DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS · PDF fileTerampil dalam operasi hitung bilangan...
39
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS NEGERI MANADO JURUSAN MATEMATIKA 2008
Transcript of DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS · PDF fileTerampil dalam operasi hitung bilangan...
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
UNIVERSITAS NEGERI MANADO
JURUSAN MATEMATIKA
2008
Kata Pengantar
Puji syukur saya panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, oleh karena berkat dan
penyertaan-Nya sehingga saya dapat menyelesaikan pembuatan Modul Matematika ini.
Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA kelas XI (Program IPA)
dalam memahami kompetensi konsep Turunan melalui penerapan belajar tuntas.
Sebagai manusia yang penuh dengan kekurangan dan kelemahan, sudah tentu saya menyadari
bahwa dalam Modul Pembelajaran ini, masih ada begitu banyak kekurangan dan kelemahan. Oleh
karena itu,saran dan kritikan dari semua pihak sangatlah diharapkan demi kesempurnaan Modul ini.
Akhirnya, saya tak lupa mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
berpartisipasi dalam pembuatan Modul pembelajaran ini. Harapan saya, biarlah kiranya Modul ini
dapat menambah wawasan kita semua.
Tondano, Februari 2008
PENULIS
Daftar Isi
Halaman
Halaman Francis ……………………………………………..
Kata Pengantar……………………………………………….
Daftar Isi……………………………………………………….
Peta kedudukan Modul
Glosarium
Bab I Pendahuluan
A. Deskripsi..............................................................................
B. Prasyarat..............................................................................
C. Petunjuk Penggunaan Modul.................................................
D. Tujuan Akhir.........................................................................
E. Kompetensi...............................................................................
F. Cek Kemampuan....................................................................
Bab II Pembelajaran.......................................................................
A. Rencana Belajar Peserta Diklat.................................................
B. Kegiatan Belajar.........................................................................
1. Kegiatan Belajar 1................................................................
2. Kegiatan Belajar 2................................................................
Bab III Evaluasi
A. Evaluasi Kompetensi.......................................................................
Bab IV Penutup.................................................................................
Daftar Pustaka.....................................................................................
Menerapkan pembagian suku banyak Dengan pembagian linear, pembagian
panjang dan menggunakan metode Horner
Pembagian Suku banyak dengan pembagi kuadrat, Mencari teorema sisa, Mencari teorema sisa dengan pembagi Kuadrat
Menetukan Teorema faktor
KEGIATAN 1
KEGIATAN 2
Glosarium
Univariabel : Sukubanyak-sukubanyak di atas adalah suku banyak yang hanya mempunyai satu
variabel.
Multivariabel : Selain itu ada pula suatu suku banyak yang mempunyai lebih dari satu variabel.
teorema faktor : saat suku banyak f(x)dibagi (ax + b) maka sisanya adalah nol, atau , f(x) habis
dibagi oleh (ax + b), atau (ax + b) adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x)..
BAB I
PENDAHULUAN
A. DESKRIPSI
Modul suku banyak ini terdiri atas dua bagian proses pembelajaran sesuai dengan sub
kompetensinya yaitu:
Menerapkan pembagian suku banyak Dengan pembagian linear, pembagian panjang dan
menggunakan metode Horner
Pembagian Suku banyak dengan pembagi kuadrat, Mencari teorema sisa, Mencari
teorema sisa dengan pembagi Kuadrat Menetukan Teorema faktor
B. PRASYARAT
Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah:
Terampil dalam operasi hitung bilangan real
Terampil dalam operasi Aljabar
Terampil dalam operasi Substitusi dan eliminasi
Terampil dalam operasi eksponen
C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
a. Penjelasan Bagi Peserta Diklat
bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan cek
kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya.
setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang
yang masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena
sudah menguasainya.
laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi Anda
berkembang dengan baik.
Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertian-
pengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar
latihan.
dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban
terlebih dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan.
cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudian
kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda.
b. Peranan Guru
1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.
2. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul
ini.
3. membantu peserta diklat dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang
diperlukan untuk belajar.
4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta diklat
5. menjelaskan kepada peserta diklat mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan
merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.
D. TUJUAN AKHIR
Setelah selesai mempelajari modul ini, Anda akan memiliki kemampuan sebagai berikut :
1. Memiliki pemahaman mengenai suku banyak.
2. Dapat menuliskan bentuk umum suku banyak.
3. Dapat membagi suku banyak dengan pembagi linear
4. Dapat membagi suku banyak dengan pembagian panjang
5. Dapat mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat
6. Dapat mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa
7. Dapat mencari sisa pembagian oleh pembagi kuadrat
8. Bisa mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor
E. KOMPETENSI : Menerapkan Konsep Suku Banyak
No.STANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR
KOGNITIF AFEKTIF PSIKOMOTOR KOGNITIF AFEKTIF PSIKOMOTOR
1. Setelah selesai mengikuti pelajaran matematika suku banyakmaka siswa
1. Menerapkan pembagian suku banyak Dengan pembagian linear, pembagian panjang dan menggunakan metode Horner
2. Melakukan pembagian Suku banyak dengan pembagi kuadrat, Mencari
Siswa menyadari pentingnya matematika sehingga selalu menujukan apresiasi yang positif setiap kali belajar matematika khususnya dalam mempelajari materi tentang suku banyak.
Siswa selalu menujukan kinerja yang baik dalam setiap kegiatan belajar matematika khusus dalam mempelajari materi suku banyak.
Setelah selesai mengikuti pelajaran matematika suku banyak maka siswa dapat menuliskan bentuk umum suku banyak, membagi suku banyakdengan pembagi linear, membagi suku banyak dengan pembagian panjang, mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat, mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa,
Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika secara bertanggung jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dalam mempelajari materi tentang suku banyak
1. Siswa selalu menujukan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugas-tugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi suku banyak.
teorema sisa, Mencari teorema sisa dengan pembagi Kuadrat Menetukan Teorema faktor
mencari sisa pembagian oleh pembagi kuadrat dan bisa mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor.
CEK KEMAMPUAN
No Pertanyaan Ya Tidak
1 Apakah Anda telah memahami pengertian suku
banyak ?
2 Dapatkah Anda menuliskan bentuk umum suku
banyak
3 Dapatkah anda membagi suku banyak dengan
pembagi linear
4 Dapatkah anda membagi suku banyak dengan
pembagian panjang
5 Dapatkah anda mencari hasil bagi dan sisa dari
pembagi kuadrat
6 Dapatkah anda mencari sisa setiap pembagian
dengan menggunakan teorema sisa?
7 Dapatkah anda sisa pembagian oleh pembagi kuadrat
8 Dapatkah anda mencari sebuah faktor dari suku
banyak yang disebut dengan teorema faktor
Jika Anda menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.
BAB II
PEMBELAJARAN
A. RANCANGAN BELAJAR SISWA
Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagian
dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan
konsep Turunan. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non
Instruksional, Anda perlu latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain
mengembangkan kompetensi matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non
Instruksional. Untuk itu, maka dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan
tugas-tugas yang telah dirancang.
1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun
oleh guru, untuk menguasai kompetensi Konsep Turunan dengan menggunakan format
sebagai berikut.
No Kegiatan Pencapaian Alasan Perubahan
bila diperlukan
ParafTgl Jam Tempat Siswa Guru
Mengetahui .............., ............ 20
Guru pembimbing Peserta Diklat
(..............................) (................................)
2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.
a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menurut
pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi
yang telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan kliping
terhadap informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda
pelajari.
b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang
dilengkapi dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan,
siapa yang terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa).
c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh benda
kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain).
d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan guru
pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang harus
diperbaiki/dilengkapi, maka Anda harus melaksanakan saran guru pembimbing Anda.
B. KEGIATAN BELAJAR
1. KEGIATAN BELAJAR 1:
(a) Tujuan kegiatan belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan:
o Memiliki pemahaman mengenai suku banyak.
o Dapat menuliskan bentuk umum suku banyak.
o Dapat membagi suku banyak dengan pembagi linear
o Dapat membagi suku banyak dengan pembagian panjang
(b) Uraian materi
Pengertian suku banyak
Bentuk umum dari suku banyak
012
23
33
3-n2
2-n1
1-nn aaaa...aaaa xxxxxxx nnnn
Untuk n suatu bilangan cacah
Pada bentuk umum suku banyak di atas terdapat beberapa istilah yang perlu dipahami, antara lain:
1. Pangkat tertinggi x yaitu n disebut derajat dari suku banyak tersebut.
2. an disebut koefisien dari nx , an-1 disebut koefisien dari 1nx , ..., dan a1 disebut koefisien dari x .
3. Suku yang tidak memuat peubah x disebut Suku tetap.
Perhatikan bahwa suku-suku pada suku banyak diatas di awali dengan suku yang peubahnya
mempunyai pangkat tertinggi, yaitu nxna . Kemudian diikuti oleh suku-suku berikutnya dan diakhiri
dengan suku tetap 0a . Suku banyak yang disusun atau ditulis semacam ini dikatakan menurut aturan
pangkat turun dalam peubah acak x . Perlu diketahui bahwa peubah suatu suku banyak tidak harus
dalam peubah x , tetapi tetapi dalam peubah-peubah lain seperti peubah zyutscba dan ,,...,,,,...,,, .
Sukubanyak-sukubanyak di atas adalah suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel, dan
biasanya disebut univariabel. Selain itu ada pula suatu suku banyak yang mempunyai lebih dari satu
variabel atau bisa disebut multivariabel.
Sebagai contoh suku banyak multivariabel:
1043 yxyx merupakan suku banyak dalam dua peubah x dan y dengan x berderajat 3 dan y
berderajat 4.
1. MEMBAGI SUKU BANYAK DENGAN PEMBAGI LINEAR
Sebuah suku banyak memiliki bentuk umum a0 xn + a1x
n-1+ a2xn-2 + ...+ an
Disini n disebut sebagai derajat suku banyak.
Sebagai contoh
1. 4x4 + 10x2 + 5x +6 : suku banyak berderajat 4 (kuartik)
2. 5x3 - 6x2 - 11 x + 1 : suku banyak berderajat 3 (kubik)
3. 3x2 - 3x + 2 : suku banyak berderajat 2 (kuadrat)
4. 2x + 5 : suku banyak berderajat 1 (linear)
Pembagian suku banyak menyerupai pembagian bilangan,
Sebagai contoh pada bilangan :
Karena 3 × 4 = 12 maka 12 : 4 = 3, atau 12 : 3 = 4. pada kasus 12 :4 =3, maka 4 di sebut
pembagi dan 3 disebut hasil bagi.
Sebgai contoh pada suku banyak : karena (2x+3)(x + 5) = 2x2 + 13x +12, maka
(2x2 + 13x +12) : (2x +3) = x + 5 atau (2x2 + 13x +12) : (x + 5) =2x+3
Pada kasus (2x2 + 13x +12) : (2x +3) = x + 5, (2x +3) di sebut pembagi dan x + 5 disebut hasil
bagi.
Sampai di sini cara kita menemukan hasil bagi dapat disimpulkan sebgai berikut :
a. Berapa hasil bagi dari 12 : 4 ?
Dengan mengingat-ingat bahwa 3 × 4 = 12, maka mendapatkan bahwa 12 : 4 = 3
b. Berapa hasil bagi dari (2x2 + 13x +12) : (2x +3) ?
Dengan memperhitungkan bahwa (2x +3) (x + 5) = (2x2 + 13x +12), maka diperoleh (2x2 +
13x +12) : (2x +3) = : (2x +3)
2. PEMBAGIAN PANJANG
Berapa hasil bagi dari 4369:14 ? dengan pembagian panjang kita dapatkan :
Hasil BagiYang Dibagi
Sisa
Pembagi
1
-28
29
- 14
16
- 42
312963414
Hasil baginya adalah 312 dan sisanya adalah 1.
Berapa hasil bagi dari (x3+4x2 - 2x +4) : (x -1)?
Dengan cara serupa, kita dapatkan:
7
-33
43
-55
25
-
354241
2
2
23
5
23
x
x
xx
xx
xx
xxxxxx
Hasil baginya adalah x5 + 5x + 3 dan sisanya adalah 7.
Kita mungkin bertanya, apakah betul bahwa 679 : 21 memberikan hasil bagi 32 dan sisa 7?
Melalui perkalian dan penjumlahan : (32 × 21) + 7 = 672 + 7 = 679, jadi jawabannya betul.
Lalu apakah betul bahwa (6x2 + 7x +9) : (2x +1) memberikan hasil bagi 3x + 2 dan sisa 7?
Memelalui perkalian dan penjumlahan:
(3x + 2 ) (2x +1) + 7 = 6x2 + 7x + 2 + 7 = 6x2 + 7x +9, jadi betul.
Beberapa contoh berikut akan memperjelas pembagian panjang pada suku banyak.
1. 664
44
1241
2
23
23
xx
xx
xxx
6x2-1
6x2-6x -
6x-1
6x-6 -
5
Pembagian:
Hasil Bagi
Yang Dibagi
Sisa
Pembagi
( 124 23 xx ):(x-1)
Hasil baginya: 124 23 xx
Sisa : 5
Dan kita dapat menuliskan bahwa: 124 23 xx =(x-1) ( 664 2 xx )+5
2. . 1
4
11
23
33
4
xxx
xx
xx
-x3-1
-x3-x2 -
x2 - 1
x2 + x -
-x – 1
-x – 1 -
0
Pembagian:
( 14 x ):(x+1)
Hasil baginya: 123 xxx
Sisa : 0
Dan kita dapat menuliskan bahwa: 14 x =(x+1) ( 123 xxx ) + 0
14 x =(x+1) ( 123 xxx )
Karena sisanya adalah 0, maka kita dapat mengatakan bahwa 14 x habis dibagi oleh x + 1.
Atau, x + 1 adalah sebuah faktor dari 14 x (faktor lainnya adalah 123 xxx ).
3. METODE HORNER (1)
Melalui pembagian panjang, kita akan mendapatkan bahwa pembagian (5x2 + 6x + 4):(x +
2) memberikan hasil bagi 5x – 4 dan sisa 12.
Sekarang kita akan mengerjakan kembali pembagian tersebut dengan suatu metode yang
disebut metode Horner.
Ada 2 cara menggunakan metode Horner, sebagaimana ditunjukkan sebagai berikut ini.
Cara pertama:
Penjelasan:
(b) 5 6 4 (a)
2 (c) 10 -8
(d) (e) (-)
(f) (g)
5 -4 12
Hasil bagi Sisa
Keterangan:
(a) Koefisien-koefisien dari 5x2 + 6x + 4.
(b) Konstanta dari pembagi x + 2
(c) Pindahkan 5 ke bawah
(d) 5 × 2 = 10, angka 2 berasal dari (b)
(e) 6 – 10 = -4
(f) -4 × 2 = -8
(g) 4 – (-8) = 12
Hasil bagi : 5x – 4 dan sisa : 12
Cara kedua:
Penjelasan:
(b) 5 6 4 (a)
-2 (c) -10 8
(d) (e) (-)
(f) (g)
5 -4 12
Hasil bagi Sisa
Keterangan:
(h) Koefisien-koefisien dari 5x2 + 6x + 4.
(i) Negatif dari konstanta pembagi x + 2
(j) Pindahkan 5 ke bawah
(k) 5 × (-2) = -10, angka (-2) berasal dari (b)
(l) 6 + (-10) = -4
(m)(-4) × (-2) = 8
(n) 8 + 4 = 12
Dan seperti sebelumnya, hasil bagi : 5x – 4 dan sisa : 12
Perhatikan bahwa pada langkah (a) suku banyak harus ditulis dalam bentuk umum.
Perhatikan pembagian-pembagian dengan metode Horner berikut ini.
(i). x3 : (x - 5)
Bentuk umum dari suku banyak x3 adalah : 1 x3 + 0 x2 + 0x + 0.
1 0 0 0
5 5 25 125
(+)
1 5 25 125
Hasil bagi Sisa
Hasil bagi : 1 x3 + 5x + 25x0 = x2 + 5x + 25
. Sisa : 125
Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: x3 = (x-5)(x2 + 5x + 25) + 125
(ii). (2x4- 1) : (4 + x)
Pembilang : 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + (-1), penyebut : (x + 4).
2 0 0 0 -1
4 8 -32 128 -512
(+)
2 -8 32 -128 511
Hasil bagi Sisa
Hasil bagi : 2x3 - 8x2 + 32x - 128
. Sisa : 511
Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: 2x4- 1= (x + 4) (2x3 - 8x2 + 32x - 128) +
511.
Metode Horner yang telah kita pelajari untuk pembagi bentuk x + b.
Pada bagian selanjutnya kita akan mempelajari untuk pembagian bebberntuk ax + b.
4. METODE HORNER (2)
Jika pembagi berbentuk ax+b maka kita harus menuliskan koefisien pembagi dengan b/a jika kita
menggunakan cara pertama, dan –b/a jika kita menggunakan cara kedua.
Perhatikan contoh-contoh berikut:
(i).12
3112012 23
x
xxx
12 20 11 3
½ 6 7 2
12 14 4 1
Sisa = 1
Hasil bagi: ½ (12x2 + 14x + 4) = 6x2 + 7x +2
Memeriksa melalui perkalian:
(2x + 1)( 6x2 + 7x +2) + 1 = 3112012 23 xxx
Latihan
1. Berapa hasil bagi dari 679 : 21 ?
2. Berapa hasil bagi dari (6x2 + 7x +9) : (2x +1)?
3. (3x3 + x2 + x - 6) : (3x - 2)
Kunci Jawaban Soal Latihan
1. Dengan pembagian panjang kita dapatkan :
32
21 679
63 (-)
49
42 (-)
7
Hasil baginya adalah 32 dan sisanya adalah 7.
2. 3x + 2
2x +1 6x2 + 7x +9
6x2 + 3x (-)
4x +9
4x +2 (-)
7
Hasil baginya adalah 3x + 2 dan sisanya adalah 7.
3.
3 1 1 -6
2/3 2 2 2
3 3 3 -4
Sisa = -4
Hasil bagi: 2/3 (3x2 + 3x + 3) = x2 + x +1
(c) Rangkuman kegiatan belajar 1:
1. Bentuk umum dari suku banyak
012
23
33
3-n2
2-n1
1-nn aaaa...aaaa xxxxxxx nnnn
2. Hasil bagi dapat disimpulkan sebgai berikut : Misalkan
a. Berapa hasil bagi dari 12 : 4 ?
Dengan mengingat-ingat bahwa 3 × 4 = 12, maka mendapatkan bahwa 12 : 4 = 3
b. Berapa hasil bagi dari (2x2 + 13x +12) : (2x +3) ?
Dengan memperhitungkan bahwa (2x +3) (x + 5) = (2x2 + 13x +12), maka diperoleh (2x2 +
13x +12) : (2x +3) = : (2x +3)
3. Melalui pembagian panjang suku banyak kita dapat mencari hasil bagi dan sisanya.
4. Selain pembagian panjang kita dapat mengerjakan pembagian suku banyak dengan metode
horner.
5. Ada 2 cara menggunaakan metode horner yaitu
- Untuk pembagian berbentuk x + b
- Untuk pembagian berbentuk ax + b
(d) Tugas kegiatan belajar 1
Diskusikan sosl-soal LKS tentang dasar integral, untuk dipresentasikan.
(e) Tes formatif
1. Berapa hasil bagi dari 12 : 4 ?
2. Carilah hasil bagi dari 679 : 21 dengan pembagian panjang!
3. Carilah hasil bagi dari (6x2 + 7x +9) : (2x +1) dengan pembagian panjang!
Cari hasil bagi dan sisanya dengan menggunakan metode Horner bentuk x + b
4. (2x4- 1) : (4 + x)
5. x3 : (x - 5)
Cari hasil bagi dan sisanya dengan menggunakan metode Horner bentuk ax + b
6. (3x3 + x2 + x - 6) : (3x - 2)
7.12
3112012 23
x
xxx
(f) Kunci jawaban
1. Hasil bagi dari 12 : 4 adalah 3. Yaitu dengan mengingat-ingat bahwa 3 × 4 = 12, maka
mendapatkan bahwa 12 : 4 = 3
2. Hasil bagi dari 679 : 21 dengan pembagian panjang:
32
21 679
63 (-)
49
42 (-)
7
Hasil baginya adalah 32 dan sisanya adalah 7.
3. Hasil bagi dari (6x2 + 7x +9) : (2x +1) dengan pembagian panjang!
3x + 2
2x +1 6x2 + 7x +9
6x2 + 3x (-)
4x +9
4x +2 (-)
7
Hasil baginya adalah 3x + 2 dan sisanya adalah 7.
4. (2x4- 1) : (4 + x)
Pembilang : 2x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + (-1), penyebut : (x + 4).
2 0 0 0 -1
4 8 -32 128 -512
(+)
2 -8 32 -128 511
Hasil bagi Sisa
Hasil bagi : 2x3 - 8x2 + 32x - 128
. Sisa : 511
Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: 2x4- 1= (x + 4) (2x3 - 8x2 + 32x - 128) +
511.
Metode Horner yang telah kita pelajari untuk pembagi bentuk x + b.
Pada bagian selanjutnya kita akan mempelajari untuk pembagian bebberntuk ax + b.
5. x3 : (x - 5)
Bentuk umum dari suku banyak x3 adalah : 1 x3 + 0 x2 + 0x + 0.
1 0 0 0
5 5 25 125
(+)
1 5 25 125
Hasil bagi Sisa
Hasil bagi : 1 x3 + 5x + 25x0 = x2 + 5x + 25
. Sisa : 125
Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: x3 = (x-5)(x2 + 5x + 25) + 125
6. (3x3 + x2 + x - 6) : (3x - 2)
3 1 1 -6
2/3 2 2 2
3 3 3 -4
Sisa = -4
Hasil bagi: 2/3 (3x2 + 3x + 3) = x2 + x +1
Memeriksa melalui perkalian:
(3x - 2)( x2 + x +1) - 4 = 3x3 + x2 + x - 6
7.12
3112012 23
x
xxx
12 20 11 3
½ 6 7 2
12 14 4 1
Sisa = 1
Hasil bagi: ½ (12x2 + 14x + 4) = 6x2 + 7x +2
Memeriksa melalui perkalian:
(2x + 1)( 6x2 + 7x +2) + 1 = 3112012 23 xxx
Bobot soal ditentukan sebagai berikut:
Nomor soal Bobot Keterangan
1 1 Skor maksimum = 28
2 1
3 2
4 dan 5 4
6 dan 7 4
(g) Lembar kerja siswa (LKS)
Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca jawablah soal-soal berikut ini.
Carilah hasil bagi dari
1. (x2 – 1 ) : (x – 1 )
2.15
615510 23
x
xxx
Carilah hasil bagi dan sisanya dengan metode Horner dari
3. x4 : (x + 2)
4. (3x4-5x2 + 2x2+ x +1) : (2x - 1)
(h) Tingkat penguasaan
Rumus :
Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat penguasaan yang telah Anda
capai sebagai berikut :
1. > 80 % Bagus ! pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2
2. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkompetensi ini dengan lebih
seksama, terutama bagian yang belum Anda kuasai
3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan dan
bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda
Tingkat penguasaan = 28
lehyangdiperojumlahskorx 100%
2. KEGIATAN BELAJAR 2:
(i) Tujuan kegiatan belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan:
o Dapat mencari hasil bagi dan sisa dari pembagi kuadrat
o Dapat mencari sisa setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa
o Dapat mencari sisa pembagian oleh pembagi kuadrat
o Bisa mencari sebuah faktor dari suku banyak yang disebut dengan teorema faktor
(j) Uraian materi
5. PEMBAGI KUADRAT
Dengan memperhatikan derajat hasil bagi dan sisa pada contoh-contoh pembagi suku banyak f(x)
oleh karena (x-k) dan (ax+b), secara umum dapat kita ambil kesimpulan sebagai berikut:
Jika suku banyak berderajat n dan dibagi oleh pembagi berderajat m, berlaku:
1. derajat hasil bagi = derajat suku banyak kurang derajat pembagi
2. derajat sisa = satu lebih kecil daripada derajat pembagi.
Misalkan f(x) dibagi dengan cbxax 2 maka
S)().()( 2 xHcbxaxxf
)(xH merupakan hasil bagi dari suku banyak tersebut, S merupakan sisa dari suku banyak dan
cbxax 2 adalah pembagi.
Perhatikan contoh – contoh berikut:
(ii). (4x2 + 4x + 8) : (2x2 + 2x + 4)
2
44x 4x
44x 4x42x 2x2
22
Bandingkan 2
448
448224
0 (-) 0 (-)
Hasil bagi : 2
Sisa : 0
(iii). (6x3 + 7x2 + 9x + 8) : (3x2 + 2x + 1)
12
2x 4x6x
89x 7x6x12x 3x23
232
x
Bandingkan 21
642
6798321
3x2 + 7x + 8 (-) 378 (-)
3x2 + 2x + 1 321
5x + 7 (-) 57 (-)
Hasil bagi : 2x + 1
Sisa : 5x + 7
Catatan:
Kita bisa membandingkan dengan bilangan, karena jika kita menggantikan x dengan 10 (
bilangan pokok yang kita pergunakan adalah 10) maka kita akan mendapatkan bilangan.
Misalnya: 3x2 + 2x + 1 2(10)2 + 2(10) + 1 = 321
5. TEOREMA SISA
Jika suku banyak f(x) dibagi oleh (ax + b ) memberikan hasil bagi Q(x) dan sisa R, maka kita
dapat menuliskan bahwa:
f(x) = (ax + b) Q(x) + R ..............................(1)
jika kita mensubstitusikan x dengan –b/a, maka kita akan mendapatkan:
f(-b/a) = (-b + b) Q(x) + R = 0 + R
R = f(-b/a) ..................................................(2)
Rumus (2) mengatakan bahwa : jika suku banyak f(x) dibagi oleh ax + b, maka sisanya adalah f(-
b/a), yang berarti kita cukup mensubstitusikan x = -b/a pada suku banyak dan kita akan
mendapatkan sisa pembagian.
Contoh 1:
Tentukan sisa pembagian : (2x4 + 3x3 + x2 – x - 3 ): (x - 1)
Jawab:
Sisa: (2x(1)4 + 3(1)3 + 12 – 1 - 3 ) = 2
Contoh 2:
Diketahui f(x) adalah sebuah suku banyak berderajat 2. saat f(x) dibagi oleh x + 1 maka sisanya
3, saat f(x) dibagi oleh x – 3 maka sisanya 23, dan saat f(x) dibagi oleh x – 2 maka sisanya 15.
Tentukan suku banyak f(x).
Jawab:
Misalnya: f(x) = qx2 + mx + n
Saat f(x) dibagi x + 1, sisa = q(-1)2 + m(-1) + n = 3 q – m + n = 3 .............(1)
Saat f(x) dibagi x - 3, sisa = q(3)2 + m(3) + n = 23 9q + 3m + n = 23 .............(2)
Saat f(x) dibagi x - 2, sisa = q(2)2 + m(2) + n = 15 4q + 2m + n = 15 .............(3)
Eliminasi:
(2) – (3) : 5q + m = 8 5q + m = 8
(3) – (1) : 3q + 3m = 12 q + m = 4
4q = 4 (-)
q = 1, m = 3, n = 5
Jadi f(x) = 1x2 + 3x + 5 = x2 + 3x + 5
6. SISA PEMBAGIAN OLEH PEMBAGI KUADRAT
Jika suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi kuadrat (x – a)(x – b), maka sisanya adalah suku
banyak linear sehingga kita bisa menuliskan;
f(x) = (x – a)(x – b) Q(x) + mx + n ................................................(3)
jika kita mensubstitusikan x = a dan x = b maka kita dapatkan:
f(a) = ma + n
f(b) = mb + n
mengeliminasi, kita dapatkan : f(a) – f(b) = m(a – b) dan bf(a) – af(b) = n(b – a).
Oleh karena itu:
f(x) = (x – a)(x – b)Q(x) + xba
bfaf
)()(
+ xba
bbfaaf
)()(
.......................(4)
dan tentu saja anda dapat menggunakan rumus (4) ini sebagai sebuah jalan pintas.
Contoh 3:
Tentukan sisa dari pembagian : )2)(1(
)3( 4
xx
x
Jawab:
Cara biasa:
Kita ekspansikan pembilang terlebih dahulu.
Karena (α + ß)4 = α4 + 4α3ß + 6α2ß2 + 4αß2 + ß4,
Maka (x – 3)4 = x4 – 12x3 + 54x2 – 108x + 81.
Sementara itu, pada penyebut:
(x - 1)(x - 2) = x2 – 3x + 2.
Pembagian panjang:
259x x
2x3x-x
81x 10854x12x-x23x x
2
234
2342
x
x
1827x9x-
10854x9x-23
23
(-)
25x2 – 90x + 81 (-)
25x2 – 75x + 50
- 15x + 31 (-)
Sisa: - 15x + 31
Jalan pintas:
f(x) = (x – 3)4 ; f(1) = (1-3)4 = 16
f(2) = (1-2)4 = 1
Rumus (4):
Sisa = 31151
31
1
15
21
)1(.2)2(.1
21
)2()1(
xxff
xff
Perhatikan bahwa rumus (4) dapat juga dipergunakan saat suku banyak f(x) dibagi (x-a), dan f(b)
adalah sisa saat f(x) dibagi oleh (x-b).
Perhatikan contoh berikut:
Contoh 4:
Saat suku banyak f(x) dibagi oleh x-3 maka sisanya -9, dan saat suku banyak f(x) dibagi oleh x-5
maka sisanya 25.
Tentukan sisa pembagian, saat f(x) dibagi oleh (x-3)(x-5).
Jawab:
Cara biasa:
f(x) = (x-3) Q1(x)-9 →f(3) = -9
f(x) = (x-5) Q2(x)+25 →f(5) = 25
f(x) = (x-3)(x-5) Q3(x)+25 + mx + n
f(3) = 3m + n = -9
f(5) = 5m + n = 25
Mengurangkan : 2m = 34
m = 17
Mensubstitusi: n = -60
Sisa: mx + n = 17x – 60
Jalan pintas:
Rumus (4):
f(a) = -9, f(b) = 25, a = 3, b=5.
Sisa =53
)9(5)25(3
53
259
x
= 2
120
2
34
x
= 17x - 60
7. TEOREMA FAKTOR
Mengingat kembali rumus (1) dan (2), jika kita mendapatkan R = f(-b/a) = 0, hal ini berarti : saat
suku banyak f(x)dibagi (ax + b) maka sisanya adalah nol, atau , f(x) habis dibagi oleh (ax + b),
atau (ax + b) adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x). Hal ini disebut dengan teorema faktor.
Teorema faktor:
ax + b adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(-b/a) = 0.
Kasus khusus adalah jika a = 1 dan b = -n yaitu: x-n adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x)
jika dan hanya jika f(n) = 0.
Contoh 5:
Tentukan nilai m agar x – 2 adalah sebuah faktor dari suku banyak x3 + 2x2 + mx – 6. tentukan
juga faktor-faktor lainnya.
Jawab:
23 + 2(2)2 + 2m – 6 = 0 m = -5
Pembagian panjang:
34
2xx
6-5x 2xx2-x
2
23
23
xx
6-5x 2xx 23 = (x -2)( 342 xx )
4x2 – 5x (-) = (x-2)(x+1)(x+3)
4x2 -8x
3x - 6 (-)
3x - 6
0 Faktor lainnya adalah: (x+1) dan (x+3).
Contoh 6:
Jika n adalah sebuah bilangan ganjil, buktikan bahwa 2n + 1 selalu habis dibagi 3.
Jawab:
Misalnya ada suku banyak f(x) = xn + 1.
Jika n adalah sebuah bilangan ganjil, maka f(-1) = (-1)n + 1 = (-1) + 1 = 0.
Sesuai dengan teorema faktor, maka x + 1 adalah sebuah faktor dari xn + 1, jika n ganjil. Dan jika
kita mensubstitusikan x = 2 maka kita dapatkan: 2+1 adalah sebuah faktor dari 2n + 1, atau 3
adalah sebuah faktor dari 2n + 1, saat n ganjil. Oleh karena itu
2n + 1 habis dibagi 3, saat n ganjil.
Contoh 7:
Tentukan syarat bagi n, agar an + bn habis dibahagi a+b .
Jawab:
Misalnya ada suku banyak f(x) = an + bn.
Jika n ganjil, maka f(-b) = (-b)n + bn = (-b)n + bn = 0,yang berarti x + b adalah faktor dari an + bn.
Mensubstitusikan x = a, maka a + b adalah faktor dari an + bn , saat n ganjil.
Jadi , syaratnya adalah: n harus ganjil.
(k) Rangkuman kegiatan belajar 2:
1. Jika suku banyak berderajat n dan dibagi oleh pembagi berderajat m, berlaku:
a. derajat hasil bagi = derajat suku banyak kurang derajat pembagi
b. derajat sisa = satu lebih kecil daripada derajat pembagi.
2. Jika suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi kuadrat (x – a)(x – b), maka sisanya adalah suku
banyak linear
3. Teorema faktor:
ax + b adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(-b/a) = 0.
Kasus khusus adalah jika a = 1 dan b = -n yaitu: x-n adalah sebuah faktor dari suku banyak
f(x) jika dan hanya jika f(n) = 0.
2. Tugas kegiatan belajar 2
Diskusikan sosl-soal LKS tentang dasar integral, untuk dipresentasikan.
3. Tes formatif
1. Carilah hasil bagi dan sisa dari (4x2 + 4x + 8) : (2x2 + 2x + 4)
2. Carilah hasil bagi dan sisa dari (6x3 + 7x2 + 9x + 8) : (3x2 + 2x + 1)
3. Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa (2x4 + 3x3 + x2 – x - 3 ):
(x - 1)
4. Diketahui f(x) adalah sebuah suku banyak berderajat 2. saat f(x) dibagi oleh x + 1 maka sisanya
3, saat f(x) dibagi oleh x – 3 maka sisanya 23, dan saat f(x) dibagi oleh x – 2 maka sisanya 15.
Tentukan suku banyak f(x).
5. Tentukan sisa dari setiap pembagian berikut: )2)(1(
)3( 4
xx
x
6. Saat suku banyak f(x) dibagi oleh x-3 maka sisanya -9, dan saat suku banyak f(x) dibagi oleh x-
5 maka sisanya 25.Tentukan sisa pembagian, saat f(x) dibagi oleh (x-3)(x-5).
7. Tentukan nilai m agar x – 2 adalah sebuah faktor dari suku banyak x3 + 2x2 + mx – 6. tentukan
juga faktor-faktor lainnya.
4. Kunci jawaban Tes Formatif
1. Hasil bagi dan sisa dari (8x2 + 8x + 16) : (2x2 + 2x + 4)
4
168x 8x
168x 8x42x 2x2
22
Bandingkan 4
896
896224
0 (-) 0 (-)
Hasil bagi : 4
Sisa : 0
2. Hasil bagi dan sisa dari (6x3 + 7x2 + 9x + 8) : (3x2 + 2x + 1)
12
2x 4x6x
89x 7x6x12x 3x23
232
x
Bandingkan 21
642
6798321
3x2 + 7x + 8 (-) 378 (-)
3x2 + 2x + 1 321
5x + 7 (-) 57 (-)
Hasil bagi : 2x + 1
Sisa : 5x + 7
3. (3x4 + 3x3 + x2 – x - 3 ): (x - 1)
Sisa: (3(1)4 + 3(1)3 + 12 – 1 - 3 ) = 3+3+1-4 = 3
4. Diketahui f(x) adalah sebuah suku banyak berderajat 2. saat f(x) dibagi oleh x + 1 maka
sisanya 6, saat f(x) dibagi oleh x – 3 maka sisanya 46, dan saat f(x) dibagi oleh x – 2 maka
sisanya 30.
Tentukan suku banyak f(x).
Jawab:
Misalnya: f(x) = qx2 + mx + n
Saat f(x) dibagi x + 1, sisa = q(-1)2 + m(-1) + n =6 q – m + n = 6 .............(1)
Saat f(x) dibagi x - 3, sisa = q(3)2 + m(3) + n = 46 9q + 3m + n = 46 .............(2)
Saat f(x) dibagi x - 2, sisa = q(2)2 + m(2) + n = 30 4q + 2m + n = 30.............(3)
9q + 3m + n - 46 –(4q + 2m + n - 30) = 9q-4q+3m-2m+n-n-46+30
= 5q+m-16
4q + 2m + n = 30-( q – m + n - 6) = 4q-q+2m+m+n-n-30+6
= 3q+3m-24
Eliminasi:
(2) – (3) : 5q + m = 16 5q + m = 16
(3) – (1) : 3q + 3m = 24 q + m = 8
4q = 8 (-)
q = 2, m = 6, n = 10
Jadi f(x) = 2x2 + 6x + 10 = x2 + 3x + 5
5.)2)(1(
)3( 4
xx
x
Kita ekspansikan pembilang terlebih dahulu.
Karena (α + ß)4 = α4 + 4α3ß + 6α2ß2 + 4αß2 + ß4,
Maka (x – 3)4 = x4 – 12x3 + 54x2 – 108x + 81.
Sementara itu, pada penyebut:
(x - 1)(x - 2) = x2 – 3x + 2.
Pembagian panjang:
259x x
2x3x-x
81x 10854x12x-x23x x
2
234
2342
x
x
1827x9x-
10854x9x-23
23
(-)
25x2 – 90x + 81 (-)
25x2 – 75x + 50
- 15x + 31 (-)
Sisa: - 15x + 31
6. 23 + 2(2)2 + 2m – 6 = 0 m = -5
Pembagian panjang:
34
2xx
6-5x 2xx2-x
2
23
23
xx
6-5x 2xx 23 = (x -2)( 342 xx )
4x2 – 5x (-) = (x-2)(x+1)(x+3)
4x2 -8x
3x - 6 (-)
3x - 6
0
Faktor lainnya adalah: (x+1) dan (x+3).
Bobot soal ditentukan sebagai berikut:
Nomor soal Bobot Keterangan
1 3 Skor maksimum = 20
2 3
3 1
4 5
5 dan 6 4
6. Lembar kerja siswa (LKS)
Untuk lebih memahami apa yang telah anda baca jawablah soal-soal berikut ini.
1. Carilah hasil bagi dan sisa dari (4x3 – 5x2+ 6x + 1) : (2x2 - x - 1)
2. Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa (2x4 + 3x3 + x2 – x - 3 ):
(x - 1)
3. Tentukan sisa dari pembagian berikut: )2)(1(
)3( 4
xx
x
4. Tentukan nilai k agar x + 1 adalah sebuah faktor dari suku banyak x3 + 2x2 + kx - 6. Tentukan
juga faktor-faktor lainnya.
7. Tingkat penguasaan
Rumus :
Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat penguasaan yang telah
Anda capai sebagai berikut :
4. > 80 % Bagus ! pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2
5. 60 – 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkompetensi ini dengan lebih
seksama, terutama bagian yang belum Anda kuasai
6. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan
dan bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda
Tingkat penguasaan = 20
lehyangdiperojumlahskor x 100%
BAB III
EVALUASI
Evaluasi kompetensi (Waktu : 2 x 45 menit)
1. Berapa hasil bagi dari:
a. 12 : 4 ?
b. 679 : 21
c. (6x2 + 7x +9) : (2x +1) dengan pembagian panjang!
2. Cari hasil bagi dan sisanya dengan menggunakan metode Horner bentuk x + b
a. (2x4- 1) : (4 + x)
b. (3x3 + x2 + x - 6) : (3x - 2)
3. Selesaikan soal berikut:
a. Carilah hasil bagi dan sisa dari (6x3 + 7x2 + 9x + 8) : (3x2 + 2x + 1)
b. Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa
c. (2x4 + 3x3 + x2 – x - 3 ): (x - 1)
4. Tentukan sisa dari setiap pembagian berikut: )2)(1(
)3( 4
xx
x
5. Tentukan nilai m agar x – 2 adalah sebuah faktor dari suku banyak x3 + 2x2 + mx – 6. tentukan
juga faktor-faktor lainnya.
SISTEM PENILAIAN
Mata Diklat : Matematika
Kompetensi : Menerapkan Konsep Suku Banyak
Alokasi Waktu : 20 J am
Sub
kompetensi
(kode)
Metode
penilaian
Penilaian TotaL nilai
Instrumen Nilai
K. 1 Pemberian
tugas
Uraian materi
Tes-1
Tes formatif 1
15
20
35
K. 2 Pemberian
tugas
Uraian materi
Tes-2
Tes formatif 2
15
20
35
Ulangan blok 30
Jumlah Nilai akhir 100
BAB IV
PENUTUP
Sebagai tindak lanjut seluruh kegiatan belajar dalam Modul Turunan ini adalah :
1. Jika hasil evaluasi terhadap penguasaan kompetensi mencapai 75 % atau lebih, maka siswa
dapat melanjutkan ke modul berikutnya.
2. Siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya setelah memperoleh rekomendasi dari guru
mata pelajaran matematika.
3. Peserta diklat yang masih belum mencapai penguasaan kompetensi 75 %, maka siswa
harus mengulang secara keseluruhan atau bagian-bagian tahap kegiatan belajar yang belum
dikuasai dengan baik.
4. Kemungkinan diberikannya pembelajaran remedial bagi yang memperoleh nilai yang lebih
kecil dari 6, terutama terhadap siswa yang memperoleh nilai terendah.
5. Pengayaan serta akselerasi bagi siswa yang berprestasi juga dimungkinkan sesuai dengan
ketersediaan waktu
