D E R E TMATEMATIKA

1

MATERI YANG DIPERLAJARI

Deret Hitung

- Suku ke-n dari DH

- Jumlah n suku

Deret Ukur

- Suku ke-n dari DU

- Jumlah n suku

Dan penerapannya dalam dunia ekonomi

2

DEFINISI

Deret : Rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk deret.Macam-macam deret :

- Deret Hitung- Deret Ukur- Deret Harmoni

3

DERET HITUNG

Deret hitung : deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda, yang tak lain adalah selisih antara nilai dua suku yang berurutan.Contoh :5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5)90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10)

4

SUKU KE-N DARI DERET HITUNG5, 10, 15, 20, 25, 30

S1, S2, S3, S4, S5, S6

S1 = 5 = a

S2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)b

S3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)b

S4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)b

S5 = 25 = a + 4b = a + (5 - 1)b

S6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b

Sn = a + (n - 1)ba = suku pertama / s1

b = pembeda

n = indeks suku

5

6

JUMLAH N SUKU

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tidak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya.

654

6

13216

54

5

13215

4

4

13214

121 ...........

SSSSSSSJ

SSSSSSJ

SSSSSJ

SSSSJ

ii

ii

ii

n

inin

Berdasarkan rumus suku ke-n

Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan

J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b

J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b)

= 5a + 10b

J6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)

= 6a + 15b

7

8

bnn

naJ

babaJ

babaJ

babaJ

n )1(2

)16(2

66156

)15(2

55105

)14(2

4464

6

5

4

Sn

Masing-masing Ji dapat ditulis

bnan

J n )1(22

atau

)(2

)1(2

nSan

bnaan

DERET UKUR

Deret ukur : deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda.

Contoh :

1)5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2)

2)512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5)

9

SUKU KE-N DARI DERET UKUR

suku indeks

pengganda

pertamasuku

160

80

40

20

10

5

1

1656

1545

1434

1323

122

1

n

p

a

apS

apapapppppS

apapappppS

apapapppS

apapappS

apapS

aS

n-n

10

JUMLAH N SUKU

(2) .......

:maka , penggandabilangan dengan dikalikan jika

(1) .......

: maka rumusn berdasarka

...........

1432

1232

1

14321

nnn

nnn

n-n

n

inin

apapapapapappJ

p

apapapapapaJ

apS

SSSSSSJ

(2)persamaan dan (1)persamaan antaraselisih 11

1

)1(atau

1

)1(

)1()1(

p

paJ

p

paJ

papJ

apapJJ

n

n

n

n

nn

nnn

(2)persamaan dan (1)persamaan antaraselisih

1p 1p

12

MODEL PERKEMBANGAN USAHA

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, misalnya : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja dll. Memiliki pola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat diterapkan dalam menganalisis perkembangan vaiabel tersebut.

• Pelajari Kasus 1 dan 2 13

14

MODEL BUNGA MAJEMUK

Modal pokok P dibungakan secara majemuk, suku bunga perahun i, maka jumlah akumulatif modal F setelah n tahun adalah:

nn iPF

iPiiPiPF

iPiiPiPF

iPiPPF

)1( .)(......... )(......... :n tahun setelah

)1()1()1( : tahun 3setelah

)1()1()1( : tahun 2setelah

)1(. : tahun 1setelah

3223

22

1

nn iPF )1(

• Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :

1n-n apS Bunga dibayar

1x setahun

15

Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m kali, maka :

mnn m

iPF )1(

Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari suatu jumlah sekarang.

m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

16

Dengan manipulasi matematis, bisa diketahui nilai sekarang (present value) :

)/1(

1atau

)1(

1F

miPF

iP

mnn

Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang.

MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK

Pt = P1 R t-1

Dimana R = 1 + rP1 = jumlah pada tahun pertama (basis)Pt = jumlah pada tahun ke-tr = persentase pertumbuhan per-tahunt = indeks waktu (tahun)

17

TERIMAKASIH18

Selamat Belajar