Dasar Kalkulus

Click here to load reader

download Dasar Kalkulus

of 49

  • date post

    29-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    344
  • download

    29

Embed Size (px)

description

Dasar Kalkulus Vekto

Transcript of Dasar Kalkulus

  • Dasar-Dasar Kalkulus Vektor untukMedan dan Gelombang [email protected]

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Dasar-dasar VektorKonvensi: Vektor ditulis dengan anakpanah diatas atau cetak tebalVektor biasanyafungsi dari koordinatspasialKonvensi:

    vektor satuan dilambangkandengan topi diatasnyamagnitude dari komponen vektor (bisa jadi fungsi dari x,y,z)ke arah sumbu-y

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Penjumlahan vektorPengurangan ekivalen dng penjumlahan A dng negatif dari B: D = A B = A + (-B)

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Vektor posisi dan vektor jarakVektor R12 adalah vektor dari P1 ke P2 dan jaraknya (panjang atau magnitude) adalah d:

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Vektor posisi dan vektor jarakContoh : Titik P (1,2,3) dan Q (2,-2,1)

    Vektor posisi OP = rP = ax + 2ay + 3 azVektor posisi OQ = rQ = 2ax - 2ay + az

    Vektor jarak RPQ = rQ - rP = ax - 4ay - 2 az

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Perkalian titik (perkalian skalar)Selalu menghasilkan bilangan skalarA cos(AB) adalah komponen A sepanjang B. Disebut sebagai proyeksi dari A pada B.Dua vektor ortogonal memberikan hasil kali skalar nol:AA=|A|2=A2

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Perkalian titik (perkalian skalar)

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Perkalian silang (perkalian vektor)Aturan sekrup putar bisa dipakai:Pemutaran A ke B menggerakkansekrup ke arah vektor hasilPerhatikan bahwa perkalian skalar menghasilkan vektor tegak lurus pada bidang yg mengandung dua vektor yg dikalikan! Ini berhubungan dengan Komponen tangensial dan normal.!!!!PENTING!!!

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Perkalian silang (ljt)Pergerakan searah arah-putar-jarum jam memberikan hasil perkalian silang positif, sebaliknya, pergerakan ke-arah berlawanan arah-putar-jarum-jam memberikan hasil perkalian silang negatif.

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Triple ProductsHasil operasi lain yang penting:Scalar triple productVector triple product (aturan bac-cab)Menghasilkan skalarMenghasilkan vektor

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • VECTOR REPRESENTATION3 PRIMARY COORDINATE SYSTEMS: RECTANGULAR CYLINDRICAL SPHERICALExamples:Sheets - RECTANGULARWires/Cables - CYLINDRICALSpheres - SPHERICAL

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Sistem Koord. Kartesian(x, y, z)Kuantitas diferensial: dV, dS and d!

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Sistem Koord. Kartesian

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Sistem Koord. Tabung atau Silindris(, , z)Perhatikan kuantitas diferensial:dV, dS and d!

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Sistem Koord. Tabung atau Silindris

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Sistem Koordinat Bola(r, , )nb : harga adalah 0 sampai , bukan 0 sampai 2Lihat lagi kuantitas diferensial:dV, dS and d!

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Sistem Koordinat Bola

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Transformasi KoordinatKadang kala kita perlu melakukan transformasi antar sistem koordinat: mis. dlm teori antena kita perlu Transformasi dari sistem kartesian ke bola :Transformasi lain dapat dilihat pada buku acuan

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Soal2Tiga titik A(2,-3,1); B(-4,-2,6); C(1,5,-3)Cari : Vektor dari A ke CVektor satuan dari B ke AJarak dari B ke C-ax+8ay-4az0,762ax-0,127ay-0,635az12,45

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Soal2Sebuah medan vektor dinyatakan oleh W=4x2y ax (7x+2z) ay + (4xy+2z2) azCari : Besar medan di P(2,-3,4)Vektor satuan yg menyatakan arah medan di PTitik mana pd sumbu z , besar W mrpk vektor satuan 53,4 -0,899ax-0,412ay+0,150az +- 0,455

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Soal2Diketahui F = 2ax -5ay-4az ; G = 3ax +5ay+2azCari : F.GSudut antara F dan GPanjang proyeksi F pada GProyeksi vektor F pada G -27,0 130,8 o -4,38 -2,13ax-3,55ay-1,42az

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Soal2Diketahui F = -45ax +70ay+25az ; G = 4ax -3ay+2azCari : F x Gax (ay x F)(ay x ax ) x FVektor satuan yang tegak lurus F pada G 215ax+190ay-145az -45ay -70ax-45ay +- (0,669ax+0,591ay-0,451az)

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Soal2Diketahui P(=6,=1250, z=-3) dan Q(x=3,y=-1,z=4)Cari : Jarak dari P ke titik asalQ tegak lurus pada sumbu zP ke Q 6,71 3,16 11,20

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Soal2a. Nyatakan T=240+z2 -2xy dalam koordinat tabungb. Cari kerapatan di titik P(-2,-5,1) jika kerapatannya 240+z2 2 sin 2 8,66

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Soal2a. Nyatakan medan vektor W= (x-y)ay dalam koordinat tabungb. Cari medan F dalam koord cartesian jika F= cos a (cos - sin )(sin a+cos a

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Operator Del =

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Grad, Div dan Curl

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Gradien dari medan skalarJika (x,y,z) fungsi riil dari 3 variabel, maka fungsi ini disebut medan skalar. Gradien dari , dinyatakan sbg grad atau Adalah vektor menurut aturan berikut:dibacadel phiGradien adalah ukuran laju perubahan maksimum dari permu-kaan yang digambarkan oleh (x,y,z) dan perubahan laju ini muncul pada arah tertentu.Catat bahwa operator gradien mengubah fungsi skalar menjadifungsi vektor.

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Contoh gradien

    Evaluasi gradien pada titik P (2,-1,0), menghasilkanJika kita melihat dari permukaan ke berbagai arah, akan teramati bahwa perubahan maksimum dari permukaan munculpada arah yg diberikan vektor tsb diatas. Laju maksimumnya adalah

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Rapat fluksOperator divergensi dinyatakan sbg dan selalu beroperasi pada vektor. Tidak dibaca sbg del yg beroperasi titik thd vektor !Divergensi berhubungan dengan rapat fluks dari sumberArah medan searah dengan anak panah (jadi suatu vektor).Kekuatan medan sebanding dengan kerapatan anak panah (bukan panjangnya).medanseragammedan tak seragam

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • DivergensiDivergensi pada suatu titik adalah fluks keluar netto per satuan volume pada (sepanjang) permukaan tertutup. Pada pembahasanMendatang akan diberi-kan tafsiran EM-nya:

    Secara matematika: Perhatikan bahwa operator divergensi selalu beroperasi pada (fungsi/medan) vektor untuk menghasilkan skalar.

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Contoh divergensiDi titik (2,-2,0)Karena nilai divergensi >0 berarti ada fluks netto keluar dan mengindikasikan adanya sumber (source). Jika nilainya
  • Curl (Rotasi=Pusaran)Curl dari medan vektor berhubungan dengan rotasi dari medan vektor tsb. Dilihat dari sudut pandang lain, rotasi dapat dipakai sebagai ukuran ketidakseragaman medan, semakin tidak seragam suatu medan, semakin besar pula nilai pusarannya.Medan B seragam,curl-nya nol.medan tak-seragam,Curl-nya tidak nol.

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Perhitungan curl

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Operator penting lainnyaDua rumus ini sangatbermanfaat pd pembaha-san mendatang.Operator Laplacian

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Operator Laplacian (1)Ingat:SekarangUntuk praktisnya ditulis:baca del kuadrat

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Laplacian (2)Laplacian bisa juga ber-operasi pada vektorJika Maka,Dapat juga ditunjukkan bahwa: curl curl dari E

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Ikhtisar: Grad, Div, dan Curl

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Teorema integralHubungan ini berguna untuk mengubah integral volume menjadi integral permukaan.Yang ini berguna untuk mengubah integral permukaanmenjadi integral garis.permukaan atau lintasan tertutup

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Integral garis/permukaanContoh: teorema StokeHitung integral ini ke-seluruh segmen permukaan.Hitung integral ini sepanjang garis-batasdari segmen.

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Permasalahan nilai batasKarena PDE (partial differential equation-persm. diff. parsial) yg menggambarkan medan EM adalah fungsi dari ruang (dlm bentuk harmonik-waktu), solusi unik hanya bisa diperoleh jika diberikan sekumpulansyarat batas.Secara umum ada tiga jenis syarat batas:Syarat batas jenis DirichletSyarat batas jenis NeumannSyarat batas jenis campuran (kombinasi dari Dirichlet & Neumann)

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Syarat batas jenis DirichletDaerah S dibatasi oleh kurva . Misalkan kita ingin menentukansuatu kuantitas (variabel yg kita selesaikan, mis. V) dalam daerah S, sedemikian hingga V = g pada .Persyaratan V = g pada disebut sbg syarat batas Dirichlet.

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Syarat batas jenis NeumannUntuk kasus dimana turunan normal dari suatu kuantitas diberikan pada batasnya, mis, pada .Ini dikenal sebagai syarat batas Neumann.

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Contoh (1) batas bidang (planar)Kita perlu pernyataan mengenai medan normaldan tangensial pada antarmuka, yaitu syarat batas. Hal ini memungkinkan kita menerus-kan solusi dari satu sisi batas (y>0) ke yanglainnya (y
  • Contoh (2): bumbung gelombangPerlu Ez=0 pada semua dinding syarat batas Dirichletperlupada dinding. syarat batas Neumann

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Syarat batas dalam EME tangensial kontinyun (H1-H2)=JsB normal kontinyuD2nD1nn(D1-D2)=sEkivalen

    Medan Elektromagnetik. Sukiswo

  • Lihat contoh berikutHal ini menyatakan bahwamedan (listrik) tangensial dalamdaerah-1 adalah sama denganmedan (listrik) tangensial padadaerah-2.Ini tdk menyatakan apapunmengenai kompenen lain dr E.Jika kita punya:Maka, secara otomatis memilih komponen tangensial!

    Medan Elekt