BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ......

40
JILID 1 Oleh: Zainal Arif, ST. MT. Fakultas Teknik JurusanTeknik Mesin Universitas Samudra Langsa 2014 BUKU AJAR

Transcript of BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ......

Page 1: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

JILID 1

Oleh:

Zainal Arif, ST. MT.

Fakultas Teknik

JurusanTeknik Mesin

Universitas Samudra

Langsa

2014

BUKU AJAR

Page 2: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Kata Pengantar

Alhamdulillah puji syukur kehadirat Allah SWT., Penulis Telat menyusun sebuah

buku Ajar Mekanika Kekuatan Material I. Buku ini digunakan untuk buku pegangan bagi

mahasiswa teknik Mesin universitas Samudra Langsa yang mengambil matakuliah

Mekanika Kekuatan Material I. Dalam penyusunan buku ajar ini, penulis menyadur

beberapa buku text book yang berkaitan dengan matakuliah ini dan juga beberapa buku

ajar/pegangan yang terkait serta browsing internet.

Untuk memperlancar perkuliahan ini, penulis menyiapkan diktat yang ditujukan

untuk mata kuliah Mekanika Kekuatan Material I, dan dalam penyusunan buku ini

penulis berusaha menyesuaikan materinya dengan kurikulum di jurusan Teknik Mesin

Universitas Samudra. Perlu diketahui bahwa buku ini belum merupakan referensi lengkap

dari pelajaran Mekanika Kekuatan Material, sehingga mahasiswa perlu untuk membaca

buku-buku referensi lainnya untuk melengkapi pengetahuannya tentang materi mata

kuliah ini. Dan Penulis menyadari buku ini masih jauh dari kesempurnaan, dan penulis

masih memerlukan penyempurnaan materi-materi yang lebih menarik dimasa yang akan

datang.

Akhirul kalam, mudah-mudahan buku ini bisa menjadi manfaat dan penuntun

bagi mahasiswa sebagaimana yang diharapkan. Tak lupa penulis mengucapkan terima-

kasih yang tak terhingga kepada pihak-pihak yang telah banyak membantu dalam

penyelesaian buku ini.

Langsa, 10 Oktober 2014

Wassalam

Penulis

(ZAINAL ARIF, ST.MT.)

NIDN. 0127037204

Page 3: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR …………………………………………………………………. i

DAFTAR ISI …………………………………………………………………………… ii

BAB 1. TEGANGAN, REGANGAN, HOOK DAN POISON RATIO …………….. 1

1.1. Tegangan …………………………………………………………… 3

1.2. Regangan …………………………………………………………… 3

1.3. Elastis Linier, Hukum Hooke ………………………………………. 4

1.4. Rasio Poisson ………………………………………………………. 5

1.5. Tegangan dan Regangan Geser …………………………………….. 7

1.6. Hukum Hook untuk Geser ………………………………………….. 7

1.7. Tegangan Izin dan Beban Izin ……………………………………… 12

1.8. Modulus Bulk ………………………………………………………. 16

1.9 Hubungan Antara Modulus Bulk dengan Modulus Young ………… 16

BAB 2. DEFLEKSI PADA STRUKTUR …………………………………………… 19

2.1. Deformasi Benda Karena Gaya Yang Bekerja ……………………... 19

2.2. Defleksi Pada Batang Akibat Beban Aksial ………………………... 21

2.3. Defleksi Pada Struktur Statis Tak Tentu …………………………… 28

BAB 3. KESETIMBANGAN GAYA DENGAN METODE POTONG ……………. 37

3.1. Kesimbangan Gaya dan Momen Pada Batang …………………….. 37

3.2. Kesimbangan Gaya Pada Batang dengan gaya terdistribusi Merata .. 41

BAB 4. GAYA GESER DAN MOMEN LENTUR …………………………………. 45

4.1. Gaya Geser dan Momen Lentur ……………………………………. 45

4.2. Hubungan Beban Antara Beban, Gaya Geser, dan Momen Lentur ... 48

4.3. Tegangan Pada Balok ………………………………………………. 52

4.4. Lentur Murni dan Lentur Tak Sragam ……………………………... 53

4.5. Kelengkungan Balok ……………………………………………….. 54

4.6. Regangan Longitudinal Balok …………………………………........ 56

4.7. Tegangan Normal di Balok (elastik linier) …………………………. 57

4.8. Hubungan Momen Kelengkungan ………………………………….. 58

BAB 5. TORSI ………………………………………………………………………. 63

5.1. Definisi Torsi ………………………………………………………. 63

5.2. Deformasi Torsional Batang Lingkaran ……………………………. 64

5.3. Batang Lingkaran dari Bahan yang Elastis Linier ………………….. 66

5.4. Rumus Torsi ………………………………………………………... 67

Page 4: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

BAB 6 TRUSS dan Frame ………………………………………………………….. 74

6.1. Truss ………………………………………………………………... 74

6.1.1. Type-type Truss ……………………………………………… 74

6.1.2. Prosedur Analisa Truss ………………………………………. 75

6.2. Frame ……………………………………………………………….. 83

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………... 85

LAMPIRAN-LAMPIRAN ……………………………………………………………... 86

Page 5: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

1

BAB I

TEGANGAN, REGANGAN, HOOK DAN POISON RATIO

1.1. Tegangan

Mekanika bahan adalah cabang ilmu dari mekanika terapan yang membahas

perilaku benda padat yang mengalami berbagai pembebanan. (Gere &

Timoshenko,1996). Adapun benda padat yang akan dianalisa pada buku ini adalah batang

(bar) yang mengalami beban aksial, poros (shaft) yang mengalami beban torsi, balok

(beam) yang mengalami beban lentur, dan kolon (column) yang mengalami beban tekan.

Tujuan utama dalam mekanika bahan adalah menentukan tegangan (stress), regangan

(strain), dan perubahan panjang (displacement) pada struktur dan komponen-

komponennya akibat beban yang bekerja padanya. Apabila nilai besaran-besaran ini

menyebabkan kegagalan, maka kita mempunyai gambaran tentang perilaku mekanis pada

struktur tersebut. Pemahaman perilaku mekanis sangat penting untuk design yang aman

pada semua jenis struktur.

Setiap material adalah elastis pada keadaan alaminya. Karena itu jika gaya luar

bekerja pada benda, maka benda tersebut akan mengalami deformasi. Ketika benda

tersebut mengalami deformasi, molekulnya akan membentuk tahanan terhadap deformasi.

Tahanan ini per satuan luas dikenal dengan istilah tegangan. Secara matematik tegangan

bisa didefinisikan sebagai gaya per satuan luas.

Konsep dasar dalam mekanika bahan adalah tegangan dan regangan. Untuk

memahami konsep ini dapat ditinjau pada sebuah benda berbentuk batang prismatik

seperti pada gambar 1.1.

Gambar 1.1. batang prismatik

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

Dengan asumsi bahwa tegangan terbagi merata pada setiap batang (gambar 1.1c)

maka dapat diturunkan rumus untuk menghitung tegangan adalah:

Page 6: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

2

𝜎 = 𝑃

𝐴

Dimana: Οƒ = tegangan normal (N/mm2). P = Besar gaya yang bekerja (N). A=

Luas penampang (mm2)

Contoh Soal 1.

Sebuah batang selinder seperti pada gambar 1.1. diberi beban tarik P sebesar 6 N

pada ujung selinder dengan diameter penampang 2 mm. Hitung besar tegangan yang

bekerja pada batang tersebut?

Jawab:

Untuk menjawab contoh soal ini, digunakan persamaan (1.1), adalah:

𝜎 = 𝑃

𝐴=

6 𝑁

πœ‹ 𝑑2

4⁄=

6 𝑁

3,14 . 22

4

= 1,91 𝑁/π‘šπ‘š2

Contoh soal 2.

Jawab:

Dengan menggunakan persamaan (1.1) peroalan contoh 2 adalag:

𝜎 = 𝑃

𝐴=

6 π‘πœ‹4 (𝑑2

2 βˆ’ 𝑑12)

= 6 𝑁

πœ‹4 (( 5 𝑖𝑛)2 βˆ’ ( 3,6 𝑖𝑛)2)

= 9,456 𝑝𝑠𝑖

Dari eksperimen ditemukan bahwa regangan aksial yang terjadi pada sebuah benda

selalu diikuti regangan dengan tanda yang berlawanan pada bagian lain yang tegak lurus

terhadapnya. Secara umum, terdapat dua jenis regangan pada benda jika benda tersebut

mengalami tegangan: 1. Regangan primer atau linier. 2. Regangan sekunder atau lateral.

………………………………. (1.1)

P = 54

ksi

L 40 in

Sebuah tabung terbuat dari aluminium, seperti pada gambar

contoh soal no 2., mengalami beban tekan dengan beban 54

kips, dimanan diameter dalam adalah 3,6 in, dan diameter

luar adalah 5 in, Hitung tegangan yang terjadi pada tabung

tersebut?

Gambar contoh soal no 2

Page 7: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

3

Regangan Primer atau Linier

Gambar 1.2. Batang Baja akibat gaya tarik

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

Misalkan sebuah batang mengalami gaya tarik, seperti ditunjukkan oleh gambar 1.2(a).

Jika: l = Panjang batang, d = Diameter batang, P = Gaya tarik yang bekerja pada batang,

Ξ΄ = Peningkatan panjang batang karena gaya tarik. Deformasi batang per satuan panjang

pada arah gaya, yaitu Ξ΄/ l di kenal dengan regangan primer atau linier.

Regangan Sekunder atau Lateral

Ketika sebuah batang mengalami pertambahan panjang sebesar Ξ΄ searah gaya tarik yang

bekerja padanya, pada saat yang bersamaan terjadi penurunan diameter dari d ke (d - Ξ΄d),

seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.1(b). Dengan cara yang sama, jika batang

mendapat gaya tekan, panjang batang akan menurun sebesar Ξ΄ yang diikuti oleh

peningkatan diameter dari d ke (d -Ξ΄d). Jadi jelas bahwa setiap tegangan langsung selalu

diikuti oleh regangan pada arah tegangan dan regangan dengan tanda yang berlawanan

pada arah yang tegak lurus terhadap tegangan tersebut. Regangan yang tegak lurus

terhadap tegangan yang bekerja ini disebut dengan regangan sekunder atau lateral.

1.2. Regangan

Sebuah batang sperti pada gambar 1.1 akan mengalami perubahan panjang akibat dari

beban aksial tarik/tekan yang diberikan. Perubahan panjang dari batnag adalah hasil

kumulatif dari semua elemen bahan diseluruh volume batang. Dengan asumsi bahwa

L

d P P

(a)

L + Ξ΄

d-Ξ΄ P P

(b)

Page 8: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

4

batang mengalami perubahan konstan diseluruh permukaan maka untuk menghitung

perpanjangan persatuan panjang atau regangan adalah:

πœ€ = 𝛿

𝐿

Dimana: Ξ΅ = regangan normal (mm/mm). Ξ΄ = perubahan panjang (mm).

L = panjang awal (mm)

Contoh:

Lihat gambar 1.1. jika batang mempunyai panjang 2 m, dan mengalami perpanjangan

sebesar 1,4 mm akibat beban tarik. Hitung berapa besar regangan yang terjadi pada

batang tersebut?

Jawab:

Untuk menjawab contoh soal ini, digunakan persamaan (1.2), adalah:

πœ€ = 𝛿

𝐿=

1,4 π‘šπ‘š

2,0 π‘š= 0,0007 = 700 π‘₯ 10βˆ’6 π‘šπ‘š/π‘šπ‘š

1.3. Elastis Linier, Hukum Hooke

Hukum Hook adalah β€œJika benda dibebani dalam batas elastisnya, maka

tegangan berbanding lurus dengan regangannya”. Secara matematis ditulis:

π‘‡π‘’π‘”π‘Žπ‘›π‘”π‘Žπ‘›

π‘…π‘’π‘”π‘Žπ‘›π‘”π‘Žπ‘› = 𝐸 = π‘˜π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›

Banyak bahan struktural, termasuk juga sebagian besar metal, kayu, pelastik, dan

keramik, berprilaku elastis dan linier ketika dibebani pertama kali. Akibatnya, kurva

tegangan-regangan dimulai dengan garis lurus yang melewati titik asalnya. Hubungan

linier antara tegangan dan regangan untuk suatu batang yang mengalami tarik atau tekan

sederhana dinyatakan dengan persamaan:

𝜎 = 𝐸. πœ€

Dengan Οƒ adalah tegangan aksial, Ξ΅ adalah regangan aksial, dan E adalah konstanta

proporsionalitas yang dikenal dengan modulus elastisitas bahan tersebut. Persamaan Οƒ =

E . Ξ΅ dikenal sebagai Hukum Hooke, untuk mengenang ilmuan Inggris terkenal

Robert Hooke (1635-1703). Hooke adalah orang pertama yang menyelidiki secara ilmiah

……………...……………………(1.2)

………………………………...(1.4)

……………....………………(1.3)

Page 9: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

5

besaran elastis beberapa bahan, dan ia menguji bahan-bahan seperti metal, kayu, batu,

dan tulang. Ia mengukur perpanjangan kawat yang memikul gaya berat dan mengamati

bahwa perpanjangannya β€œselalu mempunyai proporsi yang sama dengan berat material

yang membentuk kawat tersebut”. Jadi,Hooke membangun hubungan linier antara beban

dan perpanjangan yang ditimbulkannya.

Modulus elastisitas sering disebut Modulus Young, mengambil nama ilmuan

Inggris lain, Thomas Young (1773-1829). Dalam kaitannnya dengan penyelidikan tarik

dan tekan pada batang prismatik, Young memperkenalkan ide ”modulus elastisitas”.

Tetapi modulus yang ia maksud tidak sama dengan yang kita gunakan dewasa ini karena

besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan.

Modulus Elastisitas (Modulus Young) dapat didefinisikan adalah Tegangan

berbanding lurus dengan regangan, dalam daerah elastisnya. Persamaan Modulus

Elastisitas secara matematis dapat diperoleh dari persamaan 1.4, adalah:

𝐸 = 𝜎

πœ€

Dimana: Οƒ = tegangan ( satuan : N), Ξ΅ = regangan (satuan mm/mm), dan E = konstanta

proporsionalitas atau disebut juga modulus elastisitas atau modulus Young.

Tabel 1.1: Harga E (modulus elastisitas) dari berbagai material.

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

1.4. Rasio Poisson

Apabila suatu barang prismatik dibebani tarik, perpanjangan aksialnya disertai

dengan Kontraksi Lateral (yaitu kontraksi tegak lurus arah beban). Regangan Lateral

disetiap titik pada sutaua batang sebanding dengan regangan aksial dititik tersebut jika

………………………………...(1.5)

Page 10: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

6

bahannnya elastis Linier. Agar regangan lateral sama diseluruh panjang batang, maka

kondisi tambahan harus ada. Pertama, gaya aksial harus konstan diseluruh panjang batang

sedemikian hingga regangan aksial konstan. Kedua, bahannya harus Homogen, artinya

bahan tersebut harus mempunyai komposisi yang sama (sehingga besaran elastisitasnya

sama) disetiap titik.

Bahan yang mempunyai besaran yang sama dalam semua arah (aksial, lateral dan

diantaranya) disebut isotropic. Jika besarannya berbeda pada berabagai arah, maka bahan

tersebut disebut anisotropic (atau aelotropik). Kasus khusus dari anisotropik terjadi jika

besaran pada arah tertentu sama diseluruh bahan dan besaran disemua arah yang tegak

lurus diarah tersebut sama (tetapi berbeda dengan besaran pertama tadi) maka bahan

tersebut disebut ortotropik. Plastik yang diperkuat dengan serat dan beton bertulang

dengan batang tulangan baja adalah contoh bahan komposit yang memperlihatkan

perilaku ortotropik.

Rasio regangan lateral Ρ’ terhadap tegangan aksial Ξ΅ terhadap tegangan aksial Ξ΅

dikenal dengan rasio Poisson dan diberi notsasi huruf Yunani Ξ½ (nu); jadi,

Ξ½ = π‘™π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™ π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘–π‘›

π‘Žπ‘₯π‘–π‘Žπ‘™ π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘–π‘› =

Ρ’

Ξ΅

yang dapat ditulis

Ρ’ = - Ξ½ Ξ΅

Dari eksperimen ditemukan bahwa jika sebuah benda mengalami tegangan pada daerah

elastisnya, regangan lateral mempunyai rasio konstan terhadap regangan linier. Secara

matematik:

π‘Ÿπ‘’π‘”π‘Žπ‘›π‘”π‘Žπ‘› π‘™π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™

π‘Ÿπ‘’π‘”π‘Žπ‘›π‘”π‘Žπ‘› π‘™π‘–π‘›π‘–π‘’π‘Ÿ= π‘˜π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›

Konstanta ini dikenal dengan Rasio Poisson, dan dilambangkan dengan 1/m atau ΞΌ.

Secara matematik:

π‘Ÿπ‘’π‘”π‘Žπ‘›π‘”π‘Žπ‘› π‘™π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™ = 1

π‘š. πœ€

π‘Ÿπ‘’π‘”π‘Žπ‘›π‘”π‘Žπ‘› π‘™π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™ = πœ‡. πœ€

…………………………(1.6)

…………………….……(1.7)

…………………….……(1.8)

…………………….……(1.9)

…………………….……(1.10)

Page 11: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

7

Tabel 2.1: Harga rasio Poisson dari berbagai material

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

1.5. Tegangan dan Regangan Geser

Pada sub bab dahulu, kita membahas pengaruh tegangan normal yang diakibatkan

beban aksial yang bekerja pada batang lurus. Tegangan ini disebut β€œtegangan normal”

karena bekerja dalam arah yang tegak lurus permukaan bahan. Sekarang kita akan

meninjau jenis lain dari tegangan yang disebut tegangan geser yang bekerja dalam arah

tangensial terhadap permukaan bahan.

Berdasarkan atas asumsi terbagi rata, kita dapat menghitung tegangan tumpu rata-

rata Οƒ 𝑏 dengan membagi gaya tumpu total 𝑭𝑏 dengan luas tumpu 𝑨b:

Οƒ 𝑏 = 𝑭𝑏

𝑨b

Luas tumpu didefinisikan sebagai luas proyeksi dari permukaan tumpu yang

melengkung. Tegangan geser rata-rata pada penampang baut diperoleh dengan membagi

gaya geser total 𝑉 dengan luas 𝐴 dari penampang melintang di mana gaya tersebut

bekerja, sebagai berikut :

πœπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Žβˆ’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Ž = 𝑉

𝐴

1.6. Hukum Hook untuk Geser

Besaran bahan untuk geser dapat ditentukan secara eksperimental dan uji geser

langsung atau dari uji torsi. Uji torsi dilakukan dengan memuntir tabung lingkaran

berlubang, sehingga menghasilkan keadaan geser murni. Dari hasil pengujian ini kita

dapat memplot kurva tegangsan-tegangan untuk geser (yaitu diagram tegangan geser

………………………………(1.11)

………………………………(1.12)

Page 12: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

8

𝜏 versus regangan geser 𝛾). Diagaram ini mempunyai bentuk sama dengan diagram uji

Tarik ( versus Ξ΅) untuk bahan yang sama ,meskipun besarnya berbeda.

Untuk banyak bahan ,bagian awal dari kurva tegangan-regangan adalah garis

lurus yang melalui titik asal, sebagaimana terjadi pada kasus tarik. Untuk daerah elastis

linier ini, tegangan geser dan regangan gesernya sebanding sehingga kita mempunyai

persamaan berikut untuk hukum Hooke pada kondisi geser:

𝜏 = G𝛾

Yang mana G adalah modulus elastisitas geser (disebut juga modulus rigiditas).

Modulus geser G mempunyai satuan yang sama dengan modulus Tarik, E dalam satuan

psi atau ksi dalam satuan USCS dan pascal dalam satuan SI. Untuk baja lunak ,harga

tipikal G adalah 11.000 ksi atau 75 Gpa; untuk paduan aluminium ,harga tipikalnya

adalah 4000 ksi atau 28 Gpa.

Modulus elastisitas untuk kasus Tarik dan kasus geser dihubungkan dengan

persamaan berikut:

G = 𝐸

2(1 + Ξ½)

Dimana Ξ½ adalah rasio passion

Contoh

Sebuah batang dari baja yang merupakan pengekang dari sebuah kapal

menyalurkan gaya tekan P = 54 kN ke dek dari sebuah tiang (lihat gambar 1-3a). Batang

tekan ini mempunyai penampang bujur sangkar berlubang dengan tebal dinding t =12mm

(Gambar 1-3b), dan sudut πœƒ antara batang dan horizontal adalah 40 . Sebuah sendi yang

menembus batang tersebut menyalurkan gaya dari batang tekan kedua plat buhul G yang

dilas ke plat landasan B. Empat baut angkur menghubungkan plat landasan ke dek.

Diameter sendi adalah 𝑑𝑝𝑖𝑛 = 18mm, tebal plat buhul 𝑑 𝐺 = 15mm, tebal plat landasan

adalah 𝑑 𝐡 = 8 mm, dan diameter baut angkur adalah 𝑑

bolt = 12mm.

Tentukan tegangan-tegangan berikut: (a) tegangan tumpu Antara batang tekan

dengan sendi, (b) tegangan geser disendi, (c) tegangan tumpu antar sendi dan plat buhul,

…………………………(1.13)

…..…………………………(1.14)

Page 13: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

9

(d) tegangan tumpu antara baut angkur dan plat landasan, dan (e) tegangan geser dibaut

angkur. (Abaikan gesekan Antara plat landasan dan dek.)

(a) (b)

Gambar 1.3 Gambar Dek

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

SOLUSI

(a) Tegangan tumpu Antara batang tekan dan sendi. Harga rata-rata tegangan

tumpu antara batang tekan dan sendi dapat dihitung dengan membagi gaya dibatang tekan

dengan luas tumpu antara batang tekan dan sendi. Luas tersebut sama dengan dua kali

tebal batang tekan. (karena tumpu terjadi di dua lokasi) dikalikan diameter sendi (lihat

gambar 1-3b). Jadi, unutk mencari tegangan tumpu, menggunakan persamaan 1.11,

adalah:

Οƒ 𝑏1 =𝐹𝑏

𝐴𝑏=

𝑃

2𝑑𝑑𝑝𝑖𝑛=

54 π‘˜π‘

2(12 π‘šπ‘š)(18 π‘šπ‘š)= 125 MPa

Tegangan ini tidak berlebihan untuk sebuah batang tekan yang terbuat dari baja

karena tegangan luluhnya mungkin lebih besar daripada 200 MPa.

(b). Tegangan geser di sendi dapat dicari dengan menggunakan persamaan 1.12, adalah:

𝜏 𝑝𝑖𝑛 =𝑣

𝐴=

𝑃

2πœ‹π‘‘π‘π‘–π‘›2 /4

=54 π‘˜π‘

2πœ‹(18 π‘šπ‘š)2 /4= 106 MPa

(c). Tegangan tumpu antara sendi dan plat buhul, meggunakan persamaan 1.11, adalah:

Οƒ 𝑏2 = 𝐹𝑏

𝐴𝑏=

𝑃

2𝑑𝐺𝑑𝑝𝑖𝑛=

54 π‘˜π‘

2(15 π‘šπ‘š)(18 π‘šπ‘š)= 100 MPa

(d). Tegangan tumpul antara baut angkar dan plat landasan, diperoleh dengan persamaan

1.11, adalah:

Page 14: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

10

Οƒ 𝑏3 = 𝐹𝑏

𝐴𝑏=

𝑃 cos 40Β°

4π‘‘π΅π‘‘π‘π‘œπ‘™π‘‘=

54( π‘˜π‘ )(cos 40Β°)

4(18 π‘šπ‘š)(12 π‘šπ‘š)= 108 MPa

(e). Tegangan geser di baut angkar, dicari dengan persamaan 1.12, adalah:

𝜏 π‘π‘œπ‘™π‘‘ =𝑣

𝐴=

𝑃 cos 40Β°

4πœ‹π‘‘π‘π‘œπ‘™π‘‘2 /4

=54( π‘˜π‘ )(cos 40Β°

4πœ‹(12 π‘šπ‘š)2

4

= 119MPa

Contoh lain

Sebuah pelubang (pembuat lubang) pada plat baja terlihat dalam Gambar 1-4a.

Aumsikan bahwa pelubanga yang diameternya 0,75 in, itu digunakan untuk melubangi

plat yang tebalnya ΒΌ in, seperti terlihat dalam Gambar 1-4b. Jika gaya P =28.000 lb

dibutuhkan untuk itu, berapakah tegangan geser rata-rata di plat tersebut dan tegangan

tekan rata-rata dpelubang?

(a) (b)

Gambar 1.4. Punching plat

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

Solusi

Tegangan geser rata-rata di plat dihitung dengan membagi gaya p dengan luas geser plat.

Luas geser 𝐴𝑠 sama dengan keliling lubang dikalikan tebal plat, atau

𝐴𝑠 = πœ‹π‘‘π‘‘ = πœ‹(0,75 in. )( 0,25 in. ) = 0,8590 𝑖𝑛.2

Dimana 𝑑 adalah diameter pelubang, dan 𝑑 adalah tebal plat. Dengan demikian, tegangan

geser rata-rata diplat, dengan persamaan 1.12, adalah

πœπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Žβˆ’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Ž = 𝑃

𝐴𝑠=

28.000 1b

0,5890 𝑖𝑛.2= 47.500 𝑝𝑠𝑖

Tegangan tekan rata-rata di pelubang, dengan persamaan 1.11 adalah

σ𝑐 =𝐹𝑏

𝐴𝑏=

𝑃

π΄π‘π‘’π‘›π‘β„Ž=

𝑃

πœ‹π‘‘2/4=

28.000 1b

πœ‹(0,75 𝑖𝑛.2 /2 = 63.400 psi

Page 15: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

11

Catatan. Analisis ini sangat diidealisasi karena kita mengabaikan efek kejut

yang terjadi apabila suatu pelubang menembus plat. (peninjauan efek ini membutuhkan

metode analisis lanjut diluar ruang lingkup mekanika bahan).

Contoh

Sebuah bantalan yang biasa digunakan untuk memikul mesin dan gelagar

jembatan terdiri atas bahan yang bersifat elastis linier (biasanya elastomer, seperti karet)

yang dilapisi oleh plat baja (Gambar 1-5a). Asumsikan bahwa tebal elastomer adalah

h,dimensi plat adalah π‘Ž π‘₯ 𝑏, dan bantalan ini mengalami gaya geser horizontal 𝑉.

Turunkanlah rumus tegangan geser rata-rata πœπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Žβˆ’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Ž di elastomer dan

peralihan horizontal 𝑑 di plat (Gambar 1-5b).

(a) (b)

Gambar 1.5. Gambar bantalan

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

SOLUSI

Asumsikan bahwa tegangan geser di elastomer terbagi rata diseluruh volume. Dengan

demikian, tegangan geser disetiap bidang horizontal tang melalui elastomer sama dengan

gaya geser 𝑉 dibagi dengan luas bidang (Gambar 1-5a), dengan menggunakan persamaan

1.12, diperoleh tegangan geser rata-rata adalah:

πœπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Žβˆ’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Ž = 𝑉

π‘Žπ‘

Tegangan gesernya (dari hukum Hooke untuk geser ), dengan mengunakan persamaan

1.13, diperoleh adalah:

𝛾 =𝜏

𝐺=

πœπ‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Žβˆ’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘Ž

𝐺𝑒=

𝑉

π‘Žπ‘πΊπ‘’

Di mana 𝐺𝑒 adalah momen bahan elastomerik. Akhirnya, peralihan horizontal 𝑑 sama

dengan tan (dari Gambar 1-5b):

𝑑 = β„Ž tan 𝛾 = tan (𝑉

π‘Žπ‘πΊπ‘’)

Page 16: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

12

Di dalam praktek, umumnya regangan geser ( adalah sudut yang kecil sehingga tan 𝛾

dapat diganti dengan 𝛾,

𝑑 = β„Žπ›Ύ = β„Žπ‘‰

π‘Žπ‘πΊπ‘’

Persamaan 𝛾 dan persamaan d, memberikan hasil pendekatan untuk peralihan horizontal

plat karena keduanya berdasarkan asumsi bahwa tegangan dan regangan geser konstan

diseluruh volume bahan elastomerik.Pada kenyataannya, tegangan geser adalah nol tepi-

tepi bahan (karena tidak ada tegangan geser dimuka vertikal yang bebas), sehingga

deformasi bahan akan lebih rumit daripada yang terlihat pada Gambar 1-3b. Sekalipun

demikian, jika panjang π‘Ž dari plat cukup besar dibandingkan dengan tebal dari

elastomer, maka hasil diatas sudah memadai untuk tujuan desain.

1.7. Tegangan Izin dan Beban Izin

Struktur; jadi, suatu strruktur adalah setiap obyek yang harus memikul atau

menyarlukan beban.

Jika kegagalan struktural harus dihindari, maka beban yang dapat dipikul suatu

struktur harus lebih besar daripada beban yang akakn dialaminya pada masa pakai.

Kemampuan suatu sruktur untuk menahan beban disebut kekuatan, jadi kriteria

terdahulu dapat ditulis ulang sebagai berikut.kekuatan aktual suatu struktur harus

melebihi kekuatan yang dibutuhkan. Rasio kekuatan aktual terhadap kekuatan yang

dibutuhkan disebut faktor keamanan 𝑛:

Faktor keamanan =Kekuatan aktual

Kekuatan yang dibutuhkan

Tentu saja, faktor keamanan harus lebih besar daripada 1,0 jika kegagalan ingin

dihindari. Bergantung pada situasinya, digunakan faktor keamanan dangan harga sedikit

diatas 1,0 hingga 10.

Faktor keamanan didefinisikan dan diterapkan dengan berbagai cara. Untuk

sebagian besar struktur, bahannya harus berada dalam daerah elastis linier untuk

mencegah terjadinya deformasi permanen apabila beban dihilangkan. Pada kondisi ini,

faktor keamanan ditetapkan berdasarkan luluhnya struktur. Luluh mulai terjadi apabila

tegangan luluh tercapai disuatu titik sembarang didalam srutktur. Maka, dengan

menerapkan faktor keamanan terhadap tegangan luluh ( atau kekuatan luluh ), kita

mendapatkan tegangan izin (atau tegangan kerja) yang tidak boleh dilampaui dimanapun

didalam struktur. Jadi :

……………..(1.15)

Page 17: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

13

Tegangan izin = Tegangan luluh

Faktor keamanan

Atau, untuk tarik dan geser, masing-masing adalah:

Οƒizin =

σ𝛾

𝑛1 dan

𝜏 𝑖𝑧𝑖𝑛 = πœπ›Ύ

𝑛2

Dimana σ𝛾 dan πœπ›Ύ adalah tegangan luluh dan 𝑛1 dan 𝑛2 adalah faktor keamanan. Dalam

desain gedung, faktor keamanan tipikal untuk luluh karena tarik adalah 1,67; jadi baja

lunak yang mempunyai tegangan luluh 36 ksi mempunyai tegangan izin 21,6 ksi.

Kadang-kadang faktor keamanan diterapkan pada tegangan ultimate, bukannya

pada tegangan luluh. Metode ini cocok untuk bahan yang getas, seperti beton dan

beberapa jenis plastik, dan untuk tegangan bahan yang tegangan luluhnya tidak terdefinisi

dengan jelas, seperti kayu dan baja yang berkekuatan tinggi. Dalam hal ini, tegangan izin

tarik dan geser adalah:

Οƒizin =

σ𝑒𝑛3

dan

𝜏 𝑖𝑧𝑖𝑛 = πœπ‘’

𝑛4

Yang mana σ𝑒 dan πœπ‘’ adalah tegangan ultimate (atau kekuatan ultimate). Faktor

keamanan terhadap kekuatan ultimate dari suatu bahan biasanya lebih besar daripada

yang didasarkan pada kekuatan luluh. Untuk baja lunak, faktor keamanan sebesar 1,67

terhadap luluh sebanding dengan faktor keamanan sebesar kira-kira 2,8 terhadap kekuatan

ultimate.

Dalam desain pesawat terbang, biasanya digunakan sebutan margin keamanan,

bukannya faktor keamanan. Margin keamanan didefinisikan sebagai faktor keamanan

dikurangi satu:

Margin keamanan = 𝑛 βˆ’ 1

Margin keamanan sering dinyatakan dalam persen, dimana harga diatas dikalikan

dengan 100. Jadi, suatu struktur yang mempunyai kekuatan ultimate 1,75 kali yang

dibutuhkan mempunyai faktor keamanan sebesar 1,75 dan margin keamanan sebesar 0,75

(atau 75%). Apabila margin keamanan berkurang menjadi nol atau lebih kecil, maka

sruktur itu akan (dapat dianggap ) gagal.

……………..(1.16)

……………..(1.17)

……………..(1.18)

……………..(1.19)

……………..(1.20)

Page 18: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

14

Beban izin

Sesudah tegangan izin ditetapkan untuk struktur dan bahan tertentu, beban izin

pada strukur dapat ditetapkan. Hubungan antara beban izin dan tegangan izin bergantung

pada jenis struktur. Dalam bab ini kita hanya memperhatikan jenis-jenis stuktur yang

mendasar saja, yaitu batang yang mengalami tarik atau tekan, dan sendi (atau baut) yang

mengalami geser langsung dan tumpu. Pada sturktur-struktur tersebut tegangan

mempunyai distribusi yang terbagi rata (atau paling tidak dapat diasumsikan terbagi rata)

pada suatu area. Sebagai contoh, dalam hal suatu batang yang mengalami tarik,

tegangannya mempunyai distribusi terbagi rata di potongan melintang asalkan gaya aksial

resultannya bekerja melalui pusat berat penampang. Hal yang sama juga berlaku untuk

tekan asalkan batangnya tidak mengalami tekuk. Dalam hal sendi yang mengalami geser,

kita hanya meninjau tegangan geser rata-rata dipotongan melintang, yang ekivalen

dengan mengasumsikan bahwa tegangan geser mempunyai distribusi terbagi rata. Dengan

cara yang sama, kita hanya meninjau harga rata-rata untuk tegangan tumpu yang bekerja

diluas proyeksi dari sendi.

Dengan demikian, dalam keempat kasus diatas, beban izin (juga beban yang

diperbolehkan atau beban aman ) sama dengan tegangan izin dikalikan dengan luas

dimana beban tersebut bekerja:

Beban izin = (Tegangan izin ) (Luas)

Untuk batang yang mengalami beban dan tarik langsung (tidak ada tekuk ), persamaan di

atas menjadi

𝑃𝑖𝑧𝑖𝑛 = Οƒizin 𝐴

Dimana Οƒizin adalh tegangan normal izin dan 𝐴 adalah luas penampang batang. Jika

batang tersebut mempunyai lubang, maka π‘™π‘’π‘Žπ‘  π‘›π‘’π‘‘π‘œ biasanya digunakan apabila batang

tersebut mengalami tarik. Luas neto adalah luas penampang bruto dikurangi luas yang

hilang karena adanya lubang. Untuk tekan, luas bruto dapat digunakan jika lubang

tersebut terisi oleh baut atau sendi yang dapat menyalurkan tegangan tekan.

Untuk sendi yang mengalami geser langsung, Persamaan menjadi:

𝑃𝑖𝑧𝑖𝑛 = 𝜏 𝑖𝑧𝑖𝑛 𝐴

Dimana 𝜏 𝑖𝑧𝑖𝑛 adalah tegangan geser izin dan 𝐴 adalah luas dimana tegangan geser

bekerja. Jika sendi tersebut mengalami geser tunggal, maka luasnya adalah luas potongan

melintang sendi, dan untuk geser ganda,maka luasnya adalah dua kali luas potongan

melintang sendi.

…………………… (1.22)

…………………… (1.23)

…………………… (1.21)

Page 19: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

15

Akhirnya, beban izin untuk tumpu adalah:

𝑃𝑖𝑧𝑖𝑛 = σ𝑏 . 𝐴𝑏

Dimana σ𝑏 adalah tegangan tumpu izin dan 𝐴𝑏 adalah luas proyeksi dari se ndi atau

permukaan lain dimana tegangan tumpu tersebut bekerja.

Contoh berikut ini mengilustrasikan bagaimana beban izin ditentukan jika

tegangan izin untuk bahan dikretahui.

Contoh

Sebuah batang baja yang berfungsi sebagai penggantung dan memikul mesin

berat disuatu gedung pabrik terpasang pada suatu tumpuan dengan sambungan yang

menggunakan baut seperti yang terlihat pada Gambar 1.6. Bagian utama dari

penggantung ini mempunyai penampang persegi panjang dengan lebar 𝑏1 = 1,5 in. Dan

tebal t = 0,5 in. Disambungannya, penggantung ini diperbesar hingga lebarnya menjadi

𝑏2 = 30 in. Baut,yang meyalurkan beban dari penggntung kedua plat buhul, mempunyai

diameter 𝑑 = 1,0 in. Tentukan harga yang diizinkan untuk beban tarik P di penggantung

yang didasarkan atas tinjauan berikut: (a). Tegangan izin di bagian utama dari

penggantung adalah 16.000 psi. (b). Tegangan izin di penggantung di potongan

melintang yang melalui baut adalah 11.000 psi. (Tegangan izin dipotongan tersebut lebih

kecil karena adanay konsentrasi tegangan disekitar baut). (c) Tegangan tumpu izin

diantara penggantung dan baut adalah 26.000 psi. (d) Tegangan geser izin dibaut adalah

6.500 psi. (catatan: Faktor keamanan untuk tarik,tumpu,dan geser telah diperhitungkan

dalam menentukan tegangan izin.)

Solusi

(a ). Mencari tegangan izin P1, digunakan persmaan 2.22, yaitu:

𝑃1 = Οƒizin 𝐴 = Οƒizin 𝑏 1𝑑 = (16.000 psi)(1,5 in. x 0,5 in. ) = 12.000 1b

(b). Mencari tegangan izin P2, digunakan persmaan 2.22, yaitu:

𝑃2 = Οƒizin 𝐴 = Οƒizin (𝑏 2 βˆ’ 𝑑). 𝑑

= (11.000 psi)(3,0 in. – 1,0 in.)(0,5 in.) = 11.000 1b

(c). Mencari tegangan izin P3, digunakan persmaan 2.22, yaitu:

𝑃3 = σ𝑏 𝐴 = σ𝑏 𝑑𝑑 = (26.000psi)(1,0 in. )(0,5 in. ) = 13.000 1b

…………………… (1.24)

Page 20: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

16

Gambar 1.6. Penggantung vertikal

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

(d). Mencari tegangan izin P4, digunakan persmaan 2.22, yaitu:

𝑃4 = 𝜏 𝑖𝑧𝑖𝑛 𝐴 = 𝜏 𝑖𝑧𝑖𝑛 (2)(πœ‹π‘‘2/4) = (6.500 psi)(2)( πœ‹)(1,0 in.)2

4

𝑃4 = 10.200 1b

Dengan membandingkan keempat hasil diatas,kita lihat bahwa harga beban

terkecil adalah

𝑃𝑖𝑧𝑖𝑛 = 10.200 1b

Beban ini, yang didasarkan atas geser dibaut, merupakan beban tarik izin di penggantung.

1.8. Modulus Bulk

Jika sebuah benda mendapat tiga tegangan yang saling tegak lurus, dengan

besaran yang sama, rasio tegangan langsung terhadap regangan volumetrik disebut

sebagai modulus bulk, dilambangkan dengan K. Secara matematik:

1.9. Hubungan Antara Modulus Bulk dengan Modulus Young

Misalkan sebuah kubus ABCD A1B1C1D1 seperti yang ditunjukkan oleh Gambar

1.7. Katakan kubus mendapat tiga tegangan tarik yang saling tegak lurus dengan besaran

yang sama. jika Οƒ = Tegangan pada permukaan, l = Panjang kubus, dan E = Modulus

Young untuk material kubus.

…………………… (1.25)

Page 21: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

17

Gambar 1.7. Kubus ABCD A1B1C1D1

Misalkan deformasi pada satu sisi kubus (katakan AB) karena tiga tegangan tarik. sisi ini

mengalami regangan-regangan berikut:

1. Tegangan tarik sebesar Οƒ/E karena tegangan pada permukaan BB1 CC1 dan AA1 DD1.

2. Regangan lateral tekan sebesar (1/m) x ( Οƒ/E) karena tegangan pada permukaan AA1

BB1 dan DD1 CC1.

3. Regangan lateral tekan sebesar (1/m) x ( Οƒ/E) karena tegangan pada permukaan

ABCD dan A1B1C1D1.

Sehingga, regangan tarik netto yang dialami oleh sisi AB karena tegangan-tegangan ini:

Substitusikan harga Ξ΄/l dari persamaan 1.25:

Atau

Sehingga:

atau

…………………… (1.26)

…………………… (1.27)

…………………… (1.28)

…………………… (1.29)

…………………… (1.30)

…………………… (1.31)

Page 22: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab I. Tegangan, regangan, hook dan poison rasio

18

Contoh soal

Jika harga modulus elastisitas dan rasio poisson sebuah paduan masing-masing

adalah 150 GPa dan 0,25, carilah harga modulus bulk paduan tersebut.

Jawab

Diketahui: E = 150 GPa = 150Γ—103 N/mm2, rasio Poisson, 1/m = 0,25 atau m = 4.

Modulus bulk paduan, dengan menggunakan persamaan 1.31, diperoleh:

Latihan:

1. Jika harga modulus elastisitas dan rasio poisson sebuah paduan masing-masing adalah

200 GPa dan 0,3, carilah harga modulus bulk paduan tersebut?

2. Jika harga modulus elastisitas modulus bulk sebuah paduan masing-masing adalah 200

GPa dan 300 GPa, carilah harga modulus bulk paduan tersebut?

3. Jika harga modulus bulk dan rasio poisson sebuah paduan masing-masing adalah 280

GPa dan 0,15, carilah harga modulus bulk paduan tersebut?

4. Diketahui: K = 250 GPa = 150Γ—103 N/mm2, rasio Poisson, 1/m = 0,25 atau m = 4.

Carilah modulus elastisitasnya?

5. Diketahui: modulus bulk= 350 GPa = 150Γ—103 N/mm2, modulus elastisitas 200 Gpa

rasio Poisson, 1/m = 0,20 atau. Carilah massa paduan tersebut?

Page 23: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

19

BAB II

DEFLEKSI PADA STRUKTUR

2.1. Deformasi Benda Karena Gaya Yang Bekerja

Jika P = Beban atau gaya yang bekerja pada benda, l = Panjang benda, A =

Luas penampang benda, Οƒ = Tegangan yang timbul pada benda, E = Modulus

Elastisitas material benda, Ξ΅ = Regangan, Ξ΄ = Deformasi benda.

Dari persamaan (1.1) dan (1.3) adalah:

Tegangan adalah 𝜎 = 𝑃

𝐴 , dan regangan adalah: νœ€ =

𝜎

𝐸

Sehingga persamaan regangan menjadi: νœ€ = 𝑃

𝐴 .𝐸

Rumus deformasi adalah: 𝛿 = νœ€. 𝑙

Dengan mensubstitusi persamaan (1.3) ke persamaan (2.2), maka persamaan deformasi

menjadi:

Deformasi adalah 𝛿 = 𝜎. 𝑙

𝐸

Kemudian subsitusi persamaan (2.2) ke persamaan (2.3), rumus deformasi/defleksi

menjadi:

𝛿 = 𝑃 . 𝑙

𝐴 . 𝐸

Catatan:

1. Rumus di atas baik juga digunakan untuk tekan

2. Untuk sebagian besar material, modulus elastisitas untuk kompresi sama dengan

tarikan.

3. Kadang-kadang dalam perhitungan, tegangan dan regangan tarik diberi tanda positif,

dan tegangan dan regangan tekan/kompresi diberitanda negatif.

Contoh

Sebuah batang dari baja dengan panjang 1 m dan penampang 20mm Γ— 20 mm

mendapat gaya tarik sebesar 40 kN. Carilah perpanjangan batang, jika modulus

elastisitas material batang adalah 200 GPa.

………..……….. (2.1)

……………….. (2.2)

……………….. (2.3)

……………….. (2.4)

Page 24: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

20

Jawab.

Diketahui: panjang (l) = 1 m = 1 Γ—103 mm

Luas penampang (A) = 20 Γ— 20 = 400 mm2

Gaya tarik (P) = 40 kN = 40 Γ—103 N

Modulus elastisitas (E) = 200 GPa = 200 Γ—103N/mm2

Dengan menggunakan persamaan (2.4), maka diperoleh perpanjangan batang:

𝛿 = 𝑃 . 𝑙

𝐴 . 𝐸

𝛿 =40 . 103 𝑁 . 103 π‘šπ‘š2

400 π‘šπ‘š . 200 . 103 𝑁/π‘šπ‘š2 = 0,5 π‘šπ‘š

Contoh:

Silinder berlobang dengan panjang 2 m mempunyai diameter luar 50 mm dan diameter

dalam 30 mm. Jika silinder memikul beban sebesar 25 kN, carilah tegangan pada silinder.

Cari juga deformasi yang terjadi pada silinder jika harga modulus elastisitas material

silinder adalah 100 GPa.

Jawab:

Diketahui: panjang (l) = 2 m = 2 Γ—103 mm

Diameter luar (D) = 50 mm

Diameter dalam (d) = 30 mm

beban (P) = 25 kN = 25 Γ—103 N/mm2

modulus elastisitas (E) = 100 GPa = 100 Γ—103 N/mm2

Dengan menggunakan persamaan (2.4), maka diperoleh perpanjangan batang:

Untuk mencari Luas Penampang silinder diperoleh:

𝐴 = πœ‹

4 (𝐷2 βˆ’ 𝑑2) =

3,14

4 (502 βˆ’ 302) = 1257 π‘šπ‘š2

Untuk mencari tegangan pada selinder, kita menggunakan persamaan (1.1),

yaitu:

𝜎 =𝑃

𝐴=

25 π‘₯ 103 𝑁

1257 π‘šπ‘š2= 19,9

𝑁

π‘šπ‘š2= 19,9 π‘€π‘ƒπ‘Ž

Deformasi pada silindera diperoleh dengan menggunakan persamaa (2.4),

dalah:

Page 25: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

21

𝛿 = 𝑃 . 𝑙

𝐴 . 𝐸=

𝛿 =25 π‘₯ 103 𝑁 π‘₯(2 π‘₯ 103)

1257 π‘šπ‘š2 π‘₯ 100 π‘₯ 103 = 0,4 π‘šπ‘š

SOAL-SOAL LATIHAN:

1. Sebuah batang baja dengan panjang 2 m dan penampang 150 mm2 mendapat tarikan

aksial sebesar 15 kN. Carilah perpanjangan/elongasibatang. Jika harga E = 200 GPa.

(jawab: 1,0 mm).

2. Sebuah batang lurus mempunyai panjang 500 mm dan penampang 500 mm2. Carilah

besar beban kompresi dimana panjangnya berkurang 0,2 mm. jika E material 200

GPa. (jawab: 40 kN).

3. Sebuah batang logam paduan dengan panjang 1 mm dan penampang 200 mm2

mendapat gaya tekan sebesar 20 kN. Jika modulus elastisitas paduan 100 GPa,

Carilah penurunan panjang batang. (jawab: 0,5 mm).

2.2. Defleksi Pada Batang Akibat Beban Aksial

Dalam menentukan perubahan panjang elemen struktur yang dibebani secara

aksial, akan lebih mudah kalau dimulai dengan pegas koil (Gambar 2-1).

Perpanjangan suatu pegas ditunjukkan dalam Gambar 2-2, dimana bagian atas dari

gambar menunjukkan pegas pada saat panjangnya merupakan panjang alami 𝐿 (juga

disebut panjang tak bertegangan,panjang rileks,atau panjang bebas), dan bagian bawah

dari gambar menunjukkan efek penerapan beban tarik. Akibat aksi gaya 𝑃, pegas tersebut

memanjang sebesar 𝛿 dan panjang akhirnya menjadi 𝐿 + 𝛿. Jika bahan dari pegas tersebut

elastis linier, maka beban dan perpanjangan akan sebanding:

𝑃 = π‘˜. 𝛿

𝛿 = 𝑓. 𝑃

Dimana π‘˜ dan 𝑓 adalah konstanta proporsionalitas. Konstanta π‘˜ disebut kekakuan pegas

dan didefinisikan sebagai gaya yang menghasilkan perpanjangan satuan, artinya π‘˜ = 𝑃/𝛿.

Dengan cara sama, konstanta 𝑓 disebut fleksibilitas dan didefinisikan sebagai

perpanjangan yang dihasilkan oleh beban sebesar satu,artinya 𝑓 = 𝛿/𝑃.Meskipun dalam

……………………………….( 2.5)

……………………………….( 2.6)

Page 26: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

22

pembahasan ini kita menggunakan pegas tersebut untuk tarik, jelaslah bahwa persamaan

(2-5) dan (2-6) juga berlaku pada pegas yang mengalami tekan.

Dari pembahasan diatas, jelas bahwa kekakuan dan fleksibilitas pegas merupakan

kebalikan satu sama lainnya:

π‘˜ = 1

𝑓 𝑓 =

1

π‘˜

Fleksibilitas pegas dapat dengan mudah ditentukan dengan mengukur perpanjangan yang

dihasilkan dengan beban yang diketahui, dan kekakuan dapat dihitung dari persamaan (2-

7). Sebutan lain untuk kekakuan dan fleksibilitas suatu pegas masing-masing adalah

konstanta pegas dan kesesuaian pegas.

Gambar 2.1.

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

Gambar 2.2.

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

……………………………….( 2.7)

Page 27: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

23

Batang prismatis

(a) (b)

Gambar 2.3. BatangPrismatik

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

Batang prismatis adalah elemen struktur yang mempunyai sumbu longitudinal lurus dan

penampang konstan diseluruh panjangnya. Meskipun kita sering menggunakan batang

berpenampang lingkaran didalam ilustrasi, kita harus ingat bahwa elemen struktur

mungkin mempunyai penampamng yang bukan lingkaran seperti terlihat dalam Gambar

2.3a.

Perpanjangan 𝛿 pada suatu batang prismatis yang mengalami beban tarik 𝑃 terlihat

dalam Gambar 2.3b. Jika beban bekerja melaluipusat berat penampang ujung,maka

tegangan normal terbagi rata dipenampang yang jauh dari ujung dapat dinyatakan dengan

rumus 𝜎 = 𝑃/𝐴, dimana 𝐴 adalah luas penampang. Selain itu, jika batang tersebut

terbuat dari bahan yang homogen, maka regangan aksialnya adalah νœ€ = 𝛿/𝐿 , dimana 𝛿

adalah perpanjangan dan 𝐿 adalah panjang batang. Asumsikan bahwa bahannya elastis

linier yang berarti bahwa hukum Hooke berlaku. Selanjutnya, tegangan dan regangan

longitudinal dapat dihubungkan dengan persamaan 𝜎 = 𝐸. νœ€, dimana 𝐸 adalah modulus

elastisitas. Dengan menggabungkan hubungan-hubungan dasar ini, maka kita dapat

menghitung perpanjangan batang dengan menggunakan persamaan (2.4). Persamaan ini

menunjukkan bahwa perpanjangan berbanding langsung dengan beban 𝑃 dan panjang 𝐿

dan berbanding terbalik dengan modulus elastisitas 𝐸 serta luas penampang 𝐴. Hasil kali

𝐸𝐴 dikenal sebagai rigiditas aksial suatu batang.

Meskipun persamaan (2.4) diturunkan untuk elemen struktur yang mengalami tarik,

namun persamaan tersebut berlaku juga untuk elemen struktur yang mengalami

tekan,dimana 𝛿 menunujukkan perpendekan batang. Biasanya kita dapat mengetahui

dengan cepat apakah suatu elemen struktur menjadi lebih panjang atau lebih pendek;

namun ada kalanya dibutuhkan perjanjian tanda (misalnya, untuk menganalisis batang

L

P

Ξ΄

P

L

Page 28: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

24

statis tak tentu). Dalam hal sepeti itu, perpanjangan biasanya bertanda positif dan

perpendekan bertanda nergatif.

Kekakuan dan fleksibilitas suatu batang prismatis didefinisikan dengan cara yang

sama seperti pada pegas. Kekakuan adalah gaya yang dibutuhkan untuk menghasilkan

perpanjangan satuan, atau 𝑃𝛿, dan fleksibilitas adalah perpanjangan akibat beban satuan,

atau 𝛿/𝑃. Jadi dari persamaan (2-4), kita lihat bahwa kekakuan dan flesiksibilitas suatu

batang prismatis masing-masing adalah :

π‘˜ =𝐸𝐴

𝐿 𝑓 =

𝐿

𝐸𝐴

Kekakuan dan fleksibilitas suatu elemen struktural, termasuk yang diberikan dengan

persamaan (2-8b),mempunyai peran khusus dalam analisis struktur besar dengan

menggunakan metode yang berorientasi komputer.

Kabel

Kabel terbuat dari sejumlah besar kawat yang dijalin secar teratur. Luas penampang kabel

sama dengan luas penampang total masing-masing kawat, yang disebut luas efektif atau

luas metalik. Luas ini lebih kecil daripada luas lingkaran yang mempunyai diameter yang

sama dengan kabel karena ada ruang masing-masing kawat. Sebagai contoh, luas

penampang aktual (luas efektif) suatu kabel yang berdiameter 1,0 in hanyalah 0,471 in2 ,

sedangkan luas lingkaran yang berdiameter 1,0 in. adalah 0,785 in2.

Contoh

Sebuah rangka kaku 𝐴𝐡𝐢yang berbentuk 𝐿 terdiri atas batang horizontal 𝐴𝐡 (panjang

𝑏 = 11,0 in) dan batang vertikal 𝐡𝐢 (panjang 𝑐 = 9,5 in) ditahan dititik 𝐡, seperti terlihat

dalam Gambar 2.4a.Titik 𝐡 tersebut terhubung pada rangka luar 𝐡𝐢𝐷 yang terletak diatas

bangku labolatorium. Posisi penunjuk di 𝐢 dikontrol pada sebuah pegas (kekakuan π‘˜ =

4,2 1b/in.) yang terpasang pada batnag berulir dapat disesuaikan dengan cara memutar

mur.π‘ƒπ‘–π‘‘π‘β„Ž pada uliran (yaitu jarak dari suatu ulir ke ulir berikutnya ) adalah 𝑝 = 1/16 in,

yang berarti bahwa satu putaran penuh dari mur akan menggerakkan batang sama

besarnya. Pada awalnya, mur diputar hingga penunjuk diujung batang 𝐡𝐢 tepat berada

diatas tanda referensi rangka luar.

Jika suatu benda yang beratnya π‘Š = 2 1b diletakkan pada penggantung di

𝐴,beraspa putaran mur yang dibutuhkan untuk membawa penunjuk kembali ke

………………………….( 2.8.a,b)

Page 29: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

25

posisi.tanda? (Deformasi bagian-bagian metal dapat diabaikan karena biasanya kecil

dibandingkan perubahan panjang pegas.)

Gambar 2.4. Rangka Stuktur ABC

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

Solusi

Pemeriksaan alat ini menunjukkan bahwa bobot π‘Š yang bekerja kebawah akan

menyebabkan penunjuk 𝐢 bergerak kekanan. Apabila penunjuk bergerak kekanan, maka

pegas akan memanjang sejauh tertentu yang dapat dihitung dari gaya 𝐹 yang bekerja

dipegas. Gaya 𝐹 dapat dihitung dari diagram benda bebas rangka dalam Gambar 2.4b.

Perhatikan bahwa reaksi dititik 𝐡 ditunjukkan dengan garis panah yang dicoret.

Dengan mengambil momen terhadap titik 𝐡,

𝐹 =π‘Šπ‘

𝑐

Perpanjangan 𝛿 yang berkaitan dengan gaya tersebut (dari Persamaan 2-5) adalah:

𝛿 =𝐹

π‘˜=

π‘Šπ‘

π‘π‘˜

Untuk mengembalikan penunjuk keposisi tanda, kita harus memutarkan mur agar batang

berulir gapat bergerak ke kiri sedemikian hingga besarnya gerakan sama dengan

perpanjangan pegas. Karena setiap satu putaran mur menggerakkan batang sejauh b sama

dengan π‘π‘–π‘‘π‘β„Ž 𝑝, maka gerakan total batang akan sama dengan 𝑛𝑝, dimana 𝑛 adalah

banyak putaran. Jadi

𝑛𝑝 = 𝛿 = π‘Šπ‘

π‘π‘˜

Sehingga kita mendapatkan rumus untuk banyaknya putaran mur:

Page 30: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

26

𝑛 = π‘Šπ‘

π‘π‘˜π‘

Untuk mendapatkan hasil numerik, kita memasukkan data yang ada kedalam persamaan,

sebagai berikut:

𝑛 = π‘Šπ‘

π‘π‘˜π‘ =

(2 1b)(11,0in. )

(9,5 in. )(4,2 1b/in. )(1/16in. ) = 8,8 putaran

Hasil ini menunjukkan bahwa kita memutar mur sampai 8,8 putaran, maka batang berulir

akan bergerak ke kiri sejauh sama dengan perpanjangan pegas yang diakibatkan oleh

beban 2.2, sehingga mengembalikan penunjuk ke tanda referensi.

Contoh

Suatu struktur yang terlihat dalam Gambar 2.5a terdiri atas balok horizontal 𝐴𝐡𝐢 yang

ditumpu oleh dua batang vertikal 𝐡𝐷 dan 𝐢𝐸. Batang 𝐢𝐸 mempunyai sendi di kedua

ujungnya tetapi batang 𝐡𝐷 adalah jepit di pondasi di ujung bawahnya.Jarak dari 𝐴 ke 𝐡

adalah 450 mm dan dari 𝐡 ke 𝐢 adalah 225 mm. Batang 𝐡𝐷 dan 𝐢𝐸 mempuyai panjang

masing-masing 480 mm dan 600 mm. Batang-batang ini terbuat dari baja yang mempnyai

modulus elastisitas 𝐸 = 205 Gpa. Dengan mengasumsikan bahwa balok 𝐴𝐡𝐢 adalah

kaku,carilah beban izin maksimum 𝑃maks jika peralihan di titik 𝐴 dibatasi 1,0 mm.

Gambar 2.5. Balok Horizontal ABC

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

Solusi.

Untuk mencari peraliha titik 𝐴, kita perlu mengetahui peralihan titik 𝐡 dan 𝐢. Dengan

demikian, kita harus mencari perubahan panjang batang 𝐡𝐷 dan 𝐢𝐸, dengan

menggunakan persamaan umum 𝛿 = 𝑃𝐿/𝐸𝐴 (persamaan 2-4). Kita mulai dengan

Page 31: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

27

mencari gaya-gaya dibatang dari diagram benda bebas (Gambar 2-5b). Karena batang 𝐢𝐸

mempunyai sendi di kedua ujungnya, maka ini merupakan elemen β€œdua-gaya” dan hanya

menyalurkan gaya vertikal 𝐹𝐢𝐸 ke balok. Sedangkan batang 𝐡𝐷 dapat menyalurkan baik

gaya vertikal maupun gaya horizontal. Dari keseimbangan balok 𝐴𝐡𝐢 di arah

horizontal,kita melihat bahwa gaya-gaya horizontal haruslah nol.

Dua persamaan keseimbangan lainnya memungkinkan kita menyatakan gaya 𝐹𝐡𝐷

dan 𝐹𝐢𝐸 dalam beban 𝑃. Jadi,dengan mengambil momen terhadap titik 𝐡 dan

menjumlahkan gaya-gaya dalam arah vertikal, maka kita dapatkan

𝐹𝐢𝐸 = 2𝑃𝐹𝐡𝐷 = 3𝑃

Perhatikan bahwa gaya 𝐹𝐢𝐸 bekerja kebawah di batang 𝐴𝐡𝐢 dan gaya 𝐹𝐡𝐷 bekerja ke

atas. Dengan demikan, elemen struktur 𝐢𝐸 mengalami tarik dan elemen struktur 𝐡𝐷

mengaami tekan.

Perpendekan elemen 𝐡𝐷 adalah

𝛿𝐡𝐷 =𝐹𝐡𝐷𝐿𝐡𝐷

𝐸𝐴𝐡𝐷

𝛿𝐡𝐷 = ( 3 𝑃 )(480mm)

(205GPa)(1020 mm2)= 6,887 𝑃 x 10βˆ’6 mm(𝑃 = newton )

Perhatikan bahwa perpendekkan 𝛿𝐡𝐷dinyatakan dalam mm asalkan beban 𝑃 dinyatakan

dalam newton. Dengan cara sama, perpanjangan elemen 𝐢𝐸 adalah:

𝛿𝐢𝐸 =𝐹𝐢𝐸𝐿𝐢𝐸

𝐸𝐴𝐢𝐸

𝛿𝐢𝐸 = ( 2 𝑃 )(600mm)

(205GPa)(520 mm2)= 11,26 𝑃 x 10βˆ’6 mm(𝑃 = newton )

Peralihan disini pun dinyatakan dalam mm asalkan beban 𝑃 dinyatakan dalam newton.

Dengan diketahuinya perubahan panjang kedua batang, maka kita dapat mencari

peralihan di titik 𝐴.

π·π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘š π‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™π‘–β„Žπ‘Žπ‘› yang menunjukkan posisi relatif titik 𝐴, 𝐡, dan 𝐢 ditunjukkan

dalam Gambar 2-5c. Garis 𝐴𝐡𝐢 menunjukkan posisi awal ketiga titik. Sesudah beban 𝑃

dikerjakan, elemen 𝐡𝐷 memendek sebesar 𝛿𝐡𝐷 dan titik 𝐡 bergerak ke 𝐡′. Selain itu,

elemen 𝐢𝐸 memanjang sebesar 𝛿𝐢𝐸. dan titik 𝐢 bergerak 𝐢′. Karena balok 𝐴𝐡𝐢

diasumsikan baku, maka titik 𝐴′, 𝐡′,dan 𝐢′ terletak pada sebuah garis lurus.

Agar lebih jelas, semua peraliha digambar dengan sangat dibesarkan. pada

kenyataanya garis 𝐴𝐡𝐢 berotasi dengan sudut yang sangat kecil ke posisi baru 𝐴′𝐡′𝐢′.

Page 32: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

28

Dengan menggunakan segitiga yang sama, kita sekarang dapat mencari hubungan antara

peralihan di titik 𝐴′, 𝐡′,dan 𝐢′. Dari segitiga 𝐴′𝐴′′𝐢′ dan 𝐡′𝐡′′𝐢′ kita peroleh:

𝐴′𝐴′′

𝐴′′𝐢′=

𝐡′𝐡′′

𝐡′′𝐢′atau

𝛿𝐴 + 𝛿𝐢𝐸

450 + 225=

𝛿𝐡𝐷 + 𝛿𝐢𝐸

225

Dimana semua suku dinyatakan dalam mm. Dengan memasukkan 𝛿𝐡𝐷dan 𝛿𝐢𝐸dari

persamaan (f) dan (g) didapatkan:

𝛿𝐴 + 11,26 𝑃 X 10βˆ’6

450 + 225=

6,887 𝑃 X 10βˆ’6 + 1,26 𝑃 X 10βˆ’6

225

Akhirnya, kita subtitusikan 𝛿𝐴 dengan harga batas sebesar 1,0 mm dan kita pecahkan

persamaan tersebut untuk mendapatkan beban 𝑃. Hasilnya adalah:

𝑃 = 𝑃maks = 23.200 N (atau 23,2 kN)

Apabila beban mencapai harga ini, maka peralihan ke bawah titik 𝐴 adalah 1,0 mm.

Catatan 2 : Untuk menyelidiki kebenaran bahwa garis 𝐴𝐡𝐢 berotasi dengan sudut yang

sangat kecil, kita dapat menghitung sudut rotasi 𝛼 dari diagram peralihan (Gambar 2-5c)

sebagai berikut:

tan 𝛼 = 𝐴′𝐴′′

𝐴′′𝐢′ = 𝛿𝐴+ 𝛿𝐢𝐸

675 mm

Peralihan 𝛿𝐴 titik 𝐴 adalah 1,0 mm, dan perpanjangan 𝛿𝐢𝐸batang 𝐢𝐸 didapat dari (g)

dengan memasukkan 𝑃 = 23.200 N; hasilnya adalah 𝛿𝐢𝐸 = 0,261mm. Dengan

demikian, dari persamaan (i) kita peroleh:

tan 𝛼 = 1,0 mm+0,261 mm

675 mm=

1,261 mm

675 mm= 0,0011868

Di mana 𝛼 = 0,11Β°. Sudut ini sedemikian kecilnya sehinga jika kita mencoba untuk

menggambar diagram peralihan dengan skala, kita tidak dapat membedakan antara garis

semula 𝐴𝐡𝐢 dan garis yang telah berotasi 𝐴′𝐡′𝐢′. Jadi, dalam bekerja dengan diagram

peralihan, kita biasanya dapat memandang peralihan sebagai besaran yang sangat kecil

sehingga dapat menyederhanakan geometri. Dalam contoh ini, kita dapat mengasumsikan

bahwa titik 𝐴, 𝐡, dan 𝐢 bergerak hanya dalam arah vertikal, sedangkan jika peralihan

sangat besar, maka kita mungkin harus memandang titik tersebut bergerak pada alur yang

lengkung.

2.3. Defleksi Pada Struktur Statis Tak Tentu

Pegas, batang, dan kabel yang kita bahas sejauh ini mempunyai kondisi penting yang

sama-reaksi dan gaya-gaya internalnya dapat ditentukan cukup dengan meggunakan

Page 33: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

29

diagram benda bebas dan persamaan keseimbangan. Jenis sturktur seperti ini disebut

statis tertentu.

Kebanyakan struktur lebih rumit dari pada batang yang ada pada Gambar 2-6.,

dan reaksi serta gaya internalnya tidak dapat diperoleh dengan seketika saja. Situasi ini

digambarkan dalam Gambar 2-7, yang menunjukkan sebuah batang 𝐴𝐡 yang terjepit

dikedua ujung. Sekarang ada dua reaksi vertical (𝑅𝐴dan 𝑅𝐡 ) tetapi hanya satu

persamaan keseimbangan yang dapat digunakan, yaitu persamaan yang menjumlahakan

gaya-gaya dalam arah vertikal. Karena persamaan ini mengandung dua anu, maka

persamaan tersebut tidak cukup untuk mencari reaksi.

Struktur seperti ini dikelompokkan ke dalam struktur statis tak tentu. Untuk

menganalisis struktur seperti ini kita harus melengkapi persamaan keseimbangan dengan

persamaan tambahan yang berkaitan dengan peralihan sturktur.

Untuk melihat bagaimana struktur statis tak tentu. Dianalisis, tinjaulah contoh dalam

Gambar 2-8a. Batang prismatis 𝐴𝐡 terjepit di tumpuan kaku di kedua ujungnya dan

secara aksial dibebani 𝑃 di titik tengah 𝐢. Sebagaimana telah diuraikan sebelumnya,

𝑅𝐴dan 𝑅𝐡 tidak dapat diperoleh dari statika saja karena hanya ada satu persamaan

keseimbangan:

Gambar 2.6. Batang StatisTentu

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

RA

RB

A

B

P

Page 34: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

30

Gambar 2.7. Batang Statis Tak Tentu

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

Gambar 2.8. Batang Statis Tak Tentu

(sumber: Gere & Temoshenco, 2000)

Ξ£ 𝐹vert = 0𝑅𝐴 βˆ’ 𝑃 + 𝑅𝐡 = 0 (a)

Persamaan tambahan diperlukan untuk memecahkan kedua reaksi yang belum diketahui

tersebut.

RA

RB

A

B

P

RA

RB

C

a

b

L

A

B

P

(a)

RA

RB

C

a

b

L

A

B

P

(b)

Page 35: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

31

Persamaan tanmbahan dimaksud didasarkan atas pengamatan bahwa sebuah batang

dengan kedua ujungnya terjepit tidak berubah panjangnya. Jika kita memisahkan batang

tersebut dari tumpuannya (Gambar 2-8b), Kita dapatkan bahwa batang tersebut bebas di

kedua ujungnya dan dibebani oleh tiga gaya, 𝑅𝐴, 𝑅𝐡, dan 𝑃. Ketiga gaya ini

menyebabkan batang tersebut berubah panjang sebesar𝛿𝐴𝐡 , yang harus sama dengan nol:

𝛿𝐴𝐡 = 0 (b)

Persamaanini, yang disebut persamaan keserasian, (kompatibilitas), menunjukkan fakta

bahwa perubahan panjang batang harus serasi dengan kondisi tumpuan.

Untuk memecahkan persamaan (a) dan (b), kita harus menyatakan persamaan keserasian

dalam gaya yang belumdiketahui𝑅𝐴dan 𝑅𝐡. Hubungan Antara gaya-gaya yang bekerja di

batang dan perubahan panjang dikenal dengan hubungan gaya-peralihan. Hubungan ini

mempunyai berbagai bentuk bergantung pada besaran bahan. Jika bahan tersebut

bersifatelastis linier, maka persamaan 𝛿 = 𝑃𝐿/𝐸𝐴 dapat digunakan memperoleh

hubungan gaya-peralihan.

Asumsikan bahwa batang dalam Gambar 2-8 mempunyai luas penampang𝐴 dan

terbuat dari bahan dengan modulus 𝐸. Selanjutnya, perubahan panjang segmen atas dan

bawah batang masing-masing adalah

𝛿𝐴𝐢 = π‘…π΄π‘Ž

𝐸𝐴 𝛿𝐢𝐡 = βˆ’

𝑅𝐡𝑏

𝐸𝐴 (c,d)

Dimana tanda minus menunjukkan perpendekan batang. Hubungan gaya peralihan

sekarang digabungkan agar menghasilkan perubahan panjang keseluruha batang:

𝛿𝐴𝐡 = 𝛿𝐴𝐢 + 𝛿𝐢𝐡 = π‘…π΄π‘Ž

πΈπ΄βˆ’

𝑅𝐡𝑏

𝐸𝐴

Jadi, persamaan keserasian (persamaan b) menjadi:

π‘…π΄π‘Ž

πΈπ΄βˆ’

𝑅𝐡𝑏

𝐸𝐴= 0 (e)

Yang mengandung kedua reaksi sebagai anu.

Langkah terakhir untuk menganalisis batang statis tak tentu adalah dengan memecahkan

secara simultan persamaan keseimbangan (persamaan a) dan persamaan keserasian

(persamaan e). Hasilnya adalah:

𝑅𝐴 = 𝑃𝑏

𝐿 𝑅𝐡 =

π‘ƒπ‘Ž

𝐿

Dengan diketahuinya reaksi, maka semua gaya dan perilihan dapat ditentukan. Sebagai

contoh, misalkan kita ingin mencari peralihan ke bawah 𝛿𝐢 titik 𝐢. Peralihan ini sama

dengan

……………….…………. (2.9a,b)

Page 36: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

32

𝛿𝐢 = 𝛿𝐴𝐢 = π‘…π΄π‘Ž

𝐸𝐴=

π‘ƒπ‘Žπ‘

𝐿𝐸𝐴

Juga, kita dapat memperoleh di kedua segmen bantang secara langsung dari gaya aksial

internal 𝛿𝐴𝐢 =𝑅𝐴

π‘Ž= 𝑃𝑏/𝐴𝐿).

Dalam literature teknik, berbagai sebutan digunakan untuk kondisi yang dinyatakan

dengan keseimbangan, keserasian, dan persamaan gaya peralihan. Persamaan

keseimbangan juga dikenal dengan persamaan statika atau kinetik; persamaan keserasian

kadang-kadang disebut persamaan geometris, persamaan kinematis, atau persamaan

deformasi konsisten; dan hubungangaya-peralihan sering disebut hubungan konstitutif

(karena hubungan ini berkaitan dengan konstitusi, atau besaran titik bahan ).

Contoh soal 1

Lihat sebuah batang pada gambar 2.9, yang memiliki luas penampang konstan di titi A

dan dengan panjang L. tentukan perpanjangan relatif pada ujung A dengan dengan psosisi

titik B tetap. Jika beban diberikan sebesar P. tentukan perubahan panjang (defleksi) pada

ujung yang bebas yang diakibatkan konsentrasi penggunaan gaya P. modulus elastisitas

adalah E.

Gambar 2.9. contoh soal 1

(sumber: EP. Popov, 1981)

Jawab

Pada persoalan ini berat batang diasumsikan diabaikan, dan hanya perubahan panjang

yang dipengaruhi oleh gaya yang diterapkan. Misalkan Penampang C-C adalah dibuat

melalui batang.

Untuk mencari perubahan panjang pada kasus ini kita integralkan persamaan (2.4)

menjadi persamaan (1.10)..

dx

L C C

x

P P

Px = P

P

P

……………….…………. (2.10)

Page 37: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

33

𝛿 = βˆ«π‘ƒπ‘₯𝑑π‘₯

𝐴π‘₯𝐸

𝐡

𝐴

=𝑃

𝐴𝐸 ∫ 𝑑π‘₯ =

𝑃

𝐴𝐸| π‘₯|π‘œ

𝐿𝐿

0

=𝑃𝐿

𝐴𝐸

Contoh soal 2

Tentukan perubahan relatatif dari point A dan D dari batang baja dengan luar

penamapnag bervariasi seperti pada gambar 2.10. dengan konsentrasi 4 gaya yang

diberikan P1, P2, P3, dan P4. Dan E= 200 x 106 kN/m2

Gambar 2.10. Contoh soal 2

(sumber: EP. Popov, 1981)

Penyelesaian.

Diagram Benda Bebas batang tidak seragam

…………. (2.10)

Page 38: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

34

Langkah awal dalam menyelesaikan persoalan ini adalah pertama harus dicek

terlebih dahulu seluruh batang daya dalam keadaan keseimbangan, βˆ‘F = 0, selanjutnya

variasi Px sepanjang batang harus dikaji, ini dapat diatasi dengan metode potong seperti

pada gambar DBB di atas. Dari gambar potongan c1-c1 diperoleh gaya PAB= +100 kN,

potongan c2-c2 diperoleh gaya PBC = -150 kN, dan potongan c3-c3 diperoleh gaya PCD =

+50 kN.

Langakah selanjutnya adalah menghitung besarnya defleksi yang terjadi akibat

pemberian gaya pada tiap-tiap bagian, dengan menggunakan persamaan (2.10), dapa kita

turunkan menjadi persamaan berikut adalah:

𝛿 = βˆ«π‘ƒπ‘₯𝑑π‘₯

𝐴π‘₯𝐸

𝐷

𝐴

= βˆ«π‘ƒπ΄π΅π‘‘π‘₯

𝐴𝐴𝐡𝐸

𝐡

𝐴

+ βˆ«π‘ƒπ΅πΆπ‘‘π‘₯

𝐴𝐡𝐢𝐸

𝐢

𝐡

+ βˆ«π‘ƒπΆπ·π‘‘π‘₯

𝐴𝐢𝐷𝐸

𝐷

𝐢

Ini adalah rumus intergrasi untuk menyelesaikan permasalahan pembebanan pada

sturktur yang luas penampang yang berbeda-beda.

Jadi besarnya nilai perubahan panjang, dengan meggunakan persamaan (2.11),

adalah:

𝛿 = βˆ‘π‘ƒπΏ

𝐴𝐸= +

(100)(2)

(0001)(200 π‘₯106)βˆ’

(150)(1)

(0002)(200 π‘₯106)+

(50)(1,5)

(0001)(200 π‘₯106)

𝛿 = +0,001 βˆ’ 0,000375 + 0,000375 = +0,001 π‘š = +1 π‘šπ‘š

Contoh soal 3

Sebuah kawat baja berdiameter 6 mm digunakan untuk menopang suatu konstruksi, jika

kawat sepanjang 150 mm digantung vertikal dan beban 1 kN, carilah total perpanjangan

kawat yang terjadi. Diketahui berat kawat adalah 7.7 x 104 Nm-3 dan E = 200 GNm-2.

Jawab

Untuk mencari perpanjangan kawat yang disebabkan oleh beban dapat

digunakan persamaan (2.4) sebagai berikut:

Perpanjangan yang disebabkan oleh berat kawat, adalah:

…………. (2.11)

Page 39: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

35

Latihan Soal-soal

1.

2.

4. Sebuah batangan baja mendapatkan gaya seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

Carilah total pertambahan panjang yang terjadi jika modulus elastisitas 200GN/m2.

5. Sebuah batang prismatik dengan penampang berbentuk empat persegi panjang (20 x

40 mm) dan panjang 2.8 m dikenakan suatu gaya tarik aksial 70 kN. Pemanjangan

yang dialami batang adalah 1.2 mm. Hitunglah tegangan dan regangan tarik dalam

batang.

500 mm

500 mm

Steel bar 50 x 50

Aluminium bar 100 x 100

Sebuah bar yang terdiri dari bahan batang baja dan batang aluminim dikenai beban tekan yang akan mengakibatkan total panjang kedua batang tersebut mengalami pemendekan sebesar 0,25 mm. Asumsi distribusi tegangan normal melalui luas penampang yang seragam dan batang-batang tersebut terhindar dari tekukan (buckling). Hitung besar gaya yang diberikan jika ESt= 200 GPa, dan EAl= 70 GPa. Dan plot diagram defleksi aksialnya.

1,5 m

1,5 m

150 mm

50 mm

A

B

40 kN Sebuah bar baja seperti yang terlihat pada gambar yang dipotong dari baja dengan ketebalan 25mm dilas diujung atas. Cari defleksi pada ujung A yang diakibatkan oleh beban B sebesar 40 kN. jika ESt= 200 GN/m2

P

Page 40: BUKU AJAR - tm.unsam.ac.id · PDF file... Hukum Hooke ... Untuk menjawab contoh soal ... besaran itu merupakan besaran yang berasal dari batang dan bahan. Modulus Elastisitas

Bab II. Defleksi pada struktur

36

6. Sebuah batang prismatik dengan penampang berbentuk lingkaran dibebani gaya tarik

85 kN. Panjang batang 3.0 m dan diameternya 30 mm. Batang ini terbuat dari

alumunium dengan modulus elastisitas 70 GPa. Hitunglah pemanjangan dari batang.

7.

8. 8. Suatu pipa yang terbuat dari besi tuang mempunyai diameter luar dan diameter

dalam masing-masing sebesar 80 mm dan 60 mm. Bila pipa tersebut menahan

bebean kompresi aksial sebesar 100 N, tentukan:

a. Total perpendekan yang terjadi untuk setiap panjang pipa 1000 mm

b. Tegangan normal yang terjadi di bawah beban tersebut

(E = 100 GN/m2 dan asumsi tidak terjadi tekukan pada pipa)

Suatu batang dengan penampang bujur sangkar

(panjang sisi 70 mm) mengalami pembebanan

seperti pada gambar di samping. Berat jenis bahan

adalah 8 x 107. Nm3. Apabila total perpanjangan

yang terjadi sebesar 0.01 mm, berapa nilai modulus

elastisitas bahan batang tersebut?