Capitulo 8 Fisica 3 (2)

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    Ejemplo 28.1 Fuerzas entre dos protones en movimiento pág. 959

    Dos protones se mueven paralelos al eje  x en sentidos opuestos (fgura

    28.2) con la misma rapidez v (pequeña en comparación con la rapidez de la

    luz c). En el instante que se ilustra calcule las !uerzas el"ctricas #

    magn"ticas so$re el protón de la parte superior # determine la razón de sus

    magnitudes.

    %olución&

    'a !uerza el"ctrica est dada por la le# de oulom$. *ara encontrar la !uerza

    magn"tica primero de$emos determinar el campo magn"tico que produce

    el protón de la parte in!erior en la posición del de arri$a.

    PLANTEAR: %e usa la ecuación (21.2) que e+presa la le# de oulom$. 'a

    ecuación (28.2) da el campo magn"tico de$ido al protón in!erior # la le# de

    la !uerza magn"tica ecuación (2,.2) da la !uerza magn"tica resultante

    so$re el protón superior.

    EJECTAR: De acuerdo con la le# de oulom$ la magnitud de la !uerza

    el"ctrica so$re el protón de arri$a es&

     Fe= K  q

    2

    r2

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    Ejemplo 28.-& ampo magn"tico de un solo alam$re

    n conductor largo # recto conduce una corriente de 1./ 0. 0 qu"distancia del eje del conductor el campo magn"tico generado tiene

    una magnitud B=0.5

    ×10

    −4

    T   (apro+imadamente el campo magn"ticoterrestre en *itts$urg)3

    !"LC#$N:

    'as l4neas de campo de este conductor recto son c4rculos cu#adirección va a estar determinada por la regla de la mano derecacomo lo muestra la fgura&

    B= μ

    0 I 

    2 πr

    %AT"!   •r= μ

    0 I 

    2 πB

    r 5 3

    B=0.5 ×10−4T • r=(4 π ×10−7 T ∙

     m

     A )(1.0 A)

    2 π (0.5 ×10−4 T )

    %e despeja 6r7 de la ecuaciónoriginal dada # se sustitu#enlos valores por los datos que

    dan

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    5 1./ 0   ¿4 × 10−3

    m=4 mm

     μ0=4 π × 10−7 T ∙

    m

     A

    *ro$lema 28.-

    n electrón se mueve a /.1//c como se muestra en la fgura E28.-.alcule la magnitud # dirección del campo magn"tico que esteelectrón produce en los siguientes puntos cada uno situado a

    2.00 μm  desde el electrón& a) puntos 0 # 9: $) punto : c) punto D.

    !"LC#$N:

    ; El campo el"ctrico de$ido a una carga en movimiento es&

    B=  μ

    0

    4 π  ∙

     qv sin θ

    r2

    D0

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    Ejemplo 28.>& ampo magn"tico de dos alam$res

    'a fgura 28.,a es la vista de los e+tremos de dos alam$reslargos rectos # paralelos que son perpendiculares al plano

    +# cada uno de los cuales conduce una corriente pero ensentidos opuestos. a) alcule B  en los puntos  P1 , P2 y P3 .

    $) Deduzca una e+presión para B  en cualquier punto del

    eje + a la dereca del alam$re 2.

    Fig. +,-

    %='?@&

    Ana'izar: *or el principio de superposición el campo magn"tico en

    cada punto va a ser B=B1+B2 . %e va a utilizar la ecuación   B= μ

    0 I 

    2πr

    para poder o$tener las magnitudes de B1 y B2 de estos campos #

    utilizar la regla de la mano dereca para determinar las direcciones

    correspondientes. 'a fgura muestra que B 1, B2 y B=Btotal en cualquier

    punto: se de$e confrmar que las direcciones # magnitudes relativasmostradas son correctas.

    a omo se muestra en la fgura el punto  P1 est a una distancia

    62d7 del alam$re 1 # a una distancia del alam$re 2 de 6>d7  2  a  n  o  s i  n  d i  c  a  q  u  e  e  s  t  (  e  n  d i  r  e  c  c i  ó  n  6  #  7  n  e  g  a  t i  v  a  #  q  u  e  e  s  t  (  e  n  d i  r  e  c  c i  ó  n  6  #  7  p  o  s i  t i  v  a

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    •⃗B

    1=

      μ0 I 

    2 π (2 d )=

     μ0 I 

    4 πd

    ⃗B2=

      μ0 I 

    2 π (4 d)=

     μ0 I 

    8 πd

    Enton(es:

    ⃗B total=⃗B1+⃗B2=− μ

    0 I 

    4 πdĴ +

     μ0 I 

    8 πdĴ =

    − μ0 I 

    8πdĴ  (*unto

     P1 )

    En el punto  P2 a una distancia 6d7 entre los dos alam$res B1 y B2

    tienen am$os dirección en 6#7 positiva # los dos tienen la misma

    magnitud:⃗B

    1=⃗B

    2=

     μ0 I 

    2 πd

    Enton(es:

    ⃗B total=⃗B1+⃗B2= μ0 I 2 πd

    Ĵ + μ0 I 2 πd

    Ĵ =− μ0 I πd

    Ĵ ( Punto P2)

    En el punto  P3  la regla de la mano dereca indica que B 1  est en

    dirección 6#7 positiva # que B2  est en dirección 6#7 negativa. Este

    punto se encuentra a -d del alam$re 1 # a una distancia d del

    alam$re 2 por lo tanto&

    •⃗B

    1=

      μ0 I 

    2 π (3 d )=

     μ0 I 

    6 πd

    •⃗B

    2=

     μ0 I 

    2 πd

    Enton(es:

    ⃗B total=⃗B1+⃗B2=

     μ0 I 

    6 πd^J −

     μ0 I 

    2πd^J =

    − μ0 I 

    3 πd^J ( Punto P3)

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    * En cualquier punto so$re el eje 6+7 a la dereca del alam$re 2B

    1 y B

    2  estn en las mismas direcciones que en  P3 . Este

    punto est a una distancia 6+Ad7 del alam$re 1 # a unadistancia 6+Bd7 del alam$re 2 entonces el campo total es&

    ⃗B total=⃗B1+⃗B2=  μ

    0 I 

    2 π ( x+d )Ĵ −

      μ0 I 

    2π ( x−d )Ĵ 

    ¿−  μ

    0 Id

    π ( x2−d2)Ĵ 

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    Ejemplo 28.C& ampo magn"tico de una $o$ina

    na $o$ina con 1// espiras circulares con radio de /.C/ m conduceuna corriente de ./ 0. a) alcule el campo magn"tico en un punto alo largo del eje de la $o$ina a /.8/ m del centro. b) %o$re el eje aqu" distancia desde el centro de la $o$ina la magnitud del campo es

    1

    8  de la que tiene en el centro3

    !"LC#$N:

    %AT"!

    @5 1//

    5 ./ 0

    a= /.C/ m

     μ0=4 π × 10−7 T ∙

    m

     A

    a sando +5/.8/m en la ecuación anterior se tiene&

       e  s  e  n  u  n  v  a l  o  r  d  a  d  o  d  e l  a  c  o  o  r  d  e  n  a  d  a  + .

       e  s  e l  v  a l  o  r     a       =  / .  C  /   m  d  e  +  e  n  e l  q  u  e  e l  c  a   m  p  o  t i  e  n  e  d  e l  a   m  a  g  n i  t  u  d  q  u  e  s  e  r  e  g i  s  t  r  a  e  n  e l  o  r i  ge

    B x=  μ0∋a

    2

    2( x2+a2)3

    2

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    0.80 m¿

    B x=( μ0=4 π × 10−7T ∙ m A ) (100) (5.0 A ) (0.60 m )2

    2 [(¿¿2+(0.60 m)2

    )]

    3

    2

    B x=1.1 ×10−4

    *  onsiderando la ecuación usada anteriormente queremosencontrar un valor de 6+7 tal que&

    1

    ( x2+a2)3

    2

    =1

    8∙

      1

    (02+a2)3

    2

    %e le da vuelta a las !racciones # se elevan am$oslados la potencia 2F-: entonces&

     x=√ 3 a= 1.04 m

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    E/emp'o +,. Campo de un (ondu(tor 'argo0 re(to & portadorde (orriente

    En la sección 28.C se o$tuvo la le# de 0mpGre empleando la ecuación (28.H)

    para el campo de un conductor largo recto # que transporta$a corriente.

    Ievierta este proceso # utilice la le# de 0mpGre para encontrar la magnitud

     y dirección de 1  en esta situación.

    %olución

    #%ENT#F#CAR: Esta situación presenta simetr4a cil4ndrica por lo que se

    utiliza la le# de 0mpGre para encontrar el campo magn"tico en todos los

    puntos u$icados a una distancia r del conductor.

    PLANTEAR: %e toma como tra#ectoria de integración un c4rculo con radio r 

    centrado en el conductor # en un plano perpendicular a "ste como en la

    fgura 28.1Ca (sección 28.C). En cada punto 1 es tangente a este c4rculo.

    De acuerdo con la elección de la tra#ectoria de integración la le# de0mpGre Jecuación (28.2/)K es&

    ∮Bdl=B (2 πr )  2  μ 3 #

    # de inmediato se deduce la ecuación (28.H)

    12 μ 0 I 

    2 πr   Ec 28.H

    *ro$lema 28.>

    na part4cula al!a (carga A2e) # un electrón se mueven en sentidosopuestos desde el mismo punto cada uno con rapidez de

    2.50×105

    m/s . alcule la magnitud # dirección del campo magn"tico

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    total que producen estas cargas en el punto * que se encuentra a1.,nm de cada uno.

    %='?@&

    B=Bal!a+Bele"tron=  μ

    0 v

    4 π r2(e sin 40#+2esin140#)

    D0

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    B=4 π ×10

    −7T ∙

     m

     A(1.6 ×10−19C )(2.50 ×105

     m

    s )

    4 π (1.75 ×10−9 m)2  (sin 40#+2 sin 140 #)

    B=2.52 ×10−3

    T =2.52mT 

    *ro$lema 28.C

    Dos cargas puntuales positivas q=+8.00 μC   # q $ =+3.00 μC  se

    desplazan en relación con un o$servador en el punto * como se

    ilustra en la fgura. 'a distancia d es /.12/m v=4.50 ×106

    m /s  #

    v $ =9.00 ×106 m /s . a) uando las dos cargas estn en las u$icaciones

    que se india en la fgura ules son la magnitud # la dirección delcampo magn"tico neto que producen en el punto *3 $) ules son lamagnitud # la dirección de las !uerzas el"ctrica # magn"tica que cadacarga ejerce so$re la otra3 ul es la razón entre la magnitud de la!uerza el"ctrica # la magnitud de la !uerza magn"tica3 c) %i la

    dirección de v $   se invierte de manera que las dos cargas se

    desplacen en la misma dirección ules son la magnitud # ladirección de las !uerzas magn"ticas que cada carga ejerce so$re laotra3

    !"LC#$N:

    ⃗B= μ

    0q⃗ v ×⃗r

    4 π r3

    D0

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    q=+8.00×10−6 C v=4.50×106m / s

    q $ =+3.00×10−6 C v $ =9.00×106 m /s

    d5 /.12/m

     μ0=4 π × 10−7 T ∙

    m

     A

    En la parte a) r5d # ⃗r es perpendicular a ⃗v  en todos los

    casos por lo tanto& r5 2d

    Enton(es:

    a   B total=B+B$ =

     μ0

    4 π (

    qv

    d2 +

    q$ v

    d2  )

    0.120

    ¿¿¿2¿

    (8×10−6 C ) (4.50×106m/ s)

    ¿

    B=4 π ×10

    −7T ∙

    m

     A

    4 π   ¿

    B=4.38×10−4 T  . 'a dirección es acia adentro.

    *   F B=  μ

    0

    4 π  ∙

    qq$ vv $ 

    r2 5

    (10−7 T ∙ m A ) (8 ×10−6 C )( 3.00 × 10−6C ) (4.50 × 106 m/ s) (9 × 106 m/ s)

    (0.240)2

     F B=1.69 ×10−3

     % 

    !eg4n 'a 'e& de Cou'om*0 'a uerza entre dos (argas es:

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     F C =& q

    1q

    2

    r2  =(9 ×10 9 % m2/C 2 )

     ( 8 ×10−6 C ) (3 ×10−6C )(0.240)2

      =3.75 % 

    La relación entre la fuerza magnética y laeléctrica es:

     F "

     F B=

      C 2

    v1 v2=

      3.75 % 

    1.69×10−3

     % =2.22×103 %  : la !uerza el"ctrica es ms

    grande que la magn"tica.

    ( 'a dirección de las !uerzas magn"ticas se invierten cuando seinvierte la dirección de una sola velocidad sin em$argo lamagnitud de las !uerza permanece igual.

    *ro$lema 28.C,

    Dos alam$res largos recto # paralelos estn separados por unadistania de 1.//m como muestra la fgura. El alam$re de la izquierda

    conduce una corriente  I 1 de C.// 0 acia el plano del papel. a) 

    ules de$en ser la magnitud # el sentido de la corriente  I 2  paraque el campo neto en el punto * sea cero3 b) ules son la magnitud# dirección del campo neto en L3 c) ul es la magnitud del camponeto en 6%73

    !"LC#$N:

    Ana'izar:%e utiliza la !ormula dada a continuación # la regla de lamano dereca para calcular la dirección # magnitud del campomagnetico en * dada por cada alam$re.

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    B= μ

    0 I 

    2 πr

    a

     I 1=6.00 A

    1.00 m

     I 2

    0.50m

    B1

    B2

      *

    %AT"!

     μ0=4 π × 10−7 T ∙ m

     A

     I 1=6.00 A

    r= 1.50 m r= 0.50 m

    • B1= μ

    0 I 

    1

    2 π r1=

     μ0

    2 π  ∙(6.00

     A1.50 m )

    B 2= μ

    0

    2 π  ∙(  I 

    2

    0.50 m )

    omo B1 5 B2 : enton(es:

    B1 y B

    2 de$en ser iguales #

    opuestos para que el campo

    resultante en 6*7 sea cero. B 2  va

    acia la dereca: entonces  I 2  va

    acia !uera de la pgina

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    •(4 π × 10−7T ∙ m A )

    2 π   ∙ (6.00 A1.50 m )=

    (4 π × 10−7T ∙ m A )2 π 

      ∙ (   I 20.50 m )

    • I 2=( 0.50 m1.50 m ) (6.00 A )=2.00 A

    *   B2 L   B1 • B1= μ

    0 I 

    1

    2 π r1

    0.50m• B1=(2×10−7 T ∙ m A )∙( 6.00 A0.50m )=2.40×10−6 T 

     I 11.00m• B

    2=

     μ0 I 

    2

    2π r2

     I 2

    • B2=(2× 10−7 T ∙ m A ) ∙(

    2.00 A

    1.50 m )=2.67× 10−7T 

      B1 y B 2  son opuestos # B1>B2  entonces&

    B=⃗B1−⃗B2=2.40 ×10−6

    T −2.67 ×10−7T =2.13 ×10−6 T    # B  va acia la

    dereca.

    (

    • B1=

     μ0 I 

    1

    2π r1

     I 1

    B2

    /.C/m!

      • B1=

    (2× 10

    −7T ∙

    m

     A

     )∙

    (

    6.00 A

    0.60 m

    )=2 ' 00 ×10−6 T 

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    1.//m   B1• B2= μ

    0 I 

    2

    2π r2

    /.8/m  • B

    2=

    (2× 10

    −7T ∙

    m

     A

    )∙

    (2.00 A

    1.80 m

    )=5 ' 00 ×10−7 T 

     I 2

      B 1 y B 2  tienen ngulos rectos entre los dos entonces la magnitud se da

    por&

    B=√ B12+B

    2

    2=√ (2 ' 00× 10−6 T )2

    +(5 ' 00 ×10−7 T )2

    =2.06 ×10−6 T