TUGAS

Metematika IndustriResume Materi Penggunaan Integral dalam Bidang

Ekonomi dan Teknik

Nama :Andriawan Arditama

NIM :125100301111036

Kelas :P

TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2013

A.Penggunaan integral dalam teknik atau teknologiIntegral merupakan kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul di-temukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagai-mana menyelesaikan masalah yang berkeba-likan dengan solusi diferensiasi

Integral terbagi dua yaitu integral taktentu dan integral tertentu. Perbedaanyang mendasar, integral tertentu memiliki batas-batas.

1. Integral tak tentu adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa varia-bel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu.Jika F adalah anti turunan dari f, maka:

2. Integral tertentu adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi pada batas (selang) tertentu dan menghasilkan nilai pasti.Jika F adalah anti turunan dari f, maka:

.

f(x) disebut integran, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas, F(b) / F(a) adalah nilai Fungsi hasil integral untuk x = a atau x = b.

I.Integral tertentu.

Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai – nilai variable bebasnya

( memiliki batas - batas ) tertentu. Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area

yang terletak diantara kurva y = f ( x ) dan sumbu horizontal, dalam suatu wilayah yang

dibatasi oleh x = a dan x = b

Dalam integral tak tentu kita tentukan bahwa,

Jika kita ingin mengetahui hasil integrasi tersebut untuk suatu rentangan wilayah tertentu,

misalnya antara x = a dan x = b dan a < b, maka x dapat disubstitusikan dengan nilai a dan b

sehingga persamaan pada ruas kanan menjadi :

{F ( b ) + k } - {F ( a ) + k} = F (b ) – F ( a )

F (b ) – F ( a ) adalah hasil integral tertentu dari f ( x ) antara a dan b. Secara lengkap

persamaan pertama tadi dapat dituliskan menjadi :

Notasi dibaca integral f (x ) untuk rentang wilayah x dari a ke b, selanjutnya

karena a < b maka a dinamakan batas bawah integrasi dan b dinamakan batas atas integrasi.

Pemahaman tentang integral tertententu ini akan lebih jelas dengan bantuan penjelasan grafis.

Berikut akan dibahas bagaimana penggunaan integral tertentu ini untuk menghitung luas area

yang terletak diantara sebuah kurva dan sumbu horisontalnya.

Contoh :

Jika kita mempunyai persamaan y = 3 + 2x yang kurvanya dapat kita gambarkan sebagai

berikut :

Y

10 y = 3 + 2 x

8

6

4

2

X 2 4 6 8

Berapa luas daerah yang diarsir ? secara mudah kita dapat menghitung bahwa luas daerah

tersebut adalah 2 x 7 + ( 2 x 4 ) / 2 = 14 + 4 = 18 hasil yang sama dapat kita peroleh dengan

menggunakan rumus integral tertentu adalah :

hasil yang kita peroleh sama baik dengan menggunakan cara satu maupun cara integral.

Mungkin kita menganggap mengapa digunakan cara yang sulit jika kita bisa menggunakan

cara yang mudah ? jawabannya adalah kita tidak mungkin menghitung luas suatu area yang

bentuknya tidak beraturan seperti yang ditunjukan oleh kurva suatu parabola atau bentuk

persamaan kubik dengan cara pertama. Seperti misalnya contoh gambar berikut bagaimana

kita menghitung luas areanya ?

Y

f (x )

g (x )

a b X

Gambar diatas menunjukan terdapat dua buah kurva yaitu f(x) dan g (x ) berapa luas daerah

yang diarsir ? penyelesaiannya hanya dapat dilakukan dengan menggunakan integral tertentu

yaitu dengan mengurangi luas area kurva f (x ) yang dibatasi oleh x = a dan x = b dengan

sumbu horizontal dan kurva g (x ) juga dibatasi oleh x = a dan x = b dengan sumbu

horisontalnya, atau :

II. Kaidah – kaidah Integrasi tertentu

Untuk a < c < b, berlaku :

1.

contoh :

2.

contoh :

3.

contoh :

4.

contoh :

5.

contoh :

6.

contoh :

=

Aplikasi integral tertentu,juga dapat digunakan pada :(1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3)

menentukan panjang busur dan 4) luas permukaan.

4.1 Luas Suatu Luasan

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang dengan persamaan

atau atau yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis

yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positip dan

luasan negatip. Luasan positip adalah luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu

koordinat yang terletak di atas sumbu atau luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu

koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud.

Gambar 4.1

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang

terletak di bawah sumbu atau luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat

yang terletak disebelah kiri sumbu Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.

)(xfy )(yfx

ax bx

dy

cy

Y

XX

Y

RR

Gambar 4.2

Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn juga dapat terjadi bukan

hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya dan .

Pembahasan dalam buku ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk

daerah yang dibatasi oleh satu kuva.

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar luasan dibawah ini

Gambar 4.3

)(xfy )(yfx

ax bx dy

cy

Y

X

X

Y

R R

Y

R

)(xfy

Xax bx

R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva

Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan

Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas

daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan

daerah negatif dinyatakan dalam bentuk

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :

a) Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah

dilihat.

b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu atau sumbu , selanjutnya bagilah luasan dalah bidang

yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.

c) Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas persegi panjang

d) Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.

e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi

menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas luasan.

Contoh:

1) Segitiga ABC terletak pada , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu

A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

Jawab

Gambar segitiga ABC adalah

Gambar 4.4

X

Y

)0,3(B)0,0(A

)7,3(C

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus

Diperoleh persamaan

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan

2) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.

Jawab

Luasan yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah

Gambar 4.5

Tampak pada gambar 4.5 di atas luasan yang diketahui (R) berada di atas sumbu x sehingga

luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu:

X2 2

Y

24 xy

R

3) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis

Gambar 4.6

Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan

R X

Y

4x

2yx

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :

Gambar 4.7

Luasan R pada gambar 4.7 di atas dibatasi oleh kurva .

Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x dinyatakan dalam

bentuk

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena

luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga

diperoleh:

Contoh

1) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis

Jawab

R)(yfx

Y

X

c

d

Luasan dan garis dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 4.8

Sehingga luas luasan tersebut adalah

b. Daerah antara dua kurva

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah dan

dengan pada selang . Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan

yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positip dan luasan negatip. Dengan demikian aturan

menentukan luas luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk

luasan yang dibatasi oleh dua kurva.

Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.

R X

Y

2y

2yx 2y

Gambar 4.9

Sehingga luas luasan dinyatakan dengan:

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan sumbu y, maka

luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan

Soal-soal

Gunakah integral tertentu untuk menentukan luas luasan berikut.

1. Luasan R dibatasi oleh kurva dan

2. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva , dan

3. Luasan R dibatasi oleh kurva dan

4. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva , dan . Kemudian hitunglah

luasnya.

5. Luasan R dibatasi oleh kurva dan

X

Y

ax bx

)(xgy

)(xfy

)()( xgxf

x

1.2 Volume Benda Putar

a. Pemutaran mengelilingi sumbu X

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh Selanjutnya R diputar

mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu X membentuk bangun berupa

benda padat (pejal). Dengan menggunakan integral tertentu volume benda padat tersebut dapat

didekati dengan menggunakan rumus: .

Gambar 4.10

Gambar 4.11

X

Y

ba

)(xfy

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu . Dengan

Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat

didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

Gambar 4.12

b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh Selanjutnya R diputar

mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut

volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu: .

Gambar 4.13

Gambar 4.14

X

Y

)(yfx

dy

cy

Gambar 4.15

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu . Dengan

Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat

didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume

adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum

dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan

tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung

menggunakan integral tentu sebagai berikut :

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap

suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit

tabung.

Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan sumbu putar

sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume

benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang

.

Misal pusat cakram dan jari-jari . Maka luas cakram dinyatakan :

Oleh karena itu, volume benda putar :

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan diputar mengelilingi

sumbu Y maka volume benda putar :

Bila daerah yang dibatasi oleh , untuk setiap

diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:

Bila daerah yang dibatasi oleh untuk setiap

diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :

Contoh :

1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : dan diputar

mengelilingi

a. sumbu X.

b. sumbu Y

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).

a. Pada selang .

Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh

b. Pada selang

Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh

2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :

dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di dan Pada selang berlaku .

Jarak kurva terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat dipandang

sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah dan

.

Sehingga volume benda putarnya adalah:

Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang

mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar yang

terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka

volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat

uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut dan , tinggi

tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :

Bila daerah yang dibatasi oleh diputar mengelilingi sumbu Y maka

kita dapat memandang bahwa jari-jari dan tinggi tabung Oleh karena

itu volume benda putar yang terjadi adalah

Misal daerah dibatasi oleh kurva diputar

mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan diputar

mengelilingi sumbu X, maka volume =

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh

diputar mengelilingi sumbu X.

Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

Contoh :

1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabola

Jawab

dan di atas parabola diputar mengelilingi sumbu Y.

Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada selang

dibatasi dan sumbu Y sedang pada selang dibatasi

dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =

2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh , sumbu X dan sumbu Y

bila diputar mengelilingi garis x = 1

Jawab

Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda pejal, dan

jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,

volume benda putar :

1.3 Panjang Busur

Gambar 4.16

Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva Berdasarkan definisi, AB

merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur

yang menghubungkan titik-titik pada busur itu. Jika

banyaknya titik-titik pada kurva banyaknya menuju tak hingga maka panjang tiap tali busur

tersebut menuju nol.

Selanjutnya jika dan sebarang dua titik pada kurva dengan turunan

adalah yang masing-masing kontinu pada interval maka panjang tali

busur dinyatakan oleh

Dengan cara yang sama, jika dan dua titik pada kurva yang persamaannya

dinyatakan dengan dengan turunannya adalah yang masing-masing

kontinu pada maka panjang busur AB dinyatakan oleh

BPn

2P

Y

X

)(xfy iP

jP

APo

1P

Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik

Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:

Contoh

1) Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis antara titik (1,5)

dan (3,9). Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak.

Jawab

Karena diperoleh sehingga

Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik

Kedua cara memberikan hasil yang sama.

2) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva jika dan

Jawab

Karena maka atau dan berubah dari dan sehingga

3) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva untuk .

Jawab

Karena maka

sehingga

Dengan menggunakan substitusi .

Misal diperoleh sehingga

Karena maka dan

Karena maka

Sehingga

4) Tentukan panjang tali busur pada kurva antara

Jawab

Karena maka

Atau sehingga diperoleh

Karena y berubah dari sehingga

\

5) Tentukan panjang tali busur pada kurva

Jawab

Karena maka dan karena maka

Sehingga diperoleh

Soal-soal

Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan oleh

1) antara dan

2) antara dan

3) antara dan

4) antara dan

5)

6)

1.4 Luas Permukaan Benda Putar

Jika sebuah luasan R yang terbatas bidang mengelilingi salah satu sumbu pada bidangnya

maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya dapat ditentukan luasnya

dengan menggunakan integral ternntu

Perhatikan gambar berikut.

R adalah suatu luasan yang dibatasai oleh kurva diputar mengelilingi sumbu

Gambar 4.17

Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas di atas diputar mengelilingi sumbu sehingga terbentuk

benda pejal

X

X)(xfy

R

ax bx

Gambar 4.18

Gambar 4.18 di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas dan

Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adalah

Selanjutnya andaikan dengan cara membuat partisi [a,b] menjadi n bagian dengan

menggunakan . Dengan demikian kurva yang terbagi terdiri atas n

bagian. Andaikan menyatakan panjang potongan dan andaikan adalah sebuah titik pada

potongan . Karena pita potongan diputar mengelilingi sumbu x maka luas pita tersebut dapat

dihampiri oleh Apabila luas semua potongan pita dijumlahkan dengan

diperoleh luas permukaan benda pejal dan ditunjukkan dengan limit partisi sebagai berikut:

X

X)(xfy

Rax bx bx

Dengan cara yang sama jika luasan diputar mengelilingi sumbu y dalam batasan garis dan

maka luas permukaannya dinyatakan dengan

Jika persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik dengan

maka luas permukaan benda pejal dinyatakan oleh rumus

Contoh soal

1) Luasan R dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu . Dengan

menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar

benda putarnya.

xy 6Y

Y

X X1x 1x

xy 6

R

Gambar 4.19

Karena maka

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan

dengan rumus:

2) Luasan R dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu y. dengan

menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar

benda putarnya.

Jawab

Gambar 4.20

X X

YY

2xy 1

Karena maka sehingga

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat

ditentukan dengan rumus:

3) Kurva diputar mengelilingi sumbu x, tentukan luas permukaan benda

pejal dengan terlebih dahulu menggambarkan.

Jawab

Gambar 4.21

Karena maka diperoleh

Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan

dengan rumus:

B .Aplikasi Integral Tak Tentu Dalam Bidang Ekonomi

Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi-fungsi ekonomiyang

merupakan fungsi primitif (fungsi asal) dari fungsi marginalnya. Mencari fungsi biaya total dari

X

Y Y

X

fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, fungsi konsumsi

dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal serta fungsi kapital

dari fungsi investasi.

Fungsi Biaya Total (C)

Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan sebaliknya biaya

marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total.

Fungsi Penerimaan Total (R)

Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginalnya, dan

sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total.

Fungsi Konsumsi (C)

Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC), dan

sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi.

Fungsi Tabungan (S)

Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS), dan

sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan.

Fungsi Model (K)

Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan integral

dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi bersih merupakan turunan pertama

dari fungsi kapital.

C=∫ MC dq

R=∫ MC dq

C=∫ MPC dy

S=∫ MPS dy

Kt=∫ I(t) dt

Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi marginalnya, di

bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat membedakan konsumsi (C), biaya total (C)

dengan tetapan/konstanta integrasi (C), khusus dalam integrasi biaya marginal dan konsumsi

marginal, maka tetapan integrasi di simbolkan dengan K.

Contoh 8.1

Biaya Marginal di tunjukkan oleh MC=150-80q+10q2. Biaya tetapnya adalah 134. Carilah

fungsi biaya totalnya, fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya variabelnya.

Penyelesaian

Fungsi biaya total,

C = ∫ MC dq

= (150 - 80q + 10q2)dq

(K = Konstanta Integrasi)

Bila q = 0 dimasukkan ke dalam fungsi C = f(q) tersebut, didapat biaya tetap (FC) sebagai

berikut :

134 = K = FC

Jadi, fungsi biaya totalnya adalah :

Fungsi biaya rata-ratanya

Fungsi biaya variabel

VC = C – FC

Contoh 8.2

Penerimaan marginal di tunjukkan oleh MR = 20 – 4q

(q = kuantitas barang)

Tentukanlah :a.Fungsi penerimaan totalb.Fungsi permintaanPenyelesaian

(a) Fungsi penerimaan total

R = ∫ MR dq

= ∫ (20 – 4q) dq

= 20q – 2q2 + C

Bila q = 0, maka R = 0. Selanjutnya nilai C (konstanta Integrasi) dicari dengan

memasukkan q = 0 dan R = 0 ke dalam persamaandi atas akan di dapat nilai C sebagai

berikut :

R = 20 q – 2q2 + C

0 = 20 (0) – 2 (0)2 + C

C = 0

Jadi, fungsi penerimaan totalnya adala :

R = f(q)

= 20q – 2q2

(b) Fungsi permintaaan

R = q.p →

Jadi, fungsi permintaannya adalah q =

Contoh 8-3Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah 0,8. Bila pendapatan nol (y = 0)

maka besarnya konsumsi adalah 50.Tentukanlah besar konsumsinya.Penyelesaian

C = ∫ MPC dy = ∫ 0,8 dy = ∫ 0,8 y + K

Selanjutnya di cari terlebih dahulu nilai K (Konstanta Integrasi) degan memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 50, ke dalam persamaan di atas akan di dapat K sebagai berikut :

C = 0,8 y + K50 = 0,8 (0) + KK = 50

Jadi, fungsi konsumsinyaC = f(y) = 0,8 y + K = 0,8 y + 50

Contoh 8-4Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah MPC =

. Apabila pendapatan nol (y = 0), konsumsinya sebesar 10.Tentukanlah fungsi konsumsinya C = f(y).PenyelesaianFungsi konsumsinya

C = ∫ MPC dy

Selanjutnya di cari terlebih dahulu ilai (K=Konstanta Integrasi) dengan memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 10 ke dalam persamaan di atasdi dapat K sebagai berikut :

Jadi, fungsi konsumsinya,

C = f (y)

Contoh 8-5Hasrat marginal untuk menabung, MPS = 0,25Bila pendapatan nasional 100, terjadi tabungan negatif sebesar 10.Tentukanlah fungsi tabungan, S = f(y) dan tentukanlah pula fungsi konsumsi C = f(y).Penyelesaian

MPS = 0,25 S = ∫ MPS dy

= ∫ (0,25) dy= 0,25y + K

Selanjutnya di cari terlebih dahulu nila K (konstanta Integrasi) dengan memasukkan y = 100 dan S = -10 ke dalam persamaan di atas di dapat K sebagai berikut :

S = 0,25y + K-10 = 0,25 (100) + K-10 = 25 + KK = -35

Jadi, fungsi tabungannyaS = f (y)

= 0,25y + K= 0,25y - 35= -35 + 0,25y

Fungsi konsumsinyaY = C + SC = y – S

= y – (-35 + 0,25y)= y + 35 – o,25y= 35 + 0,75y

Jadi, fungsi konsumsinya,C = f (y)

= 35+ 0,75yContoh 8- 6Tingkat investasi bersih, l = 20 t2/5 dan stok kapital (modal) pada awal tahun, t = 0 adalah 75 . Tentukanlah fungsi kapitalnyaPenyelesaian

l(t) = 20 t2/5Kt = ∫ l(t) dt = 20 ∫ t2/5 dt

Selanjutnyadicari terlebih dahulu nilai C(konstantaintegrasi) dengan memasukkan nilai t = 0

dan Kt = 75, kedalam persamaan diatas didapat nilai C sebagai berikut :

75 = C

Jadi fungsi kapitalnya Kt = f(t)

Contoh 8 – 7

Tingkat investasi bersih adalah l = 50 t2/3 dan stok kapital pada tahun pertama ( t = 1) adalah

150.carilah fungsi kapitalya. Selanjutnya berapakah besar kapital pada tahun ke empat.

Penyelesaian

I = 50 t2/3

Kt = ∫I(t) dt

= ∫(50t2/3) dt = 50 ∫ t2/3 dt

Dicari terlebih dahulu nilai C (konstanta integrasi) dengan memasukkan t = 1 dan K t = 150

ke dalam persamaan di atas, didapat nilai C sebagai berikut :

Kt

150 = 30 (1) 5/3+C

150 = 30(1) + C

C = 120

Jadi, fungsi kapitalnya

Kt = f(t)

Besarnya capital pada tahun keempat ( t = 4)

Kt

Contoh 8 – 8

Biaya marginal untuk memproduksi sejenis barang

MC = 3q2 – 24q + 45

Jika untuk memproduksi 1 unit barang tersebut diperlukan biaya 44 tentukanlah :

(a) Fungsi biaya totalnya

(b) Besar biaya total, biaya rata-rata serta biaya marginal pada saat output 2 unit

Penyelesaian

(a) Fungsi biaya total, → C = ∫ (MC) dq

= ∫ (3q2 – 24q + 45) dq

= q3 – 12q2 + 45q + K

SELANJUTNYA NILAI K (KONSTANTA INTEGRASI) DICARI TERLEBIH DAHULU

DENGAN MEMASUKKAN Q = 1 DAN C (BIAYA) = 44 KE DALAM PERSAMAAN DI

ATAS DI DAPAT :

C = Q3 – 12Q2 + 45Q + K

44= (1)3 – 12(1)2 + 45(1) + K

K = 44 – 34

= 10

JADI FUNGSI BIAYA TOTALNYA

C = Q3 – 12Q2 + 45Q + K

= Q3 – 12Q2 + 45Q + 10

(b) Besarnya biaya total, bila q = 2

C = q3 – 12q2 + 45q + 10

= (2)3 – 12(2)2 + 45(2) + 10

= 60

Besarnya biaya rata-rata, bila q = 2

Besarnya biaya marginal, bila q = 2MC = 3q2- 24q +45 = 3(2)2 – 24(2) + 45 = 9

Contoh 8-9Seorang monopolis memiliki fungsi

MR = 16 – 5QMC = 4Q – 2FC = 10

q = kuantitas output dan p = harga per unit output. Apabila si monopolis menghendaki keuntungan yang maksimum,

(a) Berapa unitkah sebaiknya ia berproduksi dan dengan harga berapa tiap output unit di jual.

(b) Berapa besar keuntungan yang akan di peroleh si monopolis

PenyelesaianMR = 16 – 5qR” = -5R = ∫ MR dq

= ∫ (16 – 5q) dq= 16q – 5/2q2 + K= -5/2 q2 + 16q + K

MC = 4q – 2C” = 4C = ∫ MC.dq = ∫ (4q – 2) dq = 2q2 – 2q + KBila q = 0, maka C = FC = 10.

Selanjutnya nilai K (Konstanta Integrasi) di cari terlebih dahulu dengan memasukkan q = 0, C = 10 ke dalam persamaan di atas, di dapat :

C = 2q2 – 2q + K10 = 2(0)2 – 2(0) + K10 = kJadi, C = 2q2- 2q + K

= 2q2- 2q + 10Bila q = 0, maka R = 0, selanjutnya nila K (Konstanta Integrasi) di cari terlebih dahulu dengan memasukkan q = 0, R = 0 ke dalam persamaan di atas, di dapat :

R = 16q – 5/2 q2 + K0 = 16 (0) – 5/2(0)2 + K

K = 0Jadi, R = 16q – 5/2q2 +0 = -5/2q2 + 16 q

Besarnya profit/laba,

Laba tersebut akan maksimum bila memenuhi dua syarat :

1) MR = MC → 16q – 5q = 4q – 2

9q = 18 q = 2

2) R” < C” → R” = -5 < C” = 4 (maksimum pada q = 2)

Besarnya laba maksimum tersebut,

Besarnya harga per unit output (p)

Jadi,a). untuk mendapatkan laba yang maksimum, sebaiknya si monopolis berproduksi

sebanyak 2 unit, dengan harga jual per unit 11b). keuntungan maksimum yang akan diperoleh sebesar 8Contoh 8 – 10Fungsi MPS suatu masyarakat adalah

Bila pada tingkat pendapatan masyarakat nol (y = 0), maka tabungannya minus 10ditanyakan :

a). fungsi savingnyab). fungsi MPC –nyac). fungsi konsumsinyad). kalau pendapatan masyarakat tersebut 100, hitunglah besarnya MPC dan

tingkat konsumsi masyarakat tersebut.

Penyelesaian (a).

Fungsi savingnyaS = ∫MPS dy

Dicari terlebih dahulu nilai K (konstanta integrasi) dengan memasukkan y = 0 dan S = -10, kedalam persamaan diatas didapat nilai K sebagai berikut :

Jadi, fungsi savingnya adalah :

(b). fungsi MPC –nys

MPC + MPS = 1MPC = 1 – MPS

(C). Fungsi konsumsi C = ∫ MPC dy

Terlebih Dahulu dicari C(konsumsi). Nillai C ini di dapat dengan memasukkan Y = 0 dan S = -10 kedalam persamaan berikut :

Y = C + S 0 = C – 10C = 10

barulah kemudian dicari nilai K (konstanta integrasi), dengan memasukkan C = 10 dan Y = 0 kedalam persamaan (*) didapat,

GAMBAR GRAFIKNYA

fd : q = 9 p2q 9 0 5p 0 3 2

fs : q = p2 + 2p - 3q 0 5 12p 1 2 3

q (0,9) fs

fdPs Cs

0 (1,0) 3

Surplus Konsumen dan Surplus Produsen

Surplus Konsumen (Consumer’s surplus ) mencerminkan suatu keuntungan lebih atau

surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu yang terjadi karena terdapat selisih harga

antara harga maksimum yang diminta produsen dan harga yang dapat dibayar konsumen

(yang disebabkan oleh terjadinya keseimbangan harga dipasar) sedangkan,

Surplus Produsen (Producer’s surplus) mencerminkan suatu keuntungan lebih atau surplus

yang dinikmati oleh produsen tertentu yang terjadi karena terdapat selisih harga antara harga

minimum yang diminta konsumen dan harga yang dapat diterima produsen (yang

disebabkan oleh terjadinya keseimbangan harga dipasar)

Berikut posisi surplus konsumen dan surplus produsen dalam grafik fungsi permintaan dan

penawaran

P

Qs

Cs

Pe

Ps

Qd

Qe Q

Maka Surplus Konsumen dapat dicari dengan rumus :

Cs =

Sedangkan rumus Surplus Produsen adalah :

Ps = QePe -

Contoh :

Penawaran dan permintaan akan suatu barang dipasar masing – masing ditunjukan oleh Qs = -

30 + 5 P dan Qd = 60 – 4 P. Berapa surplus konsumen dan produsen ?

Penawaran :

Qs = - 30 + 5 P

Ps = 6 + 0,20 Q

Permintaan :

Qd = 60 – 4 P

Pd = 15 – 0,25 Q

Keseimbangan pasar :

Qs = Qd

- 30 + 5 P = 60 – 4 P

9 P = 90

P = 10 ≡ Pe

Qd = 60 – 4 P = 60 – 4(10) = 60 – 40 = 20 ≡ Qe

P

Qs

15 Cs

10

Ps

6 Qd

20 Q

Surplus konsumen :

Cs =

=

=

= 250 – 200 = 50

Surplus Produsen : Ps = QePe -

eQ

s dQQf0

)( = (20)(10) -

20

0

)20,06( dQQ

= 200 - 200

210,06 QQ = 200 – 160=40

Daftar PustakaBudnick,S. Frank . applied matemathics for business, economics, and the sosial science. Edisi

ke -4, Chiang,C . alpha fundamental methods of mathematical economics. Ed. Ke -3, new york : Mc

Graw – Hill , 1984. Bab 13Dowling, Edward T. matemathical for economists. Singapore : McGraw – Hill , 1980. Bab 17

Haningsih,luna.Modul 7 integral lanjutanNanang.kartu lipat pintar kelas 12.Singapore : Mcraw – Hill, 1993. Bab 19Weber,jean E. mathematical analysis, Business and Economics applications. Ed. Ke -4. new

york : harper & Rao, publisher, 1982. Bab 4