BUKU RANGKAIAN ELEKTRIK -...

Rangkaian Elektrik

1

RANGKAIAN ELEKTRIK

(Analisis Keadaan Mantab)

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG

2017

Oleh : Ir. HERY PURNOMO, MT

BUKU

Rangkaian Elektrik

2

KATA PENGANTAR

Buku ini disusun untuk menunjang matakuliah Rangkaian Elektrik jurusan

Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Malang .Berdasarkan

pengalaman penulis sebagai Dosen makuliah Rangkaian Elektrik, buku ini

digunakan sebagai buku ajar makuliah penunjang dasar bidang keahlian, baik

Bidang Teknik Energi Elektrik, Teknik Elektronika, Teknik Telekomunikasi,

Bidang Teknik Kontrol maupunTeknik Rekayasa Komputer.

Rangkaian Elektrik disusun dalam lima bab, yang memberikan pengertian dasar

dan analisis rangkaian dalam keadaan tunak (Steady state), khusus nya untuk

rangkaian dengan sumber tegangan arus searah (Direct current) dan sumber

tegangan arus bolak-balik (Alternating current).

Dalam bab I diuraikan mengenai besaran elektrik, satuan system internasional

dan unsur-unsur rangkaian.Berikutnya pada bab II dibahas mengenai hokum

dasar rangkaian elektrik, rangkaian seri dan paralel, pembagian tegangan dan

pembagian arus serta transformasi sumber tegangan dan sumber arus.

Pada Bab III dibahas mengenai metode analisis rangkaian yang meliputi

metode arus mesh, metode tegangan node, superposisi , theorem Thevenindan

Theorema Norton.

Bab IV dibahas rangkaian arus bolak-balik dengan sumber tegangan berbentuk

gelombang sinusoida meliputi dasar- dasar sumber tegangan sinusoida,

pengaruh gelombang sinusoida pada unsure rangkaian, metode fasor, daya

nyata, daya reaktif dan daya semu.

Bab V merupakan bab terakhir dibahas mengenai rangkaian tiga fasa, yang

meliputi sumber tegangan tiga fasa hubungan bintang (Y), sumber tegangan

tiga fasa hubungan delta (Δ), beban elektrik tiga fasa hubungan bintang (Y) dan

beban elektrik tiga fasa hubungan delta (Δ), serta daya rangkaian tiga fasa

Pada buku ini penulis menekankan dasa rteori dan contoh persoalan serta soal-

soal, sehingga buku ini dapat digunakan belajar di ruang kuliah maupun

digunakan mahasiswa belajar secara mandiri untuk mempertajam analisis

rangkaian elektrik.

Akhirnya penulis menyadari keterbatasannya sebagai manusia, dan penulis

mohon saran dan kritik demi perbaikan buku ini.

Malang, Oktober 2017

Rangkaian Elektrik

3

DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar isi BAB I. BESARAN ELEKTRIK DAN UNSUR RANGKAIAN 1.1. SatuanSistem Internasional

1.2. Besaran Elektrik

1.3. SumberTegangan Dan SumberArus

1.4. Unsur Rangkaian

BAB II. HUKUM DASAR RANGKAIAN ELEKTRIK 2.1.Hukum Dasar Rangkaian

2.2. Hubungan Seri Dan Hubungan Paralel

2.3. Penjumlahan Resistansi

2.4. Penjumlahan Induktansi

2.5. Penjumlahan Kapasitansi

2.6. PembagianTegangan Dan PembagianArus

2.7. Transformasi SumberTegangan Dan SumberArus

BAB III. METODE ANALISIS RANGKAIAN 3.1. Metode Analisis Arus Mesh

3.2. Metode AnalisisTegangan Node

3.3. Prinsip Superposisi

3.4. Theorema Thevenin

3.5. Theorema Norton

BAB IV. RANGKAIAN ARUS BOLAK-BALIK 4.1. Gelombang Sinusoida

4.2. Pengaruh Gelombang sinusoida pada Unsur Rangkaian

4.3. Metode Fasor

4.3. Daya Rangkaian Arus Bolak-Balik

BAB V. RANGKAIAN TIGA FASA 5.1. SumberTeganganTigaFasa

5.2. Beban ElektrikTiga Fasa

5.3. Daya RangkaianTiga Fasa

Rangkaian Elektrik

4

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1. Simbol SumberTegangan Sempurna

Gambar 1.2. Simbol Sumber Arus Sempurna

Gambar 1.3. Simbol SumberTeganganTergantung

Gambar 1.4. Simbol Sumber ArusTergantung

Gambar1.5. Simbol Resistansi

Gambar1.6. Simbol Konduktansi

Gambar1.7.Bahan Batangan

Gambar 1.8. Simbol Induktansi

Gambar 1.9. Induktor

Gambar1.10. Simbol Kapasitor

Gambar 1.11. Kapasitor

Gambar 2.1. Rangkaian Resistansi

Gambar 2.2. Titik Sambung Rangkaian

Gambar 2.3. Tegangan pada RangkaianTertutup

Gambar 2.4. Hubungan Seri Unsur Rangkaian

Gambar2.5. Hubungan Paralel Unsur Rangkaian

Gambar 2.6. Resistansi Seri dan Rangkaian Ekuivalen

Gambar 2.7. Resistansi Paraleldan Rangkaian Ekuivalen

Gambar 2.8. Dua Resistansi Paralel

Gambar 2.9. Induktansi Seri dan Rangkaian Ekuivalen

Gambar 2.10 .Induktansi Paralel dan Rangkaian Ekuivalen

Gambar 2.11. Kapasitansi Seri dan Rangkaian Ekuivalen

Gambar 2.12. Kapasitansi Paralel dan Rangkaian Ekuvalen

Gambar 2.13. PembagianTegangan

Gambar 2.14. Pembagian Arus

Gambar 2.15. Transformasi Sumber Tegangan

Gambar 2.16. Transformasi Sumber Arus

Gambar 3.1. Rangkaian Elektrik Satu Mesh

Gambar 3.2. Rangkaian Elektrik Dua Mesh

Gambar 3.3. Rangkaian Elektrik Dua Node

Gambar 3.4. Rangkaian Elektrik Tiga Node

Gambar 3.5. Blok Diagram denganTiga Sumber

Rangkaian Elektrik

5

Gambar 3.6. Rangkaian Ekuivalen Sumber tegangn dan Sumber Arus

Dimatikan

Gambar 3.7. RangkaianTeoremaThevenin

Gambar 3.8. Rangkaian PerhitunganTegangandanTahananThevenin

Gambar 3.9. RangkaianTeorema Norton

Gambar 3.10. Rangkaian perhitungan Arus danTahanan Norton

Gambar 4.1. GelombangTegangan Sinusoida

Gambar 4.2. Nilai Efeftif Gelombang Sinusoida

Gambar 4.3. Rangkaian Resistansi dengan SumberTegangan Sinusoida

Gambar 4.4. GelombagTegangan dan Arus pada Resistansi

Gambar 4.5. Rangkaian Induktansi dengan SumberTegangan Sinusoida

Gambar 4.6. GelombangTegangan dan Arus pada Induktansi

Gambar 4.7. Rangkaian Kapasitansi dengan SumberTegangan Sinusoida

Gambar 4.8. GambarTegangan dan Arus pada Kapasitansi

Gambar 4.9. Rangkaian Impedansi

Gambar 4.10. Rangkaian RLC

Gambar 4.11. FasorTegangan pada Bidang Komplek

Gambar 4.12. Rangakaian dengan Impedansi Bersifat Induktif

Gambar 4.13. Gelombang Daya Sesaat

Gambar 4.14. Rangkaian dengan Impedansi Induktif Murni

Gambar 4.15. Gelombang Daya Sesaat pada Induktansi

Gambar 4.16. Rangkaian dengan Impedansi Kapasitif Murni

Gambar4.17 Gelombang Daya Sesaat pada Kapasitansi

Gambar 4.18. Rangkaian dengan Impedansi

Gambar 4.19. Tegangan dan Arus pada Bidang Komplek

Gambar 4.20. Segitiga Impedansi dan Segitiga Daya

Gambar 4.21. Sifat Rangkaian dengan Impedansi

Gambar 5.1.Konsep Generator SinkronTiga Fasa

Gambar 5.2. GelombangTeganganTiga Fasa

Gambar 5.3. SumberTeganganTiga Fasa Hubungan Bintang

Gambar 5.4. Diagram VektorTegangan Hubungan Bintang

Gambar 5.5. Hubungan Arus pada SumberTegangan Hubungan Bintang

Gambar 5.6. SumberTegangan Hubungan Delta

Gambar 5.7. Hubungan Arus pada SumberTegangan Hubungan Delta

Gambar 5.8. Beban ListrikTiga Fasa Hubungan Bintang

Rangkaian Elektrik

6

Gambar 5.9. Tegangan dan Arus pada Hubungan Bintang

Gambar 5.10. Beban ListrikTiga Fasa Hubungan Delta

Gambar 5.11. Tegangan dan Arus Hubungan Delta

Gambar 5.12. SumberTegangan dng Beban ListrikTiga Fasa Hubungan

Bintang

Gambar 5.13. SumberTegangan dengan Beban ListrikTiga Fasa Hubungan

Delta

Rangkaian Elektrik

7

BAB I

BESARAN ELEKTRIK DAN UNSUR RANGKAIAN

1.1 Satuan Sistem Internasional

Dalam teknologi setiap gejala fisis harus dapat diuraikan secara kuantitatif

dengan satuan yang sama, karena itu diperlukan suatu himpunan satuan baku yang

seragam dan dapat dipakai dimanapun. Sistem satuan yang digunakan dalam hal ini

adalah Satuan Sistem Internasional (SI).

Konferensi Internasional yang kesepuluh mengenai berat dan ukuran pada

tahun 1954 telah menetapkan enam satuan dasar, antara lain :

• Satuan panjang dalam meter (m)

• Satuan massa dalam kilogram (kg)

• Satuan waktu dalam second (s)

• Satuan arus listrik dalam ampere (A)

• Satuan suhu dalam kelvin (K)

• Satuan kuat cahaya dalam candela (cd)

Untuk mempermudah pemakaian, digunakan awalan satuan yang menunjukkan

kelipatan satuan, karena pada umumnya daerah yang dicakup oleh suatu satuan

tersebut sangat luas. Awalan satuan dapat dilihat pada tabel 1.1 berikut.

Tabel. 1.1 Awalan Satuan

Awalan satuan Kelipatan Simbol

Exa 1018 E

Petra 1015 P

Tera 1012 T

Giga 109 G

Mega 106 M

Kilo 103 k

hekto 102 h

deca 10 da

deci 10-1 d

centi 10-2 c

milli 10-3 m

mikro 10-6 µ

nano 10-9 n

pico 10-12 p

femto 10-15 f

atto 10-18 a

Rangkaian Elektrik

8

Contoh :

4000 g = 4.103 g = 4 kg

3000 A = 3.103 g = 3 kA

2 A = 2000.10-3 A = 2000 mA

750 kV = 750.103 V = 750000 V

1.2. Besaran Elektrik

1. Arus Elektrik

Arus elektrik (arus listrik) adalah banyaknya muatan yang melewati luas

penampang tertentu per satuan waktu, apabila ditulis dalam bentuk rumus persamaan :

dt

dqi =

i : Arus elektrik dalam ampere (A) q : Muatan elektrik dalam coulomb (c) t : Waktu dalam detik (s)

Arus listrik dalam rangkaian harus digambarkan dengan arah anak panah, simbol

untuk arus elektrik ditulis i (huruf kecil) digunakan untuk arus yang merupakan fungsi

waktu, yang disebut arus sesaat (intantaneous current), sebagai contoh.

i = 100t A

i(t) = 100t A

i = 20 sin 80t A

Ditulis I (huruf besar) digunakan untuk arus yang besarnya konstan, bukan merupakan

fungsi waktu, sebagai contoh.

I = 10 A

I = 0,75 A

2. Tegangan Elektrik

Tegangan elektrik (tegangan listrik) disebut juga beda potensial adalah tenaga

yang diperlukan oleh satu satuan muatan elektrik untuk berpindah dari suatu titik ke

titik yang lain karena pengaruh gaya elektrik. Atau dengan kata lain beda potensial

adalah tenaga per satuan muatan, dan ditulis dalam bentuk rumus persamaan :

dq

dwv =

v : Tegangan elektrik dalam volt (V) w : Tenaga elektrik dalam joule (J) q : Muatan elektrik dalam coulomb (C)

i

i

Vs

+

-

Rangkaian Elektrik

9

Tegangan dalam rangkaian harus digambarkan dengan polaritas positif (+) dan negatif

(-), simbol untuk tegangan elektrik ditulis v (huruf kecil) digunakan untuk tegangan

yang merupakan fungsi waktu atau tegangan sesaat (intantaneuos voltage), sebagai

contoh:

v = 10 t volt

v(t) = 10t volt

v = 100 cos (10t +300)

V(huruf besar) digunakan untuk tegangan yang besarnya konstan, sebagai contoh :

V = 220 volt

V = 12 volt

3. Daya Elektrik

Daya elektrik (daya listrik) adalah besarnya tenaga elektrik setiap satuan waktu,

apabila ditulis dalam bentuk rumus persamaan .

dt

dwp =

p : Daya elektrik dalam Watt (W) w : Tenaga elektrik dalam joule (J) t : Waktu dalam detik (s)

Simbol untuk daya elektrik ditulis p (huruf kecil) digunakan untuk daya yang merupakan

fungsi waktu, atau disebut daya sesaat, sebagai contoh :

p = 10 sin 50t watt

p(t) = 10 cos 30t watt.

Ditulis P (huruf besar) digunakan untuk daya yang besarnya konstan, sebagai contoh :

P = 25 watt

P = 500 watt

ivdt

dq.

dq

dw

dt

dwp ===

Daya yang diserap resistor ivp =

1.3. Sumber Tegangan dan Sumber Arus

Sumber tegangan/sumber arus dibedakan menjadi dua , yaitu sumber tegangan

ideal (sempurna) dan sumber tegangan tergantung serta sumber arus ideal dan

sumber arus tergantung

Rangkaian Elektrik

10

1. Sumber tegangan sempurna

Sumber tegangan sempurna adalah sumber tegangan yang akan memberikan

tegangan yang tetap besarnya, lambang dari sumber tegangan sempurna seperti

terlihat pada gambar no. 1.1.

V

+

-

V+

-

Gambar 1.1. Simbol Sumber Tegangan Sempurna

2. Sumber Arus Sempurna

Sumber arus sempurna adalah sumber arus yang akan memberikan arus yang

tetap besarnya, simbol dari sumber arus sempurna terlihat pada gambar no. 1.2

berikut ini.

i i

Gambar 1.2. Simbol Sumber Arus Sempurna

3. Sumber Tegangan Tergantung.

Sumber tegangan tergantung adalah sumber tegangan yang besarnya tergantung

dari tegangan atau arus yang lain, simbol dari sumber tegangan tergantung

seperti terlihat pada gambar no. 1.3.

V = kV1 V = ki1

+

+

--

Gambar 1.3 Simbol Sumber Tegangan Tergantung

(a). Sumber tegangan tergantung, yang tergantung pada tegangan yang lain.

(b). Sumber tegangan tergantung yang tergantung pada arus yang lain.

Rangkaian Elektrik

11

4. Sumber Arus Tergantung.

Sumber arus tergantung adalah sumber arus yang besarnya tergantung pada

tegangan atau arus yang lain, simbol dari sumber arus tergantung diperlihatkan

pada gambar no. 1.4.

i = kV1 i = ki1

Gambar 1.4 Simbol Sumber Arus Tergantung

(a). Sumber arus tergantung, yang tergantung pada tegangan yang lain.

(b). Sumber arus tergantung, yang tergantung pada arus yang lain.

1.4. Unsur Rangkaian

Rangkaian elektrik adalah suatu rangkaian yang merupakan hubungan antara

sumber tegangan/sumber arus dengan konstanta rangkaian.

Unsur rangkaian merupakan bagian pembentuk rangkaian elektrik, yang terdiri dari

sumber-sumber dan konstanta rangkaian.

Konstanta rangkaian (parameter rangkaian) terdiri dari Resistansi, Induktansi dan

Kapasitansi.

1. Resistansi (R).

Resistansi (tahanan) adalah konstanta rangkaian yang memerlukan tegangan

sebanding dengan arus yang mengalir didalamnya, apabila ditulis dalam bentuk

rumus persamaan (Hukum Ohm), sebagai berikut :

i

vR =

R : Resitansi dalam Ohm (Ω) v : Tegangan dalam volt (V) i : Arus dalam ampere (A)

Simbol untuk resistansi terlihat pada gambar no. 1.5 berikut ini

Ri

V-+

Gambar 1.5 Simbol Resistansi

Rangkaian Elektrik

12

Kebalikan dari resistansi adalah konduktansi (daya hantar elektrik), simbol dari

konduktansi (G)

R

1G =

v.Gi =

G : Konduktansi dalam mho atau siement v : Tegangan dalam volt (V) i : Arus dalam ampere (A)

Gi

V+ -

Gambar 1.6 Simbol Konduktansi

Benda fisis yang mempunyai resistansi besar (resistif) disebut Resistor,

sedangkan benda fisis yang mempunyai konduktansi besar (konduktif) disebut

konduktor.

Besarnya resistansi (tahanan) dipengaruhi oleh adanya perubahan suhu, suhu

semakin naik maka tahanannya akan bertambah besar, persamaan resistansi yang

dipengaruhi oleh suhu sebagai berikut:

)tt(1RR 121t2t −+=

Rt2 : Resistansi pada suhu t2 Rt1 : Resistansi pada suhu t1 t1 : Suhu awal (0C) t2 : Suhu akhir (0C) α : Koefisien suhu tahanan Besarnya resistansi suatu bahan dengan panjang (L) dan luas penampang (A) yang

diperlihatkan pada gambar 1.7, dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut ;

A

LR =

ρ : Tahanan jenis (resistivitas) satuan (Ω.m) L : Panjang bahan batangan (m) A : Luas penampang bahan batangan (m2)

Gambar 1.7. Bahan Batangan

Rangkaian Elektrik

13

Bahan logam yang yang mempunyai tahanan jenis rendah disebut konduktor, misalnya

aluminium, tembaga, perak dan sebagainya, logam ini baik sekali untuk mengalirkan

arus elektrik.

Bahan yang mempunyai tahanan jenis yang sangat tinggi disebut isolator, misalkan

glas, porselin, mika dan sebagainya, bahan ini digunakan untuk membatasi

(mengisolasi) agar arus elektrik tidak dapat mengalir.

Besarnya daya dalam resistansi dapat dihitung dengan rumus :

wattRii).Ri(i.vp 2===

Tenaga pada resistansi

=

=

dtpw

dt.pdw

jouletRiw 2=

Tenaga pada resistansi akan dikeluarkan dalam bentuk panas

2. Induktansi (L)

Induktansi adalah konstanta rangkaian yang memerlukan tegangan sebanding

dengan kecepatan perubahan arus yang melaluinya, apabila ditulis dalam bentuk

rumus persamaan sebagai berikut :

dt

diLv =

dt

di

vL =

L : Induktansi dalam Henry (H) v : Tegangan dalam volt (V)

i : Arus dalam ampere (A) t : Waktu dalam detik (s) Simbol dari induktansi terlihat pada gambar 1.8 berikut ini :

Li

V+ -

Gambar 1.8 Simbol Induktansi

-v

+

Li

Rangkaian Elektrik

14

dt

diLv =

=

=

vdtL

1di

dtvL

1di

t

0

)0(ivdtL

1)t(i

vdtL

1)0(i)t(i

+=

=−

Apabila i(0) = 0, maka :

= vdtL

1)t(i

Dari persamaan menunjukkan bahwa arus dalam induktansi tidak tergantung pada nilai

sesaat tegangan, melainkan pada nilai sejak awal sampai pada saat tegangan tersebut

diamati. Yaitu integral atau jumlah hasil kali volt .detik untuk seluruh waktu sampai

waktu pada saat diamati.

Daya pada induktansi dapat dihitung sebagai berikut :

wattdt

diiLi.

dt

diLivp ===

Tenaga pada induktansi dapat dihitung :

=

==

di.iLw

dt.dt

diiLdtpw

jouleiL2

1w 2=

Tenaga pada induktansi akan disimpan dalam bentuk medan maknet, benda fisis yang

mempunyai induktansi besar (induktif) disebut induktor, Gambar 1.9 memperlihatkan

induktor yang terdiri dari kumparan tembaga dan inti besi laminasi.

Rangkaian Elektrik

15

Inti besi

Kumparan tembaga A

dN

Gambar 1.9 Induktor

Besarnya induktansi dari induktor dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :

d

ANL

2=

L : Induktansi (H) N :Jumlah lilitan kumparan tembaga A : Luas penampang inti besi (m2) µ : Permeabilitas maknit inti besi d : Panjang jalur maknetik (m)

3. Kapasitansi

Kapasitansi adalah kontanta rangkaian yang memerlukan arus sebanding

dengan perubahan tegangan terhadap waktu, apabila dituliskan dalam bentuk rumus

persamaan sebagai berikut :

dt

dvCi =

dt

dv

iC =

C : Kapasitansi (F) i : Arus (A) v : Tegangan (V) t : Waktu (s)

Lambang untuk rangkaian kapasitansi terlihat pada gambar 1.10 berikut ini.

C

i

V

+ -

Gambar 1.10 Simbol Kapasitansi

C

+ -

v

i

Rangkaian Elektrik

16

dtiC

1dv

dt

dvCi

=

=

=−

=

idtC

1)0(v)t(v

idtC

1dv

t

0

)0(vidtC

1)t(v +=

Apabila tegangan awal v(0) = 0, maka :

= idtC

1)t(v

Daya pada kapasitansi dapat dihitung sebagai berikut :

wattdt

dvvCivp ==

Tenaga pada kapasitansi adalah :

=

==

dvvCw

dt.dt

dvvCdtpw

joulevC2

1w 2=

Dalam kapasitansi tenaga tersebut akan disimpan dalam bentuk Medan listrik, tenaga

ini akan dikeluarkan kembali pada rangkaian pada saat tegangan menjadi nol.

Benda fisis yang mempunyai kapasitansi besar (kapasitif) disebut Kapasitor,

gambar 1.11 memperlihatkan kapasitor.

+

-

d

Bahan dielektrik

Plat/keping

kapasitor

Gambar 1.11 Kapasitor

Rangkaian Elektrik

17

Besar kapasitansi dari kapasitor dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :

d

AC =

C : Kapasitansi (F)

A : Luas penampang keping kapasitor (m2) d : Jarak antara keping kapasitor (m) ε : Permitivitas bahan (konstanta dielektrik) 1.5. Soal-Soal

1. Pemanas listrik dengan data : daya 1 kW, tegangan 220 V, apabila pemanas

dihubungkan dengan sumber tegangan 180 V, hitung daya dan tenaga yang

diserap selama 6 jam.

2. Kapasitor 25 pF dialiri arus listrik i = 10 cos (5t + 300) A

Hitung tegangan pada kapasitor tersebut.

3. Dalam rangkaian elektrik berikut, diketahui sumber tegangan v(t) = 100 V,

hitung arus yang mengalir (i)

v(t)

+

-

40

10

1 H

10 Fi

4. Rangkaian elektrik praktis berikut, gambarkan dalam unsur rangkaian

Rangkaian Elektrik

18

BAB II

HUKUM DASAR DAN RANGKAIAN SEDERHANA

Dalam Bab ini akan dibahas bagaimana hukum dasar rangkaian mendasari

gabungan dan interkoneksi beberapa unsur rangkaian dalam suatu rangkaian elektrik,

akan dijumpai hukum dasar utama, yaitu Hukum Ohm yang merupakan hubungan

antara arus dan tegangan pada konstanta rangkaian, Kukum Kirchhoff yang akan

menguraiakan bagaimana hubungan arus apabila beberapa unsur rangkaian bertemu

dalam suatu titik sambung (node), serta bagaimana beberapa tegangan bergabung

apabila unsur rangkaian dihubungkan secara berurutan.

Dibahas pula pengembangan dari hukum-hukum dasar untuk menyelidiki

hubungan seri dan paralel beberapa unsur rangkaian, pembagian tegangan dan

pembagian arus serta transformasi sumber tegangan dan sumber arus.

2.1. Hukum Dasar Rangkaian

1. Hukum Ohm.

Hukum Ohm menyatakan bahwa tegangan pada ujung-ujung resistansi

berbanding langsung dengan besarnya arus yang mengalir dan besar resistansi yang

dilaluinya, secara matematik dituliskan dengan rumus persamaan sebagai berikut.

iRv =

v : Tegangan dalam volt (V) i : Arus dalam ampere (A) R: Resistansi dalam ohm (Ω)

Gambar 2.1. Rangkaian Resistansi Apabila arus mengalir masuk resistansi menjumpai polaritas positif (+), maka tegangan

pada resistansi adalah positif.

Apabila arus mengalir masuk resistansi menjumpai polaritas negatif (-), maka tegangan

pada resistansi adalah negative

iRv = iRv −=

Rangkaian Elektrik

19

2. Hukum Kirchhoff I

Hukum Kirchhoff I menyatakan jumlah arus yang menuju ketitik sambung (titik

simpul/node) adalah sama dengan nol, atau jumlah arus yang menuju titik sambung

sama dengan jumlah arus yang meninggalkan titik sambung.

=

=n

1k

k 0i

0i.........iiii n4321 =+++++

Gambar 2.2. Titik Sambung Rangkaian

0iiiii

0)i(i)i(ii

53421

54321

=−−++

=−++−++

Atau :

53421 iiiii +=++

(Jumlah arus yang menuju node sama dengan jumlah arus yang meninggalkan node)

Contoh : Hitung arus ia

1

2 A

18 A 3 A

2

4 A

ia

Solusi :

Pada rangkaian terdapat 2 titik sambung, titik sambung (1) dan titik sambung (2).

Ditinjau pada titik sambung (1) :

0i = , maka 18 – 2 – 3 – 4 – ia = 0

ia = 9 A Ditinjau pada titik sambung (2) :

Rangkaian Elektrik

20

-18 +2 +3 + 4 + ia = 0 ia = 9 A 3. Hukum Kirchhoff II

Hukum Kirchhoff II menyatakan bahwa dalam rangkaian tertutup jumlah

tegangan sama dengan nol.

=

=n

1k

k 0v

0v........vvv n321 =++++

Gambar 2.3. Tegangan pada Rangkaian Tertutup

Cara menentukan penjumlahan tegangan, terdapat 2 cara yang dapat

dilakukan, yaitu :

1). Menjumlahkan tegangan dengan cara melihat arah polaritas tegangan.

Arah polaritas tegangan dibaca dari polaritas negatif (-) ke polaritas positif (+),

dengan ketentuan :

Tegangan yang arah polaritas kekanan dalam rangkaian tertutup diberi tanda positif,

sedangkan, tegangan yang arah polaritas kekiri dalam rangkaian tertutup diberi tanda

negatif. Dari rangkaian elektrik gambar 2.3 diperoleh persamaan :

0vvvvv

0)v()v()v()v(v

c2ba1

c2ba1

=−−−−

=−+−+−+−+

2). Menjumlahkan tegangan dengan cara melihat arah arus.

Apabila arah arus masuk ke unsur rangkaian menjumpai polaritas positif (+),

maka tegangan pada unsur rangkaian diberi tanda positif, sedangkan apabila arah

Rangkaian Elektrik

21

arus masuk ke unsur rangkaian menjumpai polaritas negatif (-), maka tegangan pada

unsur rangkaian diberi tanda negatif

0vvvvv

0)v()v()v()v(v

c2ba1

c2ba1

=++++−

=++++++++−

Contoh : 1. Pada rangkaian elektrik berikut, hitung tegangan (va)

+

150 V

30 VR1

Va

+

+

-

- -

+ -30 V

R2

2. Pada rangkaian elektrik berikut, hitung arus Ix dan tegangan Vx

10 A

2

Vx

+ -

2 4 1 A

Ix 2 A

Pada titik sambung (3), berlaku 0i =

-10 + Ix + 2 + 1 = 0

-7 + Ix = 0

Ix = 7 A

V1 = 2x7 = 14 V, dan V2 = 4x2 = 8 V

Pada rangkaian tertutup berlaku 0v =

V1 – Vx – V2 = 0

Vx = V1 – V2

Vx = 14 – 8 = 6 V

0v =

150 – 30 – 30 – Va = 0 Va = 90 V

10 A

2

Vx

+ -

2 4 1 A

Ix 2 A

1 2

3

+ +

- -

V1 V2

Solusi :

Solusi :

Rangkaian Elektrik

22

2.2. Hubungan Seri dan Hubungan Paralel

1. Hubungan Seri

Dalam hubungan seri unsur rangkaian yang diperlihatkan pada gambar 2.4,

besarnya arus yang mengalir adalah sama.

54321 iiiii ====

i1 i2

i3

i4

i5

+

-

Vs

R

L2

C

L1

Gambar 2.4 Hubungan Seri Unsur Rangkaian

Apabila beberapa sumber arus dihubungkan seri, maka besarnya arus harus sama. 2. Hubungan Paralel

Dalam hubungan paralel unsur rangkaian yang ditunjukkan pada gambar 2.5,

besarnya tegangan paralel sama.

321s vvvv ===

+

-

VsR LC

+ + +

- - -

V1 V2 V3

Gambar 2.5 Hubungan Paralel Unsur Rangkaian Apabila beberapa sumber tegangan dihubungkan paralel, maka besarnya tegangan

harus sama

2.3. Penjumlahan Resistansi.

1. Resistansi Seri

Rangkaian yang terdiri dari 3 resistansi yang dihubungkan seri, serta

rangkaian ekuivalenya terlihat pada gambar 2.6

Rangkaian Elektrik

23

Vs

R1

R2

R3

i +

+

+

-

-

-

V1

V2

V3

+

-

Gambar 2.6 Resistansi Seri dan Rangkaian Ekuivalen

Besarnya tegangan pada masing-masing resistansi adalah :

iRv

iRv

iRv

33

22

11

=

=

=

Dalam rangkaian tertutup, maka berlaku: 0v =

iRv

i)RRR(

iRiRiR

vvvv

0vvvv

ss

321

321

321s

321s

=

++=

++=

++=

=−−−

Dari hasil perhitungan diperoleh resistansi ekuivalen (resistansi seri):

321s RRRR ++=

Sehingga secara umum dapat dituliskan rumus persamaan sebagai berikut :

= RRs

1. Resistansi Paralel

Rangkaian yang terdiri dari 3 resistansi yang dihubungkan paralel, serta

rangkaian ekuivalenya terlihat pada gambar 2.7

+

-

VsR1 R2 R3

ii1 i2 i3

Gambar 2.7 Resistansi Paralel dan Rangkaian Ekuivalen

+

-

Vs Rp

i

+

-

Vs Rs

i

Rangkaian Elektrik

24

Besarnya arus pada masing-masing resistansi adalah :

3

3

2

2

1

1

R

vi

R

vi

R

vi

=

=

=

Menurut Hukum Kirchhoff I, maka berlaku : 0i =

321

321

321

R

v

R

v

R

vi

iiii

0iiii

++=

++=

=−−−

vR

1i

vR

1

R

1

R

1i

p

321

=

++=

Dari hasil perhitungan diperoleh resistansi ekuivalen (resistansi paralel):

321p R

1

R

1

R

1

R

1++=


= GGp

Apabila terdapat dua resistansi yang paralel, untuk mempermudah dalam perhitungan,

maka digunakan rumus sebagai berikut :

R1 R2

Gambar. 2.8 Dua Resistansi Paralel

=R

1

R

1

p

Rangkaian Elektrik

25

21p R

1

R

1

R

1+=

21

12

p RxR

RR

R

1 +=

Jadi rumus khusus dua resistansi paralel :

21

12p

RR

RxRR

+=

2.4. Penjumlahan Induktansi

1. Induktansi Seri

Rangkaian yang terdiri dari 3 induktansi dihubungkan seri, serta rangkaian

ekuivalenya terlihat pada gambar 2.9

+

-

Vs

L1

L2

L3

i +

+

+

-

-

-

V1

V2

V3

Gambar 2.9 Induktansi Seri dan Rangkaian Ekuivalen

Besarnya tegangan pada masing-masing induktansi adalah :

dt

diLv

dt

diLv

dt

diLv

33

22

11

=

=

=

Dalam rangkaian tertutup, maka berlaku : 0v =

321s

321s

vvvv

0vvvv

++=

=−−−

dt

diLv

dt

diLLLv

dt

diL

dt

diL

dt

diLv

ss

321s

321s

=

++=

++=

+

-

Vs Ls

i

Rangkaian Elektrik

26

Dari hasil perhitungan diperoleh induktansi ekuivalen (induktansi seri):

321s LLLL ++=


= LLs

2. Induktansi Paralel

Rangkaian yang terdiri dari 3 induktansi dihubungkan paralel, serta rangkaian


+

-

Vs L1 L2 L3

ii1 i2 i3

Gambar 2.10 Induktansi Paralel dan Rangkaian Ekuivalen

Besarnya arus pada masing-masing induktansi adalah :

=

=

=

dtvL

1i

dtvL

1i

dtvL

1i

3

3

2

2

1

1


321

321

iiii

0iiii

++=

=−−−

=

++=

++=

dtvL

1i

dtvL

1

L

1

L

1i

dtvL

1dtv

L

1dtv

L

1i

p

321

321

Dari hasil perhitungan diperoleh induktansi ekuivalen (induktansi paralel):

+

-

Vs Lp

i

Rangkaian Elektrik

27

321p L

1

L

1

L

1

L

1++=


2.5. Penjumlahan Kapasitansi

1. Kapasitansi Seri

Rangkaian yang terdiri dari 3 kapasitansi dihubungkan seri, serta rangkaian


+

-

Vs

C1 C2

C3

i+ +

+

- -

-

V1 V2

V3

Gambar 2.11 Kapasitansi Seri dan Rangkaian Ekuivalen Besarnya tegangan pada masing-masing kapasitansi adalah :

=

=

=

dtiC

1v

dtiC

1v

dtiC

1v

3

3

2

2

1

1

Dalam rangkaian tertutup, maka berlaku: 0v =

321s

321s

vvvv

0vvvv

++=

=−−−

=

++=

++=

dtiC

1v

dtiC

1

C

1

C

1v

dtiC

1dti

C

1dti

C

1v

s

s

321

s

221

s

=L

1

L

1

p

+

-

Vs Cs

i

Rangkaian Elektrik

28

Dari hasil perhitungan diperoleh kapasitansi ekuivalen (kapasitansi seri):

321s C

1

C

1

C

1

C

1++=


=C

1

C

1

s

2. Kapasitansi Paralel

Rangkaian yang terdiri dari 3 kapasitansi dihubungkan paralel, serta rangkaian


+

-

Vs C1 C2 C3

ii1 i2 i3

Gambar 2.12 Kapasitansi Paralel dan Rangkaian Ekuivalen

Besarnya arus pada masing-masing kapasitansi adalah :

dt

dvCi

dt

dvCi

dt

dvCi

33

22

11

=

=

=


321

321

iiii

0iiii

++=

=−−−

dt

dvCi

dt

dvCCCi

dt

dvC

dt

dvC

dt

dvCi

p

321

321

=

++=

++=

+

-

Vs Cp

i

Rangkaian Elektrik

29

Dari hasil perhitungan diperoleh kapasitansi ekuivalen (kapasitansi paralel):

321p CCCC ++=


Contoh Soal : 1). Hitung resistansi ekuivalen (Rab)

10 15

a

b

14 10

2). Hitung induktansi total (Lab)

a

6 H

4 H

2 H

10 H

b

a

6 H Ls

c10 H

b

d

3). Hitung kapasitansi total (Cab)

6 F

a

3 F

3 F

5 F

b

= CCp

=++=

=+

=

3061410R

61015

10x15R

ab

p

H13310L

H366

6x6L

H624L

ab

cd

s

=+=

=+

=

=+=

Rangkaian Elektrik

30

Cs

a

3 F

5 F

b

c

d

4). Diketahui rangkaian elektrik berikut ini. Hitung tahanan ekuivalen Hitung arus yang diberikan oleh sumber tegangan Hitung tegangan pada resistansi (10 Ω)

12 V

+

-

1

1

10 8

x

y

0,5

0,5

4

Solusi :

10 Rs

x

y

0,5

0,5

4

Rs1

x

y

4

Jadi resistansi ekuivalen Rxy = 2,4 Ω

F5,255

5x5C

F523C

F236

3x6C

ab

cd

s

=+

=

=+=

=+

=

=++= 10181Rs

Rp

x

y

0,5

0,5

4 =+

= 51010

10x10Rp

=+

=

=++=

4,246

4x6R

65,055.0R

xy

s

Rangkaian Elektrik

31

12 V

++

--

Va

I

Ia

Arus yang diberikan sumber tegangan : I = 5 A

Tegangan pada resistansi (10 Ω) : Va = 10 V (rangkaian paralel tegangannya sama)

2.6. Pembagian Tegangan dan Pembagian Arus.

` Dengan mengkombinasikan resistansi dan sumber-sumber maka dapat

diperoleh suatu metode yang dapat memperpendek kerja untuk menganalisis suatu

rangkaian elektrik, yaitu dengan konsep pembagian tegangan dan pembagian arus

1. Pembagian Tegangan

Pembagian tegangan digunakan untuk menyatakan tegangan pada salah satu

diantara beberapa resistansi yang terhubung seri, dapat dilihat pada gambar 2.13

321s RRRR ++=

s

s

R

vi

iRv

=

=

vR

R

R

vRiRv

s

1

s

111 ===

vR

R

R

vRiRv

s

2

s

222 ===

vR

R

R

vRiRv

s

3

s

333 ===

Dari ketiga persamaan mempunyai bentuk kesamaan, dan apabila dituliskan dalam

bentuk persamaan secara umum, diperoleh :

vR

Rv x

x

=

x : 1 s/d n Vx : Tegangan pada resistansi ke x

V1

V2

R1

R2

R3

i

V

+

+

+

+

-

-

-

-

V3

Gambar 2.13 Pembagian Tegangan

V102x5IRV

A26

12

R

12I

A54,2

12

R

12I

apa

s

a

xy

===

===

===

Rangkaian Elektrik

32

Contoh :

Hitung tegangan v1 dan v4

V1

150 V

+

+

+

-

-

-V4

5

10

15

20

2. Pembagian Arus

Pembagian arus digunakan untuk menyatakan arus yang mengalir melalui

salah satu diantara beberapa resistansi yang terhubung paralel, hal ini dapat dilihat

pada gambar 2.14

321p

321p

GGGG

R

1

R

1

R

1

R

1

++=

++=

p

p

G

iv

iRv

=

=

iG

G

G

iGvG

R

vi

p

1

p

11

1

1 ====

iG

G

G

iGvG

R

vi

p

2

p

22

2

2 ====

iG

G

G

iGvG

R

vi

p

3

p

33

3

3 ====

Dari ketiga persamaan mempunyai bentuk kesamaan, dan apabila dituliskan dalam

bentuk persamaan secara umum, diperoleh :

iG

Gi xx

=

x : 1 s/d n ix : Arus pada resistansi ke x

i3

-

R1 R2 R3

i

i2i1

V

+

Gambar 2.14 Pembagian Arus

v60150x2015105

20v

V15150x2015105

5v

4

1

−=+++

−=

=+++

=

Rangkaian Elektrik

33

Contoh : Hitung arus i2 dan i3

i3

+

-

V

i260 A

15 15 5

Apabila dua resistansi paralel, maka pembagian arusnya dapat disederhanakan

dengan rumus sebagai berikut

.

21

12p

RR

RxRR

+=

iRR

RxRiRv

21

12p

+==

iRR

Ri

iRR

RxRx

R

1

R

vi

21

21

21

12

11

1

+=

+==

iRR

Ri

iRR

RxRx

R

1

R

vi

21

12

21

12

22

2

+=

+==

2.7. Transformasi Sumber Tegangan dan Sumber Arus

Konsep sumber tegangan dan sumber arus telah dibahas pada bagian

sebelumnya, sumber nyata mungkin dapat mendekati keadaan sempurna tetapi tidak

akan pernah mencapainya.

Suatu sumber tegangan dapat ditransformasikan (setara) dalam bentuk sumber

arus, atau sebaliknya sumber arus mempunyai setara dalam bentuk sumber tegangan,

sumber tegangan dan sumber arus yang mempunyai setara, harus memenuhi syarat

yaitu :

Sumber tegangan harus mempunyai resistansi seri

Sumber arus harus mempunyai resistansi paralel

+

-

V R1 R2

i2

i

i1

A3660x

5

1

15

1

15

15

1

i

A1260x

5

1

15

1

15

115

1

i

3

2

=

++

=

−=

++

−=

Rangkaian Elektrik

34

1. Sumber tegangan dengan setaranya sumber arus.

Rs

Vs

+

-

Gambar 2.15 Transformasi Sumber Tegangan

Sumber tegangan dapat ditransformasikan ke sumber arus, besarnya arus dari sumber

arus adalah :

s

ss

R

vi =

2. Sumber arus dengan setaranya sumber tegangan

RpIs

Gambar 2.16 Transformasi Sumber Arus Sumber arus dapat ditransformasikan ke sumber tegangan, besarnya tegangan dari

sumber tegangan adalah :

sps iRv =

Contoh :

1). Hitung dan gambarkan rangkaian setaranya

RsIs

Rp

Vs

+

-

4

12 V

+

-

4 3 A

Rangkaian Elektrik

35

2). Pada rangkaian elektrik berikut ini, hitung tegangan Vx dengan menyederhanakan rangkaian

10 A

2

Vx

+ -

2 4 1 A

Solusi :

Disederhanakan dengan transformasi sember arus ke sumber tegangan.

20 V

2

Vx

+ -

2 4

4 V

Ia

+-

-+

+ +- -

0v =

A3I

24I8

04I4I2I220

a

a

aaa

=

=

=+−−−

V63x2I2V ax ===

5 10 A

5

50 V

+

-

Rangkaian Elektrik

36

3). Pada rangkaian elektrik berikut, hitung arus Ix dengan menyederhanakan rangkaian.

10 V

60 V

-

10

5 2 A

Ix

-

+

a b+-

5

Solusi :

Diselesaikan dengan transformasi sumber tegangan dan transformasi sumber arus

1 A

60 V

-

10

5

10 V

Ix

-

+

a b+-

5

=+

= 33,3510

5x10Rp

3.33 V

60 V

-

3,33 5

10 V

Ix

-+

+-

a b+-

+ +- -

Dalam rangkaian elektrik berlaku Hukum Kirchhoff : 0v =

A6,5I

066,46I33,8

010I560I33,333,3

x

x

xx

=

=+−

=−−+−−

2.8. Transformasi Hubungan Delta ke Hubungan Bintang

Dalam rangkaian elektrik ada hubungan yang bukan hubungan seri maupun

hubungan paralel, sehingga sukar untuk diselesaikan, maka hubungan ini dapat

dibawa ke transformasi hubungan delta (Δ) ke hubungan bintang (Y).

Rangkaian Elektrik

37

Terlihat pada rangkaian gambar 2.17, hubungan resistor tidak dapat dilihat mana yang

sri dan yang paralel.

Gambar 2.17 Rangkaian elektrik hubungan delta

Untuk menghitung resistansi total maka harus dilakukan transformasi hubungan delta

ke hubungan bintang, hal ini ditunjukan pada gambar 2.18, hubungan (Δ) dengan

resistansi (R1, R2, R3) ditransformasi ke hubungan (Y) dengan resistansi (Ra, Rb, Rc)

Gambar 2.18 Transformasi Hubungan Delta ke Bintang Hubungan resistansi pada hubungan (Y) dan hubungan (Δ ) sebagai berikut :

Apabila persamaan tersebut dijabarkan :

Rangkaian Elektrik

38

321

32

321

21

ba R+R+R

RR+

R+R+R

RR=R+R ............... (1)

321

32

321

31

RRR

RR

RRR

RRRR cb

+++

++=+ .................. (2)

321

31

321

21

RRR

RR

RRR

RRRR ac

+++

++=+ ................. (3)

Dari ketiga persamaan (1), (2), (3) apabila diselesaikan akan diperoleh besarnya Ra,

Rb, Rc sebagai berikut.

Dengan cara yang sama akan dapat diperoleh R1, R2, R3, sebagai berikut :

Contoh : Hitung resistansi ekivalen rangkaian elektik pada gambar berikut.

Rangkaian Elektrik

39

k6=6+18+12

18x12=Ra

k3=6+18+12

6x18=Rb

k2=6+18+12

6x12=Rc

k6=4+2=1Rs

k12=9+3=2Rs

k10=12+6

12x6+6=R t

SOAL - SOAL

1. Hitung resistansi/tahanan ekuivalen rangkaian elektrik berikut ini.

Rangkaian Elektrik

40

2. Dalam rangkaian elektrik berikut :

3. Pada rangkaian elektrik berikut ini :

Diketahui Va = 20 V


20 Ω

8 Ω

2 Ω

1 Ω20 Ω

5 Ω

+

-

38 V3 Ω

6 Ω

a

b

1). Hitung tegangan Vab dan Vcd

2). Hitung daya yg diberikan oleh masing-masing sumber

1). Hitung tegangan Vab

2). Hitung tegangan Vs

1). Hitung arus Ix 2). Hitung tegangan Vs, dan daya yang diberikan sumber tegangan

Rangkaian Elektrik

41

5. Diketahui rangkaian elektrik, seperti berikut ini :

20 Ω

8 Ω

2 Ω

1 Ω20 Ω

5 Ω

+

-

38 V3 Ω

6 Ω

a

b


1). Hitung besar tegangan Vx 2). Hitung besar arus Ia

20 Ω

8 Ω

2 Ω

1 Ω20 Ω

5 Ω

+

-

38 V3 Ω

6 Ω

a

b

7. Pada rangkaian elektrik berikut ini, diketahui tegangan VAB = 57 V

1). Hitung tegangan Va (Gunakan hukum dasar) 2). Hitung daya yang diserap masing-masing resistor 3). Hitung daya yang diberikan masing-masing sumber

1). Hitung tegangan Vx

2). Hitung arus Ia dan Ib

Rangkaian Elektrik

42


20 Ω

8 Ω

2 Ω

1 Ω20 Ω

5 Ω

+

-

38 V3 Ω

6 Ω

a

b

9. Pada rangkaian elektrik berikut ini: (1). Hitung tahanan Ekivalen Rab

(2). Hitung arus yang mengalir pada masing-masing tahanan

20 Ω

8 Ω

2 Ω

1 Ω20 Ω

5 Ω

+

-

38 V3 Ω

6 Ω

a

b

10. Pada rangkaian elektrik berikut, hitung arus Ix

1 Ω

6 Ω

12 Ω

1 Ω

2 Ω12 V

Ix

1). Hitung arus Ia dan Ib

2). Hitung tegangan Va

3). Hitung daya yang diberikan oleh sumber tegangan

Rangkaian Elektrik

43

11. Pada rangkaian elektrik berikut, terminal (a - b) dihubungkan dengan sumber tegangan 24 V. polaritas positif berada pada terminal (a), hitung arus dan daya yang diberikan oleh sumber tegangan.

12. Pada rangkaian elektrik berikut :

1). Hitung arus Ix 2). Hitung tegangan Vab

Va Vb

R1

R2 R3

I1

I

I1

Rangkaian Elektrik

44

BAB III

METODE ANALISIS RANGKAIAN

Dalam bab sebelumnya telah dibahas analisis rangkaian elektrik sederhana,

analisis rangkaian yang lebih umum akan memerlukan lebih banyak persamaan

apabila diselesaikan dengan konsep rangkaian elektrik sederhana.

Dalam bab ini akan dibahas cara sistematis untuk merumuskan dan menyelesaikan

model persamaan yang diperoleh dalam analisis rangkaian yang lebih komplek. Akan

ditinjau metode analisis yang lebih umum yaitu metode analisis arus mesh dan metode

analisis tegangan node.

Dibahas pula prinsip atau teorema Superposisi, teorema Thevenin dan

Teorema Norton, metode analisis akan efektif digunakan pada rangkaian yang rumit

dan komplek, sehingga apabila menggunakan hukum-hukum dasar akan diperoleh

banyak persamaan.

Pada awal untuk mempermudah memahami teori hanya digunakan untuk rangkaian

dengan sumber berbentuk gelombang arus searah, yaitu gelombang DC murni, namun

demikian nantinya metode analisis ini juga akan digunakan untuk sumber tegangan

berbentuk gelombang arus bolak-balik (gelombang sinusoida murni).

3.1. Metode Analisis Arus Mesh.

Metode arus mesh merupakan cara lain untuk menyelesaikan persoalan

rangkaian elektrik dengan persamaan hukum arus Kirchhoff terlukis secara implisit

pada rangkaiannya dan persamaan untuk tegangan ditulis secara eksplisit serta harus

diselesaikan untuk arus yang tidak diketahui. Dalam metode arus mesh mempunyai

konsep, yaitu :

Menentukan arus mesh

Didasarkan pada Hukum Kirchhoff tegangan.

Rangkaian dengan (N) mesh akan memberikan (N) persamaan

Dalam pembahasan analisis arus mesh akan dimulai dari rangkaian elektrik yang

mempunyai 1 mesh, 2 mesh, 3 mesh, dan 4 mesh yang berikutnya dapat

dikembangkan untuk (N) mesh.

1. Rangkaian Elektrik 1 Mesh.

Dalam menganalisis rangkaian elektrik 1 mesh, pada gambar 3.1 diperlihatkan

rangkaiannya dengan dua sumber tegangan dan tiga resistansi.

Rangkaian Elektrik

45

Va Vb

R1

R2 R3

I1

I

I1

Gambar 3.1 Rangkaian Elektrik 1 Mesh

Pada rangkaian tertutup berlaku hukum Kirchhoff II : = 0V

( ) )V(VIRRR

)V(VIRIRIR

0IRIRVIRV

ba1321

ba131211

1312b11a

−+=++

−+=++

=−−−−

1111 VIR =

Persamaan arus mesh :

1111 VIR:)1(Mesh =

1.nomeshpadategangansumberdariteganganJumlah:V

1.nomeshpadamesharus:I

1.nomeshpadasitanresisJumlah:R

1

1

11


Dalam menganalisis rangkaian elektrik 2 mesh, pada gambar 3.2 diperlihatkan

rangkaiannya dengan dua sumber tegangan dan tiga resistansi

.

Va Vb

R1 R2

R3

I1 I2

I3

I II

I1 I2

Gambar 3.2 Rangkaian Elektrik 2 Mesh

Pada mesh I dan mesh II berlaku Hukum Kirchhoff II : = 0V

Rangkaian Elektrik

46

Pada Mesh (I) :

a23131

21311a

2133311a

VIRI)RR(

0)II(RIRV

IIIdan0IRIRV

=−+

=−−−

−==−−

Pada Mesh (II) :

( ) b23213

b21322

3322b

VIRRIR

V)II(RIR

0IRIRV

−=++−

−=−−

=+−−

Apabila dituliskan kedua persamaan arus mesh tersebut, akan diperoleh :

( ) )1(.......VIRIRR a23131 =−+

( ) )2.(..........VIRRIR b23213 −=++−

Dari persamaan (1) dan (2) terdapat kesamaan, yaitu adanya arus I1 dan arus I2, dan

ruas kanan adalah tegangan, apabila kita susun notasinya akan menjadi persamaan

arus mesh :

2222121

1212111

VIRIR:)2(Mesh

VIRIR:)1(Mesh

=+−

=−

Dalam bentuk matrik dituliskan :

=

−

−

2

1

2

1

2221

1211

V

V

I

I

RR

RR



2.nomeshpadameshArus:I

1.nomeshpadameshArus:I

)RR(,2.nomeshpadasitanresisJumlah:R

)R(1.nomeshdan2.nomeshantarasitanresisJumlah:R

)R(2.nomeshdanI.nomeshantarasitanresisJumlah:R

)RR(,1.nomeshpadasitanresisJumlah:R

2

1

2

1

3222

321

312

3111

+

+


Pada rangkaian elektrik 3 mesh apabila dibuat persamaan arus mesh tinggal

mengembangkan dari persamaan 2 mesh, sehingga persamaannya menjadi :

3333232131

2323222121

1313212111

VIRIRIR:)3(Mesh

VIRIRIR:)2(Mesh

VIRIRIR:)1(Mesh

=+−−

=−+−

=−−

Rangkaian Elektrik

47


=

−−

−−

−−

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

V

V

V

I

I

I

RRR

RRR

RRR

4. Rangkaian Elektrik 4 Mesh

Pada rangkaian elektrik 4 mesh apabila dibuat persamaan arus mesh tinggal

mengembangkan dari persamaan 3 mesh, sehingga persamaannya menjadi :

4444343242141

3434333232131

2424323222121

1414313212111

VIRIRIRIR:)4(Mesh

VIRIRIRIR:)3(Mesh

VIRIRIRIR:)2(Mesh

VIRIRIRIR:)1(Mesh

=+−−−

=−+−−

=−−+−

=−−−

5. Rangkaian Elektrik (N) Mesh

Secara umum persamaan arus mesh untuk (N) mesh dapat dituliskan :

NNNN44N33N22N11N

4NN4444343242141

3NN3434333232131

2NN2424323222121

1NN1414313212111

VIR............IRIRIRIR:)N(Mesh

**

**

**

VIR.........IRIRIRIR:)4(Mesh

VIR..........IRIRIRIR:)3(Mesh



=+−−−−

=−+−−−

=−−+−−

=−−−+−

=−−−−

Dalam membuat persamaan arus mesh, maka langkah-langkah yang harus

diperhatikan adalah :

1. Sumber harus merupakan sumber tegangan.

2. Dipilih arus mesh yang arahnya searah jarum jam (arah kekanan)

3. Arah polaritas sumber tegangan, apabila arahnya kekanan, teganganya

positif (+) dan apabila arahnya kekiri tegangannya negatif (-).

Rangkaian Elektrik

48

Contoh : 1. Pada rangkaian elektrik, tentukan persamaan arus mesh, hitung arus i1 dan arus i2

Solusi :

Mesh 1 :

1212111 VIRIR =−


Dengan subtitusi persamaan (1) dan persamaan (2), atau diselesaikan dengan determinan, akan diperoleh :

2. Pada rangkaian elektrik berikut, hitung arus Ia, dengan metode arus mesh.

7 V

1 2

3

6 V

+

- +

-

1 2

Ia

( )

14ii3

42i3i9

42i3i36

21

21

21

=−

=−

=−+

( )( )2..........10i7i3

1.........14ii3

21

21

=+−

=−

A4i

A6i

2

1

=

=

Mesh 2 :

2222121 VIRIR =+− ( )

10i7i3

10i43i3

21

21

=+−

=++−

Rangkaian Elektrik

49

Solusi : Tentukan nomor mesh, arus dan arah arus mesh

7 V

1 2

3

6 V

I1

I

+

- +

-

I2

1 2

II

III

Ia

I3

1313212111 VIRIRIR:)1(Mesh =−−

67I.2I.1I)21( 321 −=−−+

2323222121 VIRIRIR:)2(Mesh =−+−

0I.3I)321(I.1 321 =−+++−

3333232131 VIRIRIR:)3(Mesh =+−−

6I)132(I.3I.2 321 =+++−−


Bentuk persamaan matrik :

23a III −=

6I6I3I2

0I3I6I

1I2II3

321

321

321

=+−−

=−+−

=−−

=

−−

−−

−−

6

0

1

I

I

I

632

361

213

3

2

1

Rangkaian Elektrik

50

6. Rangkaian dengan mesh palsu (Dummy Mesh) Apabila dalam rangkaian elektrik terdapat mesh yang sudah diketahui

besarnya arus mesh, karena terdapat sumber arus maka mesh tersebut dinamakan

sebagai mesh palsu (dummy mesh), sehingga dalam mesh tersebut tidak boleh dibuat

persamaan arus meshnya, pada mesh palsu hanya diambil pengaruhnya saja.

Contoh :

Pada rangkaian elektrik berikut, hitung arus i1 da arus i2

A239

78

301281

78

)15(x212)27(x3

6018I

32

61)2(

62

31)1(

63

363

62

13)3(

66

21)1(

632

361

213

662

301

213

I

2

2

==−−

=−−

+=

−−

−−+

−

−−−−

−

−

−−−

−−−

=

−−

−−

−−

−

−−

−

=

A339

117

301281

117

)15(x212)27(x3

10215I

32

61)2(

62

31)1(

63

363

61

136

32

611

632

361

213

632

061

113

I

3

3

==−−

=−−

+=

−−

−−+

−

−−−−

−

−

−

−+

−−

−

=

−−

−−

−−

−−

−

−

=

A123Ia =−=

I II

Rangkaian Elektrik

51

Solusi : Mesh 1 :

( )42i3i9

42i3i36

21

21

=−

=−+

……… (1) Mesh 2 : (hanya diambil pengaruhnya saja)

7. Rangkaian dengan mesh super (Super Mesh)

Apabila dalam rangkaian elektrik terdapat sumber arus yang memisahkan dua

mesh maka dua mesh tersebut dinamakan sebagai mesh super (super mesh),

sehingga dua mesh tersebut dianggap/diperlakukan sebagai satu mesh

Contoh :

Tentukan persamaan arus mesh dan hitung besar tegangan Vx

7 V

1

Vx+

2

3

7 A

+-

-

1 2

Solusi : Tentukan nomor mesh, arus dan arah arus mesh

1212111 VIRIR =−

)2(..............10I2 −=

A3

11

9

12I

3042I9

42)10(3i9

1

1

1

==

−=

=−−

Rangkaian Elektrik

52

7 V

1

Vx+

2

3

7 A

I1

I

+-

-

1 2

II

III

I2

I3

Mesh I dan Mesh III, merupakan super mesh, sehingga diperlakukan sebagai satu

mesh

(satu mesh diperlihatkan pada garis putus-putus)

Mesh 2 :

)1........(0I.3I.6I

0I.3I)321(I.1

321

321

=−+−

=−+++−

Mesh 1 dan mesh 3 : (super mesh)

)3.........(..........7II 31 =−


7II0I

7I4I4I

0I3I6I

321

321

321

=−+

=+−

=−+−

Apabila dihitung dengan subtitusi atau determinan, akan diperoleh :

)II.(3V 23X −=

A2I

A50,2I

3

2

=

=

V50,1)5,22(.3V

)II.(3V

X

23X

−=−=

−=

)2(...............7I4I4I

7I.3I.1I)13(I.1

321

2231

=+−

=−−++

Rangkaian Elektrik

53

3.2. Metode Tegangan Node

Metode tegangan node merupakan cara lain untuk menyelesaikan persoalan

rangkaian elektrik dengan persamaan hukum tegangan Kirchhoff terlukis secara

implisit pada rangkaiannya dan persamaan untuk arus ditulis secara eksplisit serta

harus diselesaikan untuk tegangan yang tidak diketahui. Dalam metode tegangan node

mempunyai konsep, yaitu :

Menentukan tegangan node

Didasarkan pada Hukum Kirchhoff arus

Rangkaian dengan (N) node akan memberikan (N-1) persamaan,

karena satu node digunakan sebagai node acuan (referensi)

Dalam pembahasan analisis tegangan node akan dimulai dari rangkaian elektrik yang

mempunyai 2 node, 3 node, 4 node, 5 node yang berikutnya dapat dikembangkan

untuk (N+1) node.

.

1. Rangkaian Elektrik 2 node

Dalam menganalisis rangkaian elektrik 2 node , pada gambar 3.3 diperlihatkan

rangkaiannya dengan dua sumber arus dan tiga resistansi.

R1 Ib

+

-

Ia R2 R3

IR1 IR2 IR3

1

2

V1

Gambar 3.3. Rangkaian Elektrik 2 Node

Pada node 1, berlaku Hukum Kirchhoff arus : = 0i

0IIIII 3R2Rb1Ra =−−−−

ba3R2R1R IIIII −=++

ba1

321

IIVR

1

R

1

R

1−=

++

( ) ba1321 IIVGGG −=++

Persamaan tegangan node : Node (1) : 1111 IVG =

G11 : Jumlah konduktansi yg terhubung pada node no. 1

V1 : tegangan pada node no. 1

I1 : Jumlah arus dari sumber arus yg terhubung pada node no. 1

Rangkaian Elektrik

54

1. Rangkaian Elektrik 3 Node

Dalam menganalisis rangkaian elektrik 3 node, pada gambar 3.4 diperlihatkan

rangkaiannya dengan dua sumber arus dan tiga resistansi

R1 Ib

+

-

Ia

R2

R3

IR1

IR2

IR3

1 2

V1

3

+

V2

V12

Gambar 3.4. Rangkaian Elektrik 3 Node

Pada node (1) dan node (2) berlaku Hukum Kirchhoff arus : = 0i

Pada Node 1 :

a2

2

1

21

a

2

2

2

1

1

1

2112a

2

12

1

1

a2R1R

IVR

1V

R

1

R

1

IR

V

R

V

R

V

)VVV(,IR

V

R

V

III

=

−

+

=−+

−==+

=+

( ) a22121 IVGVGG =−+

Pada node 2 :

b2

32

1

2

b

3

2

2

2

2

1

2112b

3

2

2

12

b3R2R

IVR

1

R

1V

R

1

IR

V

R

V

R

V

)VVV(,IR

V

R

V

III

−=

++−

−=+

−−

−=−=+−

−=+−

( ) b23212 IVGGVG −=++−

Rangkaian Elektrik

55

Apabila dituliskan kedua persamaan tegangan node tersebut, akan diperoleh :

( ) )1(.............IVGVGG a22121 =−+

( ) )2.(..........IVGGVG b23212 −=++−

Dari persamaan (1) dan (2) terdapat kesamaan, yaitu adanya tegangan V1 dan

tegangan V2, dan ruas kanan adalah arus, apabila disusun notasinya akan menjadi

persamaan tegangan node.

2222121

1212111

IVGVG:)2(Node

IVGVG:)1(Node

=+−

=−


=

−

−

2

1

2

1

2221

1211

I

I

V

V

GG

GG


Pada rangkaian elektrik 4 node apabila dibuat persamaan tegangan node tinggal

mengembangkan dari persamaan 3 node, sehingga persamaannya menjadi :

3333232131

2323222121

1313212111

IVGVGVG

IVGVGVG

IVGVGVG

=+−−

=−+−

=−−


=

−−

−−

−−

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

I

I

I

V

V

V

GGG

GGG

GGG

Terdapat 3 persamaan tegangan node, salah satu node digunakan sebagai node acuan.


G12 : Jumlah konduktansi antara node no. 1 dan node no. 2

V1 : tegangan node no. 1




G21 : Jumlah konduktansi antara node no. 2 dan node no. 1




Rangkaian Elektrik

56


Pada rangkaian elektrik 5 node apabila dibuat persamaan tegangan node

tinggal mengembangkan dari persamaan 4 node, sehingga persamaannya menjadi :

4444343242141

3434333232131

2424323222121

1414313212111

IVGVGVGVG:)4(Node

IVGVGVGVG:)3(Node

IVGVGVGVG:)2(Node

IVGVGVGVG:)1(Node

=+−−−

=−+−−

=−−+−

=−−−

4. Rangkaian elektrik (N+1) node

Secara umum persamaan tegangan node untuk rangkaian elektrik yang terdiri

dari (N+1) node adalah sebagai berikut :

NNNN44N33N22N11N

4NN4444343242141

3NN3434333232131

2NN2424323222121

1NN1414313212111

IVG..............VGVGVGVG:)N(Node

*

*

*

*

IVG............VGVGVGVG:)4(Node

IVG...........VGVGVGVG:)3(Node



=+−−−−

=−+−−−

=−−+−−

=−−−+−

=−−−−

Dalam membuat persamaan tegangan node, maka langkah-langkah yang

harus diperhatikan adalah :

1. Sumber harus merupakan sumber arus.

2. Dipilih satu node sebagai node referensi (acuan)

3. Arah arus dari sumber arus, apabila arahnya menuju node yang

dianalisis arus bertanda positif (+) dan apabila arah arusnya

meninggalkan node yang dianalisis arus bertanda negatif (-)

Rangkaian Elektrik

57

Contoh : 1. Pada rangkaian elektrik berikut, tentukan persamaan tegangan node, serta hitung

tegangan pada resistansi 5Ω

5

1 2 - 1,4 A3,1 A

Solusi : Tentukan nomor node dan node referensi.

-1

5

+

1 2 - 1,4 A

Vx

3

2

3,1 A

Node 1 :

31V2V7

1,3V2,0V7,0

1,3V2,0V)5,02,0(

1,3V5

1V)

2

1

5

1(

IVGVG

21

21

21

21

1212111

=−

=−

=−+

=−+

=−

Node 2 :

7V6V

14V12V2

4,1V)2,1(V2,0

4,1V)12,0(V2,0

)4,1(V)1

1

5

1(V

5

1

IVGVG

21

21

21

21

21

2222121

=+−

=+−

=+−

=++−

−−=++−

=+−

Persamaan tegangan node :

)2(..........7V6V

)1(..........31V2V7

21

21

=+−

=−

Rangkaian Elektrik

58

Dari persamaan (1) dan persamaan (2), dapat dihitung besarnya tegangan :

V540

200

242

14186

61

27

67

231

V1 ==−

+=

−

−

−

=

V240

80

242

3149

61

27

71

317

V2 ==−

+=

−

−

−=

V325V

VVVV

X

2112X

=−=

−==

2. Pada rangkaian elektrik, tentukan persamaan tegangan node, dan hitung tegangan

dan arus pada tahanan (4Ω), (2Ω) dan (5Ω)

1

3

4

- 25 A- 8 A 5

-3A

2

Solusi :

Tentukan nomor node, serta node referensi.

Rangkaian Elektrik

59

1

3

4

- 25 A- 8A

1

5

-3A

2 3

4

2

Ia

Ib

Ic

Node 1 :

132V3V4V7

)3(8V4

1V

3

1V)

3

1

4

1(

321

321

−=−−

−+−=−−+

Node 2 :

18V3V11V2

)3(V2

1V)1

2

1

3

1(V

3

1

321

321

=−+−

−−=−+++−

Node 3 :

500V19V10V5

)25(V)5

1

2

1

4

1(V

2

1V

4

1

321

321

=+−−

−−=+++−−


)3(..........500V19V10V5

)2.(..........18V3V11V2

)1(..........132V3V4V7

321

321

321

=+−−

=−+−

−=−−

V99,0809

808

19105

3112

347

1910500

31118

34132

V 11 ==

−

−−

−−

−

−

−−−

=

=

Rangkaian Elektrik

60

V72,10809

8677

19105

3112

347

195005

3182

31327

V 22 ==

−

−−

−−

−

−−

−−

=

=

V41,32809

26220

19105

3112

347

500105

18112

13247

V 33 ==

−

−−

−−

−−

−

−−

=

=

Tegangan dan arus pada resistansi (4Ω) :

A85,74

42,31

4

VI

V42,3141,3299,0V

VVVV

aa

a

3113a

−=−

==

−=−=

−==


A85,102

69,21

2

VI

V69,2141,3272,10V

VVVV

bb

b

3223b

−=−

==

−=−=

−==


A48,65

41,32

5

VI

V41,32V

VVV

cc

c

334c

===

=

==

5. Rangkaian dengan node palsu (Dummy Node)

Apabila dalam rangkaian elektrik terdapat node yang sudah diketahui besarnya

tegangan node, karena terdapat sumber tegangan maka node tersebut dinamakan

sebagai node palsu (dummy node), sehingga dalam node tersebut tidak boleh dibuat

persamaan tegangan node, pada node palsu hanya diambil pengaruhnya saja.

Rangkaian Elektrik

61

Contoh :

Pada rangkaian berikut tentukan persamaan matrik tegangan node, serta hitung

tegangan pada tahanan (5Ω)

3 V

+

-

-

5

+

1 2 2 A

Vx

Solusi :

Tentukan nomor node, serta node referensi.

3 V

+

-1

-

5

+

1 2 2 A

Vx

3

2

Node 1 : (node palsu)

3V1 =

Node 2 :

2222121 IVGVG =+−

10V6V

2V2,1V2,0

2V)1

1

5

1(V

5

1

21

21

21

=+−

=+−

=++−


)2(.......10V6V

)1(.......3V.0V

21

21

=+−

=+

Rangkaian Elektrik

62

Persamaan matrik tegangan node :

=

− 10

3

V

V

61

01

2

1

6

12

6

13V

10V63

10V6V

2

2

21

==

=+−

=+−

V6

5

6

123V

VVVV

X

2112X

=−=

−==

6. Rangkaian dengan Node super (Super Node) Apabila dalam rangkaian elektrik terdapat sumber tegangan yang memisahkan

dua node maka dua node tersebut dinamakan sebagai node super (super node),

sehingga dua node tersebut dianggap/diperlakukan sebagai satu node

Contoh ;

Pada rangkaian elektrik berikut, tentukan persamaan tegangan node, serta hitung

tegangan node.

1

-3

4

- 25 A- 8A

+

5

-3A

1 V

Solusi :

Tentukan nomor node, serta node referensi

Rangkaian Elektrik

63

1

-3

4

- 25 A- 8A

+1

5

-3A

1 V

2 3

4

Node 1 :

)1.......(132V3V4V7

)3(8V4

1V

3

1V

3

1

4

1

321

321

−=−−

−+−=−−

+

Node (2) dan node (3) : (super node, node 2 dan 3 diperlakukan sebagai satu node)

)2.......(1680V27V80V35

)25()3(V5

1

4

1V

1

1

3

1V

4

1V

3

1

321

3211

=++−

−−−−=

++

++−−

)3.......(1VV 32 =−


1VV

1680V27V80V35

132V3V4V7

32

321

321

=−

=++−

−=−−

Apabila dihitung akan diperoleh tegangan node :

V33,13V

V33,14V

V95,4V

3

2

1

=

=

−=

Rangkaian Elektrik

64

3.3. Prinsip Superposisi

Pada setiap rangkaian elektrik, maka tegangan dan arus dalam suatu unsur

rangkaian adalah akibat yang ditimbulkan oleh adanya sumber yang dikenakan pada

rangkaian elektrik tersebut. Jika suatu rangkaian elektrik mempunyai beberapa

sumber, maka setiap tegangan atau arus pada unsur-unsur rangkaian merupakan

penjumlahan dari masing-masing sumber yang dikenakan pada rangkaian tersebut.

Prinsip superposisi jika diterapkan pada suatu rangkaian elektrik dengan resistansi

konstan, menyatakan bahwa tegangan atau arus disetiap cabang rangkaian yang

dihasilkan oleh beberapa sumber yang dikenakan secara serentak adalah jumlah

aljabar tegangan atau arus yang dihasilkan pada cabang itu oleh masing-masing

sumber tersebut secara tersendiri. Sehingga dikenal dalam prinsip superposisi,

terdapat superposisi tegangan dan superposisi arus.

Superposisi tegangan : Dalam suatu rangkaian elektrik yang komplek dan banyak

sumber, maka besarnya tegangan pada unsur rangkaian sama dengan penjumlahan

tegangan akibat masing – masing sumber secara tersendiri.

Superposisi arus : Dalam suatu rangkaian elektrik yang komplek dan banyak sumber,

maka besarnya arus pada unsur rangkaian sama dengan penjumlahan arus akibat

masing – masing sumber secara tersendiri.

Konsep superposisi secara umum dapat dituliskan dengan model matematik sebagai

berikut :

( ) ( ) ( ) ( )

0X0X0X

0X0X0X

XfXfXfX,X,Xf

233

112

321321

===

===

++=

Apabila digambarkan dengan blok diagram sebagai tertera pada gambar 3.5.

X3X1

X2

i = ?

v = ?

Gambar 3.5. Blok Diagram dengan Tiga Sumber

Rangkaian Elektrik

65

Untuk superposisi arus :

3X2X1X iiii ++=

1Xi - Arus akibat sumber X1, dengan sumber X2 dan X3 dimatikan



Untuk superposisi tegangan :

3X2X1X vvvv ++=

1Xv - Tegangan akibat sumber X1 , dengan sumber X2 dan X3 dimatikan

2Xv - Tegangan akibat sumber X2, dengan sumber X1 dan X3 dimatikan

3Xv -Tegangan akibat sumber X3, dengan sumber X1 dan X2 dimatikan

Suatu sumber tegangan yang dimatikan (V = 0), rangkaian dari sumber

tegangan diganti dengan rangkaian hubung singkat (short circuits), sedangkan sumber

arus yang dimatikan (I = 0), rangkaian dari sumber arus diganti dengan rangkaian

hubung buka (open circuits), hal ini dapat dilihat pada gambar 3.6

Gambar 3.6 Ekuivalen Sumber Tegangan dan Sumber Arus Dimatikan Contoh : 1. Pada rangkaian elektrik berikut, hitung arus ix dengan superposisi

Solusi :

xxx ``iii +=

Rangkaian Elektrik

66

A5

1

15

3

96

3i'x ==

+=

A15

5

5

4

5

1iX ==+=

2. Pada rangkaian elektrik berikut, Hitung arus Io

12 V

+-

Io

4 mA

2 k

2 mA 1 k 2 k

Solusi :

Superposisi arus : 0302010 IIII ++=

Io1

2 k

2 mA 1 k 2 k

A10.3

410.2x

10).21(

10.2I 33

3

3

01

−− =+

−=

Io2

4 mA

2 k

1 k 2 k

A0I02 =

A5

4

15

122x

96

6i ''

X ==+

=

Rangkaian Elektrik

67

12 V+-

Io3

2 k

1 k 2 k

0302010 IIII ++=

mA3

15I

A10.3

15)10.4(010.

3

4I

0

333

0

−=

−=−++−= −−−

3.4. Teorema Thevenin

x

y

A B

Gambar 3.7 Rangkaian Teorema Thevenin

A : Rangkaian komplek dengan banyak sumber B : unsur rangkaian

Untuk menyederhanakan rangkaian yang komplek dan banyak sumber (A),

maka unsur rangkaian (B) sementara dilepas pada terminal (x-y), sehingga rangkaian

Thevenin terlihat pada gambar 3.7 (b).

Teorema Thevenin menyatakan bahwa dalam suatu rangkaian elektrik yang

komplek dan banyak sumber, maka dapat disederhanakan menjadi rangkaian

dengan satu sumber tegangan dan satu resistansi seri dengan sumber tegangan

tersebut. Hal ini dapat dijelaskan dengan menggunakan gambar 3.7. yaitu

penyederhanaan rangkaian elektrik menurut Thevenin

Rth

Voc

+

-

x

y

(a) (b)

A10.410).12(

12I 3

303

−−=+

−=

Rangkaian Elektrik

68

Besar tegangan thevenin (Voc), dihitung dari rangkaian yang komplek terminalnya

dibuka (open circuits), rangkaiannya dapat dilihat pada gambar 3.8 (a) .Besarnya

tahanan

thevenin sama dengan tahanan yang diukur pada terminal terbuka rangkaian tersebut

dengan seluruh sumber dimatikan, hal ini dapat dilihat pada gambar 3.8 (b)

Voc

x

+

-y

A

Gambar 3.8 Rangkaian Perhitungan Tegangan dan Tahanan Thevenin

Contoh :

100 V

5

R

IR

a

b

50 V

5

Solusi : Resistansi ( R) sementara dilepas, kemudian dihitung tegangan thevenin Voc

100 V

-

5

+

Voc

a

b

50 V

5

(terbuka)

I1

I1

1. Sederhanakan dengan Thevenin pada terminal (a-b) , hitung arus IR.

apabila R = 10 ohm, dan R = 5 ohm

Rth = Rxy

x

y

A

Sumber-sumber

dimatikan

V755x5100V

I5100VV

OC

1abOC

=−=

−==

A510

50I

50100I)55(:IMesh

1

1

==

−=+

(a) (b)

Rangkaian Elektrik

69

5

5

a

b

Rab (terbuka)

Rangkaian Thevenin :

2,5

75 V

+

-

a

b

R

IR

12 V

+-

Io

4 mA

2 k

2 mA 1 k 2 k

Solusi : Untuk menghitung tegangan thevenin, tahanan (1 kΩ), sementara dilepas terlebih

dahulu, seperti terlihat pada rangkaian berikut, kemudian dihitung tegangan Thevenin

dan tahanan Thevenin

2. Sederhanakan dengan Thevenin, dan hitung arus I0

5

5

a

b

Rab (terbuka)

A1055,2

75I

5R

A6105,2

75I

10R

R5,2

75I

R

R

R

=+

=

=

=+

=

=

+=

Rangkaian Elektrik

70

12 V

+-

4 mA

2 k

2 mA 2 k Voc

+

-

Rth

2 k

a

2 k

b


2 k

-16 V

+

-

a

b

1 k

Io

V16412V

10.2x10.212V

OC

33

OC

−=−−=

−−= −

== 3

abTh 10.2RR

mA3

15I

10.3

16I

10)12(

16I

0

3

0

30

−=

−=

+

−=

−

Rangkaian Elektrik

71

3.5. Teorema Norton

x

y

A B

Gambar 3.9 Rangkaian Teorema Norton

A : Rangkaian komplek dengan banyak sumber B : unsur rangkaian

Untuk menyederhanakan rangkaian yang komplek dan banyak sumber (A),

maka unsur rangkaian (B) sementara dilepas pada terminal (x-y), sehingga rangkaian

Norton terlihat pada gambar 3.9(b).

Besar arus Norton (Isc), dihitung dari rangkaian yang komplek terminalnya dihubung

singkat (short circuits), rangkaiannya dapat dilihat pada gambar 3.10 (a) .Besarnya

tahanan norton sama dengan tahanan yang diukur pada terminal terbuka rangkaian

tersebut dengan seluruh sumber dimatikan, hal ini dapat dilihat pada gambar 3.10 (b)

Isc

x

y

A

Gambar 3.10 Rangkaian Perhitungan Arus dan Tahanan Norton

Teorema Norton menyatakan bahwa dalam suatu rangkaian elektrik yang

komplek dan banyak sumber, maka dapat disederhanakan menjadi rangkaian

dengan satu sumber arus dan satu resistansi paralel dengan sumber arus. Hal

ini dapat dijelaskan dengan menggunakan gambar 3.9. yaitu penyederhanaan

rangkaian elektrik menurut Norton tersebut.

RnIsc

x

y

Rn = Rxy

x

y

A

Sumber-sumber

dimatikan

(a) (b)

(a) (b)

Rangkaian Elektrik

72

Contoh : Sederhanakan dengan teorema Norton pada terminal (a-b), serta hitung arus IR,

apabila R = 10 Ω dan R = 5 Ω

100 V

5

R

IR

a

b

50 V

5

Solusi :

100 V

5

a

b

50 V

5

I1

I2

ISC (tertutup)

A20I

5

100I

100I5:IMesh

1

1

1

=

=

=

A30I

)10(20I

III

SC

SC

21SC

=

−−=

−=

5

5

a

b

Rab (terbuka)

A10I

5

50I

50I5:IIMesh

2

2

2

−=

−=

−=

=+

== 5,255

5x5RR abn

Rangkaian Elektrik

73

Rangkaian Norton :

2,5 30 A

a

b

R

IR

A1030x55,2

5,2I

5R

A630x105,2

5,2I

10R

30xR5,2

5,2I

R

R

R

=+

=

=

=+

=

=

+=

Rangkaian Elektrik

74

SOAL-SOAL

1. Hitung arus (I), selesaikan dengan : Metode arus mesh, Metode tegangan node, Superposisi, Teorema Thevenin

DC7 voltDC1 volt

1 Ω 2 Ω

I

2 Ω 1 Ω

3

2. Hitung tegangan Vx dengan arus mesh dan teorema Thevenin.

DC

DC

8 A

1 Ω

2 Ω

4 Ω

3 Ω

5 volt

9 volt

Vx +-

3. Pada rangkaian elektrik, hitung tegangan Va, dengan metode arus mesh, superposisi dan Teorema Thevenin

40 Ω

50 Ω

30 Ω

20 V

10 Ω20 Ω

10 V

5 V

30 V Va

+

-

Rangkaian Elektrik

75

4. Pada rangkaian elektrik, hitung arus Ix dengan metode arus mesh dan superposisi.

12 V4 mA

2 k

1 k 2 k 6 V

Ix

5. Hitung tegangan Vx, arus Io dengan metode tegangan node, metode arus mesh

dan superposisi

6 V

Io

+

-

6 k

6 k

+ -

12 k

12 k

2 Vx

Vx

6. Hitung tegangan Vx, arus Io dengan metode tegangan node, metode arus mesh

dan superposisi

10 V

Io

+

-

1 k

2 k

1 k

+

-

2 k

Vx

Vx

5 V

Rangkaian Elektrik

76

7. Hitung tegangan Va, dengan metode tegangan node dan teorema Norton

40 Ω

50 Ω

30 Ω

20 V

10 Ω20 Ω

10 V

5 V

30 VVa

+

-

8. Pada rangkaian elektrik, hitung arus Ix dengan metode arus mesh , tegangan node dan superposisi.

40 Ω

50 Ω

30 Ω

20 V

10 Ω

Ix

10 V

30 V

9. Pada rangkaian elektrik, hitung arus Ix dengan metode tegangan node dan teorema Norton

1 Ω

6 Ω

12 Ω

1 Ω

2 Ω

12 V

20 Ω

4 Ω

12 V

Ix

Rangkaian Elektrik

77

10. Pada rangkaian elektrik, hitung arus Ia dengan metode tegangan node dan teorema Thevenin

7 V

1 2

3

6 V

1

2

Ia

11. Pada rangkaian elektrik, hitung tegangan Vx dengan metode tegangan node

dan superposisi.

7 V

1

Vx+

2

3

7 A

+-

-

1 2

12. Pada rangkaian elektrik, hitung arus Ix dengan metode arus mesh dan superposisi.

Rangkaian Elektrik

78

15 Ω

5 Ω

20 V

6 Ω

10 Ω

10 A

50 V

30 V

5 Ω

Ix

13. Pada rangkaian elektrik, sederhanakan dengan teorema thevenin, serta hitung tegangan VR

R

5 Ω

5 Ω

10 Ω10 A

50 V

30 V

5 Ω

VR

+

-

14. Pada rangkaian elektrik, hitung tegangan V0 dengan superposisi dan penyederhanaan Thevenin

12 V

4 mA

+

-

6 k

3 k

4 k

4 k

Vo2 k

8 k

Rangkaian Elektrik

79

BAB IV

RANGKAIAN ARUS BOLAK-BALIK

Pada bagian sebelumnya telah dipelajari suatu rangkaian dengan sumber

tegangan atau sumber arus yang konstan (DC murni), rangkaian yang mendapat

sumber tegangan konstan disebut rangkaian arus searah (rangkaian DC).

Rangkaian arus bolak-balik (rangkaian AC) adalah rangkaian dengan sumber

tegangan / sumber arus berbentuk gelombang arus bolak-balik, salah satu gelombang

arus bolak-balik adalah gelombang sinusoida. Sumber tegangan dengan gelombang

sinusoida banyak digunakan secara praktis dilapangan, sebagai sumber tenaga listrik

terbesar, misalnya : pada industri, perkantoran, perumahan laboratoriun, peralatan

transportasi, peralatan elektronik, dsb.

4.1. Gelombang Sinusoida

4.1.1 Persamaan Gelombang Sinusoida

Tegangan atau arus berbentuk gelombang arus bolak-balik (Alternating

Current/AC) yang banyak digunakan adalah gelombang sinusoida, persamaan umum

gelombang sinusoida untuk tegangan atau arus sebagai berikut :

)t(sinI)t(i

)t(sinV)t(v

m

m

+=

+=

v(t) : tegangan sesaat

i(t) : arus sesaat

Vm : tegangan maksimum (V)

Im : arus maksimum (A)

ω : kecepatan sudut (rad/sec)

α, α1 dan β, β1: sudut fasa (derajat)

Gambar 4.1 menggambarkan gelombang tegangan sinusoida, dengan sumbu

mendatar merupakan sudut (radian) atau waktu (detik)

)t(cosI)t(i

)t(cosV)t(v

1m

1m

+=

+=

Rangkaian Elektrik

80

Gambar 4.1 Gelombang Tegangan Sinusoida

Persamaan gelombang tegangan :

)0t(sinV)t(v

)t(sinV)t(v

0

m

m

+=

=

Kecepatan sudut :

T

1ffrekuensidan

T

2=

=

f2=

T : periode (det) f : frekuensi (Hz) Satu putaran penuh (cycle) adalah bentuk gelombang yang terdapat dalam satu

periode, frekuensi adalah banyaknya putaran setiap detik, dengan satuan cycle/detik

atau Hertz (Hz)

4.1.2 Sifat Gelombang Sinusoida Gelombang sinusoida mempunyai beberapa sifat antara lain :

1). Merupakan fungsi matematika yang sederhana

)t(cosV)t(v

)t(sinV)t(v

m

m

+=

+=

Rangkaian Elektrik

81

2). Merupakan fungsi yang berulang (periodik)

Gelombang sinusoida setiap satu periode akan sama dengan gelombang

semula, fungsi berulang harus memenuhi syarat :

f(t) = f(t + T) 3). Gelombang sinusoida mudah untuk dibangkitkan.

Tegangan sinusoida dibangkitkan oleh Generator arus bolak-balik (Generator

Sinkron) pada pusat pembangkit tenaga listrik.

Contoh : pada Pembangkit Listrik Tenaga Air (PLTA), Pembangkit Listrik Tenaga

Diesel (PLTD), Pembangkit Listrik Tenaga Uap (PLTU), Pembangkit Listrik Tenaga

Gas (PLTG), dsb.

4.1.3 Nilai Rata-rata Gelombang Sinusoida

Misalkan gelombang tegangan sinusoida : )t(sinV)t(v m =

Nilai rata-rata Tegangan:

=

T

0

rt dt)t(vT

1V

)tT

2(dt

T

2sin

2

VV

2

Tx)t

T

2(dt

T

2sin

T

VV

dt)tsin(VT

1V

T

0

mrt

T

0

mrt

T

0

mrt

=

=

=

0V

)11(2

V

0cos2cos2

V

tT

2cos

2

VV

rt

m

0m

T

0

mrt

=

−

−=

−

−=

−

=

Dari hasil perhitungan maka tegangan rata-rata gelombang sinusoida adalah nol,

dengan cara yang sama untuk arus rata-rata gelombang sinusoida, apabila dihitung

akan diperoleh hasil :

Misalkan gelombang arus sinusoida : )t(sinI)t(i m =

Rangkaian Elektrik

82

Nilai rata-rata Arus :

=

T

0

rt dt)t(iT

1I

)tT

2(dt

T

2sin

2

II

2

Tx)t

T

2(dt

T

2sin

T

II

dt)tsin(IT

1I

T

0

mrt

T

0

mrt

T

0

mrt

=

=

=

0I

)11(2

I

0cos2cos2

I

tT

2cos

2

II

rt

m

0m

T

0

mrt

=

−

−=

−

−=

−

=

4.1.4 Nilai Efektif Gelombang Sinusoida

Misalkan gelombang tegangan sinusoida : )t(sinV)t(v m =

Nilai efektif gelombang sinusoida :

=

T

0

2

ef dt)t(vT

1V

2

2cos1sinkarena:dttsin

T

V

dttsinVT

1

dt)t(vT

1V

2

T

0

22

m

2

T

0

2

m

T

0

22

ef

−==

=

=

Rangkaian Elektrik

83

−=

−=

−=

T

0

T

0

2

m

T

0

T

0

2

m

T

0

2

m2

ef

tT

4dt

T

4cos

4

Tdt

T2

V

dttT

2.2cosdt

T2

V

dt2

t2cos1

T

VV

( ) ( )

( )

2

VV

TT2

V

0sin4sin4

T0T

T2

V

tT

4sin

4

Tt

T2

VV

2

m2

ef

2

m

02

m

T

0

T

0

2

m2

ef

=

=

−

−−=

−=

mm

ef V707,02

VV ==

Dari hasil perhitungan diperoleh besarnya tegangan efektif sebesar 0,707 kali

tegangan maksimumnya, nilai tegangan efektif gelombang sinusoida merupakan nilai

searahnya gelombang sinusoida, hal ini diperlihatkan pada gambar 4.2 berikut ini :

Nilai efektifVef

Gambar 4.2 Nilai efektif Gelombang Sinusoida Untuk arus sinusoida apabila dihitung nilai efektifnya akan diperoleh :

)t(sinI)t(i m =

mm

ef I707,02

II ==

Rangkaian Elektrik

84

Nilai efektif disebut juga nilai rms (Root Mean Square), artinya akar dari nilai rata-rata

kuadrat, sehingga dalam pemakaiannya tegangan efektif atau arus efektif ditulis :

4.2. Pengaruh Gelombang Sinusoida pada Unsur Rangkaian 1). Rangkaian Resistansi Pada rangkaian resistansi (tahanan), apabila dihubungkan dengan sumber

tegangan gelombang sinusoida, diperlihatkan pada gambar 4.3 misalkan arus yang

mengalir :

)t(sinI)t(i m =

i(t)

v(t)

+

R

-

Gambar 4.3 Rangkaian Resistansi dengan sumber Tegangan Sinusoida Pada Gambar 4.3. (a) adalah rangkaian resistansi pada daerah waktu, sehingga besar

tegangan pada resistansi :

tsinV)t(v

tsinIR)t(v

)t(iR)t(v

m

m

=

=

=

Dimana :

efef

mm

mm

IRV

2

IR

2

V

IRV

=

=

=

III

VVV

rmsef

rmsef

==

==

Im

Vm

+

R

-

(a) (b)

Rangkaian Elektrik

85

Gambar 4.3. (b) merupakan rangkaian daerah frekuensi, dengan sumber tegangan

yang tegangannya dapat berupa nilai maksimum atau nilai efektifnya, begitu juga arus

yang mengalir dapat berupa nilai maksimum atau nilai efektifnya.

Gambar gelombang tegangan sinusoida dan gelombang arus sinusoida pada

resistansi diperlihatkan pada gambar 4.4.

v

i

Vm

Im

v

ωt0

Gambar 4.4 Gelombang Tegangan dan Arus pada Resistansi

Pada rangkaian resistansi, tegangan (v) dan arus (i) adalah sefasa, tidak ada beda

fasa (beda fasanya = 0), frekuensi sudut gelombang tetap, hanya amplitudonya yang

berubah.

2). Rangkaian Induktansi Pada rangkaian induktansi, apabila dihubungkan dengan sumber tegangan

gelombang sinusoida, diperlihatkan pada gambar 4.5 misalkan arus yang mengalir :

)t(sinI)t(i m =

v(t)

+

-

L

i(t)

Gambar 4.5 Rangkaian Induktansi

Pada Gambar 4.5. (a) adalah rangkaian induktansi pada daerah waktu, sehingga besar

tegangan pada induktansi :

Vm

0

Im

Vm

+

-

XL

Im

(a) (b)

Rangkaian Elektrik

86

)90t(sinV)t(v

)90t(sinIL)t(v

tcosIL)t(v

dt

tsinIdL)t(v

dt

)t(diL)t(v

o

m

o

m

m

m

+=

+=

=

=

=

Dimana :

efLef

mL

m

mLm

mm

IXV

2

IX

2

V

IXV

ILV

=

=

=

=





induktansi diperlihatkan pada gambar 4.6.

v

i

Vm

Im

v

ωt0

Gambar 4.6 Gelombang Tegangan dan Arus pada Induktansi Pada rangkaian Induktansi, tegangan (v) mendahului 900 terhadap arus (i) atau arus

tertinggal 900 terhadap tegangan, frekuensi sudut tetap, amplitudonya yang berubah.

3). Rangkaian Kapasitansi Pada rangkaian kapasitansi apabila dihubungkan dengan sumber tegangan

gelombang sinusoida, diperlihatkan pada gambar 4.7 misalkan arus yang mengalir :

)(Lf2LX

InduktifsitanakReX

L

L

==

−

90

Vm

0

Im

Rangkaian Elektrik

87

)t(sinI)t(i m =

v(t)

+

-

C

i(t)

Gambar 4.7 Rangkaian Kapasitansi denga Sumber Tegangan Sinusoida Pada Gambar 4.7. (a) adalah rangkaian kapasitansi pada daerah waktu, sehingga

besar tegangan pada kapasitansi :

=

=

=

)t(dtsinC

I

dttsinIC

1

dt)t(iC

1)t(v

m

m

( )

)90t(sinV)t(v

)90t(sinC

I

tcosC

I

0

m

0m

m

−=

−

=

−

=

Dimana :

efCef

mC

m

mCm

mm

IXV

2

IX

2

V

IXV

IC

1V

=

=

=

=





kapasitansi diperlihatkan pada gambar 4.8.

)(Cf2

1

C

1X

kapasitifsitanakReX

C

C

=

=

−

Vm

+

-

Xc

Im

(a) (b)

Rangkaian Elektrik

88

v

i

Vm

Im

v

ωt0

Gambar 4.8 Gelombang Tegangan dan Arus pada Kapasitansi Pada rangkaian kapasitansi, tegangan (v) tertinggal (900) terhadap arus (i) atau arus

mendahului (900) terhadap tegangan, frekuensi sudut tetap, amplitudo berubah.

4.3 Metode Fasor Suatu tegangan/arus berbentuk gelombang sinusoida dapat dinyatakan dalam

bentuk fasor, yaitu bilangan komplek yang merepresentasikan besaran dan fasa

gelombang sinusoida, atau disebut juga sebagai vektor dengan arah sudut fasa

dengan panjabaran sebagai berikut. Persamaan tegangan gelombang sinusoida :

)t(j

m

m

eVRe)t(v

)t(cosV)t(v

+=

+=

Dimana Re adalah bagian riel dari )t(je + dan selalu diingat bahwa gelombang

tegangan tersebut adalah bagian nyata, yang selanjutnya notasi (Re) tidak perlu ditulis

dalam persamaan gelombang tegangan. Sehingga persamaan tegangan menjadi :

tjj

m

jtj

m

)t(j

m

eeV)t(v

eeV)t(v

eV)t(v

+

=

=

=

tj

m

tjj

m

eV)t(v

eeV)t(v

=

=

Dari persamaan dapat diketahui bahwa tegangan sesaat dapat dinyatakan dengan

bentuk vektor dengan arah sudut fasanya

m

j

m

V)t(v

eV)t(v

- 90

Vm

0

Im

Rangkaian Elektrik

89

4.3.1. Impedansi (Z) dan Admitansi (Y) Dalam penyelesaian dengan menggunakan metode fasor, harus dipahami

terlebih dahulu pengertian impedansi dan admitansi, impedansi adalah perbandingan

antara tegangan (fasor) dan arus (fasor) diantara dua terminal. Apabila dinyatakan

dalam bentuk matematik sebagai berikut yang diperlihatkan pada gambar 4.9

+

-

V

I

Z

Gambar 4.9 Rangkaian Impedansi

Impedansi (Z) mempunyai satuan ohm, admitansi (Y) adalah kebalikan dari impedansi,

satuan dari admitansi adalah mho, yang dinyatakan dalam persamaan :

Z

1Y =

Pada rangkaian R,L,C yang dihubungkan seri, seperti diperlihatkan pada gambar 4.10 ,

maka fasor tegangan pada masing-masing unsur rangkaian dapat dihitung sebagai

berikut :

+

-

V

R

+I

XL

XC

+

+- -

-

VR VL

VC

Gambat 4.10 Rangkaian RLC

)(I

VZ =

IZV =

0

CC

0

LL

0

R

0

90IXV

90IXV

0IRV

0II

−=

=

=

=

VYI

V

IY

=

= (Ʊ)

Rangkaian Elektrik

90

Fasor tegangan pada masing-masing unsur rangkaian apabila digambarkan

pada bidang komplek, sebagai berikut

Gambar 4.11 Fasor Tegangan pada Bidang Komplek

Dari gambar 4.10 Rangkaian RLC dapat dilihat, apabila arus yang mengalir dalam

rangkaian mempunyai sudut fasa 00 maka tegangan pada resistansi akan sefasa

dengan arus, sedangkan pada induktansi tegangan akan mendahului 090 terhadap

arus dan tegangan pada kapasitansi akan tertinggal 090 terhadap arus. Apabila

digambarkan pada bidang komplek dapat diperlihatkan pada gambar 4.11.

Dari bidang komplek, diperoleh : 1). Pada Resistansi.

IRVR = maka diperoleh impedansi :

RZ

RI

V

R

R

=

=

2). Pada Induktansi

IXjV LL = maka diperoleh impedansi :

LL

LL

XjZ

XjI

V

=

=

3). Pada Kapasitansi

IXjV CC −= maka diperoleh impedansi :

CC

CC

XjZ

XjI

V

−=

−=

4.3.2 Syarat Penyelesaian dengan Metode Fasor

Rangkaian Elektrik

91

Hukum-hukum dasar, rangkaian sederhana dan metode analisis rangkaian

pada rangkaian arus searah yang pernah dibahas, berlaku untuk rangkaian arus bolak-

balik dengan sumber tegangan berbentuk gelombang sinusoida, dengan syarat-syarat

sebagai berikut :

1. Unsur rangkaian (R,L,C) harus dinyatakan dalam bentuk impedansi (Z) atau

admitansi (Y).

Impedansi dan admitansi seperti diperlihatkan pada table berikut ini :

R L C

Z(Ω) R LXj

CXj−

Y(Ʊ) R

1

LXj

1

CjX

1

−

Cf2

1

C

1X

Lf2LX

C

L

=

=

==

2. Tegangan dan Arus harus dalam bentuk fasor

Tegangan sesaat : )t(sinV)t(vo

1m +=

Bentuk tegangan fasor : 1efef

1mm

VV

VV

=

=

Arus sesaat : )t(sinI)t(i 2m −=

Bentuk arus fasor : 2efef

2mm

II

II

−=

−=

Rangkaian Elektrik

92

Contoh : 1. Rangkaian R L seri, dicatu sumber tegangan sinusoida :

volt)t10(cos20)t(v =

+

-

V(t)

10

i(t)

1 H

1). Hitung tegangan efektif dan frekuensi tegangan

2). Hitung arus efektif dan arus sesaat yang mengalir dalam rangkaian

Solusi :

volt)t10(cos20)t(v = , maka : 10,20Vm ==

Tegangan efektif : V14,142

20

2

VV m

ef ===

maka frekuensi : .Hz59,128,6

10

2f ==

=

Rangkaian kawasan frekuensi :

+

-

V

ZR

I

ZL

0

0

0ef

ef 4514514,14

014,14

Z

VI −=

==

Jadi arus efektif Ief = 1 A

41,11x2Ix2Im ===

Arus sesaat : A)45t10cos(41,1)t(i 0−=

=

+=

+=

+=

+=

0

LR

4514,14Z

10j10

1x10j10

LjR

ZZZ

Rangkaian Elektrik

93

2. Dalam rangkaian elektrik, diketahui sumber tegangan :

volt)t3(sin5)t(v =

+

-

V(t)

1

i(t)

1/9 F

3

1 H

iC(t)

1). Hitung ars efektif (I) dan arus sesaat (i) 2). Hitung arus efektif Ic dan arus sesaat (ic)

Solusi :

Menghitung arus efektif dan arus sesaat i(t).

volt)t3(sin5)t(v = , maka : 3,5Vm ==

+

-

V

I

Z1

Ic

Z2

Z3a

b

3j33

9j9

3j33j

)3j3(x3j

ZZ

ZxZZ

21

21ab

−=−

=

++−

+−=

+=

9,365Z

3j413j3

ZZZ 3ab

−=

−=+−=

+=

0

0

90,361I

)9,36(01I

9,365

05

Z

VI

=

−−=

−

==

Arus efektif : A707,01x707,0I707,0I mef ===

1Z

3j3

1x3j3Lj3Z

3j

9/1x3

1j

C

1jXjZ

3

2

C1

=

+=

+=+=

−=

−=

−=−=

Rangkaian Elektrik

94

Arus sesaat : A)90,36t3(sin)t(i

)90,36t3(sin.1)t(i

0

0

+=

+=

Menghitung arus efektif Ic dan arus sesaat (ic)

0

00

0

abab

10,825,4

90,361x4525,4

90,361x)3j3(IZV

−=

−=

−==

0

0

0

0

1

abC

90,8141,1

903

0i,825,4

3j

10,825,4

Z

VI

=

−

−=

−

−==

Jadi arus sesaat : A)90,81t3(sin41,1)t(i 0

C +=

3. Pada rangkaian elektrik, diketahui sumber tegangan dengan tegangan efektif :

volt050V

volt050V

0

2

0

1

=

=

+

-

V1

+

-

2 a

Zab V2

3

3

5

8

b

1). Hitung tegangan pada impedansi Zab dengan metode arus mesh

2). Hitung tegangan pada impedansi Zab dengan metode tegangan node

3). Hitung tegangan pada impedansi Zab dengan teorema thevenin

Solusi :

1). Metode arus mesh

Rangkaian Elektrik

95

+

-

50 0I

+

-

b

2 a

50 0

3

3

j5

-j8

II

I1 I2Ib

I1 I2

Tegangan pada impedansi Zab :

21b

babab

III

IZV

−=

=

Dengan metode Arus mesh.

Mesh I : 1212111 ViZIZ =−

)1(...........050I)5j3(I)5j5(

050I)5j3(I)5j32(

0

21

0

21

=+−+

=+−++

Mesh II : 2222121 ViZIZ =+−

)2(...........050I)3j6(I)5j3(

050I)8j5j33(I)5j3(

0

21

0

21

−=−++−

=−++++−


0

21 050I)5j3(I)5j5( =+−+

0

21 050I)3j6(I)5j3( −=−++−

Persamaan (1) dan (2), dihitung dengan determinan

15j61

400j150

)5j3()5j3()3j6()5j5(

)5j3(50)3j6(50

)3j6()5j3(

)5j3(5j5

)3j6(050

)5j3(050

I0

0

1

−

−=

++−−+

+−−=

−+−

+−+

−−

+−

=

0

1

0

0

1

64,5580,6I

80,1382,62

44,6920,427I

−=

−

−=

Rangkaian Elektrik

96

0

2

0

0

0

0

2

80,1359,1I

80,1382,62

0100

15j61

100

)5j3()5j3()3j6()5j5(

)5j3(50)5j5(50

)3j6()5j3(

)5j3(5j5

050)5j3(

0505j5

I

−=

−

−=

−

−=

++−−+

+++−=

−+−

+−+

−+−

+

=

0

b

00

00

21b

18,4449,7I

22,5j57,5

38,0j54,160,5j83,3

80,1359,164,5580,6

)80,1359,1(64,5580,6

III

−=

−=

++−=

+−=

−−−=

−=

volt85,1466,43V

18,4449,7x03,5983,5

18,4449,7x)5j3(

IZV

ab

00

0

babab

=

−=

−+=

=

2). Metode tegangan node

Sumber tegangan V1 dan V2 ditransformasikan ke sumber arus Ia da Ib sebagai

berikut :

0

0

00

b

00

a

43,6985,543,6954,8

050

8j3

050I

0252

050I

=−

=

−

=

=

=

Sehingga rangkaian menjadi :

Rangkaian Elektrik

97

Ia

2

2

1

Ib

3 3

j5 - j8

Node 1 : 1111 IVY =

47,5j05,225)8j3()8j3(

)8j3(

)5j3()5j3(

)5j3(

2

1

43,6985,5025V)8j3(

1

)5j3(

1

2

1 00

1

++=

+−

++

−+

−+

+=

−+

++

47,5j05,27V73

)8j3(

34

)5j3(

2

1

47,5j05,225V83

)8j3(

53

)5j3(

2

1

1

12222

+=

++

−+

++=

+

++

+

−+

47,5j05,27V038,0j629,0

47,5j05,27V109,0j041,0147,0j088,050,0

1

1

+=−

+=++−+

0

1

0

0

1

89,1480,43V

46,363,0

42,1160,27

038,0j629,0

47,5j05,27V

=

−

=

−

+=

0

1ab 89,1480,43VV ==

3). Theorema Thevenin

Sementara impedansi Zab dibuka dari rangkaian, untuk menghitung tegangan

thevenin, sehingga rangkaian menjadi :

+

-

50 0

VR

+

+

-- b

2

a

Vab = Voc 50 0

3 -j8

I1

I1

I1

++

--

Vc

Tegangan thevenin Vab = Voc

Rangkaian Elektrik

98

0)8j5(

0I

0I)8j5(

050050I)8j32(

1

1

00

1

=−

=

=−

−=−+

0

ab

0

11

0

CROCab

050V

050I)8j(I3

050VVVV

=

+−+=

++==

Zab = Zth

b

2

a

3 -j8


+

-

Voc = 50 0 V

+

-

b

Zth = 1,81 -11,45 a

3

j5

Vab

Impedansi Thevenin :

45,1181,1Z

99,5743,9

45,6908,17

8j5

16j6

8j32

)8j3(x2ZZ

ab

thab

−=

−

−=

−

−=

−=

−==

oc

abth

abab Vx

ZZ

ZV

+=

volt88,1476,43V

050x15,4466,6

03,5983,5

050x64,4j78,4

03,5983,5

050x5j336,0j78,1

03,5983,5

050x5j345,1181,1

5j3V

ab

0

0

0

00

00

0

ab

=

=

+

=

++−

=

++−

+=

Rangkaian Elektrik

99

4.4. Daya Dalam Rangkaian Arus Bolak-Balik Dalam rangkaian arus bolak–balik (gelombang sinusoida) terdapat 3 macam

daya, yaitu :

1. Daya nyata/daya aktif (Daya rata-rata) .

Daya nyata dengan notasi P dengan satuan watt (W), dalam rangkaian

merupakan daya yang diserap oleh resistansi

2. Daya Reaktif (Daya buta)

Daya reaktif dengan notasi Q dengan satuan Volt Ampere Reaktif (VAR),

merupakan daya yang diserap oleh reaktansi induktif atau reaktansi kapasitif

3. Daya Nampak (Daya komplek)

Daya Nampak dengan notasi S dengan satuan Volt Ampere (VA), merupakan

gabungan antara daya nyata dan daya reaktif

Dalam menghitung daya nyata dan daya reaktif dapat dilakukan dengan dua cara

yaitu, dengan menghitung daya sesaat dari nilai tegangan dan arus sesaat atau

dengan daya riel dan daya imajiner pada bidang komplek.

4.4.1 Perhitungan Daya Sesaat 1). Daya Nyata

Dalam rangkaian elektrik yang diperlihatkan pada Gaambar 4.12, tegangan dan

arus adalah tegangan efektif dan arus efektif.

+

-

Vs

I

ZV

+

-

Gambar 4.12 Rangkaian dengan impedansi Z = R + jX Gambar 4.13 memperlihatkan gelombang tegangan sesaat, arus sesaat dan daya

sesaat

XjRZ +=

)t(sinV2)t(v

)t(sinI2)t(i

+=

=

I : Arus efektif V : Tegangan efektif D

Rangkaian Elektrik

100

v,i,p

t

i(t)v(t)

p(t)

0ϕ π 2π

Gambar 4.13 Gambar Gelombang Daya Sesaat

Daya sesaat :

)t(i).t(v)t(p =

)t2(coscosIV

)tt(cos)tt(cos2

1IV2

)t(sin.)t(sinIV2

)t(sinI2.)t(sinV2)t(p

+−=

++−−+=

+=

+=

Daya rata-rata (daya nyata):

=

T

0

dt)t(pT

1P

=

−=

−=

+−=

+−=

cosIVP

)0T(cosIVT

1

0t.cosIVT

1

dt)t2(cosIVT

1dtcosIV

T

1

dt)t2(cosVIcosVIT

1P

T

o

T

0

T

0

T

0

Rangkaian Elektrik

101

2). Daya Reaktif

1. Daya yang diserap oleh Reaktansi Induktif (XL)

+

-

Vs

I

ZLV

+

-

Gambar 4.14 Rangkaian dengan impedansi Z = j XL

Gambar 4.15 memperlihatkan gelombang tegangan sesaat, arus sesaat dan daya

sesaat pada rangkaian induktif murni

v,i,p

t

i(t)v(t)

p(t)

0 π 2π

Gambar 4.15 Gambar Gelombang Daya Sesaat pada induktansi

Daya sesaat :

)t(i.)t(v)t(p =

dt

)t(diL).t(i)t(i).t(v)t(p ==

)tcos(I2Lx)tsin(I2)t(p =

)tcos(x)tsin(2LI)t(p 2 =

)t2sin(XI)t(p

)t2sin(LI)t(p

L

2

2

=

=

Daya reaktif adalah daya maksimum dari daya sesaat pada induktor.

L

2

L XIQ =

LL XjZ =

dt

diL)t(v

)t(sinI2)t(i

=

=

I : Arus efektif V : Tegangan efektif

Rangkaian Elektrik

102

2. Daya yang diserap oleh Reaktansi Kapasitif (XC)

+

-

Vs

I

ZCV

+

-

Gambar 4.16 Rangkaian dengan Impedansi Z = -j Xc

Gambar 4.17 memperlihatkan gelombang tegangan sesaat, arus sesaat dan daya

sesaat pada rangkaian kapasitif murni

v,i,p

t

i(t)v(t)

p(t)

0 π 2π

Gambar 4.17 Gambar Gelombang Daya Sesaat pada Kapasitansi

CC XjZ −=

)tsin(I2)t(i =

= dt.iC

1)t(v


Daya sesaat :

)t(i.)t(v)t(p =

== dt).t(iC

1).t(i)t(i).t(v)t(p

)tcos(I2C

1x)tsin(I2)t(p −

=

)tcos(x)tsin(2.C

1I)t(p 2 −

=

)t2sin(XI)t(p

)t2sin(C

1I)t(p

C

2

2

−=

−=

Daya reaktif adalah daya maksimum dari daya sesaat pada kapasitor

C

2

C XIQ −=

Rangkaian Elektrik

103

4.4.2 Perhitungan Daya Pada Bidang Komplek Menghitung daya nyata (Riel) dan daya buta (imajiner) pada bidang komplek.

+

-

Vs

I

ZV

+

-

Gambar 4.18 Rangkaian dengan impedansi Z = R + jX

Apabila fasor tegangan dan fasor arus digambarkan dalam bidang komplek, terlihat

pada gambar 4.19.

Gambar 4.19 Tegangan dan Arus pada Bidang Komplek

I

Icos a= maka : = scoIIa

I

Isin b= maka : = sinIIb

−=

=

II

0VV 0


Rangkaian Elektrik

104

1. Daya Nyata (Riel)

Daya nyata dapat dihitung dari daya pada sumbu riel, yang besarnya sebagai

berikut :

)W(cosIVP

IVP a

=

=

V : Tegangan efektif

I : Arus efektif Cos ϕ : faktor daya ( power factor)

ϕ : beda fasa antara tegangan V dan arus I

2. Daya Reaktif (imajiner)

Daya reaktif dapat dihitung dari daya pada sumbu imajiner, yang besarnya sebagai

berikut :

)VAR(sinIVP

IVP b

=

=

V : Tegangan efektif

I : Arus efektif ϕ : beda fasa antara tegangan V dan arus I

Q (+) : Rangkaian bersifat induktif Q (-) : Rangkaian bersifat kapasitif

3. Daya Semu (Daya Komplek)

Daya semu merupakan gabungan antara daya nyata dan daya reaktif

Daya Komplek :

+=

+=

sinIVcosIVS

QjPS

Besarnya daya komplek :

( ) ( )

( ) ( )( )

)VA(IVS

IVS

sincosxIV

sinIVcosIVS

22

222

222

=

=

+=

+=

Besarnya daya komplek disebut daya semu , jadi daya semu dapat dituliskan :

)VA(IVS =

Rangkaian Elektrik

105

Dalam menghitung daya dalam rangkaian arus bolak-balik dapat diturunkan dari

segitiga impedansi ke segitiga daya, seperti tertera pada gambar 4.20

X

R

Z

ϕ

Gambar 4.20 Segitiga Impedansi dan Segitiga Daya

( )

QjPS

XIjRI

jXRI

ZIS

22

2

2

+=

+=

+=

=

Daya nyata : RIP 2=

Daya reaktif : XIQ 2=

Daya reaktif positif Q (+), apabila X = XL (reaktansi induktif), artinya menyerap daya reaktif Daya reaktif negatif Q (-), apabila X = Xc (reaktansi kapasitif), artinya memberikan daya reaktif. 4.4.3 Sifat Rangkaian Arus Bolak-Balik Rangkaian arus bolak-balik, gelombang sinusoida dapat bersifat resistif,

bersifat induktif dan bersifat kapasitif. Hal ini sangat tergantung dari besar unsur-unsur

rangkaian, suatu contoh yang diperlihatkan pada Gambar 4.21, suatu rangkaian yang

dapat diwakili oleh impedansi Z

+

-

Vs

I

ZV

+

-

Gambar 4.21 Rangkaian dengan impedansi

Q

P

S

ϕ

Segitiga Impedansi

Segitiga Daya

XjRZ +=

XjRZ +=

QjPS +=

Rangkaian Elektrik

106

1. Rangkaian bersifat Resistif.

Apabila impedansi (Z) mengakibatkan arus (I) sefasa dengan tegangan (V),

maka rangkaian tersebut bersifat resistif ( Z = R )

2. Rangkaian bersifat Induktif

Apabila impedansi (Z) mengakibatkan tegangan (V) mendahului (Leading)

terhadap arus (I), maka rangkaian tersebut bersifat induktif ( Z = R + j X )

3. Rangkaian bersifat Kapasitif

Apabila impedansi (Z) mengakibatkan tegangan (V) terbelakang (Lagging)

terhadap arus (I), maka rangkaian tersebut bersifat kapasitif ( Z = R – j X )

Pada rangkaian yang bersifat induktif, maka daya reaktif bernilai positif Q(+),berarti

rangkaian yang bersifat induktif selalu menyerap daya reaktif. Sedangkan pada

rangkaian yang bersifat kapasitif, bernilai negatif Q(-), berarti rangkaian yang bersifat

kapasitif selalu memberi daya reaktif

00=

00 090

00 090

Rangkaian Elektrik

107

Contoh : 1. Rangkaian elektrik, dengan sumber tegangan sinusoida :

)30t100(cos20)t(v 0+=

-

+

1

0,01 F

2 V(t)

0,02 H

Hitung daya nyata, daya reaktif dan daya semu yang diserap oleh unsur rangkaian. Solusi :

)30t100(cos20)t(v 0+= , maka fasor tegangan : 100

volt3020V 0

m

=

=

−=−=

−=

===

1.j01,0x100

1j

C

1jZ

2.j02,0x100jLjZ

C

L

Rangkaian daerah frekuensi :

-

+

1 2

- j1

I1

I2

I

VZ1Z2

j2

Besar arus yang mengalir :

00

2

2

0

0

1

1

3014,141

3014,14

Z

VI

44,334,656,2623,2

3014,14

Z

VI

=

=

=

==

Daya nyata : (Daya yang diserap oleh unsur resistansi)

1Z

56,2623,2Z

1j2)1.j(22.jZ

2

0

1

1

=

=

+=−++=

Fasor tegangan efektif :

V3014,14V

3020x707,0V

3020V

0

0

0

m

=

=

=

Rangkaian Elektrik

108

watt40,280P

20040,80

1x)14,14(2x)34,6(

1x)I(2x)I(

)1(P)2(PP

22

2

2

2

1

=

+=

+=

+=

+=

Daya reaktif : (daya yang diserap oleh unsur reaktansi)

VAR20,40Q

20,4040,80

1x)14,14(2x)34,6(

X)I(X)I(

)X(Q)X(QQ

22

C

2

1L

2

1

CL

=

−=

−=

−+=

+=

cara lain : Impedansi total (Z)

0

0

0

21

21

13,8707,0

40,1816,3

56,2623,2

1j3

1j2

11J2

1x)1j2(

ZZ

ZxZZ

=

=

+

+=

++

+=

+=

Besar arus yang diberikan oleh sumber tegangan :

0

0

0

87,2120I

13,8707,0

3014,14

Z

VI

=

==

watt280P

13,8cosx20x14,14cosIVP 0

=

==

VAR40Q

13,8sinx20x14,14sinIVQ 0

=

==

VA80,28220x14,14IVS ===

2. Lampu TL (neon), dengan data sebagai berikut : Daya = 20 W Tegangan = 220 V Frekuensi = 50 Hz. Cos ϕ = 0,35

Tentukan beban lampu TL dalam bentuk impedansi, serta gambar rangkaiannya. Solusi : Pada lampu TL terdapat induktor, sehingga merupakan rangkaian yang bersifat

induktif, jadi impedansinya :

ϕ

21,87

30

V

I

000 13,887,2130 =−=

Daya semu :

VA80,282S

20,4040,280

QPS

22

22

=

+=

+=

Rangkaian Elektrik

109

Z = R + j XL

A259,0

35,0x220

20

cosV

PI

:maka,cosIVP

==

=

=

0

1

0

50,69259,0I

35,0cos259,0I

0220V

−=

−=

=

−

0

0

0

50,6942,849Z

50,69259,0

0220

I

VZ

=

−

==

+= 60,795j40,297Z

Dihitung dengan cara lain :

Daya nyata : Daya reaktif :

10,298R

)259,0(

20

I

PR

:maka,RIP

22

2

=

==

=

+= 60,795j10,298Z

298,1

j.795,6

VAR37,53Q

50,69sinx259,0x220siniVQ 0

=

==

60,795X

)259,0(

37,53

I

QX

:maka,XIQ

L

22L

L

2

=

==

=

Rangkaian Elektrik

110

Soal-Soal

1. Sumber tegangan : V)t314(sin180)t(v = , Dikenakan pada rangkaian R L

seri, arus yang mengalir pada rangkaian : A)55t314(sin18)t(i 0−=

Hitung impedansi, resistansi dan induktansinya

2. Pada rangkaian elektrik berikut, diketahui sumber tegangan Vt20cos15)t(v = ,

hitung arus sesaat i(t)

-

+

4

i(t)

V(t)0,25 F

1 H

3. Dalam rangkaian berikut diketahui sumber tegangan :

V)30t10(cos50)t(v 0−=

-

+

V(t)

1 F

i(t)

0,50 H 2 H

2 H

1 F

ic(t)

+

-

Vc(t)

1). Hitung arus efektif dan arus sesaat (i dan ic)

2). Hitung tegangan sesaat vc(t)

Rangkaian Elektrik

111

4. Pada rangkaian elektrik, diketahui tegangan efektif dari sumber tegangan :

V0220V 0= , Hitung arus efektif : I, I1 , dan I2

-

+

V

I

j.10

I1 I2

10 10

10

5. Pada rangkaian elektrik berikut, hitung impedansi (Z1) apabila arus maksimum :

volt0110V

ampere2530I

0

0

=

=

-

+

V

I

j.5

Z1

4

10

6. Dalam rangkaian elektrik, diketahui tegangan efektif dari sumber tegangan :

+

-

+

V1

Ix

j.2

4

2

5

V2

-

- j.2

Hitung arus Ix , dengan metode :

1). Metode arus mesh

2). Metode tegangan node

3). Metode superposisi

4). Teorema Thevenin

V9060V

V060V

0

2

0

1

=

=

Rangkaian Elektrik

112

7. Dalam rangkaian elektrik berikut, hitung arus (Ia) dan tegangan (Va) dan daya

yang diberikan oleh sumber arus.

+Ia

j5

Is

2 5

Va

-

- j2

8. Tiga buah beban listrik dihubungkan secara paralel, dengan sumber tegangan

diketahui tegangan efektif :

V03300V 0−=

Masing-masing beban mempunyai impedansi :

=

−=

=

0

3

0

2

0

1

9015Z

6015Z

1525Z

-

+

V Z1 Z2 Z3

1). Hitung daya yang diserap oleh masing-masing beban listrik

2). Hitung daya yang diserap oleh rangkaian

3). Hitung faktor daya (cos ϕ) dari rangkaian

A9010I 0

S =

Rangkaian Elektrik

113

9. Pada rangkaian diketahui sumber tegangan dengan tegangan maksimum :

V0100V 0=

-

+

V

10

3

j15

j4

Hitung daya nyata, daya reaktif dan daya komplek yang diberikan oleh sumber

tegangan.

10. Suatu beban listrik (Beban A), merupakan beban yang bersifat induktif dengan

data sebagai berikut :

Daya = 1500 watt Tegangan = 120 volt Cos ϕ = 0,85

Diketahui Zs = 0,20 + j 7,50 Ω

-

+

Vs

Zs

A

Apabila tegangan pada beban listrik diinginkan 120 V, hitung besar

tegangan sumber (Vs)

Rangkaian Elektrik

114

11. Pada rangkaian elektrik berikut, diketahui besar tegangan maksimum dan arus

maksimum dari sumber tegangan dan sumber arus, sebagai berikut :

amper405I

volt3010V

0

s

0

s

=

=

12. Pada rangkaian elektrik, hitung tegangan pada resistor (VR) dengan menggunakan :

1). Metode arus mesh 2). Metode tegangan node 3). Superposisi 4). Teorema Thevenin / Norton

+

VRV2V1

-

13. Hitung tegangan pada kapasitor (Vc), apabila diketahui besar tegangan

maksimum sumber tegangan sebagai berikut :

Vc

+

-

Vc

+

-

Hitung arus I1 dan I2 (arus maksimum dan arus efektif)

Tegangan efektif :

volt050V

volt3040V

0

2

0

1

=

=

Unsur rangkaian

besarnya tentukan sendiri

Rangkaian Elektrik

115

14. Hitung tegangan pada sumber arus v(t), pada rangkaian elektrik berikut.

15. Pada rangkaian elektrik berikut, hitung tegangan maksimum dan tegangan

efektif pada induktor, diketahui sumber arus :

A)t10(cos100i

A)t10(sin50i

2s

1s

=

=

V(t)

+

-

Rangkaian Elektrik

116

BAB V

RANGKAIAN TIGA FASA

Rangkaian 3 fasa (Sistem 3 fasa) dalam praktisnya banyak digunakan pada

Pusat pembangkit tenaga listrik (Generator sinkron 3 fasa) di PLTA, PLTU, PLTD,

PLTG, dsb. Digunakan untuk transformator 3 fasa, motor listrik 3 fasa, serta peralatan

control atau pengatur putaran motor dalam bentuk 3 fasa (Elektronika daya).

Rangkaian 3 fasa secara garis besar terdiri dari dua, yaitu :

1. Sumber tegangan 3 fasa

2. Beban listrik 3 fasa

5.1. Sumber Tegangan 3 Fasa

Sumber tegangan 3 fasa (gelombang sinusoida) merupakan sumber tegangan

yang terdiri dari tiga buah sumber tegangan satu fasa yang besarnya sama dan

masing-masing tegangan mempunyai beda fasa 120 derajat.

Contoh sumber tegangan 3 fasa adalah generator sinkron 3 fasa, seperti

diperlihatkan pada gambar 5.1 konsep generator sinkron 3 fasa.

Gambar 5.1. Konsep Generator Sinkron 3 Fasa

Generator sinkron 3 fasa terdiri dari 3 buah belitan yang berbeda fasa 120 derajat,

yaitu :

1. Belitan (P1- N)

2. Belitan (P2- N)

3. Belitan (P3 –N)

P1, P2, P3 adalah ujung belitan, dan N adalah pangkal belitan.

Rangkaian Elektrik

117

Apabila rotor kutub N – S (Kutub magnet utara-selatan) diputar, maka pada masing-

masing belitan akan timbul tegangan terinduksi, sebagai sumber tegangan 3 fasa.

Belitan ( P1 – N), menghasilkan tegangan : )t(sinV)t(v ma =

Belitan ( P2 – N ) menghasilkan tegangan : )120t(sinV)t(v 0

mb −=

Belitan ( P3 – N ) menghasilkan tegangan )240t(sinV)t(v 0

mC −=

Dari persamaan tegangan, terlihat bahwa ketiga tegangan mempunyai amplitudo yang

sama dan masing-masing tegangan berbeda fasa 120 derajat.

Bentuk gelombang sumber tegangan 3 fasa terlihat pada gambar 5.2.

Va Vb VcVm

-Vm

v

ωt

Gambar 5.2. Gambar Gelombang tegangan 3 Fasa.

Apabila ketiga tegangan ditulis dalam bentuk fasor adalah sebagai berikut :

Dalam pemakaiannya sumber tegangan 3 fasa harus dihubungkan dalam

hubungan bintang (Y) atau hubungan delta (Δ)

0

C

0

b

0

a

240VV

120VV

0VV

−=

−=

=

Va

-120

VbVc

-120

Rangkaian Elektrik

118

4.1.1 Sumber Tegangan Hubungan (Y)

Sumber tegangan 3 fasa hubungan Y diperlihatkan pada Gambar 5.3. yang

terdiri dari tiga buah sumber tegangan 1 fasa.

A

B

C

VAn

VBn

VCn

n

+

+

-

-

+

-

Gambar 5.3 Sumber Tegangan 3 Fasa Hubungan Y

Pada Gambar 5.3.(a) Gambar diagram pengawatan sumber tegangan 3 fasa,

sedangkan Gambar 5.3.(b) adalah gambar diagram skematik sumber tegangan

hubungan Y.

1). Tegangan pada Sumber Tegangan hubungan (Y)

LCABCAB

pCnBnAn

VVVV

VVVV

===

===

saluranantarTegangan:V

fasaTegangan:V

L

p

0

pCn

0

pBn

0

pAn

240VV

120VV

0VV

−=

−=

=

Besarnya tegangan antar saluran dapat dihitung sebagai berikut :

BnnBnBAnAB VVdanVVV −=+=

( ) ( )( )00

pp

00

p

00

p

0

p

0

p

BnAnAB

120sinj120cosVV

)120(sinj)120(cosV0sinj0cosV

120V0V

VVV

−−=

−+−−+=

−−=

−=

+

+

+

-

-

-

A

BC

VAn

VBn

VCn

n

(a) (b)

Rangkaian Elektrik

119

+=

++=

2

3j

2

11V

V2

3jV

2

1VV

p

pppAB

( )

)1(......30V3V

303VV

0

pAB

0

pAB

=

=

Dengan cara yang sama, maka akan diperoleh :

( )( )2.......90V3V

903VV

VVVVV

0

pBC

0

pBC

CnBnnCBnBC

−=

−=

−=+=

( ))3(.....210V3V

2103VV

VVVVV

0

pBC

0

pBC

AnCnnACnCA

−=

−=

−=+=

Dari persamaan (1), (2) dan (3) diperoleh kesamaan :

Apabila digambarkan dalam diagram tegangan, diperlihatkan pada Gambar 5.4

sebagai berikut ini.

Van 0

-120

Vbn -120

VAB

-120

Vcn -240

-Vbn

-Vcn

-Van

VBC

VCA

Gambar 5.4. Diagram vektor tegangan hubungan Y

0

pCn

0

pBn

0

pAn

240VV

120VV

0VV

−=

−=

=

)V(VV

)V(VV

)V(VV

AnCnCA

CnBnBC

BnAnAB

−+=

−+=

−+=

pL V3V =

Rangkaian Elektrik

120

2). Arus pada Sumber Tegangan hubungan (Y)

Hubungan arus fasa dan arus saluran pada sumber tegangan hubunga Y,

diperlihatkan pada gambar 5.5, terlihat bahwa arus fasa besarnya sama dengan arus

saluran.

+

+

+

-

-

-

A

BC

VAn

VBn

VCn

n

IAA1

IBB1

ICC1

A1

B1

C1

InA

InB

InC

Gambar 5.5. Hubungan Arus Pada Sumber Tegangan Hubungan Y

Sumber tegangan hubungan Y, besarnya arus fasa sama denga arus saluran, yaitu :

pnCnBnA IIII ===

LCCBBAA IIII111===

saluranArus:I

fasaArus:I

L

p

4.1.2 Sumber Tegangan Hubungan (Δ)

Sumber tegangan 3 fasa hubungan Δ diperlihatkan pada Gambar 5.6. yang

terdiri dari tiga buah sumber tegangan 1 fasa.

A

B

C

VAB

VBC

VCA

+

+

-

-

+

-

Gambar 5.6 Sumber Tegangan Hubungan Δ

AB

C

+

+

+ -

-

-

VAB

VBCVCA

(a) (b)

pL II =

Rangkaian Elektrik

121

Pada Gambar 5.6.(a) Gambar diagram pengawatan sumber tegangan 3 fasa,

sedangkan Gambar 5.6.(b) adalah gambar diagram skematik sumber tegangan

hubungan Δ.

1). Tegangan pada Sumber Tegangan Hubungan (Δ)

Hubungan tegangan antar saluran dan tegangan fasa dapat dilihat pada

Gambar 5.7.

Sumber tegangan hubungan Δ, besarnya tegangan fasa dan tegangan antar saluran

adalah sama, yaitu :

pCABCAB VVVV ===

LACCBBA VVVV111111===


fasaTegangan:V

L

p

2). Arus pada Sumber Tegangan Hubungan (Δ)

Hubungan arus fasa dan arus saluran pada sumber tegangan hubunga Δ,

diperlihatkan pada gambar 5.7, terlihat bahwa arus fasa besarnya :

AB

C

+

+

+ -

-

-

VAB

VBCVCA

A1

B1

C1

IAA1

IBB1

ICC1

IAIB

IC

Gambar 5.7 Hubungan Arus Pada Sumber Tegangan Hubungan Δ

Besarnya arus fasa :

pCBA IIII ===

Besarnya arus saluran :

LCCBBAA IIII111===

Pada titik hubung (A), berlaku hukum Kirchhoff untuk arus : = 0I

0

pC

0

pB

0

pA

240II

120II

0II

−=

−=

=

pL VV =

Rangkaian Elektrik

122

+−−=

−−=

−+−−=

−−=

−=

=+−−

2

3j

2

1II

240sinj240cosII

)240sin(j)240cos(II

240I0I

III

0III

pp

00

pp

00

pp

0

p

0

p

CAAA

ACAA

1

1

3

1tanI3

2

32

3

tanI2

3

2

3

2

3j

2

3I

I2

3jI

2

1II

1

p

1

p

22

p

pppAA1

−

−

−=

−

+

=

−=

−+=

( )1..........30I3I 0

pAA1−=

Dengan cara yang sama diperoleh :

( )3..............270I3I

III

)2(............150I3I

III

0

pCC

BCCC

0

pBB

ABBB

1

1

1

1

=

−=

−=

−=

Dari persamaan (1), (2) dan (3), diperoleh :

Jadi besarnya arus saluran sama dengan akar tiga kali arus fasa

pL I3I =

Rangkaian Elektrik

123

5.2. Beban Listrik 3 Fasa Beban listrik 3 fasa, terdiri dari konstanta rangkaian (R,L,C) dan digambarkan dalam

bentuk impedansi (Z), untuk beban listrik 3 fasa yang seimbang besarnya impedansi

sama Z1 = Z2 = Z3.

Beban listrik 3 fasa dapat dihubungkan dalam hubungan bintang (Y) atau hubungan

delta (Δ).

5.2.1 Beban Listrik 3 Fasa Hubungan (Y) Beban listrik 3 fasa hubungan Y, diperlihatkan pada Gambar 5.8 (a) diagram

pengawatan dan Gambar 5.12 (b) diagram skematik.

A

B

C

Z1

Z2

Z3

Gambar 5.8 Beban listrik 3 fasa Hubungan (Y) 1. Tegangan pada Beban Listrik Hubungan (Y) Hubungan tegangan dan arus pada beban listrik 3 fasa hubungan (Y) diperlihatkan

pada Gambar 5.9.

BC

Z3

+

-

Z1

Z2

IpB

IpC

ILC

ILB

IpA

A

+

+

--

ILAA1

C1

B1

n

Gambar 5.9 Tegangan dan Arus pada Hubungan (Y)

)V(VV

)V(VV

)V(VV

AnCnCA

CnBnBC

BnAnAB

−+=

−+=

−+=

BC

Z3

Z1

Z2

A

(a) (b)

Rangkaian Elektrik

124

Tegangan tiap fasa :

0

pCn

0

pBn

0

pAn

240VV

120VV

0VV

−=

−=

=

LCABCAB

pCnBnAn

VVVV

VVVV

===

===


fasaTegangan:V

L

p

Tegangan antar saluran :

)1(.............30V3V

120V0V

)V(VV

0

pAB

0

p

0

p

BnAnAB

=

−−=

−+=

)2(............90V3V

240V120V

)V(VV

0

pBC

0

p

0

p

CnBnBC

−=

−−−=

−+=

)3(..........210V3V

0V240V

)V(VV

0

pCA

0

p

0

p

AnCnCA

−=

−−=

−+=

Dari persamaan (1), (2) dan (3) diperoleh kesamaan :

2. Arus pada Beban listrik 3 Fasa hubungan (Y)

Besarnya arus fasa dan arus saluran dapat dihitung sebagai berikut :

ppCpBpA IIII ===

LLCLBLA IIII ===

saluranArus:I

fasaArus:I

L

p

Dalam hubungan (Y) besarnya arus saluran sama dengan arus fasa

pL V3V =

pL II =

Rangkaian Elektrik

125

5.2.2 Beban Listrik 3 Fasa Hubungan (Δ) Beban listrik 3 fasa hubungan Δ, diperlihatkan pada Gambr 5.10 (a) diagram

pengawatan dan Gambar 5.10 (b) diagram skematik.

Z1

Z2

Z3

A

B

C

Gambar 5.10 Beban listrik 3 fasa Hubungan (Δ)

1. Tegangan pada Beban Listrik Hubungan (Δ) Hubungan tegangan dan arus pada beban listrik 3 fasa hubungan (Δ) diperlihatkan

pada Gambar 5.11.

A

BC

Z1

Z2

Z3

A1

C1

B1

IA

IBIC

IAA1

ICC1

IBB1

+

+

+

-

-

-

Gambar 5.11 Tegangan dan Arus pada Hubungan (Δ) Beban listrik hubungan Δ, besarnya tegangan phasa dan tegangan antar saluran

adalah sama, yaitu :

pCABCAB VVVV ===

LACCBBA VVVV111111===


fasaTegangan:V

L

p

A

BC

Z1

Z2

Z3

(a) (b)

pL VV =

Rangkaian Elektrik

126

2. Arus pada Beban Listrik Hubungan (Δ) Hubungan arus phasa dan arus saluran pada beban listrik hubungan Δ, diperlihatkan

pada gambar 5.11, terlihat bahwa arus phasa besarnya :

0

pC

0

pB

0

pA

240II

120II

0II

−=

−=

=

Besarnya arus fasa :

pCBA IIII ===

Besarnya arus saluran :

LCCBBAA IIII111===

Pada titik hubung (A), berlaku hukum Kirchooff untuk arus : = 0I

)1(...........30I3

240I0I

III

0III

0

p

0

p

0

p

CAAA

ACAA

1

1

−=

−−=

−=

=−+

Dengan cara yang sama diperoleh :

( )3..............270I3I

III

)2(............150I3I

III

0

pCC

BCCC

0

pBB

ABBB

1

1

1

1

=

−=

−=

−=

Dari persamaan (1), (2) dan (3), diperoleh :

Jadi besarnya arus saluran sama dengan akar tiga kali arus fasa 5.3. Daya Dalam Rangkaian 3 Fasa 5.3.1 Sumber tegangan 3 fasa dan beban listrik 3 fasa Hubungan (Y) Sumber tegangan 3 fasa dan beban listrik 3 fasa hubungan Y, diperlihatkan pada

Gambar 5.12.

pL I3I =

Rangkaian Elektrik

127

A

B

C

Z3

C

Vp

Ip+

-

+

+

+

-

-

-

B

VAn

n

A

VBn

VCn

Z1

Z2

IpIp

IL

IL

IL

Gambar 5.12 Sumber Teganagn dengan Beban Listrik 3 Fsa Hubungan (Y) Besarnya daya 3 fasa dapat dihitung dari daya 1 fasanya sebagai berikut : Daya nyata 3 fasa :

wattcosIV3)fasa3(P

)fasa1(Px3)fasa3(P

pp =

=

Atau dapat ditulis dengan tegangan antar saluran dan arus saluran : Beban hubungan (Y) :

pL V3V =

pL II =

wattcosIV3)fasa3(P

cosI3

V3

cosIV3)fasa3(P

LL

LL

pp

=

=

=

5.3.2. Sumber tegangan 3 Fasa dan Beban Listrik 3 Fasa Hubungan (Δ) Sumber tegangan 3 fasa dan beban listrik 3 fasa hubungan Δ, diperlihatkan pada

Gambar 5.13

A

C

Vp

Ip++

+

+

-

-

-

B

VAn

n

A

VBn

VCn

IL

BC

Z1

Z2

Z3

Ip

Ip

IL

IL

-

Gambar 5.13 Sumber Tegangan dengan Beban Listrik 3 Fasa Hubungan (Δ) Besarnya daya 3 fasa dapat dihitung dari daya 1 fasanya sebagai berikut :

Rangkaian Elektrik

128

Daya nyata 3 fasa :

wattcosIV3)fasa3(P

)fasa1(Px3)fasa3(P

pp =

=

Atau dapat ditulis dengan tegangan antar saluran dan arus saluran :

Beban hubungan (Δ) : pL VV =

pL I3I =

wattcosIV3)fasa3(P

cos3

IV3

cosIV3)fasa3(P

LL

LL

pp

=

=

=

Dengan cara yang sama untuk beban listrik hubungan (Y), maupun hubungan (Δ),

maka dapat dihitung besarnya daya reaktif dan daya semu.

Daya Reaktif :

VARsinIV3)fasa3(Q

VARsinIV3)fasa3(Q

)fasa1(Qx3)fasa3(Q

LL

pp

=

=

=

Daya Semu :

VAIV3)fasa3(S

VAIV3)fasa3(S

)fasa1(Sx3)fasa3(S

LL

pp

=

=

=

Rangkaian Elektrik

129

Contoh : 1. Suatu beban listrik 3 fasa yang seimbang, dihubungkan secara bintang (Y)

mempunyai impedansi tiap fasa = 0604Z . Beban listriktersebut dicatu dari

sumber tegangan 3 fasa, diketahui tegangan pada beban tiap fasa sebesar :

volt3020V 0=

1). Hitung tegangan tiap fasa (bentuk mfasor)

2). Hitung arus fasa (A) dan arus fasa (B)

3). Hitung tegangan antara fasa A dan fasa B

Solusi :

Impedansi beban listrik : === 0

321 604ZZZ

A

IpA

+

+

+

-

-

-

VAn

nVBn

VCn

IpB IpC

B

C

Z3

Z1

Z2

n

1). Tegangan tiap fasa:

volt21020

1209020V

volt9020

1203020V

volt3020V

0

00

Cn

0

00

Bn

0

An

−=

−−=

−=

−=

=

atau

volt15020V 0

Cn =

2). Arus fasa :

A1505604

9020

Z

VI

A305604

3020

Z

VI

0

0

0

2

BnpB

0

0

0

1

AnpA

−=

−==

−=

==

3). Tegangan antar saluran :

CnAn

CnAnAC

VV

)V(VV

−=

−+=

Rangkaian Elektrik

130

( ) ( )

volt064,34V

64,34

10j32,1710j32,17

150203020V

0

AC

00

AC

=

=

+−−+=

−=

2. Tiga impedansi yang sama dihubungkan delta (Δ) dan dicatu oleh sumber tegangan

3 fasa, salah satu tegangan antar saluran adalah volt60240V 0

AB = , dan arus

fasanya ampere2006I 0

pA =

1). Hitung ntegangan dan arus fasa yang lainnya

2). Hitung impedansi tiap fasanya

Solusi :

A

VAB

IpA++

+

+

-

-

-

VAn

nVBn

VCn

IL(A)

BC

Z1

Z2

Z3

IpB

IpC

IL(B)

IL(C)

-

+

+

-

-

VBC

VCA

1). Tegangan antar saluran.

volt60240V 0

AB =

volt180240V

volt180240

12060240V

volt60240

12060240V

0

CA

0

00

CA

0

00

BC

=

−=

−−=

−=

−=

Arus fasa :

A2006I 0

pA =

A406

120806I

A806

1202006I

0

00

pC

00

pB

−=

−=

=

−=

Rangkaian Elektrik

131

Arus saluran :

?806406

iII

?2006806

III

?4062006

III

00

pBpC)C(L

00

pApB)B(L

00

pCpA)A(L

=−−=

−=

=−=

−=

=−−=

−=

2). Impedansi tiap fasa :

−=

=== 0

0

0

pA

ABAB1 14040

2006

60240

I

VZZ

−=

−=== 0

0

0

pB

BCBC2 14040

806

60240

I

VZZ

−=−

−=== 0

0

0

pC

CACA3 14040

406

180240

I

VZZ

3. Tiga buah impedansi yang sama, masing-masing = 03020Z dihubungkan

secara bintang (Y), dan dicatu dengan sumber tegangan 3 fasa, tegangan antar

saluran 400 V.

1). Gambarkan impedansi dalam bentuk kontanta rangkaian

2). Hitng arus fasa dan arus saluran.

3). Hitung daya nyata, daya reaktif yang diserap oleh impedansi.

Solusi :

1) Hubungan impedansi 3 fasa dalam konstanta rangkaian

A

CB

n

IpA

IpC IpB

IL(A)

IL(C)

IL(B)

Z1

Z2Z3

Sumber

tegangan 3 fasa

17,32

17,32 17,32

j 10

j 10 j 10

+=

===

10j32,17

3020ZZZ 0

321

Rangkaian Elektrik

132

2). Tegangan antar saluran : volt400VL =

Tegangan fasa : volt2313

400Vp ==

volt240231V

volt120231V

volt0231V

0

Cn

0

Bn

0

An

−=

−=

=

Arus fasa :

A3055,113020

0231

Z

VI 0

0

0

1

AnpA −=

==

A15055,113020

120231

Z

VI 0

0

0

2

BnpB −=

−==

A27055,113020

240231

Z

VI 0

0

0

3

CnpC −=

−==

Arus saluran (Hubungan Y, arus saluran sama dengan arus fasa)

A3055,11iI 0

pA)A(L −==

A15055,11iI 0

pB)B(L −==

A27055,11iI 0

pC)C(L −==

3). Daya nyata 3 fasa :

watt80,6922

30cos.55,11.231.3

cosIV3)fasa3(P

0

pp

=

=

=

Daya Reaktif 3 fasa :

VAR88,3996

30sin.55,11.231.3

sinIV3)fasa3(Q

0

pp

=

=

=

- 30 VAn

IpA

ϕ

Rangkaian Elektrik

133

Soal-Soal 1. Diketahui beban listrik 3 fasa, hubungan Δ dengan impedansi tiap fasa :

dihubungkan dengan sumber tegangan 3 fasa hubungan Y, tegangan efektif fasa a:

1). Hitung arus fasa, arus saluran pada beban listrik 3 fasa

2). Hitung daya nyata, daya reaktif dan daya semu yang diserap beban listrik 3 fasa

2. Tiga buah impedansi, masing-masing terdiri dari kombinasi seri resistor 30 ohm,

kapasitor 1 mF, dan induktor 0,50 H diketahui frekuensi sudut 100 rad/s,

impedansi dihubungkan bintang (Y). Disuplai dari sumber tegangan 3 fasa

terhubung Y, dengan tegangan efektif tiap fasa :

volt90231V

volt150120V

volt30120V

0

Cn

0

Bn

0

An

=

−=

−=

1). Hitung arus fasa dan arus saluran (Fasor) pada impedansi

2). Hitung daya nyata, daya reaktif dan daya semu yang diserap oleh impedansi

3. Sumber tegangan 3 fasa dengan tegangan antar saluran 100 V (tegangan

maksimum), mensuplai daya ke beban 3 fasa hubungan Y, dengan impedansi tiap

fasa : Z = ( 8 +j 6) Ω

1). Hitung arus fasa dan arus saluran.

2). Hitung daya nyata dan daya reaktif yang diserap oleh beban.

4. Suatu beban 3 fasa seimbang yang dihubungkan Y, mempunyai impedansi

= 06004Z , dengan tegangan tiap fasa dari sumber tegangan 3 fasa adalah :

Tegangan efektif V15220V 0

p =

1). Hitung arus yang mengalir dalam masing-masing impedansi

2). Hitung tegangan antar saluran

3). Hitung daya yang diserap oleh beban 3 fasa

5. Tiga buah resistor masing-masing 100 Ω, dihubungkan secara Δ, disuplai oleh

sumber tegangan 3 fasa, tegangan efektif antar saluran pada resistor 220 V.

1). Hitung arus fasa dan arus saluran

2). Hitung daya yang diserap oleh resistor tersebut.

volt0020V 0

a =

−= 03020Z

Rangkaian Elektrik

134

DAFTAR PUSTAKA

1. Mismail, Budiono, Rangkaian Listrik , Jilid Pertama, Bandung, Penerbit

ITB, 1995

2. Irwin, J.D., Basic Engineering Circuit Analysis, Upper Saddle River,

Prentice Hall Internatinal Inc., 1996

3. Hayt, W.H, Kemmerly, J.E., Engineering Circuit Analysis, Terjemahan :

Rangkaian Listrik, 1990

4. Boylestad, Robert. Essential Of Circuit Analysis, Upper Saddle River,

New Jersey, Pearson Education Inc.,2004

5. Gisson , Tildon. Introduction to Circuit Analysisand Design, Amsterdam,

SpringerScience, 2011

6. Johnson D E. Electric Circuit Analysis . Upper Saddle River, Prentice Hall

International Inc.,1997

7. Naeem, Wasef. Concept in Electric Circuit. Wasef Naeem and Ventus

Publishing Aps., 2009

Rangkaian Elektrik

135

Pendidikan Magister Teknik Elektro di Fakultas Pasca Sarjana Universitas

Brawijaya dibidang Teknik Elektro Terapan.

Penulis bekerja sebagai dosen di Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya sejak tahun 1982, pernah menjabat sebagai Kepala

Laboratorium Mesin Listrik, Kepala Laboratorium Dasar Elektro dan

Pengukuran, serta sebagai Sekretaris Jurusan Teknik Elektro.

Matakuliah yang diajarkan adalah Transmisi Daya Elektrik, Mesin Elektrik,

Penggunaan Mesin Elektrik, Sistem Pentanahan dan Proteksi Tenaga Elektrik,

Rangkaian Elektrik.

Penulis dilahirkan dikota Pacitan, kota kabupaten yang berada di pantai selatan pulau Jawa, yang merupakan perbatasan antara Jawa Timur dan Jawa Tengah. Dilahirkan Tanggal 8 Juli 1955. Pendidikan dasar sampai pendidikan menengah diselesaikan di Kota Pacitan, SD Negeri , SMP Negeri dan SMA Negeri Pacitan. Penulis menempuh sarjana (S1) Jurusan Teknik. Elektro ITS Surabaya. (Tahun 1975 s/d 1980)

BUKU RANGKAIAN ELEKTRIK -...

Documents

Transcript of BUKU RANGKAIAN ELEKTRIK -...

ISSN 1410-9840 - eprints.undip.ac.ideprints.undip.ac.id/67742/1/EPI_FARMAKA.pdf · elektrik untuk dapat menghasilkan pulsa elektronik. Rangkaian programable logic control (PLC) mengidentifikasi

elektrik power steering

ANALISIS SISTEM DAYA - elektro.ub.ac.idelektro.ub.ac.id/.../uploads/2019/01/Buku-Analisis-Sistem-Daya.pdf · Transmisi Daya Elektrik) ... dikenal tiga jenis saluran yaitu, saluran

Rokok elektrik cikarang

Signal Models {Rangkaian Elektrik} - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Signal_modelling-_Pertemeuan_2.pdf · Pergeseran Fase (t based) Pada gelombang sinus pegeseran fasa

TUGAS BAHAN ELEKTRIK

Percobaan 1 - Labdasar Teknik Elektro STEI ITBlabdasar.ee.itb.ac.id/lab/EL2101 - Rangkaian Elektrik/2013-2014... · –– menggunakan peraga jarum menggunakan peraga jarum moving

PETUNJUK PRAKTIKUM Praktikum Rangkaian Elektriklabdasar.ee.itb.ac.id/lab/EL2101 - Rangkaian Elektrik/2015-2016... · Berikut ini adalah panduan yang harus dipatuhi ketika menggunakan

Percobaan 6 Resonansi - labdasar.ee.itb.ac.idlabdasar.ee.itb.ac.id/lab/EL2101 - Rangkaian Elektrik/2013-2014... · sebagai perbandingan energi maksimum tersimpan ... • Hitung frekuensi

Analisis Rangkaian Listrik Jilid-3 · PDF filemenjadi dasar dibangunnya mesin-mesin konversi energi elektrik. Analisis rangkaian magnetik ini disusul dengan pengenalan pada mesin-

ELEKTRIK 2

BUKU RANGKAIAN ELEKTRIK I · dan unsur-unsur rangkaian.Berikutnya pada bab II dibahas mengenai hokum dasar rangkaian elektrik, rangkaian seri dan paralel, pembagian tegangan dan pembagian

MATERI PENGOLAHAN SINYAL · PDF fileMATERI PENGOLAHAN SINYAL : 1. ... tegangan dalam rangkaian elektrik, ... Pengolahan sinyal secara digital menggunakan komponen-komponen digital,

Modul Rangkaian Elektrik-1

TERAPI ELEKTRIK

BUKU RANGKAIAN ELEKTRIK · 2020. 12. 8. · Arus elektrik (arus listrik) adalah banyaknya muatan yang melewati luas penampang tertentu per satuan waktu, apabila ditulis dalam bentuk

Teknologi bahan elektrik

Percobaan 2 Rangkaian Arus Searah dan Nilai Statistik ...labdasar.ee.itb.ac.id/lab/EL2101 - Rangkaian Elektrik/2013-2014... · Memahami penggunaan teorema Thevenin danMemahami penggunaan

Rangkaian ELEKTRIK MODEL PIRANTI - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/pertemuan_8.pdfarah jarum jam. Direpresentasikan oleh 𝜔. c) Proyeksi : proyeksi vektor sepanjang sumbu

11 Sensors Elektrik