Percobaan Satu Faktor: RancanganPercobaan Satu Faktor: RancanganBujur Sangkar Latin (Latin Square

Design)

Arum H. Primandari, M.Sc.

Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL)

• Pada kondisi-kondisi tertentu, keheterogenan unitpercobaan tidak bisa dikendalikan hanya dengansatu sisi keragaman unit-unit percobaan.

Salah satu yang mampu mengendalikan• Salah satu yang mampu mengendalikankeragaman lebih dari satu adalah RBSL.

• RAKL hanya mengendalikan keragaman dari satuarah, sementara RBSL mengendalikan keragamandari dua arah (baris dan kolom)

Kelebihan dan Kekurangan

• Kelebihan:

– mampu mengendalikan komponen keragaman unit – unitpercobaan dari dua arah (arah baris dan arah kolom).

• Kekurangan:

– persyaratan RSBL sering dianggap kekurangan, yaitu bahwajumlah ulangan harus sama dengan jumlah perlakuan.

– Untuk jumlah perlakuan yang lebih kecil dari 4 akanmengakibatkan jumlah db galat percobaan menjadi sangat kecildengan konsekuensi bahwa galat percobaan akan menjadi besar.

– Akibat dari dua kekurangan sebelumnya, RBSL hanya digunakanuntuk percobaan yang menggunakan 4 – 8 perlakuan.

Syarat RBSL

• Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom

• Pengacakan, setiap perlakuan harus muncul sekali disetiap baris dan sekali di setiap kolom

Pengacakan dan Denah Rancangan

• Kasus: suatu penelitian melibatkan 4 perlakuan (A, B, C, D)dimana penempatan perlakuan diacak berdasar posisi barisdan kolom.

• Oleh karena Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom,maka banyak unit percobaan adalah 4 x 4 = 16.maka banyak unit percobaan adalah 4 x 4 = 16.

• Penempatan perlakuan harus memperhatikan aturan: setiapperlakuan hanya muncul sekali pada arah baris dan sekalipada arah kolom.

• Cara pengacakannya yaitu:

1. Tempatkan perlakuan pada arah diagonal secara acak.

1 A C D B

2 B A C D

3 D B A C

4 C D B A

1 2 3 4

2. Acaklah penempatan baris

3 D B A C

2 B A C D

4 C D B A

1 A C D B

3 B C D A

2 A D B C

4 D A C B

3. Acaklah penempatan kolom

1 A C D B

1 2 3 41 C B A D

2 4 1 3

Bagan percobaanakhir

Tabulasi Data

Model Linier

• Model linier untuk RBSL:

dimana:

Yijk: nilai pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i

ijk i j k ijkY

iid2

ij

i, j,k 1,2,...,r

N 0,

Yijk: nilai pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-idan kolom ke-j

μ: rataan umum

αi: pengaruh baris ke-i

βj: pengaruh kolom ke-j

τk: pengaruh perlakuan ke-k

εijk: pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke-k pada bariske-i dan kolom ke-j

Asumsi

• Asumsi untuk model tetap

• Asumsi untuk model acak

t r t iiid

2i j k ijk

i 1 j 1 i 1

0, 0, 0 dan N 0,

• Asumsi untuk model acak

iid iid iid iiid

2 2 2 2i j k ijkN 0, , N 0, , N 0, dan N 0,

Hipotesis Model Tetap

• Hipotesis pengaruh perlakuan

• Hipotesis pengaruh baris

0 1 2 r

1 k

H : ... 0

H : 0,(k 1,2,...,r)

Perlakuan tidak berpengaruh terhadaprespon yang diamati

• Hipotesis pengaruh baris

• Hipotesis pengaruh kolom

0 1 2 r

1 i

H : ... 0

H : 0,(i 1,2,...,r)

0 1 2 r

1 j

H : ... 0

H : 0,( j 1,2,...,r)

Hipotesis Model Acak

• Hipotesis pengaruh perlakuan

• Hipotesis pengaruh baris

20

21

H : 0

H : 0

• Hipotesis pengaruh baris

• Hipotesis pengaruh kolom2

0

21

H : 0

H : 0

20

21

H : 0

H : 0

Perhitungan

2

2

r r r2ijk

i 1 j 1 k 1

2ri

YFK

r

JKT Y FK

YJKB FK

i

i 1

2rj

j 1

2rk

k 1

YJKB FK

r

YJKK FK

r

YJKP FK

r

JKG JKT JKB JKK JKP

Tabel Analisis Variansi

SV db JK KT F-hitung

Perlakuan r – 1 JKP KTP KTP/KTG

Baris r – 1 JKB KTB KTB/KTG

Kolom r – 1 JKK KTK KTK/KTG

Galat (r – 1)(r – 2) JKG KTG

Total r2 – 1 JKT

Uji Hipotesis, maka kriteria keputusan :H0 ditolak jika:

hitung ,r 1,(r 1)(r 2)F F

Efisiensi Relatif (ER) dari RBSL

• Tingkat efisiensi RBSL terhadap RAK:

dimana dbl: derajat bebas galat dari RBSL, dbb: derajat bebasgalat dari RAK, ragam galat dari RBSL dan RAK:

2b b

2b

db 1 db 3 ˆER

ˆdb 3 db 1

dimana dbl: derajat bebas galat dari RBSL, dbb: derajat bebasgalat dari RAK, ragam galat dari RBSL dan RAK:

• Misal ER = 5 berarti agar sensifitas RAK sama dengan RBSLmaka ulangan dalam RAK sebanyak 5 kali dari banyak kolomyang digunakan RBSL

2l

2b

ˆ KTG

r 1 KTK r 1 r 1 r 2 KTGˆ

r r 1

Efisiensi RBSL terhadap RAK

• Efisiensi RBSL terhadap RAK terdapat 2 ukuran:

1. Memperlakukan baris sebagai kelompok

• Dugaan KTG (RAK):

c t e

c t e

f KTK f f KTGKTG(RAK)

f f f

dengan:

KTK dan KTG adalah kuadrat tengah kolom dan kuadrattengah galat dari RBSL;

fc, ft, fe berturut-turut adalah derajat bebas untuk kolom,perlakuan, dan galat dari RBSL.

c t ef f f

2. Memperlakukan kolom sebagai kelompok

• Dugaan KTG (RAK) adalah:

dengan:

r t e

r t e

f KTB f f KTGKTG(RAK)

f f f

dengan:

KTB dan KTG adalah kuadrat tengah baris dan kuadrattengah galat dari RBSL;

fr, ft, fe berturut-turut adalah derajat bebas untuk baris,perlakuan, dan galat dari RBSL.

• dengan demikian, ER(RBSL terhadap RAK) dihitungberdasarkan formula:

dengan:

1 2

2 1

f 1 f 3 KTG(RAK)ER(RBSL terhadap RAK)

f 1 f 3 KTG(RBSL)

dengan:

f1 dalah db galat untuk RBSL dan f2 adalah db galat untuk RAK.

Data Hilang dalam RBSL

• Pendugaan data hilang:

• dengan:

r: banyaknya perlakuan.

r B K P 2GY

r 1 r 2

r: banyaknya perlakuan.

B: total nilai pengamatan dari baris yang mengandung data hilang.

K: total nilai pengamatan dari kolom yang mengandung data hilang.

P: total nilai pengamatan dari perlakuan yang mengandung datahilang.

G: total seluruh pengamatan

• Jumlah kuadrat perlakuan melalui analisis ragam akan berbiaske atas dengan besar bias:

2

2

G B K r 1 PBias

r 1 r 2

Latihan

Pengulangan dari RBSL

• Salah satu kelemahan RBL berukuran kecil adalah bahwarancangan itu hanya memiliki derajat bebas yang kecil,konsekuensinya tingkat ketelitian akan rendah.

• Misalkan: untuk RBSL 3×3 hanya memiliki db: (3-1)(3-2)=2

• Oleh karena itu, apabila kita menggunakan RBSL dalamukuran kecil, sering dipertimbangkan untuk mengulang RBSLtersebut sehingga diperoleh db galat yang besar.

• Contoh:

Kita melakukan percobaan pemberian makanan jenis A, B, danC pada sapi. Dalam percobaan, kita menggunakan RBSLukuran 3×3, dengan menyiapkan 3 ekor sapi untuk dicobakansecara bergantian selama 3 periode waktu.

Misalkan denah percobaannya adalah:

1 A B C

2 B C A

3 C A B

1 2 3

Sapi

Pe

rio

de Untuk meningkatkan db galat,

maka kita mengulang percobaandengan RBL 3×3 itu sebanyak nkali, katakanlah sebanyak 3 atau 4kali.

PeriodeSapi

1 2 3

1 A B C

2 B C A

3 C A B

4 B C A

5 A B C

6 C A B

RBSL ukuran 3×3

RBSL ukuran 3×3

6 C A B

7 C A B

8 A B C

9 B C A

10 A B C

11 B C A

12 C A B

RBSL ukuran 3×3

RBSL ukuran 3×3

• Derajat bebas dari 4 buah RBSL 3×3:

SV db

Baris/ Periode dalam RBSL(Ulangan)

nr – 1 = (4)(3) – 1 = 11

Kolom (sapi) r – 1 = 3 – 1 = 2

Perlakuan (makanan) r – 1 = 3 – 1 = 2Perlakuan (makanan) r – 1 = 3 – 1 = 2

Galat (r – 1)(nr – 2) = (2)(10) = 20

Total nr2 – 1 = 35

Perhitungan

l

2

2

r r r r2ijkl

i 1 j 1 k 1 l 1

r2

2l 1

YFK

nr

JKT Y FK

1JK(RBSL) JK(ulangan) Y FK

r

l

l 1

2r r r2i l

2i 1 l 1 l 1

2rj

j 1

2rk

k 1

r

Y 1JKB(RBSL) Y

r r

YJKK FK

nr

YJKP FK

nr

JKG JKT JK(RBSL) JKB(RBSL) JKK JKP

Tabel Anava

SV db JK KT F

Baris/ Periode nr – 1 JK(RBSL) + JKB(RBSL) KTB

Kolom r – 1 JKK KTK

Perlakuan r – 1 JKP KTP KTP/KTG

Galat (r – 1)(nr – 2) JKG KTGGalat (r – 1)(nr – 2) JKG KTG

Total nr2 – 1 JKT

Rancangan Beralih (Cross-OverRancangan Beralih (Cross-OverDesign)

Cross-Over Design

• Digunakan dalam percobaan yang menggunakan rotasi denganpanjang periode tetap (panjang periode ditentukan oleh peneliti).

• Pengaruh bawaan dari perlakuan terdahulu akan mempengaruhipengukuran dari pengaruh perlakuan sekarang.

• Pengaruh bawaan dapat diatasi melalui pemilihan rancanganpercobaan yang sesuai atau melalui penyisipan suatu periodepercobaan yang sesuai atau melalui penyisipan suatu periodeistirahat di antara periode-periode perlakuan.

• Periode istirahat merupakan suatu periode waktu tanpapengamatan pada perlakuan sekarang atau suatu periode tanpaperlakuan.

• Pada dasarnya rancangan beralih merupakan kombinasi antara RBSLdan RAK

• Contoh:Misalkan kita memiliki 2 perlakuan:– A: pemberian makanan tambahan– B: tanpa pemberian makanan tambahan

Perlakuan A dan B akan dicobakan pada 8 ekor sapi. Setiap ekor sapiakan menerima 2 perlakuan A dan B dalam periode 1 dan 2.

Perlakuan A dan B diberikan secara acak, dengan pembatasanPerlakuan A dan B diberikan secara acak, dengan pembatasanseparuh sapi mendapat perlakuan A dan separuhnya lagi mendapatperlakuan B dalam periode 1.

Selanjutnya, sapi-sapi yang mendapat perlakuan A pada periode 1akan beralih mendapat perlakuan B pada periode 2, vise-versa.

Denah Percobaan

Sapi atau Ulangan

Baris 1 2 3 4 5 6 7 8

Periode 1 B A B A A B B A

Periode 2 A B A B B A A B

Jika percobaan yang sama dilakukan dengan menggunakan RBSL,maka kita perlu menggunakan RBSL ukuran 2×2 diulang sebanyak4 kali.

Sapi atau Ulangan

1 2 3 4 5 6 7 8

1 B A B A A B B A

2 A B A B B A A B

RBSL 1 RBSL 2 RBSL 3 RBSL 4

Perhitungan

• dengan:

b: banyak baris

k: banyak kolom

2

b k2ij

i 1 j 1

2bi

YFK

bk

JKT Y FK

YJKB FK

i

i 1

2kj

j 1

2rk

k 1

YJKB FK

b

YJKK FK

k

YJKP FK

r

JKG JKT JKB JKK JKP

Tabel Anava

SV db JK KT F

Baris/ Periode b – 1 JKB KTB

Kolom k – 1 JKK KTK

Perlakuan t – 1 JKP KTP KTP/KTG

Galat * JKG KTG

* db galat: db total – db baris – db kolom – db perlakuan

Galat * JKG KTG

Total bk – 1 JKT

Referensi

• Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam PenelitianPercobaan, Tarsito, Bandung.

• Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I,Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPBPerancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPBPress, Bandung.

• Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis ofExperiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.