Circuitos rlc

Figura 62

Figura 61

C

LOS CIRCUITOS RLC LA RESONANCIA Y LOS FILTROS PASIVOS

IntroduccioacutenAl circular la corriente alterna por circuitos formados por resistencias bobinas y condensadores debido a efectos especiales que tienen lugar como consecuencia de este tipo de corriente y de la frecuencia el comportamiento de estos componentes y por tanto de estos circuitos es diferente que cuando son recorridos por corriente continua De ahiacute que nos ocupemos en este tema del estudio de ellos

CONOCIMIENTOS PREVIOS1 Teorema de Pitaacutegoras

Aunque trataremos de resolver los ejercicios de este tipo de circuitos mediante los nuacutemeros complejos debemos aclarar que cuando se trata de circuitos sencillos (una resistencia una bobina y un condensador) eacutestos se pueden resolver por medio del teorema de Pitaacutegoras Lo recordamosEl teorema de Pitaacutegoras dice que el cuadrado formado sobre la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacuten-gulo es igual a la suma de los cuadrados formados sobre los catetos

Su expresioacuten matemaacutetica es la siguiente

2 TrigonometriacuteaPara la resolucioacuten de los circuitos RLC

nece- sitamos de los conocimientos de la trigonometriacutea Con lo que se ha visto en el tema de corriente alterna de momento nos es suficiente

3 VectoresComo se recordaraacute un vector es un segmento

orientado Es decir un segmento con una punta de flecha en uno de sus extremos Veacutease la figura 62

yh2 = c12 + c2

2

b BEn la figura 61 se muestra la interpretacioacuten

v

h2 A n

2C1 o x a

2 Los vectores se nombran diciendo primero la letra del origen seguido de la del extremo o tambieacuten

2 diciendo la letra minuacutescula que lo designa Asiacute elvector de la figura 62 se puede nombrar como el vector AB o simplemente vector v

[Escriba aquiacute]

Se representa por una letra minuacutescula con un peque- ntildeo vector encima de la letra

Todo vector se caracteriza por los paraacutemetros

complejos se representan con el siacutembolo (a b) siendo a y b nuacutemeros reales Al nuacutemero a se le llama primera componente o componente real y al b segunda componente o componente imaginaria

bull Magnitud o Moacutedulo es la longitud del vector o segmento (longitud A-B) Se representa asiacute |v|

bull Direccioacuten es la direccioacuten de la recta sobre laque estaacute representado el vector la direccioacuten 42 Consideraciones sobre los nuacutemerospuede ser A-B o B-A complejos

bull Sentido es el sentido del vector El sentido de1ordf Todo nuacutemero complejo de la forma (a 0)

(segunda componente nula) es un nuacutemero realun vector viene dado por la punta de flecha El 2ordf Los nuacutemeros complejos no reales se llaman

vector representado posee un sentido A-B imaginarios3ordf Todo nuacutemero complejo de la forma (0 b)

bull Punto de aplicacioacuten u origen es el lugar donde (primera componente nula) se llama nuacutemerocomienza el vector En la figura el punto A En imaginario puroeste caso coincide con el origen de coordenadas 4ordf Toda unidad imaginaria se representa por i

(nosotros en electricidad y electroacutenica utiliza-Un vector se puede dar en funcioacuten de sus coordena- remos la letra j) y corresponde al nuacutemerodas yo descomponerse en ellas El vector que se complejo imaginario puro (0 1) oacute sea a radic-1adjunta tiene como abscisa el segmento oa y como luegoordenada el segmento ob Cada una de ellas se puede (0 1) = i = radic-1

calcular en funcioacuten del moacutedulo y del aacutengulo φAsiacute

por tanto

la componente horizontal oa = |v| cos φla componente vertical ob = |v| sen φ

Si de un vector nos dan sus componentes podemos hallar el moacutedulo por el Teorema de Pitaacutegoras o mediante la trigonometriacuteaTambieacuten haremos uso de las operaciones con vectores sobre todo de la suma y resta

4 Nuacutemeros complejosEl campo de los nuacutemeros complejos se creoacute

para dar respuesta a ciertas cuestiones matemaacuteticas que no solucionaban los nuacutemeros reales Algunos de estos casos son las raiacuteces cuadradas (o de iacutendice par) de los nuacutemeros negativos como radic-9 las potencias de exponente irracional de nuacutemeros negativos (-3)54 o los logaritmos de los nuacutemeros negativos (log - 4)

Se denominan nuacutemeros complejos al conjunto de los nuacutemeros reales y los imaginarios

41 DefinicioacutenUn nuacutemero complejo es un ente abstracto

representado por un par de nuacutemeros reales cuales- quiera dados en un orden prefijado Los nuacutemeros

i = radic-1 i2 = -1

43 Expresiones de los nuacutemeros complejosTodo nuacutemero complejo se puede expresar de varias formas

1ordf Forma compleja se expresa por (a b) cuyo significado ya conocemos

2ordf Forma binoacutemica se expresa por a + bi donde a representa la parte real y b las unidades imaginarias

3ordf Forma factorial o trigonomeacutetrica en este caso se dan las componentes a y b en funcioacuten del aacutengulo y de sus razones trigonomeacutetricas Estas dos componentes son

a = r cos φb = r sen φ

y el moacutedulo z = r (cos φ + sen φ)

4ordf Forma moacutedulo-argumental o polar todo nuacutemero complejo queda determinado si se conocen su moacutedulo y su argumento o aacutengulo En esta forma se expresa asiacute (rφ )

[Escriba aquiacute]

44 Representacioacuten geomeacutetrica de un nuacutemero complejoLos nuacutemeros complejos se representan por

los puntos de un plano referidos a un sistema de coordenadas bien cartesianas o bien polares

Analicemos el caso de las coordenadas cartesianas Sea el nuacutemero complejo representado por un punto P (figura 63)Dicho punto se proyecta sobre los ejes La proyeccioacuten sobre el eje de abscisas representa la componente real y la proyeccioacuten sobre el eje de ordenadas representa la componente imaginariaEl punto P se llama afijo del complejo

y

b

P

r

no a x

Figura 63

Moacutedulo es la distancia OP de su afijo al origen de coordenadas Su valor se calcula por Pitaacutegoras

Argumento es el aacutengulo que forma el segmento OP (moacutedulo) con el eje horizontal Este aacutengulo viene dado por

φ = arc sen br = arc cos ar = arctg ba

Vector asociado es el vector OPComo se observaraacute los nuacutemeros complejos son en la praacutectica vectores soacutelo que su origen siempre estaacute situado en el origen de coordenadas

45 Igualdad y desigualdad de nuacutemeros complejos

a) Dos nuacutemeros complejos son iguales cuando tienen el mismo afijo es decir cuando se representan geomeacutetricamente en el mismo punto

b) Dos nuacutemeros complejos son iguales cuando tienen respectivamente iguales sus componentes reales e imaginarias

Ejemplo a + bi = c + di lt==gt a = c y b = d

c) Dos nuacutemeros complejos dados en forma trigonomeacutetrica son iguales cuando tienen iguales sus moacutedulos y sus argumentos son iguales o difieren en k x 3 60 ordm o en 2kπ (si el aacutengulo viene dado en radianes) siendo k un nuacutemero entero

46 Nuacutemeros complejos nulos opuestos y conjugadosNulosa) en forma compleja cuando sus dos

componentes son nulasb) en forma polar basta con que sea nulo

el moacutedulo

Opuestosa) en forma compleja y binoacutemica cuando

tienen sus dos componentes opuestas(a = - aacute y b = - bacute) Asiacute el nuacutemero complejo (7 4) es opuesto al (-7 -4) Del mismo modo lo son los complejos 3 + 4i y el -3 - 4i

b) en forma moacutedulo argumental cuando sus moacutedulos son iguales y sus aacutengulos o argumentos difieren en 180ordm (o en π) o en un nuacutemero impar de estos

Conjugadosa) en forma compleja o binoacutemica cuando

sus componentes reales son iguales y sus componentes imaginarias son opuestas El complejo conjugado a (3 4) es (3 -4) De igual forma lo son -3 + 5i y -3 -5i

b) en forma polar si sus moacutedulos son iguales (r = racute) y sus argumentos opuestos (φ = - φ)

47 Operaciones con nuacutemeros complejos

471 En forma compleja yo binoacutemicaSuma y restaLa suma o resta de dos o maacutes nuacutemeros complejos es otro nuacutemero complejo cuya componente real es la suma o resta de las componentes reales y cuya componente imagina-

[Escriba aquiacute]

ria es la suma o resta de las componentes imaginarias de los nuacutemeros complejos a su- mar o restar

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplos(3 5) - (2 -6) + (3 -1) = (4 10)

(5 + 3i) + (-2 + 7i) - (8 - 4i) =[ (5 -2 -8) + (3 + 7 +4)i ] = - 5 + 14i

Observacionesa) la suma de dos nuacutemeros complejos

opuestos es igual a cerob) la suma de dos complejos conjugados es

igual al duplo de su componente realc) la representacioacuten geomeacutetrica de la suma

aparece en la figura 64

472 En forma polar

ProductoPara multiplicar dos o maacutes nuacutemeros complejos se multiplican los moacutedulos y se su- man los argumentosEjemplo 530ordm x 6 42ordm x 2 20ordm = 60 92ordm

CocientePara dividir dos nuacutemeros complejos se divi- den los moacutedulos y se restan los argumentosEjemplo 28 35ordm 4 24ordm = 7 11ordm

5 Leyes de KirchhoffRecordemos solamente los enunciados

La ley de los nudos dice que en todo nudo eleacutectrico la suma vectorial de las corrientes que a eacutel se acer- can es igual a la suma vectorial de las corrientes que de eacutel se alejan

n

b

d

o a cFigura 64

Producto

P

eje real

m

La ley de mallas dice que en toda malla o circuito eleacutectrico cerrado la suma vectorial de las fuerzas electromotrices aplicadas es igual a la suma vectorial de las caiacutedas de tensioacuten que en ella se producen

6 La reactancia inductivaCuando una bobina es recorrida por una co-

rriente variable (corriente alterna) en su interior se crea un flujo magneacutetico variable Como consecuen-

Para multiplicar dos nuacutemeros complejos semultiplican los binomios complejos como si fueran binomios algebraicos

Ejemplo(a + bi) x (c + di) = (ac + adi + cbi + bd i2) =

(ac - bd) + (cb + ad)i

Nota ojo no olvidemos que i2 = -1

CocienteEl cociente de dos nuacutemeros complejos (a + bi) y (c + di) es otro nuacutemero complejo (m + ni) tal que multiplicado por el complejo di- visor (c + di) deacute como resultado el complejo dividendo (a + bi)

cia se induciraacute en ella una fem inducida de sentido contrario (seguacuten la Ley de Lenz) a la variacioacuten de la corriente que la crea

La fem inducida vale v = - L ∆I ∆t

(el signo menos es por la Ley de Lenz)Por otro lado en la bobina se almacena una energiacutea en forma electromagneacutetica que vale

E = L I 2 2 en Julios

Se demuestra que el valor eficaz de le fem inducida en una bobina vale V = 2 π f L IAl coeficiente 2π f L que hace el efecto de unaresistencia se le llama reactancia inductiva se

[Escriba aquiacute]

representa por XL y vendraacute dada en ohmios cuando la frecuencia venga en Hertzios y el coeficiente de autoinduccioacuten en HenriosAsiacute pues la reactancia inductiva de una bobina vale

XL = 2 π f L

En una bobina ideal (la que no tiene resistencia oacutehmica ni capacidad que por otra parte no existe) la corriente sufre un retraso de 90ordm respecto de la tensioacuten aplicada

7 La reactancia capacitivaCuando un condensador se conecta a una

corriente alterna el condensador se va cargando y descargando con la misma frecuencia que la de la tensioacuten aplicada Esto a efectos praacutecticos equivale a que por el circuito circula una corriente alterna cuyo valor eficaz viene dado por la foacutermula

I = 2π f C V

porque todas tienen una cierta resistencia debida al hilo con que estaacuten confeccionadas Existen pues en toda bobina conectada a una corriente alterna dos tipos de resistencia una la debida al hilo conductor (RL = ρ l S) y otra la reactancia inductiva(XL = 2πfL) debida a la inductancia de la propiabobina y a la frecuencia de la fuente de energiacutea

Debido a esto el teoacuterico aacutengulo de desfase de 90ordmentre la tensioacuten y la corriente no es tal sino menor

La combinacioacuten de estos dos tipos de resistencia da una resistencia llamada aparente y que se corresponde seguacuten la Ley de Ohm con el valor de la resistencia que presentariacutea el circuito si no hubiera efecto de inductancia

Esta resistencia aparente que vale Veficaz I eficaz recibe el nombre de impedancia Se representa por Z Su expresioacuten en forma compleja o vectorial es

rarr rarr rarrZ = R + jXsiendo

V el valor eficaz de la tensioacuten aplicada al condensador en voltios

f la frecuencia de la tensioacuten aplicada en Hertzios yC la capacidad del condensador en Faradios

Si despejamos la tensioacuten tenemos queV = I 2π f C

Por analogiacutea con la Ley de Ohm (V = RI) tendremos que 12π f C tiene caraacutecter de resistencia

Pues bien este teacutermino es lo que se llama reactancia capacitiva se representa por Xc y vale

Xc = 1 2π f C

La reactancia capacitiva o capacitativa viene dada en ohmios si la frecuencia viene dada en Hertzios y la capacidad en Faradios

Un condensador ideal retrasa la tensioacuten 90 respecto de la intensidad o lo que es igual adelanta la corriente 90ordm respecto a la tensioacuten Hace pues el efecto contrario a las bobinas

8 Concepto de impedanciaCuando hablamos de la reactancia inductiva

veiacuteamos coacutemo no existiacutea ninguna bobina ideal

donde R es la componente resistiva y X es la componente reactiva

Otro tanto ocurre con los condensadores reales (aquellos que presentan alguacuten tipo de peacuterdidas) O en un circuito mixto (R-L-C)Lo veremos maacutes claro y con mayor detalle cuando analicemos los circuitos RLC

9 Conceptos de Admitancia conductancia y susceptancia

Admitancia Es la expresioacuten inversa de la impedancia Se representa por Y Su unidad es el mho (Ohm al reveacutes) o el Siemens

Su expresioacuten en forma compleja es

rarr rarr rarr rarr rarr rarrY = 1Z = 1 (R + jX) = G + jB

Conductancia Se llama asiacute a la componente G de la expresioacuten compleja de la admitancia Es decir la parte real de la admitancia

Susceptancia Se entiende como tal la componente B de la expresioacuten compleja de la admitancia Es decir la parte compleja o imaginaria de la admitancia

90ordm

90ordm o

[Escriba aquiacute]

10 Conceptos de potencia aparente potencia activa y potencia reactiva

Recibe el nombre de potencia aparente el producto de los valores eficaces de la tensioacuten aplicada a un circuito por la corriente que lo recorre

Se representa por Pap y su unidad es el vol- tiamperio o voltamperioSe denomina potencia activa o potencia real de un circuito al producto de la potencia aparente por el coseno del aacutengulo que forman la tensioacuten y la corriente Es debida a la componente resistiva de la carga Se representa por Pac y su unidad es el watio

Existe una unidad praacutectica de potencia que es el caballo de vapor (HP -Horse Power- en ingleacutes) que equivale a 736 watios)

Se entiende por potencia reactiva al producto de la potencia aparente por el seno del aacutengulo que forman la tensioacuten y la corriente Es debida a la componente reactiva de la carga Se representa por Preac y su unidad es el watio reactivo o voltiampe- rio reactivo

Nota estos tipos de potencias se dan en aquellos circuitos donde la carga no es puramente oacutehmica Caso contrario el uacutenico tipo de potencia que existe es la activa

11 Circuito con resistenciaSupongamos una resistencia oacutehmicamente

pura (desprovista de autoinduccioacuten y de capacidad) a la que se aplica una tensioacuten alterna senoidal Esta tensioacuten originaraacute por el circuito una corriente tambieacuten senoidal totalmente en fase con la tensioacuten aplicada y de su misma frecuencia

En la figura 65 se ha representado el circuito eleacutectrico (figura a) el diagrama vectorial formado por la tensioacuten y la corriente (figura b) que se puede observar estaacuten en fase y por uacuteltimo las senoides de la tensioacuten aplicada (o caiacuteda de tensioacuten en la resistencia) y la corriente que recorre el circuito (figura c)

Podemos decir a la vista de los resultados que al alimentar una resistencia puramente oacuteh-mica con una tensioacuten de cc o con una tensioacuten alterna senoidal con ideacutentico valor eficaz que el de la cc los efectos son los mismos Precisamente de aquiacute se obtiene la definicioacuten de valor eficaz de una corriente alterna

12 Circuito con inductancia puraSea la bobina supuestamente ideal de la

figura 66 a la que se aplica una tensioacuten alterna senoidal Ya dijimos que una bobina ideal retrasa 90ordm la corriente respecto de la tensioacuten aplicada (figuras b y c)

R j

IacuteG

I I V

L

IacuteG

I

I - j

V90ordm

a)

vi

circuito b) diagrama vectorial

v = V 0 sen Tt

i = I 0 sen Tt

a)

vi


V 0 sen Tt

o t

c) senoidesFigura 65

c) senoides

Figura 66

sen (Tt - 90)

i = I

90ordm

90 ordm o t

v C =

[Escriba aquiacute]

En este circuito la uacutenica resistencia que aparece es la reactancia inductiva por lo que la corriente eficaz que circula por el circuito seraacute

I = V XL (90ordm = V j2π fL =jV j2 2πfL = -jV 2πfL = -jV j ωL

La corriente instantaacutenea que circula por el circuito es i = Io sen (ωt ndash 90ordm)

ObservacionesLa potencia (potencia activa o real) absorbida por una bobina ideal es cero pues no existe resistencia oacutehmicaLa tensioacuten y la corriente estaacuten en cuadratura o sea desfasadas 90ordm por tanto el factor de potencia o coseno n es nulo

13 Circuito con condensador idealAl conectar un condensador ideal

(recordemos que es el que estaacute totalmente desprovisto de resistencia) como el de la figura 67 a una fuente de tensioacuten alterna ocurre que a medida que la tensioacuten va aumentando el condensador se va cargando y cuando aquella va disminuyendo el condensador se va descargando Todo esto ocurre con la misma rapidez con que cambia el sentido de la tensioacuten aplicada

Como consecuencia se establece en el circuito una corriente alterna de la misma frecuencia que la de la tensioacuten de alimentacioacuten

67c- y que la cantidad de electricidad -en culombios si C viene en Faradios y V en voltios- acumulada en cada armadura del condensador es Q = C x V tendremos que al cabo de los 90ordm la cantidad de electricidad acumulada seraacute

Q0 = C x V0

Por tanto el valor medio de la intensidad seraacute

Imed = Q0 t = C V0 T 4 = 4 C V0 T

Pero como 1T = f tendremos queImed = 4 f C V0

Pasando a valores eficaces la corriente y la tensioacuten tendremos que

I = V Xc (-90ordm = V (-j) ωC = V ωC -j =j V ωC -j2 = j V ωC = jV 2π f C

V = Xc (-90ordm = (-j) ωC = -jI ωC = -jI 2π f C

La corriente va 90ordm en adelanto respecto de la tensioacuten o lo que es lo mismo la tensioacuten va 90ordm en retraso respecto de la corrienteLos condensadores hacen lo contrario que las bobi- nasLa corriente instantaacutenea circulante en el circuito es

i = Io sen (ωt + 90)

Todo lo tratado se puede observar en la figura 67

IacuteG

a)

vi

C

I

circuito

I

90ordm

V

- j

b) diagram a vecto rial

14 Circuito con resistencia y autoinduccioacuten Circuito R-LSea el circuito de la figura 68a constituido

por una resistencia y una bobina Tambieacuten se puede considerar este circuito formado por una bobina real es decir considerando la resistencia oacutehmica de la misma (Desconsideramos la capacidad de la bobina por ser la frecuencia de la tensioacuten aplicada pequentildea)

0 se n (T t + 9 0) Al aplicarle una tensioacuten alterna senoidal el circuito seraacute recorrido por una corriente tambieacuten alterna senoidal de la misma frecuenciaEsta corriente daraacute lugar a dos tipos de caiacutedas de

c) senoid es

Figura 67

V 0 sen T t tensioacuten diferentes en el circuito una caiacuteda de tensioacuten oacutehmica debida a la resistencia oacutehmica R del circuito cuyo valor es RI y que estaraacute en fase con la corriente y otra inductiva o reactiva debida a la reactancia de

[Escriba aquiacute]

Teniendo en cuenta que el valor maacuteximo de la tensioacuten tiene lugar al cuarto de periodo (90ordm) -ver figura

la bobina XL cuyo valor es XL I y desfasada 90ordm enadelanto respecto a la caiacuteda de tensioacuten oacutehmica

L

I

viv = V 0 sen (Tt + n)

nordm90ordm 0

2

CV

n

L

[Escriba aquiacute]

En todo momento la suma de ambas caiacutedas de tensioacuten debe ser igual a la tensioacuten aplicada que a su vez es igual a ZI (Ley de Kirchhoff) Pero como no estaacuten en fase la suma debe ser vectorial o geomeacutetrica Ver figura 68b triaacutengulo de tensiones

El factor de potencia o coseno de fi esCos n = R Z

La corriente que circula por el circuito valeI = V(0ordm Z (n = I ( -n

R

IacuteG

a) circuito

j

no RI

X L I

I

El triaacutengulo de resistencias o impedancias es el de la figura 68b sin maacutes que dividir cada uno de los vectores por la intensidad Tambieacuten se puede observar en las figuras 69a (triaacutengulo OAB) y 69b (triaacutengulo ABC) que de las dos formas se suele representar

b) triaacutengulo de tensiones

t

ov = V sen Tt

R

Tensiones Triaacutengulo de tensiones Antes hemos visto las distintas caiacutedas de tensioacuten El triaacutengulo de tensiones es la propia figura 68b Tambieacuten lo es el triaacutengulo OCD de la figura 69a o el triaacutengulo DEF de la figura 69b

vL= V 0 sen (Tt + 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

j Pap E

Tenemos por tanto

Figura 68 a) Preac

V LZ A

bull caiacuteda de tensioacuten en la resistenciaVR = R(0ordm I (en fase con la corriente)

bull caiacuteda de tensioacuten en la bobinaVL = XL (90ordm x I (90ordm en adelanto sobre la corriente)

obull tensioacuten total V = Z(n I (en adelanto n gradosrespecto de la corriente)

De la figura 68b conocida como triaacutengulo de tensiones se deduce (por Pitaacutegoras) que

rarr rarr rarrV2 = VR

2 + VL

Impedancia Triaacutengulo de resistencias

X L

B D F

R V R Pac I

H

E

b) B

Z X L

nn Rn A C

n D V R F

La impedancia del circuito en forma compleja esrarr rarr rarr

Z = R + j XL

G IP ac

Figura 69

El moacutedulo de la impedancia es | z |= R 2 + X 2Sus valores son

El argumento o aacutengulo de desfase esn = arc cos R Z = arc tg XL R

V = Z(n IVR = R(0ordm I = V cos nVL = XL (90ordm I = V senn

R L

[Escriba aquiacute]

Corrientes Triaacutengulo de corrientes Ya hemos visto coacutemo la corriente queda retrasada un aacutengulo n con respecto de la tensioacutenEste valor queda descompuesto en dos componentes una IR en fase con la tensioacuten y otra IL retrasada 90ordm respecto de la anterior (figura 610)

I R v

o - nI L

- jtriaacutengulo de corrientes

Figura 610

La IR se llama de corriente activa y su valor esIR = I cos (-n)

La IL se llama corriente magnetizante o reactiva y vale

IL = I sen (-n)

La I total vale

Nota finalSi se tratara de varias resistencias y autoinducciones los triaacutengulos de resistencias tensiones y corrientes se constituiriacutean por la composicioacuten de cada uno de los correspondientes a cada ceacutelula R-L Se comenzariacutea por el primero de ellos y a continuacioacuten se llevariacutea el correspondiente a la segunda ceacutelula luego se llevariacutea el correspondiente a la tercera y asiacute sucesivamente

Como ejemplo se propone la resolucioacuten del siguiente ejercicio cuyas soluciones se facilitan

Tenemos una resistencia de 0628 ohmios y una bobina de 2 mH Le aplicamos una fem alterna senoidal de 628v a una frecuencia de 50Hz Hallar

a) la reactancia de la bobinab) la impedancia total del circuito c) el aacutengulo de desfased) coseno de ne) la intensidad de corriente por el circuito y f) las tensiones del circuitog) potencias del circuito

Solucionesa) XL = 0628 (90ordmA b) Zt = 0885 (45ordmΩ c) n = 45ordm

| I | = I 2 + I 2 d) Cos n = 0707e) I = 71(- 45ordm A IR = 5(0ordm A IL = 5(-90ordmAf) V = 628V (45ordm VR = 445V(0ordm VL = 445(90ordmVg) Pap = 4458 (45ordmVA Pac = 3165(0ordmW

Preac = 3165(90ordmWrPotencias Triaacutengulo de potencias En este circuito aparecen tres tipos de potenciaLa potencia aparente representa la potencia total suministrada por la fuente o la total absorbida por la carga y vale

Pap = Z(n I2 en voltamperios

La potencia activa es la absorbida por la resistencia y vale

Pac = R(0ordm I2 = Pap cos n en vatios

La potencia reactiva es la absorbida por la bobina y vale

Preac = XL(90ordm I2 = Pap sen n

en vatios reactivos o voltamperios reactivos

El triaacutengulo de potencias se puede observar en la figura 69a (triaacutengulo OEF) y en la figura 69b (triaacutengulo GHI)

15 Circuito con resistencia y condensador Circuito R-C

Sea el circuito de la figura 611 formado por laresistencia pura R y el condensador CAl aplicar al circuito una tensioacuten alterna senoidal de V voltios de valor eficaz y de frecuencia f en Hert- zios seraacute recorrido por una corriente alterna senoidal de la misma frecuencia que la de la tensioacuten de alimentacioacuten

Esta corriente daraacute lugar a dos tipos de caiacutedas de tensioacuten diferentes una VR debida a la resistencia R en fase con la corriente cuyo valor es RI y otra Vc de valor XC I retrasada 90ordm respecto de la corriente En todo momento la suma vectorial o geomeacutetrica de ambas caiacutedas de tensioacuten debe ser igual a la tensioacuten aplicada

0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto


bull caiacuteda de tensioacuten en el condensadorVc = Xc(-90ordm I (90ordm en retraso respecto de la corriente)

bull tensioacuten totalV = Z(-nordm I en retraso n grados sobre la corriente)


V2 = VR2 + VC

2

El triaacutengulo de resistencias o impedancias es la propia figura 611b sin maacutes que dividir cada uno de los vectores por la intensidadTambieacuten se puede observar en la figura 612a (triaacutengulo OAB) y en la figura 611b (triaacutengulo ABC) que de las dos formas se suele representar

Tensiones Triaacutengulo de tensiones Ya hemos visto antes las distintas caiacutedas de tensioacuten El triaacutengulo de tensiones es la propia figura 611b Tambieacuten lo es el triaacutengulo OCD de la figura 612a o el triaacutengulo DEF de la figura 612b La tensioacuten en el condensador va retrasada 90ordm respecto de la intensi-

R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi

a) circuito b) triaacutengulo de tensiones X cZ B

V c

o nordm

v = V 0 sen (Tt - n)

t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F

G I90ordm v = V sen TtR - n

D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E

Impedancia Triaacutengulo de resistencias La impedancia del circuito en forma compleja es

rarr rarr rarrZ = R - j XC

El moacutedulo de la impedancia es

HFigura 612

Sus valores son

V = Z(-n IVR = R( 0 ordm I = V cos (-n)VC = XC (-90ordm I = V sen (-n)

| Z |= R 2 + X 2

El argumento o aacutengulo de desfase esn = - arc cos R Z = - arc tg XC R

El factor de potencia o coseno de n escos n = R Z

La corriente por el circuito vale

I = V(0ordm Z(-n = I (n

[Escriba aquiacute]

Corrientes Triaacutengulo de corrientes Ya hemos visto como la corriente queda adelantada un aacutengulo n con respecto de la tensioacutenEste valor queda descompuesto en dos componentesuna IR en fase con la tensioacuten y otra IC adelantada90ordm respecto de la anterior

I 2 2

[Escriba aquiacute]

La IR se denomina corriente activa y su valor es

IR = I cos n

j

I c

o n

I R V

triaacuten gulo de corrien te s

Figura 613

La IC se denomina corriente reactiva y vale

IC = I sen n


Una resistencia de 500 ohmios y un condensador de16 microF en serie se alimentan con 220v50Hz Hallar

a) la reactancia del condensador b) la impedancia total del circuito c) el aacutengulo de desfased) coseno de ne) la intensidad de corriente por el circuito f) las tensiones del circuito yg) potencias del circuito

Solucionesa) XC = 199(-90ordmΩ

b) Zt = 538 (-2170ordmΩ

La I total vale | I | = R + I C

c) n = -2170ordm = -21ordm 42rsquo

d) Cos n = 09291

Potencias Triaacutengulo de potencias En este circuito aparecen tres tipos de potenciaLa potencia aparente representa la potencia total suministrada por la fuente o la total absorbida por la carga y vale

Pap = Z(-n I2 en voltamperios


Pac = R(0ordm I2 = Pap cos (-n) en vatios

La potencia reactiva es la absorbida por el condensador y vale

Preac = XC(-90ordm I2 = Pap sen (-n)



Nota finalSi se tratara de varias resistencias y capacidades los triaacutengulos de resistencias tensiones y corrientes se constituiriacutean por la composicioacuten de cada uno de los correspondientes a cada ceacutelula R-C Se comenzariacutea por el primero de ellos y a continuacioacuten se llevariacutea el correspondiente a la segunda ceacutelula luego se llevariacutea el correspondiente a la tercera y asiacute sucesivamente

e) I = 04(21ordm 42acute A IR = 0379(0ordm A IC = 0150(90ordmA

f) V = 220 (- 21ordm 42acuteV VR = 200(0ordm VVC = 812(- 90ordm V

g) Pap = 88(- 21ordm 42acuteVA Pac = 8175 (0ordmW Preac = 3253(- 90ordmWr

16 Circuito con resistencia inductancia y capacidadCircuito R-L-CSea el circuito de la figura 614a formado

por una resistencia R una bobina o autoinduccioacuten L y un condensador de capacidad CComo es faacutecil de intuir este circuito es una siacutentesis de los dos anteriores por tanto en eacutel ocurriraacuten los fenoacutemenos conjuntos de ambos

Asiacute el triaacutengulo de tensiones seraacute el de la figura614b En eacutel se puede observar la caiacuteda de tensioacuten en la resistencia en fase con la corriente la caiacuteda de tensioacuten en la bobina en adelanto 90ordm respecto de la corriente y por uacuteltimo la caiacuteda de tensioacuten en el

0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]

condensador otros 90ordm en retraso sobre la corriente Como las caiacutedas de tensioacuten en la bobina y en el condensador se encuentran desfasadas entre siacute 180ordm (suponemos que es mayor la de la bobina) lo que hacemos es restarlas con lo que queda como vector resultante de tensiones reactivas el vector XLI - XCI

Impedancia Triaacutengulo de resistencias Si en la figura 614 dividimos cada uno de los vectores por la intensidad tenemos las resistencias y ese seraacute el triaacutengulo de resistencias o impedancias

La impedancia total en forma compleja vale

rarr rarr rarrZ = R + j(XL - XC)

Tensiones Triaacutengulo de tensionesDe la figura 614b se desprende que las caiacutedas de tensioacuten sonbull caiacuteda de tensioacuten en la resistencia

VR = R(0ordm I (en fase con la corriente)

bull caiacuteda de tensioacuten en la bobinaVL = XL(90ordm I = jω L I (en adelanto 90ordm respecto a I)

bull caiacuteda de tensioacuten en el condensadorVC = XC(-90ordm I (90ordm en retraso sobre la corriente)

bull tensioacuten totalV = Z(nordm I (en adelanto nordm si XL es mayor que XC

-en retraso en caso contrario- sobre la corriente)

En la figura 614 se muestran las distintas tensiones asiacute como la corriente tomando como referencia la

j X L IXc I

corriente (figura 614b) ya que eacutesta es comuacuten por tratarse de un circuito serie

IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I

Corrientes Triaacutengulo de corrientes

Antes vimos como la corriente queda retrasada un aacutengulo n con respecto de la tensioacutenEste valor queda descompuesto en dos componentes

vi v = V 0 sen (Tt + n)

b) triaacutengulo de tensionesuna IR en fase con la tensioacuten otra IC adelantada90ordm respecto de IR una tercera IL retrasada 90ordmrespecto de la de la resistencia y finalmente IL -IC

v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c

IvL= V0 sen (Tt + 90) v c= V0 sen (Tt -

90)

c

- j I L

Figura 614

El moacutedulo de la impedancia estriaacutengulo de corrientes

Figura 615

| Z | = R 2 + ( X minus X C ) La IR se llama corriente activa y su valor es

El argumento o aacutengulo de desfase valen = arc tangte de (XL - XC)R

La (IL - IC

IR = I cos (-n)

) se denomina corriente reactiva total y

El factor de potencia o cos n es cos n = R Z

La corriente eficaz por el circuito vale

vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)

I = V(0ordm Z(nordm = I(-n | I | = I 2 + (I minus I C )

L

[Escriba aquiacute]

Potencias Triaacutengulo de potencias En este circuito aparecen tres tipos de potencia

VC = XC (-90ordm I = 100(-90ordmVV = Zt (n It (-n = 122(35ordm 20 = 244(35ordm V

Pact = R I2 = 4000(0ordmWLa potencia aparente representa la potencia total Preac capacitiva = XC I

2 = 2000(-90ordmVARsuministrada por la fuente o la total absorbida por la Preac inductiva = XL I

2 = 4800(90ordmVARcarga y vale Preac total = (XL - XC) I2 = 4800 - 2000 =

Pap = Z(nordm I2 en voltamperios


Pac = R(0ordm I2 = Pap cos (n) en vatios

La potencia reactiva capacitiva es la absorbida por el condensador y vale

Preac cap = XC(-90ordm I2 = en vatios reactivos o voltam-

perios reactivos

La potencia reactiva inductiva es la absorbida por la bobina y vale

2800(90ordmVAR Pap = Z I2 = 4880(35ordm VA

Si se trata de un circuito maacutes complejo su resolucioacuten mediante los nuacutemeros complejos facilita enorme- mente la labor Veamos el siguiente circuito cuyas soluciones se aportan

En el circuito de la figura 616 hallar a) Zt (moacutedulo y argumento) b) cos n totalc) I totald) Potencia activa totale) Potencia reactiva totalf) Potencia aparente total

rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF

condensador y la bobina juntas y vale 100v50Hz01H

Preac total = (XL - Xc )(90ordm I2 = en vatios reactivos o

voltamperios reactivos3 mF 4 mH

3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S

Figura 616Como ejemplo se propone el siguiente ejercicio cuya resolucioacuten se facilita

Una R = 10 ohmios una L = 382mH y un condensador de 637 microF se conectan en serie a una red de244v50Hz Hallar Zt It VR VL VC Cos n asiacutecomo las distintas potenciasSoluciones

Solucioacutenrarr rarr minusminusminusminusminusminusminusminusrarr

a) Zt = Σ R + j (ΣXL - ΣXc)

Σ R = 35(0ordm ΩΣ XL = 2 π 50 02 = 628(90ordm ΩΣ Xc = 765(-90ordm Ω (ojo que todos los conden-

sadores estaacuten en serie)| Z | = R 2 + (

Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =

122(35deg Ω n = 576ordm = 57ordm 36acute

Zt = 6531(57ordm 36acute ΩAacutengulo de desfasen = arc tang (XL - XC) R = 3495ordm asymp 35ordmFactor de potencia Cos n = (XL - XC) Z = 08196

b) Cos n = 05358c) It =100(0ordm 653(576ordm = 153(-576 Amperiosd) Potencia activa total

It = 244(0ordm V 22(35ordmΩ = 20(-35ordm APac = R(0ordm I

2 = 35 1532 = 8193(0ordmwatios IR = 20A (0ordm e) Potencia reactiva total

2 IL = 20A(-90ordm IC = 20A(90ordm VR = R (0ordm It = 200 V

Preac = 5515(90ordm 153reactivos)f) Potencia aparente

2

= 1291(90ordm Wr (watios

2 VL = XL (90ordm I = 240(90ordmV Zt(57ordm 36acute I = 653(57ordm 36acute 153 = 15286(57ordm 36acute VA

[Escriba aquiacute]

RESONANCIA17 Resonancia

Se dice que un circuito estaacute o entra en resonancia cuando la tensioacuten aplicada a eacutel y la corriente que lo recorre estaacuten en fase De aquiacute se deduce que en resonancia la impedancia del circuito es igual a su resistencia oacutehmica o lo que es igual la reactanciadel circuito es nula por lo que la reactancia inductiva debe ser igual a la reactancia capacitiva Comoconsecuencia el cos φ = 1 Vista la impedancia enforma compleja en resonancia la parte compleja de la impedancia debe ser nula Esto ocurre para un determinado valor de la frecuencia -llamada frecuencia de resonancia- de la tensioacuten alterna aplicada

171 Resonancia serie o resonancia de tensioacuten

1711 Frecuencia de resonanciaSea el circuito de la figura 617En eacutel tene-

mos que la impedancia total es

rarr rarr rarr minusminusminusrarr rarr minusminusminusminusminusminusminusrarrZ = R + j ωL - (j ω C) = R + j (ωL - 1 ω C)

R L C

representar por f0 Como 2πf = ω tenemos que ω0 es la pulsacioacuten de resonancia en radianessegundo

De esta expresioacuten se puede observar que para distintos valores de f las reactancias inductiva y capacitiva toman diferentes valores la XL aumentaraacute con la frecuencia y la XC disminuiraacute a medida que la frecuencia aumenta Ver figura 618

Al existir dos variables independientes L y C son muacuteltiples las combinaciones para conseguir una frecuencia de resonancia determinada (basta jugar con los valores de L y C)

1712 Tensiones parciales en resonancia

zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617

Impedan cia e n un circuitoRLC ser ie en fu ncioacute n d e la

Xc fr ecuencia

Si denominamos ωL - (1 ω C) = X tenemos querarr rarr rarrZ = R + j X

Para que exista resonancia pues debe ser nula la componente compleja por tanto X = 0 esto implica que ωL - (1 ω C) = 0O sea que ωL = 1 ω C o lo que es lo mismo

2π f L = 12π f C

Figura 618

Si un circuito serie RLC como el de la figura 617 se alimenta con una tensioacuten alterna con una frecuencia de resonancia f0 por eacutel circularaacute una corriente I0 = VR que daraacute lugar a las caiacutedas de tensioacuten parciales siguientes

La VR = R(0ordm I0 es igual a la tensioacuten aplicada y estaacute en fase con ella

La VL = XL0 (90ordm I0 es Q0 veces la tensioacuten aplicadaDespejando f tenemos f

1 y estaacute 90ordm en adelanto respecto a ella0

2 LCSiendo f0 la frecuencia de resonancia (en Hertzios siL estaacute dada en Henrios y C en Faradios) Se suele

La VC = XC0 (-90ordm0 I0 es Q0 veces la aplicada y estaacuterespecto a ella 90ordm retrasada

[Escriba aquiacute]

1713 Distribucioacuten de la energiacutea almacenada en un circuito resonante serieSi cada una de las tensiones calculadas an-

teriormente la multiplicamos por la intensidad y por el tiempo tendremos las energiacuteas absorbidas por cada elemento Dichas energiacuteas son

La εR = R(0ordm I2 t

La εL = XL0 (90ordm I2 t = frac12 L I2

La εC = XC0 (-90ordm I2 t = frac12 CV2

La energiacutea que pierde la bobina es en todo instante igual a la que gana el condensador y viceversa

1714 Curva de respuesta en frecuencia

Observemos que es maacutexima a la frecuencia de resonancia En efecto si la impedancia es miacutenima en resonancia la admitancia como es inversa a la impedancia (Y = 1Z) seraacute maacuteximaComo por otra parte la corriente es proporcional a la admitancia se puede representar en la misma figura cosa que asiacute puede observarse

1715 Coeficiente o factor de calidadSe denomina coeficiente o factor de cali-

dad o de sobretensioacuten a la frecuencia de resonancia de un circuito (o de una bobina) al producto de la pulsacioacuten ω por el cociente entre la maacutexima energiacutea almacenada y la potencia media disipadaSe designa por Q y vale

En la figura 618 hemos representado las curvas de las distintas resistencias (resistencia reactancias e impedancia -en eacutesta su moacutedulo) en funcioacuten de la frecuencia En ella vemos que la R es

Q L 0

R f 0

f 1 R

L C

siempre la misma ya que su valor es independiente de la frecuenciaLa XL crece linealmente con la frecuencia y en definitiva con la pulsacioacutenLa XC tambieacuten crece -exponencialmente- con la frecuencia desde menos infinito (para cero hertzios) hasta llegar a valor cero para una frecuencia infinita Asimismo se puede observar coacutemo el moacutedulo de la impedancia total va decreciendo hasta elvalor propio de la resistencia (cosa que sucede para la frecuencia de resonancia) para volver luego a crecer raacutepidamenteEn dicha figura se ve pues el comportamiento de la resistencia de los tres componentes en funcioacuten de la frecuencia asiacute como del moacutedulo de la impedancia total

La fig 619 muestra la curva de la admitancia (inversa de la impedancia) en funcioacuten de la frecuencia

Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia

f 0Curva de la admitancia o corri ente seguacuten la fr

ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]

Siendo ∆f el ancho de banda que veremos seguida-menteAsimismo se define Q como la relacioacuten entre la caiacuteda de tensioacuten en la bobina (o en el condensador) y la de la resistencia Se suele tomar un valor mayor que 10

Vemos pues que la calidad de un circuito es tanto mayor cuanto menor es la resistencia a la frecuencia de resonancia y como quiera que la resistencia es la de la bobina el circuito tendraacute maacutes calidad cuanto maacutes pura sea la bobina

1716 Frecuencias de corte y ancho de banda

Las frecuencias de corte tambieacuten se conocen como frecuencias liacutemite Son aquellas para las cuales la intensidad de corriente es 0707 veces (707) el valor de la corriente a la frecuencia de resonancia o bien aquellas para las cuales la potencia se reduce a la mitad de la de resonancia (puntos de media poten-

En efecto si la potencia en resonancia es W0 = R I 2 y la corriente cae a 0707 veces la de resonancia tenemos que Wf 2 = Wf1 = R (0707 I0)

2 = 05 RI02

que es la mitad de la potencia que en resonanciaO de otra forma aquellas que cumplen la

condicioacuten If2 Ifo = If1 Ifo = 0707

Asiacute pues la frecuencia de corte o liacutemite superior f2 es la frecuencia mayor que la de resonancia para la cual se obtiene una potencia mitad que la que sumi- nistra al circuito a la frecuencia de resonancia

04

03

02

01

[Escriba aquiacute]

A su vez la frecuencia de corte o liacutemite inferior f1 es la frecuencia menor que la de resonancia para la cual se obtiene una potencia mitad que la que sumi- nistra al circuito a la frecuencia de resonancia

Conociendo la frecuencia de resonancia el ancho de banda y el factor de calidad se tiene

f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

donde la ordenada es el moacutedulo de YY0 (admitancias) o II0 (corrientes) o Z0Z (impedancias) y donde la Abscisa x = Q0 ε (factor de calidad por la desintoniacutea relativa) = Q0 (ω - ω0)ω0 o tambieacuten a∆ωLR

La curva es simeacutetrica respecto del eje y que pasa por x = 0 esto es en resonancia El origen de coordenadas punto 0 corresponde a un valor de

x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0

Y ITambieacuten podemos decir que las frecuencias de

desfase entre la corriente y la tensioacuten comprendido entre ndash45ordm (intensidad en adelanto para la f1) y+45ordm (intensidad en retraso para la f2)

I maacutex

A B0707 I maacutex

Se llama ancho de banda anchura de banda banda de paso o banda pasante al nuacutemero de ciclos a uno y otro lado de la frecuencia de resonancia compren-

rior0 f1

ff 0 f 2

f

Tambieacuten se denomina asiacute a la diferencia de frecuencias en las cuales la potencia disipada por el circuito es la mitad de la disipada a la frecuencia de resonancia por dicho circuitoSe suele representar por f2 - f1 o bien por ∆f siendo f2 la frecuencia de corte superior y f1 la frecuencia de corte inferior por lo que cabe una nueva definicioacuten de banda de paso diciendo que es el nuacutemero

Figura 620

pero para la resonancia ω - ω0 = 0 por tanto x =

0 La curva universal se suele representar en un

entornode x entre + 2 y - 2

de frecuencias comprendido entre ambas frecuencias de corte

El ancho de banda vale∆f = f0Q = R 2π L (para frecuencias)

1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O

∆ω = ω0Q = R L (para pulsaciones)

Para hallar el ancho de banda graacuteficamente una vez dibujada la curva de respuesta-frecuencia se toma el valor 0707 Imax (figura 620) y se traza una liacutenea paralela al eje de abscisas o de frecuencias hasta que

Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O

corte a la curva en los puntos A y B Las perpendi- -2 -05 0 +05 +2

culares trazadas desde ellos determinan las frecuencias de corte f2 y f1

El ancho de banda (zona sombreada) es f2 - f1

1717 Curva universal de resonanciaLa curva universal de resonancia para el

circuito serie es la representada en la figura 621

Figura 621

Consecuencia de la observacioacuten de la figura es que para un determinado valor de x = Q0 ε cuanto mayor sea el coeficiente (o factor) de calidad menor es la desintoniacutea relativa ε y menor es el ancho de banda Del mismo modo para un determinado valor de ε cuanto mayor sea el Q0 mayor seraacute x por lo que

Tiene por ecuacioacuten matemaacuteticay

1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]

pasan peor las frecuencias que correspondan a ε

[Escriba aquiacute]

Por uacuteltimo cuanto mayor sea el valor del Q0 maacutes selectivo es el circuito

El ancho de banda corresponde al entorno x = plusmn05 (puntos A y B llamados puntos de media potencia)

En electroacutenica se considera que la banda de paso estaacute definida a uno u otro lado de la frecuencia de resonancia por la peacuterdida de 3dB en el valor de la intensidad respecto de la de resonancia en tal caso

-3 dB = 20 log (I I0) =gt -3 20 = log (I I0) =gtanti log (-3 20) = I I0 = 0707

1

El ancho de banda vale∆f = f2 - f1 = f0 Q = 398089 50 = 7960 Hertzios

correspondiendo 79602 = 3980 Hertzios a cada lado de la frecuencia de resonancia

Las frecuencias de corte sonf2 = 398089 + 3980 = 402069 Hertzios f1 = 398089 - 3980 = 394069 Hertzios

1718 Consecuencias del circuito a la frecuencia de resonancia

a) Al tratarse de un circuito serie y anularse las

0707 1 4x 2

de donde x 05 reactancias inductiva y capacitiva el circuito presenta una impedancia resistiva pura y eacutesta seraacute la de

LLevando este valor de la ordenada a la ecuacioacuten dela curva universal de resonancia tenemos que

Para analizar todo lo tratado veamos el siguiente ejemploSea el circuito de la figura 617 en que R = 100ΩL = 2 mH y C = 80 pF Apliqueacutemosle una tensioacuten

1

la resistencia oacutehmica del circuito que a su vez seraacute miacutenima O sea Z0 = R

b) Como la impedancia es miacutenima la intensidad de la corriente que seguacuten la ley de Ohm generalizada vale I = VZ seraacute maacutexima es decir I0 = VZ0 = VR

c) Para frecuencias superiores a la de resonancia el circuito se comporta inductivamente pues XL=2π fL y para frecuencias inferiores a la de resonancia el

f 0 2 2 10 3 80 10 12

398089Hz circuito se comporta capacitivamente puesXC = 2π f C

alterna de 300 voltios y veamos queacute ocurre

La frecuencia de resonancia f0 vale

La corriente que circula por el circuitoI0 = VR = 300100 = 3 Amperios

Las reactancias inductiva y capacitiva son

XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω

Las caiacutedas de tensioacuten que origina la corriente tanto en la bobina como en el condensador son

VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios

La ganancia en tensioacuten esAv = 15000300 = 50

El factor de calidad esQ = XL R = 5000 100 = 50

d) Ya hemos visto coacutemo la reactancia a la frecuencia de resonancia es nula y la impedancia total es solamente la de la resistencia oacutehmica la cual puede ser a su vez la resistencia oacutehmica de la bobina -circuito L-C con bobina real- por lo que si la bobina fuera ideal (resistencia nula) tendriacuteamos en el circuito una corriente infinitaEn la practica esto es imposible ya que es imposible anular la resistencia oacutehmica de la bobina esta impo- sibilidad da lugar al concepto de factor de calidad y selectividad del circuito

e) A pesar de que el circuito sea alimentado con una tensioacuten pequentildea en los extremos de la bobina y del condensador podemos tener tensiones elevadas o muy elevadas (eacuteste es el fenoacutemeno de la resonancia) o sea mucha ganancia de tensioacuten sin embargo a frecuencias distintas a la de resonancia las tensiones en la bobina y el condensador son despreciables

R L

[Escriba aquiacute]

El anaacutelisis de los circuitos paralelo o derivados es maacutes complicado que el de los circuitos serie No obstante al igual que los circuitos serie se resuelven por medio de las impedancias los circuitos derivados se resuelven generalmente mediante las admitancias

18 Circuito con resistencia y inductancia Circuito R-LSea el circuito de la figura 622a constituido

por una resistencia y una bobina

I t

Corrientes Triaacutengulo de corrientes Antes quedoacute expuesto que la corriente total queda retrasada un aacutengulo φ con respecto de la tensioacuten Este valor queda descompuesto en dos componentes una IR en fase con la tensioacuten y otra IL retrasada 90ordm respecto de la anterior (Ver figura 622b)

I R I Lo

I R v- n

I L

La IR o corriente activa valeIR = It cos (-φ) = V(0ordm R(0ordm = V (0ordm YR (0ordm

La IL o corriente reactiva valeIL = It sen (-φ ) = V(0ordm XL(90ordm = V (0ordm YL ( -90ordm

a) circ uito b) triaacute ngulo de in tensid a d es

Figura 622

La corriente total It en forma compleja valerarr rarr rarrIt = IR - jIL

Al aplicarle una tensioacuten alterna senoidal los dos componentes resistencia y bobina estaraacuten sometidos a la misma tensioacuten por lo que cada uno de ellos seraacute recorrido por una corriente senoidal diferente por la resistencia circularaacute una corriente IR que estaraacute en

El moacutedulo de la It es

| It | I 2 I 2

fase con la tensioacuten aplicada y por la bobina circularaacute una corriente IL que estaraacute retrasada 90ordm respecto de la tensioacuten Ver figura 622b)La suma vectorial o geomeacutetrica de ambas corrientes (Ley de Kirchhoff) daraacute lugar a la corriente total It que recorre el circuito y que estaraacute retrasada un aacutengulo φ

AdmitanciaYa sabemos que la admitancia es la inversa de la impedancia Por tanto (en forma compleja)

rarr rarr rarr rarr rarr rarr rarrY = YR + YL = 1 - j 1 = G - jB

R XL

El moacutedulo de la admitancia es

El argumento o aacutengulo de desfase esφ = arc tg - (IL IR) = arc tg - (BG) = - φ

El factor de potencia o coseno de fi es Cos φ = IR It

Como ejemplo se propone resolver un circuito R-L paralelo donde R = 1000Ω y L es tal que su reactancia inductiva XL = 1884Ω El circuito se alimenta con una tensioacuten de 110 voltios de c a senoidal

SolucioacutenYt = YR + YL = 1 1000 + (1 1884j) =1 1000(0ordm + (1 1884(90ordm) = 0001 - 000053j

φ = arc tg - (0000530001) = -2792ordm = -27ordm 55acute55

| Y | 00012 000053 2 000113 mhos

| Y | G 2 B 2 Z = 1 Yt = 1 000113(-2792ordm = 884(2792ordm ΩIR = V YR = 110(0ordm 0001(0ordm = 011(0ordm A

El argumento o aacutengulo φ = arc tg - B G IL = V YL = 110(0ordm 000053(-90ordm = 00583(-90ordm A

[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]

18 Circuito con resistencia y condensador Circuito R-CSea el circuito de la figura 623a formado

por la resistencia pura R y el condensador C

I tI R IC

-G R

C

Corrientes Triaacutengulo de corrientes La corriente total queda adelantada un aacutengulo φ con respecto de la tensioacuten Este valor queda descompuesto en dos componentes una IR en fase con la tensioacuten y otra IC adelantada 90ordm respecto de la anterior (Ver figura 623b)

La IR o corriente activa valeIR = It cos (φ) = V(0ordm R(0ordm = V(0ordm YR (0ordm

La IC o corriente reactiva valeIC = It sen (φ) = V(0ordm XC(-90ordm = V(0ordm YC (90ordm

La corriente total It vale

| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C

n v o I Rb) triaacutengulo de intensidad es

Figura 623Al aplicar al circuito una tensioacuten alterna senoidal de V voltios de valor eficaz y de frecuencia f en Hert- zios cada componente seraacute recorrido por una corriente alterna senoidal de la misma frecuencia que la de la tensioacuten de alimentacioacuten por la resistencia circularaacute una corriente IR que estaraacute en fase con la tensioacuten aplicada y por el condensador circularaacute una corriente IC 90ordm en adelanto respecto de la tensioacuten

El argumento o aacutengulo de desfase esφ = rc tg (IC IR) = arc tg (BG)

El factor de potencia o Cos φ = IR It

Como ejemplo se propone la resolucioacuten del siguiente ejercicio

Sea una resistencia de 100 ohmios y un condensador de 16 microfaradios en paralelo Se alimentan con una tensioacuten de 200v50Hz Hallar

a) la reactancia del condensadorb) la admitancia e impedancia total del circuitoc) el aacutengulo de desfased) coseno de φe) las intensidades de corriente por el circuito

Resolucioacutena) Xc = 1 2 π f C = 199(-90ordm Ωb) Yt=YR+YC =1100(0ordm +1199(-90ordm =001+0005j

Figura 623b) | Y | 0012 0005 2 00011( 2656 ordm mhos

La suma vectorial o geomeacutetrica de ambas corrientes (Ley de Kirchhoff) daraacute lugar a la corriente total It que recorre el circuito y que estaraacute adelantada un aacutengulo φ

AdmitanciaLa admitancia es la inversa de la impedancia Por tanto (en forma compleja)

rarr rarr rarr rarr rarr rarr rarrY = YR + YC = 1 + j 1 = G +

jB RXC


Z = 1Yt = 10011(2656ordm = 909(-2656ordmΩc) φ = arc tg (0005001)=2656ordm = 26ordm33acute54acuteacuted) Cos φ = 08944e) IR = V YR = 200(0ordm 001(0ordm = 2(0ordm A

IL = V YC = 200(0ordm 0005(90ordm = 1(90ordm AIt = V Yt = 200(0ordm 0011(2656ordm =223(2656ordm A

19 Circuito L-C El circuito oscilante o circuito tanqueEn general toda combinacioacuten L-C recibe el

nombre de circuito tanque por su facultad de alma- cenar energiacutea especialmente cuando ambas reactan-

| Y | G 2 B 2 cias aparecen concentradas solas sin resistencia ni fuente de alimentacioacuten Tambieacuten se conoce como

El argumento o aacutengulo φ = arc tg B G circuito oscilante

G c

[Escriba aquiacute]

Sea el circuito de la figura 624 Si se coloca el conmutador en la posicioacuten 1 el condensador se cargaraacute a la tensioacuten de la fuente Una vez cargado al pasarlo a la posicioacuten 2 el condensador se descarga sobre la bobina la cual es recorrida por una corriente que crea alrededor de ella un campo magneacutetico donde almacena la energiacutea entregada por el condensador

12

+ +

= V L --

b) Tambieacuten se puede modificar el el factor de calidad Q colocando una resistencia en paralelo con el circuito tanque

20 Circuito con resistencia bobina y condensador Circuito R-L-CSea el circuito de la figura 625a constituido

por una resistencia una bobina y un condensador

It

circuito tanque IR I L I Cv

-G

o t CR L

oscilaciones amortiguumladas

Figura 624

Una vez descargado el condensador (y almacenada toda su energiacutea en la bobina) eacuteste comienza de

a) circuito

jI C

nuevo a cargarse a expensas de la bobina originaacuten- dose por el circuito una corriente en sentido contrario al de la descarga Una vez cedida toda la energiacutea de la bobina al condensador eacuteste vuelve nuevamente a descargarse sobre la bobina y asiacute sucesivamente

El resultado es la circulacioacuten por el circuito de una corriente oscilante o alterna Si no hubiera peacuterdidas sobre todo en la resistencia asociada de la bobina en

n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C

el circuito las oscilaciones mantendriacutean su amplitud indefinidamente Pero debido a las peacuterdidas dicha corriente se va amortiguando poco a poco hasta desaparecer totalmenteVer oscilograma

La frecuencia de oscilacioacuten responde a la foacutermula

fo 1

2 LCSe trata de una frecuencia propia llamada frecuencia de oscilacioacuten

Observacionesa) Si se desea disminuir el factor de calidad Q del

circuito para ensanchar el ancho de banda es suficiente con colocar una resistencia en serie con la bobina (Se puede poner variable para va- riar o controlar el ancho de banda a voluntad)

b) triaacutengulo de intensidades

Figura 625

Al aplicarle una tensioacuten alterna senoidal los tres componentes estaraacuten sometidos a la misma tensioacuten por lo que cada uno de ellos seraacute recorrido por una corriente senoidal diferente por la resistencia circularaacute una corriente IR que estaraacute en fase con la tensioacuten aplicada por la bobina circularaacute una corriente IL que estaraacute retrasada 90ordm respecto de la tensioacuten y por el condensador circularaacute una corriente IC 90ordm en adelanto respecto de la tensioacuten Ver figura 625b)

La suma vectorial o geomeacutetrica de ambas corrientes (Ley de Kirchhoff) daraacute lugar a la corriente total It que recorre el circuito y que estaraacute retrasada un aacutengulo φ si la IL es mayor que la IC como hemos supuesto en este caso (al reveacutes en caso contrario)

2

R L2

[Escriba aquiacute]

AdmitanciaLa admitancia total en forma compleja es

rarr rarr rarr rarrYt = YR + YL + YC

Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos

El moacutedulo de la admitancia esArgumento

φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc

Impedancia Z = 1Y = 3496 (6953ordmΩb) Cos φ= Cos ndash69ordm 32acute 16acuteacute = 03497

L

Corrientes Triaacutengulo de corrientesEn la figura 625b se puede ver como la corriente total queda retrasada un aacutengulo φ con respecto de la tensioacuten Este valor queda descompuesto en dos componentes una IR en fase con la tensioacuten y otra IL - IC retrasada 90ordm en este caso respecto de la anterior


La IL o corriente reactiva inductivaIL = V(0ordm XL(90ordm = V (0ordm YL ( -90ordm

La IC o corriente reactiva capacitiva esIC = V(0ordm XC(-90ordm = V(0ordm YC ( 90ordm

La IL - IC o corriente reactiva total esIL - IC = It sen (-φ)

La It o corriente total valeIt = IR cos (-φ) = V(0ordm Yt (-φordm


c) It = V(0ordm Yt (-φordm =200(0ordm 00286 (-6953ordm = 572(- 6953ordmA IR = V (0ordm YR (0ordm = 200 001 = 2 (0ordm AmperiosIL = V (0ordm YL(-90ordm = 200 00318 = 636(-90ordm AmperiosIC = V(0ordm YC (90ordm = 200 0005 = 1( 90ordm AmperioIL - IC = 636 - 1 = 536(-90ordm Amperios

21 Circuitos mixtos R-L-CSi bien cada circuito R-L-C mixto presenta

ciertas peculiaridades y caracteriacutesticas propias y por tanto su resolucioacuten se puede acometer de una u otra forma Podemos decir como norma general que su resolucioacuten se facilita resolviendo primero los paralelos por admitancias y a continuacioacuten las series por impedanciasUna vez resueltos los paralelos por admitancias se buscan las impedancias (inversas de las admitancias) de cada paralelo que resultaraacuten en serie con las series Despueacutes de esto ya resulta un circuito equivalente en serie que se resuelve coacutemodamente por impedancias

| It | I 2 B(I I C )El argumento o aacutengulo de desfase esφ = arc tg - (IL- IC)IREl factor de potencia o coseno de fi esCos φ = IR It


Esta norma o consejo no es la uacutenica forma deresolverlos pues existen circuitos en los que su resolucioacuten resulta maacutes faacutecil por admitancias Cada cual lo puede resolver como mejor lo comprenda y maacutes sencillo le resulte

A modo de ejemplo ofrecemos el circuito de la figura 626 donde aportamos las soluciones

de 16 microF y una bobina de 01 H conectados en para- I 1

I 4 1 S

- 2 S

200v50Hz Hallar A I 2 4 S 4 S B Ca) la admitancia e impedancia total del circuitob) el coseno de φc) las intensidades de corriente por el circuito

I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5

a) Yt=YR+YC-YL=1100(0ordm +1199(-90ordm -1314(90ordm= 001 +0005 j - 00318j mhos

Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j

YAB = Y1 + Y2 + Y3 = 0411 - 0189j|YAB|= 0453(-2469ordm mhos

ZAB = 1YAB = 1 0453(-2469ordm = 220(2469ordmΩ

Y4 = 02 + 04j Y5 = 03 - 01j YBC = Y4+ Y5 = 05+03j =gt|YBC|= 0583(3096ordm mhos

ZBC=1YBC=147-0882j=1 0583(3096ordm =1715(-3096ordmΩZt = ZAC = ZAB + ZBC = 2+ 0923j +147 - 0882j= 347 + 0041j =gt Zt = 347(067ordmΩ

It = 220(0ordm 347(067ordm = 634(-067ordm A Cos φ = 09999

VAB =ZAB It = 220(2469ordmΩ 634(-067ordmA = 139(2402ordmV VBC = ZBC It = 1715(-3096ordmΩ 634(-067ordmA= 087(-3163ordmV

I1 = VAB Y1= 139(2402ordmV 0253(-338ordm = 3516(- 978ordmV I2 = VAB Y2 = 139(2402ordmV 014(-45ordm = 1946(- 2098ordmV I3 = VAB Y3 = 139(2402ordmV 0064(5811ordm = 89(8212ordmVI4 = VBC Y4 = 1087(-3163ordmV 036(6343ordm = 3913(318ordmV I5 = VBC Y5 = 1087(-3163ordmV 019(-1843ordm = 206(50ordmV

I t

Si en el circuito serie se cumpliacutea que a la frecuencia de resonancia la parte compleja de la impedancia debiacutea ser nula en el paralelo se cumple que la parte compleja o susceptancia de la admitancia debe ser nula

Asiacute como en resonancia serie se producen elevadas tensiones en los extremos de la bobina y el condensador dependiendo del factor de calidad Q auacuten alimentando el circuito con una tensioacuten pequentildea en resonancia paralelo se pueden originar valores eleva- dos de la intensidad que circula por la bobina y por el condensador auacuten cuando la intensidad que recorra el circuito tenga un valor reducido

Sea el circuito de la figura 627 constituido por una resistencia una bobina y un condensador en paralelo En eacutel tenemos que la admitancia total es


Para que exista resonancia pues debe ser nula la componente compleja o susceptancia por tanto

2 πf C = 12 πf L

221 Frecuencia de resonanciaDespejando tenemos

1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27

22 Resonancia paralelo o resonancia de corrienteSe produciraacute en un circuito paralelo formado

por RLC Tambieacuten se llama resonancia de intensidad o resonancia de corrienteAunque la condicioacuten de resonancia es la misma que para el circuito serie ya que la definicioacuten de resonancia es uacutenica (ocurre la resonancia cuando la tensioacuten y la corriente estaacuten en fase) el funciona- miento de este circuito es diferente al serie

222 Corrientes parciales y corriente total del circuito en resonancia

Veamos las corrientes parciales y la total que circu-lan por el circuitoCorriente por la resistencia IR = V RCorriente por la bobina IL = -jVXL=-jV Lω0Corriente por el condensador IC= +jVXC = +jVCω0

La intensidad que circula por la resistencia estaacute en fase con la total la que circula por la bobina estaacute 90ordm en retardo con la intensidad total y la que circula por el condensador va 90ordm en adelanto sobre la corriente total

La intensidad total que circula por el circuito a la frecuencia de resonancia es aplicando al circuito la Ley de Kirchhoff

It = IR + IL + IC = VY0 = VR

lo que nos pone de manifiesto que la intensidad de alimentacioacuten de un circuito resonante paralelo ideal es igual a la corriente que circula por la resistencia

[Escriba aquiacute]

223 Distribucioacuten de energiacuteas y potencias en el circuitoLa energiacutea almacenada por la bobina es

εL = frac12 L I2

La energiacutea almacenada por el condensador esεC = frac12 CV2

El comportamiento del circuito de cara a las energiacuteas ocurre lo que en el circuito serie la energiacutea que pierde el condensador es en todo instante igual a la que gana la bobina y reciacuteprocamente

Dichas potencias son La WR = R(0ordm I2

La WL = XL0 (90ordm I2

La WC = XC0 (-90ordm I2

Asimismo se puede observar coacutemo el moacutedulo de la admitancia total va decreciendo hasta el valor propio de la conductancia (cosa que sucede para la frecuencia de resonancia) para volver luego a crecer raacutepidamente

En la figura 629 tenemos la curva de la impedancia en funcioacuten de la frecuenciaObservemos que es maacutexima a la frecuencia de resonancia Como la inversa de la impedancia es la admitancia eacutesta (Y = 1Z) seraacute miacutenima a la frecuencia o pulsacioacuten de resonancia

Zalta R

De aquiacute se desprende que en cualquier instante la suma de las potencias absorbidas por la bobina y el condensador de un circuito resonante paralelo es cero O lo que es lo mismo la potencia absorbida por la bobina es igual en cualquier instante a la cedida por el condensador y reciacuteprocamente

baja R

0

f 0

ffrecuencia

Curva de la impedancia seguacuten la frecuencia

y Figura 629

Y

1Rf

225 Coeficiente o factor de calidadSe denomina coeficiente o factor de calidad

o de sobreintensidad a la frecuencia de resonancia de

0 f1 f 0 f 2

Admitancia en un circuitoRLC paralelo en funcioacuten

Yc de la frecuencia

un circuito (o de una bobina) al producto de la pulsacioacuten por el cociente entre la maacutexima energiacutea almacenada y la potencia media disipada

Se designa por Q y vale Q = RLωPara la frecuencia de resonancia seraacute siendo ω0 la pulsacioacuten de resonanciaFigura 628


En la figura 628 hemos representado las curvas de las distintas admitancias asiacute como el moacutedulo de la admitancia total en funcioacuten de la frecuencia En ella vemos que la G o 1R es siempre la misma ya que su valor es independiente de la fre- cuenciaLa YC crece linealmente con la frecuencia y en definitiva con la pulsacioacutenLa YL tambieacuten crece exponencialmente con la frecuencia desde menos infinito (para cero hertzios) hasta llegar a valor cero para una frecuencia infinita

Q0 = RLω0 = ω0CR Se suele tomar un valor mayor que 10 Tambieacuten es igual a IC = ILI

226 Frecuencias de corte y ancho de bandaLas frecuencias de corte tambieacuten se conocen

como frecuencias liacutemite Son aquellas para las cuales la intensidad de corriente es 0707 -1 2- veces (707) la corriente a la frecuencia de resonancia o bien aquellas para las cuales la potencia se reduce a la mitad de la de resonancia (puntos de media potencia)

0

[Escriba aquiacute]

En efecto si la potencia en resonancia es W0 = R I 2

y la corriente cae a 0707 I0 tenemos queWf2 = Wf1= Rmiddot(0707 I0)

2 = 05 RI02

que es la mitad de la potencia que en resonancia

227 Curva universal de resonanciaLa curva universal de resonancia es la misma que para la resonancia serie la cual se representoacute ante- riormente

ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f

frecuencia de resonanciaa) Al tratarse de un circuito paralelo y anularse

presenta una conductancia pura y la uacutenica re-0 f1 f 0 f 2

f sistencia que presenta es la inversa de la resistencia R Por contra la impedancia es maacutexima

Figura 630

O de otra forma aquellas que cumplen la condicioacutenIfo If2 = If0 If1 = 0707

Asiacute pues la definicioacuten de las frecuencias de corte o frecuencias liacutemite es la misma que para el caso de la resonancia serie

Conociendo la frecuencia de resonancia y el ancho de banda se tiene

f2 = f0 + (∆ f 2)

b) Como la admitancia es miacutenima a la frecuencia de resonancia la corriente (I0 = VY0) tambieacuten seraacute miacutenima

c) Para frecuencias superiores a la de resonancia el circuito se comporta capacitivamente lo contrario ocurre para frecuencias inferiores a la frecuencia de resonancia el circuito se comporta inductivamente

d) Para la frecuencia de resonancia las intensidades que circulan por la bobina y por el condensadorf1 = f0 - (∆ f 2) son Q0 veces la intensidad de alimentacioacuten del

Se llama ancho de banda anchura de banda banda de paso o banda pasante al nuacutemero de ciclos a uno y otro lado de la frecuencia de resonancia comprendidos entre las frecuencias de corte superior e inferior

Tambieacuten se denomina asiacute a la diferencia de frecuencias en las cuales la potencia disipada por el circuito es la mitad de la disipada a la frecuencia de resonancia por dicho circuitoSe suele representar por f2 - f1 o bien por ∆ f siendo f2 la frecuencia de corte superior y f1 la frecuencia de corte inferior por lo que cabe una nueva definicioacuten de banda de paso diciendo que es el nuacutemero de frecuencias comprendido entre ambas frecuencias de corte

El ancho de banda vale ∆ f = f0 Q

Para hallar el ancho de banda graacuteficamente se dibuja la curva de respuesta-frecuencia (figura 39) se toma el valor 0707 Zmax y se traza una liacutenea paralela al eje de frecuencias hasta que corte a la curva en los puntos A y B Las perpendiculares trazadas desde ellos determinan las frecuencias de corte f2 y f1 y el ancho de banda (zona sombreada)

circuito

OBSERVACIOacuteN IMPORTANTE

EL CIRCUITO ANALIZADO ES SOacuteLO TEOacuteRICO PUES EN LA PRAacuteCTICA LA RAMA DE LA BOBINA SIEMPRE TIENE UNA RESISTENCIA (LA OacuteHMICA PROPIA DE LA BOBINA) POR ELLO EL CIRCUITO MAacuteS SIMPLE QUE REALMENTE SE PRESENTA PARA ANALIZAR CONSTA DE DOS RAMAS PARALELAS UNA FORMADA POR LA BOBINA Y SU RESISTENCIA ASOCIA D A (CIRCUITO R-L) Y LA O T RA CO M P UESTA POR UN CONDENSADOR (como el de la figura 631)

Sea el circuito de la figura 631 Vamos a analizarlo Datos R = 5 L = 100mH C = 160microF V = 5V

ResolucioacutenLas admitancias son YRL = 1(R + jL ω)

YC = j C ωSumando las admitancias y operando tenemos que aproximadamente

Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]

La pulsacioacuten de resonancia valeω 0 = 1 radicLC = 250 radsg

Frecuencia de resonanciaf0 = ω0 2 = 250 628 = 398 40 Hertzios

Factor de calidad Q0 = L ω R = 01 250 5 = 5

Admitancia total en resonanciaYt = CRL = 160 10-6 5 01 = 0008 siemens

Corriente por ambas ramas IRL = V YRL

5

Frecuencia de corte inferiorf1 = f0 - (∆f 2) = 40 - 4 = 36 Hz

Frecuencia de corte superiorf2 = f0 + (∆f 2) = 40 + 4 = 44 Hz

24 Aplicaciones de los circuitos resonantesAlgunas de las principales aplicaciones de

los circuitos resonantes sonI R I C

GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c

a) Sintonizadores de antena para receptores y emisores

b) Para acoplo de interetapas de amplificadores c) Para seleccionar frecuenciasd) En demoduladores o detectores e) En los circuitos osciladoresf) En generadores de audio y radiofrecuencias

Vf R

circuito R - L - C

Figura 631

g) En selectores de canales (de frecuencias) en radio TV etc

h) Como adaptadores de impedanciasi) En transmisores ya que transmiten

libremente algunas frecuencias e impiden en alto grado el paso de otras

j) En general en cualquier tipo de circuitoAncho de banda ∆f = f0Q = 398 5 = 8Hz selectivo como los filtros

0

[Escriba aquiacute]

LOS FILTROS PASIVOSIntroduccioacuten

Se conocen por el nombre geneacuterico de filtros a aquellos circuitos electroacutenicos que dejan pasar a su traveacutes una cierta gama de frecuencias de una corriente alterna multifrecuencia rechazando las demaacutes

Los filtros pueden clasificarsea) seguacuten los componentes que lo configuran en filtros pasivos y filtros activos

Los filtros pasivos estaacuten constituidos solamente a base de resistencias bobinas y condensadores Por el contrario los filtros activos lo estaacuten con resistencias condensadores y ademaacutes elementos activos como transistores CI etc

b) seguacuten las frecuencias que dejan pasar filtros pasa-bajo filtros pasa-alto filtros pasa-banda y filtros elimina-banda

los filtros pasa-bajo solo dejan pasar las frecuencias inferiores a una determinada llamada de corte los filtros pasa-alto soacutelo dejan pasar las frecuencias superiores a una determinada llamada de corte los filtros pasa-banda solo dejan pasar una banda de frecuencias determinadalos filtros elimina-banda dejan pasar cualquier nuacutemero de frecuencias excepto una banda determinada

CONCEPTOSCONCEPTOS PREVIOSPREVIOS

25 Frecuencia de resonancia o frecuencia centralEs la frecuencia para la cual las reactancias

inductiva y capacitiva son iguales

La ganancia a las frecuencias de corte son las siguientes

AVfC = 0707 AVf0 20 log (AVfC AVf0) = - 3 dB

f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC

26 Frecuencias de corte (fC)Son las frecuencias para las cuales se pro-

duce una atenuacioacuten de 3 dB en tensioacuten corriente o potencia o sea la tensioacuten o la corriente descien- den hasta el 707 (12) de las correspondientes a la frecuencia de resonancia la potencia se reduce a la mitad Como consecuencia las ganancias en tensioacuten y en corriente caen al 707 de las ganancias en tensioacuten o en corriente a la frecuencia de resonancia o frecuencia central Asiacute mismo la ganancia en potencia se reduce a la mitad Existen dos frecuencias de corte la inferior y la superior

20 log (AIfC AIf0) = - 3 dB

AWfC = 050 AWf0 10 log (AWfC AWf0) = - 3 dB

27 Ancho de banda o banda pasanteSe define como la diferencia entre las fre-

cuencias de corte superior e inferior

28 Selectividad o calidadPara una misma frecuencia de resonancia o

central varios circuitos o filtros pueden comportarse de manera diferente seguacuten su ancho de banda Aquel cuyo ancho de banda sea inferior se dice que es maacutes

[Escriba aquiacute]

selectivo que es de mejor calidad y dejaraacute pasar menos frecuencias que aquel o aquellos que posean un menor factor de calidad

El factor de calidad se representa por Q y vale

30 Orden de un filtroEl orden de un filtro viene determinado por

el nuacutemero de ceacutelulas R-C existentes en el mismo Para un filtro de orden 2 hace falta una ceacutelula para uno de orden 4 hacen falta 2 ceacutelulas etc

Q frecuencia de resonancia

f 0 2

ancho de banda f

29 OctavaEs el intervalo entre dos frecuencias siendo

una del doble valor que la otraAsiacute se dice que dos frecuencias estaacuten sepa-

radas una octava si f2 f1 = 2

31 PendienteEs la pendiente de bajada o subida de la

curva del filtro Depende del orden del mismo Si suponemos un filtro de orden N la pendiente es aproximadamente de 6 N dBoctava esto es su curva cae en 6 N dB cada vez que la frecuencia se duplica

FILTRFILTROOSS PASIVPASIVOOSS32 Filtros pasa-bajo

Ya sabemos que los filtros pasa-bajo son los que solo dejan pasar las corrientes cuyas frecuencias

Tendremos que Vc = I XcVg = I Z

Dividiendo ambas expresiones se tiene

son inferiores a una frecuencia determinada denomi- nada frecuencia de corte

El circuito o montaje maacutes sencillo estaacute for-

Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24

mado por una resistencia en serie con un condensador como se indica en la figura 632

s

siendo f la frecuencia de corte del filtro en este casofs O sea que para unos valores fijos de R C y Vg

R

Vg Z

I

C Vc

variando la frecuencia de Vg iremos obteniendo los distintos valores de la tensioacuten de salida Vc Dicha tensioacuten variacutea en la forma de la figura 633

V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707

Figura 632 Filtro pasa-bajo R-CLas frecuencias altas se derivan por el con-

densador ya que su impedancia (reactancia capacitiva) es muy pequentildea (XC = 1 2π fC) mientras que las bajas se quedan en eacutel

La impedancia total que ofrece el circuito es

0 f s f

Figura 633 Respuesta en frecuencia

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

3 FRECUENCIA DE CORTE La frecuencia de corte es aquella para la cual la

Supongamos que Vg sea la sentildeal senoidal de fre-cuencia f que se aplica al circuito y Vc la tensioacuten de la sentildeal obtenida a la salida (en el condensador)

reactancia capacitiva es igual a la resistencia Se define como frecuencia de corte (superior en este caso) fS como aquella frecuencia para la cual la tensioacuten de salida Vc es 0707 (707) de la tensioacuten

2

2

[Escriba aquiacute]

de entrada Vg o sea Vc Vg = 1radic2 = 0707De esta foacutermula y de la [4] se deduce que 2πfsRC =1 por lo que

fs = 1 2 π RC 5

Expresioacuten que nos da la frecuencia de corte del filtro en funcioacuten de los valores de R y de C

De la foacutermula [5] tenemos que 2πRC = 1fS y que

reactancia del condensador (reactancia capacitiva) Es la frecuencia de resonancia o frecuencia de corte Su valor viene dado por la formula

f0 = 1 2 π radic LC 7

Otro tipo de filtro pasa-bajo es el L-R representado en la figura 635 En eacutel aparece escrita la foacutermula de la frecuencia de corte

(2πRC)2 = 1 fS2

Si sustituimos (2 πRC)2 = 1 fStenemos que

L I

en la expresioacuten [4]

ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -

2RLque es la expresioacuten matemaacutetica de la respuesta enfrecuencia del filtro pasa-bajo

Para la frecuencia de corte f = fS y a medida que f aumenta la salida Vc se ve maacutes atenuada Al contrario a medida que f va disminuyendo la salida Vc va aumentando teniendo el maacuteximo para f = 0 Hz

En consecuencia este circuito atenuacutea las sentildeales cuyas frecuencias sean superiores a la de corte en tanto que las frecuencias inferiores a aquella sufren una atenuacioacuten inferior a los 3 dB o lo que es lo mismo inferior al 707

Figura 635 Filtro pasa-bajo L-R

33 Filtros pasa-altoRecuerda que un filtro pasa-alto es aquel

que soacutelo deja pasar las corrientes cuyas frecuencias sean superiores a una frecuencia determinada llamada frecuencia de corteEl circuito maacutes sencillo es el de la figura 636

C I

Es por lo que se le conoce como filtro pasa-bajoComo ejercicio de aplicacioacuten hallar la frecuencia decorte para un filtro de este tipo cuando R = 10K y VgC = 01 microF -

La solucioacuten debe ser de 15915 Hz

Zf I =

1 2RC

R V R-

Otro filtro pasa-bajo elemental es el constituido por una bobina y un condensador (se ha sustituido la resistencia por una bobina L) Figura 634

Figura 636 Filtro pasa-alto R-C

Observa el circuito es el mismo que el R-C donde se han permutado la resistencia y el condensador

L I La impedancia total Z que ofrece el circuito es

Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC

Supongamos que Vg sea la sentildeal senoidal de fre-cuencia f que se aplica al circuito y VR la tensioacuten de la sentildeal obtenida a la salida esto es en bornes de la

Figura 634 Filtro pasa-bajo L-C

En eacutel existiraacute una frecuencia f0 tal que la reactancia de la bobina (reactancia inductiva) sea igual que la

resistencia

Tendremos que VR = I R Vg = I Z = I radic R2 + XC

2

i

[Escriba aquiacute]

Dividiendo ambas expresiones queda

V R R

1

9

En consecuencia este circuito atenuacutea las sentildeales cuyas frecuencias sean inferiores a la de corte en tanto que las frecuencias superiores a aquella sufren

Vg R 2 X 21 2f RC 2 una atenuacioacuten inferior a los 3 dB o lo que es lo

mismo inferior al 707

Es decir que para unos valores fijos de R C y Vg variando el valor de la frecuencia de Vg podemos ir obteniendo los distintos valores de la tensioacuten de salida VR Dicha tensioacuten variacutea en la forma que aparece en la figura 637

V R Vg

1

070 7

Es por lo que se le conoce como filtro pasa-alto

Como ejercicio de aplicacioacuten hallar la frecuencia de corte para un filtro de este tipo cuando R = 10 K y C = 01 microF La solucioacuten debe ser de 15915 Hz

Otro tipo de filtro pasa-alto elemental es el constituido por una bobina y un condensador (se ha sustituido la resistencia por una bobina L) Figura 638

0 f i f C

IFigura 637 Respuesta en frecuencia

Vg-

FRECUENCIA DE CORTE La frecuencia de corte es aquella para la cual la reactancia capacitiva es igual a la resistencia Se

Z

f o = 1 2 LC

L V L-

define como frecuencia de corte (inferior en este caso) fi como aquella frecuencia para la cual la tensioacuten de salida VR es el 0707 (707) de la ten-sioacuten de entrada Vg o sea

VR Vg = 1 radic 2 = 0707

De esta foacutermula y de la [9] se deduce que

fi = 1 2 πRC 10

Figura 638 Filtro pasa-alto L-C

En eacutel existiraacute una frecuencia f0 tal que las reactancias de la bobina y del condensador sean iguales Es la frecuencia de resonancia o frecuencia de corteSu valor viene dado por la formula

f0 = 1 2πradicLC 12

De la foacutermula [10] tenemos que 2π RC = 1fi y que(2π RC)2 = 1 fi2

Si sustituimos (2πRC)2 = 1 fi2 en la expresioacuten [9]tenemos que

Otro tipo de filtro pasa-alto es el R-L representado en la figura 639

R IVR Vg = 1 radic 1+ (fi f)2 11

que es la expresioacuten matemaacutetica de la respuesta en frecuencia del filtro pasa-alto

Para la frecuencia de corte f = fi y a medida que f disminuye la salida VR se ve maacutes atenuada Al con-

Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-

trario a medida que f va aumentando la salida VRva aumentando

Figura 639 Filtro pasa-alto R-L

0 =

[Escriba aquiacute]

34 Filtros pasa-bandaYa vimos en la introduccioacuten que estos

filtros son los que dejan pasar una banda determinada de frecuencias rechazando las demaacutesUn tipo elemental de estos filtros puede ser el representado en la figura 640

Otro tipo de filtro pasa-banda podriacutea ser el de la figura 641

L C I

L I C Vg L C Vs

- -

Vg f- 1 Vs 2 LC - Figura 641 Filtro pasa-banda

Figura 640 Filtro pasa-banda

Consta de un circuito L-C (o mejor R-L-C siendo R la resistencia oacutehmica de la bobina) de tal forma que su frecuencia de resonancia coincida con la frecuencia central de la banda que se pretende dejar pasar a su traveacutes No queda maacutes que determinar el Q de la bobina para que el ancho de la banda pasante coincida con las frecuencias liacutemites de la banda de paso

Veamos esto mediante un ejemploSea que pretendemos disentildear un filtro que deje pasar las frecuencias comprendidas entre los 1000 y 3000HertziosEl ancho de banda es ∆f = 3000 - 1000 = 2000 Hz

La frecuencia central de la banda pasante esf0 = 1000 + (3000 - 1000)2 = 2000 Hertzios

La frecuencia de resonancia del filtro es

f0 = 1 2π radicLC = 2000 Hertzios

Si tomamos por ejemplo un condensador de 10KpF hallamos L

L = 633 mH

Hallamos el Q de la bobina para el ancho de banda de los 2000 Hertzios

Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1

El factor de calidad determina la resistencia de la bobina que en este caso debe ser igual que la reactancia inductiva a la frecuencia de los 2000 Hz Por tanto la impedancia del circuito a esa frecuencia es

R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω

Con este filtro se podriacutean derivar las frecuencias menores de los 1000 Hertzios a traveacutes de la bobina y las superiores a los 3000 Hertzios a traveacutes del condensador

Siguiendo con el ejemplo anterior se calculan las impedancias del circuito serie para las frecuencias de corte Estas impedancias son

Z1000Hz = Z3000Hz = radic R2 + (XL- XC)2 = 14696 Ω

Si tomamos la reactancia de la bobina del paralelo menor que 14696 Ω las frecuencias menores de los1000 Hz se derivaraacuten por ella De igual modo si hacemos que la reactancia del condensador sea menor que los 14696 Ω por eacutel se derivaraacuten faacutecilmente las frecuencias superiores a los 3000 Hz Tomemos ambas reactancias 20 veces menor Es decir 146962 = 735 Ω

Ahora calculemos la L y la capacidad del paralelo Para 1000 Hz L = XL2π f = 735 2 π 1000 = 117 mH Para 3000 Hz C = 12 π XCf = 1 2 π 735 3000 = 72 KpF

Nota con este filtro se eliminan faacutecilmente todas las frecuencias distintas de la banda comprendida entre los 1000 y los 3000 Hertzios con lo que es mejor que el anterior

35 Filtros elimina-bandaEstos filtros tienen la facultar de eliminar

una banda determinada de frecuencias permitiendo el paso de las demaacutes Un filtro elemental de este tipo es el representado en la figura 642

En este caso por el circuito se derivaraacuten las frecuencias correspondientes a la banda de paso del circuito Si consideramos el ejemplo anterior este filtro dejaraacute

[Escriba aquiacute]

pasar todas las frecuencias excepto las comprendidas entre los 1000 y los 3000 Hertzios

lo la serie L-C derivaraacute la banda correspondiente a la frecuencia de resonancia propia del circuito

II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C

Figura 642 Filtro elimina-banda

Una versioacuten nueva y mejorada puede ser la de la figura 643 El circuito paralelo dejaraacute pasar todas las frecuencias por la bobina pasaraacuten las bajas y por el condensador las altas Una vez atravesado el parale-


Para el ejemplo anterior este filtro permitiraacute el paso de todas las frecuencias excepto las comprendidas entre los 1000 y los 3000 Hertzios

[Escriba aquiacute]

Se representa por una letra minuacutescula con un peque- ntildeo vector encima de la letra

Todo vector se caracteriza por los paraacutemetros

complejos se representan con el siacutembolo (a b) siendo a y b nuacutemeros reales Al nuacutemero a se le llama primera componente o componente real y al b segunda componente o componente imaginaria

bull Magnitud o Moacutedulo es la longitud del vector o segmento (longitud A-B) Se representa asiacute |v|

bull Direccioacuten es la direccioacuten de la recta sobre laque estaacute representado el vector la direccioacuten 42 Consideraciones sobre los nuacutemerospuede ser A-B o B-A complejos

bull Sentido es el sentido del vector El sentido de1ordf Todo nuacutemero complejo de la forma (a 0)

(segunda componente nula) es un nuacutemero realun vector viene dado por la punta de flecha El 2ordf Los nuacutemeros complejos no reales se llaman

vector representado posee un sentido A-B imaginarios3ordf Todo nuacutemero complejo de la forma (0 b)

bull Punto de aplicacioacuten u origen es el lugar donde (primera componente nula) se llama nuacutemerocomienza el vector En la figura el punto A En imaginario puroeste caso coincide con el origen de coordenadas 4ordf Toda unidad imaginaria se representa por i

(nosotros en electricidad y electroacutenica utiliza-Un vector se puede dar en funcioacuten de sus coordena- remos la letra j) y corresponde al nuacutemerodas yo descomponerse en ellas El vector que se complejo imaginario puro (0 1) oacute sea a radic-1adjunta tiene como abscisa el segmento oa y como luegoordenada el segmento ob Cada una de ellas se puede (0 1) = i = radic-1

calcular en funcioacuten del moacutedulo y del aacutengulo φAsiacute

por tanto

la componente horizontal oa = |v| cos φla componente vertical ob = |v| sen φ

Si de un vector nos dan sus componentes podemos hallar el moacutedulo por el Teorema de Pitaacutegoras o mediante la trigonometriacuteaTambieacuten haremos uso de las operaciones con vectores sobre todo de la suma y resta

4 Nuacutemeros complejosEl campo de los nuacutemeros complejos se creoacute

para dar respuesta a ciertas cuestiones matemaacuteticas que no solucionaban los nuacutemeros reales Algunos de estos casos son las raiacuteces cuadradas (o de iacutendice par) de los nuacutemeros negativos como radic-9 las potencias de exponente irracional de nuacutemeros negativos (-3)54 o los logaritmos de los nuacutemeros negativos (log - 4)

Se denominan nuacutemeros complejos al conjunto de los nuacutemeros reales y los imaginarios

41 DefinicioacutenUn nuacutemero complejo es un ente abstracto

representado por un par de nuacutemeros reales cuales- quiera dados en un orden prefijado Los nuacutemeros

i = radic-1 i2 = -1

43 Expresiones de los nuacutemeros complejosTodo nuacutemero complejo se puede expresar de varias formas

1ordf Forma compleja se expresa por (a b) cuyo significado ya conocemos

2ordf Forma binoacutemica se expresa por a + bi donde a representa la parte real y b las unidades imaginarias

3ordf Forma factorial o trigonomeacutetrica en este caso se dan las componentes a y b en funcioacuten del aacutengulo y de sus razones trigonomeacutetricas Estas dos componentes son

a = r cos φb = r sen φ

y el moacutedulo z = r (cos φ + sen φ)

4ordf Forma moacutedulo-argumental o polar todo nuacutemero complejo queda determinado si se conocen su moacutedulo y su argumento o aacutengulo En esta forma se expresa asiacute (rφ )

[Escriba aquiacute]




y

b

P

r

no a x

Figura 63












el moacutedulo









[Escriba aquiacute]


(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplos(3 5) - (2 -6) + (3 -1) = (4 10)

(5 + 3i) + (-2 + 7i) - (8 - 4i) =[ (5 -2 -8) + (3 + 7 +4)i ] = - 5 + 14i





472 En forma polar





n

b

d

o a cFigura 64

Producto

P

eje real

m














[Escriba aquiacute]


XL = 2 π f L




I = 2π f C V











Xc = 1 2π f C













90ordm

90ordm o

[Escriba aquiacute]













R j

IacuteG

I I V

L

IacuteG

I

I - j

V90ordm

a)

vi


v = V 0 sen Tt

i = I 0 sen Tt

a)

vi


V 0 sen Tt

o t


c) senoides

Figura 66

sen (Tt - 90)

i = I

90ordm

90 ordm o t

v C =

[Escriba aquiacute]









Q0 = C x V0


Imed = Q0 t = C V0 T 4 = 4 C V0 T








IacuteG

a)

vi

C

I

circuito

I

90ordm

V

- j





c) senoid es

Figura 67


[Escriba aquiacute]



L

I


nordm90ordm 0

2

CV

n

L

[Escriba aquiacute]




R

IacuteG

a) circuito

j

no RI

X L I

I



t

ov = V sen Tt

R


vL= V 0 sen (Tt + 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

j Pap E

Tenemos por tanto

Figura 68 a) Preac

V LZ A






2 + VL


X L

B D F

R V R Pac I

H

E

b) B

Z X L

nn Rn A C

n D V R F


Z = R + j XL

G IP ac

Figura 69




R L

[Escriba aquiacute]


I R v

o - nI L


Figura 610



IL = I sen (-n)

La I total vale


















0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto





V2 = VR2 + VC

2



R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi


V c

o nordm


t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F


D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E




HFigura 612

Sus valores son


| Z |= R 2 + X 2





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]




y

b

P

r

no a x

Figura 63












el moacutedulo









[Escriba aquiacute]


(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplos(3 5) - (2 -6) + (3 -1) = (4 10)

(5 + 3i) + (-2 + 7i) - (8 - 4i) =[ (5 -2 -8) + (3 + 7 +4)i ] = - 5 + 14i





472 En forma polar





n

b

d

o a cFigura 64

Producto

P

eje real

m














[Escriba aquiacute]


XL = 2 π f L




I = 2π f C V











Xc = 1 2π f C













90ordm

90ordm o

[Escriba aquiacute]













R j

IacuteG

I I V

L

IacuteG

I

I - j

V90ordm

a)

vi


v = V 0 sen Tt

i = I 0 sen Tt

a)

vi


V 0 sen Tt

o t


c) senoides

Figura 66

sen (Tt - 90)

i = I

90ordm

90 ordm o t

v C =

[Escriba aquiacute]









Q0 = C x V0


Imed = Q0 t = C V0 T 4 = 4 C V0 T








IacuteG

a)

vi

C

I

circuito

I

90ordm

V

- j





c) senoid es

Figura 67


[Escriba aquiacute]



L

I


nordm90ordm 0

2

CV

n

L

[Escriba aquiacute]




R

IacuteG

a) circuito

j

no RI

X L I

I



t

ov = V sen Tt

R


vL= V 0 sen (Tt + 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

j Pap E

Tenemos por tanto

Figura 68 a) Preac

V LZ A






2 + VL


X L

B D F

R V R Pac I

H

E

b) B

Z X L

nn Rn A C

n D V R F


Z = R + j XL

G IP ac

Figura 69




R L

[Escriba aquiacute]


I R v

o - nI L


Figura 610



IL = I sen (-n)

La I total vale


















0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto





V2 = VR2 + VC

2



R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi


V c

o nordm


t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F


D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E




HFigura 612

Sus valores son


| Z |= R 2 + X 2





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]


(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplos(3 5) - (2 -6) + (3 -1) = (4 10)

(5 + 3i) + (-2 + 7i) - (8 - 4i) =[ (5 -2 -8) + (3 + 7 +4)i ] = - 5 + 14i





472 En forma polar





n

b

d

o a cFigura 64

Producto

P

eje real

m














[Escriba aquiacute]


XL = 2 π f L




I = 2π f C V











Xc = 1 2π f C













90ordm

90ordm o

[Escriba aquiacute]













R j

IacuteG

I I V

L

IacuteG

I

I - j

V90ordm

a)

vi


v = V 0 sen Tt

i = I 0 sen Tt

a)

vi


V 0 sen Tt

o t


c) senoides

Figura 66

sen (Tt - 90)

i = I

90ordm

90 ordm o t

v C =

[Escriba aquiacute]









Q0 = C x V0


Imed = Q0 t = C V0 T 4 = 4 C V0 T








IacuteG

a)

vi

C

I

circuito

I

90ordm

V

- j





c) senoid es

Figura 67


[Escriba aquiacute]



L

I


nordm90ordm 0

2

CV

n

L

[Escriba aquiacute]




R

IacuteG

a) circuito

j

no RI

X L I

I



t

ov = V sen Tt

R


vL= V 0 sen (Tt + 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

j Pap E

Tenemos por tanto

Figura 68 a) Preac

V LZ A






2 + VL


X L

B D F

R V R Pac I

H

E

b) B

Z X L

nn Rn A C

n D V R F


Z = R + j XL

G IP ac

Figura 69




R L

[Escriba aquiacute]


I R v

o - nI L


Figura 610



IL = I sen (-n)

La I total vale


















0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto





V2 = VR2 + VC

2



R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi


V c

o nordm


t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F


D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E




HFigura 612

Sus valores son


| Z |= R 2 + X 2





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]


XL = 2 π f L




I = 2π f C V











Xc = 1 2π f C













90ordm

90ordm o

[Escriba aquiacute]













R j

IacuteG

I I V

L

IacuteG

I

I - j

V90ordm

a)

vi


v = V 0 sen Tt

i = I 0 sen Tt

a)

vi


V 0 sen Tt

o t


c) senoides

Figura 66

sen (Tt - 90)

i = I

90ordm

90 ordm o t

v C =

[Escriba aquiacute]









Q0 = C x V0


Imed = Q0 t = C V0 T 4 = 4 C V0 T








IacuteG

a)

vi

C

I

circuito

I

90ordm

V

- j





c) senoid es

Figura 67


[Escriba aquiacute]



L

I


nordm90ordm 0

2

CV

n

L

[Escriba aquiacute]




R

IacuteG

a) circuito

j

no RI

X L I

I



t

ov = V sen Tt

R


vL= V 0 sen (Tt + 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

j Pap E

Tenemos por tanto

Figura 68 a) Preac

V LZ A






2 + VL


X L

B D F

R V R Pac I

H

E

b) B

Z X L

nn Rn A C

n D V R F


Z = R + j XL

G IP ac

Figura 69




R L

[Escriba aquiacute]


I R v

o - nI L


Figura 610



IL = I sen (-n)

La I total vale


















0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto





V2 = VR2 + VC

2



R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi


V c

o nordm


t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F


D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E




HFigura 612

Sus valores son


| Z |= R 2 + X 2





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





90ordm

90ordm o

[Escriba aquiacute]













R j

IacuteG

I I V

L

IacuteG

I

I - j

V90ordm

a)

vi


v = V 0 sen Tt

i = I 0 sen Tt

a)

vi


V 0 sen Tt

o t


c) senoides

Figura 66

sen (Tt - 90)

i = I

90ordm

90 ordm o t

v C =

[Escriba aquiacute]









Q0 = C x V0


Imed = Q0 t = C V0 T 4 = 4 C V0 T








IacuteG

a)

vi

C

I

circuito

I

90ordm

V

- j





c) senoid es

Figura 67


[Escriba aquiacute]



L

I


nordm90ordm 0

2

CV

n

L

[Escriba aquiacute]




R

IacuteG

a) circuito

j

no RI

X L I

I



t

ov = V sen Tt

R


vL= V 0 sen (Tt + 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

j Pap E

Tenemos por tanto

Figura 68 a) Preac

V LZ A






2 + VL


X L

B D F

R V R Pac I

H

E

b) B

Z X L

nn Rn A C

n D V R F


Z = R + j XL

G IP ac

Figura 69




R L

[Escriba aquiacute]


I R v

o - nI L


Figura 610



IL = I sen (-n)

La I total vale


















0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto





V2 = VR2 + VC

2



R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi


V c

o nordm


t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F


D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E




HFigura 612

Sus valores son


| Z |= R 2 + X 2





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





i = I

90ordm

90 ordm o t

v C =

[Escriba aquiacute]









Q0 = C x V0


Imed = Q0 t = C V0 T 4 = 4 C V0 T








IacuteG

a)

vi

C

I

circuito

I

90ordm

V

- j





c) senoid es

Figura 67


[Escriba aquiacute]



L

I


nordm90ordm 0

2

CV

n

L

[Escriba aquiacute]




R

IacuteG

a) circuito

j

no RI

X L I

I



t

ov = V sen Tt

R


vL= V 0 sen (Tt + 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

j Pap E

Tenemos por tanto

Figura 68 a) Preac

V LZ A






2 + VL


X L

B D F

R V R Pac I

H

E

b) B

Z X L

nn Rn A C

n D V R F


Z = R + j XL

G IP ac

Figura 69




R L

[Escriba aquiacute]


I R v

o - nI L


Figura 610



IL = I sen (-n)

La I total vale


















0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto





V2 = VR2 + VC

2



R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi


V c

o nordm


t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F


D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E




HFigura 612

Sus valores son


| Z |= R 2 + X 2





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]



L

I


nordm90ordm 0

2

CV

n

L

[Escriba aquiacute]




R

IacuteG

a) circuito

j

no RI

X L I

I



t

ov = V sen Tt

R


vL= V 0 sen (Tt + 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

j Pap E

Tenemos por tanto

Figura 68 a) Preac

V LZ A






2 + VL


X L

B D F

R V R Pac I

H

E

b) B

Z X L

nn Rn A C

n D V R F


Z = R + j XL

G IP ac

Figura 69




R L

[Escriba aquiacute]


I R v

o - nI L


Figura 610



IL = I sen (-n)

La I total vale


















0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto





V2 = VR2 + VC

2



R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi


V c

o nordm


t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F


D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E




HFigura 612

Sus valores son


| Z |= R 2 + X 2





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





L

I


nordm90ordm 0

2

CV

n

L

[Escriba aquiacute]




R

IacuteG

a) circuito

j

no RI

X L I

I



t

ov = V sen Tt

R


vL= V 0 sen (Tt + 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

j Pap E

Tenemos por tanto

Figura 68 a) Preac

V LZ A






2 + VL


X L

B D F

R V R Pac I

H

E

b) B

Z X L

nn Rn A C

n D V R F


Z = R + j XL

G IP ac

Figura 69




R L

[Escriba aquiacute]


I R v

o - nI L


Figura 610



IL = I sen (-n)

La I total vale


















0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto





V2 = VR2 + VC

2



R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi


V c

o nordm


t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F


D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E




HFigura 612

Sus valores son


| Z |= R 2 + X 2





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





R L

[Escriba aquiacute]


I R v

o - nI L


Figura 610



IL = I sen (-n)

La I total vale


















0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto





V2 = VR2 + VC

2



R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi


V c

o nordm


t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F


D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E




HFigura 612

Sus valores son


| Z |= R 2 + X 2





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





0

a)

C

[Escriba aquiacute]

Tenemos por tanto





V2 = VR2 + VC

2



R C oGIacute

I - j

RI I-n

X c I

dad

o- n

R V R Pac I

A C E

vi


V c

o nordm


t - j

V

P ac

D

Pap

Preac

F


D-n

V R F C

v c= V 0 sen (Tt - 90)

c) senoides

i = I 0sen Tt

A- n R

Zb)

X c

Figura 611 B

E




HFigura 612

Sus valores son


| Z |= R 2 + X 2





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]


I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





I 2 2

[Escriba aquiacute]


IR = I cos n

j

I c

o n

I R V


Figura 613


IC = I sen n





b) Zt = 538 (-2170ordmΩ



d) Cos n = 09291
















0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





0

L

2

R L2

[Escriba aquiacute]












j X L IXc I


IacuteG

I

a) circuito

no R I

XL I -Xc I

I

Xc I





v = V sen TtR

onordm

t

i = I 0 sen Tt

Ver figura 615

I Ro - n

I c

I L - I c


90)

c

- j I L

Figura 614


Figura 615



La (IL - IC

IR = I cos (-n)




vale

La I total vale

(IL - IC ) = I sen (-n)


L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





L

[Escriba aquiacute]











perios reactivos





rios reactivos 2S

2 mH

2 mF 7 mF

4 mH

60 mH

10S 12S

4 mF




3S

1 mF

30 mH 5 mF

8S







Xminus X C)2 = 102 + (12 minus 10)2 =








2



[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]







R L C





zZ

R

0 f1 f 0 f 2

IacuteG Vf

circuito R - L - C

I

Figura 617


Xc fr ecuencia



2π f L = 12π f C

Figura 618







[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]












Q L 0

R f 0

f 1 R

L C



Y o Ibaja R

alta R

f0 frecuencia


ecuencia

Figura 619

0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





0

[Escriba aquiacute]






2 = 05 RI02




04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





04

03

02

01

[Escriba aquiacute]



f2 = f0 + (∆f 2) = Q ∆f + (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)

f1 = f0 - (∆f 2) = Q ∆f - (∆f 2) = f0 + (f0 2Q)



x = Q0 ε = Q0 (ω - ω0)ω0



I maacutex

A B0707 I maacutex


rior0 f1

ff 0 f 2

f


Figura 620






1

09

08

y = Y YO

= Z O =Z I I O



Curv a univ er sa l

A B07

0605

de resonancia

x = Q O






Figura 621



1 1 4 x 2

[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]


[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]





1






0707 1 4x 2




1




f 0 2 2 10 3 80 10 12






XL = XC = 2π f L = 12π f C = 5000 Ω


VL = VC = 5000 x 3 = 15000 voltios





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





R L

[Escriba aquiacute]




I t


I R I Lo

I R v- n

I L




Figura 622




| It | I 2 I 2




R XL







| Y | 00012 000053 2 000113 mhos



[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]

It = V Yt = 110(0ordm 000113(-2792ordm = 0124(-

2792ordmA

R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





R C

[Escriba aquiacute]



I tI R IC

-G R

C





| It | I 2 I 2

a) circu

ito j

I C













jB RXC








G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





G c

[Escriba aquiacute]


12

+ +

= V L --




It


-G

o t CR L


Figura 624


a) circuito

jI C



n 2 IR

o -n-n1

- jI L

v

IL - IC

I C



fo 1





Figura 625



2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





2

R L2

[Escriba aquiacute]



Moacutedulo

| Yt | 0012 002682 0286 mhos


φ = arc tg -(00268001)= -6953ordm

| Y | 1

R

1

X

2 1

Xc


L
















I 4 1 S

- 2 S


I 3 5 S - 8 S3 S 1 S

I 5


Yt = 001 - 00268j

I GIacute

220V50Hz

Figura 626

[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]

Solucioacuten

Y1 = 0230 - 0154j Y2 = 0125 - 0125j Y3 = 0056 + 009 j








I t






2 πf C = 12 πf L


1

I L I C

IR

fo2 LC

IacuteG L R C

Vf

circu ito R - L - C

Figura 6 27









[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]


εL = frac12 L I2








Zalta R


baja R

0

f 0

ffrecuencia


y Figura 629

Y

1Rf



0 f1 f 0 f 2


Yc de la frecuencia








0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





0

[Escriba aquiacute]



2 = 05 RI02



ZZmaacutex

A B0707Zmaacutex

f




Figura 630




f2 = f0 + (∆ f 2)








circuito






Yt = CL [R + j (L ω - (1C ω )]

I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





I

[Escriba aquiacute]






5





GIacute

52 012

I t

LR L

40Hz

I C

c



Vf R

circuito R - L - C

Figura 631





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





0

[Escriba aquiacute]












f 1

1 AIfC = 0707 AIf0 2 LC









[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]






f 0 2

ancho de banda f












Vc

VgXc

R 2 X 2

1

1 2 f RC 24


s


R

Vg Z

I

C Vc


V c Vg -

f S = 1

2RC- 1

0707




0 f s f


Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2




2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





2

2

[Escriba aquiacute]


fs = 1 2 π RC 5






(2πRC)2 = 1 fS2


L I


ZVc 1 6 Vg R Vc

Vg 1 f f s -

f 0 = 1 -







C I



Zf I =

1 2RC

R V R-





Vg Z-

1 C Vc

-

Z R 2 Xc 2 R 2 1 1 2fC 2

8

f 0 =2 LC




resistencia


2

i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





i

[Escriba aquiacute]


V R R

1

9





V R Vg

1

070 7




0 f i f C


Vg-


Z

f o = 1 2 LC

L V L-


VR Vg = 1 radic 2 = 0707


fi = 1 2 πRC 10










Vg Z-

f 0 = 1 2 RL

L VL-



0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





0 =

[Escriba aquiacute]




L C I

L I C Vg L C Vs

- -









L = 633 mH


Q = f0 ∆ f = 2000 2000 = 1


R = XL = 2 2000 0633 = 7950 Ω










[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





[Escriba aquiacute]



II L

Vg f 0 =- 2 LC

C

Vs L- Vg Vs

C





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