Chapter ii

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Schrödinger

Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk

memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan

differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum.

2.2 Persamaan Schrödinger Bebas-waktu

Aplikasi persamaan Schrödinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan

energy potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak merupakan

fungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari waktu ke

waktu, melainkan tertuju pada kemungkinan dia berada dalam selang waktu yang

cukup panjang. Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang, maka

hal itu akan menyederhanakan persoalan. Kita tinjau persamaan Schrodinger kasus

satu dimensi dan menuliskan persamaan gelombang sebagai berikut

+ P (x)

Atau

+ P (x)

Inilah persamaan Schrödinger satu dimensi yang bebas-waktu.

Untuk tiga dimensi persamaan itu menjadi :

2 ∇ , , 0

Perlu kita sadari bahwa adanyan persamaan Schrödinger bebas-waktu

bukanlah berarti bahwa elektron atau partikel yang ingun kita pelajari dengan

mengaplikasikan persamaan ini adalah partikel bebas-waktu. Partikel tersebut

memiliki kecepatan gerak, dan kecepatan adalah turunan terhadap waktu dan posisi.

Oleh karena itu dalam memeberi arti pada penurunan matematis dan persamaan

Schrödinger bebas-waktu, dalam hal-hal tertentu kita perlu mempertimbangkan

masalah waktu, sesuai dengan logika.

(2.2)

(2.3)

(2.1)

Universitas Sumatera Utara

Dengan persamaan Schrödinger bebas-waktu (2.1) atau (2.2) fungsi

gelombang yang dilibatkan dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu,

ψ(x) Dari bentuk gelombang komposit untuk elektron

S(x,t) dengan S(x,t) = ∑

kita mengambil bentuk ψ(x) sebagai ψ(x) A(x)e –jkx, dengan A(x) adalah selubung

paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrödinger.

Persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang dan yang kita maksudkan

adalah gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Mencari solusi

persamaan Schrödinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya

digunakan untuk melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antara

momentum p dan energi E dengan besaran-besaran gelombang (k,ω,f,λ) adalah

p = λ

λ

2.3 Fungsi Gelombang

Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial parsial dengan adalah

fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa

Adalah probabilitas keberadaan elektron pada waktu tertentu dengan volume dx, dy,

dz di sekitar titik (x,y,z), * adalah konjugat dari . Jadi persamaan Schrödinger tidak

menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan

ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak mengatakan secara pasti

bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum

elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.

(2.5)

(2.4)


Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang.

∆ / Dan

∆ / Maka

∆ /

Apa yang berada dalam tanda kurung pada (2.9) adalah selubung paket gelombang

yang merupakan fungsi x sedangkan A0 memiliki nilai konstan. Jadi selubung paket

gelombang itulah yang menentukan probabilitas keberadaan partikel.

Persyaratan Fungsi Gelombang, Fungsi gelombang (x) hasil solusi persamaan

Schrödinger mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut.

• Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu

fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi 1

• Fungsi gelombang (x), harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinyuan hal

itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat

diterima.

• Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, d / dx, juga harus kontinyu. Kita

telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan

momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat

diartikan sebagai persyaratan kekontinyuan momentum.

• Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berarti

ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.

• Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi sebab

kemungkinan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.(Kamal Singh,2006)

(2.6)

(2.7)

(2.8)


2.4 Probabilitas dan Normalisasi

Fungsi gelombang ψ(x) menyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang

gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas. Masalah yang muncul

ketika hendak menafsirkan amplitudonya. Apakah yang dinyatakan oleh amplitudo

ψ(x) dan variabel fisika apakah yang bergetar? Ini merupakan suatu jenis gelombang

yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan

partikelnya pada suatu titik tertentu. Dimana |ψ(x)|2 dx memberikan probabilitas

untuk menemukan partikel dalam selang dx di x. Rapat probabilitas P(x) terhadap

ψ(x) menurut persamaan Schrödinger sebagai berikut:

P(x)dx=|ψ(x)|2dx (2.9)

Tafsiran |ψ(x)|2 ini membantu memahami persyaratan kontinu ψ(x), walaupun

amplitudonya berubah secara tidak jelas dan kontinu. Probabilitas untuk menemukan

partikel antara x1 dan x2 adalah jumlah semua probabilitas P(x)dx dalam selang antara

x1 dan x 2 adalah sebagai berikut:

∫∫ =2

1

22

1

)()(x

x

x

x

dxxdxxP ψ

(2.10)

Dari aturan ini, maka probabilitas untuk menemukan partikel disuatu titik sepanjang

sumbu x, adalah 100 persen, sehingga berlaku:

1)( 2 =∫+∞

∞−

dxxψ

(2.11)

Persamaan (2.12) dikenal dengan syarat Normalisasi, yang menunjukkkan

bagaimana mendapatkan tetapan A. Dimana tetapan A tidak dapat ditentukan dari

persamaan Differensialnya. Sebuah fungsi gelombang yang tetapan pengalinya

ditentukan dari persamaan (2.12) disebut ternormalisasikan. Hanyalah fungsi

gelombang yang ternomalisasi secara tepat, yang dapat digunakan untuk melakukan

semua perhitungan yang mempunyai makna fisika. Jika normalisasinya telah

dilakukan secara tepat, maka persamaan (2.12) akan selalu menghasilkan suatu

probabilitas yang terletak antara 0 dan 1.

Setiap pemecahan persamaan Schrödinger yang menghasilkan |ψ(x)|2 bernilai

tak hingga, harus dikesampingkan. Karena tidak pernah terdapat probabilitas tak

hingga untuk menemukan partikel pada titik manapun. Maka harus


m

sa

di

sy

ak

di

p

m

p

se

ra

2

D

m

2

b

d

en

y

m

b

p

mengesampin

ama dengan

ifferensial m

yaratnya A

kan menjad

ibatasi dalam

emecahanny

Kedud

menjamin kep

ada keduduk

etiap kooord

ata-rata hasil

.5 Penerap

Persam

Dimana pem

memberikan i

.5.1. Pada p

Yang

ergerak tanp

dV(x) / dx = 0

nergi potens

Partik

ang mengak

mekanika k

ergantung w

ersamaan (2

2

2

m−h

ngkan suatu

n nol. Seba

menghasilka

= 0 agar pe

di tak hingg

m selang 0

ya berlaku p

dukan suatu

pastian hasil

kannnya. N

dinat, maka d

l dari sejuml

pan Persam

maan Schrö

mecahan pe

informasi te

partikel Beb

dimaksud

pa dipengaru

0 sehingga m

silnya nol.

kel bebas dal

kibatkan en

kuantum da

waktu. Persa

2.13) berikut

)(2

2

Vx

x ψψ+

∂∂

u pemecaha

gai contoh, j

an ψ(x) = A

emecahannn

ga untuk x m

0 < x < L, m

pada seluruh

u partikel tid

l suatu kali p

amun jika m

ditemukan h

lah besar pen

aan Schröd

ödinger dapa

ersamaan S

ntang perilak

bas

d dengan “P

uhi gaya ap

menempuh l

lam mekanik

nergi totalny

apat dipeca

amaan Schro

:

()( ExV ψψ =

an dengan

jika pemec

A + B

nya mempun

menuju tak h

maka A tidak

h daerah neg

dak dapat d

pengukuran

menghitung

asil yang mu

ngukuran be

dinger

at diterapka

chrödinger,

ku gelomban

Partikel Be

papun dalam

lintasan luru

ka klasik ber

ya jadi kon

ahkan deng

odinger pada

)(x

mengemba

cahan matem

bagi selu

nyai makna

hingga ( Teta

k boleh sama

gatif sumbu x

dipastikan,da

suatu besara

probabilitas

ungkin dari p

erkali-kali (E

an dalam be

yang dise

ng dari parti

ebas” adalah

m suatu ba

us dengan ke

rgerak denga

nstan. Tetap

gan persam

a partikel be

alikan faktor

matika bagi

uruh daerah

fisika. Jika

api jika pe

a dengan nol

x < 0, maka

alam hal in

an fisika yan

s yang berk

pengukuran

Eisberg,1970

erbagai pers

ebut fungsi

ikel.

h sebuah p

agian ruang,

elajuan konst

an momentu

pi partikel

maan Schröd

ebas dapat d

r pengaliny

i persamaa

x > 0 , mak

tidak |ψ(x)

emecahanny

l). Tetapi jik

a B = 0.

i tidak dapa

ng bergantun

kaitan denga

satu kali ata

0).

soalan fisika

gelombang

partikel yan

yaitu, F =

tan. Sehingg

um konstan P

bebas dalam

dinger tida

diperoleh da

(2.12)

ya

an

ka

)|

ya

ka

at

ng

an

au

a.

g,

ng

-

ga

P,

m

ak

ri


Untuk partikel bebas V = 0, maka persamaannya menjadi

)()(2 2

22

xEx

xm

ψψ=

∂∂

−h (2.13)

atau

2

2 )(x

x∂

∂ ψ=

2

2h

m )(xEψ (2.14)

Atau:

0)(2)(22

2

=+∂

∂ xmEx

x ψψh (2.15)

Karena:

22 2

h

mEk = atau mkE

2

22h= (2.16)

Dengan demikian diperoleh:

)()( 22

2

xkx

xψ

ψ−=

∂∂

(2.17)

0)()( 2

2

2

=+∂

∂ xkx

xψ

ψ (2.18)

Persamaan (2.19) adalah bentuk umum dari persamaan differensial biasa berorde dua,

dengan k2 adalah positif, dimana ψ(x) merupakan kuantitas kompleks yang memiliki

bagian real (nyata) dan bagian imajiner,Maka :

0)()( 22

2

=+∂

∂ xkx

x ψψ (2.19)

Maka didapatkan

ψ(x)=Asinkx+ B cos kx (2.20)

Pemecahan ini tidak memberikan batasan pada k, maka partikel yang

diperkenankan memiliki semua nilai (dalam istilah kuantum, bahwa energinya tidak

terkuantisasi). Sedangkan penentuan nilai A dan B mengalami beberapa kesulitan,


karena integral normalisasi tidak dapat dihitung dari -∞ hingga +∞ , bagi fungsi

gelombang itu. (Krane, 1992).

2.5.2. Partikel dalam sumur potensial

Sumur Potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Hal

ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial, merupakan electron

bebas. Kita katakan bahwa electron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap

bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju ∞, atau kita katakan sumur potensial

sangat dalam. Dalam gambar (2.1) berikut kita akan menggambarkan sumur

potensial. Daerah I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan V= ∞, Sedangkan di

daerah II, yaitu antara 0 dan L, V= . Kita katakan bahwa lebar sumur potensial ini

adalah L.

V(x) = 0, 0 ≤ x ≤ L

V(x) = ∞, x < 0, x > L,

I II III

Ep=∞ Ep= 0 Ep=∞

Ψ1 Ψ2 Ψ3

Gambar 2.1 Partikel dalam sumur potensial daerah II

Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana

kemungkinan berada elektron bisa dianggap nol, Ψ1(x) = 0 dan Ψ2(x) = 0.

Sedangkan pada daerah dua Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel

dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x

= 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak

akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap

konstan.

Dari per nyataan tersebut maka energi potensial V dari partikel itu menjadi tak

hingga di kedua sisi sumur, sedangkan V konstan di dalam sumur, dapat dikatakan V

= 0 seperti yang terlihat pada gambar (2.1) di atas. Karena partikel tidak bisa

memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar sumur,

sehingga fungsi gelombang ψ = 0 untuk 0 ≤ x ≤ L. Maka yang perlu dicari adalah


nilai ψ di dalam sumur, yaitu antara x = 0 dan x = L . Persamaan Schrodinger bebas

waktu adalah :

(2.21)

Dengan

(2.22)

Dimana

(2.23)

Sesuai dengan persamaan gelombang maka :

ψ(x)=Asinkx+B coskx (2.24)

Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nilai A dan B, juga

belum menghitung nilai energi E yang diperkenankan. Untuk menghitungnya, akan

diterapkan persyaratan bahwa ψ(x) harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang.

Dalam hal ini, akan dibuat syarat bahwa pemecahan untuk x < 0 dan x > 0 bernilai

sama di x = 0. Begitu pula pemecahan untuk x > L dan x < L haruslah bernilai sama

di x = L. Jika x = 0, Untuk x < 0 Jadi harus mengambil ψ(x) = 0 pada x = 0.

ψ(0) =Asin 0 + B cos 0

ψ(0) = 0 + B.1 = 0 (2.25)

Jadi,didapat B = 0. Karena ψ =0 untuk x > L, maka haruslah berlaku ψ(L) = 0,

Ψ(L) = AsinkL + Bcos kL = 0 (2.26)

Karena telah didapatkan bahwa B = 0,maka haruslah berlaku:

AsinkL = 0 (2.27)


Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan ψ(x) = 0 dan

ψ2(x) = 0, yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat partikel (Pemecahan tidak

masuk akal) atau sin kL = 0, maka yang benar jika:

kL = π,2π,3π,…… n=1,2,3 …. (2.28)

Dengan:

(2.29)

Dari persamaan (2.28) dan persamaaan (2.29) diperoleh bahwa energi partikel

mempunyai harga tertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini membentuk tingkat

energisitas yaitu:

Dimana energy yang kita tinjau disini berbeda dengan energy Born dimana pada

energy Born menyatakan energy tingkat atomic sedangkan tingkat energy pada

persamaan Schrodinger menyatakan tingkat energy untuk electron.

Fungsi gelombang sebuah partikel didalam sumur yang berenergi En ialah:

(2.31)

Untuk memudahkan E1 =ħ2π2/2mL2, yang mana tampak bahwa unit energi ini

ditentukan oleh massa partikel dan lebar sumur. Maka E = n2E1 dan demikian

partikelnya hanya dapat ditemukan dengan energi E1, 4 E1, 9 E1, 16 E1 dan

seterusnya. Karena dalam kasus ini energi yang diperoleh hanya pada laju tertentu

yang diperkenankan dimiliki partikel. Ini sangat berbeda dengan kasus klasik,

misalnya manik-manik (yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan

menumbuk kedua dinding secara secara elastik) dapat diberi sembarang kecepatan

awal dan akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut.

2

222

2mLnEn

hπ=

xmE

A nn

h

2sin=ψ


Dalam kasus kuantum, hal ini tidaklah mungkin, karena hanya laju awal

tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap, keadaan gerak khusus ini

disebut keadaan stasioner (Disebut keadaan”stasioner”karena ketergantungan pada

waktu yang dilibatkan untuk membuat 2),(),,( txtx ψψ tidak bergantung waktu).

Hasil pengukuran energi sebuah partikel dalam sebuah sumur potensial harus berada

pada salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin. Pemecahan bagi

)(xψ belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan A. Untuk menentukannya,

ditinjau kembali persyaratan normalisasi, yaitu 1)( 2 =∫+∞

∞−

dxxψ . Karena ψ(x)=0,

kecuali untuk 0 ≤ x ≤ Lsehingga berlaku:

.

| | 1 (2.32)

.

Maka diperoleh A = L/2 . Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi

gelombang untuk 0 ≤ x ≤ L adalah:

.

L

xnLn

πψ sin2= n=1,2,3,… (2.33)

.

Dalam gambar 2.2 dan 2.3 akan dilukiskan berbagai tingkat energi, fungsi

gelombang dan rapat probabilitas 2ψ yang mugkin untuk beberapa keadaan

terendah. Keadaan energi terendah, yaitu pada n =1 , dikenal sebagai keadaan dasar

dan keadaan dengan energi yang lebih tinggi (n > 1) dikenal sebagai keadaan eksitasi.


Gambar 2. 2 Tingkat energi dalam sumur secara konstan ( Kamal Sing,2005)

Gambar 2.3 Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial

Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yang

diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n. Nilai diskrit ini terjadi karena

pembatasan yang harus dialami oleh ψ2, yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur

potensial. Ia harus bernilai nol di batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi

bila lebar sumur potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang

gelombang. Jika tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama,

maka tingkat energi yang kedua pada n = 2, tingkat energi yang ketiga pada n = 3 dan

seterusnya.Jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya, dapat kita katakan bahwa

tingkat-tingkat energi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang. Dengan


demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui Pemecahan

persamaan Schödinger.

Persamaan (2.30) memperlihatkan bahwa selisih energy antara satu tingkat

dengan tingkat berikutnya, misalnya antara n=1 dan n =2, berbanding terbalik dengan

kuadrat lebar sumur potensial. Makin lebar sumur ini, makin kecil selisih energy

tersebut, artinya tingkat-tingkat energy semakin rapat. Untuk L sama dengan satu

satuan misalnya, selisih energy untuk n=2 dan n=1 adalah E2- E1 = 3ћ2 / 8m dan jika

L 10 kali lebih lebar maka selisih ini menjadi E2 – E1 = 0.03ћ2/8m.

Gambar 2.4. Pengaruh lebar sumur terhadap energy

Jadi makin besar L maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan semakin

kecil dan untuk L semakin lebar maka tingkat-tingkat energy tersebut akan semakin

rapat sehingga mendekati kontinyu.( Neuredine Zettili, 2009)

(a) (b)


2.6 Pemrograman dengan Mathematica 7

Mathematica merupakan perangkat lunak yang diproduksi dan dikembangkan

oleh Wolfram Research, Inc. Pendiri dan presiden perusahaan tersebut adalah Stephen

Wolfram, P.hD. Beliau adalah fisikawan di bidang fisika teoritis dan berkebangsaan

Inggris. Mathematica dapat digunakan untuk aplikasi matematika, ilmu pengetahuan,

teknologi, bisnis dan aplikasi lainnya.

Pada Penelitian ini, program lebih banyak dibuat dengan menggunakan

perintah-perintah berikut ini

1. Graphics: perintah untuk menampilkan grafik dua dimensi berdasarkan data yang

diberikan.

Sintaks umumnya: Graphics[primitives,options].

2. Manipulate: perintah untuk memanipulasi secara interaktif ekspresi-ekspresi program,

grafik dan objek lainnya.

Sintaks umumnya: Manipulate[expr,{u,umin,umax}].

3. Module: perintah untuk membuat variabel lokal dengan nama tertentu yang dapat

dipanggil.

Sintaks umumnya: Module[{x,y,…},expr].

4. If: perintah untuk memberikan suatu ekspresi tertentu jika kondisi benar dan ekspresi

lainnya jika kondisi salah.

Sintaks umumnya: If[condition,t,f].

5. ListLinePlot: perintah untuk memplot grafik linier dua dimensi berdasarkan pasangan

data yang telah ditentukan.

Sintaks umumnya: ListLinePlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}].

Untuk informasi yang lebih mendetail tentang Mathematica dapat melihatnya di situs

resmi Wolfram (www.wolfram.com).


Chapter ii

Documents

Transcript of Chapter ii