TEORI KEGAGALAN (FAILURE THEORIES)

TEORI TEGANGAN NORMAL MAKSIMUM (RANKINE) TEORI TEGANGAN GESER MAKSIMUM (TRESCA) TEORI ENERGI DISTORI (VON MISES) TEORI REGANGAN NORMAL MAKSIMUM

(ST.VENANT) DLL.

1

TEORI TEGANGAN NORMAL MAKSIMUM (RANKINE)

• Berdasarkan hasil eksperimen insinyur Inggris W.J.M. Rankine Teory Tegangan Normal Maksimum (Maximum Normal Stress Theory)

• Kegagalan suatu material terjadi bila tegangan normal maksimum mencapai suatu harga tegangan luluh atau tegangan patahnya, tanpa memperhatikan tegangan utama (principal stress) lainnya.

• Kriteria ini cocok untuk material getas ( brittle materials)

2

Tegangan 2 Dimensi (Biaxial Stress) :

luluhys1maks

2xy

2yxyxmaks 22

)()(

3

TEORI TEGANGAN GESER MAKSIMUM (TRESCA)

• Kriteria ini didahului pertama kali oleh C.A. Coulomb (1773) dan kemudian oleh H. Tresca (1864) Kriteria Tresca (Tresca Criterion)

• Suatu material yang mendapat beban tegangan biaxial atau tegangan triaxial dinyatakan gagal bila tegangan geser maksimum yang terjadi pada setiap titik mencapai tegangan luluh geser dari material tersebut

• Tegangan luluh geser = ½ tegangan luluh tarik

yp = ½ yp• Kriteria ini cocok untuk material ulet (ductile materials) 4

Tegangan 2 dan 3 Dimensi :

22maks xy

yx

2)()(

luluh2 ys

31maks

Kondisi tegangan biaxial

Kondisi tegangan multiaxial

5

TEORI ENERGI DISTORI (HUBER-VON MISES-HENCKY)

• Teori ini didahului oleh M.T. Huber di Polandia (1904) dan secara bebas dikembangkan oleh R. Von Mises di Jerman (1913) dan Hencky (1925)

• Kegagalan diprediksi muncul dalam kondisi beban tegangan multiaxial bila energi distorsi per satuan volume menjadi sama atau melebihi energi distorsi per satuan volume pada saat gagalnya material uji.

• Kriteria ini cocok untuk material ulet yang mendapat beban tegangan biaxial atau triaxial

6

212221332212

2 eq

Atau :

21222

eq2zx

2yz

2xyxzzyyx 6

22

luluhyseq Bila :

Tegangan 3 Dimensi (Multiaxial Stress) :

7

TEORI REGANGAN NORMAL MAKSIMUM

(ST. VENANT)

• Teori ini dipropose oleh St. Venant khususnya berlaku untuk material getas (brittle material)

• Kegagalan diprediksi muncul dalam kondisi tegangan multiaxial bila regangan normal utama maksimum (maximum principal normal strain) sama atau melebihi regangan normal maksimum pada saat material uji gagal.

8

Tegangan 3 Dimensi (Multiaxial Stress)

f

f

f

f

f

f

3

2

1

3

2

1

1,2,3 = regangan normal utama

f = regangan patah

9

Bila dinyatakan dalam bentuk tegangan :

fff

fff

213312321213312321

1,2,3 = tegangan normal utama

f = tegangan patah10

RANKINE – TRESCA – VON MISES

Normal stress theory

Distorsion energy theory

Shear stress theory

11

CONTOH SOAL

Sebuah poros berdiameter 50 mm mendapat beban tekan aksial sebesar 200 kN dan momen puntir sebesar 2 kNm secara simultan.

Ditanyakan:

a)Gambar kondisi tegangan pada elemen kubus dari poros

b) Matriks tegangan pada elemen kubus

c)Tegangan utama yang bekerja pada silinder tersebut

d)Tegangan geser maksimum yang terjadi pada silinder tersebut

SOAL 1 :

12

Penyelesaian :

JTr

xy

MPaxx 102

)50(41

102002

3

Gaya tekan aksial akan menimbulkan tegangan tekan aksial sebesar :

Tegangan geser yang terjadi pada bagian terluar dari poros adalah terbesar , dihitung dengan menggunakan rumus :

T = momen puntirr = jari-jari silinderJ = momen kelembaman polar luasan silinder

13

MPaxJ

Trxy 130

32/)25()25)(10)(102(

4

33

Sebuah elemen pada permukaan terluar dari poros akan mempunyai tegangan geser paling besar seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Tegangan geser yang terjadi pada bagian terluar dari poros :

14

x = 102 MPa x = 102 MPa

xy = 130 MPa

xy = 130 MPa

xy = 130 MPa

xy = 130 MPa

(a) Kondisi tegangan pada elemen kubus

(b) Matriks tegangan pada elemen kubus :

MPa000001300130102

ij

15

(c) Tegangan utama :

2xy

2x

xmaks 2

2)()/(

MPa68813021022102 22 ,)()/(

2xy

2x

x 22

)()/(min

MPa19113021022

102 22 )()/(

(d) Tegangan geser maksimum :

MPa1401302102

22222

maks xyx

)()()()(

16

Suatu silinder berdinding tipis mendapat beban kombinasi kearah tarik dan puntir secara bersamaan. Silinder tersebut mempunyai diameter = 400 mm dan tebal dinding = 2 mm. Silinder menerima beban tarik sebesar 200 kN dan beban puntir sebesar 50 kNm secara simultan.

Ditanyakan :a) Gambar kondisi tegangan pada elemen kubus dari dinding silinderb) Matriks tegangan pada elemen kubus tersebutc) Tegangan utama yang bekerja pada silinder tersebutd) Tegangan geser maksimum yang terjadi pada silinder tersebute) Menurut kriteria luluh Rankine, Tresca, Von Mises bagaimana kondisi material tersebut bila material mempunyai tegangan luluh sebesar 350 MPa?

SOAL 2 :

17

Penyelesaian :

MPaxAP

x 6,79)2)(400(

10200 3

(a)Tegangan tarik aksial sebesar 200 MPa menghasilkan distribusi tegangan yg uniform sepanjang silinder sebesar :

Tegangan tarik tersebut bekerja pada setiap penampang seperti pd gbr (a)

(b)

18

Tegangan geser akibat beban puntir dihitung dengan menggunakan rumus :

JTr

xy T = momen puntirr = jari-jari silinderJ = momen kelembaman polar luasan silinder

4633 mm10x10022002tr2J ))((

Silinder dinding tipis harga J adalah :

19

Tegangan geser xy terlihat pada gambar (b) diatas.

MPax

xJ

Trxy 100610100

)200)(310)(31050(

Tegangan geser pada silinder dinding tipis :

Dari hasil perhitungan diatas diperoleh tegangan yang bekerja pada silinder dinding tipis adalah :

xy = 100 MPa

x = 79,6 MPa

20

(a) Kondisi tegangan pada elemen kubus dari dinding silinder :

000001000100679

ij

,

x = 79,6 MPa x = 79,6 MPa

xy = 100 MPa

xy = 100 MPa

xy = 100 MPa

xy = 100 MPa

(b) Matriks tegangan pada elemen kubus :

21

Tegangan tarik x dan tegangan geser xy bekerja secara simultan :

x = 79,6 MPa , xy = 100 MPa

(c) Tegangan utama :

2)(2)2/(2 xyx

xmaks

MPa4,1472)100(2)2/6,79(2

6,79

22

MPa

xyx

maks

7,1072)100(2)2

6,79(

2)(2)2

(

(d) Tegangan geser maksimum :

MPa8,67)100()2/6,79(2

6,79 22

2)(2)2/(2min xyx

x

23

(e) Kondisi material menurut Kriteria Luluh Rankine, Tresca dan Von Mises :

Kriteria Tegangan Normal Maksimum (Rankine) :

maks = 147,4 MPa < 350 MPa material belum luluh

Kriteria Tegangan Geser Maksimum (Tresca) :

Tegangan luluh geser = 0,5 tegangan luluh tarik

= 0,5 x 350 MPa = 175 MPa

maks = 107,7 MPa < 175 MPa material belum luluh24

Kriteria Von Mises :

MPaMPaeq 35062,190 material belum luluh

MPa

eq

62,190

10066,796,792

2 21222

21222222 6

22

zxyzxyxzzyyxeq

25

SOAL 3 :

Sebuah poros berdiameter 30 mm berputar dengan kecepatan sudut konstan (seperti terlihat pada gambar dibawah ini). Sabuk (belt) pada pulley memberi beban kombinasi bending dan torsi pada poros. Berat poros dan pulley diabaikan, asumsikan bahwa bantalan pada poros hanya memberikan gaya reaksi arah melintang.

Ditanyakan:a)Gambar diagram benda bebas pada konstruksi poros dan bantalanb)Gambar diagram bidang momen pada poros akibat beban bending dan torsic)Tegangan utama yang bekerja pada poros tersebut

26

Gambar konstruksi poros dan bantalan

27

b) Diagram Bidang Momen

a) Diagram Benda Bebas

28

kNm57,02)15,0(2)55,0(BM

kNm43,02)35,0(2)25,0(CM

Momen puntir (torsi) antara 2 pulley adalah konstan :

kNm 0,3)3-10 x 200)(500310 x (2 T

Resultan momen bending di B dan C :

29

Momen puntir (torsi) di B dan C adalah sama elemen kritis pada poros terdapat pada titik B

Tegangan bending maksimum di B :

MPa

/)π(

)/)()( x ,( I

M.y xσ215

64302301010570

4

33

Tegangan geser maksimum di B :

MPa,

/)π(

)/)()( x ,( J

T.r

5563230

2301010304

33

xy

30

c) Tegangan utama (principal stress) :

MPa 229 (56,5) (215/2) 215/2

))

22

22maks

( 21( 2

1 xyxx

MPa 14- (56,5) (215/2) 215/2

))

22

22min

( 21( 2

1 xyxx

31

SOAL 4 :

Sebuah konstruksi poros pejal berbentuk bulat yang ditumpu oleh dua buah bantalan. Pada kedua ujungnya mendapat beban tarik oleh dua buah sabuk yang bekerja pada pulley seperti terlihat pada gambar (a) dibawah ini.

Bila poros tersebut terbuat dari material yang mempunyai tegangan luluh 250 MPa, maka dengan menggunakan teori tegangan normal maksimum dan angka keamanan 3 hitung diameter poros supaya tahan terhadap beban diatas.

32

(a)

(b)

(c)

(d)

2 kN1 kN 1 kN 2,5 kN

33

Reaksi pada bantalan dinyatakan dalam RB dan RC terdapat dalam satu bidang vertikal seperti pada gambar (b).Dari statika diperoleh : RB = 2,83 kN dan RC = 3,67 kN.Variasi momen bending sepanjang poros dinyatakan pada gambar (c ), dengan cara yang sama momen puntir digambarkan sama sepanjang poros (gambar d) .Daerah kritis sepanjang poros terdapat pada titik C (gambar c), sehingga pada elemen di C terjadi tegangan x dan xy

xxxyxy

yx

yx34

MPa3d

610 x 3,06 32/4πd

)2/d)(310)(310 x (0,6 J

Tr xy (2)

Tegangan geser xy muncul akibat beban puntir dari tarikan sabuk pulley :

Tegangan normal yang lain : y dan z = 0

MPad

10 x 5,4 /64πd

)(d/2))(1010 x (0,53 I

Mc 3

64

33xσ (1)

Tegangan normal akibat bending :

35

2

3

61006,32

32

06104,532

06104,53

250

d

x

d

x

d

x

Dari persamaan diatas diperoleh d = 43 mm

Substitusi pers (1), (2), dan (3), dengan menggunakan angka keamanan 3, maka :

2)(2

22 xyyxyx

maks

Tegangan normal maksimum diperoleh dari tegangan utama maksimum dengan rumus :

(3)

36

SOAL 5

Sebuah elemen kecil pada suatu komponen mendapat beban multiaxial sebagai berikut :

ksiij

5535107372

Ditanyakan :a)Gambar kondisi tegangan multiaxial pada elemen kubus tersebutb)Besar tegangan utama yg terjadi akibat pembebanan multiaxial tsb.c)Cos arah (l,m,n) dari tegangan utama

37

Penyelesian :

x

y

z

xx= 2ksi

yy = 10 ksi

yy = 10 ksi

xx = 2ksi

zz = -5 ksi

zz = -5 ksi

xy = 7 ksi

yx

xz

zy

yz

zx

38

xx = 2 ksi , yy = 10 ksi, zz = -5 ksi,

xy = 7 ksi, yz = 5 ksi, zx = -3 ksi

dimana koefisien invarian I1,2,3 adalah :

I1 = (xx + yy + zz) = 3 ksi

I2 = (xxyy + yyzz+ xxzz – xy2 – yz

2–xz2)

= - 143 (ksi)2

I3 = (xxyyzz + 2 xyyzxz – xxyz2 – yyxz

2-

zzxy2)

= 95 (ksi)3

Sehingga :39

Arah tegangan utama

40

n = 0.183

41

SOAL LATIHAN

Sebuah komponen dibuat dari bahan baja St 60 mendapat beban multiaksial sbb : tegangan tarik ke arah sb x dan sb y sebesar 50 kg/mm2 dan 10 kg/mm2, tegangan tekan ke arah sb Z sebesar 20 kg/mm2, tegangan geser pada bid x ke arah sb z sebesar 30 kg/mm2

Bila material tersebut mempunyai tegangan luluh = 55 kg/mm2, maka ditanyakan :

a)Gambar kondisi tegangan pada suatu titik (elemen kubus)

b)Matriks tegangan yang bekerja pada elemen kubus tersebut

c)Menurut kriteria luluh Rankine, Tresca dan Von Mises, bagaimana kondisi material tersebut pada saat menerima beban tegangan?

SOAL 1 :

42

SOAL 2 :Sebuah silinder berdinding tipis mempunyai diameter 250 mm dan tebal dinding 2,5 mm. Di dalam silinder tersebut mendapat tekanan yang seragam (uniform) sebesar 1 MPa. Berapa gaya tarik axial yang bekerja pada dinding silinder tersebut secara simultan tanpa tegangan tarik maksimum melebihi 150 MPa?

SOAL 3 :Sebuah silinder berdinding tipis mendapat gaya tekan axial 200 kN dan momen torsi 3 kNm secara simultan. Diameter silinder adalah 300 mm dan tebal dinding silinder 3 mm. Tentukan tegangan utama yang terjadi pada elemen dinding silinder dan tegangan geser maksimumnya. Abaikan kemungkinan terjadi buckling pada silinder.

43

Bejana Dinding Tipis

hpr

c hpr

l 2

44