Buku Pemrograman Komputer

8/10/2019 Buku Pemrograman Komputer

1/242

Adrian Nur

Y.C. Danarto

Bregas Siswahjono T.S.

Paryanto

Jurusan Teknik Kimia Fakultas Teknik

Universitas Sebelas Maret

Surakarta


2/242

LEMBAR PENGESAHAN

1. Judul buku ajar : Penyelesaian Numeris dalamTeknik Kimia dengan Matlab

2. Tim Penyusun : Adrian Nur, S.T., M.T.Y.C. Danarto, S.T., M.T.

Bregas Siswahjono T.S., S.T., M.T.

Ir. Paryanto, M.S.

3. Waktu penulisan : 4 ( empat ) bulan.

4. Biaya : Rp. 5.000.000,- ( lima juta rupiah ).

Surakarta, 15 November 2005

Mengetahui,

Ketua Pelaksana Kegiatan SP4 Ketua Tim PenyusunJurusan Teknik Kimia UNS

Fadilah, ST., MT. Adrian Nur, ST., MT.

NIP 132 258 062 NIP 132 282 191

Mengetahui/Menyetujui,Pembantu Rektor I UNS Dekan Fakultas Teknik UNS

Dr. Ravik Karsidi, MS Ir. Sumaryoto, MT.NIP 130 906 766 NIP 131 471 452


3/242

Adrian Nur

Y.C. Danarto


Paryanto



Surakarta


4/242

Penyelesaian Numeris dalam

Teknik Kimia dengan Matlab

Oleh : Adrian Nur

Y.C.. Danarto


Paryanto

vi + 252 hlm. ; 15,5 x 23 cm

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Hak Cipta @ 2005 pada penulisDilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini dalam

bentuk apapun, tanpa izin dari penulis

Edisi PertamaEdisi pertama, Cetakan pertama, November 2005



Surakarta


5/242

KATA PENGANTAR

Penggunaan MATLAB dalam penyelesaian persoalan dalam teknik

kimia bukanlah hal yang baru. Namun penggunaan MATLAB tersebut sangatterbatas dan tanpa memperhatikan pengetahuan numeris yang digunakan.

Buku ini menyajikan penggunaan bahasa pemrograman MATLAB

untuk penyelesaian persoalan-persoalan dalam teknik kimia secara numeris. Bab

awal buku berisi pengantar pemrograman dengan menggunakan MATLAB. Bab-

bab selanjutnya diikuti dengan penyelesaian secara numeris berurutan :

persamaan aljabar linier, persamaan aljabar non linier, integral, pencocokan

kurva, optimasi, persamaan differensial ordiner, dan persamaan differensialparsial. Setiap bab berisi tentang metode-metode numeris yang digunakan,

fungsi-fungsi MATLAB, contoh-contoh problem teknik kimia, dan program-

program penyelesaiannya beserta keluaran program.Para mahasiswa sangat diharapkan menambah pengetahuan tentang

pemanfaatan MATLAB dari berbagai buku dan internet yang diantaranya

tercantum dalam daftar pustaka. Kerajinan dan ketekunan yang disertai doaakan membawa keberhasilan.

Terima kasih tak lupa ditujukan kepada istri dan anak-anak tercinta

yang rela kehilangan waktu bersama suami/ayahnya selama penyusunan buku

ini. Buku ini tidak dapat tersusun tanpa bantuan teman-teman sejawat yang

memberikan kritik dan komentar berguna. Segala kritik dan saran untukperbaikan buku ini masih sangat kami harapkan.

Tim Penulis


6/242

iv


7/242

DAFTAR ISI

Kata Pengantar iii

Daftar Isi v

I. PENGANTAR PEMOGRAMAN MATLAB 1

1.1. Fungsi Umum Matlab 2

1.2. Tipe Data 91.3. M-File 16

II. PERSAMAAN ALJABAR LINIER 23

2.1. Metode Eliminasi Gauss 23

2.2. Metode Inversi Matriks 31

2.3. Metode Dekomposisi LU 36

III. PERSAMAAN ALJABAR NON LINIER 43

3.1. Metode Bagidua (Bisection) 43

3.2. Metode Newton-Raphson 48

3.3. Fungsi fzero 52

IV. INTEGRAL NUMERIS 75

4.1. Aturan Trapesium 764.2. Aturan Simpson 80

4.3. Kuadratur Gauss 85


8/242

vi

V. PENCOCOKAN KURVA 99

5.1. Regresi Kuadrat Terkecil 100

5.1.1. Regresi Linier 1015.1.2. Regresi Polinomial 112

5.1.3. Regresi Multivariabel 119

5.2. Interpolasi 121

5.2.1. Interpolasi Satu Dimensi 1225.2.2. Interpolasi Spline 1275.2.3. Interpolasi Dua Dimensi 131

VI. OPTIMASI 133

6.1. Pemograman Linier 1336.2. Metode Golden Section 136

6.3. Optimasi Multivariabel 146

VII. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDINER 169

7.1. Masalah Harga Awal 170

7.1.1. Metode Euler 1707.1.2. Metode Runge-Kutta 173

7.1.3. Metode Prediktor-Korektor 174

7.1.4. Fungsi ode 1767.2. Masalah Harga Batas 206

7.2.1. Metode Shooting 207

7.2.2. Metode Beda Hingga (finite difference) 212

VIII. PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL 227

8.1. Persamaan Differensial Eliptik 228

8.1.1. Persamaan Laplace 228

8.1.2. Persamaan Poisson 236

8.2. Persamaan Differensial Parabolik 2378.2.1. Metode Eksplisit 237

8.2.2. Metode Implisit 247

Daftar Pustaka 251


9/242


10/242


11/242

3

MATLAB Command Window/Editor merupakan jendela yang dibuka

pertama kali setiap kali MATLAB dijalankan.

Pada jendela ini dapat dilakukan akses-akses ke perintah-perintah

MATLAB dengan mengetikkan ekspresi MATLAB, seperti mengakses help

window, helpdesk, demo, dan lain-lainnya.

Jika variabel-variabel dan perintah-perintah pada layar command

window yang sedang aktif akan disimpan, maka dapat dilakukan dengan

menggunakan perintah diary. Sebagai contoh, jika ingin menyimpan output

m =1 2 34 5 6

di direktori c:\coba dengan nama file data1.txt, maka dapat dilakukan dengan

mengetik :

m=[1 2 3;4 5 6]m =

1 2 34 5 6

diary 'c:\coba\data1.txt'

Apapun yang tertulis di command window setelah perintah ini akan disimpan

sampai kita menutup file ini dengan mengetikkan :

diary off

Command Windows juga digunakan untuk memanggil tool MATLAB

seperti editor, debugger, atau fungsi. Window ini dicirikan dengan adanya

prompt (>>) yang menyatakan MATLAB siap menerima perintah. Perintah dapat

berupa fungsi-fungsi pengaturan file (seperti perintah DOS/UNIX) maupun

fungsi-fungsi bawaan (toolbox) MATLAB. Berikut ini beberapa fungsi

pengaturan file dalam MATLAB:

dir atau ls: digunakan untuk mehhat isi dari sebuah direktori aktif.

cd : digunakan untuk melakukan perpindahan dari direktori aktif

ke direktori lainnya.

pwd : digunakan untuk melihat direktori yang sedang aktif.


12/242

4

mkdir : digunakan untuk membuat sebuah direktori.

what : digunakan untuk melihat nama m-file (yang akan dibahas ke-

mudian) dalam direktori aktif.

who : digunakan untuk mehhat variabel yang sedang aktif.

whos : digunakan untuk menampilkan nama setiap variabel yang

sedang aktif.

delete : digunakan untuk menghapus file.

clear : digunakan untuk menghapus variabel.

clc : digunakan untuk membersihkan layar.

doc : digunakan untuk melihat dokumentasi The MathWorks, Inc.

dalam format ht ml secara online.

demo : digunakan untuk menampilkan demo yang disediakan oleh

MATLAB.

b. MATLAB Editor/Debugger (Editor M-File/Pencarian. Kesalahan)

Jendela ini merupakan toolyang disediakan oleh MATLAB versi. 5 ke

atas yang berfungsi sebagai editor script MATLAB (M-File). Walaupun

sebenarnya script ini dalam pernrograman MATLAB dapat saja menggunakan

editor lain seperti Notepad, Wordpad, bahkan Word. Untuk mengakses window

M-File ini dapat dilakukan dengan cara:

1. Memilih File kemudian pilih New,

2. Pilih M-File, maka MATLAB akan menampilkan editor window.

Selain cara di atas, untuk menampilkan editor M-File ini dapat juga

dilakukan dengan mengetik: >> edit

c. Figure Windows (Jendela gambar)

Window ini adalah hasil visualisasi script MATLAB. Namun

MATLAB memberi kemudahan bagi pemrogram untuk mengedit window ini

sekaligus memberikan program khusus untuk itu sehingga window ini selain

berfungsi sebagai visualisasi output dapat juga sekaligus menjadi media input

yang interaktif.


13/242

5

Coba anda ketikkan script berikut ini pada command window dan

perhatikan hasilnya tergambar padafigure window.

x=0:2:360; y=sin(x*pi/180); plot(x,y)

d. MATLAB Help Window

MATLAB menyediakan sistem help yang dapat diakses dengan

perintah help. Misalnya, untuk mernperoleh informasi mengenai fungsi sin, coba

anda ketikkan

help sin

dan kernudian menekan enter. Di layar akan muncul informasi dalam bentuk teks

pada layar MATLAB yaitu:

SIN Sine.SIN(X) is the sine of the elements of X.

Overloaded methodshelp sym/sin.m

Untuk mengetahui penggunaan perintah plot, cobalah ketikkan:

help plot

Selain helpdalam bentuk seperti di atas, MATLAB juga menyediakan

demonstrasi kemampuan MATLAB dengan mengetikkan

demo

Untuk memperoleh informasi tentang konsep-konsep dasar bahasa

MATLAB, dapat dilakukan dengan perintah

intro

Bentuk helpyang lain adalahHelp Windowyaitu dengan mengetikkan

helpwinInformasi selengkapnya dapat diperoleh dengan mengklik dua kali salah satu

baris yang ada di MATLABHelp Window atau dapat juga dengan mengetikkan

informasi yang diinginkan pada kotak di sebelah kiri atas MATLAB Help

Window.

Help yang lain lagi adalah dalam bentuk Help Desk. Anda bisa

mencoba sendiri menampilkanHelp Deskdengan mengetikkan perintah

helpdesk

dan anda akan dapatkan berbagai kemudahan dalam memperoleh informasi yang

diinginkan.


14/242


15/242

7

help elfun

MENYIMPAN DAN MEMANGGIL DATA

Untuk menyimpan data gunakan menu File lalu pilih Save Workspace

As. Untuk memanggil data gunakan pilihan Load WorkSpace As atau Open pada

menu File. Sedangkan untuk import data, pada MATLAB versi 6 ke atas pilih

Import Data. MATLAB juga menyediakan dua perintah - save dan load - yang

jauh lebih fleksibel. Perintah save digunakan untuk menyimpan satu atau lebih

variabel dalam file format sesuai dengan yang diinginkan.

Contoh:

clear all

x=1:10; y=10:10:10:100; % membuat array baru

save

menyimpan semua varlabel MATLAB dalam format biner di file MATLAB.mat

save data

menyimpan semua variabel MATLAB dalam format biner di file data.mat

save data x

menyimpan variabel x dalam format biner di file data.mat

save data x y /ascii

menyimpan variabel x dan y dalam format biner di file data dalam format ASCII.

Untuk membuka data gunakan perintah load.

Contoh:

load data.mat

OPERATOR LOGIKA DAN RELASIONAL

MATLAB menyediakan operasi logika dan relasional, hal ini

diperlukan untuk menjawab pertanyaan benar atau salah. Salah satu manfaat

yang penting dari kemampuan ini adalah untuk mengontrolurutan eksekusi

sederetan perintah MATLAB (biasanya dalam M-File) berdasarkan hasil

pertanyaan benar/salah.

Sebagai masukan pada sernua ekspresi relasi dan logika, MATLAB

menganggap sernua angka tidak nol sebagai benar dan nol sebagai salah. Hasil


16/242

8

sernua ekspresi relasi dan logika adalah satu untuk benar dan nol untuk salah

dengan tipe array logika, yaitu hasilnya mernuat bilangan 1 dan 0 yang tidak saja

dapat digunakan untuk statemen matematika akan tetapi dapat juga digunakan

untuk pengalamatan.

Operator relasi MATLAB menunjukkan perbandingan:

OPERATOR

RELASIDISKRIPSI

< Kurang dari

> Lebih dari

= Lebih dari atau sama dengan

= Sama dengan

~= Tidak sama dengan

Operator relasi MATLAB dapat digunakan untuk membandingkan dua array

yang berukuran sama atau untuk membandingkan array dengan skalar.

Operator logika menyediakan cara imtuk menggabung atau menegasi ekspresi

relasi.

Operator-operator logika dalam MATLAB adalah:

OPERATOR

LOGIKADISKRIPSI

& AND

| OR

~ NOT

Untuk lebih jelasnya anda bisa mengetikkan :

help +

kemudian tekan enter.

SUMBER-SUMBER INFORMASI MATLAB DI INTERNET

Untuk lebih mendalami MATLAB, di bawah ini terdapat beberapa situs

yang bisa dimanfaatkan.


17/242

9

1. http://www.mathworks.com/ pada situs ini bisa didapatkan informasi

tentang produk baru MATLAB seperti buku dan lain-lainnya.

2. Newsgroup MATLAB:

news://salukinews.siu.edu/comp.softsys.MATLAB/

3. http://dir.yahoo.com/science/mathematics/software/matlab/

merupakan sumber informasi tentang MATLAB dan langkah awal untuk

memperoleh website MATLAB lainnya.

4. http://www.cse.uiuc.edu/cse301/matlab.html situs ini merupakan situs

University of Illinois di Champaign-Urbana yang menyediakan beberapa link

untuk MATLAB di Internet

5. http://www.eece.maine.edu/mm

1.2. TIPE DATA

MATLAB mengenal 3 tipe data yaitu string, skalar, dan matriks.

merupakan matriks yang hanya memiliki satu baris. MATLAB juga memiliki

banyak fungsi bawaan (build in) untuk memanipulasi tipe data tersebut. Berikut

ini merupakan beberapa contoh yang menjelaskan ketiga tipe data di atas.

String

String dalam MATLAB adalah tipe data yang terdiri dari huruf-huruf

dan/atau nilai-nilai ASCII yang ditampilkan representasinya. String adalah teks

yang diawali dan diakhiri dengan tanda (......).

Contoh:

g='selamat datang'g =selamat datang size(g)ans =

1 14 whosName Size Bytes Classans 1x2 16 double arrayg 1x14 28 char array

Grand total is 16 elements using 44 bytes


18/242

10

Setiap karakter dalam suatu string adalah satu elernen dalam array, dengan setiap

elemennya berukuran 2 byte.

Untuk melihat representasi ASCII karakter string dapat dilakukan

dengan operasi aritmetik terhadap string atau mengkonversikannya

menggunakan fungsi double.

Contoh:

double(g)ans =Columns 1 through 12115 101 108 97 109 97 116 32 100 97 116

97Columns 13 through 14110 103

abs(g)ans =Columns 1 through 12115 101 108 97 109 97 116 32 100 97 116

97Columns 13 through 14110 103

Fungsi charuntuk menampilkan karakter dengan nilai ASCII tertentu char(115)ans =s

Karena string merupakan array numerik dengan atribut khusus, string dapat

dimanipulasi menggunakan sernua metode manipulasi array yang tersedia, dalam

MATLAB.

t=g(1:5)t =selamKata selam dapat dibalik dengan cara:

t=g(5:-1:1)t =males

Angka -1 ditengah menunjukkan perhitungan mundur dari 5 sampai 1.

Untuk menampilkan dalam format kolom gunakan operator transpose ()

t=g(1:5)'t =selam


19/242

11

Fungsi-fungsi string yang lain adalah:

Fungsi input

nama=input('Nama :','s')Nama : jojonnama =jojon

Fungsi disp

Fungsi disp memungkinkan untuk menampilkan string tanpa

menampilkan nama variabelnya.

disp(nama)jojon

atau

disp('jojon')

jojon

Syarat menggunakan dispadalah variabelnya harus berupa strings, jadi

jika ingin menampilkan sebuah angka, terlebih dahulu. merubahnya ke dalam

bentuk strings dengan menggunakan fungsi num2stro. Fungsi num2stro

menghasilkan string, meskipun terlihat seperti angka (skalar). Perhatikan contoh

berikut.

c=234c =

234 h=num2str(c)h =234 double(h)ans =

50 51 52 h+2ans =

52 53 54

Jelas bahwa h+2 bukan 236, karena h mewakili nilai ASCII dari string 2, 3 dan 4

yaitu masing-masing 50, 51 dan 52

Skalar

Skalar adalah sebuah bilangan tunggal yang secara matriks berukuran

1x1. Operasi skalar merupakan dasar matematika. Kalkulator biasa melakukan

perhitungan skalar. Tentu saja MATLAB bisa melakukan dengan lebih baik.


20/242


21/242

13

atau

x=linspace(0,pi,11)

Fungsi linspacedidefinisikan sebagai :

linspace(nilai_pertama, nilai_akhir, jumlah_elemen)

Dalam MATLAB elemen-elemen array diakses menggunakan subcript;

misaInya x(1) adalah elemen pertama x, x(2) adalah elemen kedua x, dan

seterusnya.

Tabel berikut menunjukkan operasi-operasi array dasar.

Data ilustrasi: a=[a1 a2 ... an], b=[b1 b2 ... bn], c=

Penambahan skalar a+c=[ a1+c a2+c . . . an+c]

Perkalian skalar a*c=[ a1*c a2*c . . . an*c]

Penambahan array a+b=[ a1+b1 a2+b2 . . . an+bn]

Perkalian array a. *b=[ a1*b1 a2+b2 . . . an+bn]

Pembagian kanan array a. / b=[ a1/ b1 a2/ b2 . . . an/ bn]

Pembagian kiri array a. \ b=[ a1/ b1 a2/ b2 . . . an/ bn]

Pemangkatan array a. c=[ a1 c a2 c . . . an c]

c. a=[ c a1 c a2 . . . c an]

a. b=[ a1 b1 a2 b2 . . . an bn]

Matriks

Matriks merupakan bentuk utama MATLAB. Seperti haInya array,

matriks juga didefenisikan elemen demi elemen. Untuk memahami operasi

matriks dasar, perhatikan contoh-contoh berikut ini.

a=[1 2 3] %penentuan matriks aa =

1 2 3 b=[1 2 1; 3 2 1; 2 1 3] %penentuan matriks bb =

1 2 13 2 12 1 3


22/242


23/242


24/242


25/242


26/242

18

melibatkan pemanggilan ke fungsi M-File yang lain, fungsi M-File yang

dipanggil itu juga akan dikompilasi ke dalam memori.

3. Sembilan baris komentar yang pertama merupakan teks help yang

ditampilkan. Jika anda meminta help, misalnya

>>help fhitung

menampilkan 9 baris komentar pertama fungsi fhitung. Baris komentar yang

paling atas disebut baris H1, merupakan baris yang dicari oleh perintah

lookfor.

4. Setiap fungsi memiliki ruang kerja sendiri yang berbeda dengan ruang kerja

MATLAB. Satu-satunya hubungan antara ruang kerja MATLAB dengan

variabel-variabel dalam fungsi adalah variabel-variabel input dan output

fungsi. Jika suatu fungsi mengubah nilai dalam bentuk suatu variabel input,

perubahan itu hanya tampak dalam fungsi dan tidak mempengaruhi ruang

kerja MATLAB.

5. Jika suatu fungsi dipanggil, jumlah argument input dan output yang

digunakan hanya terdapat dalam fungsi tersebut.

6. Fungsi dapat berbagi variabel dengan fungsi lain, ruang ke.ja MATLAB,

dan pemanggilan rekursi untuk dirinya sendiri jika variabelnya

dideklarasikan sebagal variabel global.

7. Fungsi M-File berhenti dieksekusi dan kernbali ke prompt jika telah

mencapal akhir M-File atau jika menemui perintah return. Perintah return

merupakan cara sederhana untuk menghentikan fungsi sebelum mencapai

akhir M-File.

8. Fungsi M-File dapat mernuat lebih dari sebuah fungsi.

Jika perintah MATLAB tidak diakhiri dengan titik koma, hasil perintah

serta nama variabelnya akan ditampilkan kembali dalam command window.

Supaya tampilannya lebih bagus, untuk menampilkan nama variabel digunakan

perintah disp. Perintah echo onmembuat perintah-perintah yang dibuat di M-

File akan ditampilkan kembali di command window, sedangkan echo off


27/242

19

berfungsi sebaliknya. Perintah inputmemungkinkan untuk meminta input dari

pemakai saat M-File dijalankan.

Secara umum fungsi M-File didefinisikan menggunakan command

function. Sintaks standar untuk command function adalah:

function[output1,output2,...]=NamaFunction(inputl,input2,..)

Untuk memberi keterangan mengenai maksud dan tujuan M-File yang

kita buat, agar orang lain juga paham dengan M-File tersebut, perlu adanya suatu

keterangan (help) dan untuk membuatnya dapat dilakukan dengan menggunakan

command % dari MATLAB.

Contoh 12

function [x,y]=gerak_parabola(sudut,V0,g,t);%[x,y]=gerak_parabola(sudut,V0,g,t)%Menghitung jarak (x, m) dan tinggi (y, m)%sebagai fungsi sudut lemparan (dalam radian),%kecepatan awal (V0, m/detik),%percepatan gravitasi (g, m/detik^2)%dan waktu (t, detik)x=V0*cos(sudut)*t;

y=V0*sin(sudut)*t-g/2*t.^2;

Jika kita menginginkan keterangan tentang M-file tersebut, kita ketikkan pada

Command Window:

help gerak_parabola

Setelah ditekan enter muncul:

[x,y]=gerak_parabola(sudut,V0,g,t)Menghitung jarak (x, m) dan tinggi (y, m)sebagai fungsi sudut lemparan (dalam radian),kecepatan awal (V0, m/detik),percepatan gravitasi (g, m/detik^2)dan waktu (t, detik)

Menjalankan M-File

Untuk memanggil atau mengeksekusi M File, yang perlu dilakukan

adalah dengan memindahkan path search dari MATLAB compiler. Pada

dasarnya, proses eksekusi compilerMATLAB adalah dengan mencan command

atau definisi operator yang ada dan mengeksekusi definisi scriptatau operator

pertama yang ditulis dan ditemui direktori MATLAB (di direkton bin atau

toolbox).


28/242

20

Set Path dapat dilakukan dengan cara membuka menu pull down di

MATLAB command editor, pilih File kemudian pilih Set Path. Dari menu

tersebut arahkan current directoryke direktori tempat di mana disimpan script

yang ingin dieksekusi dengan cara mengetikkan atau browsing directory ke

tempat penyimpanan scriptyang akan dieksekusi.

Ada beberapa cara menjalankan fungsi M-File. Misalkan fungsi

gerak_parabola (contoh 12) dapat dijalankan dengan cara, antara lain:

[jarak,tinggi]=gerak_parabola(pi/4,40,9.8,1)x =

28.2843y =

23.3843

atau bisa juga variabel waktunya bertipe array

[jarak,tinggi]=gerak_parabola(pi/4,40,9.8,[1:3])jarak =

28.2843 56.5685 84.8528tinggi =23.3843 36.9685 40.7528

Hal ini dimungkinkan karena kita menggunakan operator pemangkatan dengan

dot (titik)

y=V0*sin(sudut)*t-g/2*t.^2;

Bukan

y=V0*sin(sudut)*t-g/2*t^2;

atau dengan perintah feval

[x,y]=feval('gerak_parabola',pi/4,40,9.8,1)

x =28.2843

y =23.3843

Bentuk umum perintah fevaladalah

feval('namafungsi', input1,input2,...)

Perlu diketahui, MATLAB juga mempunyai command inline yang

digunakan untuk mendefinisikan atau menuliskan suatu fungsi pada command

window.


29/242

21

Contoh 13

g=inline('6-x 2')g =

Inline function:g(x) = 6-x^2

g(2)

ans =2

Contoh 14

radius=inline('sqrt(x^2+y 2)','x','y')radius =

Inline function:radius(x,y) = sqrt(x^2+y^2)

radius(2,3)ans =

3.6056


30/242

2PERSAMAAN ALJABAR

LINIER

Persamaan umum persamaan aljabar linier simultan adalah:

a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn= b1

a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn= b2

.

.

.

an1x1+ an2x2+ . . . + annxn= bn

dengan a adalah koefisien konstanta dan b adalah konstanta.

2.1. METODE ELIMINASI GAUSS

Teknik yang dilakukan dalam metode ini meliputi kombinasi persamaan

agar mengeliminasi yang tidak diketahui dan solusi melalui substitusi balik.

Langkah-langkah penyelesaian dengan eliminasi Gauss secara umum adalah :


31/242

24

3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b

|

|

|

aaa

aaa

aaa

''3

'

2

1

''33

'

23

'

22

131211

b

b

b

|

|

|

a

aa

aaa

''33

''3

3a

bx = ,

( )'22

3'23

'2

2a

xabx

= ,

( )11

31321211

a

xaxabx

= .

Persamaan dasar

a11x1+ a12x2+ a13x3= b1 .... (2.1)

a21x1+ a22x2+ a23x3= b2 .... (2.2)

a31x1+ a32x2+ a33x3= b3 .... (2.3)

Normalisasi pers. (2.1) dengan cara membagi a11

x1+11a

1a12x2+

11a

1a13x3=

11a

1b1 .... (2.4)

Eliminasi a21pers. (2.2) dengan cara :

[Pers.(2.2) - a21 x Pers.(2.4)]

=

+

1

11

212313

11

2123212

11

2122 b

a

abxa

a

aaxa

a

aa

'23

'232

'22 bxaxa =+ .... (2.5)

Eliminasi a31pers. (2.3) dengan cara :

[Pers.(2.3) - a31x Pers.(2.4)]

=

+

1

11

313313

11

3133212

11

3132 b

a

abxa

a

aaxa

a

aa


32/242


33/242

26

% Eliminasi Gaussfor k=1:n

for i=k+1:nm(i,k)=A(i,k)/A(k,k);for j=k:n

A(i,j)=A(i,j)-m(i,k)*A(k,j);endB(i)=B(i)-m(i,k)*B(k);

endend

% Substitusi Balikx(n)=B(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1

sum=B(i);for k=i+1:n

sum=sum-A(i,k)*x(k);endx(i)=sum/A(i,i);

end

Contoh 2.1. Campuran Batubara

Unit utilitas penyediaan energi membutuhkan batubara dengan kadar sulfur 0,61

%, phospor 0,043 % dan abu 1,8 %. Ada 4 tipe batubara yang tersedia dengan

komposisi yang dapat dilihat di tabel. Tentukan campuran ke empat tipe batubara

tersebut !

Tipe % S % P % abu

1 0,2 0,05 2

2 1,0 0,06 3

3 0,5 0,03 1

4 0,7 0,03 1

Basis untuk 1 kg batubara campuranx1 + x2 + x3 + x4 = 1

0,2x1 + x2 + 0,5x3 + 0,7x4 = 0,61

0,05x1 + 0,06x2 + 0,03x3 + 0,03x4 = 0,043

2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1,8

Proses penskalaan

x1 + x2 + x3 + x4 = 1

2x1 + 10x2 + 5x3 + 7x4 = 6,1

5x1 + 6x2 + 3x3 + 3x4 = 4,3


34/242

27

2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1,8

Program penyelesaian dengan eliminasi Gauss

% Campuran Batubara% Hasil Penyusunan Persamaan Aljabar Linier% x1 + x2 + x3 + x4 = 1

% 2x1 + 10x2 + 5x3 + 7x4 = 6.1% 5x1 + 6x2 + 3x3 + 3x4 = 4.3% 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1.8% Penyelesaian dilakukan dengan Eliminasi Gauss%% --------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ********************************************************

clear allclc

% Penyusunan Matriks AA = [1 1 1 1

2 10 5 75 6 3 32 3 1 1];

% Penyusunan Matriks BB = [1 6.1 4.3 1.8]';

n = 4; % Orde matriks

x = elimgauss(A,B,n);

disp(' ')disp('Fraksi masing-masing type batubara')disp('----------------------------------')x1 = x(1)x2 = x(2)x3 = x(3)x4 = x(4)

Keluaran program

Fraksi masing-masing type batubara----------------------------------x1 =

0.2000x2 =

0.3000x3 =

0.4000x4 =

0.1000

Sehingga batubara type 1 = 20 %

type 2 = 30 %

type 3 = 40 %

type 4 = 10 %


35/242

28

Contoh 2.2. Komposisi Fraksi Mol Senyawa Hidrokarbon

Tiga senyawa hidrokarbon berada dalam suatu tabung, dengan tekanan 2 atm dan

berada dalam keadaan kesetimbangan fase cair-gas. Hitunglah komposisi fraksi

mol cairan ketiga gas tersebut, dengan data-data dan rumus di bawah ini.

xi= 1 (2.2.1)

yi= 1 (2.2.2)

yiPT= xiPio (2.2.3)

H1 x1+ H2 x2+ H3 x3= H (2.2.4)

dengan xi = fraksi mol cairan komponen i

yi = fraksi mol gas komponen i

Pio= tekanan uap murni komponen i

PT= tekanan total

Hi = panas pencampuran komponen iH = panas pencampuran total

Data-data P10= 5/2 atm, P2

0= 5/3 atm, P30= 5/4 atm

H1= 20 kcal, H2= 30 kcal, H3= 55 kcal

PT= 2 atm, H = 30 kcal

Susunlah menjadi persamaan aljabar linier terlebih dahulu dan selesaikan!

Penyelesaian :

Persamaan (2.2.1)

x1+ x2+ x3= 1

Substitusi persamaan (2.2.3) ke persamaan (2.2.2)

T

O1

P

Px1 +

T

O2

P

Px2 +

T

O3

P

Px3= 1

5/4 x1+ 5/6 x2+ 5/8 x3=1

30 x1+ 20 x2+ 15 x1= 24 (2.2.5)

Persamaan (2.2.4)

20 x1+ 30 x2+ 55 x3= 30 (2.2.6)

Persamaan aljabar simultan


36/242

29

x1+ x2+ x3= 1 (2.2.1)

30 x1+ 20 x2+ 15 x1= 24 (2.2.5)

20 x1+ 30 x2+ 55 x3= 30 (2.2.6)

Selanjutnya diselesaikan dengan Matlab

% Komposisi Fraksi Mol Senyawa Hidrokarbon% Tekanan uap murni komponen 5/2 atm, 5/3 atm, 5/4 atm% Entaphi panas pencampuran 20 kcal, 30 kcal, 55 kcal% Tekanan total = 2 atm;% Entalphi total 30 kcal;% Penyelesaian dilakukan dengan Eliminasi Gauss%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

clear allclc

% Data-dataP = [5/2 5/3 5/4]; % atm

H = [20 30 55]; % kcalPt = 2; % atmHt = 30; % kcal

% Penyusunan Matriks AA = [1 1 1

P(1)/Pt P(2)/Pt P(3)/PtH(1) H(2) H(3)];

% Penyusunan Matriks BB = [1 1 Ht]';

n = 3; % Orde matriks

x = elimgauss(A,B,n);

disp(' ')disp('Fraksi Mol masing-masing komponen')disp('---------------------------------')

x1 = x(1)x2 = x(2)x3 = x(3)

Keluaran program tersebut adalahFraksi Mol masing-masing komponen---------------------------------x1 =

0.5000x2 =

0.3000x3 =

0.2000


37/242

30

2.2. METODE INVERSI MATRIKS

Persamaan umum persamaan aljabar linier simultan dapat dituliskan dalam

bentuk matriks sebagai berikut

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

a...aaa

.

a...aaa

a...aaa

a...aaa

n

3

2

1

x

.

x

x

x

=

n

3

2

1

b

.

b

b

b

. (2.9)

A x = B

Suatu matriks jika dikalikan dengan matriks identitas maka akan dihasilkan

matriks itu sendiri. Matriks identitasadalah matriks bujursangkar yang terdiri

dari bilangan 0 pada setiap elemennya kecuali pada diagonal matriks yangmempunyai bilangan 1.

Contoh matriks identitas 3 x 3

100

010

001

= I

Jika matriks identitas tersebut dikalikan dengan matriks lain maka akan

dihasilkan matriks itu sendiri. Contohnya jika matriks tersebut dikalikan dengan

B yaitu suatu matriks yang berukuran 1 x 3.

100

010

001

3

2

1

b

b

b

=

3

2

1

b

b

b

I B = B

Inversi matriks A adalah jika inversi matriks A tersebut dikalikan dengan A

maka akan diperoleh matriks identitas.

A-1

A = I

Penyelesaian persamaan linier simultan dengan inversi matriks adalah


38/242

31

A x = B

A-1

A x = A-1

B

I x = A-1

B

x = A-1

B (2.10)

Inversi matriks A ukuran 2 x 2

2221

1211aaaa dapat ditentukan dengan cara

A-1=

1121

1222

21122211 aa

aa

aaaa

1

Matlab dengan mudah dapat menentukan inversi suatu matriks dengan

menggunakan fungsi inv.

Contoh 2.3. Konstanta Kecepatan Reaksi Phase Gas Nitrit Oksida dengan

Oksigen

Data konstanta kecepatan reaksi phase gas nitrit oksida dengan oksigen

T, K 10-9

k , cc/ (mol det)

300 7,1

413 4,0

564 2,8

Jika k sesuai dengan persamaan k = A Tmexp (-E/T)

Tentukan A, m, dan E

Penyelesaian

k = A Tmexp (-E/T)

ln k = ln A + m ln T E/T

Dari data-data di atas

22,68336 = ln A + 5,70378 m 0,00333 E

22,10956 = ln A + 6,02345 m 0,00242 E

21,75289 = ln A + 6,33505 m 0,00177 E

untuk ln A = x1

m = x2


39/242

32

E = x3

x1+ 5,70378 x2 0,00333 x3= 22,68336

x1+ 6,02345 x2 0,00242 x3= 22,10956

x1+ 6,33505 x2 0,00177 x3= 21,75289

Dalam bentuk matriks

=

75289,21

10956,22

68336,22

x

x

x

00177,033505,61

00242,002345,61

00333,070378,51

3

2

1

Program penyelesaian dengan Matlab

% Konstanta Kecepatan Reaksi Phase Gas Nitrit Oksida dg Oksigen% k = A T^m exp(-E/T)% ln k = ln A + m ln T + (-E)/T% Penyelesaian dilakukan dengan Inversi Matriks%

% -------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% *************************************************************

clear allclc

% Data-dataT = [ 300 413 564]; % Kk = [ 7.1 4.0 2.8]*10^9; % cc/(mol.det)

% Penyusunan Matriks AAAA = [ 1 log(T(1)) 1/T(1)

1 log(T(2)) 1/T(2)1 log(T(3)) 1/T(3)];

% Penyusunan Matriks BB

BB = log(k);

CC = inv(AA)*BB';

disp(' ')disp('Parameter konstanta kecepatan reaksi')disp('------------------------------------')A = exp(CC(1))m = CC(2)E = -CC(3)

Keluaran program di atas adalah

Parameter konstata kecepatan reaksi-----------------------------------


40/242

33

A =1.3509e+007

m =0.6064

E =-841.6950

sehingga persamaan konstanta kecepatan reaksinya adalah

k = 1,3509.107T0,6064exp(841,6950/T)

Contoh 2.4. Parameter Transfer Massa

Hubungan parameter-parameter transfer massa dapat dinyatakan sebagai

kelompok tak berdimensi (KTD) sebagai berikut:

3K

e

2KSp

1e

pf

D

VdK

D

dak

=

Sh = K1 (Re)K2(Sc)K3

Tentukan K1, K2, dan K3dengan data-data berikut:Sh

(Sherwood)

Re

(Reynold)

Sc

(Schmidt)

1 43,7 10800 0,6

2 21,5 5290 0,6

3 24,2 3120 1,8

Penyelesaian

Sh = K1(Re)K2(Sc)K3

log (Sh) = log (K1) + K2log (Re) + K3log (Sc)

Dari tabel-tabel di atas, diperoleh

1,64048 = x1+ 4,03342 x2 0,22185 x3

1,33244 = x1+ 3,72346 x2 0,22185 x3

1,38382 = x1+ 3,49415 x2+ 0,25527 x3

disusun dalam bentuk matriks


41/242

34

=

38382,1

33244,1

64048,1

x

x

x

25527,049415,31

22185,072346,31

22185,003342,41

3

2

1

Program Penyelesaian

% Parameter Transfer Massa% Sh=k1*(Re)^k2*(Sc)^k3% log(Sh) = log(k1) + k2*log(Re) + k3*log(Sc)% Penyelesaian dilakukan dengan Inversi Matriks%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

clear allclc

% Data-dataSh = [43.7 21.5 24.2];Re = [10800 5290 3120];Sc = [0.6 0.6 1.8];

% Penyusunan Matriks AA = [1 log10(Re(1)) log10(Sc(1))

1 log10(Re(2)) log10(Sc(2))1 log10(Re(3)) log10(Sc(3))];

% Penyusunan Matriks BB = [log10(Sh(1))

log10(Sh(2))log10(Sh(3))]

k = A\B;disp(' ')disp('Konstanta Parameter Transfer Massa ')disp('-----------------------------------')k1 = 10^k(1)k2 = k(2)k3 = k(3)

Keluaran Program

Konstanta Parameter Transfer Massa-----------------------------------

k1 =0.0058

k2 =0.9938

k3 =0.5853

Persamaan hubungan parameter-parameter transfer massa menjadi :

Sh = 0,0058 (Re)0,9938(Sc)0,5853


42/242

35

2.3. METODE DEKOMPOSISI LU

Modifikasi metode eliminasi yang lain adalah metode dekomposisi LU.

Metode ini similar dengan metode eliminasi Gauss. Matriks koefisien konstanta

diubah menjadi 2 matriks lain, yaitu L dan U; dengan L adalah matriks

triangular bawah dengan diagonal 1 dan Uadalah matriks triangular atas.

A = LU (2.11)

Konsep dasar metode dekomposisi LU adalah

A x = b

L U x = L b*

U x = b* (2.12)

Matriks Adidekomposisi menjadi matriks Ldan U. Matriks Lhasil dekomposisi

Adigunakan untuk mendekomposisikan matriks b, sehingga diperoleh matriks

b*. Jika matriks U dikalikan dengan matriks x akan diperoleh matriks b*.

Selanjutnya x diperoleh dengan substitusi balik karena U adalah matriks

triangular bawah.

Contoh 2.5. Neraca Massa Steady State pada Kolom Distilasi Bertingkat

Xylena, styrena, toluena, dan benzena dipisahkan dengan kolom distilasi seperti

ditunjukkan pada gambar 2.1.

Tentukan kecepatan alir D1, D2, B1, B2, D, dan B.


43/242

36

#1

#2

#3

F = 70 mol/menit

D

B

D2

B2

B1

D1

15 % Xylena

25 % Styrena

40 % Toluena

20 % Benzena

7 % Xylena

4 % Styrena

54 % Toluena

35 % Benzena

18 % Xylena

24 % Styrena

42 % Toluena

16 % Benzena

15 % Xylena

10 % Styrena

54 % Toluena

21 % Benzena

24 % Xylena

65 % Styrena

10 % Toluena

1 % Benzena

Gambar 2.1. Distilasi Bertingkat

Program Matlab% Neraca Massa Steady State pada Kolom Distilasi Bertingkat% Xylena, styrena, toluena, dan benzena% dipisahkan dengan kolom distilasi bertingkat%% Penyelesaian dilakukan dengan Dekomposisi LU%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

clear allclc


44/242

37

% Penyusunan Matriks AA = [0.07 0.18 0.15 0.24

0.04 0.24 0.10 0.650.54 0.42 0.54 0.10.35 0.16 0.21 0.01];

% Penyusunan Matriks BB = [0.15*70 0.25*70 0.40*70 0.20*70]';

disp(' ')disp('Penyelesaian untuk D1 B1 D2 B2 adalah : ')

% Dekomposisi Matriks A[L,U] = lu(A);

% Membentuk Matriks B*Bstar = inv(L)*B;

% Menentukan Matriks xX = inv(U)*Bstar

disp('Umpan kolom 2')D1 = X(1);B1 = X(2);D = D1 + B1X_Dx = (A(1,1)*D1+A(1,2)*B1)/DX_Ds = (A(2,1)*D1+A(2,2)*B1)/D

X_Dt = (A(3,1)*D1+A(3,2)*B1)/DX_Db = (A(4,1)*D1+A(4,2)*B1)/D

disp('Umpan kolom 3')D2 = X(3);B2 = X(4);B = D2 + B2X_Dx = (A(1,3)*D2+A(1,4)*B2)/BX_Ds = (A(2,3)*D2+A(2,4)*B2)/BX_Dt = (A(3,3)*D2+A(3,4)*B2)/BX_Db = (A(4,3)*D2+A(4,4)*B2)/B

Keluaran program :

Penyelesaian untuk D1 B1 D2 B2 adalah :

X =

26.250017.50008.7500

17.5000

Umpan kolom 2D =

43.7500X_Dx =

0.1140X_Ds =

0.1200X_Dt =

0.4920X_Db =

0.2740

Umpan kolom 3


45/242

38

B =26.2500

X_Dx =0.2100

X_Ds =0.4667

X_Dt =0.2467

X_Db =0.0767

Contoh 2.6. Persamaan Virial

Selain hubungan gas ideal yang telah dikenal, ada banyak persamaan lain yang

menghubungkan volume dan tekanan gas. Salah satunya adalah persamaan virial

PV = a + bP + cP2

Untuk mengevaluasi konstanta-konstanta a, b, dan c, telah dilakukan

percobaan dengan data sebagai berikut :

P (atm) V (L/mol)

1 4

2 9/2

3 16/3

Susunlah data-data di atas menjadi persamaan aljabar linier simultan

dan selesaikan.

Program Matlab

% Persamaan Virial% PV = a + bP + cP^2% Untuk mengevaluasi konstanta-konstanta a, b, dan c,% telah dilakukan percobaan dengan data-data di bawah ini%

% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

clear allclc

% Data-dataP = [1 2 3]; % atmV = [4 9/2 16/3]; % L/mol

% Matriks AA = [1 P(1) (P(1))^2

1 P(2) (P(2))^21 P(3) (P(3))^2];

% Matriks BB = [P(1)*V(1)


46/242

39

P(2)*V(2)P(3)*V(3)];

C = A\B;

disp(' ')disp('Konstanta persamaan virial adalah : ')disp('------------------------------------')a = C(1)b = C(2)c = C(3)

Keluaran Program

Konstanta persamaan virial adalah :------------------------------------

a =1

b =2

c =1

Contoh 2.7. Persamaan Kecepatan Reaksi

Untuk kecepatan reaksi,= baa CCkr , dengan data ditunjukkan pada

tabel.

Tentukan persamaan kecepatan reaksi tersebut !

Ca Cb r

0,7 0,2 0,4567

0,9 0,3 1,0707

1,6 0,2 2,5917

Penyelesaian dengan Program Matlab

clear allclcecho on% Persamaan Virial% ra=k*(Ca)^a*(Cb)^b% log(ra) = log(k) + a*log(Ca) + b*log(Cb)% Untuk mengevaluasi konstanta-konstanta a, b, dan k,% telah dilakukan percobaan dengan data-data di bawah ini%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************echo off


47/242

40

% Data-dataCa = [0.7 0.9 1.6];Cb = [0.2 0.3 0.2];ra = [0.4567 1.0707 2.5917];

% Matriks AA = [1 log10(Ca(1)) log10(Cb(1))

1 log10(Ca(2)) log10(Cb(2))1 log10(Ca(3)) log10(Cb(3))];

% Matriks BB = [log10(ra(1))

log10(ra(2))log10(ra(3))];

konst = A\B;disp(' ')disp('Konstanta adalah : ')disp('-------------------')k = 10^konst(1)a = konst(2)b = konst(3)

Keluaran Program

% Persamaan Virial% ra=k*(Ca)^a*(Cb)^b

% log(ra) = log(k) + a*log(Ca) + b*log(Cb)% Untuk mengevaluasi konstanta-konstanta a, b, dan k,% telah dilakukan percobaan dengan data-data di bawah ini%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************echo off

Konstanta adalah :-------------------k =

3.4990

a =2.1000

b = 0.7998


48/242

3PERSAMAAN ALJABAR

NON LINIER

Suatu penyelesaian persamaan aljabar non linier adalah menentukan nilai

x, sehingga suatu fungsi x, f(x) akan sama dengan nol.

Contoh, f(x) = e-x x, maka yang ingin diketahui adalah berapakah nilai x,

sehingga f(x) = 0.

Secara umum ada 2 metode yang digunakan, yaitu metode akolade dan metode

terbuka.

Metode akolade adalah metode yang menggunakan 2 titik awal tebakan, yang

kedua titik tersebut harus mengapit jawaban yang dimaksud. Termasuk metode

ini adalah metode Bisection (bagi dua).

Berbeda dengan metode akolade, metode terbuka hanya menggunakan satu

tebakan awal. Termasuk metode ini adalah metode Newton-Raphson.

3.1. METODE BISECTION (BAGIDUA)

Pada metode Bisection, mula-mula diperkirakan suatu interval sehingga

akar persamaan yang akan diperoleh berada pada interval tersebut. Selanjutnya


49/242

44

dicari nilai f(x) dari kedua titik dan dari titik tengah interval. Dengan

menganalisa nilai f(x) ketiga titik maka kita dapat membuang setengah interval

dalam setiap langkahnya.

Langkah penyelesaian :

1. Tentukan interval perkiraan awal, misalkan antara xAdan xB

2. Hitung f(xA) dan f(xB)

3. Interval yang benar akan menghasilkan f(xA) dan f(xB) pada daerah yang

berbeda (sebelah kanan dan kiri akar persamaan yang dicari)

xA xB

Akar persamaan

Gambar 3.1. Kurva Akar-akar Persamaan

Uji apakah [f(xA)]x[f(xB)] < 0. Jika salah, maka ulangi langkah (1) dan

(2).

4. Hitung xM, yaitu titik tengah interval

xM=2

xx BA + . (3.1)

5. Hitung f(xM)

a. Jika [f(xA)]x[f(xM)] > 0, maka xAbaru = xMdan xBtetap


50/242

45

xA xBxM= xA bar u

Gambar 3.2. Penentuan xAdan xBbaru jika [f(xA)]x[f(xM)] > 0

b. Jika [f(xA)]x[f(xM)] < 0, maka xAtetap dan xBbaru = xM

xA xB

xM= xA Baru

Gambar 3.3. Penentuan xAdan xBbaru jika [f(xA)]x[f(xM)] < 0

6. Uji apakah f(xm) < Toleransi. Jika tidak, ulangi langkah (4) untuk

menentukan xmyang baru.

Contoh 3.1. Konversi untuk disosiasi H2O

Uap air didisosiasikan (dipecah) menjadi H2 dan O2 pada tekanan 0,2 atm

sebagai berikut:

H2O H2+ O2

Fraksi molekul (x) dari H2O dapat dinyatakan sebagai berikut:

( ) ( )x2p2

x1

xkp +

=

Jika kp= 0,4568 tentukanlah x yang memenuhi persamaan di atas.


51/242

46

Program matlab untuk metode bagidua :

% Persamaan aljabar non linier%% Penyelesaian dilakukan dengan Metode Bagidua (bisection)%% --------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% **************************************************************clcclear all

disp 'Masukkan Perkiraan Batas Bawah dan Batas Atas 'xa=input('batas bawah = ');xb=input('batas atas = ');fa = contoh31(xa);fb = contoh31(xb);

x=[xa:(xb-xa)/50:xb];plot(x,contoh31(x));xlabel('x')ylabel('f(x)')grid on

while fa*fb > 0disp 'Tebakan salah, ganti batas atas dan/atau batas bawah'disp 'Perhatikan grafik!! Perkirakan nilai x untuk f(x)

mendekati nol'xa=input('batas bawah = ');xb=input('batas atas = ');fa=contoh31(xa);fb=contoh31(xb);

endtol=0.000001;

xm=(xa+xb)/2;fm=contoh31(xm);while abs(xa-xb)>tol

xm=(xa+xb)/2;fm=contoh31(xm);if fa*fm H2 + 1/2 O2% x / 2p% kp = ------- / -----% (1 - x) \/ (2 + x)% p = 0,2 atm% kp = 0,4568

% Nama File : contoh31.m% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------


52/242

47

p = 0.2; %atmkp = 0.4568;f_x = x./(1-x).*sqrt(2*p./(2+x))-kp;

Dalam memberikan masukan untuk batas bawah dan atas, secara teori nilai

konversi berkisar antara 0 0,99. Untuk x = 1, nilai kpakan tak terdefinisi.

Keluaran program :

Masukkan Perkiraan Batas Bawah dan Batas Atasbatas bawah = 0batas atas = 0.99f(x)=0 untuk x = 0.53487

Contoh 3.2. Faktor Kompresibilitas Gas Ideal

Hubungan faktor kompresibilitas gas ideal dalam bentuk

3

32

y1

yyy1z

+=

dengan y = b/4v, untuk b adalah koreksi van der Waals dan v adalah volum

molar. Jika z = 0,892 berapakah y ?

Penyelesaian dilakukan dengan program bisection yaitu dengan mengganti

fungsi disosiasi H2O dengan fungsi untuk persoalan faktor kompresibilitas gas

ideal.

function f_y = contoh32(y)% Faktor Kompresibilitas Gas Ideal% 1 - y + y^2 - y^3% z = -------------------% 1 - y^3% z = 0,896

% Nama File : contoh32.m% Surakarta, Oktober 2005% --------------------------------------------------------------

z = 0.892;f_y = (1-y+y.^2-y. 3)-z.*(1-y.^3);

Secara umum ada 3 nilai yang memenuhi persamaan di atas karena f(y)

merupakan persamaan orde 3. Tetapi nilai untuk y yang tepat adalah antara 0 1.

Masukkan Perkiraan Batas Bawah dan Batas Atas


53/242

48

batas bawah = 0batas atas = 1f(x)=0 untuk x = 0.1229

3.2. METODE NEWTON-RAHPSON

Metode Newton-Raphson adalah metode yang paling populer untuk

mencari akar-akar suatu persamaan aljabar non linier. Metode ini merupakan

metode terbuka, yaitu hanya menggunakan satu tebakan awal. Jika suatu tebakan

awal adalah xi, maka garis singgung titik xipada f(xi), dapat diperluas sampai

memotong sumbu x. Titik potong garis tersebut pada sumbu x kemudian menjadi

perbaikan tebakan awal, xi+1.

xi

Akar per samaanf ( xi )

xi +1

f ( xi +1)Garissinggung

Gambar 3.4. Menentukan Akar-Akar Persamaan dengan Newton Raphson

Slope (kemiringan) garis singgung pada titik x i adalah turunan pertama fungsi

f(x), didekati dengan

f(x) =1ii

i

xx

0)x(f

+

xi+1= xi-)x('f

)x(f

i

i .(3.2)

Langkah penyelesaian

1. Tentukan tebakan awal xi

2. Hitung f(xi) dan f(xi)

3. Hitung xi+1dengan persamaan (26)

4. Uji apakah | xi+1- xi| < toleransi atau


54/242

49

| f(xi) | < toleransi,

Jika ya, maka selesai.

Jika tidak, xibaru = xi+1, ulangi langkah (2)

Adakalanya f(x) sulit dicari dengan analitis. Untuk itu dapat dilakukan

pendekatan secara numeris

f(x)=

+2

)x(f)x(f 00 . (3.3)

dengan adalah bilangan yang kecil.

Persamaan di atas banyak digunakan untuk penyelesaian akar-akar persamaan

aljabar non linier dengan pemograman komputer.

Secara umum metode Newton-Raphson adalah metode yang sangat efisien.

Tetapi metode ini mempunyai beberapa kelemahan untuk kasus-kasus tertentu,

seperti konvergen yang sangat perlahan, atau bahkan bersifat divergen.

Contoh 3.3. Temperatur Dew Point untuk Campuran Benzena dan Toluena

Tentukan temperatur dew point (Titik Embun) dan komposisi liquid dari suatu

campuran gas benzena dan toluena pada tekanan 1 atm (760 mmHg). Komposisi

uap adalah 0,77 fraksi mol benzena dan 0,23 fraksi mol toluena.

Campuran gas dan liquid diasumsikan sebagai campuran ideal. Kondisi

kesetimbangan sesuai dengan Hukum Roult-Dalton, yiP=xiPiO Tekanan uap

murni dihitung dengan persamaanCT

BAplog O

+= untuk pOdalam mmHg

dan T dalam OC

Program Metode Newton-Raphson

Benzena Toluena

A 6,89745 6,95334

B 1206,35 1343,94

C 220,237 219,377


55/242

50

% Persamaan aljabar non linier%% Penyelesaian dilakukan dengan Metode Newton-Raphson%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

clcclear allxnew=input(' Nilai untuk tebakan awal = ');xold=0;tol=0.0001;eps=0.0001;

disp ' x-old f(x-old) 'while abs(xnew-xold)>tol

xold=xnew;fxold=contoh33(xold);t=[' 'num2str(xold) ' 'num2str(fxold) ];disp (t)fmin=contoh33(xold-eps);fplus=contoh33(xold+eps);dfx=(fplus-fmin)/2/eps;xnew=xold-fxold/dfx;

endt=['akar persamaan, x = 'num2str(xold) ' f(x) = 'num2str(fxold)];

disp(t)

Proram penyelesaian

function fT=contoh33(T)% Temperatur Dew Point untuk Campuran Benzena dan Toluena% Komposisi uap y1 = 0,77 dan y2 = 0,33% Tekanan uap murni% o ( B )% Pi = 10^( A + ------- )% ( (T + C) )% Hukum Roult-Dalton% yi * P% xi = --------% o% Pi% x1 + x2 = 1


P=760; % Konversi dari atm ke mmHgy1=0.77;y2=0.23;p1o=10^(6.89745-1206.35/(T+220.237));p2o=10^(6.95334-1343.94/(T+219.377));x1=y1*P/p1o;x2=y2*P/p2o;fT=x1+x2-1;

Keluaran program

Nilai untuk tebakan awal = 85x-old f(x-old)


56/242

51

85 0.1702989.639 0.01405390.0946 0.000117690.0985 8.4065e-009

akar persamaan, x = 90.0985 f(x) = 8.4065e-009

Sehingga T = 90,0985 OC

Contoh 3.4. Hubungan Faktor Friksi suatu Pelarut dengan Bilangan

Reynolds

Hubungan faktor friksi untuk aliran suatu pelarut dengan bilangan Reynolds (Re)

secara empiris adalah

( )

+

=

k

6,514fReln

k

1

f

1

dengan k = konsentrasi larutan dan f adalah faktor friksi. Tentukanlah f, jika Re

= 3750 dan k=0,28

Program penyelesaian dengan Metode Newton-Raphson. Karena bekerja pada

bilangan yang lebih kecil, toleransi dapat kita turunkan sampai 10-7.

function f_f = contoh34(f)% Hubungan faktor friksi suatu pelarut dengan bil Reynolds% 1 1 5,6% ------- = --- ln [ Re*sqrt(f) ] + [ 14 - ----- ]% sqrt(f) k k% Re = 3750% k = 0,28

% Nama File : contoh34.m% Surakarta, Oktober 2005

% ---------------------------------------------------------------

Re = 3750;k = 0.28;f_f = ((1/k)*log(Re*sqrt(f))+(14-5.6/k))*sqrt(f)-1;

Keluaran program

Nilai untuk tebakan awal = 0.01x-old f(x-old)0.01 0.516760.0044847 -0.0801520.005105 -0.00207440.0051219 -1.4377e-006

akar persamaan, x = 0.0051219 f(x) = -1.4377e-006


57/242

52

sehingga f = 0,0051219

3.3. FUNGSI fz ro

Matlab mempunyai suatu fungsi untuk menyelesaikan persamaan aljabarnon linier. Fungsi ini disebut dengan fzero. Fungsi ini terdiri dari beberapa

metode yang dipadukan untuk menyelesaikan berbagai persoalan secara cepat

dan tepat. Penggunaan fungsi fzeroadalah :

x = fzero(nama_fungsi,xo, tol, trace)

dengan :

nama_fungsi adalah nama suatu fungsi yang berisi persamaan yang

akan dicari nilai nol-nya.

xoadalah nilai perkiraan awal

tol adalah ketepatan penyelesaian jika trace mempunyai nilai lebihdari 1.

traceadalah jumlah iterasi yang dilakukan.

Dua parameter terdepan harus diisi, sehingga alternatif untuk menggunakan

fungsi ini adalah

x = fzero(nama_fungsi,xo)

Contoh 3.5. Persamaan Peng-Robinson

Untuk menghitung volum CO2pada tekanan 1.104kPa dan temperatur 3400K,

dapat digunakan persamaan EOS (equation of state) Peng-Robinson

( ) )bV(bbVVa

bV

RTP

++

=

dengan a = 364,61 m6kPa/(kgmol)2 dan b = 0,02664 m3/kgmol

R=8,3137 m3kPa/kgmol K. Tentukanlah V dengan tebakan awal V, gunakan

EOS gas ideal (PV=RT)

% Persamaan Peng-Robinson%% Penyelesaian dilakukan dengan fungsi fzero%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret


58/242

53

% ***************************************************************

% Data-data

clear allclcglobal R T PR=8.3137; % m^3.kPa/(kgmol.K)T=340; % KP=10^4; % kPa

% Sebagai nilai tebakan V digunakan pers Gas IdealVo=R*T/P;

% Penentuan nilai V dengan fungsi fzeroV=fzero('F35',Vo)

Fungsi penyelesaian Peng-Robinson

function fV=F35(V)% Persamaan Peng-Robinson

% R.T a% P = ------ - -------------------% V - b V(V + b) + b(V - b)% Parameter utk CO2

% Nama File : F35.m% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------global R T P

%Parameter Peng-Robinson untuk CO2a=364.61;b=0.02664;

fV=R*T/(V-b)-a/(V*(V+b)+b*(V-b))-P;

Keluaran program

V =

1.6792e-001

Sehingga volum molar CO2adalah 0,16792 m3/kgmol

Contoh 3.6. Penurunan temperatur karena pelepasan panas

Suatu campuran gas mempunyai kapasitas panas

Cp = 7,053 + 1,2242.10-3T 2,6124.10-7T2

T dalam oF dan Cp dalam Btu/lbmol oF. Jika panas yang dilepaskan

untuk menurunkan temperatur campuran gas panas tersebut dari 550oF adalah

2616 Btu/lbmol gas sampai temperatur berapakah campuran gas tersebut dapat

didinginkan.


59/242

54

=T

To

dtCpq

Sampai berapakah campuran gas tersebut dapat didinginkan ?

function fT=contoh36(T)

% Penurunan temperatur karena pelepasan panas% Cp = 7,053 + 1,2242.10(-3) T - 2,6124.10(-7) T^2% q = integral(cp dT)% Data% q = -2616 BTU/lbmol% To = 550 oF


q = -2616; % BTU/lbmolTo = 550; % oF

% Integral secara analitisfT=7.053*(T-To)+1.2242*10 -3/2*(T^2-To 2)...

-2.6124*10^-7/3*(T^3-To^3)-q;

Fungsi tersebut dapat dijalankan dari jendela command>> T = fzero('contoh36',150)

T =

1.9992e+002

Sehingga temperatur gas adalah 199,92 OF.

Contoh-contoh lain

Contoh 3.7. Debit Aliran dengan Pompa pada Pipa

Suatu cairan akan dialirkan dari tangki 1 ke tangki 2 melalui pipa berdiameter D,

dengan bantuan pompa. Panjang ekuivalen pipa, Le. Dari persamaan Bernoulli

antara titik 1 dan titik 2 diperoleh persamaan berikut :

0H2.g.D

f.Le.vzz m

2

12 =+

faktor friksi didekati dengan persamaan empiris :

0,215Re

0,0596f= dengan

.v.DRe=


60/242

55

Karakteristik pompa sentrifugal yang dapat dipakai berupa hubungan antara head

pompa ( Hm, cm) dengan debit ( Q, cm3/dtk) dapat didekati dengan persamaan :

Hm= 3718,5 2,34967.Q + 7,8474.10-4.Q2 9,5812.10-8.Q3

Debit aliran dihitung dengan persamaan :

.vD.4

Q 2=

Data-data yang diketahui : = 1 g/cm3; = 0,01 g/cm.dtk; g = 981 cm/dtk

2; z1=

300 cm; z2= 800 cm; D = 4 cm; Le = 20.000 cm. Hitung berapa kecepatan aliran

dalam pipa (v) dan debitnya (Q).

Penyelesaian Program Matlab

% Debit Aliran dengan Pompa pada Pipa%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

clear allclcglobal rho myu g z2 z1 D Le

% Data-datarho=1; % Densitas, g/cm^3myu=0.01; % Viskositas, g/cm.dtkg=981; % grafitasi, cm/dtk^2z1=300; % tinggi titik 1, cmz2=800; % tinggi titik 2, cmD=4; % diameter pipa, cmLe=20000; % panjang ekivalen, cm

% Perhitunganvhit=fzero(@F37,200)Qhit=pi/4*D^2*vhit

Program terkait

function fv = F37(v)% Langkah perhitungan% tebak v ---> hitung bil. Reynold ---> hitung faktor friksi% ---> hitung debit ---> hitung head pompa --->% hitung pers. Bernoulli% f Le v^2% z2 - z1 + -------- - Hm = 0% 2 g D

% Nama File : F37.m% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------

global rho myu g z2 z1 D Le

Re=rho*v*D/myu; % Perhitungan Bil. Reynoldf=0.0596/Re^0.215; % Perhitungan faktor friksi


61/242

56

Q=pi/4*D^2*v; % Perhitungan DebitHm=3718.5-2.3496*Q+7.8474e-4*Q^2-9.5812e-8*Q^3;

% Perhitungan head pompafv=z2-z1+f*Le*v^2/(2*g*D)-Hm; % Persamaan Bernoulli

Keluaran program

vhit =227.6735

Qhit =2.8610e+003

Terhitung kecepatan aliran 227,6735 cm/detik dengan debit 2.861 cm3/detik.

Contoh 3.8. Reaktor Adiabatis untuk Reaksi Eksotermis Fase Gas

Reaksi eksotermis fasa gas A + 2B C dijalankan dalam reaktor adiabatik.

Umpan berjumlah Fo gmol/j dan bersuhu TFmempunyai komposisi : 25 % A

dan 75 % B. Tekanan sepanjang reaktor tetap P atm. Ingin dicari nilai konversi A

pada kesetimbangan (z). Konversi kesetimbangan dapat dihitung dengan

persamaan :

Tkesetimbangan- Tneraca panas= 0

Dari neraca panas diperoleh persamaan :

0,25.C0,5.z).C(0,75z).C-0,25.(1

H0,25.z.-TT

pCpBpA

F

RF ++

=

dengan :

)T).(T2.CC(CHH refFpBpApCo

R

F

R +=

Dari kesetimbangan diperoleh :

=

AKln

BT

dengan2

BA

C

.PP

PK=

.P0,5.z)(1

0,25.zP

.P0,5.z)(1

0,5.z)(0,75P

.P0,5.z)(1

z)0,25.(1P

C

B

A

=

=

=


62/242

57

Data-data yang diketahui : HRo= - 20.000 cal/gmol; TF= 400 K; P = 20 atm;

Tref = 298 K; A = 8.10-6 atm; B = 4500 K; CpA = 7 cal/mol.K; CpB = 8

cal/gmol.K; CpC= 12 cal/gmol.K

Program Matlab

% Reaktor Adiabatis untuk Reaksi Eksotermis Fase Gas

% Reaksi A + 2B --> C%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

global dHr Tf P Tref A B Cpa Cpb Cpc

% Data-datadHr=-20000; % Panas reaksi, kal/gmolTf=400; P=20; % Temperatur umpan, KTref=298; % Temperatur referensi, K% Parameter temperatur kesetimbanganA=8e-6; % atmB=4500; % K% Kapasitas panasCpa=7; % kal/mol.K

Cpb=8; % kal/mol.KCpc=12; % kal/mol.K

% Perhitungan konversi kesetimbangankonversi=fzero(@F38,0.6)

Program terkait

function fz = F38(z)% Langkah perhitungan% tebak konversi kesetimbangan z ---> hitung tekanan parsial% komponen a, b, dan c ---> hitung panas reaksi% ---> hitung temperatur reaktor ---> hitung temperatur% kesetimbangan ---> bandingkan T reaktor dan T ktmbgn% T kesetimbangan - T reaktor = 0%

% Nama File : F38.m

% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------

global dHr Tf P Tref A B Cpa Cpb Cpc

% Perhitungan tekanan parsial komponenPa=0.25*(1-z)*P/(1-0.5*z);Pb=(0.75-0.5*z)*P/(1-0.5*z);Pc=0.25*z*P/(1-0.5*z);

% Panas reaksidHrf=dHr+(Cpc-Cpa-2*Cpb)*(Tf-Tref);

% Temperatur reaktorT=Tf-0.25*z*dHrf/(0.25*(1-z)*Cpa+(0.75-0.5*z)*Cpb+0.25*z*Cpc);

% Temperatur kesetimbanganK=Pc/Pa/Pb^2;Tstb=B/log(K/A);


63/242

58

fz=Tstb-T;

Keluaran program

konversi =0.4143

Contoh 3.9. Temperatur Titik Embun untuk Campuran Benzena, Toluena,

dan Ortho-xylena

Campuran uap dengan fraksi mol benzene (A) = 0,4; toluene (B) = 0,3; dan

ortho-xylene (C) = 0,3; didinginkan pada tekanan tetap Pt = 76 cmHg. Ingin

dicari pada suhu berapa (K) pengembunan terjadi. Sistem mengikuti hukum

Roult-Dalton. Harga tekanan uap murni mengikuti persamaan

=T

376414,95expPoA

=T

449716,07expPoB

=

T493416,27expPoC

Pengembunan terjadi jika

01P

.Pty

P

.Pty

P

.Ptyo

C

C

o

B

B

o

A

A =++

Penyelesaian

% Temperatur Titik Embun untuk Campuran Benzena,% Toluena, dan Ortho-xylena% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005

% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

global ya yb yc Pt

% Data-data tekanan parsialya=0.4; yb=0.3; yc=0.3;

% Tekanan total, cmHgPt=76;

% Perhitungan temperaturT=fzero(@F39,300)

Program terkait


64/242

59

function fT=F39(T)% Tekanan uap murni% o ( B )% Pi = 10^( A + --- )% ( T )% Hukum Roult-Dalton% yi * P% xi = --------% o% Pi% x1 + x2 + x3 = 1

% Nama File : F39.m% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------

global ya yb yc PtPao=exp(14.95-3764/T);Pbo=exp(16.07-4497/T);Pco=exp(16.27-4934/T);fT=Pt*(ya/Pao+yb/Pbo+yc/Pco)-1;

Keluaran program

T =390.2252

Temperatur titik embun 390,2252 K

Contoh 3.10. Terminal Velocity untuk Partikel Jatuh dalam Fluida

Partikel berbentuk bola yang bergerak dalam suatu fluida mempunyai terminal

velocity sebagai berikut :

( )

=

D

pp

tC3

Dg4v (3.10.1)

dengan vt adalah terminal velocity (m/detik), g adalah percepatan grafitasi (=

9,80665 m/detik2), padalah densitas partikel (kg/m3), adalah densitas fluida

(kg/m3), Dpadalah diameter partikel bola (m) dan CDadalah koefisien drag (tak

berdimensi).

Koefisien drag partikel bola untuk terminal velocity bervariasi dengan bilangan

Reynolds (Re) sebagai berikut :

1,0ReuntukRe

24CD


65/242

60

CD= 0,44 untuk 1000< Re 35000

CD= 0,19 8.104/Re untuk 35000 Re

dengan

= tp

vDRe dan adalah viskositas (Pa detik atau kg/mdetik)

Tentukan terminal velocity untuk partikel batubara dengan P= 1800 kg/m3dan

Dp= 0,208.10-3m yang jatuh dalam air pada T = 298,15 K dengan = 994,6

kg/m3dan = 8,931.10-4kg/mdetik.

Penyelesaian

Tebak vthitung ReTentukan CDCek vtdengan persamaan (3.10.1 )

Program Matlab

function fv_t = contoh310(v_t)% Terminal Velocity untuk Partikel Jatuh dalam Fluida% Tebak vt --> hitung Re --> Tentukan CD --> Cek vt% / 4.g.(rhop - rho).Dp% vt = / -------------------

% \/ 3.CD.rho


% Data-datarho_p = 1800; %kg/m^3D_p = 0.208*10^-3; %mT = 298.15; %Krho = 994.6; %kg/m^3mu = 8.931*10^-4; %kg/m/sg = 9.80665; %m/s^2

% Menghitung bilangan ReynoldRe = D_p*v_t*rho/mu;

% Menentukan koef. drag (CD)if Re < 0.1

C_D = 24/Re;elseif Re < 1000

C_D = 24*(1+0.14*Re^0.7)/Re;elseif Re < 350000;

C_D = 0.44;else

C_D = 0.19-80000/Re;end

% Membandingkan vt awal dan vt perhitunganfv_t = v_t^2*(3*C_D*rho)-4*g*(rho_p-rho)*D_p;

Perintah dari jendela commanddan hasilnya :>> v_t_tebakan = 0.2;>> v_t = fzero('contoh310',v_t_tebakan)

v_t =


66/242

61

1.5782e-002

Sehingga vtadalah 0,015782 m/detik

Contoh 3.11. Volum Molar dan Faktor Kompressibilitas untuk

Persamaan van der Waals

Hukum gas ideal dapat menunjukkan hubungan tekanan, volum, dan temperatur

(PVT) hanya pada tekanan gas rendah (mendekati tekanan atmosfer). Untuk

tekanan tinggi persamaan yang harus digunakan lebih kompleks daripada hukum

gas ideal tersebut. Perhitungan volum molar dan faktor kompressibilitas

menggunakan persamaan yang lebih kompleks yang memerlukan penyelesaian

secara numeris. Salah satu persamaan yang dapat digunakan adalah persamaan

van der Waals

( )

C

C

C

2C

2

2

P8

RTb

P

TR

64

27adengan

RTbV

V

aP

=

=

=

+

dengan

P = tekanan (atm)

V = volum molar (L/gmol)

T = temperatur (K)

R = konstanta gas = 0,08206 atmL/gmolK

TC = temperatur kritis (405,5 K untuk ammonia)

PC = tekanan kritis (111,3 atm untuk ammonia)

Tekanan tereduksi dinyatakan sebagaiC

rP

PP=

Faktor kompressibilitas dinyatakan sebagaiRT

PVZ=

a. Tentukan volum molar dan faktor kompressibilitas untuk gas ammonia pada

tekanan P = 56 atm dan temperatur T = 450 K menggunakan persamaan van

der Waals !

b. Ulangi perhitungan untuk Pr= 1, 2, 4, 10, dan 20 !


67/242

62

c. Bagaimanakah hubungan faktor kompressibilitas untuk berbagai nilai Pr?

Penyelesaian

% Volum Molar dan Faktor Kompressibilitas utk Pers van der Waals% Varibel berubah P% Pr = -----

% Pr% Dari data-data yang ada% Hitung P% Hitung V dengan terlebih dahulu menebak V,% lalu hitung dengan pers. van der Waals% Hitung Z P.V% Z = ------% R.T% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

clear allformat short eglobal P a b R T

% Data-data

Pc = 111.3; % atmTc = 405.5; % KR = 0.08206; % atm.L/gmol.KT = 450; % KP = 56; % atmPr = [P/Pc 1 2 4 10 20];a = 27/64*R^2*Tc 2/Pc;b = R*Tc/(8*Pc);

% Perhitunganfor j = 1:6

P = Pc*Pr(j);Vtebak = R*T/P;V = fzero('waals',Vtebak);z = P*V/(R*T);hasil(j,1)=Pr(j);hasil(j,2)=V;hasil(j,3)=P*V/(R*T);

end

% Menampilkan hasil perhitungandisp(' Pr Volum molar faktor Z')disp(hasil)plot(hasil(:,1),hasil(:,3))title('Faktor Kompresibilitas vs Tekanan Tereduksi')xlabel('Tekanan Tereduksi')ylabel('Faktor Kompresibilitas')

Fungsi van der Waals

function f_V = waals(V)% Persamaan van der Waals% [ a ]% [ P + ------ ] ( V - b ) = RT% [ V^2 ]% Parameter utk ammonia


68/242

63

% Nama File : waals.m% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------global P a b R T

% Modifikasi persamaan van der Waalsf_V = P*V^3-P*b*V^2-R*T*V^2+a*V-a*b;

Hasil perhitungan

Gambar 3.5. Keluaran Program Contoh 3.11

>> Pr Volum molar faktor Z

5.0314e-001 5.7489e-001 8.7183e-0011.0000e+000 2.3351e-001 7.0381e-0012.0000e+000 7.7268e-002 4.6578e-0014.0000e+000 6.0654e-002 7.3126e-0011.0000e+001 5.0875e-002 1.5334e+0002.0000e+001 4.6175e-002 2.7835e+000

Contoh 3.12. Temperatur Batang Konduktor sebagai Fungsi Arus

Suatu batang konduktor berdiameter D dan hambatan elektrik per satuan

panjang RL. Batang tersebut mula-mula berada pada kesetimbangan termal

dengan udara di sekitarnya. Aliran listrik I dilewatkan melalui batang tersebut.

Untuk diameter batang yang kecil, dapat diasumsikan bahwa temperatur

sepanjang batang seragam, dengan temperatur sebagai fungsi waktu T(t).

Faktork

ompresibilitas


69/242

64

Neraca energi pada batang logam

Eacc= Eg Eout

Ecc= kecepatan energi tersimpan pada batang logam

Eg= kecepatan pembangkitan energi dalam batang karena panas hambatan

Eout = kecepatan aliran energi total keluar dari batang karena konveksi dan radiasi

D, diameter

I, kuat arus

L, panjang pipa

T lingkungan

Panas yang dilepaskan

Gambar 3.6. Batang Konduktor

Energi dalam batang sepanjang waktu

Ecv= cVdt

dT

Eg= I2RLL

Dengan RL adalah hambatan per satuan panjang dan satuan persamaan di atas

adalah (amp)2ohm.

Eout= hA(T - T) + A(T4 T4sur)

Dengan A adalah luas permukaan perpindahan panas

Tadalah temperatur fluida

Tsuradalah temperatur lingkungan karena perpindahan panas radiasi

= emisivitas material

= konstanta Stefan boltzmann = 5,67.108W/m2-K4

Substitusi ke persamaan

cVdt

dT= I2RLL - hA(T - T) + A(T

4 T4sur)


70/242

65

dengan

A = DL

V = D2L/4

Kondisi awal T(0) = T0

Jika arus mula-mula adalah nol, kemudian temperatur awal T0maka didapatkanpersamaan

hA(T - T) + A(T04 T4sur) = 0

jika Tdan Tsursama, maka T0= T= Tsur.

D = 1 mm

= 0,8

RL= 0,4 ohm/m

h = 100 W/m2K

T= Tsur= 25oC

% Temperatur Batang Konduktor sebagai Fungsi Arus Listrik%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

clear allglobal D emiss R_L sig h Tinf Tsur IsqD = 0.001; % Diameter kawat (m)emiss = 0.8; % EmisivitasR_L = 0.4; % Risistansi per satuan panjang (ohm/m)sig = 5.67e-8; % Konstanta Stefan-Bolzmann (W/m^2K^4)h = 100; % Koefisien transfer panas (W/m^2K)Tinf = 25+273.15; % Temperatur fluida (K)Tsur = Tinf; % Temperatur lingkungan untuk radiasi (K)

NI = 21;I = linspace(0,10,NI);Tss = zeros(size(I));Isq = I(1)*I(1);Tg = Tinf;Tss(1) = fzero('neracaenergi',Tg);

% Perhitungan Temperaturfor n=2:NI

Isq = I(n)*I(n);Tss(n) = fzero('neracaenergi',Tss(n-1));

endTssa = Tinf +I.*I*R_L/(h*pi*D);

% Plot hasil perhitunganplot(I,Tss-273.15,'k',I,Tssa-273.15,'k-.','LineWidth',2), grid onrr = axis; rr(3) = 0; axis(rr);title('Temperatur Konduktor Steady State vs Arus')


71/242

66

xlabel('Arus (amps)'), ylabel('Temperatur Steady State (C)')legend('T(ss) dengan radiasi','T(ss) tanpa radiasi')

% Perhitungan neraca energiA = pi*D;gen = I.*I.*R_L;conv = h*A*(Tss-Tinf);rad = emiss*sig*A*(Tss.^4-Tsur^4);bal = (gen-conv-rad);

% Menampilkan hasilfprintf(1,'\n\n')fprintf(1,' HASIL PERHITUNGAN \n')fprintf(1,' Parameter perancangan \n')fprintf(1,' Diameter kawat (m) = %8.3f \n',D)fprintf(1,' Emisivitas = %8.3f\n',emiss)fprintf(1,' Resistansi (ohm/m) = %8.3f\n',R_L)fprintf(1,' Konstanta Stefan-Bolzmann (W/m^2K^4)= %9.2e\n',sig)fprintf(1,' Koefisien Transfer Panas (W/m^2K) = %8.3f \n',h)fprintf(1,' Temperatur Fluida (C) = %8f\n',Tinf-273.15)fprintf(1,' Temperatur Lingkungan (C) = %8f\n',Tsur-273.15)fprintf(1,'\n')fprintf(1,' Komponen Neraca Energi vs Arus \n')fprintf(1,' I Energi yg Muncul Konveksi Radiasi Neraca

Temperatur \n')fprintf(1,' (A) (W/m) (W/m) (W/m) (W/m)C \n')for n = 1:NIfprintf(1,' %4.1f %8.2f %8.2f %8.2f %8.4f %8.2f\n',...

I(n),gen(n),conv(n),rad(n),bal(n),Tss(n)-273)end

Fungsi neraca energi

function F=neracaenergi(T)% Neraca Energi pada Batangan Konduktor% keadaan steady state% input - output = akumulasi% panas arus listrik - panas konveksi - panas radiasi = 0

% Nama File : neracaenergi.m% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------

global D emiss R_L sig h Tinf Tsur Isq

A = pi*D;% Panas yang dibangkitkan arus listrikgen = Isq*R_L;

% Panas konveksiconv = h*A*(T-Tinf);

% Panas radiasirad = emiss*sig*A*(T^4-Tsur^4);

% Neraca energiF = (gen-conv-rad);


72/242

67

Keluaran program

HASIL PERHITUNGANParameter perancangan

Diameter kawat (m) = 0.001Emisivitas = 0.800Resistansi (ohm/m) = 0.400Konstanta Stefan-Bolzmann (W/m^2K^4)= 5.67e-008Koefisien Transfer Panas (W/m^2K) = 100.000

Temperatur Fluida (C) = 25.000000Temperatur Lingkungan (C) = 25.000000

Komponen Neraca Energi vs ArusI Energi yg Muncul Konveksi Radiasi Neraca Temperatur(A) (W/m) (W/m) (W/m) (W/m) C0.0 0.00 0.00 0.00 0.0000 25.150.5 0.10 0.10 0.00 0.0000 25.451.0 0.40 0.38 0.02 0.0000 26.361.5 0.90 0.86 0.04 -0.0000 27.882.0 1.60 1.52 0.08 0.0000 30.002.5 2.50 2.38 0.12 0.0000 32.733.0 3.60 3.43 0.17 0.0000 36.063.5 4.90 4.66 0.24 0.0000 39.984.0 6.40 6.08 0.32 -0.0000 44.504.5 8.10 7.68 0.42 -0.0000 49.605.0 10.00 9.47 0.53 -0.0000 55.305.5 12.10 11.44 0.66 -0.0000 61.576.0 14.40 13.59 0.81 -0.0000 68.41

6.5 16.90 15.92 0.98 0.0000 75.817.0 19.60 18.42 1.18 0.0000 83.777.5 22.50 21.09 1.41 0.0000 92.288.0 25.60 23.93 1.67 0.0000 101.328.5 28.90 26.93 1.97 -0.0000 110.889.0 32.40 30.09 2.31 -0.0000 120.949.5 36.10 33.41 2.69 -0.0000 131.5010.0 40.00 36.88 3.12 0.0000 142.53


73/242


74/242

69

Neraca energi pada sistem pada keadaan steady :

g2

vz

phhh

g2

vz

p 221

2LRA

21

11 ++

=+++

Tidak ada peralatan mekanik, sehingga hA= hR= 0, kecepatan pada permukaan

nol, dan p1= p2.

L21

22 hzzg2

v=

untuk kasus di atas, h + L = z1 z2, dan V = v2. hLditentukan dengan persamaan

g2D

LVfh

2

L=

Persamaan menjadi

g2D

LVfLh

g2

V 22+=

( )

+

+=

D

Lf1

Lhg2V2

Konstanta gravitasional 32,2 ft/detik2. Faktor friksi, f, untuk aliran turbulen

didekati dengan korelasi Swamee-Jain.

2

9,010 Re

74,5

7,3

D/log

25,0f

+

=

/D adalah kekasaran relatif dan Re adalah bilangan Reynold, Re = VD/

Tentukan bagaimana kecepatan bervariasi sebagai fungsi panjang pipa L dan

diameter D.

Asumsikan fluida adalah air pada 60O

F (= 1,21 x 10-5

ft2

/detik). Tangki cukup

besar dan air keluar melalui pipa besi Sch 40 (= 1,5 x 10-4ft). h = 5 ft.

Plotkan V(L) dengan kisaran 1/12 ft < L < 20 ft.

Ukuran pipa Sch 40

Pipa 1/2 D1= 0,0518 ft

Pipa 1 D2= 0,0874 ft

Pipa 1 D3= 0,1342 ft

Pemograman Matlab


75/242


76/242


77/242

4 INTEGRAL NUMERIS

Secara matematis integrasi dinyatakan oleh :

=b

a

dx)x(fI . (4.1)

yang dinyatakan sebagai integrasi fungsi f(x) terhadap variabel x, yang

dievaluasikan antara batas x = a sampai x = b. Persamaan tersebut adalah jumlah

total f(x) dx yang meliputi bentangan dari x = a hingga x = b. Gambar 4.1

menunjukkan sebuah manifestasi grafik konsep tersebut.

f (x)

x

a b

Gambar 4.1. Konsep Integrasi

Integrasi adalah menentukan luas di bawah kurva f(x) antara x = a dan x = b.


78/242

76

4.1. ATURAN TRAPESIUM

Aturan trapesium dapat digunakan untuk penyelesaian integral secara numeris .

Caranya adalah dengan membagi bentangan x = a sampai x = b menjadi bagian-

bagian yang lebih kecil yang besarnya masing-masing sebesar x berjumlah nbuah. Jumlah interval n semakin besar, hasil integrasi secara numeris akan

semakin baik.

f (x)

x

a bDx

Gambar 4.2. Konsep Dasar Aturan Trapesium

Masing-masing bagian dianggap berbentuk trapesium, sehingga luas masing-

masing bagian adalah x tinggi x jumlah sisi sejajar. Harga integral diperoleh

dari jumlah luasan total dari masing-masing bagian.

b

a

dx)x(f ( ) ( ) ( ))b(f)x(f2x

......)x(f)x(f2

x

)x(f)a(f2

x1n211 +

+++

++

=

[ ])b(f)x(f2......)x(f2)x(f2)a(f2

x1n21 +++++

=

[ ])b(f)x(f2......)x(f2)x(f2)a(fn2

)ab(1n21 +++++

=

.(4.2)

Dalam Matlab, metode perhitungan integrasi dengan aturan trapesium dapat

menggunakan fungsi trapz.


79/242

77

Penggunaan fungsi trapzadalah

Z = trapz(x,y)

yang menghitung integral y terhadap x menggunakan metode trapesium. x dan y

merupakan vektor yang sama panjang.

Contoh 4.1. Distilasi Batch di Laboratorium

Sebuah distilasi dijalankan secara batch mula-mula diisi 20 lbmol umpan dengan

fraksi mol umpan cair benzena xF = 0,32.Umpan kemudian dialirkan dengan

kecepatan 10 lbmol/jam, dan input panas diatur agar isi destilasi tetap 20 lbmol.

Tentukan waktu yang dibutuhkan untuk memperoleh destilat dengan fraksi mol

fase uap yD= 0,4.

Hubungan fraksi mol fase uap y dan fase cair x dianggap sesuai dengan Hukum

Roult, dengan = 2,48.

Gambar 4.3. Distilasi Batch di Laboratorium

Penyelesaian

Neraca massa total

F D =dt

dM = 0

D = F = 10 lbmol/jam


80/242

78

Neraca massa benzena

F xF D yD=dt

dxM w

dt =w

DF

dxyDxF

M

Hukum Roult untuk kesetimbangan

yD=w

w

x)1(1

x

pada yD= 0,4 akan diperoleh xw= 0,21

Sehingga penyelesaian persamaan adalah

=xw

xwo

wDF

dxyDxF

Mt

dengan yDmengikuti kesetimbangan Roult.

Program penyelesaian% Distilasi Batch di laboratorium% Distilasi secara batch%% xwn [ M ]% t = Integral [------------- ] dxw% xwo [ F xf - D yd ]% yd adalah fraksi mol benzena pada destilat% xw adalah fraksi mol benzena pada labu destilasi% Hubungan yd dan xw mengikuti Hukum Roult% alpha xw% yd = --------------------% 1 - (alpha - 1)xw%%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik

% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

% Data-dataF = 10 ; %laju alir umpan, lbmol/jamD = F ; %laju alir destilat, lbmol/jamM = 20 ; %massa labu destilasi, lbmolxf = 0.32; %fraksi mol benzena pada umpanxwo = xf ; %fraksi mol benzena pada labu destilasi mula-mulaalpha = 2.48; %konstanta Roultydn = 0.4; %fraksi mol benzena pada destilat akhir

% Perhitungan xwn dr pers. Hukum Roultxwn = ydn/(alpha-(alpha-1)*ydn);

% Nilai-nilai xwn = 100; %jumlah intervalxw=linspace(xwn,xwo,n);


81/242

79

% Nilai t pada berbagai xwyd = alpha.*xw./(1+(alpha-1).*xw);ti=-M./(F.*xf-D.*yd);

% Jumlah t pada seluruh bagiant=trapz(xw,ti)

Diperoleh t = 1,5394 jam

Contoh 4.2. Kecepatan accelerometer

Accelerometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur kecepatan suatu

benda. Alat ini mengintegrasikan sinyal percepatan untuk menghasilkan suatu

perkiraan jarak tempuh. Hubungan waktu (detik) dengan percepatan (m/detik2)

ditunjukkan pada tabel di bawah.

Perkirakan kecepatan pada 1, 2, , 10 detik

Penyelesaian

v(10) = 10

0

a(t) dt + v(0) = 10

0

a(t) dt

Program Matlab

% Kecepatan accelerometer% Hubungan waktu (t) dengan percepatan a (m^2/detik)% ditunjukkan pada tabel% Kecepatan secara numeris% v = int ( a dt)%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

% Data-datat=[0:10]; % detika=[0 2 4 7 11 17 24 32 41 48 51]; % m^2/detik

v(1)=0; % keadaan awal

% Perhitungan secara numeris

Waktu

(detik)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Percepatan

(m/detik2)

0 2 4 7 11 17 24 32 41 48 51


82/242

80

for k=[2:11]v(k)=trapz(t(1:k),a(1:k));

end

% Cetak Hasildisp(' ')disp(' t(detik) v(m/detik)')disp([t' v' ])

Keluaran Program

t(detik) v(m/detik)0 0

1.0000 1.00002.0000 4.00003.0000 9.50004.0000 18.50005.0000 32.50006.0000 53.00007.0000 81.00008.0000 117.50009.0000 162.0000

10.0000 211.5000

4.2. ATURAN SIMPSON

Aturan Simpson berdasarkan pada penggunaan pendekatan polinomial kuadratik

suatu fungsi f(x) pada sepasang sub-interval.

Integrasi polinomial kuadratik melalui titik (x0, f0), (x1, f1), dan (x2, f2) dengan f0

= f(x0), f1= f(x1), dan f2=f(x2) mengikuti persamaan berikut :

( )2101x

0x

ff4f3

hdx)x(f ++= .(4.3.)


83/242

81

f (x)

x

x0 x2x1

h

f(x0)

f(x1)

f(x2)

Gambar 4.4. Konsep Dasar Aturan Simpson

Aplikasi aturan Simpson pada seluruh pasangan interval dalam kisaran x0sampai

xn

b

a

dx)x(f ( ) ( ) ( )n21n22n2432210 ffx4f3

h......ff4f

3

hff4f

3

h+++++++++=

[ ])f)f......ff(2)f......ff(4f3

hn22n2421n2310 +++++++++=

.(4.4)

Untuk menggambarkan penggunaan aturan Simpson, akan ditampilkan dua

alternatif yaitu fungsi simp1 dan simp2.

simp1 menggunakan vektor koefisien v dan vektor fungsi nilai y serta

mengalikan kedua vektor. simp2 menggunakan aturan Simpson secara

konvensional (menggunakan loop).

Alternatif 1

function q = simp1(func,a,b,m)% Integrasi Numeris%% Penyelesaian dilakukan dengan Aturan Simpson% Menggunakan vektor% q = simp1(func,a,b,m)% integrasi fungsi func dr a sampai b dg m pembagian%% Nama File : simp1.m% Surakarta, Oktober 2005


84/242

82

% ---------------------------------------------------------------

if (m/2)~= floor(m/2)disp('m harus genap '); break

end

h = (b-a)/m;x = [a:h:b];y = feval(func,x);

v = 2*ones(m+1,1);v2 = 2*ones(m/2,1);v(2:2:m) = v(2:2:m) + v2;v(1) = 1;v(m+1) = 1;

q = y*v;q = q*h/3;

Alternatif 2

function q = simp1(func,a,b,m)% Integrasi Numeris%% Penyelesaian dilakukan dengan Aturan Simpson% Menggunakan loop% q = simp2(func,a,b,m)% integrasi fungsi func dr a sampai b dg m pembagian%% Nama File : simp2.m% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------

if (m/2)~= floor(m/2)disp('m harus genap '); break

end

h = (b-a)/m;s = 0;y1 = feval(func,a);

for j = 2:2:mx = a+(j-1)*h;ym = feval(func,x);x = a+j*h;yh = feval(func,x);s = s+y1+4*ym+yh;y1=yh;

end

q = s*h/3;

Contoh 4.3 Program Penggunaan Aturan Simpson

Kedua alternatif aturan Simpson tersebut digunakan untuk menyelesaikan

dxxy

1

0

7=

fungsi persamaan tersebut dalam Matlab diberi nama f43


85/242

83

function fv = f43(x)% Fungsi pangkat sederhana% f(x) = x^7%% Nama File : F43.m% Surakarta, Oktober 2005% ---------------------------------------------------------------

fv = x.^7;

Berikut program yang digunakan untuk menguji simp1

% Integrasi Numeris dg Aturan Simpson% menggunakan vektor% integral x^7 dari 0 sampai 1%% ---------------------------------------------------------------% Surakarta, Oktober 2005% Jurusan Teknik Kimia, Fak. Teknik% Universitas Sebelas Maret% ***************************************************************

n = 2; i = 1;t = clock;disp(' n nilai integral')while n


86/242


87/242


88/242

86

f (x)

x

f (x)

x

(a)

(b)

Gambar 4.5. Konsep Dasar Kuadratur Gauss

Penyelesaian 4 persamaan di atas memberikan

c1= c2= 1 x1= -3

1 x2=

3

1

sehingga

=1

1

dx)x(fI = f

3

1+ f

3

1

Prosedur yang sama dapat dilakukan dengan penggunaan titik yang lebih banyak.


89/242

87

Fungsi Matlab quad dan quad8 menggunakan konsep kuadratur

Gauss. Kedua fungsi pengintegralan beroperasi dengan cara yang sama.

Keduanya mengevaluasi nilai fungsi yang akan diintegralkan pada interval

apapun yang diperlukan untuk memperoleh hasil yang tepat. Bahkan keduanya

cenderung untuk membuat perkiraan tingkat tinggi daripada menggunakan

trapezoid sederhana. quad8 lebih teliti dari quad.

Tabel 4.1. Faktor Bobot c dan Argumen Fungsi x

untuk Kuadratur Gauss

Titik Faktor Bobot Argumen Fungsi

2 c1 = 1, 000000000 x1 = - 0, 577350269

c2 = 1, 000000000 x2 = 0, 577350269

3 c1 = 0, 555555556 x1 = - 0, 774596669

c2 = 0, 888888889 x2 = 0

c3 = 0, 555555556 x3 = 0, 774596669

4 c1 = 0, 347854845 x1 = - 0, 861136312

c2 = 0, 652145155 x2 = -0, 339981044

c3 = 0, 652145155 x3 = 0, 339981044

c4 = 0, 347854845 x4 = 0, 861136312

5 c1 = 0, 236926885 x1 = - 0, 906179846

c2 = 0, 478628670 x2 = -0, 538469310

c3 = 0, 568888889 x3 = 0

c4 = 0, 478628670 x4 = 0, 538469310

c5 = 0, 236926885 x5 = 0, 906179846

6 c1 = 0, 171324492 x1 = - 0, 932469514

c2 = 0, 360761573 x2 = -0, 661209386

c3 = 0, 467913935 x3 = -0, 238619186

c4 = 0, 467913935 x4 = 0, 238619186

c5 = 0, 360761573 x5 = 0, 661209386

c6 = 0, 171324492 x6 = 0, 932469514

Contoh 4.4. Program Penggunaan fungsi qu d .

% Integrasi Nume

Buku Pemrograman Komputer

Documents

Transcript of Buku Pemrograman Komputer