Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara...
-
Upload
vuongthuan -
Category
Documents
-
view
216 -
download
0
Transcript of Chapter 2 Turunan · lim lim (64 16 ) 64 0 0 o o V V h h ave h ins 5 Laju Perubahan Bagaimana cara...
Chapter 2
Turunan
1
2.1 Turunan
2
Mengapa Turunan Penting?
Kalkulus adalah matematika tentang perubahan, dan alatutama untuk mempelajari perubahan adalah turunan.
Kita akan mempelajari turunan dan beberapa aplikasinya, terutama dalam menghitung laju perubahan.
Laju perubahan, seperti kecepatan, percepatan, lajupertumbuhan populasi, dan banyak lagi yang lain, secaramatematis dideskripsikan dengan turunan.
3
Ilustrasi
Jika gaya gesek dengan udara diabaikan, suatu objek yang dijatuhkan daritempat yang tinggi akan jatuh sejauh 𝑠 𝑡 = 16𝑡2 kaki dalam 𝑡 detik.
Berapakah kecepatan sesaat objek tersebut setelah 𝑡 = 2 detik?
Kecepatan rata-rata dari 𝑠(𝑡) pada selang [2,2 + ℎ] adalah
Menghitung kecepatan saat dengan memandang limit berikut
Artinya, setelah 2 detik, objek tersebut bergerak dengan laju 64 kaki per detik.
4
hh
h
h
shsVave
1664)2(16)2(16
2)2(
)2()2(
timeelapsed
traveleddistance
22
+=−+
=
−+
−+==
64)1664(limlim00
=+==→→
hVVh
aveh
ins
5
Laju Perubahan
Bagaimana cara menentukan laju perubahan sesaat 𝑓(𝑥)pada 𝑥 = 𝑐?
Tentukan laju perubahan rata-rata 𝑓(𝑥) pada saat 𝑥berubah dari 𝑥 = 𝑐 ke 𝑥 = 𝑐 + ℎ
h
cfhcf
chc
cfhcf
x
xfrateave
)()(
)(
)()()( −+=
−+
−+=
=
Hitung laju perubahan 𝑓(𝑥) pada 𝑥 = 𝑐 denganmenghitung limit laju perubahan rata-rata pada saatℎ menuju 0.
h
cfhcf
chc
cfhcf
x
xfrateave
)()(
)(
)()()( −+=
−+
−+=
=
6
Laju Perubahan Fungsi Linear
Fungsi linear 𝑦(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 berubah dengan laju konstan𝑚. Artinya laju perubahan 𝑦(𝑥) diberikan oleh kemiringanatau gradien garis tersebut.
12
12
x in change
y in change
change of rateSlope
xx
yy
x
y
−
−=
=
=
=
7
Laju Perubahan Fungsi Tak Linear
Untuk fungsi yang tidaklinear, laju perubahan tidakkonstan tapi bergantungpada nilai 𝑥.Laju perubahan pada 𝑥 = 𝑐diberikan oleh kemiringan(gradien) grafik 𝑓(𝑥) pada titik 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)), yang dihitung sebagai kemiringangaris singgung pada grafik di titik 𝑃.
8
Kemiringan Garis SecanGaris secan adalah garis yang memotong grafik fungsi 𝑓 pada
titik (𝑥, 𝑓(𝑥)) dan (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)).
Laju perubahan rata-rata dapat dipandang sebagai kemiringangaris secan dari titik (𝑥, 𝑓(𝑥)) ke titik (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)).
9
TurunanLaju perubahan rata-rata untuk fungsi 𝑓(𝑥) adalah
Turunan fungsi 𝑓(𝑥) terhadap variabel 𝑥 adalah fungsi𝑓’(𝑥) yang diberikan oleh
Proses menghitung turunan disebut penurunan. 𝑓(𝑥)dikatakan dapat diturunkan pada 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓’(𝑐) ada.
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
−+=
→
h
xfhxf )()( −+
Contoh
10
Tentukan turunan dari 35162)( 2 +−= xxxf
11
Kemiringan sebagai Turunan: Kemiringan darigaris singgung 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada titik (𝑐, 𝑓(𝑐))adalah
Laju Perubahan Sesaat sebagai Turunan: Lajuperubahan 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥 pada saat 𝑥 = 𝑐diberikan oleh 𝑓’ 𝑐 .
)(tan cfm =
Contoh.
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 𝑦 =𝑥 pada titik di mana 𝑥 = 4?
Contoh
12
Suatu pabrik menemukan bahwa jika 𝑥 ribu unit komoditasdiproduksi, maka keuntungan yang diperoleh adalah
dolar. Berapakah laju perubahan profit terhadap tingkat produksi𝑥 pada saat diproduksi 9 ribu unit?
120006800400)( 2 −+−= xxxp
Makna Tanda Turunan
13
Jika 𝑓 dapat diturunkan pada 𝑥 = 𝑐, maka
𝑓 akan naik pada 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓’(𝑐) > 0 dan
𝑓 turun pada 𝑥 = 𝑐 jika 𝑓’(𝑐) < 0.
14
Notasi Lain dari Turunan
Untuk fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥), semua notasi berikutmerepresentasikan turunan dari 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥.
Jika ingin dievaluasi turunan pada 𝑥 = 𝑎, semua notasiberikut ekivalen.
15
Turunan dan Kekontinuan
Jika fungsi 𝑓(𝑥) dapat diturunkan di 𝑥 = 𝑐, maka 𝑓 juga kontinu di 𝑥 = 𝑐.
Namun, fungsi kontinu masih mungkin tidak memiliki turunan.
Keempat fungsi ini tidak dapat diturunkan pada 𝑥 = 0.
2.2 Teknik Penurunan
16
17
Untuk konstanta 𝑐,
0=cdx
d
Karena 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑐 untuksemua 𝑥,
0lim)()(
lim)(00
=−
=−+
=→→ h
cc
h
xfhxfxf
hh
Aturan Fungsi Konstan
Aturan Pangkat
Contoh.
18
Untuk 𝑛 bilangan real,1][ −= nn nxx
dx
d
2
1
2
1
23
2
1)()(
3)(
−
==
=
xxdx
dx
dx
d
xxdx
d
Aturan Perkalian Konstan
19
Jika 𝑐 suatu konstanta dan 𝑓(𝑥) dapat diturunkan, maka demikian juga dengan 𝑐𝑓(𝑥) dan
)()( xfdx
dcxcf
dx
d=
3344 12)4(3)(3)3( xxxdx
dx
dx
d===
2/32/32/1
2
7)
2
1(7)7()
7( −−− =−−=−=−
xxxdx
d
xdx
d
Contoh.
Aturan Penjumlahan
20
Jika 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat diturunkan, maka jumlah 𝑠(𝑥) =𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) juga dapat diturunkan dan
)]([)]([)]()([ xgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d+=+
3322 20)(2)7()()7( −−−− −=+−=+=+ xxdx
dx
dx
dx
dx
d
84
847575
2110
)7(3)5(2)(3)(2)32(
−
−−−
+=
−−=−+=−
xx
xxxdx
dx
dx
dxx
dx
d
Contoh.
Contoh
21
1. Tentukan persamaan garis singgung dari kurvapada 𝑥 = 16.
2. Diperkirakan bahwa 𝑥 bulan dari sekarang, populasi dari suatukomunitas ditentukan oleh
a. Berapakah laju perubahan populasi terhadap waktu 15 bulandari sekarang?
b. Berapakah perubahan populasi sebenarnya pada bulan ke-16?
xxxf 84)( −=
800020)(2 ++= xxxp
22
Laju perubahan relatif dari 𝑄(𝑥) terhadap 𝑥 diberikanoleh
Persentase laju perubahan dari 𝑄(𝑥)terhadap 𝑥 adalah
Q
dxdQ
xQ
xQ
Q(x)
/
)(
)(
of change
of rate Relative=
=
)(
)(100
)( of change of
rate Percentage
xQ
xQ
xQ
=
Laju Perubahan Relatif dan Persentase Laju Perubahan
Contoh
23
Gross domestic product (GDP) dari suatu negara pada 𝑡 tahunsetelah 1995 adalah milyar dolar.
a. Berapakah laju perubahan GDP terhadap waktu pada tahun2005?
b. Berapakah persentase laju perubahan GDP terhadap waktupada tahun 2005?
1065)( 2 ++= tttN
Contoh
24
Misalkan , carilah semua nilai 𝑥 di mana 𝑝’(𝑥) > 0, 𝑝’(𝑥) = 0, atau 𝑝’(𝑥) < 0.
51232)( 23 +−−= xxxxp
Pergerakan Sepanjang Garis
25
Jika posisi objek yang bergerak sepanjang garis lurus pada saat 𝑡 diberikan oleh 𝑠(𝑡), maka objek tersebut memilikikecepatan 𝑣(𝑡) = 𝑠’(𝑡) dan percepatan 𝑎(𝑡) = 𝑣’(𝑡).
Objek bergerak maju ketika 𝑣(𝑡) > 0, mundur ketika 𝑣(𝑡) <0, dan tidak bergerak ketika 𝑣(𝑡) = 0. Objek bergeraksemakin cepat ketika 𝑎(𝑡) > 0 dan bergerak semakinlambat ketika 𝑎(𝑡) < 0.
Contoh
26
Posisi suatu objek yang bergerak sepanjang garis lurus pada saat𝑡 adalah
a.Tentukan kecepatan objek dan diskusikan pergerakan di antara
𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4.
b.Tentukan jarak total yang ditempuh objek di antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4.
c.Tentukan percepatan objek dan tentukan saat di mana objekbergerak dipercepat dan diperlambat di antara 𝑡 = 0 dan 𝑡 = 4.
596)( 23 ++−= tttts
27
The motion of an object:
596)(23 ++−= tttts
Interval Sign
of v(t)
Description
of Motion
0<t<1 +
Advancing
from s(0)=5 to s(1)=9
1<t<3 -
Retreating
from s(1)=9 to s(3)=5
3<t<4 +
Advancing
from s(3)=5 to s(4)=9
2.3 Aturan Perkalian dan Pembagian,Turunan Tingkat Tinggi
28
29
Turunan dari hasil kali dua fungsi bukanlah hasil kali dariturunan masing-masing fungsi! Hal serupa juga terjadi pada pembagian.
Aturan Perkalian dan Pembagian
Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥3 and 𝑔(𝑥) = 𝑥6.
Aturan Perkalian
30
Jika dua fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat diturunkan di 𝑥, makaturunan dari f(x)g(x) adalah
atau,
)]([)()]([)()()( xfdx
dxgxg
dx
dxfxgxf
dx
d+=
fggffg +=)(
Contoh.
Gunakan aturan perkalian untuk memperoleh turunan dari
)2( 23 2 xxxy −=
Contoh
31
Suatu produsen menemukan bahwa 𝑡 bulan setelah suatuproduk diperkenalkan ke pasar, 𝑥 𝑡 = 𝑡2 + 3𝑡 ratus unit
dapat diproduksi dan dijual dengan harga 𝑝 𝑡 = −2𝑡 Τ3 2 + 30dolar per unit.
a. Nyatakan penghasilan 𝑅(𝑡) dari produk ini sebagai fungsidari waktu.
b. Berapakah laju perubahan penghasilan terhadap waktusetelah 4 bulan? Apakah penghasil naik atau turun pada saat itu?
Aturan Pembagian
32
Jika dua fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dapat diturunkan di 𝑥, maka turunandari 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) diberikan oleh
atau,
0)( if )(
)]([)()]([)(
])(
)([
2
−
= xgxg
xgdx
dxfxf
dx
dxg
xg
xf
dx
d
2
''')(
g
fggf
g
f −=
Contoh.
Gunakan aturan pembagian untuk memperoleh turunan dari
22 )2(
15
)2(
)1)(93()2(3)(
zz
zzzW
−=
−
−+−−=
Gunakan Aturan yang MempermudahPerhitungan!
33
Turunkan fungsix
xx
xy
1
5
4
33
22
+++−=
34
Turunan KeduaDalam berbagai aplikasi, kadang perlu dihitung laju perubahan darifungsi yang sudah merupakan laju perubahan.
Sebagai contoh, percepatan adalah laju perubahan kecepatanterhadap waktu.
Turunan kedua dari suatu fungsi adalah turunan dari turunan fungsitersebut. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥), turunan kedua dari 𝑓 dinotasikan sebagai
)(or 2
2
xfdx
yd
Catatan: Turunan 𝑓’(𝑥) disebut sebagai turunan pertama.
Notasi Lain
35
Beberapa notasi untuk turunan kedua.
2
2
)( )(dx
fdxf
dx
dfxf ==
Contoh.
Suatu studi di suatu pabrik mengindikasikan bahwa pekerja yang datang pada Pk. 8:00 akan menghasilkan 𝑄 𝑡 = −𝑡3 + 6𝑡2 +24𝑡 unit produk setelah 𝑡 jam.
a. Hitunglah laju produksi pekerja pada Pk. 11:00.
b. Berapakah laju perubahan dari laju produksi pekerja terhadap
waktu pada Pk. 11:00?
ttttQ 246)( 23 ++−=
Turunan ke-𝑛
36
Untuk suatu bilangan bulat positif 𝑛, turunan ke-𝑛 dari suatu
fungsi diperoleh dengan menurunkan fungsi tersebut berturut-
turut sebanyak 𝑛 kali. Jika fungsi adalah y=f(x), maka turunan
ke-𝑛 dinotasikan sebagai
)(or )( xfdx
yd n
n
n
Example.
Tentukan turunan kelima dari 𝑦 = 1/𝑥
2.4 Aturan Rantai
37
38
Ilustrasi
)unitper dollars( output respect towith
cost of change of rate
=
dq
dC
hour)per (units timerespect to with
output of change of rate
=
dt
dq
Misalkan biaya produksi dalam suatu pabrik adalah fungsi dari banyaknya unit yang dihasilkan, yang juga dapat dilihat sebagai fungsi dari waktu operasi pabriktersebut.Jika 𝐶, 𝑞, 𝑡, menotasikan biaya, banyaknya unit yang diproduksi, dan waktu, maka
Hasil kali kedua laju perubahan ini adalah laju perubahan dari biaya terhadapwaktu, yaitu
hour)per (dollars dt
dq
dq
dC
dt
dC=
Aturan Rantai
39
Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) adalah fungsi yang memiliki turunan di 𝑢 dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) memiliki turunan di 𝑥, maka fungsikomposisi 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) juga memiliki turunan di 𝑥dan turunannya diberikan oleh
ataudx
du
du
dy
dx
dy=
)())(( xgxgfdx
dy=
Contoh
40
1. Tentukan 𝑑𝑦
𝑑𝑥jika 𝑦 = 𝑥2 + 2
3− 3 𝑥2 + 2
2+ 1.
2. Tentukan turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥3
.
3. Tentukan turunan dari 𝑓(𝑥) =1
1+ 𝑥2+1.
4. Biaya produksi 𝑥 unit suatu komoditas adalah
𝐶 𝑥 =1
3𝑥2 + 4𝑥 + 53 dolar,
dan level produksi setelah 𝑡 jam adalah
𝑥 𝑡 = 0.2𝑡2 + 0.03𝑡 unit.
Berapakah laju perubahan biaya terhadap waktu setelah 4 jam?
2.5 Analisis Marginal dan Aproksimasi
41
42
Misalkan 𝐶(𝑥) adalah biaya untuk memproduksi 𝑥 unit suatukomoditas. Jika 𝑥0 unit sedang diproduksi, maka turunan
𝐶′ 𝑥0 = limℎ→0
𝐶 𝑥0 + ℎ − 𝐶(𝑥0)
ℎdisebut biaya marginal dalam memproduksi 𝑥0 unit.Dengan memandang ℎ = 1, turunan ini dapat digunakan untukmengaproksimasi perubahan biaya jika produksi ditambah 1 unit.
𝐶′ 𝑥0 ≈𝐶 𝑥0 + 1 − 𝐶(𝑥0)
1=𝐶 𝑥0 + 1 − 𝐶(𝑥0)
Analisis Marginal
Dalam ekonomi, proses penurunan yang digunakan untukmengaproksimasi perubahan kuantitas yang dihasilkan oleh peningkatan 1 unit dalam produksi disebut analisis marginal.
Biaya Marginal
43
44
Penghasilan marginal adalah 𝑅′(𝑥0), yang mengaproksimasi𝑅 𝑥0 + 1 − 𝑅(𝑥0), yaitu penghasilan tambahan yang dihasilkan karena penambahan 1 unit.
Penghasilan Marginal dan Keuntungan Marginal
Misalkan 𝑅(𝑥) adalah fungsi penghasilan yang terjadi pada saat 𝑥 unit komoditas diproduksi, dan 𝑃(𝑥) adalah fungsikeuntungan yang bersesuaian. Jika diproduksi 𝑥 = 𝑥0 unit, maka
Keuntungan marginal adalah 𝑃′(𝑥0), yang mengaproksimasi𝑃 𝑥0 + 1 − 𝑃(𝑥0), yaitu penghasilan tambahan yang dihasilkan karena penambahan 1 unit.
Contoh
45
Suatu produsen mengestimasi bahwa jika x unit komoditas
diproduksi, biaya produksi adalah 𝐶 𝑥 =1
8𝑥2 + 3𝑥 + 98 dolar, dan
jika seluruh 𝑥 unit terjual maka harga jual adalah 𝑝 𝑥 =1
3(75 − 𝑥)
dolar per unit.
1. Tentukan biaya marginal dan penghasilan marginal.
2. Gunakan biaya marginal untuk mengestimasi biaya produksi unit ke-9.
3. Berapakah biaya sebenarnya untuk memproduksi unit ke-9?
4. Gunakan penghasilan marginal untuk mengestimasi penghasilanyang diperoleh dengan menjual unit ke-9.
5. Berapakah penghasilan sebenarnya yang diperoleh denganmenjual unit ke-9?
Aproksimasi
46
Ingat bahwa 𝑓 ′ 𝑥0 = limℎ→0𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ.
Sehingga untuk ℎ yang amat kecil,
𝑓 ′ 𝑥0 ≈𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
atau
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 ≈ 𝑓 ′ 𝑥0 ℎ.
Jika 𝑓(𝑥) memiliki turunan di 𝑥 = 𝑥0 dan ∆𝑥 adalah perubahankecil dalam 𝑥, maka
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 ∆𝑥.
Jika ∆𝑓 = 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0 , maka
∆𝑓 ≈ 𝑓 ′ 𝑥0 ∆𝑥.
Prosentase Perubahan
47
Prosentase perubahan dalam fungsi 𝑓 adalah
100∆𝑓
𝑓(𝑥)≈ 100
𝑓′(𝑥)∆𝑥
𝑓(𝑥)
Contoh.GDP dari suatu negara 𝑡 tahun setelah 1997 adalah𝑁 𝑡 = 𝑡2 + 5𝑡 + 200 milyar dolar. Gunakan kalkulusuntuk mengestimasi prosentase perubahan GDP dalam
kuarter pertama di tahun 2005.
Diferensial
48
Diferensial dari 𝑥 adalah 𝑑𝑥 =△ 𝑥.
Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥) memiliki turunan, maka diferensial dari 𝑦adalah 𝑑𝑦 = 𝑓’(𝑥)𝑑𝑥.
Contoh
49
Tentukan diferensial dari y=f(x).
27)( 23 +−= xxxfa.
b. )23)(5()( 22 xxxxf −−+=
2.6 Turunan Implisit dan Laju
yang Berkaitan
50
51
Fungsi dalam Bentuk Eksplisit
dan Implisit
23
2 1 and 32
1 13 xy
x
xyxxy −=
−
+=++=
Fungsi yang dituliskan sebagai y=f(x) dikatakan ditulis secaraeksplisit.
Contoh.
Namun kadangkala ada fungsi y yang tidak ditulis secara ekplisitdalam x. Fungsi yang demikian dikatakan ditulis dalam bentukimplisit.
Contoh.
yxyyxxyyyx 232 and 56 32332 +=++=−
52
Penurunan Fungsi Implisit
Contoh.
1. Tentukan 𝑑𝑦/𝑑𝑥 jika
a. 𝑥2𝑦 + 𝑦2 = 𝑥3
b. 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑥𝑦
2. Carilah gradien garis singgung pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25pada titik (3,4). Bagaimana dengan gradien pada titik (3,-4)?
Aplikasi
53
Misalkan produksi pada suatu pabrik adalah 𝑄 = 2𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 𝑦3
unit, dengan 𝑥 adalah banyaknya jam kerja dari pekerja terlatih dan 𝑦 adalah banyaknya jam kerja dari pekerja tak terlatih. Pada saat ini, terdapat 30 jam kerja dari pekerja terlatih dan 20 jam kerja daripekerja tak terlatih.
Gunakan Kalkulus untuk mengestimasi perubahan yang harusdilakukan dalam jam kerja dari pekerja tak terlatih 𝑦 jika terjadipeningkatan 1 jam kerja dari pekerja terlatih, di mana tingkatproduksi t𝑒tap dijaga.
Laju yang Berkaitan
54
Dalam beberapa aplikasi, x dan y dihubungkan dalam suatupersamaan dan dapat dianggap sebagai fungsi dari variable ketiga t, yang sering dianggap merepresentasikan waktu.
Penurunan implisit dapat dilakukan untuk mengaitkan dx/dtdan dy/dt. Masalah yang demikian disebut masalah laju yang berkaitan.
Contoh
55
1. Dalam suatu perusahaan, jika 𝑞 ratus unit dari suatu komoditasdiproduksi, biaya produksi adalah 𝐶 ribu dolar, dengan 𝐶2 − 3𝑞2 = 4275.
Ketika 1500 unit diproduksi, tingkat produksi bertambah dengan laju 20unit/minggu. Berapakah biaya pada saat itu? Dan berapakah lajuperubahan biaya pada saat itu?
2. Suatu kilang minyak lepas pantai rusak akibat badai. Terjadi kebocoranyang mengakibatkan minyak keluar dengan laju tetap 60 𝑚3/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡, yang kemudian membentuk genangan minyak berbentuk lingkaran denganketebalan 25 𝑐𝑚.
Seberapa cepat jari-jari genangan bertambah pada saat jari-jarinya 70 𝑚?
Misalkan kebocoran dapat diatasi sehingga tumpahan minyak terhentipada saat laju perubahan jari-jari genangan adalah 0.2 𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡. Berapakah volume minyak yang tertumpah ke laut?