MODEL ENDEMIK ... /Model... · commit to user MODEL ENDEMIK SUSCEPTIBLE

download MODEL ENDEMIK ... /Model... ·   commit to user MODEL ENDEMIK SUSCEPTIBLE

If you can't read please download the document

  • date post

    12-Mar-2019
  • Category

    Documents

  • view

    241
  • download

    8

Embed Size (px)

Transcript of MODEL ENDEMIK ... /Model... · commit to user MODEL ENDEMIK SUSCEPTIBLE

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

MODEL ENDEMIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED

(SIR) DENGAN IMIGRASI, VAKSINASI DAN SANITASI

oleh

ANITA KESUMA ARUM

M0108030

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2012

i

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ABSTRAK

Anita Kesuma Arum. 2012. MODEL ENDEMIK SUSCEPTIBLE INFEC-

TED RECOVERED (SIR) DENGAN IMIGRASI VAKSINASI DAN SANITASI.

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

Masalah penyebaran penyakit dapat dijelaskan dengan menggunakan mo-

del matematika. Model matematika yang dimaksud yaitu model SIR. Ada dua

jenis model SIR yaitu model epidemik SIR dan model endemik SIR. Model epi-

demik SIR tidak memperhatikan faktor kelahiran dan kematian karena penyakit

menyebar dalam waktu yang singkat, sedangkan model endemik SIR memper-

hatikan faktor kelahiran dan kematian karena penyakit menyebar dalam kurun

waktu yang lama. Imigrasi merupakan faktor yang dapat mempengaruhi penye-

baran penyakit. Selain faktor imigrasi, upaya pencegahan yang dilakukan seperti

program vaksinasi dan program sanitasi juga dapat mempengaruhi penyebaran

suatu penyakit.

Tujuan penulisan ini adalah mengkonstruksikan model endemik SIR dengan

imigrasi, vaksinasi dan sanitasi serta menentukan titik kesetimbangan dan tipe

kestabilan titik kesetimbangan tersebut.

Model SIR berupa sistem autonomous persamaan diferensial nonlinier orde

satu. Penyelesaian model tersebut berupa jumlah individu tiap kelompok S,I

dan R tiap saat. Penyelesaian dimana jumlah individu susceptible, infected dan

recovered tetap sepanjang waktu disebut titik kesetimbangan. Dari pembahas-

an diperoleh dua jenis titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan endemik

dan bebas penyakit. Untuk mengetahui kestabilan titik kesetimbangan dapat

dilihat dari nilai eigen matriks Jacobian sistem di titik kesetimbangan atau mela-

lui perilaku trajektori di sekitar titik kesetimbangan pada bidang fase. Simulasi

menunjukkan bahwa faktor sanitasi dapat menurunkan jumlah penderita serta

mempersingkat waktu yang dibutuhkan penyakit untuk menyebar dalam suatu

wilayah.

iii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

ABSTRACT

Anita Kesuma Arum. 2012. ENDEMIC SUSCEPTIBLE INFECTED RE-

COVERED (SIR) MODEL WITH IMMIGRATION VACCINATION AND SA-

NITATION. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret Uni-

versity.

The disease outbreak problem can be explained using a mathematical model.

The mathematical model mentioned is the model of SIR. There are two classic

SIR models, namely SIR epidemic model and SIR endemic model. SIR epidemic

models are used to describe the rapid outbreak, while the SIR endemic models are

used for studying disease over longer periods. Immigration is a factor that able to

influence the disease outbreak. In addition, prevention efforts such as vaccination

programs and sanitation programs can also affect the disease outbreak.

The purposes of this research are to construct model of endemic SIR with

immigration, vaccination and sanitation and to find the type of equilibrium points

and the stability of the equilibrium points.

The SIR model is an autonomous system of nonlinear first-order differential

equations. The solution of the model which the number of individuals susceptible,

infected and recovered are fixed all the time is called the equilibrium point. Based

on the discussion, there are two types of equilibrium point that is the point of

endemic equilibrium and disease-free equilibrium. The stability of the equilibrium

point can be obtained by the eigenvalue of the Jacobian matrix system at the

equilibrium point or through the behavioral trajectory around the equilibrium

point in the phase plane. Simulations show that the factor of sanitation can

reduce the number of infected individuals, and can shorten the time required for

the spread of disease within a region.

iv

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari

bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis

mengucapkan terima kasih kepada

1. Bapak Dr. Sutanto, DEA. selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Purnami

Widyaningsih, M.App.Sc selaku Pembimbing II yang telah membimbing

dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini.

2. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.

Surakarta, September 2012

Penulis

v

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

PERSEMBAHAN

Sebuah karya sederhana ini kupersembahkan untuk

Bapak, Ibu, Kakak, serta saudara kembar saya sebagai wujud atas doa,

semangat, dan pengorbanan yang diberikan.

vi

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II LANDASAN TEORI 5

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Sistem Autonomous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Bidang Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Model Endemik SIR dengan Imigrasi dan Vaksinasi . . . . 7

2.2.4 Kesetimbangan dan Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . 9

vii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

2.3 Kerangka Berpikir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IIIMETODE PENELITIAN 14

IVPEMBAHASAN 16

4.1 Konstruksi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Penerapan Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

V PENUTUP 27

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

DAFTAR PUSTAKA 29

viii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

DAFTAR TABEL

2.1 Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen . . . . . . . . . . . . . 12

4.1 Nilai puncak endemik dengan simulasi nilai H . . . . . . . . . . . 26

ix

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

DAFTAR GAMBAR

2.1 Dinamika populasi model endemik SIR dengan imigrasi dan vak-

sinasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Trajektori pada bidang fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 Dinamika populasi model SIR dengan imigrasi, vaksinasi dan sa-

nitasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 Jumlah individu S dan R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Jumlah individu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 Trajektori di sekitar titik kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5 Penurunan puncak endemik H=0 (kiri), H=0.25,0.5,0.75,1 (kanan) 26

x

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Penyakit infeksi seperti rubella, measles, mumps, pertussis, cacar air dan

hepatitis merupakan penyakit infeksi yang berbahaya. Kinbaby [13] menyebut-

kan bahwa penyakit tersebut berbahaya karena dapat mengakibatkan