Didownload dari · PDF filedianggap berasal dari faktor-faktor persediaan makanan yang...

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id

6.5 Proses Kelahiran(kemunculan) dan Kematian(kehilangan) dengan State Absorpsi

Proses kelahiran dan kematian dimana �� 0 (kondisi awal laju kelahiran sama dengan

nol, atau dapat dikatakan bahwa tidak ada kelahiran dari state nol ke state satu) sering kali

muncul dan mempunyai hubungan yang penting. Untuk proses ini, state 0 adalah state absorpsi.

Contohnya mengenai proses pertumbuhan kelahiran dan kematian tanpa imigrasi (6.3.3).

Pada 6.3.3 dijelaskan bahwa : �� n=0,1 �� n=0,1 � � 0 : laju kelahiran � � 0 : laju kematian � � 0 : laju immigrasi

Jadi, ketika � � 0 terjadi kelahiran tanpa immigrasi artinya, pertumbuhan populasi berasal dari

populasi yang ada.

Pada kasus ini, �� dan �� (tidak ada immigrasi). Ketika pertumbuhan populasi

berasal dari populasi yang ada, jelas bahwa ketika populasi bernilai 0 selanjutnya akan tetap 0:i,

e, 0 adalah state absorbsi.

6.5.1 Probabilitas dari State Absorpsi menuju State 0

Hal yang penting untuk menghitung probabilitas absorpsi dari state �� 1� sampai ke

state 0. Hal ini tidak terjadi, yang lebih penting, kejadian tertentu ketika partikel yang disusun

(i.e..state variabel) yang mungkin akan selalu memutar sepanjang state (1,2,…) atau mungkin

penyimpangan yang tidak pernah berakhir.

Andaikan �� 1,2, … � merupakan probabilitas terabsorpsi menuju state 0 dari state awal �. Kita dapat menuliskan rumus berulang untuk �� dengan mempertimbangkan state yang

mungkin setelah transisi pertama. Kita mengetahui bahwa transisi pertama membutuhkan

perpindahan,

� � � � 1 dengan probabilitas laju kelahiran � ! "�

� � � # 1 dengan probabilitas laju kematian ! ! "�

Memasukkan dalam bentuk yang lebih umum yaitu analisis step pertama, sehingga kita peroleh

�� "$ � �� %$, � � 1, �6.37�


dimana �� 1. Pembuktian : *�� 1,2, … . � � +�,-�-� ��. �-.,�+.� ��/� .� 0 0�� .� �1� � � � � � 1 probabilitas laju kelahiran

� � "! � � � # 1 probabilitas laju kematian ! � "! *� � � � "! *�"$ � ! � "! *�%$ dimana *� � 1

Misal *2, artinya probabilitas absorpsi dari state awal 5 menuju state 0

Ada dua cara untuk mencapai state nol (0) yaitu:

1. Melalui state ke enam lalu baru ke state nol

5 � 6 �2�2 � �2

6 � 0 *E

2. State lain yang mungkin, melalui state ke empat, baru ke state nol.

5 � 4 �2�2 � �2

4 � 0 *G

Kemungkinan *2 � �H!H"�H *E � !H!H"�H *G

Metode lain untuk menurunkan persamaan (6.37) adalah dengan menganggap “embedded

random walk” yang dihubungkan dengan proses kelahiran dan kematian. Terutama, kita menguji

proses kelahiran dan kematian hanya pada waktu transisi. Waktu diskrit Markov chain dihasilkan

dalam cara ini yang ditunjukkan oleh IJ�K ∞�L�, dimana J� � M� adalah state awal dan J�� 1� adalah state untuk transisi ke- �. Secara jelas, matriks probabilitas transisi mempunyai bentuk

� � N 1 0 0 0 … O$ 0 +$ 0 … 0 OP 0 +P …Q Q N

dimana

+� � �� 1 # O� R,�, � � 1

Karena +� � O� � 1 +� � Probabilitas laju kelahiran


O� � Probabilitas laju kematian

Probabilitas absorpsi menuju state 0 untuk “embedded random walk” adalah sama seperti

proses kelahiran dan kematian ketika kedua proses melakukan transisi yang sama. Sebuah

pendekatan masalah yang berhubungan (gambler’s ruin) untuk random walk telah dipelajari pada

bagian 3.6.1.

Selanjutnya kita menyelesaikan (6.37) subjek untuk kondisi �� 1 dan 0 S �� S 1 �� 1�. Penulisan ulang persamaan 6.37

�� "$ � �� %$

�� # �� %$ � �� "$

�� # ��%$�� "$�� # ��%$ � ��"$ # �� "$ # �� %$� ��"$ # �� # ��%$�, � � 1. Diketahui T� � ��"$ # ��, kita memperoleh T� � ��"$ # �� T� % $ � �� # ��%$

Maka diperoleh

T� � �� T�%$, � � 1. Iterasi dari hasil relasi terakhir dengan rumus T� � +�T�, dimana

U� � 1 0�� U� � �$�P …��$�P …�� , � � 1. Dan dengan T� � ��"$ # ��, selanjutnya ��"$ # �� T� � U�T� � U��$ # �� U��$ # 1� ��, � � 1. Kesimpulan dari persamaan terakhir dari � � 1 ��VV� � � � # 1 kita memperoleh

�W # �$ � ��$ # 1� X U�W%$�L$ , � � 1. �6.38�

Ketika �W, sangat berarti, dibatasi dengan 1, kita lihat bahwa jika


XU�∞

�L$ � ∞ �6.39� selanjutnya, diperlukan �$ � 1 dan �W � 1 untuk semua � � 2. Dengan kata lain, jika

persamaan (6.39) digunakan maka absorpsi terakhir menuju state 0 pasti dari state awal.

Andaikata 0 [ �$ [ 1; maka tentu saja

XU� [ ∞∞

�L$

Bukti : untuk �$ � 1 dan �W � 1 untuk semua � � 2

Untuk �$ � 1

�W # �$ � ��$ # 1�XU� �W # 1 � 0XU� �W # 1 � 0 �W � 1

Untuk �W � 1 maka

1 # �$ � ��$ # 1�XU� 1 # �$ � �$ XU� # XU� 1 � XU� � �� XU� � �$

1 � XU� � �1 � XU�� 1

Ternyata, �W menurun pada � ketika melewati state � menuju state 0 yang mengikuti

masuknya state pertengahan pada waktu terhalang (intervening time). Secara lebih jauh, hal itu

dapat ditunjukkan bahwa �W � 0 sebagaimana � � ∞. Sekarang andaikan � � ∞ pada

persamaan (6.38) mengizinkan kita untuk menyelesaikan �$, sehingga

�$ � ∑ U�∞�L$1 � ∑ U�∞�L$

Bukti :


�W # �$ � ��$ # 1� X U�W%$�L$

0 # �$ � �$ XU�∞

�L$ # XU�∞

�L$

#�$ � �$ XU�∞

�L$ # XU�∞

�L$

XU�∞

�L$ � �$ XU�∞

�L$ � �$

XU�∞

�L$ � �$�XU�∞

�L$ � 1� �$ � ∑ U�∞�L$∑ U�∞�L$ � 1

dan kemudian dari persamaan (6.38) kita memperoleh

�W � ∑ U�∞�LW1 � ∑ U�∞�LW , � � 1. 6.5.2 Waktu rata-rata (mean time) hingga absorpsi

Anggap masalah perhitungan waktu rata-rata hingga absorpsi dimulai dari state m. Kita

asumsikan bahwa kondisi (6.39) tetap jadi absorpsi pasti terjadi. Perlu diperhatikan bahwa kita

tidak dapat menganggap remeh masalah kita untuk consideration dari embedded random walk

ketika menghabiskan waktu sebenarnya dalam setiap state yang relevan untuk menghitung rata-

rata waktu absorpsi.

Diberikan 1� adalah rata-rata waktu absorpsi dimulai dari state �. Anggap state yang

mungkin terjadi pada transisi pertama, ada pada analisis langkah pertama, dan digunakan

kembali fakta bahwa rata-rata waktu tunggu dalam state ke � adalah �� %$ (distibusi

Eksponensial dengan parameter �� ), dapat diambil kesimpulan :

1� � 1�� 1�"$ � �� 1�%$, � � 1 �6.40� 1� � waktu rata-rata absorpsi dari state ke-i

ketika 1� � 0. Lalu diberikan ]� � 1� # 1�"$ dan menyusun kembali persamaan (6.40)

diperoleh


1� # �� 1�"$ � 1�� 1�%$

��1� � ��1� # ��1�"$�� 1 � ��1�%$��

��1� � ��1� # ��1�"$ � 1 � ��1�%$ ��1� # 1�"$� � 1 � ��1�%$ # ��1� 1� # 1�"$ � 1 � ��1�%$ # ��1��

� 1�� 1�%$ # 1$� ]� � 1�� ]�%$ � � 1 �6.41�

]$ � 1�$ � �$�$ ]�

]P � 1�P � �P�P ]$ � 1�P � �P�P�$ � �P�$�P�$ ]�

]^ � 1�^ � �^�^�P � �^�P�^�P�$ � �^�P�$�^�P�$ ]�

Sehingga diperoleh

]W � X 1�� _ �`�̀W

`L$"�W

�L$ � a_�`�̀W

`L$ b]�

(Hasil ∏ !d�dWW"$ dianggap 1) menggunakan notasi

U� � 1 dan U� � !e!f…! �e�f…� � � 1

Sehingga persamaan ]W menjadi

X 1�$ _ �`�̀W

`L$"�W

�L$ � 1�$ g�P�P�^�^ …�W�Wh � 1�P g�P�P

�^�^ …�W�Wh � i� 1�W

X 1�$ _ �`�̀W

`L$"�W

�L$ � g�P�P �^�^ …�W�Wh g 1�$ � 1�P � i� 1�Wh

. !e�e


�$�$ X 1�$ _ �`�̀W

`L$"�W

�L$ � �$�$ g�P�P �^�^ …�W�Wh g 1�$ � 1�P � i� 1�Wh

�$�$ X 1�$ _ �`�̀W

`L$"�W

�L$ � g�$�$ �P�P �^�^ …�W�Wh g 1�$ � 1�P � i� 1�Wh

UW ∑ $�eW�L$

�$�$ X 1�$ _ �`�̀W

`L$"�W

�L$ � UW X 1�$W

�L$

X 1�$ _ �`�̀W

`L$"�W

�L$ � X 1�$W

�L$UW�$�$

X 1�$ _ �`�̀W

`L$"�W

�L$ � X 1�$W

�L$UWU�

Terbukti bahwa

]W � X 1��UWU�

W�L$ � UW]�

Karena ]W � 1W # 1W"$ dan ]� � 1� # 1$ � #1$ , maka 1UW �1W # 1W"$� � X 1��U� # 1$ �6.42�W�L$

Jika ∑ $� j � ∞W�L$ , kemudian dari (6.42) dinyatakan bahwa 1$ � ∞. Jelas bahwa 1W [1W"$ untuk semua � dan sifat ini tidak berlaku untuk � besar jika diasumsikan 1$ terbatas.

Sekarang anggap ∑ $� j [ ∞l�L$ dengan � � ∞ maka persamaan (6.42) dihasilkan

1$ � X 1��U�∞

�L$ # limW�∞ 1UW �1W # 1W"$�


Ini lebih sulit tetapi masih mungkin dibuktikan bahwa

limW�∞ 1UW �1W # 1W"$� � 0

Maka

1$ � X 1��U�∞

�L$

Kita menyimpulkan diskusi dari bagian ini kedalam teorema dibawah ini

Teorema 6.1

Proses kelahiran dan kematian dengan parameter kelahiran, �� dan parameter kematian, ��, � � 1 0�� 0 sehingga 0 adalah state absorbsi.

Probabilitas absorbsi ke state 0 dari state awal m

�W �mnonp ∑ U�∞�LW1 � ∑ U�∞�L$ /�� XU�

∞

�L$ [ ∞1 /�� XU�

∞

�L$ � ∞ q �6.43� Waktu rata-rata absorpsi adalah

1W �mnonp∞ /�� X 1��U�

∞

�L$ � ∞ X 1��U�∞

�L$ � X Ur X 1�̀ U`∞

`Lr"$W%$rL$ /�� X 1��U�

∞

�L$ [ ∞ q �6.44� Dimana U� � 1 dan U� � !e!f…! �e�f…� Example Proses Populasi anggap proses pertumbuhan kelahiran dan kematian tanpa

perpindahan (cf.section 6.3.3) dimana �� 0�� , � � 0,1, … selama suatu interval

waktu pendek/singkat dengan panjangnya , individu tunggal di dalam populasi mati dengan

probabilitas �� ,��, dan � � 0 0�� 0 mewakili angka kelahiran dan kematian individu,

yang berturut-turut.

Subsitusikan � � 0 dan � � � dalam persamaan (6.25), untuk menentukan rata-rata ukuran

populasi pada waktu untuk populasi awal dengan M�0� � � individu. Ukuran rata-rata

populasi adalah s�� %!�t memperlihatkan kehilangan atau pertumbuhan bersifat

exponensial ketika � � � �� [ �


Lalu kita uji gejala kematian dan ditentukan kemungkinan bahwa populasi akhirnya mati. Gejala

ini sesuai dengan penyerapan di state 0 untuk proses kelahiran dan kematian

ketika �� 0�� suatu perhitungan langsung menghasilkan U� � ��/�� dan

kemudian

X U�∞

�LW � X��/��∞

�LW � v ��/��W1 # ��/�� ∞ �� S � q

Dari theorem 6.1 probabilitas tentang kepunahan (extinction) dimulai dengan � individual

adalah

PrIxy��z�,�|M�0� � �K � |��/��W �� 1 �� S � q Ketika � � � , akhirnya proses hilang. Pada kasus ini ukuran rata-rata populasi konstan di awal

tingkatan populasi. Situasi serupa dimana nilai rata-rata tidak cukup mendeskripsikan perilaku

populasi yang sering muncul ketika ada unsur-unsur stocastik.

Perhatikan bahwa rata-rata waktu menuju kepunahan diasumsikan kepunahan itu pasti, untuk itu

,ketika � S � . Untuk populasi awal dengan individu tunggal, kemudian dari (6.44) dengan m=1

kita menentukan waktu rata-rata

X 1��U�∞

�L$ � 1� X1�∞

�L$ g��h�

� 1� X} y�%$~� !� ��

∞

�L$ 0y

� 1� } Xy�%$∞

�L$ 0y~� !� ��

� 1� } 0y�1 # y�~� !� ��

� #1� ��1 # y�|�~� !� �

� v1� � g �� # yh �� ∞ �� q

Ketika laju kelahiran �� melebihi laju kematian �� kelahiran dan kematian dapat

digambarkan sebagai proses pertumbuhan linear, dengan probabilitas positif kuat, pertumbuhan


tanpa batas (limit). Dalam perbedaan kontras, banyak populasi natural memperlihatkan densitas

perlakuan yang saling terkait dimana laju kelahiran individu menurun atau laju kematian

individu meningkat atau keduanya berubah seiring pertumbuhan populasi. Perubahan ini

dianggap berasal dari faktor-faktor persediaan makanan yang terbatas, meningkatnya pemangsa,

kepadatan, dan terbatasnya tempat tinggal. Karena itu, kita mengenalkan gagasan tentang hal

yang berhubungan dengan lingkungan kapasitas pembawa K (carrying capacity K), sebuah batas

atas dimana ukuran/jumlah populasi tidak dapat melampauinya.

Karena semua individu mempunyai kesempatan untuk mati, dengan sebuah kapasitas

bawaan tertentu, semua populasi pasti akan mengalami kepunahan. Ukuran kita dari kemampuan

populasi akan menjadi waktu rata-rata kepunahan dan itu penting untuk para ekolog populasi

yang mempelajari fenomena kolonisasi untuk memeriksa bagaimana kapasitas K., laju

kelahiran��, dan laju kematian �� mempengaruhi rata-rata waktu hidup populasi.

Model harus memenuhi sifat dari pertumbuhan eksponensial (yang terletak pada rata-rata)

untuk populasi kecil sama seperti melebihi batas tertinggi K yang mana populasi tidak dapat

tumbuh. Ada beberapa jalan untuk mendekati ukuran populasi K dan berada di titik

keseimbangan. Karena semua model-model memberikan lebih banyak atau lebih sedikit hasil

kualitatif yang sama, kami menetapkan model paling sederhana yang mana parameternya

kelahiran adalah �� R,� � � 0,1, … , � # 1

0 R,� � � �

Teorema 6.1 menghasilkan 1$. Waktu rata-rata untuk kepunahan populasi mulai dengan

sebuah individu tunggal seperti diberikan dengan

1$ � X 1��U�∞

�L$ � X�$�P …��%$�$�P …��∞

�L$ � 1� X1� g��h�%$��L$ �6.47�

Persamaan (6.47) memisahkan faktor-faktor yang jelas mempengaruhi waktu rata-rata

kepunahan populai. Faktor pertama adalah $!, rata-rata waktu hidup dari individu sejak � adalah

rata-rata individu mati. Jadi, jumlah dalam (6.47) merepresentasikan/mewakili rata-rata generasi

atau rata-rata kehidupan(lifespans) menuju kepunahan populasi, hasil ukuran setidaknya kita

tunjukkan dengan s� � �1� � ∑ $� ��%$, 0�� !��L$ (6.48)


Selanjutnya kita mempelajari pengaruh dari kelahiran-kematian atau ratio reproduksi � � �!

dan kapasitas bawaan K pada waktu rata-rata kepunahan. Karena � mewakili laju kelahiran

individu dan $! adalah rata-rata hidup dari anggota tunggal dalam populasi, kita boleh

mengartikan ratio reproduksi � � � ~$!� sebagai rata-rata jumlah dari keturunan sebarang

individu dalam populasi. Jadi, kita harus menduga dengan signifikan perbedaan kelakuan ketika � [ 1 berlawanan dengan ketika � � 1, dan ini adalah kasus yang nyata. Sebuah kapasitas

bawaan dari K =100 adalah kecil. Ketika K adalah permintaan 100 atau lebih, kita mempunyai

pendekatan yang akurat di bawah ini, turunannya di rumuskan dalam latihan 1 dan 2 di akhir bab

ini:

1� � g 11 # �h �� [ 1, s� � 0.5772157 � �� 1, 1� � �� # 1� �� 1.

Perbedaan diantara � [ 1 dan � � 1 jelas. Ketika � [ 1, rata-rata generasi menuju

kepunahan s� adalah hampir tidak tergantung dari kapasitas bawaan K dan pendekatan nilai

asimtotik �%$ln �1 # ��%$ sangat cepat. Ketika � � 1, rata-rata generasi menuju kepunahan s�

tumbuh secara eksponensial dalam K. beberapa perhitungan berdasarkan (6.49) diberikan dalam

table 6.1.

Table 6.1. rata-rata generasi punah untuk sebuah populasi yang dimulai dari induk tunggal

dimana � adalah rata-rata reproduksi dan K adalah kapasitas yang berhubungan dengan

lingkungan.

K � � 0,8 � � 1 � � 1,2

10 1,96 2,88 3,10

100 2,01 5,18 4140899

1000 2,01 7,48 7,59 � 10�E

Contoh

Pengendalian sterilisasi (pemandulan) serangga jantan lalat screwworm, hama ternak di

iklim hangat, telah dimusnahkan dari AS bagian tenggara dengan dilepaskan lalat screwworm


jantan dewasa yang telah di sterilisasi ke dalam lingkungan. Ketika jantan ini disterilisasi secara

buatan dengan radiasi, kawin dengan betina lokal, mereka tidak menghasilkan keturunan, dan

dalam cara ini kemampuan reproduksi dari populasi alami adalah nol(telah dihapuskan) dengan

adanya lalat jantan ini(yang telah disterilisasi). Jika jantan steril cukup banyak sehingga

menyebabkan sedikit penurunan tingkat populasi, kemudian penurunan ini mempercepat di

dalam peristiwa pergantian generasi jika jumlah jantan steril dirawat kira-kira pada tingkat yang

sama, karena rasio dari jantan steril terhadap jantan subur akan meningkat seperti anjloknya

populasi alami. Karena pengaruh percampuran ini jika metode kontrol jantan steril berjalan

lancar, kerjanya seperti memperluas pengendalian populasi lokal menuju kepunahan di dalam

area yang diterapkan.

Baru-baru ini, usaha milyaran dolar dimasukkan ke dalam teknik jantan steril telah

diusulkan untuk pengendalian kumbang perusak biji kapas. Dalam contoh ini telah dirasakan

bahwa perlakuan awal dengan pestisida dapat mengurangi ukuran populasi alami ke tingkat

yang sama seperti teknik jantan steril yang lebih efektif. Mari kita periksa asumsi ini, pertama

dengan model deterministik kemudian dengan keadaan stokastik.

Untuk kedua model kita menganggap bahwa jenis kelamin jumlahnya sama, bahwa jantan

steril dan jantan subur saling berkompetisi/bersaing, dan bahwa jumlah konstan S dari jantan

steril ada ditiap generasi. Di dalam kasus deterministik, jika �� jantan subur ada di generasi

induk dan �� betina subur memilih untuk kawin seperti seluruh populasi jantan, kemudian

bagian ��"�� dari perkawinan ini dengan jantan subur akan menghasilkan keturunan. �

menunjukkan jumlah keturunan dari salah satu jenis kelamin dalam perkawinan subur, kita

menghitung ukuran N generasi selanjutnya menurut : �$ � �� ~ ��"�� 6.50

Untuk contoh angka, anggap bahwa ada ��=100 jantan subur dan jumlah yang sama dari

betina subur dalam generasi induk dari populasi local, dan S=100 jantan serangga steril

dilepaskan. Jika �=4, berarti perkawinan subur menghasilkan 4 jantan dan 4 betina untuk

generasi sukses, kemudian jumlah jenis kelamin yang lain dalam generasi pertama adalah

�$ � 4�100� g 100100 � 100h � 200

Populasi meningkat dan metode kontrol jantan steril telah gagal.

Tabel 6.2 Trend dari subject populasi serangga pada pengadaan jantan mandul.


Generasi

Jumlah serangga

dalam populasi

alami

Jumlah serangga

yang mandul

Perbandingan

mandul: subur

Jumlah keturunan

Induk 20 100 5:1 13,33

F1 13,33 100 7,5: 1 6,27

F2 6,27 100 16:1 1,48

F3 1,48 100 67,5:1 0,09

F4 0,09 100 1156:1 -

Disisi lain jika pestisida dapat digunakan untuk menurunkan ukuran awal populasi menjadi N� � 20 atau 20% dari tingkat sebelumnya ,dan S=100 jantan mandul dilepaskan.Lalu

N$ � 4.20 g 2020 � 100h � 13,33

Dan populasi menurun.Ukuran generasi selanjutnya diberikan dalam tabel 6.2 .Dengan

perlakuan awal,populasi punah pada generasi keempat.

Sering kali pada proses deterministic atau nilai rata-rata model akan cukup

mendeskripsikan evolusi perluasan populasi. Tapi kepunahan adalah fenomena populasi kecil

dan terjadi dalam hadirnya long term trend signifikan, populasi kecil yang menyebabkan

fluktuasi menghasilkan kepunahan atau rekoloni yang akan terjadi. Inilah fakta yang memotivasi

kita untuk menentukan model stokastik dari evolusi populasi dalam hadirnya jantan mandul.

Inilah faktor- faktor modelnya

λ, laju kelahiran individu

µ, laju kematian individu

θ=λ⁄n, rata-rata keturunan per individu

K, kapasitas bawaan dari lingkungan

S, nilai konstan dari populasi jantan mandul, dan

m, ukuran populasi awal

Kita misalkan bahwa kedua jenis kelamin akan mewakili angka yang sama dalam populasi alami,

dan X(t), angka dari jenis kelamin lain mewakili waktu t , disusun sebagai proses lahir dan mati

dengan parameter


�� ~ �� /�� 0 S � S �0 �� q Dan �� 0,1, …. Ini adalah model kolonisasi dari contoh proses populasi, dikembangkan dalam analogi dengan

(6.50) yang termasuk laju kelahiran, faktor � � � �⁄ untuk mewakili probabilitas terjadi

perkawinan subur .

Untuk menghitung rata- rata waktu kepunahan 1W yang diberikan dalam (6.44),mula-

mula kita gunakan persamaan (6.51) untuk menghasilkan

Ur � �$�P. . . . �r�$�P … . �r � ��r �� !�! �! , � � 1,… . , � # 1

U� � 1 dan U� � ∞, �� $ j� � 0

Selanjutnya substitusi persamaan-persamaan ini untuk Ur ke dalam persamaan (6.44) agar

menghasilkan pers.(6.52)

w� �X 1�̀ U` ��`L$ X Ur

W%$rL$ X 1�̀ U`

�`Lr"$

� X UrW%$rL� X 1�̀ U`

�`Lr"$ � X Ur

W%$rL� X 1�`U`%$

�`Lr"$

� 1� I X UrW%$rL� X 1/ � 1�`%r /! �� !�! �� /�!K

�`Lr"$

Karena dari faktorial, persamaan 6.52 menunjukkan kesulitan nilai saat perhitungan secara

langsung diusahakan. Iterasi sederhana mudah bekerja untuk meningkatkan keakuratan dan

pengaruh perhitungan, sedemikian sehingga didapatkan

�r� X 1/ � 1�%$`Lr �`%r /! �� !�! �� /�!

Sehingga �W � �� i��W%$� �⁄ . Tetapi secara mudah dibuktikan bahwa

�r%$� 1� � � g �� h �r


Mulai dengan �� 0, berturut-turut dihitung ��%$, ��%P, … , �� dan kemudian �W �� i��W%$� �⁄ .

Menggunakan metode ini, kita telah menghitung rata-rata generasi punah di dalam model

stokastik untuk membandingkan dengan model deterministik sebagaimana diberikan dalam tabel

6.2. Tabel 6.3 adalah daftar rata-rata generasi punah untuk macam ukuran populasi awal � bila � � � � 100, λ � 4, dan � � 1 sehingga � � 4. Dari empat generasi kepunahan diramalkan

dengan model deterministik ketika � � 20, kita sekarang memperkirakan bahwa populasi akan

terus ada untuk 8 milyar generasi berikutnya!

Tabel 6.3 rata-rata lifespan kepunahan pada satu model kelahiran dan kematian dari satu populasi

yang mengandung satu angka tetap S=100 dengan laki-laki steril.

Ukuran awal populasi Lifespan kepunahan

20 8,101,227,748

10 4,306,531

5 3,822

4 566

3 65

2 6.3

1 1.2

Jelaskan hubungan perbedaan antara model prediksi deterministik dan model prediksi stokastik?

Model stokastik memberikan nilai yang kecil tetapi probabilitas positif yang populasinya tidak

akan mati tetapi akan mengalami rekoloni dan kembali ke level tertinggi mendekati kapasitas

lingkungan K dan bertahan untuk waktu yang sangat lama.

Sementara kedua model adalah kualitatif, implikasi praktis tidak bisa dihilangkan. Suatu

usaha kendali dengan skala besar, tempat tinggal yang luas dan untuk lingkungan mikro

mengalami pembatasan. Model stokastik mengusulkan suatu kemungkinan bahwa beberapa

subpopulasi dalam beberapa lingkungan bisa bertahan dan selanjutnya mengalami recolonize di

seluruh daerah. Program jantan mandul yang tergantung percobaan awal dengan insektisida

adalah keuntungan yang terbaik.


PEMBAHASAN SOAL

4. anggap proses kelahiran dan kematian di state 0,1. . . ,5. Dengan parameter �� 2 � �2 � 0 �$ � 1, �P � 2, �^ � 3, �G � 4 �$ � 4, �P � 3, �^ � 2, �G � 1

catatan bahwa 0 dan 5 adalah state absorbsi. Anggap bahwa proses dimulai pada X(0)=2

(a) Berapa probabilitas absorpsi terakhir di state 0?

(b) Berapa waktu rata-rata untuk absorpsi?

Penyelesaian :

a. Menurut �W �

mnonp ∑ U�∞�LW1 � ∑ U�∞�L$ /�� XU�

∞

�L$ [ ∞1 /�� XU�

∞

�L$ � ∞ q �6.43� Dicari terlebih dahulu ∑ U�∞�L$ karena λ S � pada saat state ke-2 maka ∑ U�∞�L$ � ∞

sehingga �P � 1.

b. Mean time to arbsorpsi

Menurut 6.44

1W �mnonp∞ /�� X 1��U�

∞

�L$ � ∞ X 1��U�∞

�L$ � X Ur X 1�̀ U`∞

`Lr"$W%$rL$ /�� X 1��U�

∞

�L$ [ ∞ q

Akan dicari terlebih dahulu ∑ $� j ∞�L$ . Lihat 6.46, karena � [ λ untuk state 2 maka:

X 1��U�∞

�L$ � 1� � g �� # yh � 0,05

1W � X 1��U�∞

�L$ � X Ur X 1�̀ U`∞

`Lr"$W%$rL$


1P � 0,05 � X U$ X 1�̀ U`G

`L$"$LPP%$L$rL$

1P � 0,55 � U$ � 1�PUP � 1�^U^ � 1�GUG� 1P � 0,55 � 4 � 1�P � 1�^ � 1�G� 1P � 0,55 � 4 �13 � 12 � 1� 1P � ,, 55 � 416 � 7,8833


PROSES KELAHIRAN (KEMUNCULAN) DAN KEMATIAN

(KEHILANGAN) DENGAN STATE ABSORPSI

Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pengantar Proses Stokastik

Oleh :

Nurul kustinah M0106057

Eka Hely Jayanti M0108040

Nanda Putri Monalisa M0108057

Nanda Hidayati M0108098

Novi Amalia Nugrahaeni

Yurista

M0108101

M0108073

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA

2010

Didownload dari · PDF filedianggap berasal dari faktor-faktor persediaan makanan yang...

Documents

Transcript of Didownload dari · PDF filedianggap berasal dari faktor-faktor persediaan makanan yang...