Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara...

55
Chapter 2 Turunan 1

Transcript of Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara...

Page 1: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Chapter 2

Turunan

1

Page 2: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

2.1 Turunan

2

Page 3: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Mengapa Turunan Penting?

Kalkulus adalah matematika tentang perubahan, dan alatutama untuk mempelajari perubahan adalah turunan.

Kita akan mempelajari turunan dan beberapa aplikasinya, terutama dalam menghitung laju perubahan.

Laju perubahan, seperti kecepatan, percepatan, lajupertumbuhan populasi, dan banyak lagi yang lain, secaramatematis dideskripsikan dengan turunan.

3

Page 4: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Ilustrasi

Jika gaya gesek dengan udara diabaikan, suatu objek yang dijatuhkan daritempat yang tinggi akan jatuh sejauh 𝑠 𝑡 = 16𝑡2 kaki dalam 𝑡 detik.

Berapakah kecepatan sesaat objek tersebut setelah 𝑡 = 2 detik?

Kecepatan rata-rata dari 𝑠(𝑡) pada selang [2,2 + ℎ] adalah

Menghitung kecepatan saat dengan memandang limit berikut

Artinya, setelah 2 detik, objek tersebut bergerak dengan laju 64 kaki per detik.

4

hh

h

h

shsVave

1664)2(16)2(16

2)2(

)2()2(

timeelapsed

traveleddistance

22

+=−+

=

−+

−+==

64)1664(limlim00

=+==→→

hVVh

aveh

ins

Page 5: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

5

Laju Perubahan

Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat 𝑓(𝑥)pada 𝑥 = 𝑐?

Tentukan laju perubahan rata-rata 𝑓(𝑥) pada saat 𝑥berubah dari 𝑥 = 𝑐 ke 𝑥 = 𝑐 + ℎ

h

cfhcf

chc

cfhcf

x

xfrateave

)()(

)(

)()()( −+=

−+

−+=

=

Hitung laju perubahan 𝑓(𝑥) pada 𝑥 = 𝑐 denganmenghitung limit laju perubahan rata-rata pada saatℎ menuju 0.

h

cfhcf

chc

cfhcf

x

xfrateave

)()(

)(

)()()( −+=

−+

−+=

=

Page 6: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

6

Laju Perubahan Fungsi Linear

Fungsi linear 𝑦(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 berubah dengan laju konstan𝑚. Artinya laju perubahan 𝑦(𝑥) diberikan oleh kemiringanatau gradien garis tersebut.

12

12

x in change

y in change

change of rateSlope

xx

yy

x

y

−=

=

=

=

Page 7: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

7

Laju Perubahan Fungsi Tak Linear

Untuk fungsi yang tidaklinear, laju perubahan tidakkonstan tapi bergantungpada nilai 𝑥.Laju perubahan pada 𝑥 = 𝑐diberikan oleh kemiringan(gradien) grafik 𝑓(𝑥) pada titik 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)), yang dihitung sebagai kemiringangaris singgung pada grafik di titik 𝑃.

Page 8: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

8

Kemiringan Garis SecanGaris secan adalah garis yang memotong grafik fungsi 𝑓 pada

titik (𝑥, 𝑓(𝑥)) dan (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)).

Laju perubahan rata-rata dapat dipandang sebagai kemiringangaris secan dari titik (𝑥, 𝑓(𝑥)) ke titik (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)).

Page 9: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

9

TurunanLaju perubahan rata-rata untuk fungsi 𝑓(𝑥) adalah

Turunan fungsi 𝑓(𝑥) terhadap variabel 𝑥 adalah fungsi𝑓’(𝑥) yang diberikan oleh

Proses menghitung turunan disebut penurunan. 𝑓(𝑥)dikatakan dapat diturunkan pada 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓’(𝑐) ada.

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

−+=

h

xfhxf )()( −+

Page 10: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

10

Tentukan turunan dari 35162)( 2 +−= xxxf

Page 11: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

11

Kemiringan sebagai Turunan: Kemiringan darigaris singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada titik (𝑐, 𝑓(𝑐))adalah

Laju Perubahan Sesaat sebagai Turunan: Lajuperubahan 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥 pada saat 𝑥 = 𝑐diberikan oleh 𝑓’ 𝑐 .

)(tan cfm =

Contoh.

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 𝑦 =𝑥 pada titik di mana 𝑥 = 4?

Page 12: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

12

Suatu pabrik menemukan bahwa jika 𝑥 ribu unit komoditasdiproduksi, maka keuntungan yang diperoleh adalah

dolar. Berapakah laju perubahan profit terhadap tingkat produksi𝑥 pada saat diproduksi 9 ribu unit?

120006800400)( 2 −+−= xxxp

Page 13: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Makna Tanda Turunan

13

Jika 𝑓 dapat diturunkan pada 𝑥 = 𝑐, maka

𝑓 akan naik pada 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓’(𝑐) > 0 dan

𝑓 turun pada 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓’(𝑐) < 0.

Page 14: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

14

Notasi Lain dari Turunan

Untuk fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥), semua notasi berikutmerepresentasikan turunan dari 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥.

Jika ingin dievaluasi turunan pada 𝑥 = 𝑎, semua notasiberikut ekivalen.

Page 15: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

15

Turunan dan Kekontinuan

Jika fungsi 𝑓(𝑥) dapat diturunkan di 𝑥 = 𝑐, maka 𝑓 juga kontinu di 𝑥 = 𝑐.

Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak memiliki turunan.

Keempat fungsi ini tidak dapat diturunkan pada 𝑥 = 0.

Page 16: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

2.2 Teknik Penurunan

16

Page 17: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

17

Untuk konstanta 𝑐,

0=cdx

d

Karena 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑐 untuksemua 𝑥,

0lim)()(

lim)(00

=−

=−+

=→→ h

cc

h

xfhxfxf

hh

Aturan Fungsi Konstan

Page 18: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Aturan Pangkat

Contoh.

18

Untuk 𝑛 bilangan real,1][ −= nn nxx

dx

d

2

1

2

1

23

2

1)()(

3)(

==

=

xxdx

dx

dx

d

xxdx

d

Page 19: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Aturan Perkalian Konstan

19

Jika 𝑐 suatu konstanta dan 𝑓(𝑥) dapat diturunkan, maka demikian juga dengan 𝑐𝑓(𝑥) dan

)()( xfdx

dcxcf

dx

d=

3344 12)4(3)(3)3( xxxdx

dx

dx

d===

2/32/32/1

2

7)

2

1(7)7()

7( −−− =−−=−=−

xxxdx

d

xdx

d

Contoh.

Page 20: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Aturan Penjumlahan

20

Jika 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat diturunkan, maka jumlah 𝑠(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) juga dapat diturunkan dan

)]([)]([)]()([ xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d+=+

3322 20)(2)7()()7( −−−− −=+−=+=+ xxdx

dx

dx

dx

dx

d

84

847575

2110

)7(3)5(2)(3)(2)32(

−−−

+=

−−=−+=−

xx

xxxdx

dx

dx

dxx

dx

d

Contoh.

Page 21: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

21

1. Tentukan persamaan garis singgung dari kurvapada 𝑥 = 16.

2. Diperkirakan bahwa 𝑥 bulan dari sekarang, populasi dari suatukomunitas ditentukan oleh

a. Berapakah laju perubahan populasi terhadap waktu 15 bulandari sekarang?

b. Berapakah perubahan populasi sebenarnya pada bulan ke-16?

xxxf 84)( −=

800020)(2 ++= xxxp

Page 22: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

22

Laju perubahan relatif dari 𝑄(𝑥) terhadap 𝑥 diberikanoleh

Persentase laju perubahan dari 𝑄(𝑥)terhadap 𝑥 adalah

Q

dxdQ

xQ

xQ

Q(x)

/

)(

)(

of change

of rate Relative=

=

)(

)(100

)( of change of

rate Percentage

xQ

xQ

xQ

=

Laju Perubahan Relatif dan Persentase Laju Perubahan

Page 23: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

23

Gross domestic product (GDP) dari suatu negara pada 𝑡 tahunsetelah 1995 adalah milyar dolar.

a. Berapakah laju perubahan GDP terhadap waktu pada tahun2005?

b. Berapakah persentase laju perubahan GDP terhadap waktupada tahun 2005?

1065)( 2 ++= tttN

Page 24: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

24

Misalkan , carilah semua nilai 𝑥 di mana 𝑝’(𝑥) > 0, 𝑝’(𝑥) = 0, atau 𝑝’(𝑥) < 0.

51232)( 23 +−−= xxxxp

Page 25: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Pergerakan Sepanjang Garis

25

Jika posisi objek yang bergerak sepanjang garis lurus pada saat 𝑡 diberikan oleh 𝑠(𝑡), maka objek tersebut memilikikecepatan 𝑣(𝑡) = 𝑠’(𝑡) dan percepatan 𝑎(𝑡) = 𝑣’(𝑡).

Objek bergerak maju ketika 𝑣(𝑡) > 0, mundur ketika 𝑣(𝑡) <0, dan tidak bergerak ketika 𝑣(𝑡) = 0. Objek bergeraksemakin cepat ketika 𝑎(𝑡) > 0 dan bergerak semakinlambat ketika 𝑎(𝑡) < 0.

Page 26: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

26

Posisi suatu objek yang bergerak sepanjang garis lurus pada saat𝑡 adalah

a.Tentukan kecepatan objek dan diskusikan pergerakan di antara

𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4.

b.Tentukan jarak total yang ditempuh objek di antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4.

c.Tentukan percepatan objek dan tentukan saat di mana objekbergerak dipercepat dan diperlambat di antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4.

596)( 23 ++−= tttts

Page 27: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

27

The motion of an object:

596)(23 ++−= tttts

Interval Sign

of v(t)

Description

of Motion

0<t<1 +

Advancing

from s(0)=5 to s(1)=9

1<t<3 -

Retreating

from s(1)=9 to s(3)=5

3<t<4 +

Advancing

from s(3)=5 to s(4)=9

Page 28: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

2.3 Aturan Perkalian dan Pembagian,Turunan Tingkat Tinggi

28

Page 29: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

29

Turunan dari hasil kali dua fungsi bukanlah hasil kali dariturunan masing-masing fungsi! Hal serupa juga terjadi pada pembagian.

Aturan Perkalian dan Pembagian

Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥3 and 𝑔(𝑥) = 𝑥6.

Page 30: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Aturan Perkalian

30

Jika dua fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat diturunkan di 𝑥, makaturunan dari f(x)g(x) adalah

atau,

)]([)()]([)()()( xfdx

dxgxg

dx

dxfxgxf

dx

d+=

fggffg +=)(

Contoh.

Gunakan aturan perkalian untuk memperoleh turunan dari

)2( 23 2 xxxy −=

Page 31: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

31

Suatu produsen menemukan bahwa 𝑡 bulan setelah suatuproduk diperkenalkan ke pasar, 𝑥 𝑡 = 𝑡2 + 3𝑡 ratus unit

dapat diproduksi dan dijual dengan harga 𝑝 𝑡 = −2𝑡 Τ3 2 + 30dolar per unit.

a. Nyatakan penghasilan 𝑅(𝑡) dari produk ini sebagai fungsidari waktu.

b. Berapakah laju perubahan penghasilan terhadap waktusetelah 4 bulan? Apakah penghasil naik atau turun pada saat itu?

Page 32: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Aturan Pembagian

32

Jika dua fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat diturunkan di 𝑥, maka turunandari 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) diberikan oleh

atau,

0)( if )(

)]([)()]([)(

])(

)([

2

= xgxg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d

2

''')(

g

fggf

g

f −=

Contoh.

Gunakan aturan pembagian untuk memperoleh turunan dari

22 )2(

15

)2(

)1)(93()2(3)(

zz

zzzW

−=

−+−−=

Page 33: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Gunakan Aturan yang MempermudahPerhitungan!

33

Turunkan fungsix

xx

xy

1

5

4

33

22

+++−=

Page 34: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

34

Turunan KeduaDalam berbagai aplikasi, kadang perlu dihitung laju perubahan darifungsi yang sudah merupakan laju perubahan.

Sebagai contoh, percepatan adalah laju perubahan kecepatanterhadap waktu.

Turunan kedua dari suatu fungsi adalah turunan dari turunan fungsitersebut. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥), turunan kedua dari 𝑓 dinotasikan sebagai

)(or 2

2

xfdx

yd

Catatan: Turunan 𝑓’(𝑥) disebut sebagai turunan pertama.

Page 35: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Notasi Lain

35

Beberapa notasi untuk turunan kedua.

2

2

)( )(dx

fdxf

dx

dfxf ==

Contoh.

Suatu studi di suatu pabrik mengindikasikan bahwa pekerja yang datang pada Pk. 8:00 akan menghasilkan 𝑄 𝑡 = −𝑡3 + 6𝑡2 +24𝑡 unit produk setelah 𝑡 jam.

a. Hitunglah laju produksi pekerja pada Pk. 11:00.

b. Berapakah laju perubahan dari laju produksi pekerja terhadap

waktu pada Pk. 11:00?

ttttQ 246)( 23 ++−=

Page 36: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Turunan ke-𝑛

36

Untuk suatu bilangan bulat positif 𝑛, turunan ke-𝑛 dari suatu

fungsi diperoleh dengan menurunkan fungsi tersebut berturut-

turut sebanyak 𝑛 kali. Jika fungsi adalah y=f(x), maka turunan

ke-𝑛 dinotasikan sebagai

)(or )( xfdx

yd n

n

n

Example.

Tentukan turunan kelima dari 𝑦 = 1/𝑥

Page 37: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

2.4 Aturan Rantai

37

Page 38: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

38

Ilustrasi

)unitper dollars( output respect towith

cost of change of rate

=

dq

dC

hour)per (units timerespect to with

output of change of rate

=

dt

dq

Misalkan biaya produksi dalam suatu pabrik adalah fungsi dari banyaknya unit yang dihasilkan, yang juga dapat dilihat sebagai fungsi dari waktu operasi pabriktersebut.Jika 𝐶, 𝑞, 𝑡, menotasikan biaya, banyaknya unit yang diproduksi, dan waktu, maka

Hasil kali kedua laju perubahan ini adalah laju perubahan dari biaya terhadapwaktu, yaitu

hour)per (dollars dt

dq

dq

dC

dt

dC=

Page 39: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Aturan Rantai

39

Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) adalah fungsi yang memiliki turunan di 𝑢 dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) memiliki turunan di 𝑥, maka fungsikomposisi 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) juga memiliki turunan di 𝑥dan turunannya diberikan oleh

ataudx

du

du

dy

dx

dy=

)())(( xgxgfdx

dy=

Page 40: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

40

1. Tentukan 𝑑𝑦

𝑑𝑥jika 𝑦 = 𝑥2 + 2

3− 3 𝑥2 + 2

2+ 1.

2. Tentukan turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥3

.

3. Tentukan turunan dari 𝑓(𝑥) =1

1+ 𝑥2+1.

4. Biaya produksi 𝑥 unit suatu komoditas adalah

𝐶 𝑥 =1

3𝑥2 + 4𝑥 + 53 dolar,

dan level produksi setelah 𝑡 jam adalah

𝑥 𝑡 = 0.2𝑡2 + 0.03𝑡 unit.

Berapakah laju perubahan biaya terhadap waktu setelah 4 jam?

Page 41: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

2.5 Analisis Marginal dan Aproksimasi

41

Page 42: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

42

Misalkan 𝐶(𝑥) adalah biaya untuk memproduksi 𝑥 unit suatukomoditas. Jika 𝑥0 unit sedang diproduksi, maka turunan

𝐶′ 𝑥0 = limℎ→0

𝐶 𝑥0 + ℎ − 𝐶(𝑥0)

ℎdisebut biaya marginal dalam memproduksi 𝑥0 unit.Dengan memandang ℎ = 1, turunan ini dapat digunakan untukmengaproksimasi perubahan biaya jika produksi ditambah 1 unit.

𝐶′ 𝑥0 ≈𝐶 𝑥0 + 1 − 𝐶(𝑥0)

1=𝐶 𝑥0 + 1 − 𝐶(𝑥0)

Analisis Marginal

Dalam ekonomi, proses penurunan yang digunakan untukmengaproksimasi perubahan kuantitas yang dihasilkan oleh peningkatan 1 unit dalam produksi disebut analisis marginal.

Page 43: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Biaya Marginal

43

Page 44: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

44

Penghasilan marginal adalah 𝑅′(𝑥0), yang mengaproksimasi𝑅 𝑥0 + 1 − 𝑅(𝑥0), yaitu penghasilan tambahan yang dihasilkan karena penambahan 1 unit.

Penghasilan Marginal dan Keuntungan Marginal

Misalkan 𝑅(𝑥) adalah fungsi penghasilan yang terjadi pada saat 𝑥 unit komoditas diproduksi, dan 𝑃(𝑥) adalah fungsikeuntungan yang bersesuaian. Jika diproduksi 𝑥 = 𝑥0 unit, maka

Keuntungan marginal adalah 𝑃′(𝑥0), yang mengaproksimasi𝑃 𝑥0 + 1 − 𝑃(𝑥0), yaitu penghasilan tambahan yang dihasilkan karena penambahan 1 unit.

Page 45: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

45

Suatu produsen mengestimasi bahwa jika x unit komoditas

diproduksi, biaya produksi adalah 𝐶 𝑥 =1

8𝑥2 + 3𝑥 + 98 dolar, dan

jika seluruh 𝑥 unit terjual maka harga jual adalah 𝑝 𝑥 =1

3(75 − 𝑥)

dolar per unit.

1. Tentukan biaya marginal dan penghasilan marginal.

2. Gunakan biaya marginal untuk mengestimasi biaya produksi unit ke-9.

3. Berapakah biaya sebenarnya untuk memproduksi unit ke-9?

4. Gunakan penghasilan marginal untuk mengestimasi penghasilanyang diperoleh dengan menjual unit ke-9.

5. Berapakah penghasilan sebenarnya yang diperoleh denganmenjual unit ke-9?

Page 46: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Aproksimasi

46

Ingat bahwa 𝑓 ′ 𝑥0 = limℎ→0𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)

ℎ.

Sehingga untuk ℎ yang amat kecil,

𝑓 ′ 𝑥0 ≈𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)

atau

𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 ≈ 𝑓 ′ 𝑥0 ℎ.

Jika 𝑓(𝑥) memiliki turunan di 𝑥 = 𝑥0 dan ∆𝑥 adalah perubahankecil dalam 𝑥, maka

𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 ∆𝑥.

Jika ∆𝑓 = 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 , maka

∆𝑓 ≈ 𝑓 ′ 𝑥0 ∆𝑥.

Page 47: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Prosentase Perubahan

47

Prosentase perubahan dalam fungsi 𝑓 adalah

100∆𝑓

𝑓(𝑥)≈ 100

𝑓′(𝑥)∆𝑥

𝑓(𝑥)

Contoh.GDP dari suatu negara 𝑡 tahun setelah 1997 adalah𝑁 𝑡 = 𝑡2 + 5𝑡 + 200 milyar dolar. Gunakan kalkulusuntuk mengestimasi prosentase perubahan GDP dalam

kuarter pertama di tahun 2005.

Page 48: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Diferensial

48

Diferensial dari 𝑥 adalah 𝑑𝑥 =△ 𝑥.

Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) memiliki turunan, maka diferensial dari 𝑦adalah 𝑑𝑦 = 𝑓’(𝑥)𝑑𝑥.

Page 49: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

49

Tentukan diferensial dari y=f(x).

27)( 23 +−= xxxfa.

b. )23)(5()( 22 xxxxf −−+=

Page 50: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

2.6 Turunan Implisit dan Laju

yang Berkaitan

50

Page 51: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

51

Fungsi dalam Bentuk Eksplisit

dan Implisit

23

2 1 and 32

1 13 xy

x

xyxxy −=

+=++=

Fungsi yang dituliskan sebagai y=f(x) dikatakan ditulis secaraeksplisit.

Contoh.

Namun kadangkala ada fungsi y yang tidak ditulis secara ekplisitdalam x. Fungsi yang demikian dikatakan ditulis dalam bentukimplisit.

Contoh.

yxyyxxyyyx 232 and 56 32332 +=++=−

Page 52: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

52

Penurunan Fungsi Implisit

Contoh.

1. Tentukan 𝑑𝑦/𝑑𝑥 jika

a. 𝑥2𝑦 + 𝑦2 = 𝑥3

b. 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑥𝑦

2. Carilah gradien garis singgung pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25pada titik (3,4). Bagaimana dengan gradien pada titik (3,-4)?

Page 53: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Aplikasi

53

Misalkan produksi pada suatu pabrik adalah 𝑄 = 2𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 𝑦3

unit, dengan 𝑥 adalah banyaknya jam kerja dari pekerja terlatih dan 𝑦 adalah banyaknya jam kerja dari pekerja tak terlatih. Pada saat ini, terdapat 30 jam kerja dari pekerja terlatih dan 20 jam kerja daripekerja tak terlatih.

Gunakan Kalkulus untuk mengestimasi perubahan yang harusdilakukan dalam jam kerja dari pekerja tak terlatih 𝑦 jika terjadipeningkatan 1 jam kerja dari pekerja terlatih, di mana tingkatproduksi t𝑒tap dijaga.

Page 54: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Laju yang Berkaitan

54

Dalam beberapa aplikasi, x dan y dihubungkan dalam suatupersamaan dan dapat dianggap sebagai fungsi dari variable ketiga t, yang sering dianggap merepresentasikan waktu.

Penurunan implisit dapat dilakukan untuk mengaitkan dx/dtdan dy/dt. Masalah yang demikian disebut masalah laju yang berkaitan.

Page 55: Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat ( T) ... Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak

Contoh

55

1. Dalam suatu perusahaan, jika 𝑞 ratus unit dari suatu komoditasdiproduksi, biaya produksi adalah 𝐶 ribu dolar, dengan 𝐶2 − 3𝑞2 = 4275.

Ketika 1500 unit diproduksi, tingkat produksi bertambah dengan laju 20unit/minggu. Berapakah biaya pada saat itu? Dan berapakah lajuperubahan biaya pada saat itu?

2. Suatu kilang minyak lepas pantai rusak akibat badai. Terjadi kebocoranyang mengakibatkan minyak keluar dengan laju tetap 60 𝑚3/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡, yang kemudian membentuk genangan minyak berbentuk lingkaran denganketebalan 25 𝑐𝑚.

Seberapa cepat jari-jari genangan bertambah pada saat jari-jarinya 70 𝑚?

Misalkan kebocoran dapat diatasi sehingga tumpahan minyak terhentipada saat laju perubahan jari-jari genangan adalah 0.2 𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡. Berapakah volume minyak yang tertumpah ke laut?