perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id MODEL ENDEMIK .../Model... · perpustakaan.uns.ac.id...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

MODEL ENDEMIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED

(SIR) DENGAN IMIGRASI, VAKSINASI DAN SANITASI

oleh

ANITA KESUMA ARUM

M0108030

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012

i


commit to user


commit to user

ABSTRAK

Anita Kesuma Arum. 2012. MODEL ENDEMIK SUSCEPTIBLE INFEC-

TED RECOVERED (SIR) DENGAN IMIGRASI VAKSINASI DAN SANITASI.

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Masalah penyebaran penyakit dapat dijelaskan dengan menggunakan mo-

del matematika. Model matematika yang dimaksud yaitu model SIR. Ada dua

jenis model SIR yaitu model epidemik SIR dan model endemik SIR. Model epi-

demik SIR tidak memperhatikan faktor kelahiran dan kematian karena penyakit

menyebar dalam waktu yang singkat, sedangkan model endemik SIR memper-

hatikan faktor kelahiran dan kematian karena penyakit menyebar dalam kurun

waktu yang lama. Imigrasi merupakan faktor yang dapat mempengaruhi penye-

baran penyakit. Selain faktor imigrasi, upaya pencegahan yang dilakukan seperti

program vaksinasi dan program sanitasi juga dapat mempengaruhi penyebaran

suatu penyakit.

Tujuan penulisan ini adalah mengkonstruksikan model endemik SIR dengan

imigrasi, vaksinasi dan sanitasi serta menentukan titik kesetimbangan dan tipe

kestabilan titik kesetimbangan tersebut.

Model SIR berupa sistem autonomous persamaan diferensial nonlinier orde

satu. Penyelesaian model tersebut berupa jumlah individu tiap kelompok S,I

dan R tiap saat. Penyelesaian dimana jumlah individu susceptible, infected dan

recovered tetap sepanjang waktu disebut titik kesetimbangan. Dari pembahas-

an diperoleh dua jenis titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan endemik

dan bebas penyakit. Untuk mengetahui kestabilan titik kesetimbangan dapat

dilihat dari nilai eigen matriks Jacobian sistem di titik kesetimbangan atau mela-

lui perilaku trajektori di sekitar titik kesetimbangan pada bidang fase. Simulasi

menunjukkan bahwa faktor sanitasi dapat menurunkan jumlah penderita serta

mempersingkat waktu yang dibutuhkan penyakit untuk menyebar dalam suatu

wilayah.

iii


commit to user

ABSTRACT

Anita Kesuma Arum. 2012. ENDEMIC SUSCEPTIBLE INFECTED RE-

COVERED (SIR) MODEL WITH IMMIGRATION VACCINATION AND SA-

NITATION. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret Uni-

versity.

The disease outbreak problem can be explained using a mathematical model.

The mathematical model mentioned is the model of SIR. There are two classic

SIR models, namely SIR epidemic model and SIR endemic model. SIR epidemic

models are used to describe the rapid outbreak, while the SIR endemic models are

used for studying disease over longer periods. Immigration is a factor that able to

influence the disease outbreak. In addition, prevention efforts such as vaccination

programs and sanitation programs can also affect the disease outbreak.

The purposes of this research are to construct model of endemic SIR with

immigration, vaccination and sanitation and to find the type of equilibrium points

and the stability of the equilibrium points.

The SIR model is an autonomous system of nonlinear first-order differential

equations. The solution of the model which the number of individuals susceptible,

infected and recovered are fixed all the time is called the equilibrium point. Based

on the discussion, there are two types of equilibrium point that is the point of

endemic equilibrium and disease-free equilibrium. The stability of the equilibrium

point can be obtained by the eigenvalue of the Jacobian matrix system at the

equilibrium point or through the behavioral trajectory around the equilibrium

point in the phase plane. Simulations show that the factor of sanitation can

reduce the number of infected individuals, and can shorten the time required for

the spread of disease within a region.

iv


commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari

bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis

mengucapkan terima kasih kepada

1. Bapak Dr. Sutanto, DEA. selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Purnami

Widyaningsih, M.App.Sc selaku Pembimbing II yang telah membimbing

dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini.

2. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.

Surakarta, September 2012

Penulis

v


commit to user

PERSEMBAHAN

Sebuah karya sederhana ini kupersembahkan untuk

Bapak, Ibu, Kakak, serta saudara kembar saya sebagai wujud atas doa,

semangat, dan pengorbanan yang diberikan.

vi


commit to user

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II LANDASAN TEORI 5

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Sistem Autonomous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Bidang Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Model Endemik SIR dengan Imigrasi dan Vaksinasi . . . . 7

2.2.4 Kesetimbangan dan Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . 9

vii


commit to user

2.3 Kerangka Berpikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IIIMETODE PENELITIAN 14

IVPEMBAHASAN 16

4.1 Konstruksi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Penerapan Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

V PENUTUP 27

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

DAFTAR PUSTAKA 29

viii


commit to user

DAFTAR TABEL

2.1 Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen . . . . . . . . . . . . . 12

4.1 Nilai puncak endemik dengan simulasi nilai H . . . . . . . . . . . 26

ix


commit to user

DAFTAR GAMBAR

2.1 Dinamika populasi model endemik SIR dengan imigrasi dan vak-

sinasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Trajektori pada bidang fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 Dinamika populasi model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sa-

nitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Jumlah individu S dan R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Jumlah individu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Trajektori di sekitar titik kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5 Penurunan puncak endemik H=0 (kiri), H=0.25,0.5,0.75,1 (kanan) 26

x


commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Penyakit infeksi seperti rubella, measles, mumps, pertussis, cacar air dan

hepatitis merupakan penyakit infeksi yang berbahaya. Kinbaby [13] menyebut-

kan bahwa penyakit tersebut berbahaya karena dapat mengakibatkan komplikasi,

kerusakan organ tubuh, cacat, kelumpuhan bahkan kematian. Penyakit tersebut

disebabkan oleh virus yang dapat menyerang siapa saja. Penyebaran penyakit

ini dapat melalui udara, batuk atau bersin, makanan, minuman dan kotoran

manusia. Bagi anak-anak gejala yang ditimbulkan dari penyakit ini memang

tidak begitu berbahaya, namun pada orang dewasa khususnya pada ibu hamil

gejala tersebut bisa menjadi sangat berbahaya.

Piccolo dan Billings [15] menyebutkan penyakit infeksi seperti cacar air,

rubella, measles, mumps dan pertussis merupakan masalah yang dihadapi setiap

negara di dunia. Pada kota-kota besar imigrasi merupakan suatu hal yang wajar

dan sering terjadi, sehingga faktor imigran menjadi salah satu faktor yang dapat

mempengaruhi penyebaran suatu penyakit di wilayah tersebut. Individu baru

yang masuk ke suatu wilayah mungkin membawa penyakit dari daerah sebelum-

nya, sehingga individu tersebut dapat menularkan penyakit pada individu lain

dalam daerah baru.

Penyakit infeksi tersebut bersifat endemik yaitu menyebar dalam kurun

waktu yang lama, sehingga dapat menimbulkan kerugian yang cukup besar. De-

ngan demikian perlu dilakukan upaya untuk menurunkan jumlah penderita. Upa-

ya pencegahan penyebaran penyakit dapat dilakukan dengan vaksinasi. Vaksinasi

diberikan pada individu susceptible atau individu yang rentan terhadap penyakit.

Program vaksinasi diharapkan dapat meningkatkan imunitas tubuh, sehingga in-

1


commit to user

dividu menjadi kebal terhadap suatu penyakit. Menurut WHO [16], pemberian

vaksin MMR (Measles, Mumps, Rubella) telah terbukti dapat menekan jumlah

kematian yang disebabkan penyakit measles, mumps dan rubella.

Pada umumnya, suatu penyakit akan cepat menyebar apabila didukung oleh

keadaan lingkungan yang tidak sehat. Lingkungan yang tidak sehat ini dikare-

nakan kurangnya akses masyarakat terhadap sanitasi serta kurangnya pelayanan

kesehatan pada daerah tersebut. Menurut CDC [17], pada dasarnya sanitasi di-

gambarkan sebagai suatu akses terhadap fasilitas pembuangan yang aman dari

kotoran manusia (tinja dan urine), serta memiliki kemampuan untuk memper-

tahankan kondisi higienis. Hetchote [9] menyebutkan bahwa, perbaikan sanitasi

dapat mengurangi laju penyebaran penyakit. Upaya pencegahan penyebaran

penyakit dapat dilakukan dengan meningkatkan sanitasi seperti mencegah ter-

kontaminasinya makanan dan air oleh tinja, mencuci tangan setelah buang air

besar dan sebelum makan, menjaga kebersihan saluran pembuangan, pengelolaan

sampah rumah tangga serta gaya hidup sehat.

Menurut CDC [17], sanitasi total meliputi sumber air bersih, gaya hidup se-

hat dan saluran pembuangan. Tingkat sanitasi dapat dilihat dari jumlah individu

yang sakit tiap tahunnya. Hal ini berkorelasi dengan fasilitas sanitasi yang ada

pada suatu daerah. Apabila di daerah tersebut banyak individu yang sakit tiap

tahunnya, maka tingkat sanitasi di daerah tersebut kurang baik dan begitu pula

sebaliknya. Guimaraens dan Codeco [6] menyebutkan bahwa daerah yang memi-

liki tingkat sanitasi rendah dapat menyebabkan endemik bagi penyakit hepatitis

A. Selain hepatitis A, penyakit cacar air juga menjadi endemik pada daerah yang

memikiki tingkat sanitasi yang rendah.

Masalah penyebaran penyakit dengan upaya pencegahannya dapat digam-

barkan dengan model matematika. Masalah tersebut dibentuk ke dalam model

matematis dengan asumsi-asumsi dan parameter yang telah ditentukan. Pada

beberapa kasus, individu yang rentan penyakit dapat terinfeksi. Kemudian de-

ngan pengobatan medis atau proses alam, individu terinfeksi akan sembuh dan

diharapkan kebal terhadap penyakit. Menurut Kermak dan McKendrick [11],

2


commit to user

pola penyebaran penyakit seperti ini dapat dijelaskan melalui model susceptible,

infected, recovered (SIR).

Menurut Hethcote [8] ada dua model SIR klasik yaitu model epidemi SIR

dan model endemik SIR. Karena penyakit ini bersifat endemik maka permasa-

lahan penyebaran penyakit ini dapat dimodelkan dengan model endemik SIR.

Kermack dan McKendrick [11] menyebutkan bahwa model endemik SIR berben-

tuk sistem autonomous persamaan diferensial nonlinier orde satu. Penyelesaian

sistem tersebut menyatakan jumlah individu susceptible (S ), infected (I ) dan

recovered (R) setiap saat. Dengan demikian penyelesaian sistem tersebut dapat

menjelaskan tentang bagaimana penyebaran penyakit pada suatu wilayah. Penye-

lesaian sistem dengan sifat tertentu dimana jumlah individu susceptible, infected

dan recovered tetap sepanjang waktu disebut titik kesetimbangan. Selanjutnya

perlu diketahui sifat kestabilan dari titik kesetimbangan tersebut untuk menge-

tahui bagaimana perilaku penyelesaian di sekitar titik kesetimbangan tersebut.

Piccolo dan Billings [15] telah meneliti tentang model endemik susceptible,

infected, recovered SIR yang mempertimbangkan faktor imigrasi dan vaksinasi

dengan keefektifan vaksin 100%. Dalam hal ini, penulis ingin mengembangkan

model endemik susceptible, infected, recovered (SIR) yang mempertimbangkan

faktor imigrasi dan vaksinasi dengan keefektifan vaksin yang tidak 100% serta

menambahkan faktor sanitasi dalam model. Selain itu penulis juga tertarik un-

tuk mengetahui titik kesetimbangan serta kestabilan titik kesetimbangan model

tersebut. Kemudian diberikan pula suatu contoh kasus untuk menginterpretasi-

kan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan dapat diambil tiga perumusan

masalah yaitu

1. bagaimana menurunkan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan

sanitasi?

3


commit to user

2. bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan di titik kese-

timbangan?

3. bagaimana interpretasi model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan

sanitasi pada suatu kasus?

1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, permasalahan dibatasi hanya pada fungsi sanitasi

dengan nilai konstanta proporsionalitas pada fungsi tersebut lebih kecil atau sama

dengan tingkat rata-rata kontaknya.

1.4 Tujuan

Penelitian ini bertujuan untuk

1. menurunkan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi,

2. menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan di titik kesetimbangan,

3. menginterpretasikan model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan

sanitasi pada suatu kasus.

1.5 Manfaat

Penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan tentang pengaruh

imigrasi, vaksinasi, serta sanitasi terhadap penyebaran penyakit dilihat dari sudut

pandang matematika.

4


commit to user

Bab II

LANDASAN TEORI

Pada bagian ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi penelitian sebe-

lumnya yang mendasari penelitian ini, teori penunjang yang berisi definisi dan

teori yang diperlukan serta kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran

penulisan skripsi.

2.1 Tinjauan Pustaka

Model SIR pertama kali diperkenalkan pada tahun 1927 oleh Kermack dan

McKendrick [11]. Model ini berbentuk sistem autonomous persamaan diferensial.

Menurut Hethcote [8], ada dua model SIR yaitu model epidemik SIR dan model

endemik SIR. Model epidemik SIR digunakan untuk menggambarkan penyebaran

suatu penyakit yang bersifat epidemik, sedangkan model endemik SIR digunakan

untuk menggambarkan penyebaran suatu penyakit yang bersifat endemik. Model

SIR sendiri telah dikembangkan oleh beberapa ilmuwan lain seperti Piccolo dan

Billings [15], Guimaraens dan Codeco [6] untuk mempelajari penyebaran penyakit

pada kasus-kasus tertentu.

Dalam artikelnya, Piccolo dan Billings [15] telah mempelajari tentang pe-

ngaruh vaksinasi pada model SIR dengan imigrasi. Vaksinasi pada model tersebut

memiliki keefektifan vaksin 100%. Kemudian pada tahun 2005, dalam artikelnya

Guimaraens dan Codeco [6] meneliti tentang pengaruh sanitasi pada penyebaran

penyakit dengan model SIR dengan vaksinasi. Mereka mempelajari tentang pe-

nyebaran penyakit hepatitis A pada masyarakat Brazil yang sangat kurang dalam

pelayanan kesehatan dan kebersihan.

Penulis tertarik untuk mengembangkan model SIR dengan mempertim-

bangkan faktor imigrasi dan vaksinasi seperti yang dikembangkan oleh Piccolo

5


commit to user

dan Billings [15], namun dengan keefektifan vaksin yang tidak 100%. Kemudian

model tersebut ditambahkan dengan faktor sanitasi seperti yang ditulis oleh Gui-

maraens dan Codeco [6]. Hal tersebut merupakan pengembangan dari yang telah

dilakukan Arum dan Kuntari [1] yang membahas tentang simulasi level sanitasi

pada model SIR dengan imigrasi dan vaksinasi.

2.2 Teori Penunjang

Pada bagian ini dijelaskan definisi dan teori yang mendukung dalam menca-

pai tujuan penulisan. Selanjutnya diberikan definisi sistem autonomous, bidang

fase, model endemik SIR dengan imigrasi dan vaksinasi, kesetimbangan serta

kestabilan.

2.2.1 Sistem Autonomous

Sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu yang terdiri dari tiga

persamaan mempunyai bentuk umum

dS

dt=f1(S, I, R)

dI

dt=f2(S, I, R)

dR

dt=f3(S, I, R),

(2.1)

dengan variabel S, I, dan R bergantung pada t. Fungsi f1, f2, f3 merupakan per-

samaan nonlinear yang kontinu. Dengan demikian ada jaminan bahwa sistem

(2.1) memiliki penyelesaian. Menurut Boyce [3], suatu sistem persamaan diferen-

sial dimana variabel bebas t tidak muncul secara eksplisit pada f1, f2, f3 disebut

sistem autonomous.

2.2.2 Bidang Fase

Farlow [4] menyebutkan bahwa tidak semua sistem persamaan nonlinear

dapat diselesaikan dengan mudah. Oleh karena itu dibutuhkan suatu alat yang

6


commit to user

dapat membantu memberikan informasi tentang perilaku penyelesaian sistem no-

nlinier tersebut. Dalam hal ini trajektori pada bidang fase dapat digunakan untuk

mengetahui perilaku penyelesaian sistem.

Sistem (2.1) terdiri dari tiga persamaan diferensial orde satu yaitu

dS

dt= f1(S, I, R),

dI

dt= f2(S, I, R),

dR

dt= f3(S, I, R).

Sistem (2.1) memiliki tiga kemungkinan persamaan bidang fase yaitu dSdI,dSdR

, dan

dIdR

. Ambil contoh persamaan bidang fase dSdI. Persamaan bidang fase dS

dIyaitu

dS

dI=

f1(S, I, R)

f2(S, I, R). (2.2)

Penyelesaian persamaan bidang fase (2.2) tersebut dapat digambarkan sebagai

kurva pada bidang S−I. Untuk selanjutnya bidang S−I tersebut disebut bidang

fase. Sedangkan kurva yang dibentuk oleh penyelesaian persamaan bidang fase

(2.2) yang disajikan pada bidang fase disebut trajektori.

2.2.3 Model Endemik SIR dengan Imigrasi dan

Vaksinasi

Penyakit yang bersifat endemik merupakan suatu penyakit yang menyebar

pada suatu wilayah tertentu dalam kurun waktu yang lama. Menurut Hethcote

[8], penyebaran penyakit endemik dapat dimodelkan kedalam model matematika

yang disebut model endemik SIR. Karena terjadi dalam kurun waktu yang lama,

faktor kelahiran dan kematian diperhatikan dalam model tersebut. Kemudian

Piccolo dan Bilings [15] mengembangkan model endemik SIR dengan menam-

bahkan faktor imigran dan vaksinasi. Dalam hal ini imigrasi dan program vak-

sinasi juga memberikan pengaruh pada penyebaran suatu penyakit.

Menurut Hethcote [8], populasi pada model endemik SIR dengan imigrasi

dan vaksinasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok individu susceptible

atau individu yang rentan penyakit (S), kelompok individu infected atau individu

yang terinfeksi penyakit serta dapat menyebarkan penyakit ke sejumlah individu

lain (I) dan kelompok individu recovered atau individu yang sudah sembuh atau

7


commit to user

bebas dari penyakit (R). Berikut adalah asumsi yang digunakan pada model

endemik SIR dengan imigrasi dan vaksinasi.

1. Jumlah individu pada populasi konstan.

2. Setiap individu lahir dan imigran dalam keadaan sehat tetapi rentan pe-

nyakit.

3. Populasi bercampur secara homogen, artinya setiap individu memiliki ke-

mungkinan yang sama tertular suatu penyakit.

4. Hanya satu penyakit yang menyebar dalam populasi dengan masa inkubasi

penyakit diabaikan.

5. Tidak terjadi emigrasi pada daerah tersebut.

6. Vaksinasi hanya diberikan pada individu susceptible, dengan keefektifan

vaksin 100%.

Karena diasumsikan populasi konstan, sehingga jumlah individu pada po-

pulasi tersebut tetap atau S(t)+I(t)+R(t) = N . Misal tingkat kelahiran sebesar

µ1, dan tingkat individu imigran sebesar µ2. Oleh karena itu jumlah individu lahir

dan jumlah individu imigran pada daerah tersebut sebesar µ1N dan µ2N . Ting-

kat kematian dalam tiap kelompok sama dengan tingkat kelahiran dan tingkat

imigrasi yaitu (µ1+µ2). Misal tingkat vaksinasi pada individu lahir dan individu

imigran sebesar σ1 dan σ2. Dengan demikian jumlah individu lahir dan imigran

yang divaksin yaitu sebesar σ1µ1N dan σ2µ2N . Karena diasumsikan bahwa ke-

efektifan vaksin 100%, maka individu yang telah berhasil divaksin langsung ma-

suk pada kelompok R.

Individu dapat terinfeksi suatu penyakit jika ada kontak antara individu

infected dengan susceptible. Misal tingkat rata-rata kontak sebesar β dan tingkat

kesembuhan penyakit sebesar γ. Karena setiap individu memiliki kemungkinan

yang sama tertular suatu penyakit, maka kemungkinan jumlah individu suscep-

tible yang pindah ke kelompok I sebesar βSI

N. Sedangkan jumlah individu yang

sembuh sebesar γI. Dinamika populasi model endemik SIR dengan imigrasi dan

8


commit to user

vaksinasi disajikan dalam Gambar 2.1. Perubahan jumlah individu S, I dan R

Gambar 2.1. Dinamika populasi model endemik SIR dengan imigrasi dan

vaksinasi

setiap saat disajikan sebagai

dS

dt= (µ1 + µ2)N − (µ1 + µ2)S −

βSI

N− (σ1µ1 + σ2µ2)

dI

dt=

βSI

N− (µ1 + µ2)I − γI

dR

dt= γI − (µ1 + µ2)R + (σ1µ1 + σ2µ2).

(2.3)

Sistem persamaan diferensial (2.3) merupakan model endemik SIR dengan vak-

sinasi dan imigrasi.

2.2.4 Kesetimbangan dan Kestabilan

Panfilov [14] menyebutkan bahwa titik kesetimbangan dari suatu sistem

merupakan suatu titik saat sistem tidak mengalami perubahan sepanjang wak-

tu. Definisi titik kesetimbangan secara matematis disajikan pada Definisi 2.2.1

berikut.

Definisi 2.2.1. Titik (S∗, I

∗, R

∗) merupakan titik kesetimbangan sistem (2.1) jika

memenuhi

f1(S∗, I

∗, R

∗) = f2(S∗, I

∗, R

∗) = f3(S∗, I

∗, R

∗) = 0.

Titik kesetimbangan merupakan salah satu penyelesaian dari suatu sistem

persamaan diferensial. Perilaku kestabilan di sekitar titik kesetimbangan dapat

9


commit to user

memberikan informasi tentang perilaku penyelesaian sistem tersebut. Menurut

Finizio dan Ladas [5], titik kesetimbangan yang stabil berarti jika terjadi per-

ubahan kecil pada titik kesetimbangan maka akan memberikan pengaruh kecil

pada penyelesaian. Sedangkan stabil asimtotis berarti pengaruh dari perubahan

kecil tersebut cenderung menghilang, dan suatu titik kesetimbangan yang tidak

stabil berarti perubahan kecil yang terjadi pada titik kesetimbangan tersebut

memiliki pengaruh besar dalam penyelesaiannya.

Jika (S, I, R) merupakan suatu titik disekitar titik kesetimbangan (S∗, I

∗, R

∗)

pada sistem (2.1), maka (S, I, R) secara matematis dapat dituliskankan sebagai

(S, I, R) = (S∗ +∆S, I∗ +∆I, R

∗ +∆R).

Dengan demikian perubahan titik kesetimbangan pada sistem (2.1) dapat

dituliskan sebagai

dS

dt=f1(S

∗ +∆S, I∗ +∆I, R

∗ +∆R)

dI

dt=f2(S

∗ +∆S, I∗ +∆I, R

∗ +∆R)

dR

dt=f3(S

∗ +∆S, I∗ +∆I, R

∗ +∆R).

(2.4)

Menurut Khamsi [12], fungsi nonlinear f1, f2, f3 pada sistem (2.4) dapat didekati

dengan menggunakan ekspansi deret Taylor

f1(S, I,R) ≈ f1(S∗, I∗, R∗) + (S − S∗)

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂S+ (I − I∗)

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂I+

(R −R∗)∂f1(S

∗, I∗, R∗)

∂R

f2(S, I,R) ≈ f2(S∗, I∗, R∗) + (S − S∗)

∂f2(S∗, I∗, R∗)

∂S+ (I − I∗)

∂f2(S∗, I∗, R∗)

∂I+

(R −R∗)∂f2(S

∗, I∗, R∗)

∂R

f3(S, I,R) ≈ f3(S∗, I∗, R∗) + (S − S∗)

∂f3(S∗, I∗, R∗)

∂S+ (I − I∗)

∂f3(S∗, I∗, R∗)

∂I+

(R −R∗)∂f3(S

∗, I∗, R∗)

∂R.

Karena (S∗, I

∗, R

∗) merupakan titik kesetimbangan maka berdasarkan

Definisi 2.2.1 berlaku

f1(S∗, I

∗, R

∗) = f2(S∗, I

∗, R

∗) = f3(S∗, I

∗, R

∗) = 0.

10


commit to user

Dengan demikian sistem (2.1) dapat didekati sebagai sistem linear

dS

dt=

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂S∆S +

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂I∆I +

∂f1(S∗, I∗, R∗)

∂R∆R

dI

dt=

∂f2(S∗, I∗, R∗)

∂S∆S +

∂f2(S∗, I∗, R∗)

∂I∆I +

∂f2(S∗, I∗, R∗)

∂R∆R

dR

dt=

∂f3(S∗, I∗, R∗)

∂S∆S +

∂f3(S∗, I∗, R∗)

∂I∆I +

∂f3(S∗, I∗, R∗)

∂R∆R.

(2.5)

Sistem linear (2.5) dapat disajikan dalam bentuk matriks

dSdt

dIdt

dRdt

=

∂f1(S∗,I∗,R∗)∂S

∂f1(S∗,I∗,R∗)∂I

∂f1(S∗,I∗,R∗)∂R

∂f2(S∗,I∗,R∗)∂S

∂f2(S∗,I∗,R∗)∂I

∂f2(S∗,I∗,R∗)∂R

∂f3(S∗,I∗,R∗)∂S

∂f3(S∗,I∗,R∗)∂I

∂f3(S∗,I∗,R∗)∂R

∆S

∆I

∆R

= J(S∗, I

∗, R

∗)

∆S

∆I

∆R

.

(2.6)

Matriks J(S∗, I

∗, R

∗) pada sistem (2.6) merupakan matriks Jacobian. Menurut

Bellomo dan Preziosi [2] nilai eigen dari matriks Jacobian pada sistem (2.6) dapat

digunakan untuk menentukkan tipe kestabilan di titik kesetimbangan. Berikut

ini teorema yang menyatakan hal tersebut.

Teorema 2.2.1. Jika λi merupakan nilai eigen matriks Jacobian J(S∗, I

∗, R

∗)

yang dievaluasi pada titik kesetimbangan (S∗, I

∗, R

∗) dan Re(λi) adalah real dari

λi maka

1. untuk setiap Re(λi) < 0, (S∗, I

∗, R

∗) disebut stabil asimtotis,

2. untuk setiap Re(λi) > 0, (S∗, I

∗, R

∗) disebut tidak stabil.

Kriteria kestabilan titik kesetimbangan berdasarkan nilai eigen dari ma-

triks Jacobian disajikan pada Tabel 2.1. Selain dengan menggunakan nilai eigen

matriks Jacobian, kestabilan titik kesetimbangan dapat dilihat dari perilaku tra-

jektori pada bidang fase. Menurut Haberman [7] apabila arah trajektori menuju

titik kesetimbangan maka titik kesetimbangan tersebut stabil, sebaliknya apabila

arah trajektori menjauhi titik kesetimbangan maka titik kesetimbangan tersebut

tidak stabil. Trajektori pada bidang fase disajikan pada Gambar 2.2.

11


commit to user

Tabel 2.1. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen

Nilai eigen. Titik Kestabilan

real, tidak sama, simpul stabil asimtotis : semuanya negatif

bertanda sama tidak stabil : semuanya positif

real, tidak sama, sadel tidak stabil

berlawanan tanda

real, sama simpul stabil asimtotis : semuanya negatif

tidak stabil : jika semuanya positif

kompleks konjugate spiral stabil asimtotis : bagian real negatif

bukan imajiner murni tidak stabil : bagian real positif

imajiner murni pusat stabil

2.3 Kerangka Berpikir

Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun kerangka pemikiran sebagai

berikut. Model susceptible, infected, recovered (SIR) merupakan salah satu model

matematika yang menyatakan pola penyebaran penyakit. Dengan asumsi-asumsi

tertentu model tersebut dapat digunakan untuk masalah yang memenuhi asumsi

tersebut.

Penyakit infeksi seperti hepatitis, rubella, measles, mumps, hepatitis, cacar

air dan pertussis merupakan penyakit infeksi yang dapat dimodelkan dengan

model SIR. Penyakit tersebut bersifat endemik, oleh karena itu faktor kelahiran,

kematian perlu diperhatikan dalam model. Selanjutnya individu imigran juga

dapat mempengaruhi penyebaran suatu penyakit, untuk itu faktor imigrasi perlu

diperhatikan dalam model.

Upaya penekanan laju penyebaran penyakit dapat dilakukan dengan vak-

sinasi. Dengan demikian, untuk selanjutnya vaksinasi juga akan diperhatikan

dalam model. Namun pada nyatanya, pemberian vaksin saja tidak cukup un-

tuk menurunkan jumlah penderita. Hal ini dikarenakan beberapa faktor, seperti

keefektivitasan vaksinasi dan faktor sanitasi yang kurang baik. Pada beberapa

penyakit infeksi seperti cacar air, faktor sanitasi merupakan suatu faktor yang

12


commit to user

Gambar 2.2. Trajektori pada bidang fase

sangat berpengaruh dalam penyebaran penyakit. Oleh karena itu faktor sanitasi

akan dimasukkan ke dalam model.

Model endemik SIR berupa sistem autonomous persamaan diferensial non-

linear orde satu. Perilaku sistem dapat diamati dengan menganalisis kestabilan

di titik kesetimbangannya. Tipe kestabilan pada model SIR dapat ditentukan

dari nilai eigen matriks Jacobian di titik kesetimbangan atau dapat diamati dari

perilaku trajektori di sekitar titik kesetimbangan pada bidang fase. Selanjutnya

model diinterpretasikan dalam permasalahan nyata.

13


commit to user

Bab III

METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi

literatur. Langkah-langkah yang dilakukan untuk mencapai tujuan dalam pene-

litian ini adalah sebagai berikut.

1. Mempelajari keadaan, perilaku, interaksi, serta kejadian dalam suatu popu-

lasi konstan dimana terdapat individu imigran dengan individu didalamnya

telah diberi vaksinasi, dan program sanitasi.

2. Menentukan asumsi, dan parameter yang diperlukan untuk mengkonstruksi

model.

3. Mengkonstruksi model berdasarkan asumsi, dan parameter yang telah di-

tentukan.

Langkah 1-3 dilakukan untuk mencapai tujuan pertama.

4. Menentukan titik kesetimbangan dari model SIR dengan imigrasi, vaksinasi

dan sanitasi menggunakan Definisi 2.2.1

5. Menganalisis tipe kestabilan di titik kesetimbangan menggunakan Teorema

7.1 dan Tabel 2.1.

Langkah 4-5 dilakukan untuk mencapai tujuan kedua.

6. Menentukan nilai parameter pada contoh yang diamati kemudian menen-

tukan titik kesetimbangan serta kestabilan di titik kesetimbangan.

7. Menggambarkan grafik penyelesaian untuk membantu mendeskripsikan pe-

rilaku penyelesaian model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi.

8. Melakukan simulasi numerik menggunakan nilai parameter yang bervariasi

untuk mengetahui perubahan puncak endemik.

14


commit to user

9. Membandingkan hasil-hasil perubahan puncak endemik yang diperoleh dari

langkah (8)

10. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh.

Langkah 6-10 dilakukan untuk mencapai tujuan ketiga.

15


commit to user

Bab IV

PEMBAHASAN

4.1 Konstruksi Model

Konstruksi model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi

mengacu pada Piccolo dan Billings [15]. Penyebaran penyakit terjadi pada suatu

daerah dengan asumsi dasar yang sama dengan asumsi pada model endemik SIR

dengan imigrasi dan vaksinasi menurut Piccolo dan Billings [15].

Telah diasumsikan populasi konstan, sehingga jumlah individu pada popu-

lasi tersebut tetap atau S(t)+ I(t)+R(t) = N . Tingkat kelahiran pada populasi

tersebut sebesar µ1, sedangkan tingkat individu yang masuk ke daerah tersebut

(imigran) sebesar µ2. Tingkat kematian dalam tiap kelompok sama dengan de-

ngan tingkat kelahiran dan tingkat imigrasi yaitu (µ1 + µ2). Tingkat vaksinasi

pada individu lahir adalah σ1, sedangkan tingkat vaksinasi pada individu imigran

adalah σ2 dengan 0 ≤ σ1 ≤ 1 dan 0 ≤ σ2 ≤ 1. Pada Piccolo dan Billings [15] di-

asumsikan keefektifan vaksin 100%, namun pada penelitian ini diasumsikan bah-

wa keefektifan vaksin tidak 100%. Oleh karena itu terdapat individu yang gagal

vaksin dengan tingkat kegagalan vaksin sebesar θ. Tingkat kegagalan vaksin ter-

sebut bernilai 0 ≤ θ ≤ 1. Individu yang telah berhasil divaksin langsung masuk

pada kelompok R, sedangkan individu yang mengalami kegagalan vaksin kembali

ke kelompok S.

Penyakit yang menyebar pada daerah tersebut bersifat endemik atau me-

nyebar dalam jangka waktu lama. Banyaknya jumlah individu infected tentunya

akan membawa kerugian yang besar bagi daerah tersebut. Untuk itu perlu di-

lakukan suatu cara untuk menurunkan jumlah individu infected. Usaha untuk me-

nurunkan jumlah individu infected dapat dilakukan dengan menurunkan tingkat

kontak rata-rata. Menurut Hethcote [8] faktor sanitasi dapat menurunkan ting-

16


commit to user

kat kontak rata-rata tersebut. Guimaraens dan Codeco [6] menyebutkan bahwa

faktor sanitasi merupakan suatu fungsi linear kontinu yang mendeskripsikan efek

sanitasi terhadap tingkat kontak rata-rata. Dengan demikian fungsi tersebut

dapat didefinisikan sebagai c(H) = β−αH , dengan β merupakan tingkat kontak

rata-rata, α merupakan sebuah konstanta proporsionalitas yang bernilai 0 < α ≤

β dan H merupakan tingkat sanitasi yang bernilai 0 ≤ H ≤ 1. Oleh karena

itu kemungkinan jumlah individu susceptible yang pindah ke kelompok I sebesar

(β−αH)SIN

.

Perubahan jumlah individu kelompok S setiap saat adalah jumlah individu

lahir serta imigran sebesar (µ1 + µ2)N dikurangi dengan jumlah individu lahir

dan imigran yang telah sukses divaksin sebesar (1 − θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N . Jumlah

individu kelompok S juga berkurang karena adanya individu yang terinfeksi atau

pindah ke kelompok I sebesar(β−αH)SI

Nserta adanya kematian pada kelompok S

sejumlah (µ1+µ2)S. Oleh karena itu perubahan jumlah individu pada kelompok

S setiap saat dapat diekspresikan sebagai

dS

dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −

(β − αH)SI

N. (4.1)

Individu pada kelompok I berasal dari individu pada kelompok S yang

terinfeksi sebesar(β−αH)SI

N. Jumlah individu pada kelompok I berkurang karena

adanya kematian alami yang terjadi pada kelompok I sebesar (µ1 + µ2)I dan

adanya individu yang sembuh. Misal tingkat kesembuhan γ, jumlah individu

yang sembuh dan ke dalam kelompok R sejumlah γI. Perubahan jumlah individu

pada kelompok I setiap saat dapat diekspresikan sebagai

dI

dt=

(β − αH)SI

N− (µ1 + µ2)I − γI. (4.2)

Individu pada kelompok R berasal dari jumlah individu yang telah berhasil

divaksin (baik individu lahir maupun imigran) dan jumlah individu yang sembuh

sebesar γI. Jumlah individu pada kelompok R berkurang dengan adanya kema-

tian pada kelompok R sebesar (µ1 + µ2)R. Dengan demikian perubahan jumlah

individu pada kelompok R setiap saat dapat diekspresikan sebagai

dR

dt= (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N + γI − (µ1 + µ2)R. (4.3)

17


commit to user

Dinamika populasi model SIR dengan imigrasi dan vaksinasi disajikan dalam

Gambar 4.1. Dari persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) diperoleh model endemik

Gambar 4.1. Dinamika populasi model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan

sanitasi

SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi yang dinyatakan sebagai

dS

dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −

(β − αH)SI

N

dI

dt=

(β − αH)SI

N− (µ1 + µ2)I − γI

dR

dt= (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N + γI − (µ1 + µ2)R.

(4.4)

Sistem persamaan diferensial (4.4) merupakan model endemik SIR dengan imi-

grasi, vaksinasi dan sanitasi dengan parameter µ1, µ2, β, γ bernilai positif dan α

merupakan suatu konstanta proporsionalitas. Penyelesaian dari sistem (4.4) be-

rupa S(t), I(t) dan R(t) yang menyatakan jumlah individu pada kelompok S,I,R

setiap saat. Hal ini dapat digunakan untuk menjelaskan tentang penyebaran

suatu penyakit.

4.2 Titik Kesetimbangan

Panfilov [14] menyebutkan bahwa titik kesetimbangan dari suatu sistem

merupakan suatu titik saat sistem tidak mengalami perubahan sepanjang waktu.

Pada sistem (4.4) variabel R tidak muncul pada kedua persamaan lainnya, hal ini

menunjukkan bahwa jumlah individu pada kelompok R tidak mempengaruhi laju

18


commit to user

perubahan individu pada kelompok S dan I. Karena diasumsikan bahwa populasi

konstan S(t) + I(t) + R(t) = N, maka nilai R(t) dapat diketahui apabila nilai

S(t) dan I(t) diketahui. Oleh karena itu sistem (4.4) dapat ditulis sebagai

dS

dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −

(β − αH)SI

N

dI

dt=

(β − αH)SI

N− (µ1 + µ2)I − γI.

Dengan demikian berdasarkan Definisi 2.2.1 sistem akan setimbang jika

dS

dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −

(β − αH)SI

N= 0

dI

dt=

(β − αH)SI

N− (µ1 + µ2)I − γI = 0.

Karena pada sistem (4.4) terdapat suatu fungsi c(H) = β − αH dengan 0 ≤

H ≤ 1, maka sulit untuk menentukan titik kesetimbangannya. Sehingga harus

dimasukkan suatu nilai H ke dalam sistem (4.4) agar dapat ditentukan titik

kesetimbangannya. Untuk selanjutnya titik kesetimbangan hanya akan diselidiki

pada H = 1. Hal ini dilakukan untuk mengetahui titik kesetimbangan dengan

sanitasi maksimal (H = 1). Sedangkan untuk 0 ≤ H < 1 akan diselidiki melalui

simulasi.

Untuk sanitasi maksimal atau H = 1, sistem (4.4) memenuhi keadaan se-

timbang jika

dS

dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −

(β − α)SI

N= 0

dI

dt=

(β − α)SI

N− (µ1 + µ2)I − γI = 0.

Karena S + I + R = N maka nilai R dapat diperoleh jika nilai S dan I telah

diperoleh. Dari persamaan (4.2) diperoleh dua jenis titik kesetimbangan dilihat

dari ada tidaknya individu pada kelompok I.

1. Titik kesetimbangan bebas penyakit

E0 = (S0, I0, R0) =(

(µ1+µ2)N−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)Nµ1+µ2

, 0,(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N

µ1+µ2

)

.

Nilai I0 = 0 menunjukkan bahwa tidak ada individu pada kelompok I saat

sistem dalam keadaan setimbang. Oleh karena itu pada kondisi ini penyakit

sudah tidak menyebar lagi atau bebas penyakit.

19


commit to user

2. Titik kesetimbangan endemik

Ee =(

Se, Ie, Re

)

dengan

Se =(γ + µ1 + µ2)N

β − α

Ie =(µ1 + µ2)N − (1− θ)(µ1σ1 + µ2σ2)N − (µ1+µ2)(γ+µ1+µ2)N

β−α

(γ + µ1 + µ2)

Re =N − Se − Ie

Nilai Ie yang tidak nol menunjukkan bahwa terdapat sejumlah individu

pada kelompok I yang menyebarkan penyakit dan menyebabkan endemik.

4.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan

Menurut Bellomo dan Presziosi [2], kestabilan dari suatu sistem persamaan

diferensial dapat ditentukan berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian sistem yang

dievaluasi pada titik kesetimbangannya. Karena diasumsikan populasi konstan

S + I + R = N, nilai R dapat diketahui apabila nilai S dan I telah diketahui.

Dengan demikian sistem (4.4) dapat ditulis sebagai

dS

dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −

(β − αH)SI

N

dI

dt=

(β − αH)SI

N− (µ1 + µ2)I − γI.

(4.5)

Matriks Jacobian dari sistem (4.5) adalah

J =

− (β−αH)IN

− µ1 − µ2 − (β−αH)SN

(β−αH)IN

(β−αH)SN

− γ − µ1 − µ2

.

Seperti pada titik kesetimbangan, harus dimasukkan suatu nilai H pada

sistem (4.5) agar dapat ditentukan nilai eigen dari matriks J . Berikut kestabilan

di titik kesetimbangan dengan H = 1.

1. Bebas penyakit

Matriks Jacobian sistem (4.5) untuk H = 1 yaitu

J(E0) =

−µ1 − µ2 − (β−α)S0

N

0(β−α)S0

N− γ − µ1 − µ2

(4.6)

20


commit to user

dengan S0 =(µ1+µ2)N−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N

µ1+µ2. Nilai eigen dari matriks Jacobian

(4.6) adalah

λ1 = −(µ1 + µ2)

λ2 = −γ − µ1 − µ2 + (β − α)

(

(µ1 + µ2)− (1− θ)(µ1σ1 + µ2σ2)

(µ1 + µ2)

)

.

Dari Tabel 2.1, sistem akan stabil asimtotis jika(µ1+µ2)−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)

(µ1+µ2)≤ 0.

Sebaliknya jika(µ1+µ2)−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)

(µ1+µ2)> 0 maka sistem tidak stabil.

2. Endemik

Matriks Jacobian sistem (4.5) untuk H = 1 yaitu

J(Ee) =

− (β−α)IeN

γ + µ1 + µ2

(β−α)IeN

0

(4.7)

dengan Ie =(µ1+µ2)N−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N−

(µ1+µ2)(γ+µ1+µ2)Nβ−α

(γ+µ1+µ2). Persamaan karakte-

ristik matriks Jacobian (4.7) yaitu

λ2 + Aλ+B = 0

dengan

A =(β − α)((µ1 + µ2)− (1− θ)(µ1σ1 + µ2σ2)− (µ1+µ2)(γ+µ1+µ2)

(β−α))

(γ + µ1 + µ2)− (µ1 + µ2)

B = −(β − α)((µ1 + µ2)− (1− θ)(µ1σ1 + µ2σ2)−(µ1 + µ2)(γ + µ1 + µ2)

(β − α).

Nilai eigen dari matriks Jacobian (4.7) adalah λ1 = −A−√A2−4B2

dan λ2 =

−A+√A2−4B2

. Berdasarkan Tabel 2.1 titik kesetimbangan tersebut akan sta-

bil asimtotis apabila nilai eigennya bernilai real negatif. Dengan demikian

titik kesetimbangan akan stabil asimtotis apabila√A2 − 4B < A dan tidak

stabil apabila√A2 − 4B > A dengan nilai A > 0 dan A

2 − 4B > 0. Selain

itu titik kesetimbangan juga akan stabil asimtotis apabila bagian real nilai

eigennya yang berbentuk kompleks konjugat bernilai negatif. Dengan demi-

kian apabila nilai A > 0 maka titik kesetimbangan stabil asimtotis, dengan

A2 − 4B ≤ 0. Sebaliknya apabila nilai A < 0 maka titik kesetimbangan

tidak stabil.

21


commit to user

4.4 Penerapan Kasus

Penerapan kasus ini merupakan pengembangan dari Arum dan Kuntari [1].

Diberikan informasi tentang penyebaran penyakit cacar air. Penyakit cacar air

merupakan penyakit infeksi yang menyebar melalui bersin, batuk, makanan dan

bersentuhan langsung dengan luka yang diakibatkan oleh penyakit ini. Menurut

Johnson [10] tingkat rata-rata kontak penyakit cacar air yaitu 0.65 ≤ β ≤ 0.85,

sedangkan tingkat kesembuhan penyakit sebesar γ = 0.3. Pada pembahasan ini

ingin diketahui perilaku penyebaran penyakit cacar air dengan tingkat rata-rata

kontak minimal, untuk itu digunakan tingkat rata-rata kontak minimal atau β =

0.65. Sebagai contoh, suatu daerah yang memenuhi asumsi pada model memiliki

jumlah penduduk yaitu N = 586039, dengan tingkat kelahiran sebesar µ1 =

0.01193 dan tingkat individu imigran sebesar µ2 = 0.02585. Tingkat individu

lahir yang divaksin pada daerah tersebut sebesar σ1 = 0.7, sedangkan tingkat

individu imigran yang divaksin sebesar σ2 = 0.6. Menurut Johnson [10], vaksin

cacar air hanya memiliki keefektifan 99%. Dengan demikian tingkat kegagalan

vaksin cacar air yaitu θ = 0.01.

Pada penerapan, ingin diketahui penyebaran penyakit apabila dengan ting-

kat sanitasi maksimal atau H = 1. Diambil nilai α = 0.5, dengan demikian

tingkat sanitasi dapat menurunkan tingkat rata-rata kontak dari 0.65 menjadi

0.15. Selanjutnya berdasarkan parameter yang telah diketahui, model (4.4) da-

pat disajikan sebagai

dS

dt= 8296.91− 0.03778S − 2.55956× 10−7

IS

dI

dt= 2.55956× 10−7

IS − 0.33778I

dR

dt= 13843.6 + 0.3I − 0.03778R.

(4.8)

Penyelesaian model SIR (4.8) dilakukan dengan menggunakan metode Runge-

Kutta orde empat dengan jumlah individu awal I(0) = 100, S(0) = 585939

dan R(0) = 0. Jumlah individu kelompok S, I dan R dengan tingkat sanitasi

maksimal dapat dilihat pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3.

Dari Gambar 4.2 terlihat bahwa seiring berjalannya waktu terjadi penu-

22


commit to user

R

S

0 400t

219 611

366 428

585 939

S R

Gambar 4.2. Jumlah individu S dan R

runan jumlah individu pada kelompok S, hal ini dikarenakan adanya individu

susceptible yang tertular penyakit dan kemudian berpindah ke kelompok I. Pada

awalnya tidak ada individu pada kelompok R, namun jumlah individu recovered

meningkat karena adanya individu yang sembuh dari penyakit dan individu yang

sukses divaksin. Jumlah individu pada kelompok R meningkat dari 0 sampai

366428 individu kemudian jumlah tersebut tetap sepanjang waktu. Hal ini ber-

kebalikan dengan kelompok S yang menurun dari 585939 sampai 219611 individu

kemudian jumlah tersebut tidak berubah atau tetap sepanjang waktu. Jumlah

0 24 100t0

100

I

Gambar 4.3. Jumlah individu I

23


commit to user

individu infected yang tampak pada Gambar 4.3 menurun dari 100 individu sam-

pai 0, kemudian jumlahnya tidak mengalami perubahan sepanjang waktu. Hal

ini berarti bahwa penyakit tersebut sudah tidak menyebar lagi. Dari Gambar

4.2 dan 4.3 tampak bahwa untuk suatu waktu t jumlah individu S,I dan R akan

tetap sepanjang waktu. Kondisi seperti ini disebut titik kesetimbangan.

Titik kesetimbangan merupakan suatu titik dimana tidak terjadi perubahan

jumlah individu pada tiap kelompok. Pada kasus ini, hanya terdapat satu titik ke-

setimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit pada (219611, 0, 366428).

Tidak adanya individu pada kelompok I menunjukkan bahwa penyakit sudah

tidak menyebar lagi atau bebas penyakit. Untuk tingkat sanitasi maksimal atau

H = 1, nilai eigen dari matriks Jacobian di titik kesetimbangan tersebut ada-

lah (−0.28156,−0.03778). Berdasarkan Tabel 2.1 titik kesetimbangan tersebut

bersifat stabil asimtotis. Selain dilihat dari nilai eigen matriks Jacobiannya, kes-

tabilan di titik kesetimbangan dapat dilihat melalui perilaku trajektori di sekitar

titik kesetimbangan pada bidang fase. Hal ini dilakukan untuk mengetahui ba-

gaimana perilaku penyelesaian sistem disekitar titik kesetimbangan secara visual

agar lebih mudah dipahami.

Pada model (4.8) dapat dibuat tiga bidang fase, yaitu bidang fase S-I, S-

R dan I-R. Akan tetapi pada pembahasan ini hanya ditampilkan bidang fase

S-I. Hal ini karena penyebaran suatu penyakit dapat dilihat dari jumlah indi-

vidu yang sakit (infected), sedangkan jumlah individu recovered akan diketahui

apabila jumlah individu susceptible diketahui. Trajektori di sekitar titik kese-

timbangan disajikan pada Gambar 4.4. Dilihat dari bentuknya yang menyerupai

simpul, titik kesetimbangan pada kasus ini disebut titik simpul. Tampak bahwa

arah trajektori menuju titik kesetimbangan, oleh karena itu kestabilan di titik

tersebut bersifat stabil. Selanjutnya karena arah trajektori tersebut membentuk

suatu garis asimtotis di sepanjang sumbu S maka kestabilan di titik kesetimbang-

an tersebut bersifat stabil asimtotis. Karena titik kesetimbangan yang diperoleh

merupakan titik kesetimbangan bebas penyakit, maka pada keadaan ini tidak

ada individu yang terinfeksi penyakit. Dengan demikian jika titik kesetimbangan

24


commit to user

tersebut stabil asimtotis maka kondisi dimana tidak ada individu yang terinfeksi

akan terus berlangsung di daerah tersebut. Kondisi yang demikian sangat diha-

rapkan karena penyakit tidak akan menyebar lagi.

-300 000 600 000I

-300 000

600 000S

Gambar 4.4. Trajektori di sekitar titik kesetimbangan

Selanjutnya dilakukan simulasi pada nilai H untuk mengetahui bagaimana

pengaruh tingkat sanitasi terhadap penurunan puncak endemik. Hal tersebut

dirasa penting untuk dijadikan sebagai acuan dalam mengambil tindakan pence-

gahan untuk menurunkan puncak endemik. Dengan demikian diharapkan penye-

baran penyakit yang terjadi akan berkurang. Simulasi pertama dilakukan pada

H = 0 atau tanpa sanitasi. Hasil simulasi menunjukkan bahwa jumlah individu

infected meningkat dengan puncak endemik mencapai 6564 individu pada hari

ke-31.

Simulasi kedua dilakukan pada nilai H = 0.25. Jumlah individu infected

meningkat pada H = 0.25 dengan puncak endemik sebesar 1507 individu pada

hari ke-27, artinya terjadi penurunan puncak endemik sebesar 5057 orang jika

tingkat sanitasi dinaikkan dari H = 0 menjadi H = 0.25. Simulasi yang ketiga

25


commit to user

dilakukan dengan menaikkan tingkat sanitasi menjadi H = 0.5. Ketika tingkat

sanitasi dinaikkan menjadi 0.5, jumlah individu infected mencapai 393 individu

pada hari ke-19. Hal ini berarti terjadi penurunan puncak endemik sebesar 6171

individu apabila sanitasi dinaikkan dari H = 0 sampai H = 0.5. Simulasi yang

terakhir dilakukan pada H = 0.75. Jumlah individu infected maksimal menca-

pai 153 individu pada hari ke-11. Dengan demikian terjadi penurunan jumlah

individu infected sebesar 6411 individu.

Jumlah individu infeksi maksimum atau puncak endemik pada nilai H =

0, 0.25, 0.5, 0.75, dan 1 disajikan pada Tabel 4.1. Berdasarkan Tabel 4.1 tampak

Tabel 4.1. Nilai puncak endemik dengan simulasi nilai H

H Puncak endemik (Imaks) t (dalam hari)

0 6564 31

0.25 1507 27

0.5 393 19

0.75 153 11

1 100 0

bahwa semakin besar nilai H maka puncak endemik akan semakin menurun.

Secara visual penurunan puncak endemik dapat dilihat pada Gambar 4.5. Pada

Gambar 4.5 tampak bahwa semakin besar tingkat sanitasi, maka semakin singkat

pula penyakit tersebut menyebar pada suatu wilayah.

31 150t100

6564I

H = 0.25H = 0.5H = 0.75H = 1

0 11 19 27 150t

100153

393

1507I

Gambar 4.5. Penurunan puncak endemik H=0 (kiri), H=0.25,0.5,0.75,1 (kanan)

26


commit to user

Bab V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

1. Model endemik SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sanitasi dapat dieks-

presikan sebagai

dS

dt= (µ1 + µ2)N − (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N − (µ1 + µ2)S −

(β − αH)SI

N

dI

dt=

(β − αH)SI

N− (µ1 + µ2)I − γI

dR

dt= (1− θ)(σ1µ1 + σ2µ2)N + γI − (µ1 + µ2)R.

2. Terdapat dua jenis titik kesetimbangan pada model SIR dengan imigrasi,

vaksinasi dan sanitasi yaitu titik kesetimbangan endemik yaitu

Ee =(

Se, Ie, Re

)

dengan

Se =(γ + µ1 + µ2)N

β − αH

Ie =(µ1 + µ2)N − (1− θ)(µ1σ1 + µ2σ2)N − (µ1+µ2)(γ+µ1+µ2)N

β−αH

(γ + µ1 + µ2)

Re =N − Se1 − Ie1

dan titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu

E0 = (S0, I0, R0) =(

(µ1+µ2)N−(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)Nµ1+µ2

, 0,(1−θ)(µ1σ1+µ2σ2)N

µ1+µ2

)

.

3. Simulasi menunjukkan bahwa peningkatan sanitasi dapat menurunkan pun-

cak endemik serta mempersingkat suatu penyakit menyebar dalam suatu

daerah.

27


commit to user

5.2 Saran

Pada penulisan tugas akhir ini hanya dibahas tentang fungsi sanitasi de-

ngan nilai konstanta proporsionalitas (α) pada fungsi sanitasi lebih kecil dari

tingkat rata-rata kontak penyakit (β). Sedangkan untuk konstanta proporsionali-

tas pada fungsi sanitasi yang lebih besar dari tingkat rata-rata kontak penyebaran

penyakit tidak dibahas dalam tugas akhir ini. Dengan demikian apabila pemba-

ca tertarik dengan topik ini, model tersebut dapat dikembangkan lebih lanjut

dengan menggunakan nilai α > β.

28

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id MODEL ENDEMIK .../Model... · perpustakaan.uns.ac.id...

Documents

Transcript of perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id MODEL ENDEMIK .../Model... · perpustakaan.uns.ac.id...