KELOMPOK 8Nama :Amidah

Elah JulaehaFitri SanusiLia HerlinaRatnasari

Reni MaryaniWindy Agustiani

Kelas XII IPA 3

MATRIKSMatriks adalah suatu susunan angka atau bilangan, variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi dan biasanya ditutup dengan tanda kurung.

KONSEP MATRIKS

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.Contoh :

a b

c d

Kolom ke 1

Kolom ke 2

baris ke 1 baris ke 2

A =

Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 X 2 ditulis A2X2 atau (a22).

“Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.”

a b

c d

Kolom ke 1

Kolom ke 2

baris ke 1 baris ke 2

A =

KESAMAAN MATRIKSMatriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B.

Contoh :

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 x 3

Definisi:

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika :

a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama.

b. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama.

a b c

d e fA =a b c

d e fB =dan

MATRIKS BARIS

Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh : A = ( 4 3 2 4 )

MATRIKS KOLOM

Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Contoh : A = 4

5

-1

MATRIKS PERSEGI ATAU MATRIKS BUJUR SANGKAR

Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom

Contoh :Contoh : A = , 4 5 -1

5 2 4

3 2 1

jumlah baris = jumlah kolom

MATRIKS NOL

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo m x n ,ditulis dengan huruf O

Contoh : O2X3 =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

MATRIKS SEGI TIGAMatriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 (nol).

Contoh : C = , D = 2 0 0 0

3 7 0 0

-9 0 8 0

4 1 -3 5

8 2 1 -3

0 6 5 4

0 0 3 7

0 0 0 9

MATRIKS DIAGONALMatriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contoh : E = 5 0 0 0

0 7 0 0

0 0 -2 0

0 0 0 8

MATRIKS SKALAR

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

Contoh : F = 7 0 0 0

0 7 0 0

0 0 7 0

0 0 0 7

MATRIKS IDENTITAS ATAU MATRIKS SATUAN

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya 1 (satu) ditulis dengan huruf I.

Contoh : I3 = , I4 =

I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

MATRIKS SIMETRISMatriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji.

Contoh : G =

Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga

1 3 2 5

3 4 6 9

2 6 7 8

5 9 10

2

MATRIKS MENDATAR

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

Contoh : H2X3 = 3 2 1

4 5 1

MATRIKS TEGAK Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contoh : K3x2 = 1 -8

4 1

9 1

MATRIKS TRANSPOS ( NOTASI AT ) Transpos A adalah matriks baru dimana

elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga = elemen baris ketiga matriks A.Misal Matriks A =

Maka Transpos A adalah At =

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

1 -2 5 8

9 1 4 2

0 3 -2 -3

1 9 0

-2 1 3

5 4 -2

8 2 -3

SIFAT-SIFAT MATRIKS TRANSPOS

1) ( A + B )t = At + Bt

2) ( At )t = A 3) ( AB )t = Bt At

OPERASI MATRIKSPENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN 2 MATRIKS

Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.

Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

CONTOH

Jika A = , dan B =

Maka A + B = =

A - B = =

3 2 1

5 4 6

7 5 -3

-2 1 0

3+7 2+5 1+(-3)

5+(-2) 4+1 6+0

10 7 -2

3 5 6

3-7 2-5 1-(-3)

5-(-2) 4-1 6-0

-4 -3 4

7 3 6

BEBERAPA SIFAT YANG BERLAKU PADA PENJUMLAHAN MATRIKS

1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas

tambah)

PERKALIAN BILANGAN REAL DENGAN MATRIKS

Jika k adalah suatu bilangan Real (skalar) dan Matriks A = (aij), maka Matriks kA = (kaij) adalah suatu matriks yang di peroleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

Jadi, jika A = , maka : kA =

Contoh : Misal A = ,

maka 3A = 3 = =

7 5 -3

-2 1 0

a11 a12

a21 a22

ka1

1

ka1

2

ka2

1

ka2

27 5 -3

-2 1 0

3.7 3.5 3.(-3)

3.(-2)

3.1 3.0

21 15 -9

-6 3 0

SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL

Jika a dan b bilangan real, maka : ( a + b )A = aA + bA a ( A + B ) = aA + aB a( bA ) = (ab)A

PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS (PERKALIAN 2 MATRIKS)

Matriks A yang berordo mxp dengan suatu matriks B yang berordo pxn adalah matriks C yang berordo mxn.A mxp.Bpxn = C mxn

Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah : Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

Secara umum jika A = >> ordo matriks 2x3

B = >> ordo matriks 3x2

C = A . B = >> ordo

matriks 2x2

Dimana

a11 a12 a13

a21 a22 a23

b11 b12

b21 b22

b31 b32

c11 c12

c21 c22

c11 = a11b11+a12b21+a13b31

c12 = a11b12+a12b22+a13b32

c21 = a21b11+a22b21+a23b31

c22 = a21b12+a22b22+a23b32

DETERMINAN MATRIKS

Determinan matriks di definisikan 𝐴sebagai selisih antara perkalian elemen - elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen - elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks � dinotasikan dengan det

atau | |. Nilai dari determinan suatu 𝐴 𝐴matriks berupa bilangan real.

DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2

Jika Matriks A = maka det (A) = |A| = | |= ad – bc

Contoh :P = maka,

det (P) = |P| = | | = (2.3) – (1.(-6)) = 6+6 = 12

a b

c d a b

c d

2 1

-6 3

2 1

-6 3

DETERMINAN MATRIKS ORDO 3X3

Untuk mencari determinanmatriks berordod apatdigunakan dua metode, sebagaiberikut:

MetodeSarrus MetodeEkspansiKofaktor

METODE SARRUSCara ini paling tepat digunakan untuk menentukan determinan matriks ordo 3×3. Cara sarrus : i. Tuliskan kolom pertama dan kedua dari determinan awal di sebelah kanan setelah kolom ketiga.

ii. Kalikan unsur – unsur pada keenam diagonal, yaitu tiga kolom diagonal utama (dari kiri ke kanan) dan tiga kolom diagonal pendamping (dari kanan ke kiri). Hasil kali diagonal utama dijumlahkan dan hasil kali pada diagonal pendamping dikurangkan.

Jika Matriks B =

maka det (B) = |B| =

= ptx + quv + rsw – vtr –wup – xsq

Perlu diperhatikan bahwa Metode Sarrus tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi.

p q r

s t u

v w x

p q r

s t u

v w x

p q

s t

v w

METODE EKSPANSI KOFAKTORa. Pengertian Minor . Minor suatu matriks 𝐴

dilambangkan dengan 𝑀 j 𝑖 adalah matriks bagian dari yang diperoleh dengan cara 𝐴menghilangkan elemen - elemennya pada baris ke- dan elemen elemen pada kolom ke- . 𝑖 𝑗

Contoh : Q = maka,

M11 = , M12 = , M13 =

M11, M12 , M13 merupakan sub,matriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q

3 2 4

1 7 5

7 2 3

3 2

1 7

3 2

1 7

3 2

1 7

b. Pengertian Kofaktor Kofaktor suatu elemen baris ke- 𝑖dan kolom ke- dari matriks A dilambangkan dengan 𝑗

𝐾𝑖j =(−1) +𝑖 𝑗. |𝑀 j𝑖 | = (−1) +𝑖 𝑗.det (𝑀 .j)𝑖

Penentuan tanda dr determinan matriks persegi berodo 3x3 :

Untuk mencari det (A) dg metode ekspansi kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi bari ke -1

+ - +

- + -

+ - +

CONTOH 𝑄 =

Untuk mendapatkan det( ) dengan metode 𝑄kofaktor adalah mencari terlebih dahulu determinan – determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu :

M11= , det(𝑀11) = 11 ; M12= , det(𝑀12) = -32

M13= , det(𝑀13)=− 47

det( )= 𝑄 𝑘11.𝑞11+𝑘12.𝑞12+𝑘13.𝑞13

= (−1)1+1.|𝑀11|.𝑞11+ (−1)1+2.|𝑀12|.𝑞12 + (−1)1+3.|𝑀13|.𝑞13 =11.3 − (−32).2 + (−47).4 =33+64−188 = −91

3 2 4

1 7 5

7 2 3

7 5

2 31 5

7 3

1 7

7 2

INVERS MATRIKS

Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian yang dilambangkan dengan A-1. Definisi:Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I matriks identitas maka B disebut invers dari A dan A invers dari B. Karena invers matriks A dilambangkan dengan A-1 maka berlaku: A x A-1 = A-1 x A= I Dimana I adalah matrik identitas.

INVERS MATRIKS ORDO 2×2

Rumus Invers Matriks Berordo 2 × 2Misalkan A = invers dari A adalah A-1, yaitu

A -1 = , dengan det A ≠ 0

2 1

-3

-2

ac

bd

Adet

1

Contoh :Tentukan invers dari matriks D = Jawab :det D = = 3(11) – (–7)(–6) = 33 – 42 = –9

D -1= =

= =

117

63

117

63

37

611

det

1

A

37

611

9

1

9

3

9

79

6

9

11

3

1

9

73

2

9

11

INVERS MATRIKS ORDO 3×3

Contoh: B = , tentukan B-1!

Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka :

Det(B) = |B| = k31 . b31 + k32 . b32 + k33 . B33= (-1)3+1 .0+(-1)3+2 .0+(-

1)3+3 .6 = 0 + 0 + 24 = 24

1 2 3

0 4 5

0 0 6

54

32

50

31

40

21

MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

= x

y

1

ad - bc

d -b

-c -a

p

q

CONTOH

TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIANSISTEM PERSAMAAN LINIER BERIKUT2x + y = 43x + 2y = 9

=2 1

-3 -2

x

y

4

9

Persamaan Matriks diatas dapat ditulis menjadiAX =B, A = , X = , B =

det A = | | = 1 dan A-1 = 1/1 =

Oleh karena itu, X =A-1B = =

Jadi, HP adalah {(-1, 6)}

2 1

-3 -2

x

y

4

9

2 1

-3 -2

2 1

-3 -2

2 1

-3 -2

x

y

2 1

-3 -2

4

9

-1

6