Buku Panduan Belajar Matematika DiskritSTMIK TRIGUNA DHARMABAB VIQUANTIFIER (KUANTOR) DAN INDUKSI MATEMATIKA5.1 Bilangan AsliHimpunan bilangan asli (natural numbers) biasa diberikan dengan bentuk: = {1,2,3, K }Berikut ini beberapa definisi dari bilngan asli:Definisi 5.1 Himpunan bilangan asli didefinisikan oleh empat kondisi berikut ini:1 . Jika n , maka bilangan n+ 1, disebut successor dari n, yang juga merupakan anggota dari .(3) Setiap n selain 1 adalah successor dari suatu bilangan di .Setiap himpunan bilangan asli yang tak-kosong dari (subset) selalu mempunyai anggota terkecil. Kondisi (4) disebut juga dengan sifat terurut dengan baik (Well-ordering property).5.2 Kuantor PernyataanMisalkan P(x) adalah pernyataan yang menyangkut variabel x dan D adalahsebuah himpunan, maka P adalah fungsi proposisi jika untuk setiap xD, berlaku P(x) adalah sebuah proposisi.Contoh 5.1Misalkan P(x) merupakan pernyataan :x adalah sebuah bilangan bulat genap.Misalkan D = himpunan bilangan bulat positif Maka fungsi proposisi P(x) dapat ditulis:jika x = 1 maka proposisinyaadalah bilangan bulat genap. (F) jika x = 2 maka proposisinya adalah bilangan bulat genap. (T) dst. Langkah Pasti Menuju Sukses65Buku Panduan Belajar Matematika DiskritSTMIK TRIGUNA DHARMAUntuk menyatakan kuantitas suatu objek dalam proposisi tersebut digunakan notasi-notasi yang disebut kuantor.Macam-macam Kuantor Untuk setiap x, P(x) disebut kuantor universal Simbol: Untuk beberapa x, P(x) disebut kuantor eksistensial Simbol: Contoh 5.2Misalkan x himpunan warga negara Indonesia,P predikat membayar pajak, R predikat membeli Ms Word,Maka:x,P(x) artinya: semua warga negara membayar pajak x,R(x), P(x) artinya: ada beberapa warga negara membeli Ms word membayar pajak x,R(x)P(x) artinya: semua warga negara jika membeli ms word maka membayar pajak x,R(x) ~P(x) artinya: ada warga negara membeli ms word dan tidak membayar pajak Negasi Kuantor Negasi dari untuk setiap () adalah untuk beberapa/ada (). Dinotasikan dengan:~x = xNegasi dari untuk beberapa () adalah untuk setiap (). Dinotasikan dengan: ~x = xSehingga:~(x,P(x)) = x,P(x) ~(x,P(x)) = x,P(x)~(x,P(x)Q(x)) = x,( P(x) Q(x)) = x, P(x) Q(x)Langkah Pasti Menuju Sukses66Buku Panduan Belajar Matematika DiskritContoh 5.3Negasikan pernyataan berikut:x,P(x) y,Q(y)Penyelesaian:( " x , P ( x ) $y , Q ( y )) $ x , P ( x ) "y , Q ( y ) STMIK TRIGUNA DHARMA5.3 Prinsip Induksi MatematikaInduksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. Pembuktian dalam matematika menggunakan prinsip sifat bilangan asli. Secara formal induksi matematika ini dapat didefinisikan sebagai berikut.Definisi 5.2 Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang dapat bernilai benar atau salah. MisalkanP(1) benar. Jika P(n) benar, maka P(n+1) juga benar. Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Langkah 1 disebut dengan Langkah Dasar, sedangkah Langkah 2 disebut denganLangkah Induksi.Jika pada Langkah Induksi yang diasumsikan adalah pernyataan P(i) benar untuk setiap bilangan i n , maka perumusan induksi matematika seperti ini disebut dengan Bentuk Kuat Induksi Matematika.5.4Langkah-langkah dalam Induksi MatematikaLangkah-langkah dalam induksi matematika adalah :Langkah Dasar. Dibuktikan kebenarannya untuk n n0{1}, yaitu bahwa persamaan terbukti benar untuk n = 1. Sebagai basis dapat diambil n = 1 dengan syarat n 1 (n terendah = 1). Langkah induksi Dianggap benar untuk n = k, kemudian dibuktikan kebenarannya untuk n = (k +1), jika terbukti maka akan benar untuk setiap n. Langkah Pasti Menuju Sukses67Buku Panduan Belajar Matematika DiskritContoh 5.4 STMIK TRIGUNA DHARMABuktikan bahwa jumlah n bilangan asli pertama yaitu 1+2++n adalah sama dengan n ( n2+ 1) .PenyelesaianUntuk membuktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:Langkah dasar. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah 1(1 2+ 1) =1. Jadi pernyataan tersebut adalah benar untuk n = 1. Langkah induksi. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1. Hal ini dapat dilakukan dengan cara: Mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk untuk n = k, yaitu 1 + 2 + L + k =k ( k + 1)2 Menambahkan k + 1 pada kedua ruas, yaitu:1 + 2 + L + k + ( k + 1) = k ( k2+ 1) + ( k + 1) Dengan manipulasi aljabar, diperoleh:k(k + 1)+ ( k + 1)=k (k + 1) +2(k + 1)222=(k + 1)(k + 2)2= (k + 1)((k + 1) + 1)2 Dengan demikian1 + 2 + L + k + ( k + 1)=( k + 1)(( k + 1) + 1)2Jadi, pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1. Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli n. Langkah Pasti Menuju Sukses68Buku Panduan Belajar Matematika DiskritSTMIK TRIGUNA DHARMAContoh 5.5Tunjukkan bahwa 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n ( n + 1)(2 n + 1), n 16Penyelesaian :(1) Langkah dasarn = n0 = 112 = 1(11)(2.11) 6 1 terbukti benar66(2) Langkah induksiDiasumsikan benar untuk n = kArtinya : 12 + 22 + 32 + .+ k2 = k ( k + 1)(2 k + 1)6Dibuktikan kebenarannya untuk n = k + 1, artinya:12 + 2 2 + L + k 2 + ( k + 1)2 =( k + 1)(( k + 1) + 1)(2( k + 1) + 1)6=( k + 1)( k + 2)(2 k + 3)6Menurut asumsi untuk n = k pernyataan bernilai benar yaitu:12 + 2 2 + L + k 2 = k ( k + 1)(2 k + 1)6Sehingga:12 + 2 2 + L + k 2 + ( k + 1)2 = (12 + 2 2 + L + k 2 ) + ( k + 1)2=k (k + 1)(2k + 1) + ( k + 1)26=k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)26= (k + 1)(k(2k + 1) + 6(k + 1))6=(k + 1)(2k2 + 7 k + 6)6=(k + 1)(k + 2)(2k + 3) terbukti kebenarannya6Langkah Pasti Menuju Sukses69Buku Panduan Belajar Matematika DiskritSTMIK TRIGUNA DHARMAContoh 5.6Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa n! 2n- 1untuk setiap n = 1, 2,Penyelesaian :Akan ditunjukkan bahwa n! 2n- 1 benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa 1!= 1 1 = 2 0 = 21- 1 Asumsikan bahwa n! 2n- 1 benar untuk n = k . Akan ditunjukkan bahwa n! 2n- 1 juga benar untuk n = k + 1, yaitu ( k + 1) 2( k + 1)- 1( k + 1)! = ( k + 1)( k !)( k + 1)(2 k - 1 ) 2.2k- 1 21+ ( k - 1) 2( k + 1)- 1 Terbukti bahwa ( k + 1) 2( k + 1)- 1 . Dari kedua langkah di atas, maka dapat disimpulkan bahwa n! 2n- 1 untuk setiap n = 1, 2,Latihan1. Negasikan pernyataan berikut:(a) x,P(x)y,Q(y) (b) x,y,[P(x)Q(y)]Buktikan bahwa jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama yaitu 1+3+5++n adalah sama dengan n2 Tunjukkan bahwa n< 2n untuk setiap n = 1, 2, Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5 n - 1 dapat dibagi 4 untuk setiap n = 1, 2, Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 3n > n3 untuk setiap n> 3Langkah Pasti Menuju Sukses70Buku Panduan Belajar Matematika DiskritSTMIK TRIGUNA DHARMAGunakan induksi matematika untuk membuktikan persamaan ini benar untuk setiap bilangan asli n. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1)=n ( n + 1)( n + 2)3Gunakan induksi matematika untuk membuktikan persamaan ini benar untuk setiap bilangan asli n. 1.(1!) + 2.(2!) + ... + n ( n !) = ( n + 1)!- 1Gunakan induksi matematika untuk membuktikan pertidaksamaan berikut ini. 2 n + 1 2n , untuk n = 3, 4, ... Gunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan berikut ini. 11n - 6 habis dibagi 5, untuk n = 1, 2, ... Langkah Pasti Menuju Sukses71