1

TUGAS KELOMPOK

CARA MENGAJAR BILANGAN PRIMA,

KOMPOSIT, FPB, KPK, DAN BILANGAN ROMAWI

+

Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas

Mata Kuliah Matematika 3

Dosen Pembimbing : Drs. H. Fansuri, M. Pd

Disusun Oleh :

Kelompok 7

Kelas B

Zainul Aulia A1E307946

Nana Nurliani A1E3079

PROGRAM STUDI S1 PGSD TERINTEGRASI

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT

BANJARBARU

2009

2

CARA MENGAJAR BILANGAN PRIMA,

KOMPOSIT, FPB, KPK, DAN BILANGAN ROMAWI

A. Pola Bilangan Ganjil dan Genal

Pada pokok bahasan ini, anda diajak untuk mengenal bilangan ganjil dan

bilangan genap serta cara mengenalkannya kepada siswa.

Definisi:

1. Bilangan asli yang tidak habis dibagi dua disebut bilangan ganjil

2. Bilangan asli yang habis dibagi dua disebut bilangan genap

Contoh

1. 3, 5, 7, 9, 11, . . . . adalah bilangan ganjil, sebab tidak tidak habis dibagi dua,

karena jika dibagi dua menghasilkan sisa satu.

2. 4, 6, 8, 10, 12 . . . . adalah bilangan genap, sebab habis dibagi 2, atau jika

dibagi dua sisanya nol.

Contoh :

1. 5 =2x2+1, jadi 5 bilangan-bilangan ganjil

2. 7 =2x3+1, jadi 7 adalah bilangan ganjil

3. 19 =2x9+1, Jadi 19 adalah bilangan ganjil

4. 37 =2x18+1, jadi 37adalah bilangan ganjil

5. 73 =2x36+, jadi 73 adalah bilangan ganjil

6. 2 =2x1 jadi 2 adalahbilangan genap

7. 8 =2x4 jadi 8 adalah bilangan genap

8. 26 =2x13 jadi 26 adalah bilngan genap

Pembelajaran

Media yang dapat anda gunakan menanamkan konsep bilangan ganjil dan

genap kepada siswa, adalah kelereng, lidi, atau benda lain yang mudah didapat

disekitar kelas.

Untuk mengajarkan konsep bilangan ganjil kepada siswa, anda dapat

melakukan langkah-langkah seperti berikut.

Ambillah sejumlah lidi atau kelereng, kemudian kelompokkan dua-dua. Jika

ternyata masih ada sisa yang tidak mempunyai teman berkelompok, maka berarti

banyak lidi atau kelereng yang diambil adalah ganjil.

3

Pandang kelompok kelereng dibawah ini kemudian hitunglah banyaknya

kelereng menurut baris.

=7

=5

=3

=1

Keterangan diatas setelah dikelompokkan dua-dua ternyata menyisakan satu,

ini berarti banyak kelereng masing-masing kelompok adalah ganjil. Oleh karena

itu bilangan yang menyatakan banyaknya kelereng dalam masing-masing

kelompok diatas disebut bilangan ganjil.

Jadi 1, 3, 5, 7. . . . merupakan bilangan ganjil.

Sekarang ambil sejumlah lidi, sedemikian sehingga dapat dikelompokkan

menjadi dua-dua.

Pandang kelompok lidi dibawah ini, kemudian hitung banyaknya lidi

menurut baris.

=8

=6

=4

=2

Banyaknya lidi yang dikelompokkan dua-dua diatas adalah genap. Oleh

karena itu bilangan yang menyatakan banyak lidi di atas adalah disebut bilangan

genap.

Jadi 2, 4, 6, 8 . . . . adalah bilangan genap.

Untuk lebih memantapkan pemahaman siswa pada konsep bilangan ganjil

dan genap ini, sebaiknya anda melakukan hal-hal sebagai berikut :

1. Tugasi beberapa siswa masing-masing mengambil sejumlah lidi atau

kelereng atau kerikil kecil atau benda lain yang mudah didapat di sekitar

kelas, kemudian sarankan mereka untuk mengelompokkan menjadi dua-dua.

2. Pisahkan kelompok siswa yang memegang kelereng atau benda lain yang

dapat dibuat kelompok dua-dua dengan siswa yang memegang kelereng atau

benda lain yang tidak habis jika dikelompokkan menjadi dua-dua.

4

3. Masing-masing anak suruh menyebutkan banyak kelereng atau benda lain

yang dipegangnya.

4. Kemudian jelaskan kepadasiswa, kelompok mana yang memegang kelereng

atau bendalain dengan jumlah ganjil dan kelompok mana yang memegang

kelereng atau benda lain dengan jumlah genap.

Untuk mengetahui apakah siswa sudah dapat memahami bilangan ganjil atau

bilangan genap, sebutlah suatu bilangan atau tulisan dipapan tulis atau bilangan,

kemudian tenyakan kepada siswa apakah bilangan tersebut bilangan ganjil atau

genap. Cara ini dapat diulang untuk bebrapa bilangan, kalau perlu samapai

bilangan ribuan. Tetapi yang harus diingat adalah, setiap siswa menjawab genap

atau ganjil tanyakan alasannya mengapa demikian. Dengan demikian diharapkan

siswa akan lebih memahami konsep bilangan ganjil dan bilangan genap.

Sifat bilangan Ganjil

Perhatikan penjumlahan berikut :

3+7=10

1+5=6

13+25=38

17+13=30

Bilangan-bilangan apakah yang terletak di ruas kiri (disebelah kiri tanda

samaa dengan) dan bilangan-bilangan apakah yang terletak di ruaskanan (di

sebelah kanan tanda sama dengan)?

Kepada siswa anda dapat menjelaskan secara induktif dengan beberpa

contoh seperti dan kemudian menyimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil

adalah bilangan genap. Tetapi secara matematika tidak di tuntut membuktikan

beberapa pernyataan itu secara dedukatif, artinya dari pernyataan yang benar

bersifat umum diberlakukan untuk pernyataan yang khusus.

B. Faktor Suatu Bilangan

Pertama kali yang perlu disampaikan kepada siswa berkaitan dengan istilah faktor

adalah pembagian bilangan asli oleh bilangan asli. Oleh karenanya guru perlu

memberikan bahan apersepsi kepada siswa berupa penguasaan fakta dasar

5

perkalian dan pembagian. Kemudian kita berikan pengertian factor suatu bilangan

adalah pembagi habis bilangan tersebut. Selanjutnya kita berikn beberapa contoh:

Contoh : carilah semua factor dari 12

Untuk menyelesaikan masalah ini perlu disampaikan bahwa factor merupakan

bilangan ali yang kurang dari atau sama dengan 12. Langkah-langkah nya sebagai

berikut:

Ajak siswa untuk menyimpulkan bahwa 1 dan 12 merupakan factor dari

12, selanjutnya berikan penguatan bahwa 1 merupakan factor dari setiap

bilangan, demikian pula suatu bilangan merupakan factor dari dirnya

sendiri.

Ajak siswa untuk mencari bilangan-bilangan yng merupakan pembagi

habis 12, yaitu 2,3,4, dan 6.

Dari kedua kegiatan kita dapat disimpulkan bahwa himpunan factor dari

12 adalah { 1, 1,2, 3, 4, 6, 12 }

Penanaman konsep tentang faktor juga dapat dilakukan dengan media

sederhana berupa kartu berangka.

C. Kelipatan Suatu Bilangan

Pengertian kelipatan berkaitan dengan bilangan asli, sehingga siswa perlu

diapersepsi tentang himpunan bilangan asli { 1, 2, 3, 4, 5,…}. Kelipatan suatu

bilangan adalah bilangan-bilangan yang merupakan hasil perkalian dari bilangan

tersebut dengan himpunan bilangan asli. Untuk lebih memahamkan pengertian

tersebut sebaiknya berikan beberapa contoh, misalkan

Contoh : Tuliskan himpunan bilangan-bilangan kelipatan 6

Untuk mendapatkannya kita bisa ajak siswa untuk mengalikan 6 dengan

himpunan bilangan asli sehingga diperoleh 6 × 1, 6 × 2, 6 × 3, 6 × 4, dan

seterusnya sehingga didapatkan himpunan kelipatan 6 yaitu {6, 12, 18, 24, …}

Berkaitan dengan konsep ini kita bisa sampaikan bahwa 6 merupakan salah satu

factor dari himpunan kelipatan 6.

6

D. Bilangan Prima

Bilangan prima merupakan bilangan asli yang lebih dari 1 dan tepat

mempunyai dua factor yaitu 1 dan dirinya sendiri. Aristoteles memperkenalkan

cara mencari bilangan prima yang selanjutnya dikenal dengan saringan

Aristoteles. Metode ini juga sangat penting diperkenalkan kepada siswa SD untuk

dapat mengidentifikasi bilangan prima kurang dari 100, adapun langkah-langkah

identifilkasinya adalah sebagai berikut.

Susunlah bilangan asli dari 1 sampai dengan 100 dalam bentuk persegi

Coretlah bilangan 1 (ditandai dengan member bulatan, 1 )

Coretlah bilangan kelipatan 2, kecuali 2 (ditandai dengan coret mendatar, 4)

Coretlah bilangan kelipatan 3, kecuali 3 (ditandai coret mendatar ganda, 15)

Setelah dicoret kelipatan 2 dan 3, tentunya bilangan-bilangan berkelipatan 4, 6,

8, dan 9 sudah ikut dicoret, sehingga untuk selanjutnya yang perlu dicoret

tinggal kelipatan 5 dan kelipatan 7.

Coretlah bilangan kelipatan 5, kecuali 5 (ditandai coret mendatar dan garis

bawah, 25)

Coretlah bilangan kelipatan 7, kecuali 7 (ditandai coret mendatar dobel dan

garis bawah, 49)

Dan seterusnya, sehingga semua bilangan yang mempunyai factor selain

dirinya sendiri dan 1 telah tercoret semuanya. Dan akhirnya tersisa bilangan

yang tidak tercoret merupakan bilangan prima yang kurang dari 100, yaitu: 2,

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,

89, 97. Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.

Setelah kita sajikan identifikasi bilangan prima dengan saringa Aristoteles,

kita perlu mengajak siswa untuk berpikir secara abstrak untuk mendapatkan cirri-

ciri bilangan prima kurang dari 100. Adapun beberapa fakta cirri bilangan prima

yang perlu disampaikan ke siswa adalah sebagai berikut.

Merupaka bilangan ganjil, kecuali 2

Bukan merupakan angka kembar, kecuali 11, misalnya 22, 33, 44, . . . bukan

bilangan prima.

Jumlah angka-angkanya berkelipatan 3, contohnya 21 (2+1=3), 27 (2+7=9),

54 (5+4=9) bukan bilangan prima karena habis dibagi 3.

7

Tidak berangka satuan 5, misalnya 15, 25, 35, . . . bukan bilangan prima

karena habis dibagi 5.

Bukan merupakan bilangan kuadrat, misalnya 9. 25, 49, 81, . . .

E. Bilangan Komposit

Pada saringan Aristoteles, bilangan yang tidak dicoret merupakan bilangan

prima, sedangkan bilangan-bilangan yang dicoret selain 1 disebut bilangan

komposit. Dengan kata lain, bilangan komposit merupakan bilangan bukan prima

selain 1, atau bilangan asli yang mempunyai faktor lebih dari dua faktor.

F. Cara Mengajar Bilangan Prima dan Bilangan Komposit

Setiap bilangan asli dapat dinyatakan seagai hasil perkalian bilangan asli yang

lain, misalnya 6=2x3=6x1x1, dan sebagainya. Bentuk 2x3, 6x1x1 disebut nama

faktor dari bilangan 6. Perhatikan nama faktor untuk 6 ilagan asli pertama seperti

gambar 7.1.

Sebagaimana kita ketahui, untuk menyatakan nama faktor suatu bilangan kita

dapat mengunakan 1 sebagai faktor sesering yang diinginkan, sehingga diperoleh

banyak nama faktor untuk bilangan tersebut. Leh karena itu untuk membatasi

jumlah nama faktor suatu bilangan, ditentukan bahwa :

(a) 1 tidak dapat diunakan sebagai faktor lebih dari sekali.

(b) Jika dua nama faktor suatu bilangan merupakan perkalian faktor-faktor

yang sama tetapi dalam urutan berbeda, maka dua faktor tersebut

dikatakan sama.

Dengan pembatasa tersebut, daftar nama-nama faktor pada gambar 7.1 dapat

berubah seperti terlihat pada gambar 7.2.

8

Gambar 7.1

Bilangan Nama faktor

1

2

3

4

5

6

tidak mempunyai nama faktor

1x2

1x3

1x4 2x2

1x5

1x6, 2x3

Gambar 7.2

Jika suatu bilangan tidak mempunyai nama faktor bilangan itu disebut

satuan atau unit ; jika bilangan hanya mempunyai satu nama faktor, disebut

bilangan prima ; dan jika mempunyai dua atau lebih nama faktor disebut bilangan

komposit. Dengan demikian kita melihat bahwa 1 adalah satu-satunya bilangan

yang merupakan ilangan satuan; 2, 3, 5 bilangan prima dan 4, 6 bilangan

komposit.

Jadi berdasarkan nama faktor bilangan asli dikelompokkan:

a. bilangan satuan

b. ilangan prima

c. bilangan komposit

Bilangan Macam nama faktor

1

2

3

4

5

6

1x1, 1x1x1, 1x1x1x1

1x2, 2x1, 1x1x2

1x3, 3x1, 1x1x3

1x4, 4x1, 2x2, 1x1x4

1x5, 5x1, 1x1x5

1x6, 6x1, 3x2 2x3, 1x1x6

9

Salah satu cara yang dapat memberikan petunjuk kepada anak untuk

menmukan apakah suatu bilangan itu prima atau komposit adalah: pertama

memberikan kepada anak himpunan objek-objek sebanyak bilangan itu.

Kemudian anak diminta untuk menyusun objek-objek itu dalam jajaran yang

berbentuk persegi panjang. Jika susunan yang dapat dibentuk hanya terdiri dari

satu kolom atau satu baris saja, maka bilangan tersebut adalah bilangan prima.

Tetapi jika dapat disusun dalam bentuk jajaran yang lain, maka bilangan tersebut

bilangan komposit. Misalnya, anak dapat menemukan 12 bukan bilangan prima,

karena objek-objek yang diberikan dapat dibentuk susunan jajaran sebagai

berikut.

Anda dapat menyusun kegiatan belajar bebas bagi siswa sebagai berikut:

Setiap anak diberi himpunan objek sebanyak tigapuluh atau lebih. Kemudian anak

diminta untuk menyusun objek-objek itu dalam berbagai bentuk jajaran dengan

memulai dari 2 objek dan selanjutnya mencari dan mencatat jumlah maksimum

macam susunan yang dapat dibentuk dari 2 objek itu; kemudia 3 objek; 4 objek

dan seterusnya. Sebelum memulai kegiatan eksplorasi ini, bila diperlukan, Anda

dapat mendemonstrasikan kemungkinan terjadinya susunan ajaran dengan

menggunakan contoh.

* *

* *

* * * * *

* * * * * * * * *

* * * * * * * * * * * * * * *

* * * * * * * * * * * * * * *

4x3 2x6 3x4 6x2

10

2 macam susunan 2 macam susunan 3 macam susunan

bilangan 2 bilangan 3 bilangan 4

Gambar 7.3 menunjukkan susunan jajaran yang mungkin dengan

menggunakan 2 balok, 3 balok, dan 4 balok.

Jika susunan yang dapat dibentuk ada tepat 2 macam, bilangan itu adalah bilangan

prima, etapi jika lebih dari 2 macam bilangan itu adalah bilangan komposit.

Bagi anak yang lebih dewasa, untuk menyelidiki atau mencari

bilangan prima dapat diberikan cara sebagai berikut. Terlebih dahulu akan

dibahas sifat barisan kelipatan bilangan prima.

Barisan pada gambar 7.4 adalah barisan bilangan kelipatan 2 dan

nama-nama faktornya. terlihat bahwa semua bilangan yang lebih dari 2

mempunyai nama lain yang terpendek selain nama yang menggunakan faktor

1, sehingga semua bilangan tersebut adalah komposit; atau tidak ada bilangan

kelipatan 2 dan lebih dari 2 yang merupakan bilangan prima.

Barisan pada gambar 7.5 adalah barisan kelipatan 3 dengan nama

faktor-faktornya. Semua bilangan yang lebih dari 3 mempunyai nama lain

yang terpendek selain nama yang menggunakan faktor 1, sehingga semua

bilangan kelipatan 3 yang lebih dari 3 adalah bilangan komposit. Atau tidak

ada bilangan prima kelipatan 3 yang lebih 3. Demikian selanjutnya untuk

barisan kelipatan 5, kelipatan 7, kelipatan 11 semuanya bukan bilangan prima,

kecuali 5, 7, 11 sendiri.

2 4 6 8 10 12 14 16

1x2 2x2 3x2 4x2 5x2 6x2 7x2 8x2

11

Dengan menggunakan sifat tersebut, kita dapat mencari atau

menemukan bilangan-bilangan prima yang kurang dari bilangan yang

ditentukan. Misalny, ingin dicari bilangan prima yang kurang dari 30.

Perhatikan tabel bilangan 1 sampai dengan 30 pada gambar 7.6.

Kotak 1 diarsir karena 1 adalah bilangan satuan. Selanjutnya jika kita

menandai kotak setiap bilangan kelipatan 2 setelah 2 maka artinya kita telah

menyisihkan semua kelipatan 2 yang merupakan bilangan komposit seperti

pada gambar 7.7.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Gb 7.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Gb 7.7

Perhatikan bahwa 3 adalah bilangan setelah 2 yang tidak ditandai,

karena 3 bukan kelipatan 2; 3 adalah prima. Selanjutnya kita dapat

menyisihkan semua kelipatan 3 yang merupakan bilangan komposit dengan

menandai setiap bilangan yang lebih besar 3 seperti tampak pada gambar 7.8

3 6 9 12 15 18 21

1x3 2x3 3x3 4x3 5x3 6x3 7x3

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Dengan cara yang serupa kita dapt menemukan bilangan prima yang

lebih besar. Proses ini disebut penaringan.

Untuk menemukan bilangan-bilangan prima dapat pula dikerjakan

sebagai berikut. Dengan dasar bilangan prima 2 dan 3, setiap bilangan asli

dapat dinyatakan sebagai 6 x + jika , dapat diganti dengan

bilangan cacah (6 ditentukan dari 2x3). Diperoleh pola sebagai berikut:

a. 6x0+1=1 6x1+1=7 6x2+1=13

b. 6x0+2=2 6x1+2=8 6x2+2=14

c. 6x0+3=3 6x1+3=9 6x2+3=15

d. 6x0+4=4 6x1+4=10 6x2+4=16

e. 6x0+5=5 6x1+5=11 6x2+5=17

f. 6x0+6=6 6x1+6=12 6x2+6=18

Selanjutnya diharapkan anak dapat memperluas pola ini; sehingga diperoleh

tabel seperti pada gambar 7.9.

Perhatikan bahwa bilangan yang tertulis pada baris (b), (d), dan (f)

adalah bilangan genap dan merupakan kelipatan 2. Perhatikan bahwa bilangan

pada baris (c) merupakan bilangan 3. Ini bearti bahwa, selain dari bilangan

prima 2 dan 3, kita akan menemukan bilangan prima yang lain pada baris (a)

dan 9e). Dengan menyisihkan bilangan komposit pada baris ini, maka

ditemukan semua bilangan prima (25, 35 adalah bilangan komposit).

Gambar 7.9

1 7 13 19 26 37

2 8 14 20 27 38

3 9 15 21 28 39

4 10 16 22 29 40

5 11 17 23 30 41

6 12 18 24 31 42

13

Cara ini merupakan metode yang baik untuk menyisihkan kelipatan 2

dan 3. Dengan jalan yang sama kita dapat menyisihkan kelipatan 5,7,11, dan

seterusnya. Cara-cara penyaringan seperti di atas adalah cara yang baik untuk

menemukan bilangan-bilangan prima yang kecil, tetapi cara ini tidak efesien

untuk menentukan bilangan yang besar misalnya apakah 4809 merupakan

bilangan prima atau bukan.

G. Cara Mengajar Ciri-Ciri Bilangan Habis Dibagi

Sebelum anak dapat memulai kegiatan belajar eksploritas bebas,

Anda perlu menjelaskan lebih dulu definisi hubungan habis dibagi antara dua

bilangan asli dalam istilah hasil bagi dan sisa.

dikatakan habis dibagi , jika hasil baginya adalah bilangan asli dan

sisanya nol.

Misalnya, 8 habis dibagi 2, karena hasil bagi 8 dan 2 adalah 4, dan sisanya 0.

Kagiatan eksplorasi bebas yang menggunakan sifat distributif kanan

operasi pembagian terhadap penjumlahan dapat digunakan sebagai petunjuk

untuk menemukan aturan habis dibagi. Perhatikan gambar 7.10.

Pembagian Hasil bagi Sisa

(35 + 23) : 11

(35 : 11) + (23 : 11)

(24 + 25) : 9

(24 : 9) + (25 : 9)

(45 + 39) : 4

(45 : 4 ) + (39 : 4)

5

3, 2

5

2, 2

21

11, 9

3

2, 1

4

6, 7

0

1, 3

Marilah kita nyatakan lambang bilangan ita dalam notasi panjang

dan menentukan sisa dari bagian-bagian jika bilangan itu dibagi 2. Gambar

7.11. menunjukkan beberapa bilangan yang telah dibagi 2 dan diperoleh

sisanya (673:2, 7102:2, 3207:2).

14

300+35+1

21600+70+3

600 70 2

0 0 1

0=0+1=1

Oleh karena itu

673 :2 bersisa 1

3500+50+1

217000+100+2

7000 100 2

0 0 0

0+0+0=0

Oleh karena itu

7102 :2 bersisa 0

1500+100+3

213000+200+7

3000 200 6

0 0 1

0+0+1=1

Oleh karena itu

3207 :2 bersisa 1

Gambar 7.12

Sisa Sisa Sisa Sisa

1 : 3

2 : 3

3 : 3

4 : 3

5 : 3

6 : 3

7 : 3

8 : 3

9 : 3

........

........

........

........

........

........

........

........

........

10 : 3

20 : 3

30 : 3

40 : 3

50 : 3

60 : 3

70 : 3

80 : 3

90 : 3

........

........

........

........

........

........

........

........

........

100 : 3

200 : 3

300 : 3

400 : 3

500 : 3

600 : 3

700 : 3

800 : 3

900 : 3

........

........

........

........

........

........

........

........

........

1000 : 3

2000 : 3

3000 : 3

4000 : 3

5000 : 3

6000 : 3

7000 : 3

8000 : 3

9000 : 3

........

........

........

........

........

........

........

........

........

Gambar 7.12

Perhatikan gambar 7.12. Dari sini diharapkan anak akan menemukan

hubungan antara bilangan yang dibagi 3 dan sisanya. Penemuan ini akan

memudahkan langkah berikutnya dalam pembentukan aturan. Anak

diharapkan sanggup menghitung dengan mencongak, misalnya menentukan

sisa bilangan 6532 jika dibagi oleh 3. Proses mentalnya diharapkan sebagai

berikut : 6000 menghasilkan sisa 0; 500 menghasilkan sisa 2; 30 menghasilkan

sisa 0; dan 2 menghasilkan sisa 2. Jumlah sisa 0+2+0+2=4, yang selanjutnya

dibagi 3 bersisa 1. Dengan demikian jika 6532 dibagi 3, akan diperoleh sisa 1.

Selanjutnya diharapkan anak sudah dapat menemukan auran habis dibagi 3.

Dengan cara serupa, anak diminta untuk mencari aturan habis dibagi

5. Gambar 7.13 menggambarkan latihan yang mungkin dapat digunakan

15

sebagai pengarahan bagi anak untuk menentukan aakah suatu bilangan habis

dibagi 5.

120+8+0

51600+40+3

600 40 3

0 0 0

0=0+3=3

Oleh karena itu

643 : 5 bersisa 3

800+18+1

514000+90+6

4000 90 5

0 0 1

0+0+1=1

Oleh karena itu

4096 : 5 bersisa 1

1800+120+3

519000+600+75

9000 600 5

0 0 0

0+0+0=0

Oleh karena itu

9605 : 5 bersisa 0

Gambar 7.13

Seperti mencari aturan habis dibagi 3, berikut ini anak diminta untuk

menmukan aturan habis dibagi 9.

Perhatikan gambar 7.14

Sisa Sisa Sisa Sisa

1 : 9

2 : 9

3 : 9

4 : 9

5 : 9

6 : 9

7 : 9

8 : 9

9 : 9

........

........

........

........

........

........

........

........

........

10 : 9

20 : 9

30 : 9

40 : 9

50 : 9

60 : 9

70 : 9

80 : 9

90 : 9

........

........

........

........

........

........

........

........

........

100 : 9

200 : 9

300 : 9

400 : 9

500 : 9

600 : 9

700 : 9

800 : 9

900 : 9

........

........

........

........

........

........

........

........

........

1000 : 9

2000 : 9

3000 : 9

4000 : 9

5000 : 9

6000 : 9

7000 : 9

8000 : 9

9000 : 9

........

........

........

........

........

........

........

........

........

Gambar 7.14

Berdasarkan isian tabel pada gambar 7.14, anak diharapkan akan

menemukan secara cepat n puluhan yang dibagi 9 memperoleh sisa n, x

ratusan dibagi 9 memperoleh x, dan seterusnya. Selanjutnya anak diharapkan

sangup untuk menemukan sisa bilangan yang lambangnya erdiri dari 4 angka

yang dibagi 9. Dan selanjutnya anak dapat menemukan aturan habis dibagi

16

H. Faktor Prima

Setiap bilangan mempunyai factor prima, karena setiap bilangan dapat disajikan

dalam perkalian bilangan-bilangan prima. Adapun cara mencari factor prima

dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu cara table dan diagram pohon.

Contoh : carilah factor prima dari 140

a. Cara table

Factor-faktor dari 140 adalah:

1 2 4 5 7 10

140 70 35 28 20 14

Jadi, faktor prima dari 140 adalah 2, 5 dan 7

b. Cara diagram pohon

Cara ini adalah cara termudah dan yang paling banyak digunakan untuk

mencari factor prima sekaligus faktorisasi prima. Ilustrasi untuk mencari

faktorisasi prima 140 disajikan sebagai berikut:

140

2 70

2 35

5 7

Jadi, factor prima dari 140 adalah 2, 5, dan 7.

I. Faktorisasi Prima

Penyajian perkalian bilangan-bilangan prima disebut sebagai faktorisasi prima.

Dengan menggunakan diagram pohon kita telah mendapatkan factor prima dari

140. Di sana dapat dijumpai banyaknya factor 2 adalah dua, factor 5 adalah satu

dan factor 7 adalah satu. Dengan demikian dapat dituliskan 140 dalam faktorisasi

prima sebagai berikut:

140 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7 = × 5 × 7

Contoh: carilah faktorisasi prima dari 120

Terlebih dahulu buat pohon factor untuk 120

120

2 60

17

2 30

2 15

3 5

Jadi, faktorisasi primanya adalah 120 = × 3 × 5

Faktorisasi Prima adalah pembentukan suatu bilangan menjadi bentuk

perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima.

Cara Mencari Faktorisasi Prima

1. Menyusun Pohon Faktor

a. 12 Faktorisasi Prima dari 12 = 2 2 3

2 6 = 22 3

2 3

b. 30 Faktorisasi Prima dari 30 = 2 3 5

2 15

3 5

c. 84 Faktorisasi Prima dari 84 = 2 2 3 7

= 22 3 7

2 42

2 21

3 7

Jika kita diminta untuk menemukan himpunan pembagi sejati dari suatu

bilangan maka tidak efisien kalau kita menggunakan aturan sifat habis dibagi atau

dengan menyelidiki apakah suatu bilangan merupakan pembagi dari bilangan

tersebut. Berikut ini akan dipelajari teknik yang lebih cepat untuk menentukan

18

himpunan pembagi sejati dari suatu bilangan yang memungkinkan anak

bereksplorasi bebas.

Sebagaimana telah dipelajari, bahwa setiap bilangan asli dapat mempunyai

nama faktor yang tak hingga banyaknya, (jika kita membolehkan 1 sebagai

faktor). Untuk membatasi jumlah nama faktor suatu bilangan, kita hanya akan

menggunakan nama faktor yang mempunyai tepat satu faktor bilangan 1.

Nama-nama faktor berikut memenuhi pembatasan kita: 3 × 1; 1 × 3; 2 × 3

×5; 7 × 7 × 2 × 5; 2 × 7 × 5 × 7; 7 × 2 × 7 × 5. Karena perubahan urutan faktor

tidak mengubah nilai bilangan, dibuat kesepakatan lebih lanjut bahwa urutan

nama-nama faktor ditulis dengan faktor terkecil disebelah kiri misalnya, 2 × 2 × 3

× 7 × 13 × 29.

Marilah kita mempelajari secara sistematis bagaimana memperoleh nama

faktor suatu bilangan dalam bentuk tersebut. Perhatikan bilangan 60 (= 2 × 30); 2

faktor dari 30 (= 2 × 15); 3 faktor dari 15 (= 3 × 5); karena 5 bilangan prima,

maka kegiatan memfaktorkan selesai. Jadi 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Gambar 7.17

menyatakan analisis yang menggunakan pohon faktor. Bentuk pemfaktoran 2 × 2

× 3 × 5 disebut faktorisasi prima dari 60.

60 Faktorisasi Prima dari 60 = 2 2 3 5

= 22 3 5

2 30

2 15

3 5

Gambar 7.17

Jika nama faktor dari suatu bilangan memuat faktor yang sama, untuk

keperluan selanjutnya diperlukan tanda indeks untuk faktor yang sama itu.

Contoh : 36 = 2 × 2 × 3 × 3 ditulis

54 = 2 × 3 × 3 × 3 ditulis

19

Marilah kita pelajari bagaimana kita dapat menyusun suatu kegiatan belajar

eksplorasi bebas bagi anak dalam mempelajari konsep faktorisasi bilangan prima

suatu bilangan. Untuk kegiatan ini anak diberikan satu tumpukan kartu yang

bertuliskan bilangan prima. Ada beberapa kartu “2”, kartu “3”, kartu “5”, dan

seterusnya di dalam tumpukan kartu tersebut. Anak diberikan kertas lembaran

tugas sebagai berikut.

Bilangan Nama faktorisasi prima

2 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

3 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

4 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

5 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

6 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

7 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

8 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

9 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

10 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

11 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

12 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

Anak mengerjakan tugas tersebut dengan hanya menggunakan kartu-kartu

tersebut dan melakukan operasi perkalian untuk bilangan-bilangan yang diberikan,

sehingga lembaran tugas di atas akan sebagai berikut.

Bilangan Nama faktorisasi prima

2 2 × . . . × . . . × . . . × . . .

3 3 × . . . × . . . × . . . × . . .

4 2 × 2 × . . . × . . . × . . .

5 5 × . . . × . . . × . . . × . . .

6 2 × 3 × . . . × . . . × . . .

7 7 × . . . × . . . × . . . × . . .

8 2 × 2 × 2 × . . . × . . .

20

9 3 × 3 × . . . × . . . × . . .

10 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

11 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

12 . . . × . . . × . . . × . . . × . . .

Tugas tersebut bertujuan agar:

(1) Anak diharapkan menemukan dua nama faktor untuk bilangan

prima

(2) Jika nama faktorisasi prima atau bilangan dituliskan dengan

bilangan prima dari bilangan terkecil ke terbesar, maka anak akan

memperoleh faktorisasi prima yang tunggal.

2 Menggunakan Tabel

a. 24

2 12

2 6

2 3

3 1

Faktorisasi Prima dari 24 = 2 2 2 3

= 23 3

b. 40

2 20

2 10

2 5

5 1

Faktorisasi Prima dari 40 = 2 2 2 5

= 23 5

21

J. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

FPB merupakan hasilkali faktor yang sama dengan pangkat terkecil.

Cara mencari FPB

1) Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan

Contoh :

a. Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24

Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Faktor 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Mempunyai faktor persekutuan dari 24 dan 60 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Jadi, FPB dari 24 dan 60 = 12

b. Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72

Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9,18}

Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Faktor 56 = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}

Mempunyai faktor persekutuan dari 18, 24 dan 56 = {1, 2}

Jadi, FPB dari 18, 24, dan 56 = 2

2) Menggunakan Pohon Faktor

Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.

Tulis faktorisasi primanya.

Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.

Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah

bilangan prima dengan pangkat yang terendah.

Contoh :

a. Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 50

36 50

2 18 2 25

2 9 5 5

3 3

22

22 3

2 = 36 2 5

2

Jadi, FPB dari 36 dan 50 adalah 2

2 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima

kedua pohon faktor.

Pangkat terendah dari 2 adalah 1.

Maka FPB nya adalah 2

b. Tentukan FPB dari bilangan 18, 30, dan 36

18 30 36

2 9 2 15 2 18

3 3 3 5 2 9

2 32 = 18 2 3 5 = 30 3 3

22 3

2 = 36

Jadi, FPB dari 18,30, dan 36 adalah = 2 3 = 6

2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi

prima ketiga pohon faktor.

Pangkat terendah dari 2 adalah 1.

Pangkat terendah dari 3 adalah 1.

Maka FPB = 2 3 = 6

3) Menggunakan Tabel

Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang

dicari FPB-nya.

Beri tanda faktor prima yang sama..

Contoh

a. Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 90

23

36 90

2 18 45

3 6 15

3 2 5

2 1 5

5 1 1

Jadi, FPB dari 36 dan 90 adalah 2 3 3

= 2 32 = 18

b. Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120

75 105 120

2 75 105 60

2 75 105 30

2 75 105 15

3 25 35 5

5 5 7 1

5 1 7 1

7 1 1 1

Jadi, FPB dari 75, 105, dan 120 adalah 3 5 = 15.

4) Menggunakan Pembagian Euclides

Contoh tentukan FPB dari 30 dan 42

1

30 42

30 2

12 30

24 2

6 12

12

0

Jadi, FPB dari 30 dan 42 adalah 6

24

Jika 12 mempunyai nama faktor 3 , maka sebaliknya 2, 3,

4, 6, adalah faktor dari 12.

Himpunan semua faktor 12 adalah {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Himpunan semua faktor 8 adalah {1, 2, 4, 8}

Maka himpunan faktor persekutuan 12 da 8 ialah {1, 2, 4} dan faktor

persekutuan terbesar (FPB) 12 dan 8 adalah 4

Dengan menggunakan irisan 2 himpunan faktor-faktor prima dari 2

bilangan, dapat diperoleh dari 2 bilangan tersebut. Gambar 7.20 menunjukan

beberapa cara memperoleh beberapa FPB dengan irisan himpuanan faktor-

faktor prima dari dua bilangan yang diketahui.

Bilangan Gabungan himpunan factor prima KPK

35 dan 25 { } { }={ } 5

12 dan 8 { } { }={ } 2

3 dan 10 { } { } = { }

4 dan 8 { } { }= { } 2

*karena tidak mempunyai faktor persekutuan prima sedangkan 1 adalah

faktor setiap bilangan maka FPB dari 3 dan 10 adalah 1

Kita dapat menggunakan FPB untuk menemukan bentuk paling

sederhana dari himpunan pecahan yang ekuivalen; misalnya diketahui

bilangan pecahan . Irisan himpunan faktor-faktor prima dari 12 dan 28

adalah{ } { } = { }

Maka 6 adalah FPB bilangan 18 dan 24. Sehingga ,

merupakan bentuk sederhana dari pecahan tersebut.

Materi dan tugas yang sama digunakan anak untuk menemukan KPK

dapat digunakan menemukan FPB. Dalam hal ini pemindahan kartu yang

dilakukan anak haruslah kartu-kartu yang sesuai yang ada pada kedua

bilangan yang diketahui . misalnya akan dicari faktor persekutuan terbesar

dari A = 8 dan B = 12:

A = 2

25

B = 2

Maka FPB 2

Dengan demikian 4 merupakan FPB bilangan 8 dan 12.

K. KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

Kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali bilangan tersebut dengan

bilangan asli, misalnya:

Kelipatan 2 ialah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, . . .

Kelipatan 3 ialah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, . . .

Himpunan kelipatan 2 ialah {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 . . .}

Himpunan kelipatan 3 ialah {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, . . .}

Maka himpunan kelipatan persekutuan 2 dan 3 ialah {6, 12, 18, . . .} dan

kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 2 dan 3 ialah 6.

Salah satu kegunaan mencari KPK dari 2 bilangan adalah untuk

menjumlahkan bilangan pecahan yang penyebutnya tidak sama,

misalnya:

KPK dari dua bilangan dapat diperoleh dengan menggunakan

gabungan himpunan faktor-faktor prima dari bilangan-bilangan tersebut.

Tabel dibawah ini menunjukan perolehan beberapa kelipatan

persekutuan terkecil oleh gabungan himpunan faktor-faktor prima.

Bilangan Gabungan himpunan faktor prima KPK

35 dan 25 { } { }={ } 5 5

6 dan 8 { }

{ }= }

2

3 dan 10 { } { }={ } 2

4 dan 8 { } { }={ } 2

26

Dengan memodifikasi lembaran tugas seperti dalam pasal sebelumnya

dapat disusun kegiatan belajar eksplorasi bebas untuk menemukan dari

sepasang bilangan.

Sekarang anak diberi satu tumpukan kartu bilangan prima yang terdiri

dari bermacam-macam kartu bilangan prima yang diberi warna tertentu.

Misalnya semua kartu biru menunjukan bilangan 3 dan sebagainya.

Pertama, anak diminta untuk menunjukan faktorisasi prima dan

sepasang bilangan, misalnya bilangan A = 35 dan B = 25 yang diharapkan

akan ditunjukkan sebagai berikut,

A = 5

B = 5

Selanjutnya, anak diminta memindahkan kartu bilangan prima faktor dari

bilangan A ke tempat bilangan B maska kartu di tumpukkan di atas bilangan

yang sama tersebut. Setelah tugas itu dilaksanakan akan diperoleh

5

Selanjutnya anak akan menemukan bahwa KPK 35 dan 25 adalah 5

KPK merupakan kelipatan paling kecil dari gabungan beberapa

bilangan atau hasil kali semua faktor dengan pangkat tertinggi.

Cara mencari KPK

1) Menggunakan Himpunan Kelipatan Persekutuan

Contoh :

b. Tentukan KPK dari bilangan 15 dan 20

Kelipatan 15 = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}

Kelipatan 20 = {20, 40, 60, 80, 100,120, …}

Kelipatan persekutuan dari 15 dan 20 = {60, 120, ….}

Jadi, KPK dari 15 dan 20 adalah 60

c. Tentukan KPK dari bilangan 6, 8 dan 10

Kelipatan 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}

Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}

Kelipatan 12 = {12, 24, 36, 48, 60, …}

Kelipatan persekutuan dari 6, 8 dan 12 = {24, 48, …}

27

Jadi, KPK dari 6, 8, dan 12 = 24

2) Menggunakan Pohon Faktor

Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya.

Tulis faktorisasi primanya.

Kalikan semua faktorisasi prima

Jika satu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, ambillah bilangan

dengan pangkat yang tertinggi.

Contoh :

a. Tentukan KPK dari bilangan 12 dan 30

12 30

2 6 2 15

2 3 3 5

22 3 2 3 5

Jadi, KPK dari 12 dan 30 adalah 22 3 5 = 60

2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi

prima.

Pangkat tertinggi 2 adalah 2.

Pangkat tertinggi 3 adalah 1.

Maka KPK = 22 X 3 X 5 = 60

b. Tentukan FPB dari bilangan 42, 48, dan 40

42 48 40

2 21 2 24 2 20

3 7 2 12 2 10

2 6

28

2 5

2 3

2 x 3 x 7 = 21 2

4 3 = 48

2

3

5 = 40

Jadi, KPK dari 40, 42, dan 48 adalah 24 3 x 5 x 7 = 1680

2, 3, 5, dan 7 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi

prima.

Pangkat tertinggi 2 adalah 4.

Pangkat tertinggi 3, 5, dan 7 adalah 1.

Jadi, KPK nya adalah 24 3 x 5 x 7 = 1680

3) Menggunakan Tabel

Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang

dicari KPK-nya.

Kalikan semua faktor prima.

Contoh

a. Tentukan KPK dari bilangan 36 dan 64

36 54

2 18 27

2 9 27

3 3 9

3 1 3

3 1 1

KPK = 2 X 2 X 3 X 3 X 3

= 22 X 33 = 108

b. Tentukan KPK dari bilangan 10, 15 dan 25

10 15 25

2 5 15 25

29

3 5 5 25

5 1 1 5

5 1 1 1

KPK = 2 X 3 X 5 X 5

= 2 X 3 X 52 = 150

L. Hubungan KPK dan FPB

Untuk mencari KPK atau FPB dari dua bilangan dapat dilakukan dengan

cara lain, yaitu jika salah satu dari KPK atau FPB sudah diketahui. Cara yang

digunakan adalah dengan menerapkan rumus :

KPK ( a , b ) = atau FPB ( a , b ) =

Contoh :

Tentukan KPK atau FPB dari 16 dan 24 !

Penyelesaian :

16 = 24

24 = 23 x 3

FPB ( 16 , 24 ) = 23 = 8

KPK ( 16 , 24 ) = = 1.008

M. Menyelesaikan Soal Cerita yang Berhubungan Dengan FPB dan KPK dalam

Kehidupan Sehari – hari

a.

Dari gambar diatas terdapat dua lampu, dimana lampu A menyala setiap

8 detik dan lampu B menyala setiap 12 detik. Pada detik ke berapa

pertama kali kedua lampu akan menyala bersama ?

30

Jawab :

8 12

2 4 6

2 2 3

2 1 3

3 1 1

Jadi, KPK dari 8 dan 12 adalah 2 x 2 x 2 x 3 = 24

Jadi, kedua lampu pertama kali menyala bersama pada detik ke – 24.

b. Pak Andi mendapat giliran ronda setiap 4 hari. Pak Karim mendapat

giliran ronda setiap 6 hari. Pak Tedi mendapat giliran ronda setiap 8 hari.

Setiap berapa hari mereka ronda bersama-sama ? Jika mereka ronda

bersama-sama tanggal 4 Maret 2009, tanggal berapakah mereka ronda

bersama-sama lagi ?

Jawab :

KPK dari 4, 6 dan 8

4 6 8

2 2 3 4

2 1 3 2

2 1 3 1

3 1 1 1

KPK dari 4, 6, dan 8 = 2 2 2 3

= 23 3

= 8 3

= 24

Jadi mereka ronda bersama-sama setiap 24 hari.

Jika tanggal 4 Maret 2009 mereka ronda bersama-sama, maka tanggal 28

maret 2009 mereka ronda bersama-sama lagi.

c. Seorang pedagang memiliki 75 permen rasa cokelat, 105 permen rasa

jeruk dan 120 permen rasa mangga. Ia menginginkan setiap stoples

memuat ketigajenis permen tersebut dalam jumlah yang sama untuk

dibagikan kepada anak - anak.

31

a.Berapa banyak stoples yang harus disediakan?

b. Berapa banyak permen rasa cokelat, rasa jeruk, dan rasa mangga dalam

setiap stoplesnya yang diterima anak - anak?

FPB dari 75, 105, dan 120

75 105 120

2 75 105 60

2 75 105 30

2 75 105 15

3 25 35 5

5 5 7 1

5 1 7 1

7 1 1 1

Jadi, FPB dari 75, 105, dan 120 adalah 3 5 = 15.

Jadi jumlah stoples yang diperlukan = 15 stoples

Isi tiap kantong :

Permen rasa cokelat = 75 : 15 = 5 butir

Permen rasa jeruk = 105 : 15 = 7 butir

permen rasa mangga = 120 : 15 = 8 butir

d.

Pak Teguh mendapat tugas piket di sekolah setiap 12 hari sekali. Pak Didi

mendapat tugas piket setiap 18 hari sekali. Tanggal 1 April 2008 mereka

mendapat tugas piket secara bersamaan. Kapan mereka akan mendapat

tugas piket secara bersamaan untuk yang kedua?

Jawab :

32

KPK dari 12 dan 18

12 18

2 6 9

3 2 3

2 1 3

3 1 1

KPK dari 12 dan 18 adalah 2 x 2 x 3 x 3 = 36.

Jadi mereka mendapat tugas piket di sekolah bersama-sama setiap 36 hari.

Jika tanggal 1 April 2008 mendapat tugas piket di sekolah bersama-sama

mereka ronda bersama-sama, maka tanggal 7 Mei 2008 mereka ronda

bersama-sama lagi.

N. Permasalahan Tentang FPB dan KPK di SD

Tentang FPB dan KPK merupakan konsep yang juga penting dikuasai oleh

anak SD. Namun dalam kenyataannya di lapangan menunjukkan bahwa banyak

siswa SD yang mengalami kesulitan untuk memahami FPB dan KPK, hal ini di

sebabkan banyak anak SD yang belum bisa tentang perkalian dan pembagian di

mana dasar untuk mencari kelipatan adalah seseorang siswa tersebut harus

memahami tentang perkalian. Untuk bisa atau mengerti tentang faktorisasi prima

dari sebuah bilangan, siswa tersebut harus mengerti tentang pembagian.

O. BILANGAN ROMAWI

1) Lambang Bilangan Romawi

Dalam Proses Pembelajaran sistem lambang bilangan Romawi dapat kita

lakukan secara diskusi atau tanya jawab, atau ekspositori dengan lebih banyak

informasinya. Dalam sistem lambang bilangan Romawi atau angka Romawi

digunakan lambang – lambang atau simbul – simbul pokok seperti berikut ini.

Lambang – lambang Pokok ( symbol – symbol dasar ) Angka Romawi

I = 1 V = 5

X = 10 L = 50

C = 100 D = 500

M = 1000 - = kalikan 1000

33

Hal – hal berikut perlu disampaikan kepada para siswa,mengingat mereka

untuk pertama kalinya mengetahui berdasarkan informasi dari kita. Namun

demikian bisa saja hal – hal berikut di sampaikan secara tanya jawab.

1. Sistem Romawa ini merupakan system penjumlahan dan system

perkalian. Contoh :

X V I I

10 + 5 + 1 + 1 = 17

2. Bilangan angka terdiri dari 2 lambang pokok, maka nilai angka

tersebut

a. Sama dengan jumlah nilai kedua lambang bilangan itu, jika

lambang – lambangnya mempunyai nilai yang menurun dari kiri ke

kanan ( nilai yang paling tinggi terletak di sebelah kiri )

b. Sama dengan selisih nilai kedua lambang bilangan itu, bila

lambang – lambangnya mempunyai nilai yang menarik ( nilai yang

paling tinggi terletak di sebelah kanan )

Contoh :

IX = 10 – 1 = 9 ( dari kiri kekanan nilainya naik atau nilai

paling tinggi di sebelah kanan jadi

dikurangkan )

MC = 1000 + 100 = 1100 ( dari kiri kekanan nilainya turun atau

nilai yang paling tinggi di sebelah kiri,

jadi di jumlahkan )

3. Banyaknya lambang yang diletakkan di sebelah kiri lambang yang

dikurangi hanya satu lambang, sedangkan sebelah kanan bertambah

boleh lebih dari satu lambang.

Contoh :

XIII = 10 + 3 = 13

XXL ≠ 30 ( XXL tidak punya arti )

34

4. Lambang bilangan yang sama bila ditulisnya berurutan tidak boleh

lebih dari 3 angka ( lambang bilangan )

Contoh :

40 ditulis XL dan bukan XXXX

5. Pengurangan mempunyai aturan sebagai berikut, I hanya dapat

dikurangkan dari V dan X, X hanya dapat di kurangkan dari L dan C,

dan C hanya dapat dikurangkan dari D dan M ( Hanya ada 6 kasus )

1. IV = 5 – 1 = 4

2. IX = 10 – 1 = 9

3. XL = 50 – 10 = 40

4. XC = 100 – 10 = 90

5. CD = 500 – 100 = 400

6. CM = 1000 – 100 = 900

6. Karena sistem angka Romawi ini mempunyai dasar (basis )10, maka

dalam penulisannya kita tidak pernah melihat lambang – lambang

besar yang bukan perpangkatan dari 10 diajarkan.

Contoh :

a. 10 ≠ V V

b. 100 ≠ L L L

c. 1000 ≠ D D

7. untuk menuliskan sebuah bilangan yang besar digunakan simbol garis

(“_”) di atas simbol yang bersangkutan.

Contoh :

a. V = 5 x 1000 x 1000 = 5.000.000

b. M = 1000 x 1000 x 1000 = 1.000.000.000

Setelah kita sebagai gurunya memahami dsan mengerti kesemua catatan

pentig di atas, barulah kita melaksanakan pembelajarannya melalui diskusi

atau tanya jawab dalam hal mengubah bilangan desimal menjadi bilangan

Romawi dan sebaliknya disertai soal-soal yang cukup. Sedangkan khusus

untuk pembelajaran yang bersifat pemahaman konsep tentunya akan lebiah

banyak bersifat informasi dengan sekali-sekali diajukan beberapa

35

pertanyaan, mengingat adanya beberapa ketentuan yang berlaku dalam

sistem Romawi.

2) Mengubah Bilangan Desimal Menjadi Bilangan Romawi

Guru menulis di papan tulis beberapa bilangan dalam sistem

lambang bilangan desimal. Kemudian meminta salah seorang siswa

menuliskannya secara bergiliran dalam sistem lambang Bilangan Romawi

dengan bimbingan dan arahan dari guru semua siswa dalam kelas

memperhatikan dan menjawabnya dengan benar, misalnya variasi soalnya

dibuat sedemikian rupa mulai dari yang sederhana seperti berikut.

a) 6 = ...

Apakah 6 = 111111 ?

Apakah dalam sistem Romawi dibolehkan menulis lebih

dari 3 lambang bilangan secara berurutan ?

6 = 5 + 1 = V I, sebab dari kiri ke kanan nilainya turun

berarti harus dijumlahkan

b) 323 = ...

323 = 300 + 20 + 3

=(3 x 100) + (2 x 10) + (3 x 1)

Apakah dalam sistem Romawi dibolehkan menuliskan tiga

lambang atau kurang secara berurutan ?

323 = C D X C I X

Setelah guru memberikan beberapa contoh seperti di atas, kemudian

memberikan beberapa variasi soal seperti berikut untuk didiskusikan.

Tuliskan lambang – lamnag bilangan Romawi dari bilangan – bilangan

berikut.

1. 1983 = ...

= 1000 + 900 + 80 + 3

=1000 + ( 1000 - 100) + ( 50 + 30 ) + 3

= M C M L X X X I I I

36

2. 94.000.000 = ...

= 94 x 1.000.000

= (90 + 4) x 1.000.000

= ((100 – 10) + (5-1)) x 1000 x 1000

= X C I V

3) Mengubah Bilangan Romawi Menjadi Bilangan Desimal

Langkah – langkah pembelajaran untuk mengubah dari sistem

Romawi menjadi sistem Desimal dapat dilakukan seperti alternatif

pembelajaran di atas.

Tulislah bilangn Desimal dari bilangan-bilangn Romawi berikut.

a) C D X C I = ...

= (500 - 100) + (100 - 10) + 1

= 400 + 90 + 1

= 491

b) I X D C X L I V = (10 - 1) x 1000 + (500 + 100) + (50 – 10 ) + (5-1)

= 9.000 + 600 + 40 + 4

= 9.644