Assalamu’alaikum Wr. Wb

AWALLYSA KUMALA SARI

BINOMIAL NEWTON

Jika a dan b adalah variabel-variabel real tidak nol, maka bentuk aljabar (a+b) disebut suku dua atau binom dalam a dan b. Binom (a+b) dipangkatkan dengan n (n adalah bilangan-bilangan asli) dituliskan:(a + b)n

Hasil penjabaran binom (a + b)n ditentukan oleh nilai n.

Contoh untuk n = 2 memberikan hasil penjabaran binom (a + b)2 sebagai berikut:(a + b)2 = (1)a2 + (2) ab + (1)b2

Bilangan 1, 2 dan 1 yang berada dalam tanda kurung disebut koefisien-koefisien penjabaran binom (a + b)n untuk n = 2.

Untuk n = 1 (a + b)1 =

Untuk n = 2 (a + b)2 =

Untuk n = 3 (a + b)3 =

Untuk n = 4 (a + b)4 =

Untuk n = 5 (a + b)5 =

(1)a1 b0 + (1) a0 b1

(1)a2 b0 + (2) a1 b1 + (1)a0 b2

(1)a3 b0 + (3) a2 b1 + (3)a1 b2 + (1) a0 b3

(1)a4 b0 + (4) a3 b1 + (6)a2 b2 + (4) a1 b3 + (1)a0 b4

(1)a5 b0 + (5) a4 b1 + (10)a3 b2 + (10) a2 b3 + (5)a1 b4 +(1) a0 b5

Tampak bahwa koefisien-koefisien identitas diatas memperlihatkan adanya suatu aturan yang dikenal dengan Segitiga Pascal, yaitu:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Dalam hubungan dengan kombinasi dapat dituliskan sebagai berikut:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

senilai dengan :

senilai dengan :

senilai dengan :

senilai dengan :

senilai dengan :

11

10 ,CC

,, 22

21

20 CCC

33

32

31

30 C,,, CCC

C,,,, 44

43

42

41

40 CCCC

C, C,,,, 55

54

53

52

51

50 CCCC

Dari Contoh :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = b222

21

220 CabCaC

Maka diperoleh :

(a + b)n = nn

nnn

nnnnnnn baCbaCbaCbaCbaC 011

122

211

10

0 ...

(a + b)n = nn

nnn

nnnnnnn baCbaCbaCbaCbaC 011

122

211

10

0 ...

Bentuk Binomial Newton

Rumus suku ke-r adalah = 11

1

rrnn

r baC

n

r

rrnnr yxC

0(a + b)n =

Contoh soal:

1.Dengan memakai bentuk umum penjabaran binomial Newton:

Uraian bentuk (a + b)6!

Jawab :

6066

5165

4264

3363

2462

1561

0660 ba C aCb,0 baCbaCbaCbaCbaC

= b6 + 6 a5b + 15 a4 b2 + 20 a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b5

(a + b)6 =

6

0

rrnnr yxC

242422662 15

!4!2

!6. yxyxyxC

2. Tentukan suku ke-3 dari (x+y)6

Jawab :

(x+y)6 =

Suku ke-3 berarti r = 2 dan n = 6, maka :

3. Hitung koefisien x10dari perpangkatan (x3-2x)6

Jawab :

Jadi, koefisien x10 dari perpangkatan (x3-2x)6 adalah 96

SOAL LATIHAN

1. Dengan menggunakan Binomial Newton, uraikan bentuk (2x-3y)5

2. Tentukan suku keenam dari (x+8)7

3. Tentukan koefisien suku x3 dari bentuk (2x+y)7