Nomor 5a. Cari nilai terkecil dari m sehingga pernyataan berikut ini benar: Setiap

himpunan m bilangan bulat positif yang berbeda harus berisi minimal dua angka

yang jumlahnya atau perbedaan adalah kelipatan 10. Buktikan bahwa nilai Anda

adalah yang terbaik

Solusi: kita akan membuktikan bahwa m = 7. Pertama perhatikan bahwa untuk

kita dapat menemukan bilangan bulat positif yang berbeda

sehingga tidak ada sepasang angka-angka ini memiliki jumlah atau perbedaan

yang merupakan kelipatan dari 10. Hal ini cukup untuk mempertimbangkan

Sekarang, kita membuktikan bahwa

jika adalah bilangan bulat positif yang berbeda maka setidaknya dua

diantaranya harus memiliki jumlah atau perbedaan yang merupakan kelipatan dari

10. Pertimbangkan himpunan berikut

Definisikan fungsi dimana adalah himpunan A berisikan sisa

ketika membagi x dengan 10. Sebagai contoh, , Karena dan

ada tujuh entri dalam barisan , dengan Prinsip Pigeonhole , pasti ada

Sedemikian sehingga . Kita memiliki dua kasus:

Sisa ketika membagi xi dan xj dngan 10 adalah sama. Kemudian

adalah kelipatan 10.

Sisa ketika membagi xi dan xj dengan 10 berbeda. Diberikan menjadi

sisanya. Dengan definisi dari himpunan A, setiap himpunan A berisi angka

yang menambahkan hingga 10. Karena , kami punya bahwa

. Oleh karena itu, merupakan kelipatan dari 10.

Nomor 1b. Sebuah catatan vexillologist memberitahu Anda bahwa 30 dari 50

bendera negara bagian AS memiliki biru sebagai warna latar belakang, 12

memiliki garis-garis, 26 memperlihatkan tanaman atau hewan, 9 memiliki

keduanya biru di latar belakang dan garis-garis, 23 memiliki keduanya biru di

latar belakang dan fitur tanaman atau hewan, dan 3 memiliki keduanya garis dan

tanaman atau hewan. Salah satu bendera di kategori terakhir ini (California) tidak

memiliki biru di latar belakang. Berapa banyak bendera negara tidak memiliki

biru di latar belakang, tidak ada garis-garis, dan tidak ada tanaman atau hewan

ditampilkan?

Solusi: Diberikan B adalah himpunan bendera biru sebagai warna latar belakang,

S adalah himpunan bendera dengan garis-garis, dan P adalah himpunan bendera

dengan tanaman atau hewan. Kemudian kita diberitahu bahwa

Nomor 5b. Pada malam yang sibuk sejumlah tamu mengunjungi sebuah restoran

gourmet, dan semua orang memesan sesuatu. 140 tamu memesan minuman, 190

memesan hidangan, 100 memesan hidangan pembuka, 90 memesan dessert, 65

memesan minuman dan hidangan pembuka, 125 memesan minuman dan

hidangan, 60 memesan minuman dan dessert, 85 memesan hidangan dan hidangan

pembuka, 75 memesan hidangan dan dessert, 60 memesan hidangan pembuka dan

hidangan penutup, 40 memesan minuman, makanan pembuka, dan dessert, 55

memesan minuman, hidangan, dan dessert, 45 memesan hidangan pembuka,

hidangan utama, dan hidangan penutup, 35 memesan minuman, hidangan, dan

makanan pembuka, dan sepuluh memesan keempat jenis item. Berapa banyak

tamu mengunjungi restoran malam itu?

Solusi: Diberikan N adalah jumlah tamu dan N0 jumlah tamu yang tidak memesan

apa-apa. Menurut rumus prinsip Inklusi/Ekslusi kita punya

, di mana angka-angka dalam penjumlahan berasal dari

perhitungan orang-orang yang memesan setidaknya satu hal (yaitu angka dalam

laporan masalah ). Tapi semua orang memesan sesuatu, sehingga N0 = 0, dan kita

mendapatkan . Sekarang kita menggunakan angka di atas

untuk menghitung

.

Nomor 7a. Andaikan bilangan bulat dari 1 sampai n disusun dalam beberapa

urutan sekitar lingkaran, dan diberikan k bilangan bulat dengan 1 ≤ k ≤ n.

Tunjukkan bahwa harus ada urutan bilangan yang berdekatan k dalam susunan

yang jumlahnya paling sedikit [k (n + 1) / 2].

Solusi: Diberikan bilangan bulat mengelilingi lingkaran diberi label dengan

Diberikan sj menjadi jumlah dari k bilangan bulat yang berdekatan

dimulai dari aj. Karena itu

karena setiap nomor dari 1 sampai n muncul k kali dalam penjumlahan. Lalu ada

kn (n + 1) / 2 pigeons yang harus didistribusikan antara n lubang (sj). Dengan

prinsip Generalized Pigeonhole, harus ada satu sj yang nilainya setidaknya k

, dan karena sj adalah bilangan bulat, kita dapat mengatakan itu

setidaknya

Nomor 13b. Andaikan suatu hari profesor malas mengumpulkan kuis dan

pekerjaan rumah dari sebuah kelas dengan jumlah n mahasiswa, kemudian

mendistribusikan baik kuis dan pekerjaan rumah kembali ke kelas secara acak

untuk diperiksa. Setiap siswa menerima satu kuis dan satu pekerjaan rumah tugas

untuk diperiksa.

(a) Berapa peluang agar setiap siswa menerima kuis milik orang lain untuk

diperiksa, dan pekerjaan rumah milik orang lain untuk diperiksa?

(b) Berapa peluang bahwa tidak ada siswa menerima baik kuis mereka sendiri dan

pekerjaan rumah mereka sendiri untuk diperiksa? Dalam hal ini, beberapa siswa

dapat menerima kuis mereka sendiri, dan lainnya dapat menerima pekerjaan

rumah mereka sendiri.

(c) Hitunglah peluang terbatas n →∞ dalam setiap kasus.

Solusi: Pikirkan situasi ini misalkan kita memiliki n ruang, n angka dan n huruf.

Setiap ruang yang awalnya terkait dengan angka dan huruf. Angka dan huruf

tersebut didistribusikan di antara ruang. Hal ini dapat dibandingkan dengan

permutasi huruf itu sementara secara terpisah permutasi angka. Ada n!n! mungkin

cara untuk melakukan ini.

a) Tidak ada huruf atau kata-kata yang mempertahankan tempat awal mereka.

Untuk mengisi tempat dengan huruf, sekarang ada (n-1) cara. Demikian pula,

untuk mengatur angka, ada (n-1) cara. Oleh karena itu, untuk secara bersamaan

mendistribusikan satu kata dan satu huruf ke setiap ruang sehingga tidak ada huruf

atau kata dalam tempat aslinya, ada [(n-1)]^2 cara.

Jadi, probabilitas bahwa tidak ada siswa menerima tugas atau pekerjaan rumah

sendiri adalah [(n-1)]^2/n!n!.

b) sejumlah cara di mana tidak ada siswa menerima baik kuis mereka sendiri dan

tugas pekerjaan rumah mereka sendiri = sejumlah cara di mana ruang bisa diisi

sehingga tidak ada surat di ruang aslinya + sejumlah cara di mana tidak ada nomor

di ruang aslinya - sejumlah cara di mana tidak ada angka atau huruf dalam ruang

aslinya. Ini adalah 2.n!.(n-1) - (n-1)^2

Oleh karena itu, peluang PR dan tugas yang didistribusikan dengan cara ini

2.n!.(n-1) - (n-1)^2/n!n!