BUKU NUMERIK.doc

BAB I

PENGERTIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYADALAM TEKNIK SIPIL

TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat :

1. menjelaskan pengertian metode numerik

2. menjelaskan manfaat komputer dalam menunjang metode numerik

3. memberikan contoh-contoh konkrit penerapan metode numerik dalam teknik

sipil

4. menjelaskan konsep dasar penyelesaian persamaan matematika dengan

metode numerik

1

PENGER-TIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYA DALAMT. SIPIL


MACAM-MACAM

KESALAH- AN

BAHASAPEMRO - GRAMANQBASIC

AKAR-AKARPERSA-MAAN

SISTEM PERSAMA

-AN LINIER

ANALI-SIS RE-GRESI

INTER-POLASI

INTEGRASI NUMERIK

DESKRIPSI

Dalam bab ini Anda akan mempelajari pengertian numerik, manfaat

komputer dalam membantu penyelesaian numerik dan penerapan metode numerik

dalam teknik sipil. Dalam bab ini Anda juga akan mengetahui bagaimana

ampuhnya metode numerik dalam menyelesaikan berbagai permasalahan model

matematika. Secara sepintas dalam bab I juga dibahas mengenai bagaimana

penerapan metode numerik dalam menyelesaikan suatu persamaan matematik.

Bab I sampai dengan bab III merupakan dasar dari metode numerik yang

harus Anda pahami dahulu. Pada Bab II, Anda akan mempelajari berbagai jenis

kesalahan akibat penyelesaian numerik dari suatu persamaan matematik. Pada bab

III dapat dipelajari salah satu bahasa pemrograman yaitu QBASIC sebagai dasar

untuk membuat program yang sangat bermanfaat sebagai alat bantu penyelesaian

metode numerik. Pada bab IV sampai dengan bab VIII, Anda dapat mempelajari

berbagai macam jenis persamaan matematika yang dapat diselesaikan dengan

metode numerik. Dalam bab IV Anda akan diajak untuk mengingat kembali

mengenai fungsi persamaan matematika yaitu linier dan tidak linier. Selanjutnya

Anda dapat mempelajari mencari akar-akar persamaannya. Setelah Anda

mengingat kembali fungsi-fungsi persamaan, permasalahan numerik terbagi

menjadi tiga bagian yang terpisah. Pada bab V, Anda dapat mempelajari aljabar

linier yang dapat digunakan untuk membantu penyelesaian persamaan regresi

pada bab VI. Pada bab VII, Anda dapat mempelajari metode interpolasi yang

dapat digunakan untuk mencari nilai diantara hasil suatu fungsi. Sedangkan pada

bab VIII, Anda dapat mencari luasan suatu bidang dibawah fungsi persamaan

matematika tertentu dengan menggunakan integral numerik. Hal yang perlu

diperhatikan dalam mempelajari metode numerik adalah Anda harus telah

menguasai matematika dasar dan komputer karena kedua bidang ini menjadi

prasyarat awal untuk dapat memahami metode numerik.

KATA-KATA KUNCI

Metode numerik, pengertian, manfaat dalam teknik sipil

2

A. Pengertian Metode Numerik

Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-

permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi

hitungan (aritmetic). Dalam metode numerik ini dilakukan operasi hitungan

dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-berulang. Oleh karena itu

diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakan operasi hitungan tersebut.

Metode numerik mampu menyelesaikan suatu persamaan yang besar, tidak linier

dan sangat kompleks yang tidak mungkin diselesaikan secara analitis.

B. Manfaat Metode Numerik Dalam Teknik Sipil

Meskipun metode numerik banyak dikembangkan oleh para ahli

matematika, tetapi ilmu tersebut bukan hanya milik mereka. Ilmu metode numerik

adalah milik semua ahli dari berbagai bidang, seperti teknik, kedokteran, sosial

dan bidang ilmu lainnya. Berbagai masalah yang ada dalam berbagai disiplin ilmu

pengetahuan dapat digambarkan dalam bentuk matematik dari berbagai fenomena

yang berpengaruh. Sebagai contoh dalam teknik sipil adalah gerak air atau polutan

dalam air, perhitungan momen atau gaya lintang dalam suatu bangunan struktur

akibat suatu gaya tertentu dan sebagainya.

Biasanya fenomena yang berpengaruh tersebut cukup banyak dan

sangat kompleks, dan untuk menyederhanakannya dilakukan beberapa anggapan

sehingga beberapa fenomena yang kurang berpengaruh dapat diabaikan.

Meskipun telah dilakukan penyederhanaan, namun sering persamaan tersebut

tidak bisa diselesaikan secara analitis. Untuk itu maka diperlukan metode numerik

untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya

memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari

penyelesaian analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat

kesalahan terhadap nilai eksak. Kesalahan-kesalahan ini akan dibahas pada bab II.

Berbagai macam software komputer yang menerapkan metode numerik

untuk teknik sipil saat ini telah banyak beredar dan berkembang dari tahun ke

tahun. Contoh untuk analisa struktur yang cukup popuper adalah SAP 90

3

(Structural Analysis Programs 90) yang dikembangkan oleh 1918 University

Avenue Barkeley California, Amerika Serikat. Program ini dikembangkan dari

metode numerik Finite Elemen. Untuk software keairan yang cukup dikenal antara

lain adalah DUFLOW, yaitu program untuk mengsimulasikan aliran tidak

permanen (unsteady flow) satu dimensi dan kualitas air dalam sistem saluran

terbuka. Program ini dikembangkan oleh tiga institusi di Belanda yaitu : IHE

Delft, Departemen Pekerjaan Umum, dan Teknik Sipil Delft University of

Technology. Program ini dikembangkan menggunakan metode numerik finite

difference.

Program-program aplikasi untuk teknik sipil tersebut harganya cukup

mahal (rata-rata 30 (tiga puluh) juta rupiah perpaket) dan sangat sulit dicari di

Indonesia. Untuk mengatasi hal tersebut maka pada saat ini beberapa lembaga

penelitian di Indonesia telah mulai mengembangkan perangkat lunak aplikasi

numerik antara lain adalah GAMAFLOW yang dikembangkan oleh Universitas

Gajah Mada (UGM) untuk bidang keairan.

RINGKASAN

4

1. Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (aritmetic).

2. Dalam metode numerik ini dilakukan operasi hitungan dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-berulang. Oleh karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakan operasi hitungan.

3. Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan terhadap nilai eksak

LATIHAN

1. Jelaskan yang dimaksud dengan metode numerik

2. Jelaskan manfaat komputer dalam menunjang metode numerik

3. Jelaskan konsep dasar penyelesaian persamaan matematika dengan metode

numerik

4. Banyak software simulasi dalam teknik sipil saat ini yang beredar dipasaran.

Software–software tersebut menerapkan metode numerik untuk membantu

mengsimulasikan fenomena yang akan kita amati. Carilah beberapa software

komputer yang pembuatannya berdasarkan metode numerik (minimal 2).

Gunakan format yang disediakan.

No Nama Software Kegunaan Software

5

BAB II

MACAM-MACAM KESALAHAN

TUJUAN PEMBELAJARAN


1. menjelaskan macam-macam kesalahan numerik

2. menjelaskan hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan

3. menjelaskan perbedaan kesalahan absolut dan relatif

4. menghitung kesalahan absolut dan relatif

6


MACAM-MACAM

KESALAH- AN

MACAM-MACAM

KESALAH- AN


AKAR-AKARPERSA-MAAN

SISTEM PERSAMA

-AN LINIER

ANALI-SIS RE-GRESI

INTER-POLASI

INTEGRASI NUMERIK

DESKRIPSI

Pada bab II ini, Anda akan dapat mempelajari macam-macam kesalahan

numerik, hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan, perbedaan

kesalahan absolut dan relatif. Dalam bab ini, Anda akan mengetahui bagaimana

kesalahan-kesalahan itu terjadi, apakah kesalahan tersebut menunjukkan besarnya

tingkat kesalahan (significant) atau tidak.

Pada bab I, Anda telah mempelajari bahwa penyelesaian secara numerik

dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang

mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Ini berarti bahwa

penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan terhadap nilai eksak. Dalam bab

II jenis-jenis kesalahan dan hubungannya dengan nilai eksak akan dibahas lebih

mendalam. Setelah Anda memahami macam-macam kesalahan dalam bab II ini,

maka pada bab IV sampai dengan bab VIII harus telah dapat memahami bahwa

seluruh proses perhitungan numerik hanyalah proses perhitungan perkiraan

sehingga Anda harus lebih hati-hati dalam langkah perkiraan untuk memperkecil

kesalahan atau perbedaan antara nilai eksak terhadap nilai perkiraan anda. Proses

memperkirakan nilai ini sangat lama, berulang-ulang dan sering kali bersifat coba

banding (trial and error). Untuk mempercepat proses tersebut dapat dibantu

dengan program komputer yang akan dibahas pada bab III.

KATA-KATA KUNCI

Metode numerik, macam-macam kesalahan

7

A. Kesalahan (error)

Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya

memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (benar) dari penyelesaian

analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan terhadap

nilai eksak.

Ada tiga macam kesalahan yaitu kesalahan bawaan, kesalahan pembulatan

dan kesalahan pemotongan.

Kesalahan bawaan adalah kesalahan dari nilai data. Kesalahan tersebut

bisa terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau

kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data

yang diukur.

Kesalahan pembulatan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa

angka terakhir dari suatu bilangan. Kesalahan ini terjadi apabila bilangan

perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak. Suatu bilangan

dibulatkan pada posisi ke n dengan membuat semua angka di sebelah kanan dari

posisi tersebut nol. Sedang angka pada posisi ke n tersebut tidak berubah atau

dinaikkan satu digit yang tergantung apakah nilai tersebut lebih kecil atau lebih

besar dari setengah dari angka posisi ke n.

Contoh :8632574 dapat dibulatkan menjadi 86330003,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14

Kesalahan pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai

dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak

terhingga diganti proses hingga. Di dalam matematika, suatu fungsi dapat

dipresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga, misalkan:

ex = 1 + x +x2/2! + x3/3! + x4/4! + ......

Nilai eksak dari ex diperoleh apabila semua suku dari deret tersebut

diperhitungkan. Dalam praktek, sulit memperhitungkan semua suku sampai tak

terhingga. Apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja, maka

hasilnya tidak sama dengan nilai eksak. Kesalahan karena hanya

diperhitungkannya beberapa suku pertama disebut dengan kesalahan pemotongan.

8

B. Kesalahan Absolut dan Relatif

Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat diberikan

dalam bentuk berikut ini :

p = p* + Ee

dengan :p : nilai eksakp* : nilai perkiraanEe : keslahan terhadap nilai eksak

Indeks e menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai eksak. dari

bentuk persamaan di atas maka didapat bahwa kesalahan adalah perbedaan antara

nilai eksak dan nilai perkiraan,

Ee = p – p* (1.1)

Bentuk kesalahan seperti diberikan oleh persamaan (1.1) disebut dengan

kesalahan absolut. Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat

kesalahan. Sebagai contoh, kesalahan satu sentimeter pada pengukuran pensil

akan sangat terasa dibanding dengan keslahan yang sama pada pengukuran

panjang jembatan.

Besarnya tingkat kesalahan dapat dinyatakan dalam bentuk kesalahan

relatif, yaitu dengan membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai nilai

eksak.

e = Ee/p (1.2)

dengan e adalah kesalahan relatif terhadap nilai eksak.

Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen seperti berikut ini,

e = Ee/p x 100% (1.3)

Contoh :

Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9.999 cm dan 9 cm. Apabila panjang benar (eksak) adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif.

Penyelesaian :a. Kesalahan absolut,- Jembatan :Ee = 10.000 – 9.999 = 1 cm

9

- Pensil :Ee = 10 – 9 = 1 cm

b. Kesalahan relatif : - Jembatan :e = Ee/p x 100% = 1/10.000 x 100% = 0,01%- Pensil :e = 1/10 x 100% = 10%

Contoh tersebut menunjukkan bahwa meskipun kesalahan adalah sama

yaitu 1 cm, tetapi kesalahan reltif pensil adalah jauh lebih besar. Kesimpulan yang

dapat diambil bahwa pengukuran jembatan memberikan hasil yang baik

(memuaskan), sementara hasil pengukuran pensil tidak memuaskan.

RINGKASAN

LATIHAN

1. Jelaskan macam-macam kesalahan numerik

2. Jelaskan hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan

3. Jelaskan perbedaan kesalahan absolut dan relatif

10

1. Ada tiga macam kesalahan perkiraan yaitu kesalahan bawaan, kesalahan pembulatan dan kesalahan pemotongan

2. Kesalahan bawaan adalah kesalahan dari nilai data3. Kesalahan pembulatan terjadi karena tidak

diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan

4. Kesalahan pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar

5. Ada dua jenis kesalahan hubungan antara nilai eksak dan nilai perkiraan yaitu kesalahan absolut dan kesalahan relatif.

6. Kesalahan absolut adalah kesalahan perbedaan (selisih) antara nilai eksak dan nilai perkiraan dan tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan

7. kesalahan relatif, adalah tingkat kesalahan yang dilakukan dengan membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak

BAB III

BAHASA PEMROGRAMAN QBASIC

TUJUAN PEMBELAJARAN


1. membuat program dengan perintah dasar (CLS,PRINT,END)

2. membuat program dengan perintah memasukkan data (INPUT)

3. menjelaskan konsep variabel dalam bahasa QBASIC

4. menjelaskan operator aritmatika dalam bahasa QBASIC

5. membuat program dengan perintah percabangan tak bersyarat (GOTO)

6. membuat program dengan perintah percabangan bersyarat (IF - THEN, IF -

THEN - ELSE )

7. menjelaskan pengertian operator relasional dan kondisi

8. menjelaskan dan membuat diagram alir (FLOWCHART)

9. membuat program dengan perintah pengulangan proses /Looping (FOR - TO -

STEP - NEXT

10. membuat program dengan perintah variabel berindeks (DIM)

11


MACAM-MACAM

KESALAH- AN



AKAR-AKARPERSA-MAAN

SISTEM PERSAMA

-AN LINIER

ANALI-SIS RE-GRESI

INTER-POLASI

INTEGRASI NUMERIK

DESKRIPSI

Perkembangan yang dasyat komputer saat ini ikut mendorong pesatnya

pengembangan dan penggunaan metode numerik. Perkembangan hardware

(perangkat keras) selalu diikuti oleh perkembangan software (perangkat lunak).

Salah satu perangkat lunak adalah bahasa pemrograman. Saat ini di pasar

komputer banyak sekali beredar berbagai macam bahasa pemrogaman antara lain

PASCAL,BASIC, FORTRAN, QBASIC, TURBO PASCAL, VISUAL BASIC,

DELPHI, POWER STATION dan sebagainya. Dalam bab ini Anda hanya akan

mempelajari bahasa pemrogaman QBASIC. Pemilihan bahasa pemrogaman ini

tidak berarti bahwa bahasa pemrogaman QBASIC adalah yang terbaik untuk

penyelesaian metode numerik dan membatasi Anda untuk menggunakan bahasa

pemrogaman yang lain, tetapi bab III ini hanya memberikan suatu gambaran

mengenai salah satu bahasa pemrogaman yang dapat digunakan untuk membantu

menyelesaikan persamaan numerik. Dalam bab III Anda dapat mempelajari: (1)

membuat program dengan perintah dasar, (2) membuat program dengan perintah

memasukkan data, (3) konsep variabel dalam bahasa QBASIC, (4) operator

aritmatika dalam bahasa QBASIC, (5) membuat program dengan perintah

percabangan tak bersyarat, (6) membuat program dengan perintah percabangan

bersyarat, (7) pengertian operator relasional dan kondisi, (8) diagram alir, (9)

membuat program dengan perintah pengulangan proses/Looping, (10) membuat

program dengan perintah variabel berindeks

Bab III secara terpisah memang bukan bagian dari metode numerik. Tetapi

bab III akan sangat mendukung Bab IV sampai dengan VIII untuk mempercepat

proses perhitungan, karena dalam bab I dan II telah disinggung bahwa proses

perhitungan numerik akan melibatkan operasi perhitungan sangat banyak dan

berulang-ulang sehingga bantuan komputer sangat diperlukan.

KATA-KATA KUNCI

Numerik, Bahasa pemrogaman, QBASIC

12

A. Perintah dasar (CLS,PRINT,END)

1. Perintah CLS

Perintah CLS dipakai untuk membersihkan semua tulisan di layar monitor.

dengan perintah ini layar monitor akan ditempatkan di sudut kiri atas layar.

Ketikan : CLS (Enter)

2. Perintah PRINT

Perintah PRINT digunakan untuk mencetak data, baik data numerik maupun

data teks ke layar monitor. Apabila data yang ingin ditampilkan di layar

monitor dianggap data TEKS, maka data tersebut harus diapit dengan tanda

kutip (“). Apabila data yang ingin ditampilkan di layar monitor adalah data

NUMERIK, maka data tersebut ditulis tanpa diapit tanda kutip.

Contoh :

(a) Menuliskan data numerik:

PRINT 1000PRINT 3.14PRINT 9*2

(b) Menuliskan data teks:

PRINT “MAHASISWA UNIVERSITAS NEGERI MALANG”PRINT “9*2”

(c) Menuliskan data teks dan numerik

PRINT “Hasil penjumlahan 25 + 5 =”; 25+5

3. Perintah END

Perintah END digunakan untuk menghentikan pelaksanaan/eksekusi suatu

program.

Contoh:

CLSPRINT “MAHASISWA UNIVERSITAS NEGERI MALANG”END

13

B. Perintah memasukkan data (INPUT)

1. Konsep variabel

Variabel di dalam BASIC dibagi menjadi dua jenis yaitu: VARIABEL

NUMERIK dan VARIABEL TEKS atau VARIABEL STRING. Variabel teks

selalu diakhiri dengan tanda dollar ($), sedang variabel numerik tidak boleh

diakhiri dengan tanda dollar.

2. Perintah INPUT

Perintah INPUT digunakan untuk memasukkan data ke dalam variabel.

Contoh :

CLSINPUT “Siapa nama anda” ; NAMA$INPUT “Tahun berapa anda lahir”; TAHUNPRINT “HALO SENANG BERKENALAN DENGAN ANDA”;NAMA$PRINT “ANDA BERUSIA”; 2000 - TAHUNENDRUNSiapa nama anda ? NUGI (Enter)Tahun berapa anda lahir ? 1980 (Enter)HALO SENANG BERKENALAN DENGAN ANDA NUGIANDA BERUSIA 20

3. Operator aritmatika

Operator aritmatika didalam BASIC memiliki bentuk dan derajat sebagai berikut,

Jenis operator aritmatika Penulisan dalam BASIC DerajatTanda pangkat ^ Tertinggi

Tanda kali * MenengahTanda bagi /

Tanda penjumlahan + RendahTanda pengurangan -

Yang dimaksud derajat adalah operator yang memiliki derajat tertinggi akan

dikerjakan lebih dahulu, dilanjutkan yang menengah dan terakhir yang terendah.

Contoh :

50*4/2+2 = 102 bukan 50

9/3+2^2 = 7 bukan 25

14

Untuk menghasilkan suatu persamaan yang kita inginkan dapat dilakukan dengan

memberikan kurung.

Contoh:

(50*4)/(2+2) = 50

((9/3)+2)^2 = 25

C. Percabangan tak bersyarat (GOTO)

Komputer selalu melaksanakan program secara urut baris demi baris

Contoh:

CLSPRINT “SAYA”PRINT “NAIK”

10 PRINT “KUDA”ENDRUNSAYANAIKKUDA

.Akan tetapi dengan perintah GOTO, anda bisa memaksa komputer untuk

meloncat ke nomor baris tertentu.

CLSPRINT “SAYA”GOTO 10PRINT “NAIK”

10 PRINT “KUDA”ENDRUNSAYAKUDA

15

D. Percabangan bersyarat (IF ...... THEN, IF ...... THEN ..... ELSE ......)

1. Pengertian operator relasional dan kondisi

Operator relasional adalah operator yang digunakan untuk

menghubungkan sebuah nilai dengan nilai yang lain. Operator relasional terdiri

dari:

= : sama dengan<> : tidak sama dengan< : lebih kecil> : lebih besar<= : lebih kecil atau sama dengan>= : lebih besar atau sama dengan

Semua pernyataan matematika yang menggunakan operator relasional disebut

KONDISI. Sebuah KONDISI hanya memiliki sebuah nilai saja pada suatu saat

yaitu bernilai BENAR atau SALAH.

2. Percabangan bersyarat dengan IF ......... THEN

Format pernyataan IF ....... THEN adalah sebagai berikut:

IF [kondisi] THEN [perintah]

Pernyataan IF ...... THEN selalu memeriksa [kondisi] yang berada di belakang

perintah IF terlebih dahulu.

- Apabila [kondisi] tersebut bernilai BENAR, maka [perintah] yang berada di

belakang THEN akan dilaksanakan.

- Apabila [kondisi] tersebut bernilai SALAH, maka [perintah] yang berada di

belakang THEN akan tidak dilaksanakan dan lansung dilanjutkan ke baris

berikutnya.

Contoh:

CLSINPUT “BERAPA USIA KAMU”; UMURIF UMUR >= 17 THEN GOTO 10PRINT “KAMU MASIH KECIL, DILARANG MENONTON”GOTO 20ENDIF

10 PRINT “SELAMAT MENONTON”20 END

RUNBERAPA USIA KAMU ? 17SELAMAT MENONTONOk

16

BERAPA USIA KAMU ? 10KAMU MASIH KECIL, DILARANG MENONTONOk

3. Percabangan bersyarat dengan IF ......... THEN ....... ELSE ..........

Pernyataan percabangan tak bersyarat dapat dikembangkan pemakaiannya

dengan menambahkan persyaratan ELSE. Penulisan IF ... THEN ... ELSE ....

adalah:

IF [kondisi] THEN [perintah-1] ELSE [perintah-2]

Keterangan:

- Apabila [kondisi] bernilai BENAR, maka [perintah-1] akan dilaksanakan, lalu

dilanjutkan ke ke nomor baris berikutnya.

- Apabila [kondisi] bernilai SALAH, maka [perintah-2] akan dilaksanakan, lalu

dilanjutkan ke ke nomor baris berikutnya.

Contoh:

CLSINPUT “BERAPA UMUR KAMU”;AIF A >=17 THEN PRINT “SELAMAT MENONTON” ELSE PRINT “KELUAARRR ...”END

E. Diagram alir (FLOWCHART)

Diagram alir sangat membantu dalam pembuatan program yang terstruktur

dengan baik. Diagram alir adalah gambaran dari urutan langkah-langkah

penyelesaian suatu masalah dengan menggunakan simbol-simbol tertentu.

Diagram alir adalah jembatan antara ide di dalam pikiran anda dengan program di

dalam bahasa komputer. Dari diagram alir, anda bisa mengetahui logika serta

aliran proses yang terjadi di dalam program. Simbol-simbol yang digunakan

adalah:

17

Simbol Kegunaan

Mulai atau berhenti

Perhitungan atau proses

Masukan atau keluaran

Pengambilan keputusan

Arah aliran proses selanjutnya

Penghubung dalam satu halaman

Contoh:

Misalkan anda akan melakukan proses pembagian A = B/C. Hal yang penting

untuk dipikirkan adalah bahwa C tidak boleh berharga nol. Diagram alir untuk

masalah ini dapat digambarkan sebagai berikut:

18

A

Listing programnya berbentuk sebagai berikut:

CLSINPUT BINPUT CIF C = 0 THEN PRINT “TIDAK DIDEFINISIKAN”GOTO 10END IFA = B/CPRINT A

10 END

19

MULAI

INPUT BINPUT C

APAKAHC = 0

PRINT “TIDAK DIDEFINISIKAN”

A = B/C

PRINT A

SELESAI

F. Pengulangan proses /Looping (FOR .... TO ..... STEP ..... NEXT

Salah satu keuntungan komputer adalah bahwa komputer mampu

melakukan proses berulang dengan cepat dn akurat. Dalam bahasa pemrograman

QBASIC perintah yang digunakan adalah FOR TO STEP NEXT dengan bentuk

format:

FOR [variabel counter] = [A] TO [B] (STEP [C])

{ ------------ bagian program yang diulang -------}

NEXT [variabel counter]

FOR dan NEXT harus selalu berpasangan. Keduanya harus ada. Baris-baris

program yang berada diantara FOR dan NEXT akan diulang beberapa kali

tergantung nilai A, B, dan C.

- [variabel counter] berfungsi sebagai penghitung banyaknya pengulangan

proses. Variabel ini harus variabel numerik

- [A] adalah harga awal counter

- [B] adalah harga akhir counter

- (STEP [C]) boleh dipakai dan boleh tidak (tergantung kebutuhan). C adalah

besarnya kenaikan variabel counter.

Apabila STEP [C] tidak digunakan maka harga counter akan dinaikkan satu demi

satu mulai dari harga awal [A] sampai harga akhir [B]. Apabila STEP [C]

digunakan maka:

- Jika nilai C positip, maka setiap kali proses pengulangan dilakukan, harga

counter akan dinaikkan sebesar C mulai dari harga awal A sampai harga akhir

B.

- Jika nilai C negatip, maka setiap kali proses pengulangan dilakukan, harga

counter akan diturunkan sebesar C mulai dari harga awal A sampai harga

akhir B.

- Jika C = 0 maka pengulangan proses tidak akan berhenti.

Contoh:

CLSFOR I = 1 TO 10 STEP 1PRINT “NILAI KE =”; INEXT IEND

20

Ada kalanya dalam pembuatan suatu program anda harus meletakkan suatu LOOP

di dalam LOOP lain. Pengulangan proses seperti ini disebut LOOP BERGANDA

(NESTED LOOP). Hal yang perlu diperhatikan disini adalah variabel counter

yang digunakan masing-masing FOR NEXT harus berbeda.

Contoh:

CLSFOR A = 1 TO 2FOR B = 1 TO 3PRINT”LOOPING A KE =”;A;”LOOPING B KE =”;B loop loopNEXT B dalam luarNEXT AEND

G. Variabel berindeks (DIM)

Variabel berindeks digunakan ketika anda menginginkan sebuah variabel

berisi banyak nilai. Sebagai gambaran sederhana variabel indeks dapat

dibayangkan seperti sebuah hotel dengan nama tertentu yang memiliki banyak

kamar. Nama hotel tersebut adalah nama variabel, sedangkan jumlah kamarnya

adalah jumlah indeksnya. Didalam pemrograman QBASIC, penulisan variabel

berindeks dinyatakan dengan perintah DIM dengan bentuk format:

DIM [variabel1(N)], [variabel2(M)], .........

N dan M adalah indeks tertinggi yang akan dipakai untuk variabel yang dipesan.

Kumpulan variabel berindeks disebut VARIABEL ARRAY. Ada dua jenis

variabel array yaitu variabel array numerik dan variabel array string. Variabel

array numerik hanya dapat digunakan untuk menyimpan deretan data numerik

saja., sedangkan variabel array string hanya dapat digunakan untuk menyimpan

deretan data string.

21

Contoh:

CLSDIM A(14), A$(12), B(14)FOR I = 0 TO 13A(I) = I : B(I) = 5*I variabel array numerikPRINT A(I) : PRINT B(I)NEXT IFOR Z = 1 TO 12A$(Z) = “VERA” variabel array stringNEXT ZPRINTPRINT A$(11)END

Variabel berindeks dapat dibuat menjadi dua indeks/dua dimensi dengan bentuk

format

DIM [variabel1(N,M)], [variabel2(J,K)], .............

Contoh:

Program untuk menjumlahkan matrik A dan B dengan bentuk matrik sebagai

berikut:

1 3 5 7 6 10+ =

2 4 6 8 8 12

Matrik A Matrik B Matrik C

CLSDIM A(2,2), B(2,2), C(2,2)A(1,1) = 1 : A(1,2) = 3 : A(2,1) = 2 : A(2,2) = 4B(1,1) = 5 : B(1,2) = 7 : B(2,1) = 6 : B(2,2) = 8FOR BARIS =1 TO 2FOR KOLOM = 1 TO 2C(BARIS,KOLOM) = A(BARIS,KOLOM) + B(BARIS,KOLOM)NEXT KOLOMNEXT BARISFOR BARIS =1 TO 2FOR KOLOM = 1 TO 2PRINT C(BARIS,KOLOM);NEXT KOLOMPRINTNEXT BARISEND

22

RINGKASAN

23

1. Perintah CLS dipakai untuk membersihkan semua tulisan di layar monitor

2. Perintah PRINT digunakan untuk mencetak data, baik data numerik maupun data teks ke layar monitor

3. Perintah END digunakan untuk menghentikan pelaksanaan /eksekusi suatu program

4. Variabel di dalam QBASIC dibagi menjadi dua jenis yaitu: variabel numerik dan variabel teks atau variabel string ($)

5. Perintah INPUT digunakan untuk memasukkan data ke dalam variabel

6. Operator aritmatika didalam QBASIC memiliki bentuk dan derajat tertentu.

7. Perintah GOTO, digunakan untuk memaksa perintah meloncat ke nomor baris tertentu

8. Operator relasional adalah operator yang digunakan untuk menghubungkan sebuah nilai dengan nilai yang lain

9. Pernyataan percabangan bersyarat IF . THEN selalu memeriksa [kondisi] yang berada di belakang perintah IF terlebih dahulu. Format pernyataan IF ....... THEN adalah sebagai berikut:

IF [kondisi] THEN [perintah]- Apabila [kondisi] tersebut bernilai BENAR, maka [perintah]

yang berada di belakang THEN akan dilaksanakan.- Apabila [kondisi] tersebut bernilai SALAH, maka [perintah]

yang berada di belakang THEN akan tidak dilaksanakan dan lansung dilanjutkan ke baris berikutnya.

10. Diagram alir adalah gambaran dari urutan langkah-langkah penyelesaian suatu masalah dengan menggunakan simbol-simbol tertentu. Diagram alir adalah jembatan antara ide di dalam pikiran dengan program di dalam bahasa komputer

11. Salah satu keuntungan komputer adalah bahwa komputer mampu melakukan proses berulang dengan cepat dn akurat. Dalam bahasa pemrograman QBASIC perintah yang digunakan adalah FOR TO STEP NEXT dengan bentuk format:

FOR [variabel counter] = [A] TO [B] (STEP [C]){ ------------ bagian program yang diulang -------}NEXT [variabel counter]

12. Variabel berindeks digunakan ketika sebuah variabel berisi banyak nilai. Penulisan variabel berindeks dinyatakan dengan perintah DIM dengan bentuk format:

DIM [variabel1(N)], [variabel2(M)], .........

LATIHAN

1. Sebutkan jenis-jenis variabel yang dikenal dalam QBASIC, jelaskan

perbedaannya.

2. (a) Apakah yang dimaksud dengan operator aritmatika

(b) Sebutkan operator aritmatika yang dikenal oleh QBASIC

(c) Jelaskan derajat (hirarki) operator yang terdapat di dalam aritmatika

(d) Apakah kegunaan tanda kurung () sehubungan dengan derajat (hirarki)

operator aritmatika ?

3. Dari sederetan variabel di bawah ini, manakah yang dapat diterima oleh

QBASIC ? Tentukan jenis variabel tersebut

(a) J (b) J$ (c) XANCOL (d) PI(e) 7F (f) Z0 (d) J6 (H) J$6(i) J6$ (k) C10 (k) N$ (l) Y*B(m) $J6 (n) M 5 (o) J – 1 (p) K.0(q) AL$$

4. Tunjukkan kesalahan yang terdapat pada program berikut ini, lalu perbaiki

kesalahan tersebut.

CLSINPUT “A = BINPUT C =” CD$ = A “; +;” CPRINT “D”END.

5. Tulislah perintah untuk menghitung besarnya D bila Anda hanya mengetahui

persamaan berikut ini (A, B dan C dianggap diketahui)

(a) A/B = C/D + 3 (b) A + B = C/(C + D)(c) D(C + A) = B + D (d) (A+B)/(A-B) = (C-D)/(C+D)

6. Sebutkan 6 buah operator relasional yang digunakan oleh QBASIC

7. (a) Apakah kegunaan pernyataan IF ... THEN

(b) Jelaskan cara kerja IF .... THEN

(c) Apakah kegunaan pernyataan IF ..... THEN ..... ELSE

24

8. Apakah diagram alir itu

9. Untuk keperluan perhitungan tertentu, diperlukan dua jenis persamaan:

- persamaan jenis pertama : A + B = C A – B = D

- persamaan jenis kedua : 2A + B = C A + 2B = D

Buatlah diagram alir kemudian listing suatu program yang akan melakukan urutan

proses berikut:

- menanyakan nilai C dan D- menanyakan jenis persamaan yang akan digunakan (1 atau 2)- jika jenis persamaan = 1, maka akan dilakukan perhitungan besarnya A dan B

sesuai dengan rumus yang berlaku untuk jenis persamaan 1.- jika jenis persamaan = 2, maka akan dilakukan perhitungan besarnya A dan B

sesuai dengan rumus yang berlaku untuk jenis persamaan 2.

10. Buatlah diagram alir dan listing program untuk menjumlahkan N buah

bilangan. Bilangan-bilangan tersebut dimasukkan dengan pernyataan INPUT.

11. Buatlah diagram alir dan program untuk menghitung faktorial suatu bilangan.

Catatan: N ! = N faktorial = N x (n-1) x (n-2) x ....... x 2 x 1

12. Buatlah diagram alir dan program untuk mengolah nilai N orang murid. Setiap

orang murid memiliki 2 buah nilai, yaitu NL1 dan NL2. Carilah rata-rata

kedua nilai tersebut dan simpan di variabel NR. Seorang murid akan berstatus

LULUS, apabila NR yang dimilikinya lebih dari atau sama dengan 55.

Apabila NR kurang dari 55, maka murid yang bersangkutan dinyatakan

GAGAL. Tampilkan hasilnya dalam format tabel seperti di bawah ini.

NO NAMA NILAI-1 NILAI-2 RATA-RATA STATUS

25

BAB IV

AKAR – AKAR PERSAMAAN

TUJUAN PEMBELAJARAN


1. menjelaskan macam-macam persamaan polinomial

2. menjelaskan pengertian akar persamaan

3. menjelaskan metode analitis dan grafis yang dapat digunakan untuk mencari

akar-akar persamaan

4. menghitung akar persamaan dengan metode interpolasi linier

5. membuat program metode interpolasi linier dalam bahasa QBASIC

6. menghitung akar persamaan dengan metode Newton - Raphson

7. membuat program metode Newton-Raphson dalam bahasa QBASIC

26


MACAM-MACAM

KESALAH- AN


AKAR-AKARPERSA-MAAN

AKAR-AKARPERSA-MAAN

SISTEM PERSAMA

-AN LINIER

ANALI-SIS RE-GRESI

INTER-POLASI

INTEGRASI NUMERIK

DESKRIPSI

Bab IV akan membahas materi macam-macam persamaan polinomial,

pengertian akar persamaan, metode analitis dan grafis yang dapat digunakan untuk

mencari akar-akar persamaan, menghitung akar persamaan dengan metode

interpolasi linier, menghitung akar persamaan dengan metode Newton –

Raphson,. Dalam bab ini Anda akan mulai diperkenalkan manfaat program

komputer untuk membuat program numerik meliputi pembuatan program metode

interpolasi linier dan Newton-Raphson dalam bahasa QBASIC

Pada bab I sampai dengan bab III Anda telah mempelajari konsep dasar

penyelesaian persamaan matematika dengan metode numerik, macam-macam

kesalahan, dan bahasa pemrograman QBASIC. Dalam bab IV anda dapat

mempelajari macam-macam persamaan-persamaan polinomial dan metode

numerik mencari akar-akar persamaan. Dalam bab IV Anda mulai mempelajari

penggunaan bahasa pemrograman QBASIC untuk membantu proses perhitungan

metode numerik. Bab IV ini merupakan dasar pengenalan penggunaan metode

numerik untuk menyelesaikan suatu persamaan matematika. Dalam bab-bab

selanjutnya Anda akan lebih banyak mengenal metode numerik untuk

menyelesaikan permasalahan matematika. Agar pada bab V sampai dengan bab

VIII Anda tidak mengalami kesulitan, maka disarankan kepada Anda untuk benar-

benar mendalami pengertian metode pendekatan yang diambil oleh metode

numerik, teori kesalahan, bagan alir dan bahasa pemrograman QBASIC dalam

menyelesaikan persamaan matematika pada bab IV ini.

KATA-KATA KUNCI

Metode numerik, akar-akar persamaan, metode interpolasi linier dan Newton-

Raphson

27

A. Pengertian Akar-Akar Persamaan

Anda masih ingat bentuk persamaan berikut

ax2 + bx + c = 0

Bentuk persamaan di atas disebut persamaan polinomial derajad dua. karena

mempunyai nilai pangkat tertinggi adalah dua. Untuk mencari nilai “x” atau akar-

akar persamaannya jika konstanta a, b dan c diketahui dapat dicari secara analitis

dengan rumus :

x12 =

Untuk polinomial berderajat tiga atau empat, rumus-rumus yang ada

sangat kompleks dan bahkan jarang sekali digunakan. Sedang untuk persamaan-

persamaan dengan derajad yang lebih tinggi tidak ada rumus yang dapat

digunakan untuk menyelesaikannya. Bentuk persamaan tersebut misalnya adalah:

f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0f(x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 – 3x – 1 = 0f(x) = ex – 3x = 0f(x) = 3x + sinx – ex = 0

dan sebagainya.

Bentuk-bentuk persamaan seperti tersebut di atas sulit atau tidak mungkin

diselesaikan secara eksplisit.

Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk

persamaan tersebut secara perkiraan sampai diperoleh hasil yang mendekati

penyelesaian eksak.

Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi),

sedemikian sehingga setiap hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya.

Dengan melakukan sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya

didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan

toleransi kesalahan yang diikinkan.

Salah satu cara yang paling sederhana untuk mendapatkan penyelesaian

perkiraan adalah dengan menggambarkan fungsi tersebut dan kemudian dicari

titik potongannya dengan sumbu x yang menunjukkan akar dari persamaan

tersebut (gambar 4.1). tetapi cara ini hanya memberikan hasil yang sangat kasar,

karena sangat sulit untuk menetapkan nilai sampai beberapa digit di belakang

koma hanya dengan membaca gambar. metode lain untuk menyelesaikan

28

persamaan tersebut adalah dengan cara coba banding, yaitu dengan mencoba nilai

x sembarang kemudian dievaluasi apakah nilai f(x) = 0. Jika nilai x tidak sama

dengan nol kemudian dicoba nilai x yang lain. Prosedur ini diulang terus sampai

akhirnya didapat nilai f(x) = 0, untuk suatu nilai x tertentu, yang merupakan akar

dari persamaan yang diselesaikan.

f(x)

akar persamaan

Gambar 4.1. Akar persamaan dari fungsi f(x)

Kedua cara tersebut adalah tidak efisien dan tidak sistematis. Ada

beberapa metode yang juga merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih

sistematis untuk menghitung akar-akar persamaan. Metode-metode tersebut akan

dipelajari pada sub bab berikut.

B. Metode Interpolasi Linier

Metode interpolasi linier dikenal juga dengan metode false position.

Metode ini mencari akar persamaan berdasarkan interpolasi dua nilai dari fungsi

yang mempunyai tanda berlawanan.

Mula-mula dicari nilai fungsi untuk setiap interval x yang sama sampai

akhirnya didapat dua nilai fungsi f(xn) dan f(xn+1) berturutan yang mempunyai

tanda berlawanan (gambar 4.2). dari kedua nilai fungsi f(xn) dan f(xn+1) ditarik

garis lurus sehingga terbentuk suatu segitiga. Dengan menggunakan sifat segitiga

sebangun, didapat persamaan berikut:

=

29

*)()(

)(

ff

f

x* = xn+1 - (4-1)

y

f(xn+1)

f(xn+1) – f(xn)

xn x* xn+1

xn+1 – x* X

xn+1 - xn

Gambar 4.2. Metode interpolasi linier

Nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai f(x*), yang kemudian

digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f(xn) atau f(xn+1) sedemikian

sehingga kedua fungsi tersebut mempunyai tanda berbeda. prosedur ini diulang

lagi sampai didapat niali f(x*) mendekati nol. Gambar 4.3 menunjukkan logika

prosedur hitungan dari metode interpolasi linier.

30

Hitung fungsi untuk interval x yang sama sehingga didapat f(xn) dan f(Xn+1) dengan tanda berbeda

Hitung x* dan f(x*)

Apakah f(x*) dan f(xn) bertanda sama ?

xn+1 = x*

f(xn+1) = f(x*)

xn = x*

f(xn) = f(x*)

Apakahf(x*) kecil ?

SELESAI

TIDAK

YA

TIDAK

YA

Gambar 4.3. Bagan alir metode interpolasi linier

Contoh 1 :

Hitung salah satu akar dari persamaan f(x)=x3 + x2 - 3x - 3 = 0

Penyelesaian

Langkah pertama adalah menghitung nilai f(x0 pada interval antara dua

titik sedemikian sehingga pada kedua titik tersebut berlawanan tanda.

Untuk x1 = 1, f(x1 = 1) = -4

Untuk x2 = 2, f(x2 = 1) = 3

Dengan menggunakan rumus (4-1)

x* = xn+1 - (4-1)

31

= 2 -

f(x*) = (1,57142)3 + (1,57142)2 - 3(1,57142) - 3 = -1,36449

Karena f(x*) bertanda positif maka akar terletak antara x = 1,57142 dan x

= 2. Selanjutnya dihitung x*,

x* = 2 -

f(x*) = (1,70540)3 + (1,70540)2 - 3(1,70540) - 3 = -0,24784

Prosedur hitungan seperti tersebut di atas dilanjutkan sampai akhirnya didapat

nilai f(x*) 0. Tabel 4.1. menunjukkan hasil hitungan tersebut.

Tabel 4.1. Hasil hitungan dengan metode Interpolasi Linier

Jumlah Iterasi

x1 x2 x3 f(x1) f(x2) f(x3)

1 1,0 2,0 1,57142 -4,0 3,0 -1,364492 1,57142 2,0 1,70540 -1,36449 3,0 -0,247843 1,70540 2,0 1,72788 -0,24784 3,0 -0,0039364 1,72788 2,0 1,73140 -0,03936 3,0 -0,006155 1,73140 2,0 1,73194

Bentuk programnya dalam QBASIC:

'METODE INTERPOLASI LINIER10 CLS INPUT "NILAI X1 = ", X1 INPUT "NILAI X2 = ", X2 PRINT "" PRINT "Untuk Persamaan f(x) = X^3 + x^2 - 3X - 3 " PRINT "" FX1 = X1 ^ 3 + X1 ^ 2 - 3 * X1 - 3 FX2 = X2 ^ 3 + X2 ^ 2 - 3 * X2 - 3 TANDA = FX1 * FX2 IF TANDA > 0 THEN 1020 X3 = X2 - (FX2 * (X2 - X1) / (FX2 - FX1)) FX3 = X3 ^ 3 + X3 ^ 2 - 3 * X3 - 3 PRINT USING "####.#####"; X1; X2; X3; FX1; FX2; FX3 TANDA = FX1 * FX3 IF TANDA < 0 THEN X2 = X3 FX2 = FX3 ELSE X1 = X3 FX1 = FX3 END IF IF ABS(FX3) > .000001 THEN 20 END

32

C. Metoda Newton-Raphson

Metoda ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu

persamaan. Jika perkiraan awal dari akar adalah xi , suatu garis singgung dapat

dibuat dari titik (xi, f(xi)). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu

x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

f(x) Garis singgung

f(xi) A

f(xi)-0 B

0

Xi+1 Xi

Xi - Xi+1

f(x)

Gambar 4.4. Prosedur Metode newton secara grafis

Seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas, turunan pertama pada x i

adalah ekivalen dengan kemiringan.

f'(xi) =

atau

xi+1 = xi - (4-2)

Gambar 4.5. menunjukkan bagan alir dari metode Newton Raphson.

33

Pilih nilai awal xn

sembarang

Hitung xn+1 dan f(xn+1)

Apakah f(xn+1) kecil ? Selesai

xn = xn+1

ya

tidak

Gambar 4.5. Bagan alir metode Newton

Contoh 2 :

Selesaikan soal pada contoh 1 dengan metode Newton Raphson.

Penyelesaian

Persamaan yang diselesaikan

f(x)=x3 + x2 - 3x - 3 = 0

Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah:

f'(x) = 3x2 + 2x - 3

dengan menggunakan persamaan (4-2),

xi+1 = xi -

Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalnya x1 = 1,

f(x1=1) = (1)3 + (1)2 - 3(1) - 3 = -4

f'(x1=1) = 3(1) 2 + 2(1) - 3 = 2

x2 = 1 - = 3

Langkah berikutnya ditetapkan x2 = 3,

f(x2 = 3) = (3)3 + (3)2 - 3(3) - 3 = 24

f'(x1=3) = 3(3) 2 + 2(3) - 3 = 30

x3 = 3 - = 2,2

34

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam

tabel 4.2.

Tabel 4.2. Hasil hitungan dengan metode Newton Raphson

Jumlah iterasi Xi Xi+1 f(xi) f(xi+1)1 1,0 3,0 -4,0 24,02 3,0 2,2 24,0 5,8883 2,2 1,83 5,888 0,9873874 1,83 1,73778 0,987387 0,054425 1,73778 1,73207 0,05442 0,0001816


'METODE NEWTON-RAPHSON10 CLS PRINT "Metode Newton Raphson" PRINT " " PRINT "Nilai x1, x2, fx1 dan fx2 secara berurutan adalah :" PRINT "" x1 = 130 fx1 = x1 ^ 3 + x1 ^ 2 - 3 * x1 - 3 fxi1 = 3 * x1 ^ 2 + 2 * x1 - 3 x2 = x1 - (fx1 / fxi1) fx2 = x2 ^ 3 + x2 ^ 2 - 3 * x2 - 3 IF ABS(fx2) > .00001 THEN PRINT USING "####.#####"; x1; x2; fx1; fx2 x1 = x2 GOTO 30 ELSE PRINT " " END IF END

D. Aplikasi Dalam Teknik Sipil

Dalam merencanakan saluran irigasi atau drainase, data yang diketahui

biasanya adalah jenis saluran, debit yang akan dialirkan, dan bentuk penampang

saluran, kemiringan dasar saluran. Persamaan yang digunakan adalah persamaan

Manning berbentuk:

Q = 1/n . R2/3 S1/2. A

dengan:Q = Debit saluran (m3/det)n = koefisien kekasaran Manning berdasarkan jenis saluranR = Jari-jari hidrolis = A/P (m)

35

A= luas penampang basah saluran (m2) = b.h (untuk saluran berpenampang segiempat)P= Keliling basah saluran (m) = b+ 2h (untuk saluran berpenampang segiempat)S = kemiringan dasar saluran

h (kedalaman air (m))

b (lebar saluran(m))

Data yang akan dicari adalah kedalaman air (h). Jika diketahui data-data suatu

perencanaan saluran drainase sebagai berikut: debit (Q) = 10 m3/det, bentuk

penampang segiempat dengan lebar dasar saluran (b) = 1,0 m, saluran dibuat dari

pasangan batu (n=0,030) dan kemiringan dasar saluran (S) = 0,0010, carilah

kedalaman air (h) saluran tersebut.

Penyelesaian

A = b . h = 1,0 x h = hP = b+ 2h = 1 + 2 x h = 1 + 2hR = A/P = h/(1+2h)Q = 1/n . R2/3 . S1/2 . A10 = 1/0,03 . (h/(1+2h))2/3 . (0,001)1/2 . (h)

= x h

9,487 =

9,487 (1+2h)2/3 = h5/3

h5/3 - 9,487 (1+2h)2/3 = 0

persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode interpolasi

linier atau Newton Raphson untuk mencari kedalaman air (h).

RINGKASAN

36

1. Metode interpolasi linier dikenal juga dengan metode false position. Metode ini mencari akar persamaan berdasarkan interpolasi dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan. Bentuk persamaannya adalah:

x* = xn+1 -

2. Metoda Newton Raphson memberikan perkiraan awal dari akar adalah xi , suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f(xi)). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar dengan turunan pertama pada xi adalah ekivalen dengan kemiringan. Bentuk persamaannya adalah:

xi+1 = xi -

LATIHAN

Lee dan Dutfy (A.I.Ch.E. Journal, July,1976) menghubungkan faktor

kekasaran aliran suspensi partikel berserabut terhadap bilangan Reynold dengan

bentuk persamaan empiris:

= ln(RE ) +

dengan f adalah faktor kekasaran, RE adalah bilangan Reynold, dan k adalah

konstanta yang ditentukan oleh konsentrasi suspensi. Untuk suatu suspensi 0,08%,

konsentrasinya k = 0,28. Berapakah nilai f apabila RE=3750?

BAB V

SISTEM PERSAMAAN LINIER

37PENGER-TIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYA DALAMT. SIPIL

MACAM-MACAM

KESALAH- AN


AKAR-AKARPERSA-MAAN

SISTEM PERSAMA

-AN LINIER

SISTEM PERSAMA

-AN LINIER

ANALI-SIS RE-GRESI

INTER-POLASI

INTEGRASI NUMERIK

TUJUAN PEMBELAJARAN


1. menjelaskan pengertian sistem persamaan linier

2. menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode Gauss-Jordan

3. membuat program penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode

Gauss-Jordan dalam bahasa QBASIC

4. menghitung inverse dengan metode Gauss-Jordan

5. membuat program perhitungan inverse sistem persamaan linier dengan metode

Gauss-Jordan dalam bahasa QBASIC

DESKRIPSI

Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui

(anu) banyak dijumpai dalam permasalahan teknik, seperti penyelesaian numeris

38

persamaan diferensial biasa dan diferensial parsiil, analisis struktur, analisis

jaringan dan sebagainya. Sistem n persamaan tersebut biasanya berbentuk matrik

dengan ukuran yang sangat besar sehingga penyelesaiannya jika dilakukan secara

manual akan memakan waktu yang lama dan kadangkala kurang teliti. Dalam Bab

V ini Anda pertama kali akan mempelajari pengertian sistem persamaan linier dan

mengingat kembali notasi-notasi matrik. Selanjutnya Anda akan mempelajari

penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode Gauss-Jordan. Dalam bab ini

Anda juga dapat mempelajari mencari inverse dari suatu matrik yang akan

bermanfaat dalam penyelesaian permasalahan-permasalahan keteknikan Anda.

Dalam bab IV Anda telah mempelajari jenis persamaan polinomial.

Dalam bab V ini, Anda akan dihadapkan pada serangkaian persamaan polinomial

berderajat satu (persamaan linier) yang akan diselesaikan secara simultan

(serentak). Bab V merupakan dasar untuk menyelesaikan analisis regresi pada bab

VI selanjutnya.

KATA-KATA KUNCI

Metode numerik, sistem persamaan linier, metode Gauss-Jordan

A. PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui

(anu) banyak dijumpai dalam permasalahan teknik, seperti penyelesaian numeris

39

persamaan diferensial biasa dan diferensial parsiil, analisis struktur, analisis

jaringan dan sebagainya.

Di dalam penyelesaian sistem persamaan akan dicari nilai x1, x2, ....... ,xn

yang memenuhi sistem persamaan berikut,

f1(x1,x2, .............xn) = 0f2(x1,x2, .............xn) = 0

fn(x1,x2, .............xn) = 0

Sistem persamaan di atas dapat linier atau tak linier. Penyelesaian sistem

persamaan tak linier adalah sulit. Untungnya, sebagian besar permasalahan yang

ada merupakan persamaan linier. Di dalam bab ini Anda akan mempelajari sistem

persamaan linier, yang mempunyai bentuk umum berikut ini

a11x1 + a12x2 + ......... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ......... + a2nxn = b2

(5-1)

an1x1 + an2x2 + ......... + annxn = bn

dengan a adalah koefisien konstan, b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan

dari x1, x2, .......... xn adalah bilangan tak diketahui. Sistem persamaan linier pada

persamaan 5-1 tersebut dapat ditulis dalam bentuk matrik :

=

(5-2)

atau

A X = B

dengan

A : matrik koefisien n x nX : vektor kolom n x 1 dari bilangan tak diketahuiB : vektor kolom n x 1 dari konstanta

40

Di dalam penyelesaian sistem persamaan, dicari vektor kolom X

berdasarkan persamaan (5-2). Salah satu cara untuk menyelesaikannya adalah

mengalikan kedua ruas persamaan dengan matrik inverse.

A-1 A X = A-1 C

karena

A-1 A = I

maka

X = A-1 C

Dengan demikian nilai X dapat dihitung.

B. METODE GAUSS-JORDAN

Seandainya Anda mempunyai 4 sistem persamaan dengan 4 bilangan

tidak diketahui:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + a14x4 = b2 (5-3)a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3

a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = b4

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matrik

=

(5-4)

Didalam metode Gauss-Jordan, dipilih secara berurutan setiap baris

sebagai baris pivot, dengan pivot adalah elemen pertama tidak nol dari baris

tersebut.

1. Pertama kali baris pertama dari persamaan (5-4) dibagi dengan elemen pivot,

yaitu a11, sehingga didapat

=

Elemen pertama dari semua baris lainnya dihilangkan dengan cara:

a. Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan kedua (a21) dan

kemudian dikurangkan terhadap persamaan kedua.

41

b. Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan ketiga (a31) dan

kemudian dikurangkan terhadap persamaan ketiga.

c. Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan keempat (a41)

dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan keempat.

Operasi ini menghasilkan sistem persamaan berikut:

=

(5-5)

2. kemudian ditetapkan baris kedua sebagai baris pivot dan a'22 sebagai elemen

pivot. Prosedur di atas diulangi lagi untuk baris kedua.

Baris kedua dari persamaan di atas dibagi dengan elemen pivot yaitu a'22

sehingga didapat:

=

Elemen kedua dari semua baris lainnya dihilangkan dengan cara:

a. Persamaan kedua dikalikan elemen kedua dari persamaan pertama (a'12) dan

kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama.

b. Persamaan kedua dikalikan elemen kedua dari persamaan ketiga (a'32) dan

kemudian dikurangkan terhadap persamaan ketiga.

c. Persamaan kedua dikalikan elemen kedua dari persamaan keempat (a'42) dan

kemudian dikurangkan terhadap persamaan keempat.

Operasi ini menghasilkan sistem persamaan berikut:

=

(5-6)

3. Untuk langkah selanjutnya ditetapkan baris ketiga sebagai pivot. setelah itu

prosedur diulangi lagi sehingga akhirnya didapat sistem persamaan berikut:

=

(5-7)

Dari sistem persamaan (5-7) dapat dihitung nilai x1, x2, x3 dan x4

x1 = b1iv

x2 = b2iv

42

x3 = b3iv

x4 = b4iv

Contoh 1:

3x + y - z = 54x + 7y - 3z = 20 (1)2x - 2y +5z = 10

Penyelesaian:

Sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matrik berikut:

=

(2)

Baris pertama dari persamaan (2) dibagi dengan elemen pivot, yaitu 3 sehingga

persamaan menjadi:

=

Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan kedua, yaitu 4, dan

kemudian dikurangan terhadap persamaan kedua. Dengan cara yang sama untuk

persamaan ketiga, sehingga didapat:

=

Baris kedua dari persamaan di atas dibagi dengan elemen pivot, yaitu 5,6668,

sehingga sistem persamaan menjadi:

=

Persamaan kedua dikalikan dengan elemen kedua dari persamaan pertama

(0,3333) dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian

dengan cara yang sama untuk persamaan ketiga, sehingga didapat:

=

43

Persamaan ketiga dibagi dengan elemen pivot yaitu 4,8824 sehingga persamaan

menjadi:

=

Persamaan ketiga dikalikan elemen ketiga dari persamaan pertama dan kemudian

dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian dengan cara yang sama

untuk persamaan kedua, sehingga didapat:

=

Dari sistem persamaan di atas, didapat nilai x, y dan z

x = 1,5061 y = 3,1324 z = 2,6505


'MATRIKS - GAUSS JORDAN CLS DIM A(10, 10), C(10, 10), D(10, 10) PRINT "MATRIKS - METODE GAUSS JORDAN" INPUT "UKURAN MATRIK = ", N FOR I = 1 TO N FOR J = 1 TO (N + 1) PRINT "KOEFISIEN MATRIK A(";I;",";J;")=",:INPUT"",A(I,J) NEXT J PRINT NEXT I FOR LANG = 1 TO N PRINT "LANGKAH PERHITUNGAN KE = ", LANG FOR PIV = 1 TO (N + 1) C(LANG, PIV) = A(LANG, PIV) / A(LANG, LANG) NEXT PIV FOR K = 0 TO (N - 1) L = K + 1 IF L = LANG THEN GOTO 10 FOR NORM = 1 TO (N + 1) D(L, NORM) = C(LANG, NORM) * A(L, LANG) C(L, NORM) = A(L, NORM) - D(L, NORM) NEXT NORM10 NEXT K FOR ROW = 1 TO N FOR COL = 1 TO (N + 1) A(ROW, COL) = C(ROW, COL) PRINT USING "######.#####"; A(ROW, COL);

44

NEXT COL PRINT NEXT ROW PRINT NEXT LANG PRINT "HASIL PERHITUNGAN : " FOR I = 1 TO N X(I) = A(I, N + 1) PRINT "NILAI VARIABEL X("; I; ") = ", X(I) NEXT I END

C. MATRIKS INVERSE

Telah dijelaskan di atas bahwa apabila matriks A adalah bujur sangkar,

maka terdapat matriks lain yaitu A-1, yang disebut matriks inverse dari A,

sedemikian hingga:

A A-1 = A-1 A = I

dengan I adalah matrik identitas.

Selain itu juga telah ditunjukkan bahwa matriks inverse dapat digunakan untuk

menyelesaikan sistem persamaan yang berbentuk:

A X = C (5-8)

atau

X = A-1 C (5-9)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa X dapat dihitung dengan

mengalikan matriks inverse dari koefisien matriks A dengan ruas kanan dari

persamaan (5-9), yaitu C.

Matriks inverse dapat diari dengan menggunakan metode Gauss-Jordan.

Untuk itu matriks koefisien A ditingkatkan dengan matriks identitas I. Kemudian

metode Gauss-Jordan ini digunakan untuk mengubah matriks koefisien menjadi

matriks identitas, maka sisi kanan dari matriks yang ditingkatkan adalah matriks

inverse. Contoh berikut menunjukkan prosedur embuatan matriks inverse.

Contoh 2.

Akan dicari matriks inverse dari matriks berikut:

A=

Penyelesaian :

Matriks A ditingkatkan dengan matriks identitas sehingga menjadi:

45

A=

1. Ditetapkan elemen pertama dari baris pertama sebagai elemen pivot, yaitu 2.

Baris tersebut dibagi dengan elemen pivot (2) sehingga didapat:

A=

Baris kedua dan ketiga dikurangi oleh baris pertama

A=

2. Baris kedua ditetapkan sebagai baris pivot, kemudian baris tersebut dibagi

dengan elemen pivot, yaitu 3/2.

A=

Kemudian baris kedua dikalikan dengan 1/2 dan hasilnya digunakan untuk

mengurangi persamaan pertama dan ketiga,

A=

3. Persamaan ketiga ditetapkan sebagai baris pivot dan kemudian baris tersebut

dibagi dengan elemen ivot, yaitu 4/3.

A=

Baris pertama dan kedua dikurangi dengan baris ketiga yang dikalikan dengan

1/3.

A=

46

Dengan demikian didapat matriks inversenya adalah:

A-1 =


'MATRIKS INVERS CLS DIM A(10,10),C(10,10),D(10, 10) PRINT "MATRIKS INVERS " INPUT "UKURAN MATRIK =",N FOR I = 1 TO N FOR J = 1 TO N PRINT"KOEFISIEN MATRIK A(";I;",";J;")=";:INPUT"",A(I, J) NEXT J PRINT NEXT I FOR I = 1 TO N FOR J = 1 TO (2 * N) IF J < (N + 1) THEN C(I, J) = A(I, J) GOTO 1 ELSE IF J = N + I THEN C(I, J) = 1 ELSE C(I, J) = 0 END IF END IF1 NEXT J NEXT I PRINT "MATRIK YANG DIMAKSUDKAN" FOR I = 1 TO N FOR J = 1 TO (2 * N) A(I, J) = C(I, J) PRINT USING "######.#####"; A(I, J); NEXT J PRINT NEXT I FOR LANG = 1 TO N PRINT "LANGKAH PERHITUNGAN KE = "; LANG

47

FOR PIV = 1 TO (2 * N) C(LANG, PIV) = A(LANG, PIV) / A(LANG, LANG) NEXT PIV FOR K = 0 TO (N - 1) L = K + 1 IF L = LANG THEN GOTO 10 FOR NORM = 1 TO (2 * N) D(L, NORM) = C(LANG, NORM) * A(L, LANG) C(L, NORM) = A(L, NORM) - D(L, NORM) NEXT NORM10 NEXT K FOR ROW = 1 TO N FOR COL = 1 TO (2 * N) A(ROW, COL) = C(ROW, COL) PRINT USING "######.#####"; A(ROW, COL); NEXT COL PRINT NEXT ROW PRINT NEXT LANG

PRINT "NILAI MATRIK INVERSNYA ADALAH : " FOR I = 1 TO N FOR J = 1 TO N K = N + J INV(I, J) = A(I, K) PRINT USING "######.#####"; A(I, K); NEXT J PRINT NEXT I END

C. Aplikasi Dalam Teknik Sipil

Di dalam analisa struktur rangka statik tidak tentu (statically determinate

trust) dengan sambungan-sambungan simpul, tegangan (F) dalam tiap batang

dapat diperoleh dari persamaan matriks dibawah ini (hasil persamaan diperoleh

dari pengaturan jumlah seluruh gaya-gaya yang beraksi secara horisontal dan

vertikal pada tiap simpul disamadengankan ke nol)

0,7071 0 0 -1 -0,8660 0 0 0 0 00,7071 0 1 0 0,5 0 0 0 0 -10000 1 0 0 0 -1 0 0 0 00 0 -1 0 0 0 0 0 0 F = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0,7071 5000 0 0 1 0 0 0 0 -0,7071 00 0 0 0 0,8660 1 0 -1 0 00 0 0 0 -0,5 0 -1 0 0 -5000 0 0 0 0 0 0 1 0,7071 0

48

P=1000 F4 P=500

F1 F2 F5 F7 F9

450 300 450

F2 F6 F8

P=500

Dengan menggunakan metode Gauss-Jordan, maka sistem persamaan di atas

dapat diselesaikan

RINGKASAN

LATIHAN

=500,b=0,3 1

b=0,2

=0,b=0,2 4 b=0,1

2 b=0,1

b=0,2

b=0,1

3

49

1. Didalam metode Gauss-Jordan, dipilih secara berurutan setiap baris sebagai baris pivot, dengan pivot adalah elemen pertama tidak nol dari baris tersebut.

2. Matriks inverse dapat dicari dengan menggunakan metode Gauss-Jordan. Untuk itu matriks koefisien A ditingkatkan dengan matriks identitas I. Kemudian metode Gauss-Jordan ini digunakan untuk mengubah matriks koefisien menjadi matriks identitas, maka sisi kanan dari matriks yang ditingkatkan adalah matriks inverse.

Pada aliran turbulen suatu fluida dalam jaringan yang saling terkoneksi, laju aliran

V dari satu simpul ke simpul yang lain adalah kurang lebih sebanding dengan akar

kwadrat perbedaan dalam tekanannya pada simpul tersebut. Dalam jaringan pipa

tersebut Anda diminta menghitung tekanan pada tiap simpul. Nilai b

menunjukkan faktor konduktansi dalam bentuk hubungan : vii=bii(pi - pi)1/2.

Persamaan-persamaan tersebut dapat dirangkai untuk tekanan pada tiap simpul:

simpul 1: 0,3 = 0,2 + 0,2

simpul 2: 0,2 = 0,1 + 0,2

simpul 3: 0,1 = 0,2 + 0,1

simpul 4: 0,1 + 0,1 = 0,2

BAB VI

ANALISIS REGRESI

TUJUAN PEMBELAJARAN


1. menjelaskan pengertian analisis regresi

2. menghitung analisis regresi dengan metode kuadrat terkecil

3. membuat program perhitungan analisis regresi dengan metode kuadrat terkecil

dalam bahasa QBASIC

DESKRIPSI

Didalam praktek, sering dijumpai data diberikan dalam nilai diskret atau

tabel. Ada dua hal yang diharapkan dari data diskret tersebut, yaitu; (1) mencari

50


MACAM-MACAM

KESALAH- AN


AKAR-AKARPERSA-MAAN

SISTEM PERSAMA

-AN LINIERANALI-SIS RE-GRESI

ANALI-SIS RE-GRESI

INTER-POLASI

INTEGRASI NUMERIK

bentuk kurva yang dapat mewakili data diskret tersebut; (2) mengestimasi nilai

data pada titik-titik diantara nilai-nilai yang diketahui. Bab VI akan membantu

Anda untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan tersebut. Dalam bab VI

ini Anda dapat mempelajari pengertian regresi dan interpolasi, menghitung regresi

pada kurva linier dengan metode kuadrat terkecil.

Pada bab V anda telah mempelajari penyelesaian sistem persamaan linier,

dalam bab VI ini metode tersebut akan sangat membantu untuk menyelesaikan

persamaan regresi yang dicari.

KATA-KATA KUNCI

Metode numerik, analisis regresi, metode kuadrat terkecil

A. PENGERTIAN ANALISIS REGRESI

Didalam praktek, sering dijumpai data diberikan dalam nilai diskret atau

tabel. Ada dua hal yang diharapkan dari data diskret tersebut, yaitu;

1. mencari bentuk kurva yang dapat mewakili data diskret tersebut

2. mengestimasi nilai data pada titik-titik diantara nilai-nilai yang diketahui

Kedua aplikasi tersebut di atas dikenal dengan curve fitting.

Ada dua metode pendekatan di dalam curve fitting yang didasarkan pada jumlah

kesalahan yang terjadi pada data.

1. Regresi kuadrat terkecil

Regresi kuadrat terkecil dilakukan apabila data menunjukkan adanya

kesalahan cukup besar. Untuk itu dibuat kurva tunggal yang mempresentasikan

trend secara umum dari data. Karena beberapa data mungkin kurang benar, maka

kurva tidak dipaksakan untuk melalui setiap titik. Kurva dibuat mengikuti pola

dari sekelompok titik data. Seperti yang ditunjukkan dalam gambar 6.1. yang

berupa contoh hasil pengukuran, dua titik data A dan B kemungkinan mempunyai

kesalahan yang sangat besar, karena tidak mengikuti ola penyebaran titik-titik

lainnya. Curve fitting dengan menggunakan data A dan B akan menghasilkan nilai

yang juga mempunyai kesalahan.

f(x) .

51

. A

. . B

. .

. . . .

X

Gambar 6.1. Plot data pengukuran

2. Interpolasi

Apabila data diketahui sangat benar maka pendekatan yang dilakukan

adalah membuat kurva atau sejumlah kurva yang melalui setiap titik.

Gambar 6.1. menunjukkan sket kurva yang dibuat dari data yang sama

dengan cara regresi kuadrat terkecil (gambar 6.1.a.) dan interpolasi (gambar 6.2.b

dan c). Kurva pada gambar 6.2.a. tidak melalui semua titik pengukuran, tetapi

hanya mengikuti trend dari data menurut garis lurus. Gambar 6.2.b. menggunakan

segmen garis lurus atau interpolasi linier untuk menghubungkan titik-titik data.

Sedangkan gambar 6.2.c. menggunakan kurva untuk menghubungkan titik-titik

data.

f(x) ..

.. x

(a)

f(x) f(x)

52

. . . .

. . . . x x

(b) (c)

Gambar 6.2.

3. Metode Kuadrat Terkecil Untuk Kurva Linier

Bentuk paling sederhana dari regresi kuadrat terkecil adalah apabila

kurva yang mewakili titik-titik percobaan merupakan garis lurus, dengan bentuk

persamaannya adalah:

g(x) = a + b.x (6-1)

a = yi - xi.b (6-2)

b = (6-3)

Dengan menggunakan persamaan (6-2) dan (6-3) untuk menghitung koefisien a

dan b, maka fungsi g(x) dapat dicari.

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang mewakili data berikut:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 4 6 8 10 14 16 20 22 24 28

Penyelesaian

No xi yi xi . yi xi2

1 4 30 120 16

53

2 6 18 108 36

3 8 22 176 64

4 10 28 280 100

5 14 14 196 196

6 16 22 352 256

7 20 16 320 400

8 22 8 176 484

9 24 20 480 576

10 28 8 224 784

152 186 2432 2912

30 y

20

10

x

0 10 20 30

Gambar 6.3. Ploting titik-titik data pada sistem koordinat

Nilai rerata dari x dan y adalah :

= = =15,2

= = =18,6

Persamaan garis yang mewakili titik-titik data adalah:

y = a = b.x

54

dengan

b = = = - = -0,6569

a = - b = 18,6 + 0,6569x15,2 = 28,5849

Jadi persamaan garis adalah:

y = 28,5849 - 0,6569 x


'ANALISA REGRESICLSPRINT " ANALISA REGRESI - METODE INTERPOLASI LINIER"PRINT ""INPUT "BANYAKNYA DATA = ", NFOR I = 1 TO NPRINT "NILAI X KE "; I; " = ";INPUT "", X(I)PRINT "NILAI Y KE "; I; " = ";INPUT "", Y(I)NEXT ISUMA = 0SUMB = 0SUMC = 0SUMD = 0FOR I = 1 TO NSUMA = SUMA + (X(I) * Y(I))SUMB = SUMB + X(I)SUMC = SUMC + Y(I)SUMD = SUMD + (X(I)) ^ 2NEXT Ib = ((N * SUMA) - (SUMB * SUMC)) / ((N * SUMD) - (SUMB) ^ 2)PRINT ""PRINT "NILAI B = "; bYRAT = SUMC / NXRAT = SUMB / Na = YRAT - b * XRATPRINT "NILAI A = "; aPRINT ""PRINT "Jadi Persamaan Garis adalah : y = "; a; " + ("; b; ")x"END

55

RINGKASAN

LATIHAN

Serangkaian nilai-nilai kecepatan pada berbagai kedalaman suatu potongan

melintang saluran terbuka di berikan dalam skala semi-logaritma dengan z adalah

jarak dari dasar (dalam 'm') dan u adalah kecepatan air (cm/dt) diberikan dalam

tabel berikut ini:

x=ln z 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

56

1. Regresi kuadrat terkecil dilakukan apabila data menunjukkan adanya kesalahan cukup besar. Untuk itu dibuat kurva tunggal yang mempresentasikan trend secara umum dari data

2. Metode kuadrat terkecil untuk kurva linier bentuk persamaannya adalah: g(x) = a + b.x

a = yi - xi

b =

f=u 20 30 40 50 50 60 70 0 90 95 100

Tugas Anda adalah:

1. Hitung dan gambarkan persamaan regresinya ?

2. carilah kecepatan air pada kedalaman 3,5 m?

DAFTAR PUSTAKA

Gerald.,C.F., Wheatley., P.G. 1983. Applied Numerical analysis. Addison-Wesley Publishing Company. California. USA.

Koutitas.,C.G. 1983. Elements Of Computational Hydraulics. Pentech Press. London

Triatmodjo., B. 1992. Metode Numerik. Beta Offset. Yogyakarta

57

BUKU NUMERIK.doc

Documents

Transcript of BUKU NUMERIK.doc