Isabelle Araujo – 5º período de Engenharia de Produção

Conjuntos

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1

Definição

Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma espécie.

- O conjunto de todos os estudantes da UFAL.

- O conjunto de todos os brasileiros.

- O conjunto de todos os números naturais.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Seus componentes são formados por elementos que são denotados por letras minúsculas do alfabeto: a, b, c, ..., z.

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Representações: formas

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Compreensão

A = conjunto de alunos da UFAL

Implícita

Hgh

B

Explícita C

Diagrama de Euler-Venn

Z

2;/ xxxB

semanadadiaéddN /

uoieaC ;;;;

Conjuntos especiais

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Conjunto Vazio: o conjunto que não possui elementos Seja X um conjunto qualquer, o conjunto vazio Ø é definido por:

H

Conjunto Unitário: é um conjunto formado por um único elemento Ex: M = {7}

xxXx /

Conjuntos especiais

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Conjunto finito: Se for vazio ou tiver um número finito de elementos.

O conjunto das cidades de Portugal

O conjunto vazio.

O conjunto do número de habitantes de Delmiro Gouveia

Conjunto infinito: Se o conjunto tiver uma quantidade incontável de elementos.

O conjunto N dos números naturais.

O conjunto dos números primos.

O conjunto Z dos números inteiros.

Conjuntos especiais

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Conjunto Universo: é o conjunto de todos os elementos, representado pela letra U

Também é admitido como restrito a uma região de interesse.

Ex.: - Conjunto Universo das letras

- Conjunto Universo dos Conjuntos

J

O M W

Notações básicas

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( também representado por / )

Relação de pertinência

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Relaciona elementos e conjuntos, informando se um elemento faz parte ou não de tal conjunto

x pertence ao conjunto A Simbologia:

(lê-se: “x pertence a A”)

x NÃO pertence ao conjunto A Simbologia:

(lê-se: “x NÃO pertence a A”)

Exemplos

F

g

Ax

Ax

23;10;5;45

2;1;0;2;16

Relação de inclusão 1

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Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto do outro

A está contido em B

Simbologia:

A NÃO está contido em B. Simbologia:

Exemplos

F

g

BA

BA

23;10;5;423;5

1;20;2,1011;0

A B

A

B A

A

Relação de inclusão 2

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Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto ou superconjunto do outro:

B contém A

Simbologia:

B NÃO contém A

Simbologia:

Exemplos

F

g

AB

AB

10;5;410;4;23;5

3;11;18;1015;3;11;0

A B

A

B A

A

Conjuntos: operações

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BxAxxBA ;U

9

7 6

8

B A

1 2

3 4

5

•Interseção: A B (lê-se: “A interseção a B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A e a B. BxAxxBA ;U

A

1 2

3 4

5 7

9

6

8

B

2

4

7

•União: A B (lê-se: “A união B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A ou a B.

Conjuntos: operações

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DIFERENÇA: A - B (lê-se: “A menos B”) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A, mas NÃO a B.

A

B

A-B

Conjunto complementar

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Definição: Seja B um conjunto qualquer (portanto subconjunto do universo U), o complementar de B em relação ao conjunto universo, é simbolizado por:

ou B

BxxB ;UO que é equivalente a: BB U

U-B

B

U B

cB

Dicas !!!

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• Elemento neutro para a união: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a união de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

• Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

• Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

Exemplos

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(PUC) Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

R= 69%

Exemplos

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Vamos Praticar!

1. Julgue as proposições como verdadeira ou falsa:

Falso

Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

Os Conjuntos Numéricos

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Conjunto dos números naturais

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Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza.

A representação matemática deste conjunto é dada da seguinte forma:

(Conjuntos dos números naturais não-nulos)

Subconjunto:

Conjunto dos números inteiros

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A subtração de 1 - 4 era impossível.

A ideia do número negativo, apareceu na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas.

O número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada.

A representação matemática dos números inteiros é dada da seguinte forma:

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Conjunto dos números inteiros

Subconjuntos:

(Conjunto dos números inteiros não-nulos)

(Conjunto dos números inteiros não-negativos)

(Conjunto dos números inteiros positivos não-nulos)

Conjunto dos números inteiros (continuação)

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Subconjuntos:

(Conjuntos dos números inteiros não-positivos)

(Conjuntos dos números inteiros negativos

não-nulos)

Vamos praticar!

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1. Classifique como verdadeiro ou falso:

a) A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural.

b) A diferença entre dois números naturais quaisquer é um número natural. c) O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural.

Verdadeiro

Verdadeiro

Falso

Vamos praticar!

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2. Classifique como verdadeiro ou falso:

Verdadeiro

Verdadeiro

Verdadeiro

Falso

Como dividir 3 ovelhas para 2 herdeiros?

Conjunto dos números racionais

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• Para resolver problemas de divisões de números inteiros (3/2), foram criados

os números fracionários que unidos aos inteiros (Z), formam os números

racionais (Q).

A representação matemática deste conjunto é:

Q = Z {números fracionários}

Assim,

Q= }0b e Zb Z,a com,b

ax/x{

}b , a com,b

ax/x{ *ZZQ

Será que existe uma forma mais

compacta para Q?

Conjunto dos números racionais

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- Todo número que pode ser escrito na forma de fração entre dois inteiros é um número racional. Na forma decimal podem ser representados por:

- Decimal Exata

Ex.: 3/4 = 0,75 25/8 = 3,125 -2/5 = -0,4

- Decimal Periódica

Ex.: 17/6 = 2,8333... 23/99 = 0,232323...

Onde, 17/6 e 23/99 são as geratrizes das dízimas periódicas,

que tem, respectivamente, períodos 3 e 23.

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Conjunto dos números racionais

- Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica:

a) 0,2171717...

Demonstração!

Solução: Seja x = 0,2171717... 1

Multiplicando os membros de 1 por 10 e por 1000, temos:

10x = 2,171717... 2

1000x = 217,171717... 3

Subtraindo 2 de 3, obtemos:

990x = 215

x = 215/990 x = 43/198 x = 43/198 = 0,2171717

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Conjunto dos números racionais

Vamos Praticar!

- Obtendo a fração irredutível equivalente a dízima periódica:

a) 0, 222... b) 0,35111...

b) Solução :

Seja x = 0,35111... 1

Multiplicando os membros de 1 por 100 e por 1000, temos:

100x = 35,111... 2

1000x = 351,111... 3 Subtraindo 2 de 3, obtemos:

900x = 316

x = 316/900 x = 79/225

0,35111... = 79/225

Conjunto dos números irracionais

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Representam os números decimais infinitos e não-periódicos.

π = 3,1415926535...

31/2 = 1,7320508...

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

Formado a partir da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

A representação matemática deste conjunto é:

r} ou x {x/x IQIrQR

Intervalos reais

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Notações intuitivas:

É numa reta real onde todos os infinitos números reais são representados de maneira crescente.

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0 1 2 3 -3 -2 -1

2,7

1,8

1,5 2 5

-2,7

-1,8

-1,5 - 2 - 5

-

O

Do menos infinito ao mais infinito

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Intervalos reais

Um intervalo é um pedaço da reta real representado por:

Bolinha aberta

A extremidade está incluída A extremidade está excluída

(ou seja, dentro) do intervalo. (ou seja, fora) do intervalo.

• O intervalo vai do -4 até o 4

• O intervalo inclui o -4 mas não inclui o 4

Bolinha fechada Bolinha aberta

-4 4

Intervalos reais

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4/ xxS

5/ xxS

4 x

5 x

-5 2 x

-6 3 x

25/ xxS

36/ xxS

33/44

INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA

Intervalos reais

3ou 44/ xxxS

-4 4 x

3

34/44

3444/ xxxS

)3,4()4,4[ S

Intervalos reais

INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA

x -4 4 3

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BA

B

A

INTERVALOS REAIS

)4,4[BA

44/ xxS

UNIÃO DE INTERVALOS

x -4 2

x -2 4

x -2 4 -4 2

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INTERSECÇÃO DE INTERVALOS

BA

B

A

)2,2[ BA

22/ xxS

INTERVALOS REAIS

x -4 2

x -2 4

x -2 2

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DIFERENÇA DE INTERVALOS

BA

B

A

)2,4[ BA

24/ xxS

Intervalos reais

x -4 2

x -2 4

x -2 -4

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Vamos Praticar! 1. Dados A = [0,3] e B = [1,5[, calcule:

Intervalos reais

Referências

• OLIVEIRA, A. Pré-Enem Comunitário 2013.

• DANTE, L.R. Matemática Volume Único. 1°ed. Ática, 2005.

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Obrigada pela atenção!

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