Deret Fourier

download on www.enggar.tk

BAB 2

DERET FOURIER

2.1. Pendahuluan

Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang tersusun atas

banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi

dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Bentuk

getaran atau osilasi di dalam fisika banyak macamnya, misalnya vibrasi dari garpu

tala, getaran atau ayunan dari bandul, gelombang air, getaran dari sistem benda pegas,

gelombang bunyi, arus listrik, dan lain sebagainya.

Uraian suatu gelombang ke dalam gelombang penyusunnya dinamakan Deret

Fourier. Setiap gelombang penyusun mempunyai amplitudo yang dinamakan

Koefisien Fourier.

Bab ini akan membahas tentang Fungsi Periodik, Nilai Rata-rata dari suatu fungsi

Periodik, Deret Fourier Sinus dan Cosinus, Koefisien Fourier, Interval Fourier, Deret

Fourier Bentuk Kompleks, dan Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil. Pada akhir bab ini

dibahas tentang contoh-contoh deret Fourier.

Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat mengenal perumusan deret

Fourier, melakukan penguraian suatu fungsi periodik ke dalam bentuk deret Fourier,

dan dapat memahami bentuk deret Fourier fungsi genap dan fungsi ganjil.

2.2. Fungsi Periodik

Suatu fungsi f(t) dikatakan periodik dengan perioda T jika nilai fungsi f(t) sama

(berulang) setiap selang periodanya. Hal ini dapat dirumuskan :

f(t) =f(t+T) , untuk setiap t.


Banyak fungsi f(t) merupakan fungsi periodik, misalnya

Sin (t + 2) = Sin t

Agar lebih jelas, dapat dilihat melalui gambar berikut :

f(t)

t

T 2T 3T

P(t)

T 2T 3T 4T 5T 6T T

S(t)

T 2T 3T

L(t)

T 2T 3T

Gambar 2.1. Fungsi periodik


2.3. Kondisi Dirichlet

Suatu fungsi f(t) terdefinisi pada interval (-L, L), periodik dengan perioda 2L. f(t) dan

fˡ(t) kontinu dalam interval tersebut. Jika ada nilai f(t) yang bersifat diskontinu pada

interval tersebut, misal pada titik t = 0, f(t)limf(t)lim0t0t

, maka

2

)f(0)f(0f(0)

dimana :

)f(0 adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kanan

)f(0 adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kiri

2.4. Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik

Suatu fungsi f(t) yang periodik, mempunyai nilai rata-rata pada interval (a,b) sebagai

berikut :

n

)f(x)f(x)f(x)f(x n321

Jika interval (a,b) dibagi kecil-kecil sebesar t sebanyak n, maka nilai rata-rata

menjadi :

tΔn

tΔ )f(x)f(x)f(x)f(x n321

Untuk nilai n ∞, maka t 0, sehingga nilai rata-rata fungsi periodik sepanjang

interval periodik (a,b) adalah :

ab

dt f(t)b

a

, atau

b

a

dt f(t)ab

1


Beberapa contoh perhitungan nilai rata-rata fungsi periodik :

a. Sin tf(t) , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = 0dt tCosπ2

1dt Sin t

π2

1π

π

π

π

b. tCos tSinf(t) 22 , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = 1 dt2π

1dt tCos tSin

2π

1π

π

π

π

22

c. tSinf(t) 2 , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = 1/2dt tCos2π

1dt tSin

2π

1π

π

2π

π

2

d. mt Cosmt Sin f(t) , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = dtnt Cos mtSin π2

1π

π

dt 2

ee

2i

ee

π2

1π

π

intintimtimt

dt 2i

ee

2i

ee

2

1

2π

1π

π

n)t-i(mn)t-i(mn)ti(mnt)i(m


Nilai rata-rata 0dt n)t-(mSin n)t (mSin 2

1

π2

1π

π

untuk semua m dan n

e. nt Sin mt Sin f(t) , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = dtnt Sin mtSin π2

1π

π

dt 2i

ee

2i

ee

π2

1π

π

intintimtimt

dt 2

ee

2

ee

2

1

π2

1π

π


dt n)t(m Cos -n)t -(m Cos2

1

π2

1π

π

*) Untuk m ≠ n, maka

Nilai rata-rata 0dt qt Cos -pt Cosπ2

1π

π

*) Untuk m = n ≠ 0, maka

Nilai rata-rata 2

1dt qt Cos - 1

2

1

π2

1π

π


*) Untuk m = n = 0, maka

Nilai rata-rata 0dt 1 - 12

1

π2

1π

π

f. nt Cosmt Cosf(t) , dengan interval periodik (-, )

Nilai rata-rata = dtnt Cos mt Cosπ2

1π

π

dt 2

ee

2

ee

π2

1π

π

intintimtimt

dt 2

ee

2

ee

2

1

π2

1π

π


dt n)t-(m Cos n)t (m Cos2

1

π2

1π

π

*) Untuk m ≠ n, maka

Nilai rata-rata 0dt qt Cos pt Cosπ2

1π

π

*) Untuk m = n ≠ 0, maka

Nilai rata-rata 2

1dt 1pt Cos

2

1

π2

1π

π


*) Untuk m = n = 0, maka

Nilai rata-rata 1dt 1 12

1

π2

1π

π

2.5. Deret Fourier Sinus dan Cosinus

Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang tersusun atas

banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi

dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Fungsi

Sinus nt dan Cosinus nt mempunyai perioda 2, merupakan fungsi dasar yang

nantinya dikembangkan ke bentuk fungsi Sin nt dan Cos nt. Dengan demikian

akan berlaku :

Sin n(t + 2) = Sin (nt + n2) = Sin nt

Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah :

1nn

1nn

0 ntSin bnt Cos a2

af(t)

nt Cos a2t Cos a tCos a2

an21

0

ntSin b2tSin bSin t b n21

Dengan an dan bn merupakan koefisien- koefisien yang harus dirumuskan

menggunakan nilai rata-rata fungsi periodik, dan dinamakan koefisien Fourier.

2.6. Koefisien Fourier

Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus mengandung suku a0, an, dan bn

yang dinamakan koefisien Fourier. Koefisien-koefisien ini dapat dihitung dengan cara

merumuskannya terlebih dahulu.


Perumusan koefisien-koefisien Fourier menggunakan prinsip nilai rata-rata sebagai

berikut :

a) Jika dilakukan integrasi dari perumusan deret Fourier, akan didapat :

π

π-

n21

π

π-

0π

π-

dtnt Cos a2t Cos a tCos a dt 2

adt f(t)

π

π-

n21 dtntSin b2tSin bSin t b

0 02π2

a0

dengan demikian didapat :

π

π

0 dt f(t)π

1a

b) Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan Sin nt, kemudian diintegrasikan,

akan didapat :

π

π-

0π

π-

dtnt Sin 2

adtnt Sin f(t)

π

π-

n21 dtnt Sin nt Cos a2t Cos a tCos a

π

π-

n21 dtnt Sin ntSin b2tSin bSin t b

n

π

π-

2n bπ dt nt Sin b



π

π

n dtnt Sin f(t)π

1b

c. Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan Cos nt, kemudian diintegrasikan,

akan didapat :

π

π-

0π

π-

dtnt Cos2

adtnt Cos f(t)

π

π-

n21 dtnt Cos nt Cos a2t Cos a tCos a

π

π-

n21 dtnt Cos ntSin b2tSin bSin t b

n

π

π-

2n aπ dt nt Cos a


π

π

n dtnt Cos f(t)π

1a

koefisien-koefisien Fourier dirumuskan :

π

π

n dtnt Cos f(t)π

1a , dan

π

π

n0 dt f(t)π

10)(naa

π

π

n dtnt Sin f(t)π

1b


Tinjau f(t) seperti di bawah ini :

f(t)

1

-3 -2 - 2 3 4 t

Gambar 2.2 fungsi f(t)

Fungsi f(t) ini dapat dirumuskan :

πt0 1,

0tπ 0,f(t)

Kita hitung koefisien-koefisien Fourier :

π

π

0 dt f(t)π

1a

π

0

0

π

dt π

1dt 0

π

1

110

π

π

n dtnt Cos f(t)π

1a

000dtnt Cos π

1dtnt Cos 0.

π

1π

0

0

π


π

π

n dtnt Sin f(t)π

1b

π

0

0

π

dtnt Sin π

1dtnt Sin 0.

π

1

0

π

πn

nt Cos0

πn Cos1πn

1

π

2π Cos1

π

1b1

0π2 Cos1π2

1b2

3π

2π3 Cos1

π3

1b3

0π4 Cos1π4

1b4

Deret Fourier yang terbentuk adalah :

nt Cos a2t Cos a tCos a2

af(t) n21

0

ntSin b2tSin bSin t b n21

5tSin 5π

23tSin

3π

2 Sin t

π

2

2

1

5

5tSin

3

3tSin

1

Sin t

π

2

2

1


2.7. Deret Fourier Bentuk Kompleks

Jika kita ingat kembali bahwa :

2i

e-ent Sin

int-int

2

eent Cos

int-int

ternyata komponen Sin nt dan Cos nt tersusun dari fungsi eksponensial bentuk

kompleks. Deret Fourier dapat dirumuskan ke dalam komponen fungsi eksponensial

bentuk kompleks eint

atau e-int

yang periodik dengan perioda 2, sama dengan perioda

fungsi Sin nt atau Cos nt.

Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :

-n

intn e Cf(t)

intn

i3t3

i2t2

it10 e Ce Ce Ce CC

int-n-

i3t-3-

i2t-2-

it-1- e Ce Ce Ce C

Koefisien-koefisien Cn dapat dihirung dengan cara sebagai berikut :

Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan int-e , kemudian diintegrasikan, akan

didapat :

π

π-

int-intn

i2t2

it10

π

π-

int- dt e e Ce Ce CCdt e f(t)

π

π-

int-int-n-

i2t-2-

it-1- dt e e Ce Ce C


π2C dt e e Cdt e f(t)π

π-

nint-int

n

π

π-

int-

Sehingga koefisien Fourier dapat dirumuskan :

π

π-

int-n dt e f(t)

2π

1C

Kita tinjau f(t) seperti di bawah ini :

πt0 1,

0tπ 0,f(t)

Koefisien Fouriernya :

π

π-

int-n dt e f(t)

2π

1C

π

0

int-0

π-

int- dt e π2

1dt e 0.

π2

1

0

π

in

e

2π

1 int

inte1πin2

1

2

1dt

π2

1C

π

0

0

πi

1e1

πi2

1C πi

1 , dan

πi-

1e1

πi2-

1C πi

1


0e1πi4

1C πi2

2 , dan 0e1

πi4-

1C πi2

2

πi3

1e1

πi6

1C πi3

3 , dan

πi3-

1e1

πi6-

1C πi3

3

0e1πi8

1C πi4

4 , dan 0e1

πi8-

1C πi4

4

πi5

1e1

πi10

1C πi5

5 , dan

πi5-

1e1

πi10-

1C πi5

5


5

e

3

e

1

e

πi

1

2

1f(t)

i5ti3tit

5-

e

3-

e

1

e

πi

1 i5t-i3t-it-

2i

ee

5

1

2i

ee

3

1

2

ee

π

2

2

1 πi5πi5i3ti3titit

i

5tSin

5

13tSin

3

1Sin t

π

2

2

1

2.8. Interval Fourier

Fungsi inte nt, Cos nt,Sin bersifat periodik dengan perioda 2, dan telah digunakan

dalam perumusan deret Fourier pada interval (-, ). Perumusan deret Fourier bisa

menggunakan interval lain sepanjang satu perioda, misalnya (0, 2), (, 3), dan


seterusnya. Pada kebanyakan persoalan fisika mempunyai perioda 2L, misalnya

interval (-L, L). Pada interval tersebut fungsi

L

tπnSin periodik dengan perioda

2, sehingga berlaku hubungan :

L

tπnSinπ2n

L

tπnSin2Lt

L

πnSin

Hal ini berlaku juga untuk fungsi inte nt, Cos .

Perumusan deret Fourier menjadi :

1nn

1nn

0

L

tπnSin b

L

tπn Cos a

2

af(t)

L

tπn Cos a

L

tπ2 Cos a

L

tπ Cos a

2

a f(t) n21

0

L

tπnSin b

L

tπ2Sin b

L

tπSin b n21

Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :

L

L

0 dt f(t)L

1a

L

L-

n dt L

tπn Cos f(t)

L

1a

L

L-

n dt L

tπnSin f(t)

L

1b


Dan dalam bentuk kompleks :

-n

L

tπni

n e Cf(t)

Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :

L

L-

L

tπni-

n dt e f(t)2L

1C

Tinjau f(t) yang didefinisikan :

f(t)

1

-4L -3L -2L -L L 3L 3L t

Gambar 2.3. Fungsi periodik f(t)

2LtL 1,

Lt0 0,f(t)

Koefisien Fouriernya :

2L

0

L

tπni-

n dt e f(t)L2

1C


2L

L

L

tπni-L

0

L

tπni-

n dt e 2L

1dt e 0.

2L

1C

2L

L

L

tπni

L

πni

e

2L

1

πinπin2 eeπ2in

1

πine1π2in

1

2

1dt

2L

1C

2L

L

0

πi

1-e1

π2i

1C πi

1 , dan

πi

1e1

πi2-

1C πi

1

0e1πi4

1C πi2

2 , dan 0e1

πi4-

1C πi2

2

πi3

1-e1

πi6

1C πi3

3 , dan

πi3

1e1

πi6-

1C πi3

3

0e1πi8

1C πi4

4 , dan 0e1

πi8-

1C πi4

4

πi5

1-e1

πi10

1C πi5

5 , dan

πi5

1e1

πi10-

1C πi5

5



5

e

3

e

1

e

πi

1

2

1f(t)

L

tπ5i

L

tπ3i

L

tπi

5

e

3

e

1

e

πi

1 L

tπ5i-

L

tπ3i-

L

tπi-

2i

ee

5

1

2i

ee

3

1

2

ee

π

2

2

1 L

tπ5i

L

tπ5i

L

tπ3i

L

tπ3i

L

tπi

L

tπi

i

L

tπ5Sin

5

1

L

tπ3Sin

3

1

L

tπSin

π

2

2

1

2.9. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Perumusan fungsi genap adalah :

f(t)t)f(

Misal fungsi genap : nt Cos ,t2, dan lainnya.

f(t) periodik mempunyai sifat :

L

L

L

0

f(t)dt2f(t)dt


Perumusan fungsi ganjil adalah :

f(t)t)f(

Misal fungsi ganjil : ntSin t, , dan lainnya.

f(t) periodik mempunyai sifat :

L

L

0f(t)dt

Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah :

π

0

π

π

0 dt f(t)π

2dt f(t)

π

1a

π

0

n dt L

tπn Cos f(t)

π

2a , karena

L

tπn Cos f(t) merupakan fungsi genap

0dt L

tπnSin f(t)

π

1b

π

π

n

, karena L

tπnSin f(t) merupakan fungsi

ganjil

Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah :

0dt f(t)π

1a

π

π

0

0dt L

tπn Cos f(t)

π

1a

π

π

n

, karena L

tπn Cos f(t) merupakan fungsi

ganjil

π

π

n dt L

tπnSin f(t)

π

2b , karena

L

tπnSin f(t) merupakan fungsi genap


Tinjau fungsi f(t) sebagai berikut :

1t1/2 0,

2/1t0 1,f(t)

Jika f(t) merupakan fungsi ganjil, maka f(t) berupa

f(t)

-2 -1 0 1 2

Gambar 2.4. Fungsi ganjil

π

π

n dt L

tπnSin f(t)

π

2b

1

2/1

1/2

0

dt 1

tπn0.Sin

1

2dt

1

tπnSin

1

2

2/10tπn Cos

πn

2

2

πn Cos-1

πn

2

0b , 3π

2b ,

2π

4b ,

π

2b 4321



6

tπ62Sin

5

tπ5Sin

3

tπ3Sin

2

tπ22Sin tπSin

π

2f(t)

Jika f(t) merupakan fungsi genap, maka f(t) berupa

f(t)

-2 -1 0 1 2

Gambar 2.5. Fungsi genap

1dt 1

2a

1/2

0

0

1

0

n dt 1

tπn Cos f(t)

1

2a

1

2/1

1/2

0

dtt πn 0.Cos 2dtt πn Cos 2

2

πnSin

πn

2tπnSin

πn

2 2/10



5

tπ5 Cos

3

tπ3 Cos

1

tπ Cos

π

2

2

1f(t)

2.10. Teorema Parseval

Ada hubungan antara nilai rata-rata fungsi f 2

(t) dengan koefisien-koefisien deret

Fourier. Kita turunkan hubungannya menggunakan perumusan deret Fourier dan nilai

rata-rata fungsi.

Deret Fourier dirumuskan :

1nn

1nn

0 ntSin bnt Cos a2

af(t)

Nilai rata-rata dari f 2 (t) dalam interval (-, ) adalah :

Nilai rata-rata f 2 (t) = dtf(t)

π2

12π

π

Nilai rata-rata dari koefisien Fourier adalah :

Nilai rata-rata dari

2

0a2

1

=

2

0a2

1

Nilai rata-rata dari 2n nt Cos a = 2/1 a 2n

Nilai rata-rata dari 2n ntSin b = 2/1 b 2n

Jika f 2

(t) diterapkan pada perumusan deret Fourier, maka akan terdapat hasil

perkalian nt,Sin .ba1/22. nt, Cos .aa1/22. n0n0 dan hasil perkalian (m≠n)

mt Sin nt Cos b 2.a nn yang semuanya mempunyai nilai rata-rata nol.


Dengan demikian perumusan deret Fourier yang telah dikuadratkan tersisa menjadi :

Nilai rata-rata f 2 (t) =

1n

2n

1n

2n

20 )(b

2

1 )(a

2

1

2

a

Untuk deret Fourier bentuk kompleks didapat :

Nilai rata-rata |f(t)|2 =

n

2n |C|

Tinjau fungsi f(t) = t pada interval –1 < t < 1. f(t) diuraikan ke dalam deret Fourier

bentuk kompleks.

Koefisien-koefisien Fourier adalah :

1

1-

tπin-n dt e f(t)

2

1C

1

1-

tπin- dt et 2

1

1

1-

tπin-1

1

tπin-

dt πin

e

2

1

πin-

e t.

2

1

1

12

tπin-πinπin-

π)(n

e

2

1

πin

e

πin

e -

2

1

2

πin

2

πin-

π)(n

e

π)(n

e

2

1πn Cos

πin

1

nπSin (nπn

i

inπ

nπ Cos

2

πn Cos πn

i



-n

tπinn e Cf(t)

tπi3-tπi3tπi2tπi2-tπi-tπi e

3

1e

3

1e

2

1e

2

1ee

π

if(t)

Nilai rata-rata f 2 (t) pada interval (-1, 1) adalah :


3

1

3

x

2

1t

2

11

1

31

1

2

Dengan menggunakan teorema Parseval :


n

2n |C|

n

2

πn Cos πn

i

9

1

9

1

4

1

4

111

π

1

2

9

1

4

11

π

2

2

Dari kedua persamaan diatas, dapat dibuat persamaan :

n222 n

1

π

2

9

1

4

11

π

2

3

1


Dapat disimpulkan bahwa :

6

π

n

1 2

n2

2.11. Contoh-contoh

(i). Uraikan fungsi f(t) ke dalam deret Fourier

5t0 3,

0t5 0,f(t)

Jika uraian deret Fourier konvergen ke f(t) pada interval –5 t 5, definisikan

kembali f(t)

Gambar sketsa f(t) adalah :

f(t)

3

t

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

perioda = 10

2L = 10, maka L = 5

1nn

1nn

0

L

tπnSin b

L

tπn Cos a

2

af(t)


L

L-

0 dt f(t)L

1a

3dt 35

1dt 0.

5

15

0

0

5-

L

L

n dt L

tπn Cos f(t)

L

1a

5

0

0

5

dt 5

tπn Cos 3

5

1dt

5

tπn Cos 0.

5

1

05

tπnSin

nπ

5

5

35

0

L

L

n dt L

tπnSin f(t)

L

1b

5

0

0

5

dt 5

tπnSin 3

5

1dt

5

tπnSin 0.

5

1

πn

πn Cos-13

5

tπn Cos

πn

5

5

35

0

Uraian deret Fourier :

1nn

1nn

0

L

tπnSin b

L

tπn Cos a

2

af(t)


1n 5

tπnSin

πn

πn Cos-13

2

3f(t)

5

t5πSin

5

1

5

t3πSin

3

1

5

tπSin

π

6

2

3

Jika deret konvergen ke f(t) pada interval –5 t 5 , maka f(t) didefinisikan kembali

menggunakan kondisi Dirichlet pada t = -5, t = 0, t = 5, menjadi :

5 t 3/2,

5t0 3,

0 t 3/2,

0t5 0,

5 t3/2,

f(t)

(ii). Uraikan fungsi f(t) = t2 , 0 < t < 2 ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan

Cosinus.

Bentuk sketsa fungsi f(t) = t2

f(t)

t

-6 -4 -2 0 2 4 6


Perioda = 2 L = 2 , atau L =

2L

0

n dt L

nππ Cos f(t)

L

1a

2π

0

2 dtnt Cos tπ

1

π2

032

2

n

ntSin -2

n

nt Cos-2t-

n

ntSin t

π

1

2n

4 , dimana n ≠ 0

Untuk n = 0 , didapat :

2L

0

0 dt f(t)L

1a

3

π8t

π3

1dt t

π

1 2π2

03

π2

0

2

dt L

tπnSin f(t)

L

1b

2L

0

n

2π

0

2 dtnt Sin tπ

1

π2

032

2

n

nt Cos2

n

ntSin -2t-

n

nt Cos- t

π

1


Didapat, untuk : n ≠ 0

n

4π-bn

Uraian deret Fourier :

1nn

1nn

0

L

tπnSin b

L

tπn Cos a

2

af(t)

1n1n2

2

nt Sin n

4π-nt Cos

n

4

3

4π

(iii). Suatu fungsi f(t) = t , 0 < t < 2.

a. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil.

b. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap.

a. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil :

f(t)

t

-8 -4 0 2 4 6 8


0an

L

0

n dt L

tπnSin f(t)

L

2b

2

0

dt 2

tπnSin t

2

2

2

022 2

tπnSin

πn

4--

2

tπn Cos

πn

2-t

Sehinggan didapat :

πn Cos πn

4bn

Uraian deret Fourier adalah :

1n 2

tπnSin πn Cos

πn

4f(t)

2

t3πSin

3

1

2

t2πSin

2

1

2

tπSin

π

4

b. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap :

f(t)

t

-8 -4 0 2 4 6 8


0bn

L

0

n dt L

tπn Cos f(t)

L

2a

2

0

dt 2

tπn Cost

2

2

2

022 2

tπn Cos

πn

4--

2

tπnSin

πn

2t

1 - πn Cos πn

4

22 , dimana n ≠ 0

Untuk n = 0 , didapat :

2dtt 2

2dt f(t)

L

2a

2

0

L

0

0

1n22 2

tπn Cos 1 - πn Cos

πn

41f(t)

2

t5πSin

5

1

2

t3π Cos

3

1

2

tπ Cos

π

81

222

(iv) Dengan menggunakan teorema Parseval, hitunglah nilai dari deret deret :

4444

1n4 4

1

3

1

2

1

1

1

n

1


Uraian deret Fourier pada contoh (ii) bagian b menghasilkan koefisien-koefisien

Fourier :

L

0

n dt L

tπn Cos f(t)

L

2a

1 - πn Cos πn

4

22 , n ≠ 0

Untuk n = 0, didapat :

2dtt 2

2dt f(t)

L

2a

2

0

L

0

0

Dengan menggunakan teorema Parseval :

2

n1

2n

20

L2 )(b)(a

2

)(adt (t)f

L

1

nL

Dengan menggunakan hasil di atas didapat :

1

2n

20

2

2

22

2

2 )(b2

)(adt t

2

1dt (t)f

2

1

n

3

8t

3

1

2

1dt t

2

1 2

23

2

2

2

1

2

441

2n

20 1 - πn Cos

πn

4

2

4)(b

2

)(a

nn


Dari kedua persamaan di atas dapat dibuat persamaan :

44444

1

2

44 7

1

5

1

3

1

1

1

π

6421 - πn Cos

πn

42

3

8

n

atau

96

π

7

1

5

1

3

1

1

1 4

4444

Dengan hasil ini kita dapat menghitung deret :

4444

1n4 4

1

3

1

2

1

1

1

n

1

44444444 8

1

6

1

4

1

2

1

7

1

5

1

3

1

1

1

444444444 4

1

3

1

2

1

1

1

2

1

7

1

5

1

3

1

1

1

1n444444 n

1

2

1

7

1

5

1

3

1

1

1

Dengan melakukan perhitungan kecil akan didapat :

44444

1n4 7

1

5

1

3

1

1

1

2

11

n

1

96

π

2

11

4

4

Jumlah deret adalah :

90

π

n

1 4

1n4


2.12. Rangkuman

(i). Fungsi Periodik dirumuskan :

f(t) =f(t+T)

dengan perioda T

(ii). Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik

ab

dt f(t)b

a

, atau

b

a

dt f(t)ab

1

(iii). Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah :

L

tπn Cos a

L

tπ2 Cos a

L

tπ Cos a

2

a f(t) n21

0

L

tπnSin b

L

tπ2Sin b

L

tπSin b n21

1nn

1nn

0

L

tπnSin b

L

tπn Cos a

2

a

(iv). Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :

π

π

0 dt f(t)π

1a

π

π

n dt L

tπn Cos f(t)

π

1a

π

π

n dt L

tπnSin f(t)

π

1b


(v). Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :

-n

L

tπni

n e Cf(t)

L

tπni

nL

tπ3i

3L

tπ2i

2L

tπi

10 e Ce Ce Ce CC

L

tπni-

n-L

tπ3i-

3-L

tπ2i-

2-L

tπi-

1- e Ce Ce Ce C

Koefisien-koefisien Fourier Cn :

π

π-

L

tπni-

n dt e f(t)π2

1C

(vi). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah :

π

0

0 dt f(t)π

2a

π

0

n dt L

tπn Cos f(t)

π

2a

0bn

(vii). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah :

0a0

0an

π

π

n dt L

tπnSin f(t)

π

2b


(viii). Teorema Parseval

Deret Fourier dirumuskan :

1nn

1nn

0 ntSin bnt Cos a2

af(t)

Nilai rata-rata dari f 2 (t) pada selang interval (-, ) adalah :

Nilai rata-rata f 2 (t) = dtf(t)

π2

12π

π

Dengan menggunakan perumusan deret Fourier, persamaan di atas menjadi :


1n

2n

1n

2n

20 )(b

2

1 )(a

2

1

2

a

Dalam bentuk kompleks :

Nilai rata-rata |f(t)|2 =

n

2n |C|

2.13. Latihan Soal

(i) Buktikan bahwa :

a). /2π

0

2π/2

0

2 dt t Cosdt t Sin

dengan perubahan variabel :

x2

πt

b). ab2

1dt kt Cosdt kt Sin

b

a

2b

a

2


(ii). Hitunglah nilai rata-rata dari :

a. t Sin Sin t 2 , pada selang interval π0,2

b. . 6t Cos t 2 , pada selang interval

6

π0,

c. 3t Sin 3 2t Sin 2 Sin t , pada selang interval

2

π0,

d. te1 , pada selang interval 0,1

(iii). Hitunglah nilai integral dari :

a.

/34π

0

2 dt 2

3t Sin

b.

2

1-

2 dt 3

πt Sin

c.

/23π

π/2-

2 dt 2

t Cos

d. ω/π2

0

2 dtωt Sin

(iv). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus :

a.

πt0 0,

0tπ 1,f(t)

b.

π tπ/2 0,

π/2t0 1,

0tπ ,0

)(tf


c.

π tπ/2 1,

π/2tπ 0,f(t)

d.

π tπ/2 1,

π/2tπ 1,-f(t)

e.

π tπ/2 1,

π/2t0 1,-

0tπ ,0

)(tf

f.

π t0 t,

0tπ 0,f(t)

g.

π t0 Sin t,

0tπ 0,f(t)

h.

π t0 t,-

0tπ ,πtf(t)

i. πtπ t,1f(t)

(v). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk kompleks :

a. π t π, tf(t) 2

b. 2π t 0, tf(t) 2

c. π t π, ef(t) t

d. 2π t 0, ef(t) t

e. 2 t 2,t 2f(t)

f. 4 t 0,t 2f(t)


g. 2 /1 t 2/1,t πSin f(t)

h. 1 t 0,t πSin f(t)

(vi). Uraikan fungsi f(t) di bawah ini ke dalam uraian deret Fourier :

a.

L t0 1,

0tL- 1,-f(t)

Hitunglah deret berikut :

222 7

1

5

1

3

11

b. 1/2t1/2 ,tf(t) 2


444 4

1

3

1

2

11

c. πtπ t,1f(t)


222 4

1

3

1

2

11

2.14. Daftar Pustaka

1. Arfken , George , Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, New

Yook , 2 nd ed .,1970.

2. BOAS, Mary L., Mathematical Methods in The Physical Sciences , second Edition

, John Wily and sons, 1983 .

3. Bradbury , Ted clay ., Mathematical Methods with Applications to Problems in the

Physical Sciences , John Wily and Sons, 1984.

4. D’Azzo , John J . and Constantne H . Haupis , Feed back Control System Analysis

and Synthesis , second Edition , Mc Graw – Hill , 1966.


5. Hilde brand , Francis B ., Advanced Calculus for Applications, Prentice – Hall,

Engle wood Cliffs , 2 nd Ed . 1976.

6. Kaplan , Wilfred , Advanced Calculus , Second Edition , Addison-Wesley,

Publishing Company , 1981.

7. Kreyszig , Erwin ., Advanced Engineering Mathematics, Fourth Edition , John

Wiley and Sons , 1979.

8. Sokolnikoff , 1 . S . , and R . M . Redheffer , Mathematics of Physics and Modern

Engineering , Mc Graw – Hill 2 nd ed . , 1966.

9. Wos pakrik , Hans J . , Dasar – Dasar Matematika untuk Fisika , ITB , Bandung ,

1993 .

Deret Fourier

Documents

Transcript of Deret Fourier