Instituto Universitario Politécnico

“Santiago Mariño”

Extensión Maracaibo.

Catedra: Circuitos Eléctricos II

Profesor: Lic. Fidel Angulo. G

Circuitos RCL, factor Q y pasa bandas

Autor:

Wilmer Peñaloza

C.I: V-22.050.752

Fecha de entrega:

07 / 03 / 2017

Circuito RL

La mejor forma de describir la respuesta natural de un circuito RL consiste en

referirse al circuito mostrado a continuación, Suponemos que la fuente de corriente

independiente genera una corriente constante de 15A Y que el conmutador ha

estado en la posición de cerrado durante un largo período de tiempo. Definiremos

con más precisión la frase un largo período de tiempo más adelante, dentro de esta

misma sección. Por el momento, lo que queremos decir es que todas las corrientes

y tensiones han tenido el tiempo suficiente como para alcanzar un valor constante.

De este modo, sólo pueden existir corrientes constantes (o cc) en el circuito justo

antes de abrir el conmutador, por lo que la bobina aparece como un cortocircuito

(Ldi/dl = 0) justo antes de liberarse la energía almacenada.

Puesto que la bobina aparece como un cortocircuito, la tensión en bornes de

la rama inductiva es cero y no puede haber ninguna corriente que atraviese ni R0 ni

R. Por tanto, toda la corriente de la fuente Is pasa a través de la rama inductiva.

Calcular la respuesta natural requiere determinar la tensión y la corriente en los

terminales de la resistencia después de abrir el conmutador, es decir, después de

desconectar la fuente y de que la

bobina comience a liberar

energía. Si designamos

mediante t=0 el instante en que

se abre el conmutador, el

problema se reduce a determinar

la ecuación de v(t) e i(t) para

t>0. El circuito mostrado en la

Figura 1.1 se reduce, para t>0, al

que puede verse en la Figura

1.2.

Para determinar i(I), utilizamos la ley de Kirchhoff de las tensiones para

obtener una ecuación en la que aparezcan i, R y L. Sumando las tensiones

alrededor del lazo cerrado, se obtiene:

L(dt/di)+R1 = 0 ecu.a.1

Donde utilizamos el convenio de signos pasivo. La Ecuación a.1 es una

ecuación diferencial ordinaria de primer orden, porque contiene términos en los que

aparece la derivada ordinaria de la incógnita, es decir, di/dt. La derivada de mayor

orden que aparece en la ecuación es 1, de ahí que digamos que la ecuación es de

primer orden. Además, los coeficientes de la ecuación R y L son constantes, es

decir, no son funciones ni de la variable dependiente i ni de la variable independiente

l. Por tanto, podemos decir que la ecuación es una ecuación diferencial ordinaria

con coeficientes constantes.

Para resolver la Ecuación a.1, dividimos por L, pasamos el término donde

aparece i aliado derecho y luego multiplicamos ambos lados por un tiempo

diferencial dt. El resultado es

A continuación, podemos observar que el lado izquierdo de la Ecuación a.2

representa un incremento diferencial de la corriente i, es decir, di. Dividiendo ahora

por i se obtiene

Podemos hallar una expresión explícita de i en función de t integrando ambos

lados de la Ecuación a.3. Utilizando x e y como variables de integración, nos queda

En donde i(to) es la corriente correspondiente al instante to e i(t) es la corriente

correspondiente al instante t. Aquí, t0 = 0, por lo que realizando la integración resulta

Basándonos en la definición del logaritmo natural,

Recordando que en una bobina no puede haber ningún cambio instantáneo

de la corriente. Por tanto, en el instante justo posterior a la apertura del conmutador,

la corriente en la bobina continúa siendo la misma. Si utilizamos 0- para indicar el

instante justo anterior a la conmutación y 0+ para indicar el instante justo posterior,

entonces

Donde, como en la Figura 1.1, I0 es la corriente inicial que atraviesa la bobina.

Dicha corriente inicial en la bobina está orientada en la misma dirección que la

dirección de referencia de i. Por tanto, la Ecuación a.6 queda

que demuestra que la corriente parte de un valor inicial I0 Y decrece

exponencialmente hacia cero a' medida que se incrementa t. La Figura 1.4 muestra

la respuesta del circuito.

Podemos calcular la tensión que cae en la resistencia de la Figura 7.4

aplicando directamente la ley de Ohm:

Por contraste con la ecuación de la corriente mostrada en la Ecuación a.7, la

tensión sólo está definida para t > O, no en t = O. La razón es que en el instante

inicial se produce un cambio abrupto en la tensión. Observe que, para t < O, la

derivada de la corriente es cero, por lo que también es cero la tensión (este resultado

se debe a que v = L (di/dt) = O). Por tanto,

Donde v(O+) se obtiene de la Ecuación a.8 con I t = 0+ Con este cambio

abrupto en dicho instante de tiempo, el valor de la tensión en t = O es desconocido.

Por tanto, utilizamos t > 0+ para definir la región de validez de estas soluciones.

Podemos calcular la potencia disipada en la resistencia a partir de cualquiera

de las siguientes ecuaciones:

Independientemente de la forma que se utilice, la expresión resultante puede

reducirse a

La energía entregada a la resistencia durante un determinado intervalo de

tiempo después de abrir el conmutador es

Observe, en la Ecuación a.13, que a medida que t tiende a infinito, la energía

disipada en la resistencia se aproxima a la energía inicial almacenada en la bobina.

Circuitos de segundo orden

Un circuito de segundo orden se caracteriza por una ecuación diferencial de

segundo orden. Consta de resistores y el equivalente de dos elementos de

almacenamiento de energía.

El análisis de circuitos de segundo orden será similar al realizado con los de

primer orden. Primero se considerarán circuitos excitados por las condiciones

iniciales de los elementos de almacenamiento. Aunque estos circuitos pueden

contener fuentes dependientes, están libres de fuentes independientes. Como es

de esperar, estos circuitos sin fuente darán respuestas naturales. Después se

tratarán circuitos excitados por fuentes independientes. Estos circuitos darán tanto

la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable.

Solución natural de un circuito RCL sin fuente

Quizá el principal problema que enfrentan los estudiantes al manejar circuitos

de segundo orden es la determinación de las condiciones iniciales y finales de las

variables de circuitos. Los estudiantes suelen obtener cómodamente los valores

inicial y final de v e i, pero a menudo tienen dificultades para determinar los valores

iniciales de sus derivadas: dv/dt y di/dt.

Hay dos puntos clave que se deben tener presentes en la determinación de las

condiciones iniciales. Primero, como siempre en análisis de circuitos, se debe

manejar con cuidado la polaridad de la tensión V(t) en el capacitor y la dirección de

la corriente i(t) a través del inductor.

Para un mejor entendimiento.

Ejemplo: circuito RCL serie-paralelo sin fuente de

alimentación.

SOLUCION:

Aplicando LKV en I nos quedaría la ecuación

y aplicando un LKC en a para hallar i, sabiendo que ic =CV’ ; nos quedaría que

ya teniendo nuestra segunda ecuación sustituiremos la ecuancion 2 en la ecuación

1

procediendo a resolver matemáticamente la ecuancion para simplifuicar nos

quedaría que

Donde:

asi quedando el resultado de un RCL sin fuente de excitación. Dando a conocer las

ecuaciones generales del circuito.

Análisis de un circuito RCL con fuente variable con respuesta forzada

Hallar V(t) para t > 0

SOLUCIÓN:

Para t<0

Para el circuito obtenido en t<0 se aplicara LKV frontera sabiendo que V1=4i por lo

tanto la ecuación seria

Obtenido el valor de i=1.5A. Haremos LKV en la malla I quedando

Obtenido el valor de la tensión y la intensidad para t<0 daremos comienzo en t=0

Para t=0; aplicando condiciones iniciales nos quedaría

Para t>0

Aplicando LKV frontera nos quedaría nuestra primera ecuación llamada (1)

Teniendo nuestra primera ecuación buscaremos la segunda ecuación en el nodo x

aplicando LKC.

Sustituyendo nuestra segunda ecuación en la primera nos quedaría así

Derivando para obtener

Sabiendo que el circuito queda sobreamortiguado aplicamos las ecuaciones para el

resultado el cual seria

Teniendo los valores de S1 y S2 podremos seguir para buscar la respuesta forzada

quedando

Frecuencia de resonancia

La resonancia eléctrica es un fenómeno que se produce en un circuito en el

que existen elementos reactivos (bobinas y condensadores) cuando es recorrido

por una corriente alterna de una frecuencia tal que hace que la reactancia se anule,

en caso de estar ambos en serie, o se haga infinita si están en paralelo. Para que

exista resonancia eléctrica tiene que cumplirse que Xc = Xl. Entonces, la impedancia

Z del circuito se reduce a una resistencia pura.

En otras palabras, la resonancia eléctrica se da cuando la Reactancia

Inductiva neta cancela la Reactancia Capacitiva neta.

La resonancia en los circuitos AC se produce a una frecuencia especial

determinada por los valores de la resistencia, la capacidad, y la inductancia. La

condición de resonancia en los circuitos series es muy sencilla y se caracteriza

porque la impedancia es mínima y el ángulo de fase es cero. La resonancia paralelo,

que es mas usual en la práctica electrónica, requiere de una definición mas

cuidadosa.

La resonancia de un circuito RLC serie, ocurre cuando las reactancias

inductiva y capacitiva son iguales en magnitud, pero se cancelan entre ellas porque

están desfasadas 180 grados. Esta reducción al mínimo que se produce en el valor

de la impedancia, es útil en aplicaciones de sintonización. La nitidez del mínimo de

impedancia, depende del valor de R y se caracteriza mediante el valor "Q" del

circuito.

Impedancia mínima en una frecuencia resonante

Resonancia serie

Una forma de visualizar el comportamiento del circuito serie RLC es mediante

el diagrama fasor que se muestra en la ilustración de arriba. Se muestra el diagrama

fasor a una frecuencia donde la reactancia inductiva es mayor que la reactancia

capacitiva. Esto ocurriría a una frecuencia superior a la frecuencia de resonancia.

Ancho de banda

Cuando se nombra la frecuencia de una emisora de radio por lo general, se

indica la frecuencia de la portadora. Pero cuando se superpone una señal sobre la

portadora de AM o FM, se producen bandas laterales que son la suma y la diferencia

de la frecuencia portadora fC y la frecuencia de modulación fM. Esto significa que

la señal transmitida está esparcida en frecuencia sobre un ancho de banda, que es

el doble de la frecuencia más alta de la señal.

Los anchos de bandas son asignados para todo tipo de difusión de

comunicaciones, esto impone la frecuencia máxima de señal que puede ser

transmitida. Los anchos de banda asignados a radio AM y FM son tales, que limitan

la fidelidad de música en las transmisiones en AM, pero permiten el lujo de

transmisiones de alta fidelidad en estéreo por medio de la FM. Las altas frecuencias

de señales asociadas con la difusión de vídeo, requieren mayores anchos de

bandas (canales asignados a la televisión).

La teoría de la información es el estudio muy profundo del uso eficiente del

ancho de banda para propagar información a través de sistemas electrónicos de

comunicaciones. Esta teoría se puede usar para determinar la capacidad de

información de un sistema de comunicaciones. La capacidad de información es una

medida de cuánta información se puede transferir a través de un sistema de

comunicaciones en determinado tiempo. La cantidad de información que se puede

propagar en un sistema de transmisión es una función del ancho de banda y del

tiempo de transmisión. R. Hartley, de los Bell Telephone Laboratories, desarrolló en

1920 la relación entre el ancho de banda, el tiempo de transmisión y la capacidad

de información. La ley de Hartley sólo establece que mientras más amplio sea el

ancho de banda y mayor sea el tiempo de transmisión, se podrá enviar más

información a través del sistema. En forma matemática, la ley de Hartley es

I ∞ B x t ecu. 1.3

Siendo: I= capacidad de información

B = ancho de banda del sistema (hertz)

t = tiempo de transmisión (segundos)

La ecuación 1-3 indica que la capacidad de información es una función lineal, y es

directamente proporcional tanto al ancho de banda del sistema como al tiempo de

transmisión. Si sube al doble el ancho de banda en un sistema de comunicaciones,

también se duplica la cantidad de información que puede transportar. Si el tiempo

de transmisión aumenta o disminuye, hay un cambio proporcional en la cantidad de

información que el sistema puede transferir. En general, mientras más compleja sea

la señal de información, se requiere más amplitud de banda para transportarla en

determinado tiempo. Se requieren unos 3 kHz de amplitud de banda para transmitir

las señales telefónicas con calidad de voz. En contraste, se asignan 200 kHz de

ancho de banda a la transmisión comercial de FM para música, con alta fidelidad, y

se requieren casi 6 MHz de ancho de banda para emitir señales de televisión de alta

calidad. C. E. Shannon (también de Bell Telephone Laboratories) publicó en 1948

un trabajo en el Bell System Technical Journal, donde relacionó la capacidad de

información de un canal de comunicaciones, en bits por segundo (bps), con el ancho

de banda y la relación de señal a ruido. La expresión matemática del límite de

Shannon de capacidad de información es

Es decir:

Dónde:

I = capacidad de información (bits por segundo)

B = ancho de banda (hertz)

S/N = relación de potencia de señal a ruido (sin unidad)

Para un canal normal de comunicaciones en banda de voz, con una relación

de potencias de señal a ruido de 1000 (30 dB) y un ancho de banda de 2.7 kHz, el

límite de Shannon de capacidad de información es

I = 2700 log2 (1 + 1000) = 26.9 kbps

Con frecuencia se entiende mal la fórmula de Shannon. Los resultados del

ejemplo anterior indican que se pueden transferir 26.9 kbps a través de un canal de

2.7 kHz. Esto podría ser cierto, pero no se puede hacer en un sistema binario. Para

alcanzar una rapidez de transmisión de información de 26.9 kbps a través de un

canal de 2.7 kHz, cada símbolo que se transfiera debe contener más de un bit de

información. Por consiguiente, para llegar al límite de Shannon de capacidad de

información, se deben usar sistemas digitales de transmisión que tengan más de

dos condiciones (símbolos) de salida.

La ecuación 1-4a se puede reordenar para usarla en la determinación de

cuánto ancho de banda se requiere para propagar determinada cantidad de datos

por un sistema.

Dónde:

I = capacidad de información (bits por segundo)

B = ancho de banda (hertz)

S/N = relación de potencia de señal a ruido (sin unidad)

Factor de calidad Q

Los circuitos series se usan para responder

selectivamente a señales de una frecuencia dada,

mientras discrimina contra las señales de

frecuencias diferentes. Decimos de un circuito que

tiene mayor selectividad cuando la selección del

pico de la frecuencia elegida, se produce dentro

de una franja de frecuencias mas estrecha. El

"factor de calidad" Q como se describe mas abajo,

es una medida de esa selectividad y decimos que

un circuito tiene una "calidad alta", si su frecuencia

de resonancia se selecciona mas estrechamente.

La selección de las estaciones de radio AM en los receptores de radio, es un

ejemplo de la aplicación de la resonancia en los circuitos. La selectividad de la

sintonización debe ser suficientemente alta, para poder discriminar a las estaciones

de radio, que emitan con unas frecuencias de la señal portadora por encima y por

debajo de la seleccionada, pero no tanto como para discriminar en los casos de

modulación de amplitud a las "bandas laterales" creadas en la imposición de la señal

emitida sobre la portadora.

La selectividad de un circuito depende de la cantidad de resistencia del

circuito. A la derecha se muestran las variaciones en un circuito serie resonante,

basadas en un ejemplo de Serway & Beichner. Cuanto menor resistencia, mayor

será el "Q" para unos determinados valores de L y C. El circuito resonante paralelo

se usa mas comunmente en electrónica, pero el álgebra necesario para determinar

la frecuencia de resonancia es bastante mas complicado.

La ilustración de la izquierda muestra la disipación de potencia en función de

la frecuencia, usando los mismos parámetros del circuito. Puesto que esta potencia

depende del cuadrado de la corriente, esta curva de resonancia aparece mas

pronunciada y mas estrecha, que los picos de resonancia en el ejemplo de la

corriente de arriba. El factor de calidad Q se define por:

Q = ω0 / Δω

Donde Δω es el ancho de la curva de potencia resonante a la mitad de su

valor máximo.

Puesto que ese ancho resulta ser Δω =R/L, el valor de Q también se puede

expresar como

Q = ω0L / R

El parámetro Q, se usa normalmente en electrónica, con valores que oscilan

en el rango de Q=10 a 100 en aplicaciones de circuitos.

PASABANDA DE SEGUNDO ORDEN.

A partir de la función bicuadrática, el filtro pasabanda de segundo orden

corresponde a los datos: 0 1 0 b2 = b1 = b0 = 0. Lo anterior significa que la función

de transferencia tiene dos polos finitos y un cero de transmisión en cero. Así las

cosas, la función de transferencia se puede escribir en su forma canónica, así:

Una manera más adecuada para escribir la función de transferencia es:

En la expresión anterior:

B = es el ancho de banda

ω0 =es la frecuencia central

El factor de calidad del circuito es:

Una de las topologías más usadas para el diseño de filtros pasaaltas es la mostrada

en la figura 5.10 y se conoce como topología Sallen and Key.

Al aplicar las leyes de Kirchhoff resultan las ecuaciones:

Resolviendo el sistema, resulta la función de transferencia:

En la expresión anterior se tiene que:

Para diseñar un filtro pasabanda de tipo Butterworth se procede de la siguiente

manera:

Con la información dada se calcula:

El equivalente pasabajas del filtro es:

La función de transferencia a realizar es:

La forma canónica de la función de transferencia es:

Con base en lo presentado previamente se tiene:

Sí se toman los resistores con igual resistencia: R1 = R2 = R3 = R, resulta:

Resulta, en consecuencia, un sistema de tres ecuaciones no lineales así:

Para facilitar la solución del sistema se hacen los cambios de variable:

Así las cosas, el sistema a resolver es:

Sustituyendo la primera en la segunda resulta un sistema de dos ecuaciones con

dos incógnitas:

Eliminando la variable y se obtiene la ecuación cuadrática:

Debe cumplirse que:

Cuando se toma la igualdad se obtiene:

Los resultados son: