuk menolak hipotesis bahwa =

150 psi.

1.4 Pengujian Hipotesis pada Rata-rata Dua Distribusi Normal, Varian tidak diketahui

Pengujian hipotesis persamaan pada rata-rata 1 dan 2 dari dua distribusi

normal dimana varian 1 dan 2 tidak diketahui, dapat digunakan statistik t. Asumsi

kenormalan dibutuhkan untuk mengembangkan prosedur pengujian. Ada dua keadaan

yang berbeda yang harus diperlakukan. Dalam kasus pertama, kita misalkan 1 dan 2

tidak diketahui tapi sama, berarti 12 = 2

2 = 2. Dalam kasus kedua, dimisalkan 1

dan 2 tidak diketahui dan tidak sama.

Kasus 1: 12 = 2

2 = 2

Misalkan X1 dan X2 menjadi dua populasi normal bebas dengan rata-rata 1 dan 2 tidak

diketahui dan varian tidak diketahui tetapi varian itu sama. Kita ingin menguji


H0 : 1 = 2

H1 : 1 ≠ 2

Misalkan X11, X12,….., X1n adalah sampel random n1 observasi dari X1 dan X21,

X22,…., X2n, adalah sampel random n2 observasi dari X2. Misalkan

1X ,

2X , S12 dan S2

2

merupakan rata-rata sampel dan varian sampel. Karena S12 dan S2

2 merupakan perkiraan

varian 2, jika digabungkan akan menghasilkan sebuah perkiraan tunggal, yaitu

2

)1()1(

21

222

2112

nn

SnSnSp (1.4)

Pengujian statistiknya adalah

21

21

11

nnS

XXt

p

o

(1.5)

H0 ditolak jika t0 > t /2, n1+n2-2 atau jika t0 < - t /2, n1+n2-2

Alternatif satu arah diperlakukan dengan cara yang sama. Untuk menguji

H0 : 1 = 2

H1 : 1 > 2

H0 ditolak jika t0 > t , n1+n2-2

Untuk alternatif satu arah lainnya, H0 : 1 = 2

H1 : 1 < 2

H0 ditolak jika t0 < - t , n1+n2-2

Contoh 1.4

Sebuah proses kimia sedang dipelajari dalam usaha untuk memperbaiki hasilnya. Dua

katalisator yang berbeda dianalisis untuk menentukan bagaimana pengaruh rata-rata yang

dihasilkan sebuah proses kimia. Secara khusus, katalisator 1 sedang dalam penggunaan,

tetapi katalisator 2 dapat diterima. Karena katalisator 2 lebih murah, jika katalisator ini

tidak mengubah proses yang dihasilkan, katalisator tersebut harus diterima. Misalkan ingin

menguji hipotesis

H0 : 1 = 2

H1 : 1 ≠ 2


Data yang dihasilkan n1 = 8,

1x = 91,73, S12 = 3,89 dan n2 = 8 ,

2x = 93,75 dan S22 = 4,02.

Dari persamaan (1.4) diperoleh:

2

)1()1(

21

222

2112

nn

SnSnSp 96,3

288

)02,4(789,3)7(

Pengujian statistiknya adalah

21

21

11

nnS

XXt

p

o

03,2

81

81

99,1

75,9373,91

Dengan menggunakan = 0,05, didapatkan t0,025;14 = 2,145 dan -t0,025;14 = -2,145 dan

konsekuensinya H0 : 1 = 2 tidak dapat ditolak. Berarti kita tidak mempunyai bukti yang

kuat untuk menyimpulkan bahwa hasil katalisator 2 dalam rata-rata yang dihasilkan

berbeda dari rata-rata yang dihasilkan bila katalisator 1 dipergunakan.

Kasus 1

2 ≠ 22

Dalam beberapa keadaan, kita tidak dapat mengasumsikan bahwa varian 12 dan 2

2

diketahui tidak sama. Tidak terdapat statistik t yang tepat tersedia untuk pengujian Ho: 1

= 2 dalam kasus ini. Karenanya statistik

2

22

1

21

21*

n

S

n

S

XXto

(1.6)

mengikuti distribusi t dengan derajat kebebasan

2

1

)/(

1

)/(

2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

n

nS

n

nS

n

S

n

S

v (1.7)

jika hipotesis nol benar.

Contoh 1.5

Misalkan ada dua populasi normal, misal X1 ~ N( 1, 12) dan X2 ~ N( 2, 2

2) dimana

12 ≠ 2

2 dan kedua varian tidak diketahui. Kita ingin menguji


H0 : 1 = 2

H1 : 1 < 2

Dua sampel random menghasilkan n1 = 15,

1x = 2, S12 = 10 dan n2 = 10 ,

2x = 1 dan S22 =

20. Pengujian statistik to* yaitu

61,0

10

20

15

10

12

2

22

1

21

21*

n

S

n

S

xxto

Derajat kebebasan pada to* adalah

162

11

)10/20(

16

)15/10(10

20

15

10

22

2

v

Karena t0* < - t0,05;16, kita tidak dapat menolak H0

1.5 Pengujian Hipotesis pada Varian Sebuah Distribusi Normal

Misalkan kita ingin menguji hipotesis varian 2 dari sebuah distribusi normal yang

sama dengan nilai tertentu, katakanlah o2. Misalkan X ~ N( , 2), dimana dan 2

tidak diketahui, dan misalkan X1, X2, …., Xn sebuah variabel random dengan n observasi

dari X. Untuk menguji

Ho : 2 = 02

H1 : 2 ≠ 02

Pengujian statistik menggunakan persamaan

2

22 )1(

o

o

Sn

(1.8)

dimana S2 adalah varian sampel. Jika H0 benar, maka pengujian statistik 02 mengikuti

distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan n-1. Ho dapat ditolak jika 02 > 2 /2, n-1

atau jika 02 < 2

1- , n-1

Pengujian statistik yang sama digunakan untuk alternatif satu arah. Untuk hipotesis satu

arah

H0 : 2 = 02

H1 : 2 > 02


Kita dapat menolak H0 jika 02 > 2 , n-1

Untuk hipotesis satu arah lainnya

H0 : 2 = 02

H1 : 2 < 02

Kita dapat menolak H0 jika 02 < 2

1- , n-1

Contoh 1.6

Sebuah mesin mengisi kaleng-kaleng dengan sebuah minuman ringan.Jika varian

pengujian volume melebihi 0,02 (ons cairan)2, maka sebuah persentase yang besar tidak

dapat diterima untuk pengisian tersebut. Perusahaan botol tersebut tertarik dalam

pengujian hipotesis

H0 : 2 = 0,02

H1 : 2 > 0,02

Sebuah sample random n = 20 kaleng yang menghasilkan varian sampel s2 = 0,0225.

Dengan demikian, pengujian statistiknya adalah

38,2102,0

0225,0)19()1(2

0

22

0

sn

Jika kita pilih = 0,05, kita dapatkan 2 0,05;19 = 30,14, dan dapat menyimpulkan tidak

terdapatnya keyakinan kekuatan bahwa varian pengisian volume melebihi 0,02 (ons

cairan)2.

1.6 Pengujian Hipotesis pada Varian Dua Distribusi Normal Misalkan dua populasi normal yang bebas diteliti, katakan X1 ~ N( 1, 1

2) dan X2

~ N( 2, 22), dimana 1, 1

2, 2, 22 tidak diketahui. Kita ingin menguji hipotesis

mengenai kesamaan dua varian, katakan H0: 12 = 2

2. Diasumsikan sebuah sampel

random yang besarnya n1 dari populasi 1 dan yang besarnya n2 dari populasi 2 tersedia

dan misalkan S12 dan S2

2 varian sampel. Untuk pengujian alternatif dua arah

H0 : 12 = 2

2

H1 : 12 ≠ 2

2

Digunakan statistik 22

21

S

SFo (1.9)


Berdistribusi F dengan derajat kebebasan n1-1 dan n2-1, jika hipotesis nol benar. Kita akan

menolak H0 jika F0 > F /2, n1-1, n2-1 atau jika F0 < F1- /2, n1-1, n2-1

Pengujian statistik yang sama dapat digunakan untuk pengujian hipotesis alternatif satu

arah. Karena notasi X1 dan X2 sembarang, misalkan X1 menyatakan populasi yang

mempunyai varian terbesar. Maka alternatif hipotesis satu arah adalah:

H0 : 12 = 2

2

H1 : 12 > 2

2

Jika F0 > F , n1-1, n2-1, kita dapat menolak H0.

Contoh 1.7

Perhatikan contoh sebuah proses kimia sedang dipelajari dalam usaha untuk memperbaiki

hasilnya, dimana X1 dan X2 menyatakan proses yang dihasilkan bila dua katalisator yang

berbeda digunakan. Misalkan kita ingin untuk menguji

H0 : 12 = 2

2

H1 : 12 ≠ 2

2

Dua sampel yang besarnya n1 = n2 = 8 menghasilkan s12 = 3,89 dan s2

2 = 4,02.

97,002,4

89,32

2

21

s

sFo

Jika = 0,05, kita dapatkan bahwa F0,025;7;7 = 4,99. Maka kita tidak dapat menolak H0: 12

= 22, dan dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat keyakinan kekuatan bahwa varian

yang dihasilkan dipengaruhi oleh katalisator.

1.7 Soal Latihan

1-1. Kekuatan putusnya sebuah serat jenis tertentu yang digunakan dalam pabrik kain

tidak kurang dari 160 Psi. Pengalaman yang lain menunjukkan bahwa standar

deviasi kekuatan putusnya 3 Psi. Sebuah sampel random dari empat contoh diuji

dan rata-rata kekuatan putusnya didapat menjadi 158 Psi. Dapatkah serat tersebut

diterima dengan = 0,05?

1-2. Hasil sebuah proses kimia sedang dipelajari. Varian yang dihasilkan diketahui dari

percobaan sebelumnya dengan proses ini menjadi 5 (unit 2 = persentase2). Lima

hari operasi pabrik menghasilkan data sebagai berikut (dalam persentase): 91,6 ;


88,75 ; 90,8 ; 89,95 ; 91,3. Adakah alasan anda untuk mempercayai hasil tersebut

kurang dari 90 persen

1-3. Diameter ban yang diproduksi oleh proses industri tertentu diketahui mempunyai

standar deviasi 0,0001 inci. Sebuah sampel random 10 ban menghasilkan sebuah

rata-rata diameter 0,2552 inci. Ujilah hipotesis bahwa rata-rata sebenarnya

diameter ban sama dengan 0,255, gunakan = 0,05.

1-4. Dua jenis plastik cocok digunakan oleh sebuah industri komponen elektronik.

Kekuatan putusnya plastik ini penting. Diketahui bahwa 21 = 1,0 Psi. Dari

sebuah sampel random yang besarnya n1 = 10 dan n2 = 12 kita dapatkan

1x =

162,5 dan

2x = 155,0. Perusahaan tersebut tidak akan memakai plastik 1 kecuali

kekuatan putusnya melebihi plastik 2 dengan paling sedikit 10 Psi. Berdasarkan

informasi sampel, haruskah perusahaan menggunakan plastik 1?


BAB 2 ANALISIS VARIAN

Tujuan Belajar

Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan mampu:

melakukan analisis varian pada sebuah tingkat yang berbeda dari sebuah faktor tunggal mengembangkan analisis varian untuk model efek tetap klasifkasi satu arah menentukan perlakuan yang menyebabkan perbedaan antara rata-rata perlakuan melakukan analisis secara statistik pada perlakuan secara random

Beberapa keputusan masalah memerlukan lebih dari dua parameter harus

dipertimbangkan. Sebagai contoh, misalkan seorang insinyur teknik kimia menyelidiki

pengaruh lima metoda yang berbeda pada rata-rata kekuatan kertas. Ia ingin menguji

kesamaan lima rata-rata. Prosedur yang cocok untuk pengujian kesamaan beberapa rata-

rata populasi adalah analisis varian.

2.1 Klasifikasi Satu Arah Analisis Varian

Misalkan kita mempunyai sebuah tingkat yang berbeda dari sebuah faktor tunggal

yang ingin kita bandingkan. Perbedaan tingkat faktor-faktor tersebut sering disebut

perlakukan. Pengamatan yang dipengaruhi masing-masing sebuah perlakukan adalah

variabel random. Data tersebut akan muncul seperti pada tabel di bawah ini.

Data untuk klasifikasi satu arah analisis varian

Perlakukan Observasi

1 y11 y12 …………….. y1n

2 y21 y22 …………….. y2n

. . . .

. . . .

. . . .

A ya1 ya2 …………… yan

Sebuah sel dalam tabel di atas, katakan yij, menyatakan observasi ke-j diambil dengan

perlakuan ke-i. Pertama-tama kita perhatikan masalah dimana terdapat jumlah observasi

yang sama, n pada masing-masing perlakuan.


Kita dapat menjabarkan observasi dalam tabel di atas dengan model linier secara statistik,

dimana yij observasi ke-ij, adalah parameter umum untuk sebuah pengaruh perlakukan

ke-i dan ij komponen error random.

ijiijy (2.1)

i = 1 ,2, …….., a

j = 1 ,2, ……., n

Model persamaan (2.1) disebut klasifikasi satu arah analisis varian, karena hanya satu

faktor yang diselidiki.

Kita akan menguji hipotesis tertentu mengenai pengaruh perlakukan dan

memperkirakannya. Untuk pengujian hipotesis model error diasumsikan menjadi variabel

random berdistribusi normal dan bebas dengan rata-rata nol dan varian 2 (disingkat

sebagai NID(0, 2)). Varian 2 diasumsikan konstan untuk seluruh tingkat faktor tersebut.

2.2 Model Efek Tetap

Dalam model efek tetap, perlakuan biasanya didefinisikan sebagai deviasi

keseluruhan rata-rata sehingga

a

ii

1

0 (2.2)

Pengujian kesamaan efek a perlakuan, hipotesis yang sesuai adalah:

H0 : 1 = 2 = …… = a = 0

H1 : i ≠ 0 untuk sedikitnya satu i

Prosedur pengujian diringkas dalam tabel di bawah ini (tabel analisis varian)

Tabel 2.1 Analisis Varian untuk Klasifikasi Satu Arah Model Efek Tetap

Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat

F0

Antara perlakukan

SSperlakuan a - 1 MSperlakuan F0=MSperlakuan/MSE

Error SSE N – a MSE

Total SST N – 1

a

i

n

jijT N

yySS

1 1

22 ..

(2.3)


N

y

n

ySS

a

i

iperlakuan

2

1

2. ..

(2.4)

SSE = SST - SSperlakuan (2.5)

H0 ditolak jika F0 > F ,a-1,N-a

Contoh 2.1

Seorang pemilik pabrik menggunakan kertas untuk melapis tas yang diteliti dalam

mengembangkan kekuatan daya renggang produksinya. Ia menduga kekuatan daya

renggang adalah fungsi konsentrasi kekerasan kayu dalam buburnya. Ia memutuskan

untuk menyelidiki lima konsentrasi kekerasan kayu yang berbeda: 5%, 10%, 15%, 20%

dan 25%. Lima observasi diambil pada masing-masing konsentrasi kekerasan kayu. 25

observasi yang dibutuhkan dilakukan dalam susunan random dan data yang diperolah

sebagai berikut:

Tabel 2.2 Kekuatan daya Renggang Kertas (psi)

Konsentrasi kekerasan kayu

(%)

Observasi Total yi.

1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

7 7 15 11 9

12 17 12 18 18

14 18 18 19 19

19 25 22 19 23

7 10 11 15 11

49

77

88

108

54

376 = y..

a

i

n

jijT N

yySS

1 1

22 ..

96,63625

)376()11()15(....)15()7()7(

222222 TSS

N

y

n

ySS

a

i

iperlakuan

2

1

2. ..


76,47525

)376(

5

)54(....)49( 222

perlakuanSS

SSE = SST - SSperlakuan = 636,96 – 475,76 = 161,20

Tabel 2.3 Analisis Varian

Sumber Varian Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat

F0

Perlakukan 475,76 4 118,94 F0 = 14,76

Error 161,20 20 8,06

Total 636,96 24

Karena F0,01;4;20 = 4,43, kita menolak H0 dan menyimpulkan bahwa konsentrasi kekerasan

kayu dalam buburnya secara berarti mempengaruhi kertas tersebut.

2.3 Kasus Ketidakseimbangan

Dalam beberapa percobaan faktor tunggal, jumlah observasi yang diambil dari

masing-masing perlakukan mungkin berbeda (rancangan tidak seimbang). Analisis varian

yang dijabarkan di atas masih berlaku, tapi perubahan kecil harus dilakukan dalam rumus

jumlah kuadrat. Misalkan ni observasi diambil dengan perlakuan i (i = 1, 2, …., a), dan

misalkan total jumlah observasi N =

a

iin

1

.

Perhitungan rumus untuk SST dan SSperlakuan menjadi:

a

i

n

jijT

i

N

yySS

1 1

22 ..

(2.6)

a

i i

iperlakuan N

y

n

ySS

1

22. ..

(2.7)


Contoh 2.2

Suatu percobaan telah dilakukan untuk menentukan apakah lima temperatur pembakaran

tertentu mempengaruhi kepadatan batubara jenis tertentu. Percobaan tersebut

menghasilkan data seperti ditampilkan pada Tabel 2.4.

Tabel 2.4 Data Percobaan

Temperatur

(oC)

Observasi Total yi.

1 2 3 4 5

500

600

700

800

900

24 30 20 - -

30 32 34 25 25

35 40 38 35 -

20 24 28 - -

38 40 30 40 -

74

146

148

72

148

y.. = 588

Hipotesis:

H0 : 1 = 2 = …… = 5 = 0


a

i

n

jijT N

yySS

1 1

22 ..

947,80619

588)4030.....3024(

22222 SST

a

i i

iperlakuan N

y

n

ySS

1

22. ..

48,57119

588

4

148

3

72

4

148

5

146

3

74 222222

perlakuanSS

SSE = 806,947 – 571,48 = 235,467


Tabel 2.5 Analisis Varian

Sumber Varian

Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat

F0

Perlakukan 571,48 a-1 = 4 142,87 8,495

Error 235,467 N-a = 14 16,819

Total 806,947 N-1 = 18

F0,025;4;14 = 3,89

Karena F0 > F0,025;4;14, maka H0 ditolak dan menyimpulkan bahwa temperatur pembakaran

mempengaruhi kekuatan briket batubara.

2.4 Pengujian Rata-rata Perlakuan Secara Individu

2.4.1 Kontras Ortogonal

Penolakan hipotesis nol dalam analisis varian pada model efek tetap menunjukkan

bahwa terdapat perbedaan antara a rata-rata perlakuan, tetapi pada kenyataannya

pebedaan tersebut tidak ditentukan. Dalam keadaan ini, lebih lanjut perbandingan antara

kelompok rata-rata perlakuan mungkin dapat berguna. Rata-rata perlakuan ke-i dapat

didefinisikan sebagai ii dan i diperkirakan dengan

iy . Perbandingan antara

rata-rata perlakuan biasanya dilakukan dalam susunan total perlakuan {yi}.

Perhatikan percobaan kekuatan kertas yang ada dalam contoh soal 2.1. Karena

hipotesis H0 : i = 0 ditolak, kita mengetahui beberapa konsentrasi kekerasan kayu

menghasilkan kekuatan dari yang lainnya, tetapi yang manakah mengakibatkan ini

berbeda? Kita dapat menduga diluar percobaan bahwa konsentrasi kekerasan kayu 4 dan

5 menghasilkan kekuatan yang sama, maka pengujian hipotesisnya

H0 : 4 = 5

H1 : 4 ≠ 5

Hipotesis ini dapat diuji dengan menggunakan sebuah kombinasi linier total perlakuan,

katakanlah

y4. – y5. = 0

Jika kita telah menduga rata-rata konsentrasi kekerasan 1 dan 3 tidak berbeda dari rata-

rata konsentrasi kekerasan kayu 4 dan 5, maka hipotesis akan didapat

H0 : 1 + 3 = 4 + 5


H1 : 1 + 3 ≠ 4 + 5

Yang berarti kombinasi linier total perlakuan

y1. + y3. - y4. - y5. = 0

Secara umum, perbandingan rata-rata perlakuan yang menarik akan menyatakan sebuah

kombinasi linier total perlakuan sebagai

a

iii ycC

1

.

dengan batasan bahwa

a

i ic1

0 . Kombinasi linier ini disebut kontras. Jumlah kuadrat

untuk setiap kontras adalah

a

ii

a

iii

C

cn

yc

SS

1

2

2

1 (2.8)

dan mempunyai derajat kebebasan tunggal. Jika rancangan tersebut tidak seimbang,

maka perbandingan rata-rata perlakuan yang dibutuhkan

a

i iicn1

0 , dan persamaan

(2.8) menjadi

a

iii

a

iii

C

cn

yc

SS

1

2

2

1 (2.9)

Sebuah kontras diuji dengan membandingkan jumlah kuadrat rata-rata error kuadrat.

Statistik yang dihasilkan akan berdistribusi F, dengan derajat kebebasan 1 dan N-a.

Sebuah kasus khusus yang sangat penting dari prosedur di atas yaitu kontras

ortogonal. Dua kontras dengan koefisien {ci} dan {di} adalah ortogonal jika

a

iiidc

1

0

atau untuk sebuah rancangan yang tidak seimbang jika

a

iiii dcn

1

0

Untuk a perlakuan sebuah himpunan a-1 kontras orthogonal akan membagi jumlah

kuadrat perlakuan ke dalam a-1 komponen derajat kebebasan tunggal yang bebas.


Ada beberapa cara untuk memilih koefisien kontras orthogonal untuk sebuah

himpunan perlakuan. Biasanya dalam percobaan alamiah akan diperkirakan yang mana

perbandingan akan menjadi menarik. Sebagai contoh, jika terdapat a = 3 perlakuan

dengan perlakuan 1 sebuah kontrol dan perlakuan 2 dan 3 tingkat faktor menarik untuk

pelaku percobaan, maka kontras yang sesuai sebagai berikut

Perlakuan Kontras Ortogonal

1 (kontrol)

2 (level 1)

3 (level 2)

-2 0

1 -1

1 1

Perhatikan kontras 1 dengan ci = -2, 1, 1 membandingkan rata-rata efek faktor dengan

control, ketika kontras 2 dengan di = 0, -1, 1 membandingkan dua tingkat faktor yang

menarik.

Koefisien kontras harus dipilih sebelum melakukan percobaan, jika perbandingan

ini dipilih setelah pengujian datanya, beberapa pelaku percobaan akan membentuk

pengujian yang membandingkan perbedaan pengamatan yang besar dalam rata-rata.

Perbedaan yang besar ini dapat terjadi dari efek nyata atau error random.

Contoh 2.3

Perhatikan data dalam contoh soal 2.1. Ada lima rata-rata perlakuan dan empat derajat

kebebasan antara perlakuan-perlakuan ini. Satu himpunan perbandingan antara rata-rata

ini dan kontras ortogonal yang berhubungan adalah

H0 : 4 = 5 C1 = - y4. + y5.

H0 : 1 + 3 = 4 + 5 C2 = y1. + y3. – y4. – y5.

H0 : 1 = 3 C3 = y1. - y3.

H0 : 4 2 = 1 + 3 + 4 + 5 C4 = -y1. + 4y2. – y3. – y4. – y5.

Perhatikan bahwa koefisien kontras adalah ortogonal. Dengan menggunakan data dalam

Tabel 2.2, kita tentukan nilai kontras numerik dan jumlah kuadrat sebagai berikut:

C1 = - 1(108) + 1(54) = -54 6,291)2(5

)54( 2

1

SSc


C2 = + 1(49) + 1(88) –1(108) – 1(54) = -25 25,31)4(5

)25( 2

2

SSc

C3 = +1(49) - 1(88) = -39 1,152)2(5

)39( 2

3

SSc

C4 = -1(49) + 4(77) - 1(88) - 1(108) - 1(54) = 9 81,0)20(5

)9( 2

4 SSc

Tabel 2.6 Analisis Varian untuk Data Kekuatan Daya Renggang


Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat

F0

Persentase konsentrasi kekerasan kayu C1: 4= 5

C2: 1+ 3= 4+ 5

C3: 1 = 3

C4:4 2= 1+ 3+ 4+ 5

475,76

(291,60)

(31,25)

(152,10)

(0,81)

4

1

1

1

1

118,94

291,60

31,25

152,10

0,81

14,76a

36,18a

3,88

18,87a

0,10

Error 161,20 20 8,06

Total 636,96 24 a nyata pada 1 persen

Jumlah kuadrat kontras ini secara lengkap dibagi ke dalam jumlah kuadrat

perlakuan, yaitu SSperlakuan = SSc1 + SSc2 + SSc3 + SSc4. Dari analisis ini, kita

menyimpulkan terdapat perbedaan berarti antara konsentrasi kekerasan kayu 4 dan 5,

juga 1 dan 3; tetapi rata-rata 1 dan 3 tidak berbeda dari rata-rata 4 dan 5, maupun 2

berbeda dari rata-rata empat konsentrasi kekerasan kayu lainnya.

2.4.2 Pengujian Range Berganda Duncan

Pengujian ini seringkali digunakan bila ingin menguji lebih dari a – 1 perbandingan

dengan menggunakan data yang sama. Hipotesis nol dapat menjadi H0 : i = j, untuk

semua i ≠ j.

Untuk menggunakan range berganda Duncan dengan besar sampel yang sama, a

rata-rata perlakuan disusun dalam susunan menaik, dan error baku masing-masing rata-

rata ditetapkan sebagai


n

MSS E

yi

.

Dari tabel Duncan range nyata (Lampiran), diperoleh nilai r (p,f), untuk p = 2, 3, ..a,

dimana adalah tingkat nyata dan f jumlah derajat kebebasan untuk error. Ubah range

ini ke dalam himpunan a-1 range nyata terkecil (misal, Rp), untuk p = 2,3,…a dengan

menghitung

.

),(yi

p SfpRR untuk p = 2, 3, …, a

Maka observasi range antara rata-rata diuju, dimulai dengan yang terbesar lawan yang

terkecil, yang akan dibandingkan dengan range nyata terkecil R . Selanjutnya range

yang terbesar dan terkecil kedua dihitung dan dibandingkan dengan range nyata terkecil

R -1. Proses ini berlangsung sampai range seluruh yang mungkin a(a-1)/2 pasangan

rata-rata telah diperhitungkan. Jika sebuah observasi range lebih besar dari range nyata

terkecil, maka kita menyimpulkan pasangan dalam rata-rata yang bersangkutan secara

nyata berbeda. Untuk mencegah kontradiksi, tidak ada perbedaan antara sebuah

pasangan rata-rata yang dianggap nyata jika dua rata-rata yang dicakup terletak antara

dua rata-rata lainnya yang tidak berdeda secara nyata.

Contoh 2.4

Kita akan menggunakan pengujian range berganda Duncan untuk data pada contoh soal

2.1. Ingat bahwa MSE = 8,06, N = 25, n = 5, dan terdapat 20 derajat error kebebasan.

Rata-rata perlakuan disusun dalam susunan menaik adalah

6,21

6,17

4,15

8,10

8,9

.4

.3

.2

.5

.1

y

y

y

y

y

Error baku masing-masing rata-rata adalah 27,15/06,8.

iyS . Dari tabel range nyata

dalam Lampiran, untuk 20 derajat kebebasan dan = 0,05, kita peroleh r0,05(2,20) = 2,95,

r0,05(3,20) = 3,10, r0,05(4,20) = 3,18, dan r0,05(5,20) = 3,25. Oleh karena itu, range nyata

terkecil adalah


R2 = r0,05(2,20) .iyS

= (2,95)(1,27) = 3,75

R1 = r0,05(3,20) .iyS

= (3,10)(1,27) = 3,94

R4 = r0,05(4,20) .iyS

= (3,18)(1,27) = 4,04

R5 = r0,05(5,20) .iyS

= (3,25)(1,27) = 4,13

Perbandingan rata-rata perlakuan sebagai berikut

4 vs. 1 = 21,6 – 9,8 = 11,8 > 4,13 (R5)

4 vs. 5 = 21,6 – 10,8 = 10,8 > 4,04 (R4)

4 vs. 2 = 21,6 – 15,4 = 6,2 > 3,94 (R3)

4 vs. 3 = 21,6 – 17,6 = 4,0 > 3,75 (R2)

3 vs. 1 = 17,6 – 9,8 = 7,8 > 4,04 (R4)

3 vs. 5 = 17,6 – 10,8 = 6,8 > 3,95 (R3)

3 vs. 2 = 17,6 – 15,4 = 2,2 < 3,75 (R2)

2 vs. 1 = 15,4 – 9,8 = 5,6 > 3,94 (R3)

2 vs. 5 = 15,4 – 10,8 = 4,6 > 3,75 (R2)

5 vs. 1 = 10,8 – 9,8 = 1,0 < 3,75 (R2)

Dari analisis di atas, kita lihat bahwa terdapat perbedaan nyata antara semua pasangan

rata-rata kecuali 3 dan 2, juga 5 dan 1.

2.5 Model Efek Random

Dalam banyak keadaan, faktor yang menarik mempunyai sejumlah besar tingkat

yang mungkin. Para analis tertarik dalam menggambarkan kesimpulan mengenai seluruh

populasi dari tingkat faktor. Jika pelaku percobaan secara random memilih a tingkat ini

dari tingkat faktor populasi, maka dikatakan bahwa faktor tersebut sebuah faktor random.

Karena tingkat faktor sebenarnya digunakan dalam percobaan yang telah dipilih secara

random, kesimpulan yang dicapai akan berlaku mengenai seluruh tingkat faktor populasi.

Kita akan asumsikan bahwa tingkat faktor populasi besarnya tidak terbatas, atau cukup

besar sehingga dianggap tidak terbatas.


Model linear secara statistik adalah:

ijiijy (2.10)

i = 1 ,2, …….., a

j = 1 ,2, ……., n

dimana i dan ij variabel random bebas. Model ini identik dalam susunannya dengan

kasus efek tetap, tapi parameternya mempunyai sebuah perbedaan interpretasi. Jika

varian i adalah 2

, maka varian setiap observasi adalah

22)( ijyV (2.11)

Varian 2

dan 2 disebut komponen-komponen varian dan model pada persamaan

(2.10) disebut komponen varian atau model efek random. Untuk menguji hipotesis dalam

model ini, kita membutuhkan { ij} adalah NID(0, 2 ), bahwa { i} adalah NID(0, 2

), dan

bahwa i dan ij bebas. Jumlah kuadrat SST = SSperlakuan + SSE masih berlaku.

Hipotesisnya adalah sebagai berikut:

H0 : 2

= 0

H1 : 2

> 0

Jika 2

= 0, semua perlakuan sama, tetapi jika 2

> 0, maka terdapat variabilitas antara

perlakuan. Hipotesis nol rasionya:

E

perlakuan

E

perlakuan

o MS

MS

aN

SSa

SS

F

1 (2.12)

berdistribusi F dengan derajat kebebasan a-1 dan N-a.

Ekspektasi rata-rata kuadrat dalam klasifikasi satu arah model efek random adalah:

MSperlakuan = 2 + n2

(2.13)

dan MSE = 2 (2.14)

Oleh karena itu, estimator komponen varian yaitu:

EMS 2

(2.15)

dan n

MSMS Eperlakuan

2 (2.16)

Untuk besarnya sampel yang tidak sama, ganti n dalam persamaan (2.16) dengan


a

ia

ii

a

ii

io

n

nn

an

1

1

1

2

1

1 (2.17)

Contoh 2.5

Seorang pengusaha pabrik menduga bahwa kandungan nitrogen sebuah produk berbeda

dari kelompok ke kelompok lainnya. Ia memilih sebuah sample random empat kelompok

lainnya, dan membuat lima ketentuan nitrogen yang dikandung pada masing-masing

kelompok. Data yang dihasilkan disajikan pada Tabel 2.7.

Tabel 2.7 Data Kandungan Nitrogen

Kelompok Observasi Total yi.

1 2 3 4 5

1

2

3

4

26,15 26,25 26,39 26,18 26,20

24,95 25,01 24,89 24,85 25,18

25,00 25,36 25,20 25,09 25,12

26,81 26,75 26,15 26,50 26,70

131,17

124,83

125,77

132,89

y..= 514,66

Karena kelompok-kelompok tersebut telah dipilih secara random, kelompok tersebut

model efek random. Analisis varian digambarkan pada tabel analisis varian

Tabel 2.8 Analisis Varian untuk Data dalam Tabel 2.7

Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat

F0

Kelompok 9,44 3 3,15 35,00

Error 1,51 16 0,09

Total 10,95 19

Karena F0 = 35,00 > F0,01;3;16 = 5,29, maka kita menolak Ho dan menyimpulkan terdapat

variabilitas dalam nitrogen yang dkandung dari kelompok ke kelompok.

Komponen varian 2 dan 2

dapat diperkirakan dengan menggunakan persamaan

(2.15) dan (2.16).


EMS 2

= 0,09

n

MSMS Eperlakuan

2 61,0

5

09,015,3

Selanjutnya varian setiap observasi pada nitrogen yang dikandung diperkirakan dengan

2 + 2

= 0,09 + 0,61 = 0,70. Sebagian besar variabilitas dalam nitrogen yang

dikandung secara rata-rata adalah (0,61/0,70)100 = 87,14%, untuk variabilitas kelompok

ke kelompok.

2.6 Soal Latihan

2-1. Heating value bahan bahar emulsi dari plastik polipropilen dan minyak solar yang

dicampur dengan surfaktan dan air sedang dipelajari. Empat perbedaan teknik

mencampur pada pembuatan bahan bakar emulsi tersebut sedang diselidiki. Data berikut

telah dikumpulkan.

Teknik Mencampur

Heating Value (Btu)

1

2

3

4

41.000 41.250 40.980

42.100 41.900 42.050

39.000 38.980 39.400

38.500 38.950 39.200

(a) Ujilah hipotesis pengaruh teknik mencampur terhadap heating value bahan bakar

emulsi tersebut. Gunakan = 0,05

(b) Gunakan pengujian range berganda Duncan untuk membuat perbandingan antara

pasangan rata-rata. Perkirakan efek perlakuan.

2-2. Suatu percobaan telah dilakukan untuk menentukan apakah empat temperatur

pembakaran tertentu mempengaruhi kepadatan batubara jenis tertentu. Percobaan

tersebut menghasilkan data berikut. Apakah temperatur pembakaran mempengaruhi

kepadatan batubara?


Temperatur (oF)

Kepadatan

100

125

150

175

21,8 21,9 21,7 21,6 21,7 21,5 21,8

21,7 21,4 21,5 21,5 - - -

21,9 21,8 21,8 21,6 21,5 - -

21,9 21,7 21,8 21,7 21,6 21,8 -

2-3. Pabrik kertas mempunyai sejumlah besar mesin pembuatan kertas dari pulp. Setiap

mesin kertas diumpamakan menghasilkan output kertas yang sama per menit. Untuk

menyelidiki asumsi ini, lima mesin kertas telah dipilih secara random dan outputnya diukur

pada waktu yang berbeda. Data yang diperoleh sebagai berikut.

Mesin Kertas Output (kg/menit)

1

2

3

4

5

4,0 4,1 4,2 4,0 4,1

3,9 3,8 3,9 4,0 4,0

4,1 4,2 4,0 4,1 3,9

3,6 3,8 4,0 3,9 3,7

3,8 3,6 3,9 3,8 4,0

(a) Apakah ini percobaan percobaan efek tetap atau efek random? Apakah mesin

kertas tersebut sama dalam output?

(b) Perkirakan variabilitas antara mesin-mesin kertas

(c) Perkirakan varian error percobaan

2-4. Kemurnian sebuah produk kimia diduga berbeda dari satu kelompok dengan lainnya.

Sebuah sampel random dari lima kelompok dipilih dan beberapa ketentuan dibuat pada

setiap kelompok.

Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 Kelompok 4 Kelompok 5

93,86 94,53 95,40 93,16 93,75

93,33 94,39 95,88 93,71 93,38

93,16 94,16 95,89 93,16 94,01

- 93,99 - 93,67 93,91

- - - 93,08 -

(a) Apakah kemurnian berbeda secara nyata dari kelompok ke kelompok?

(b) Perkirakan variasi antara dan di dalam kelompok


BAB 3 REGRESI LINIER SEDERHANA

Tujuan Belajar

Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan mampu: membuat persamaan regresi linier sederhana dari data melakukan pengujian ketidakcocokan model dengan data

Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variabel yang hubungannya

tidak dapat dipisahkan, dan hal tersebut biasanya diselidiki sifat hubungannya. Analisis

regresi adalah sebuah teknik statistik untuk membuat model dan menyelidiki hubungan

antara dua variabel atau lebih. Sebagai contoh, dalam sebuah proses kimia misalkan

bahwa hasil produk dihubungkan dengan temperatur/proses produk tersebut. Analisis

regresi dapat digunakan untuk membuat sebuah model yang menggambarkan hasil

sebagai sebuah fungsi temperatur. Model ini dapat digunakan untuk meramal pada

sebuah tingkat temperatur tertentu. Ini dapat juga digunakan untuk tujuan optimalisasi

atau tujuan proses kontrol.

3.1 Model Regresi Linier Sederhana

Kita ingin menentukan hubungan antara sebuah variabel bebas tunggal x dan

sebuah variabel tidak bebas y. Variabel bebas x diasumsikan sebagai sebuah variabel

kontinu secara matematik, dapat dikontrol oleh para pelaku percobaan. Maka akan

didapat model persamaan

xy o 1 (3.1)

dimana 0 dan 1 berturut-turut adalah intercept dan slope, adalah error random

dalam rata-rata nol dan varian 2 . Model regresi persamaan (3.1) hanya terdiri dari

sebuah variabel bebas tunggal x yang sering disebut model regresi linier sederhana.

Perkiraan (estimator) untuk model regresi linier sederhana adalah

)('_

10 xxy

(3.2)

dimana

n

ii yy

n 1

_

0

1' (3.2)


n

ii

n

iii

xx

xy

xx

xxy

S

S

1

2_

1

_

1

)(

)( (3.4)

Untuk menyajikan hasil-hasil dalam susunan intercept asli 0 , dicatat bahwa

_

100 ' x

dan perkiraan yang cocok untuk model regresi linier sederhana adalah

xy

10 (3.5)

Contoh 3.1

Seorang sarjana teknik kimia menyelidiki pengaruh temperatur proses produksi pada hasil

produksinya. Hasil penyelidikan tersebut menghasilkan data sebagai berikut:

T ,oC (x) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

Hasil, % (y) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89

Kuantitas berikut dapat dihitung:

n = 10

10

1

1450i

ix

10

1

673i

iy 145_

x 3,67_

y

10

1

2 218500i

ix

10

1

2 47225i

iy

10

1

101570i

ii yx

Sehingga diperoleh

825010

)1450(218500

2

xxS

398510

)673)(1450(101570 yyS

Selanjutnya estimasi untuk slope dan intercept adalah

48303,08250

39851

xx

xy

S

S dan 3,67'

_

0

y

Perkiraan model regresi linier sederhana adalah

)145(48303,03,67)(' 10

xxxy


Untuk menggambarkan model tersebut dalam intercept origin, dicatat bahwa

_

100 ' x

Sehingga xy 48303,073939,2

3.2 Pengujian Hipotesis dalam Regresi Linier Sederhana

3.2.1 Pengujian Nyata Regresi

Hipotesis:

H0 : 1 = 0

H1 : 1 ≠ 0

Hipotesis ini dihubungkan untuk nyata regresi. Keputusan untuk menolak H0 adalah sama

dengan memutuskan bahwa disana tidak ada hubungan linier antara x dengan y. Analisis

varian untuk pengujian nyata regresi ditampilkan pada tabel di bawah ini.

Tabel 3.1 Analisis Varian untuk Nyata Regresi

Sumber Varian


Rata-rata Kuadrat

F0

Regresi SSR = xyS

1 1 MSR MSR/MSE

Error (residual)

SSE = Syy - SSR n – 2 MSE

Total Syy n – 1

H0 ditolak bila F0 > F ,1,n-2

Contoh 3.2

Kita akan menguji model yang dikembangkan dalam contoh soal 3.1 untuk nyata regresi.

Perkiraan modelnya adalah xy 48303,073939,2

dan Syy dihitung sebagai berikut

10,193210

)673(47225

2

1

2

12

n

i

n

ii

iyy n

y

yS


Tabel 3.2 Pengujian untuk Nyata Regresi, contoh 3.2

Sumber Varian


Rata-rata Kuadrat

F0

Regresi SSR = 1924,87 1 1924,87 2138,74

Error (residual)

SSE = 7,23 n – 2 = 8 0,90

Total Syy = 1932,10 n – 1 = 9

Fo = 2138,74 > F0,01;1;8 = 11,26, maka Ho ditolak dan menerima bahwa 1 ≠ 0.

3.2.2 Pengujian Ketidakcocokan

Model-model regresi sering sesuai untuk data bila hubungan fungsi yang

sebenarnya tidak diketahui. Tentu saja kita akan mengetahui apakah susunan model

sementara yang diasumsikan benar.

Hipotesis-hipotesis untuk pengujian tersebut:

H0 : Model cocok pada data

H1 : Model tidak cocok pada data

Pengujian tersebut meliputi bagian jumlah kuadrat error atau residual ke dalam dua

komponen sebagai berikut:

SSE = SSPE + SSLOF

SSPE merupakan jumlah kuadrat yang diakibatkan oleh error yang sebenarnya dan SSLOF

adalah jumlah kuadrat yang diakibatkan oleh ketidakcocokan model. Untuk menghitung

SSPE kita harus mengulangi observasi pada y untuk paling

sedikit satu nilai x.

Misalkan ada m yang berbeda pada tingkat x, kontribusi untuk jumlah kuadrat error

sebenarnya pada x1 (misalkan) menjadi:

1

1

211 )(

n

uu yy (3.6)

Total jumlah kuadrat untuk error sebenarnya akan diperoleh dengan menjumlahkan

persamaan (3.6) pada seluruhnya nilai x sebagai berikut:

m

i

ni

uiiuPE yySS

1 1

2

)( (3.7)

Dengan derajat kebebasan sebanyak ne = n – m yang berkaitan dengan jumlah kuadrat

error sebenarnya. Jumlah kuadrat untuk ketidakcocokan disederhanakan:


SSLOF = SSE - SSPE (3.8)

Dengan derajat kebebasan n – 2 – ne = m – 2. Pengujian statistik untuk ketidakcocokan

menjadi:

PE

LOF

PE

LOF

MS

MS

mnSS

mSSFo

)/(

)2/( (3.9)

H0 ditolak jika F0 > F ,m-2,n-m

Contoh Soal 3.3

Misalkan kita mempunyai data berikut:

X 1,0 1,0 2,0 3,3 3,3 4,0 4,0 4,0 4,7 5,0 5,6 5,6 5,6 6,0 6,0 6,5 6,9

Y 2,3 1,8 2,8 1,8 3,7 2,6 2,6 2,2 3,2 2,0 3,5 2,8 2,1 3,4 3,2 3,4 5,0

Diperoleh:

Syy = 10,97 ; Sxy = 13,62 ; Sxx = 52,53 ;

y = 2,847 dan

x = 4,382.

Model regresi tersebut adalah

y = 1,708 + 0,26x dan jumlah kuadrat regresi SSR = xyS

1 =

(0,260)(13,62) = 3,541

Jumlah kuadrat error sebenarnya dihitung sebagai berikut:

Tingkat x

2)( yy Derajat kebebasan

1,0 3,3 4,0 5,6 6,0

0,1250 1,8050 0,1066 0,9800 0,0200

1 1 2 2 1

Total 3,0366 7

Tabel 3.3 Analisis Varian untuk Contoh Soal 3.3

Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat

F0

Regresi 3,541 1 3,541 7,15

Residual

LOF

PE

7,429

4,3924

3,0366

15

8

7

0,4952

0,5491

0,4338

1,27

Total 10,970 16


Karena F0,05;8;7 = 3,73, kita tidak dapat menolak hipotesis nol. Artinya, model sementara

yang cocok merupakan gambaran data. Juga karena F0,05;1;15 = 4,54, kita dapat

menyimpulkan bahwa 1 ≠ 0.

3.2.3 Koefisien Determinasi Kuantitas

yy

E

yy

R

S

SS

S

SSR 12

disebut koegisien determinasi, dan sering digunakan untuk mempertimbangkan ketepatan

sebuah model regresi (dimana x dan y adalah variabel-variabel random). R2 merupakan

jumlah variabilitas dalam data yang diperoleh atau dihitung berdasarkan model regresi.

Untuk data dalam contoh soal 3.1, diperoleh R2 = SSR/Syy = 0,9963; yaitu 99,63 persen

variabilitas dalam data tersebut yang dihitung berdasarkan model tersebut.

Pada umumnya R2 tidak mengukur besarnya slope garis regresi. Sebuah nilai R2

yang besar, tidak menyatakan secara langsung curamnya slope. Selanjutnya R2 tidak

mengukur kelayakan garis regresi, karena ini dapat dibuat tinggi dengan menambahkan

susunan polinomial urutan tinggi. Jika y dan x dihubungkan dengan sebuah bentuk tidak

linier, R2 akan sering menjadi lebih besar. Meskipun R2 besar, tidak berarti bahwa model

regresi akan memberikan pendugaan yang akurat terhadap observasi-observasi yang

akan datang.

3.3 Transformasi Sebuah Garis Lurus

Kadang-kadang kita mendapatkan bahwa model regresi garis lurus

xy 10 tidak cocok, karena fungsi regresi yang sebenarnya tidak linier. Dalam

beberapa keadaan, sebuah fungsi tidak linier dapat digambarkan sebagai sebuah garis

lurus dengan menggunakan transformasi yang cocok. Model-model tidak linier tersebut

disebut linier intrinsik.

Sebagai contoh sebuah model tidak linier yaitu linier intrinsik, perhatikan fungsi

eksponensial

xey 10


Fungsi ini linier intrinsik, karenanya dapat diubah menjadi sebuah garis lurus dengan

sebuah transformasi logaritma

lnlnln 10 xy

Perubahan ini membutuhkan asumsi bahwa perubahan bentuk error ln bebas dan

berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varian 2 .

Fungsi linier intrinsik lainnya adalah

xy

110

Dengan menggunakan transformasi resiprok z = 1/x, model tersebut dilinierkan menjadi

zy 10

Kadangkala transformasi logaritma dan resiprok dapat digunakan secara bersama-sama

untuk melinierkan sebuah fungsi. Sebagai contoh perhatikan fungsi

)exp(

1

10

xy

Misalkan y* = 1/y, kita mempunyai bentuk yang dilinierkan

xy 10*ln

3.4 Soal Latihan

3-1. Hasil suatu proses kimia diperkirakan merupakan sebuah fungsi jumlah katalisator

yang ditambahkan pada reaksi tersebut. Seorang peneliti melakukan dan memperoleh

data sebagai berikut.

Hasil (%) 60,54 63,86 63,76 60,15 66,66 71,66 70,81 65,72

Katalisator (lb) 0,9 1,4 1,6 1,7 1,8 2,0 2,1 2,3

(a) Tentukan sebuah model regresi linier sederhana yang sesuai dengan data tersebut

(b) Ujilah nyata regresi

(c) Hitung R2 untuk model ini

3-2. Berdasarkan kertas yang digunakan dalam industri kotak yang terbuat dari kertas (y)

dihubungkan dengan persentase konsentrasi kayu keras dalam bubur asli (x). Menurut

kondisi yang terkontrol, 16 pabrik industri diambil sebagai sampel, masing-masing dari


sebuah kelompok bubur yang berbeda, dan diukur daya renggangnya. Data tersebut

ditunjukkan di bawah ini.

Y 101,4 117,4 117,1 106,2 131,9 146,9 146,8 133,9

X 1,0 1,5 1,5 1,5 2,0 2,0 2,2 2,4

Y 111,3 123,0 125,1 145,2 134,3 144,5 143,7 146,9

X 2,5 2,5 2,8 2,8 3,0 3,0 3,2 3,3

(a) Tentukan sebuah model regresi linier sederhana yang sesuai dengan data tersebut

(b) Lakukan pengujian ketidakcocokan dan nyata regresi tersebut

(c) Bentuklah interval keyakinan 90% pada slope 1

3-3. Persentase kotoran dalam gas oksigen yang dihasilkan oleh sebuah proses

penyulingan diperkirakan berhubungan dengan persentase hidrokarbon dalam

kondensator utama. Data operasi selama satu bulan tersedia, seperti ditunjukkan di

bawah ini.

Kemurnian

(%) 96,73 99,42 98,66 96,07 93,65 87,31 95,00 96,85 85,20 90,56

Hidrokarbon (%)

1,02 1,11 1,43 1,11 1,01 0,95 1,11 0,87 1,43 1,02

Kemurnian

(%) 86,91 89,85 90,28 86,34 92,58 87,33 86,29 91,86 95,61 89,86

Hidrokarbon (%)

1,46 1,55 1,55 1,55 1,40 1,15 1,01 0,99 0,95 0,98

(a) Tentukan model regresi linier sederhana yang sesuai dengan data tersebut

(b) Lakukan pengujian ketidakcocokan dan nyata regresi

(c) Hitung R2 untuk model ini

(d) Hitung sebuah interval keyakinan 95% pada slope 1

3-4. Perhatikan data berikut. Misalkan bahwa hubungan antara y dan x dihipotesiskan

menjadi 1)1( Xoy . Tentukan sebuah model yang sesuai untuk data tersebut.

Apakah asumsi bentuk model tersebut kelihatan sesuai?

X 10 15 18 12 9 8 11 6

Y 0,17 0,13 0,09 0,15 0,2 0,21 0,18 0,24


BAB 4 REGRESI BERGANDA

Tujuan Belajar

Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan mampu: membuat persamaan regresi linier berganda dari data melakukan pengujian ketidakcocokan model dengan data membuat persamaan polinomial

Beberapa permasalahan regresi dapat mencakup lebih dari satu variabel bebas.

Model-model regresi yang menggunakan lebih dari satu variabel bebas disebut model

regresi berganda. Regresi berganda merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan

secara luas.

4.1 Model Regresi Berganda

Sebuah model regresi yang mencakup lebih dari satu variabel bebas disebut

model regresi berganda. Sebagai contoh misalnya, aktivitas katalis tertentu tergantung

pada temperatur reaksi dan nisbah molar umpan. Sebuah model regresi berganda dapat

menerangkan hubungan tersebut adalah:

22110 XXy (4.1)

dimana y menyatakan aktivitas katalis tersebut, X1 menyatakan temperatur reaksi dan X2

menyatakan nisbah molar umpan. Persamaan (4.1) di atas adalah sebuah model regresi

linier berganda dengan dua variabel bebas.

Pada umumnya, variabel tidak bebas atau respon y dapat dihubungkan pada k

variabel-variabel bebas. Model tersebut

kk XXXy .....22110 (4.2)

disebut sebuah model regresi linier berganda dengan k variabel bebas. Parameter j , j =

0, 1, …, k, disebut koefisien regresi.

Metode kuadrat terkecil dapat digunakan untuk memperkirakan koefisien regresi

dalam persamaan (4.2). Misalkan observasi n > k yang tersedia, dan misalkan xij

menyatakan observasi ke i atau tingkat variabel xj. Data tersebut akan muncul seperti

dalam Tabel 4.1.


Tabel 4.1 Data untuk Regresi Linier Berganda

y x1 x2 …… xk

y1 x11 x12 x1k

y2 x21 x22 x2k

. . . .

. . . .

yn xn1 xn2 xnk

Kita dapat menulis model tersebut, persamaan (4.2) sebagai berikut

iikkiii xxxy ...22110

k

jiijj x

10 i = 1, 2, …., n (4.3)

Untuk menghitung o, 1, 2, …, k kita gunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least

Square Method) yang menghasilkan persamaan normal sebagai berikut:

n

i

n

i

n

i

n

iiikkii yxxxn

1 1 1 122110 ....

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iiiikikiiii yxxxxxxx

1 1 1 1 111212

21110 ....

. . . . .

. . . . .

n

i

n

i

n

i

n

i

n

iiikikkiikiikik yxxxxxxx

1 1 1 1 1

222110 .... (4.4)

Perhatikan bahwa ada p = k + 1 persamaan normal, satu untuk setiap koefisien

regresi yang tidak diketahui. Penyelesaian untuk persamaan normal menjadi estimator-

estimator kuadrat terkecil dari koefisien-koefisien regresi o, 1, 2, …, k.

Hal ini lebih sederhana menyelesaikan persamaan normal jika kita menggunakan

bentuk matriks. Sekarang kita memberikan sebuah pengembangan matriks dari

persamaan normal tersebut, berdasarkan persamaan (4.4). Persamaan (4.3) dapat ditulis

dalam bentuk matriks sebagai

Xy


dimana

y1 1 x11 x12 . . . x1k 0 1

y2 1 x21 x22 . . . x2k 1 2

y = . X = . . . . = . dan = . . . . . . . . yn 1 xn1 xn2 . . . . xnk k k

Estimator kuadrat terkecil untuk adalah

yXXX ')' 1

(4.5)

Contoh 4.1

Sebuah perusahaan botol minuman ringan menganalisis trayek pelayanan mesin

penjualan dalam system distribusinya. Khususnya perusahaan tersebut tertarik untuk

meramalkan jumlah waktu yang dibutuhkan oleh banyak pengemudi untuk melayani mesin

penjual sebagai jalan keluar. Kegiatan pelayanan ini termasuk persediaan mesin dengan

produk minuman dan perawatan ringan. Ahli industri bertanggung jawab untuk studi yang

diusulkan bahwa dua variabel yang penting yang mempengaruhi waktu pengiriman adalah

jumlah unit produk yang tersedia dan jarak yang ditempuh oleh trayek pengemudi. Ahli

tersebut mengumpulkan 25 observasi pada waktu pengiriman, yang ditunjukkan pada

Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Data Waktu Pengiriman untuk Contoh 4.1

Nomor Observasi Waktu Pengiriman Y

Jumlah Unit X1

Jarak X2

1 9,95 2 50 2 24,45 8 110 3 31,75 11 120 4 35,00 10 550 5 25,02 8 295 6 16,86 4 200 7 14,38 2 375 8 9,60 2 52 9 24,35 9 100

10 27,50 8 300 11 17,08 4 412 12 37,00 11 400 13 41,95 12 500 14 11,66 2 360 15 21,65 4 205 16 17,89 4 400


17 69,00 20 600 18 10,30 1 585 19 34,93 10 540 21 46,59 15 250 21 44,88 15 290 22 54,12 16 510 23 56,63 17 590 24 22,13 6 100 25 21,15 5 400

Kita akan menentukan model regresi linier berganda tersebut menjadi 22110 xxy

Matrik X dan vektor y untuk model ini adalah 1 2 50 9,95 X = 1 8 110 y = 24,45 . . . . . . . . 1 5 400 21,15 25 206 8294 725,82 X’X = 206 2396 77177 dan X’y = 8008,37 8294 77177 3531848 274811,31 Estimator kuadrat terkecil didapat dari persamaan (4.5) sebagai berikut

0

2,26379143

1

= 2,74426964

2

0,01252781 Selanjutnya, perkiraan model regresi tersebut adalah

y = 2,26379 + 2,74427x1 + 0,01253x2

4.2 Pengujian Hipotesis dalam Regresi Linier Berganda

Dalam masalah-masalah regresi linier berganda, pengujian hipotesis tertentu

mengenai parameter model berguna dalam mengukur ketepatan model.


4.2.1 Pengujian untuk Nyata Regresi

Pengujian untuk nyata regresi adalah sebuah pengujian untuk menentukan apakah

ada hubungan linier antara variabel tidak bebas y dan variabel bebas x1, x2, …, xk.

Pendekatan hipotesisnya adalah

H0 : 0...21 k

H1 : j ≠ 0 untuk paling sedikit satu j

Penolakan H0 menyatakan bahwa paling sedikit satu variabel bebas x1, x2, …xk

memberikan kontribusi yang nyata pada model tersebut. Prosedur pengujian ini seperti

ditampilkan pada tabel analisis varian untuk nyata regresi dalam regresi berganda di

bawah ini.

Tabel 4.2 Analisis Varian untuk Nyata Regresi dalam Regresi Berganda

Sumber Varian


Rata-rata Kuadrat

F0

Regresi SSR K MSR MSR/MSE

Error (residual)

SSE n – k – 1 MSE

Total Syy n – 1

H0 ditolak jika F0 > F ,k,n-k-1

yXyySSE '''

Karena n

yi

yyn

yi

yS

n

in

i

n

iiyy

2

1

1

2

12 '

, kita dapat menulis kembali persamaan di

atas sebagai

n

y

yXn

y

yySS

n

ii

n

ii

E

2

1

2

1 '''

atau SSE = Syy - SSR

Selanjutnya, jumlah kuadrat regresi adalah


n

y

yXSS

n

ii

R

2

1''

(4.6)

jumlah kuadrat error adalah

yXyySSE ''' (4.7)

dan total jumlah kuadrat adalah

n

y

yyS

n

ii

yy

2

1'

(4.8)

Contoh 4.2

Kita akan menguji untuk nyata regresi yang digunakan data waktu pengiriman dari contoh

4.1.

n

y

yyS

n

ii

yy

2

1'

9447,6105

25

)82,725(9510,177.27

2

n

y

yXSS

n

ii

R

2

1''

7712,5990

25

)82,725(7775,062.27

2

SSE = Syy – SSR = 115,1735

Analisis varian ditunjukkan dalam Tabel 4.3. Untuk pengujian H0 : 021 , kita hitung

statistiknya

17,5722352,5

3856,29950

E

R

MS

MSF

Karena F0 > F0,05;2;22 = 3,44, kita menyimpulkan bahwa waktu pengiriman berhubungan

dengan volume pengiriman dan jaraknya.

Tabel 4.3 Pengujian Nyata Regresi untuk Contoh 4.2

Sumber Varian


Rata-rata Kuadrat

F0

Regresi 5990,7712 2 2995,3856 572,17

Error (residual)

115,1735 22 5,2352

Total 6105,9447 24


4.2.2 Pengujian Koefisien-koefisien Regresi Secara Individual

Pengujian hipotesis untuk koefisien regresi secara individu berguna dalam

menentukan nilai setiap variable-variabel bebas dalam model regresi. Sebagai contoh,

model tersebut mungkin lebih efektif dengan menambah variabel-variabel atau

menghilangkan satu atau lebih dari variabel-variabel yang telah disiapkan dalam model

tersebut. Penambahan sebuah variabel pada sebuah model regresi selalu menyebabkan

jumlah kuadrat untuk regresi menjadi bertambah dan jumlah kuadrat error menjadi

berkurang. Kita harus memutuskan apakah penambahan jumlah kuadrat regresi tersebut

cukup untuk menjamin penggunaan variabel tambahan tersebut dalam model.

Selanjutnya, penambahan sebuah variable yang tidak penting pada model tersebut dapat

menambah rata-rata kuadrat error karena menurunkan kegunaan model tersebut.

Hipotesis untuk pengujian nyata beberapa koefisien regresi secara individu adalah

H0 : j = 0

H1 : j ≠ 0

Jika H0 : j = 0 diterima, maka ini menunjukkan bahwa xi dapat dihilangkan dari model

tersebut. Pengujian statistik untuk pengujian ini adalah

jj

jo

C

t2

(4.9)

dimana Cjj adalah elemen diagonal (X’X)-1 yang berhubungan dengan

j . Hipotesis nol

ditolak jika │t0│ > 1,2/ knt . Untuk menggambarkan penggunaan pengujian ini, perhatikan

data dalam contoh 4.1, dan misalkan kita ingin menguji

H0 : 2 = 0

H1 : 2 ≠ 0

Elemen diagonal utama (X’X)-1 yang bersesuaian untuk

2 adalah C22 = 0,0000015,

sehingga statistik t menjadi

4767,4)0000015,0)(2352,5(

01253,02

jj

jo

C

t


Karena t0,025;22 = 2,074, kita menolak H0 : 2 = 0 dan disimpulkan bahwa variabel x2 (jarak)

memberi sumbangan yang nyata pada model tersebut.

4.3 Regresi Polinomial

Model linier Xy adalah sebuah model umum yang dapat digunakan untuk

mencocokkan beberapa hubungan linier dengan parameter yang tidak diketahui. Ini

termasuk kelompok penting model-model regresi polinomial. Sebagai contoh, polinomial

berderajat dua pada satu variabel

21110 xxy (4.10)

dan polinomial berderajat dua pada dua variabel

21122

2222

11122110 xxxXxxy (4.11)

adalah model regresi linier.

Model regresi polinomial digunakan secara luas dalam masalah dimana responnya

curvilinier, karena prinsip-prinsip umum regresi berganda dapat diaplikasikan. Contoh

berikut menggambarkan beberapa jenis analisis yang dapat dilakukan.

Contoh 4.3

Data yang ditunjukkan di bawah ini menunjukkan rata-rata biaya per unit untuk sebuah

produk (y) dan sejumlah produk (x). Diagram pencarnya ditunjukkan dalam Gambar 4.1,

yang menyatakan bahwa pendekatan yang tepat untuk diagram pencar tersebut adalah

sebuah polinomial berdimensi dua.

y 1,81 1,70 1,65 1,55 1,48 1,40 1,30 1,26 1,24 1,21 1,20 1,18

x 20 25 30 35 40 50 60 65 70 75 80 90


1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

10 20 30 40 50 60 70 80 90

x

y

Gambar 4.1 Data untuk Contoh 4.3

Kita akan mencocokkan model tersebut

21110 xxy

Vektor y, matriks X dan vektor adalah sebagai berikut:

1,18 1 20 400 1,70 1 25 625 1,65 1 30 900 0

y = 1,55 X = 1 35 1225 = 1

1,48 1 40 1600 11 1,40 1 50 2500 1,30 1 60 3600 1,26 1 65 4225 1,24 1 70 4900 1,21 1 75 5625 1,20 1 80 6400 1,18 1 90 8100 Dengan menyelesaikan persamaan normal X’X =X’y memberikan perkiraan model

200012507,002252236,019826629,2 xxy

Pengujian untuk nyata regresi ditunjukkan dalam Tabel 4.4. Karena F0 = 2171,07 nyata

pada 1 persen, kita menyimpulkan bahwa paling sedikit satu parameter 1 dan 11 tidak

nol


Tabel 4.4 Pengujian Nyata Regresi untuk Contoh 4.3

Sumber Varian


Rata-rata Kuadrat

F0

Regresi 0,5254 2 0,262700 2171,07

Error (residual)

0,0011 9 0,000121

Total 0,5265 11

4.4 Soal Latihan

4-1. Konversi reaksi esterifikasi asam lemak dipengaruhi oleh temperatur (x1) dan

waktu reaksi (x2). Datanya ditunjukkan dalam tabel berikut.

y x1 x2

60,5 40 60 62,9 40 60 75,6 50 90 72,9 50 90 80,4 55 100 83,7 60 120 84,5 65 150 90,8 65 150

(a) Buatlah sebuah model regresi berganda untuk data tersebut

(b) Ujilah untuk nyata regresi dan ketidakcocokan

4-2. Perhatikan data yang ditunjukkan dalam tabel berikut.

y x1 x2 x3 x4

45,16 8 3 2 5 43,20 7 5 1 6 40,75 4 8 2 10 46,53 9 2 1 4 63,05 15 2 4 3 54,45 12 4 3 2 86,89 18 10 5 1 41,68 5 7 2 4 63,31 10 10 3 1 38,26 8 2 3 2 31,88 7 1 2 1 29,14 2 4 3 8 56,73 6 12 1 7 29,08 4 3 4 5


(a) Buatlah sebuah model regresi berganda untuk data ini

(b) Ujilah untuk nyata regresi

4-3. Perhatikan data yang ditunjukkan dalam tabel berikut.

y x1 x2

2,60 1,0 1,0 2,40 1,0 1,0 17,32 1,5 4,0 15,60 1,5 4,0 16,12 1,5 4,0 5,36 0,5 2,0 6,19 1,5 2,0 10,17 0,5 3,0 2,62 1,0 1,5 2,98 0,5 1,5 6,92 1,0 2,5 7,06 0,5 2,5

(a) Buatlah model polinomial susunan kedua

21122

2222

11122110 xxxXxxy

(b) Ujilah untuk nyata regresi dan ketidakcocokan

(c) Ujilah hipotesis Ho : 0122211

4-4. Perhatikan data berikut:

Y -4,42 -1,39 -1,55 -1,89 -2,43 -3,15 -4,05

x 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 2,50

(a) Buatlah sebuah polynomial susunan kedua untuk data tersebut

(b) Ujilah untuk nyata regresi

(c) Ujilah hipotesis bahwa 011


BAB 5 RANCANGAN PERCOBAAN

Tujuan Belajar

Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan mampu: melakukan analisis varian, uji rata-rata dan menentukan komponen varian pada desain acak

sempurna melakukan analisis varian pada desain blok acak menentukan model dan Anava pada desain eksperimen faktorial menentukan model dan Anava pada desain eksperimen faktorial 2k menentukan model dan Anava pada desain eksperimen faktorial 3k

Bila merancang sebuah percobaan, kita harus ingat dua dasar pertimbangan, yaitu

ketepatan statistik dan biaya. Ketepatan statistik mencakup pemilihan yang layak dari

tanggapan yang diukur, penentuan jumlah faktor yang mempengaruhi respon, pemilihan

himpunan bagian faktor ini dipelajari dalam percobaan yang telah direncanakan, jumlah

waktu percobaan harus dapat diulang dan bentuk analisis yang diperlukan.

Biaya sering ditekankan, tapi sama pentingnya. Untuk meminimumkan biaya suatu

penyelidikan percobaan, biasanya dipilih rancangan percobaan yang sesederhana

mungkin dan menggunakan besar sampel yang sekecil mungkin, sehingga konsisten dan

hasil memuaskan.

5.1 Percobaan-percobaan Faktorial

Percobaan faktorial digunakan untuk mempelajari secara serentak pengaruh dua

atau lebih faktor. Dengan sebuah percobaan faktorial, setiap percobaan lengkap atau

pengulangan sebuah percobaan yang mungkin dikombinasikan dengan tingkat faktor

yang diselidiki. Jika terdapat a tingkat faktor A dan b tingkat faktor B, maka setiap

pengulangan berisi seluruh kombinasi perlakuan ab.

Pengaruh sebuah faktor didefinisikan sebagai perubahan dalam respon yang

dihasilkan oleh sebuah perubahan dalam tingkat faktor tersebut. Dalam beberapa

percobaan, perbedaan dalam respon antara tingkat satu faktor tidak sama pada semua

tingkat faktor lainnya. Bila ini terjadi, terdapat sebuah interaksi antara faktor-faktor

tersebut.


5.2 Percobaan Faktorial Dua Faktor

Jenis yang paling sederhana dari percobaan faktorial mencakup hanya dua faktor,

misal A dan B. Ada a tingkatan faktor A dan b tingkatan faktor B. Susunan data untuk

sebuah rancangan faktorial dua faktor disajikan pada Tabel 5.1. Perhatikan bahwa

terdapat n pengulangan-pengulangan percobaan dan setiap percobaan berisi seluruh

kombinasi perlakuan ab.

Tabel 5.1 Susunan Data untuk Rancangan Faktorial Dua Faktor

Faktor B

1 1 …… b

1

2

Faktor A

a

y111, y112, …. ,

y11n

y121, y122 ,…, y12n y1b1, y1b2 ,…,

y1bn

y211, y212 ,…,

y21n

y221, y222 ,…, y22n y2b1, y2b2 ,…,

y2bn

ya11, ya12 ,…,

ya1n

Ya21, ya22 ,…, ya2n Yab1, yab2 ,…,

yabn

Observasi dalam sel ke-ij dan dalam pengulangan ke-k dinotasikan dengan yijk. Dalam

pengumpulan data, abn observasi dapat dilakukan dalam susunan random.

Observasi dapat dijabarkan dengan model linier secara statistik

i = 1, 2, ….., a ijkijjiijky )( j = 1, 2, ….., b (5.1)

k = 1, 2, ….., n

dimana merupakan rata-rata pengaruh keseluruhan. i merupakan pengaruh tingkat

ke-i untuk faktor A, j merupakan pengaruh tingkat ke-j faktor B, ij)( merupakan

pengaruh interaksi antara A dan B, dan ijk merupakan komponen random error NID

(0, )2 . Seperti dengan percobaan faktor tunggal pada Bab 2, analisis varian akan

digunakan untuk menguji hipotesis ini. Karena terdapat dua faktor yang diteliti, prosedur

yang digunakan dikenal sebagai klasifikasi analisis varian dua arah.


5.2.1 Analisis Secara Statistik pada Model Efek Tetap

Misalkan faktor A dan B tetap, maka a tingkat faktor A dan b tingkat faktor B secara

khusus dipilih oleh pelaku percobaan, dan kesimpulan dibatasi hanya untuk tingkat ini.

Dalam model ini, biasanya mendefinisikan pengaruh i , j , ij)( sebagai deviasi rata-

rata. Untuk menguji H0 : 0i (tidak ada pengaruh faktor baris), H0 : 0j (tidak ada

pengaruh faktor kolom) dan H0 : 0)( ij (tidak ada pengaruh interaksi), kita akan

membagi rata-rata kuadrat yang bersesuaian dengan rata-rata kuadrat error. Setiap rasio

ini akan mengikuti distribusi F dengan derajat kebebasan masing-masing faktor baris,

kolom dan interaksi dengan derajat kebebasan error.

Analisis varian untuk klasifikasi dua arah model efek tetap disajikan pada Tabel

5.2.

Tabel 5.2 Tabel Analisis Varian untuk Klasifikasi Dua Arah, Model Efek Tetap

Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat F0

A perlakuan

SSA

a – 1 1

a

SSMS A

A E

A

MS

MSF 0

B perlakuan

SSB

b – 1 1

b

SSMS B

B E

B

MS

MSF 0

Interaksi

SSAB

(a-1)(b-1) )1)(1(

ba

SSMS AB

AB E

AB

MS

MSF 0

Error

SSE

ab(n-1) )1(

nab

SSMS E

E

Total SST abn-1

Total jumlah kuadrat dihitung dari

a

i

b

j

n

kijkT abn

yySS

1 1 1

22 ...

(5.2)

Jumlah kuadrat untuk pengaruh utama yaitu

abn

y

bn

ySS

a

i

iA

2

1

2.. ...

(5.3)


dan abn

y

an

ySS

b

j

jB

2

1

2.. ...

(5.4)

SSAB dihitung dua tahap. Pertama, kita hitung jumlah kuadrat antara total sel ab, dikatakan

‘sub-total’.

abn

y

n

ySS

a

i

b

j

ijsubtotal

2

1 1

2. ...

(5.5)

Jumlah kuadrat ini juga mencakup SSA dan SSB. Maka langkah kedua menghitung SSAB

sebagai

BAsubtotalAB SSSSSSSS (5.6)

Jumlah kuadrat error adalah

BAABTE SSSSSSSSSS (5.7a)

atau subtotalTE SSSSSS (5.7b)

Bila kedua faktor tetap, perbandingan antara rata-rata secara individu dari salah

satu faktor dapat dibuat dengan menggunakan pengujian range berganda Duncan. Bila

tidak terdapat interaksi, perbandingan ini dapat dibuat dengan menggunakan salah satu

rata-rata baris ..iy

atau rata-rata kolom .. jy

. Tetapi bila interaksi nyata, perbandingan

antara rata-rata satu faktor (misal A) dapat menjadi samar dengan interaksi AB. Dalam hal

ini, pengujian range berganda Duncan dapat digunakan untuk rata-rata faktor A, dengan

faktor B pada sebuah tingkat tertentu.

Contoh 5.1

Sebuah percobaan dilakukan untuk menentukan kemampuan tiga bahan kimia yang

berbeda untuk mencegah karat besi. Bahan kimia tersebut dapat digunakan dengan

mencelupkan atau menyemprotkan. Tiga contoh besi yang bersih diperlakukan dengan

setiap bahan kimia tersebut, dengan menggunakan setiap metode aplikasi. Besi tersebut

kemudian dicelupkan ke dalam cairan garam, dan jumlah karat selama 10 hari dicatat.

Datanya digambarkan dalam Tabel 5.3. Bilangan yang dilingkari dalam sel adalah total sel

yij.


Tabel 5.3 Data untuk Contoh 5.1

Bahan Kimia

Metode Aplikasi Pencelupan Penyemprotan yi..

1 4,0; 4,5; 4,3 12,8 5,4; 4,9; 5,6 15,9 28,7

2 5,6; 4,9; 5,4 15,9 5,8; 6,1; 6,3 18,2 34,1

3 3,8; 3,7; 4,0 11,5 5,5; 5,0; 5,0 15,5 27,0

y.j. 40,2 49,6 89,8 = y…

Jumlah kuadrat dihitung sebagai berikut:

a

i

b

j

n

kijkT abn

yySS

1 1 1

22 ...

72,1018

)8,89()0,5(....)5,4()0,4(

2222

abn

y

bn

ySS

a

i

itipe

2

1

2.. ...

58,418

)8,89(

6

)0,27()1,34()7,28( 2222

abn

y

an

ySS

b

j

jmetode

2

1

2.. ...

91,418

)8,89(

9

)6,49()2,40( 222

metodetipe

a

i

b

j

ijeraksi SSSS

abn

y

n

ySS

2

1 1

2.

int

...

24,091,458,418

)8,89(

3

)5,15()2,18()9,15()5,11()9,15()8,12( 2222222

99,024,091,458,472,10 BAABTE SSSSSSSSSS

Analisis varian diringkas dalam Tabel 5.4.


Tabel 5.4 Analisis Varian untuk Contoh 5.1

Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat

F0

Bahan kimia 4,58 2 2,29 28,63

Metode aplikasi

4,91 1 4,91 61,38

Interaksi 0,24 2 0,12 1,5

Error 0,99 12 0,08

Total 10,72 17

Karena F0,05;2;12 = 3,89 dan F0,05;1;12 = 4,75, kita menyimpulkan bahwa pengaruh utama

bahan kimia dan metode aplikasi mempengaruhi pembentukan karat. Karena 1,5 <

F0,05;2;12, maka tidak terdapat interaksi antara faktor-faktor ini.

5.2.2 Analisis Secara Statistik pada Model Efek Random

Pada model efek random, tingkatan kedua faktor dipilih secara random dari

populasi dengan tingkat faktor yang besar, dan ingin memperluas kesimpulan tentang

pengambilan sampel populasi tingkat faktor. Observasi disajikan dengan model


k = 1, 2, ….., n

dimana parameter i , j , ij)( dan ijk adalah variabel random. Varian setiap observasi

adalah

2222)( ijkyV

dan 2

, 2

,2

dan 2 disebut komponen varian. Hipotesis-hipotesis yang menarik

adalah dalam menguji H0 : 2

= 0, H0 : 2

= 0, dan H0 : 2

= 0.

Dasar analisis varian tetap tidak berubah. Artinya, SSA, SSB, SSAB, SST dan SSE

semua dihitung seperti dalam kasus efek tetap. Untuk membentuk pengujian statistik, kita

harus menguji ekspektasi rata-rata kuadrat, yaitu:

222)( bnnMSE A

222)( annMSE B (5.9)

22)( nMSE AB


dan 2)( EMSE

Perhatikan ekspektasi rata-rata kuadrat bahwa pengujian statistik yang cocok

untuk H0 : 2

= 0 adalah

E

AB

MS

MSF 0 (5.10)

Rasio F0 berdistribusi F ;(a-1)(b-1);ab(n-1). Dengan cara yang sama untuk menguji H0 : 2

= 0,

digunakan

AB

A

MS

MSF 0 (5.11)

yang berdistribusi F ;(a-1);(a-1)(b-1) dan untuk menguji H0 : 2

= 0, menggunakan

AB

B

MS

MSF 0 (5.12)

yang berdistribusi F ;(b-1);(a-1)(b-1). Analisis varian untuk model efek random ditampilkan

pada Tabel 5.5

Tabel 5.5 Analisis Varian untuk Model Efek Random

Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan


A perlakuan

SSA

a – 1 1

a

SSMS A

A AB

A

MS

MSF 0

B perlakuan

SSB

b – 1 1

b

SSMS B

B AB

B

MS

MSF 0

Interaksi

SSAB

(a-1)(b-1) )1)(1(

ba

SSMS AB

AB E

AB

MS

MSF 0

Error

SSE

ab(n-1) )1(

nab

SSMS E

E

Total SST abn-1

Komponen varian dapat diperkirakan dengan menyamakan rata-rata kuadrat

observasi untuk nilai ekspektasinya dan penyelesaian untuk komponen varian. Ini

menghasilkan


EMS 2

n

MSMS EAB

2

an

MSMS ABB

2

bn

MSMS ABA

2 (5.13)

Contoh 5.2

Misalkan bahwa dalam Contoh 5.1, sejumlah besar bahan kimia dapat digunakan untuk

mencegah karat, dan beberapa metode aplikasi dapat digunakan. Tiga bahan kimia

(katakan 1, 2 dan 3) telah dipilih secara random seperti pada dua metode aplikasi.

Analisis varian untuk model efek random ditampilkan pada Tabel 5.6.


Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat

F0

Bahan kimia 4,58 2 2,29 19,08

Metode aplikasi

4,91 1 4,91 40,92

Interaksi 0,24 2 0,12 1,5

Error 0,99 12 0,08

Total 10,72 17

Karena F0,05;2;12 = 3,89, kita menyimpulkan bahwa interaksi tidak nyata. Juga karena

F0,05;2;2 = 19,0 dan F0,05;1;2 = 18,5, kita menyimpulkan bahwa bahan kimia dan metode

aplikasi secara nyata mempengaruhi pembentukan karat. Komponen varian dapat

diperkirakan menggunakan persamaan (5.13) sebagai berikut:

08,02

EMS

0133,03

08,012,02

n

MSMS EAB

53,09

12,091,42

an

MSMS ABB


36,06

12,029,22

bn

MSMS ABA

5.2.3 Analisis Secara Statistik pada Model Campuran

Misalkan bahwa satu faktor A adalah tetap, dan yang lain, B adalah random. Ini

disebut analisis varian model campuran. Model liniernya adalah


k = 1, 2, ….., n

Dalam model ini, i merupakan efek tetap, j merupakan sebuah efek random, susunan

interaksi ij)( merupakan sebuah efek random dan ijk merupakan error random.

Pengujian statistik yang cocok untuk menguji H0 : i = 0 adalah

AB

A

MS

MSF 0 (5.15)

yang berdistribusi F ;(a-1);(a-1)(b-1). Untuk menguji H0 : 02 , pengujian statistiknya

adalah

E

B

MS

MSF 0 (5.16)

yang berdistribusi F ;(b-1);ab(n-1). Akhirnya untuk menguji H0 = 02 kita dapat

menggunakan

E

AB

MS

MSF 0 (5.17)

yang berdistribusi F ;(a-1)(b-1);ab(n-1).

Komponen varian 2

, 2

, dan 2 digunakan persamaan:

EMS 2

n

MSMS EAB

2 (5.18)

an

MSMS EB

2

Tabel 5.7 di bawah ini meringkas analisis varian untuk model campuran dua faktor.


Tabel 5.7 Analisis Varian untuk Model Campuran Dua Faktor

Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan


A perlakuan

SSA

a – 1 1

a

SSMS A

A AB

A

MS

MSF 0

B perlakuan

SSB

b – 1 1

b

SSMS B

B E

B

MS

MSF 0

Interaksi

SSAB

(a-1)(b-1) )1)(1(

ba

SSMS AB

AB E

AB

MS

MSF 0

Error

SSE

ab(n-1) )1(

nab

SSMS E

E

Total SST abn-1

5.3 Percobaan Faktorial Umum

Banyak percobaan mencakup lebih dari dua faktor. Dalam bagian ini kita

perhatikan kasus yang terdapat a tingkat faktor A, b tingkat faktor B, c tingkat faktor C dan

seterusnya, disusun dalam percobaan factoria. Secara umum, akan terdapat abc ..n total

observasi, jika terdapat n pengulangan dari percobaan secara lengkap.

Sebagai contoh, perhatikan model tiga faktor analisis varian

ijklijkjkikijkjiijkly )()()()(

Dengan asumsi A, B dan C adalah tetap, analisis varian ditunjukkan dalam Tabel

5.8. Perhatikan bahwa disana harus ada paling sedikit dua pengulangan (n ≥ 2) untuk

mendapatkan jumlah kuadrat error.


Tabel 5.8 Analisis Varian untuk Model Tiga Faktor Efek Tetap

Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan


A

SSA

a – 1 1

a

SSMS A

A E

A

MS

MSF 0

B

SSB

b – 1 1

b

SSMS B

B E

B

MS

MSF 0

C

SSC

c – 1 1

c

SSMS C

C E

C

MS

MSF 0

AB

SSAB

(a-1)(b-1) )1)(1(

ba

SSMS AB

AB E

AB

MS

MSF 0

AC

SSAC

(a-1)(c-1) )1)(1(

ca

SSMS AC

AB E

AC

MS

MSF 0

BC

SSBC

(b-1)(c-1) )1)(1(

cb

SSMS BC

BC E

BC

MS

MSF 0

ABC

SSABC

(a-1)(b-1)(c-1) )1)(1)(1(

cba

SSMS ABC

ABC E

ABC

MS

MSF 0

Error

SSE

abc(n-1) )1(

nab

SSMS E

E

Total SST abcn-1

Total jumlah kuadrat adalah

a

i

b

j

c

k

n

lijklT abcn

yySS

1 1 1 1

22 ....

(5.20)

Jumlah kuadrat untuk pengaruh utama dihitung sebagai berikut:

abcn

y

bcn

ySS

a

i

iA

2

1

.. ....2

(5.21)

abcn

y

acn

ySS

b

j

jB

2

1

.. ....2

(5.22)

abcn

y

abn

ySS

c

k

kC

2

1

.. ....2

(5.23)

Untuk menghitung jumlah kuadrat interaksi dua faktor, total untuk sel AXB, AXC

dan BXC dibutuhkan. Total sel ini sangat menolong untuk meringkas tabel data asli ke

dalam tiga tabel dua arah agar dapat menghitung total ini. Jumlah kuadratnya adalah


BAABsubtotalBA

a

i

b

j

ijAB SSSSSSSSSS

abcn

y

cn

ySS

)(

2

1 1

2.. ....

(5.24)

CAACsubtotalCA

a

i

c

k

kiAC SSSSSSSSSS

abcn

y

bn

ySS

)(

2

1 1

2.. ....

(5.25)

CBBCsubtotalCB

b

j

c

k

jkBC SSSSSSSSSS

abcn

y

an

ySS

)(

2

1 1

2.. ....

(5.26)

Jumlah kuadrat interaksi tiga faktor dihitung dari total sel tiga arah {yijk} sebagai

BCACABCBA

a

i

b

j

c

k

ijkABC SSSSSSSSSSSS

abcn

y

n

ySS

2

1 1 1

2. ....

(5.27)

BCACABCBAABCsubtotal SSSSSSSSSSSSSS )(

Jumlah kuadrat error didapat dengan pengurangan jumlah kuadrat pengaruh utama dan

interaksi total jumlah kuadrat, yaitu

)( ABCsubtotalTE SSSSSS (5.28)

Contoh 5.3

Data yang ditampilkan pada Tabel 5.9 berikut menyajikan hasil proses kimia dengan

beberapa penentuan kondisi operasi. Analisislah data tersebut.

Tabel 5.9 Data Percobaan untuk Contoh 5.3

Tekanan

(A)

Nisbah Molar Umpan (B)

yi… 2 mol/mol 6 mol/mol

Temperatur (C) Temperatur (C)

60oC 100oC 60oC 100oC

1 atm 9 7 16 11 10 21 9 11 20 10 8 18 75

5 atm 10 12 22 10 13 23 12 15 27 16 14 30 102

BXC, y.jk. 38 44 47 48 177=y….


Total AxB, yij..

B

A 2 6

1

5

37

45

38

57

y.j.. 82 95

Total AxC, yij..

C

A 60 100

1

5

36

49

39

53

y.j.. 85 92

Analisis varian diringkas pada Tabel 5.10. Jumlah kuadrat dihitung sebagai berikut:

9375,9216

)177(2051

.... 2

1 1 1 1

22

a

i

b

j

c

k

n

lijklT abcn

yySS

5625,4516

)177(

8

)102()75(.... 2222

1

..2

abcn

y

bcn

ySS

a

i

iA

5625,1516

)177(

8

)95()82(.... 2222

1

..2

abcn

y

acn

ySS

b

j

jB

0625,316

)177(

8

)92()85(.... 2222

1

..2

abcn

y

abn

ySS

c

k

kC

5625,75625,105625,4516

177

4

57453837.... 222222

1 1

2..

BA

a

i

b

j

ijAB SSSS

abcn

y

cn

ySS

0625,00625,35625,4516

177

4

53493936.... 222222

1 1

2..

CA

a

i

c

k

kiAC SSSS

abcn

y

bn

ySS

5625,10625,35625,1016

177

4

48474438.... 222222

1 1

2..

CB

b

j

c

k

jkBC SSSS

abcn

y

an

ySS


BCACABCBA

a

i

b

j

c

k

ijkABC SSSSSSSSSSSS

abcn

y

n

ySS

2

1 1 1

2. ....

0625,55625,10625,0

5625,70625,35625,105625,452

3027232218202116 22222222

50,194375,739375,92)( ABCsubtotalTE SSSSSS



Derajat Kebebasan

Rata-rata Kuadrat

F0

Tekanan (A) 45,5625 1 45,5625 18,69a

Nisbah Molar (B) 10,5625 1 10,5625 4,33b

Temperatur (C) 3,0625 1 3,0625 1,26

AB 7,5625 1 7,5625 3,10

AC 0,0625 1 0,0625 0,03

BC 1,5625 1 1,5625 0,64

ABC 5,0625 1 5,0625 2,08

Error 19,5000 8 2,4375

Total 92,9375 15 a Nyata pada 1 persen b Nyata pada 10 persen

5.4 Rancangan Blok Randomisasi Lengkap

Rancangan blok randomisasi merupakan sebuah rancangan untuk menyelidiki

pengaruh satu atau lebih faktor bila seluruh percobaan tidak dapat dilakukan dengan

kondisi yang homogen. Sebagai contoh, misalkan kita ingin membandingkan pengaruh

empat bahan kimia yang berbeda pada kekuatan sebuah kain tertentu. Ini diketahui bahwa

pengaruh bahan kimia tersebut berbeda jenisnya dari satu kain dengan yang lainnya.

Dalam contoh ini, kita hanya punya satu faktor, yaitu jenis bahan kimia. Maka kita dapat

memilih tiga potong kain dan membandingkan empat bahan kimia di dalam kondisi yang

homogen diberikan dengan setiap potong kain.

Misalkan bahwa satu faktor dengan a tingkat diteliti, dan percobaan dilakukan

dalam b blok, observasi dapat disajikan dengan model linier secara statistik


i = 1, 2, ….., a ijjiijy j = 1, 2, ….., b (5.29)

dimana merupakan rata-rata keseluruhan, i adalah pengaruh perlakuan ke-i, j adalah

pengaruh blok ke-j, dan ij adalah error random NID(0, 2 ). Perlakuan dan blok adalah

faktor tetap. Selain itu, pengaruh perlakuan blok ditentukan sebagai deviasi rata-rata

keseluruhan. Kita tertarik untuk menguji pengaruh perlakuan, maka

H0 : 1 = 2 = …… = a = 0


Analisis varian untuk rancangan blok randomisasi lengkap ditampilkan pada Tabel 5.11.

Tabel 5.11 Analisis Varian untuk Rancangan Blok Randomisasi Lengkap

Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan


Perlakuan

SSperlakuan

a – 1

1a

SS perlakuan E

perlakuan

MS

MSF 0

Blok

SSBlok

b – 1 1b

SSBlok

Error

SSE

(a-1)(b-1) )1)(1( ba

SSE

Total SST ab-1


a

i

b

jijT ab

yySS

1 1

22 ..

(5.30)

ab

y

b

ySS

a

i

iperlakuan

2

1

2. ..

(5.31)

ab

y

a

ySS

b

j

jblok

2

1

2. ..

(5.32)

blokperlakuanTE SSSSSSSS (5.33)


Contoh 5.4

Suatu percobaan telah dilakukan untuk mempelajari pengaruh empat bahan kimia yang

berbeda pada kekuatan sebuah jenis khusus dari pabrik. Tiga contoh kain telah dipilih,

dan rancangan blok randomisasi telah diterapkan dengan menguji empat bahan kimia

dalam susunan random pada setiap contoh kain. Datanya ditampilkan pada Tabel 5.12.

Tabel 5.12 Data untuk Contoh 5.4

Bahan Kimia

Contoh Pabrik 1 2 3 yi.

1 1,3 1,6 0,5 3,4

2 2,2 2,4 0,4 5,0

3 1,8 1,7 0,1 3,6

4 3,9 4,4 2,2 10,5

y.j 9,2 10,1 3,2 y.. =22,5


62,1812

5,2281,60

.. 2

1 1

22

a

i

b

jijT ab

yySS

07,1112

5,22

3

5,06,354,3.. 222222

1

2.

ab

y

b

ySS

a

i

iperlakuan

03,712

5,22

4

2,31,102,9.. 22222

1

2.

ab

y

a

ySS

b

j

jblok

52,003,707,1162,18 blokperlakuanTE SSSSSSSS

Analisis variannya ditampilkan pada Tabel 5.13


Sumber Varian

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan


Bahan kimia 11,07 3 3,69 41,00a

Pabrik 7,03 2 3,52

Error 0,52 6 0,09

Total 18,62 11 a Nyata pada 1 persen


Jika diperhatikan persamaan (5.29), terlihat bahwa rancangan blok randomisasi

lengkap adalah sangat sama dengan model analisis varian dua arah, tapi tidak ada

interaksi. Setiap perlakuan muncul hanya sekali dalam setiap blok.

5.5 Soal Latihan

5-1. Data berikut menyajikan hasil proses reaksi kimia dengan beberapa penentuan

kondisi operasi (temperatur dan tekanan). Analisislah data tersebut dan gambarkan

kesimpulan yang cocok.

Temperatur (oC)

Tekanan (atm) 1 2 3

100 40,4 40,7 40,2 40,2 40,6 40,4

150 40,1 40,5 40,0 40,3 40,6 40,1

200 40,5 40,8 40,3 40,7 40,9 40,1

5-2. Seorang peneliti ingin mempelajari pengaruh kecepatan pengadukan dan ukuran biji

jarak pada proses ekstraksi minyak jarak dari bijinya. Ia memilih tiga kecepatan

pengadukan 200, 300 dan 400 rpm, serta secara random dipilih 2 ukuran biji jarak dari

beberapa yang tersedia. Analisislah data tersebut dan buatlah kesimpulannya. Perkirakan

komponen variannya.

Ukuran biji Kecepatan pengadukan (rpm) 200 300 400

1 74 73 78 64 61 85 50 44 92

2 92 98 66 86 73 45 68 88 85

5-3. Analisislah data yang ditunjukkan dalam tabel berikut, dengan asumsi bahwa kedua

faktor baris dan faktor kolom tetap.


Faktor Baris

Faktor Kolom 1 2 3

1 580 1090 1392 570 1085 1386

2 530 1070 1328 579 1000 1299

3 546 1045 1355 599 1066 1368

5-4. Persentase konsentrasi kekerasan kayu dalam bubur kayu, kebebasan dan

waktu memasak bubur kayu sedang dipelajari pengaruhnya pada kekuatan kertas.

Analisislah data yang ditunjukkan dalam tabel di atas, dengan asumsi bahwa

ketiga faktor tetap.

Konsentrasi

Kekerasan

Kayu (%)

Waktu Memasak

1,5 jam 2 jam

Kebebasan Kebebasan

400 500 650 400 500 650

10 96,6 97,7 99,4

96,0 96,0 99,8

98,4 99,6 100,6

98,6 100,4 100,9

15 98,5 96,0 98,4

97,2 96,9 97,6

97,5 98,7 99,6

98,1 98,0 99,0

20 97,5 95,6 97,2

96,6 96,2 98,1

97,6 97,0 98,5

98,4 97,8 99,8


DAFTAR PUSTAKA Hines, W.W., Montgomery, D.C., 1990, “Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen”, Alih Bahasa oleh Rudiansyah, Edisi Kedua, UI Press Hanafiah, K.A., 1991, “Rancangan Percobaan”, Edisi Ketiga, Raja Grafindo Persada, Jakarta Petersen, R.G., 1985, “Design and Analysis of Exsperiment”, Marcel Dekker Inc., New York Sudjana, 1995, “Desain dan Analisis Eksperimen”, Edisi IV, Tarsito, Bandung


Tabel I Distribusi Normal Standar Kumulatif


Tabel I Distribusi Normal Standar Kumulatif (lanjutan)


Tabel II Persentase Titik Distribusi X2


Tabel III Persentase Titik Distribusi t


Tabel IV Persentase Titik Distribusi F


Tabel IV Persentase Titik Distribusi F (Lanjutan)


Tabel V Range Nyata untuk Pengujian Range Berganda Duncan


Tabel V Range Nyata untuk Pengujian Range Berganda Duncan (Lanjutan)

Diktat Statistik2

Documents

Transcript of Diktat Statistik2