Bilinear Form

download Bilinear Form

of 19

  • date post

    23-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    162
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Bilinear Form

BENTUK BILINEAR DAN KUADRAT KONGRUENSI Dua matriks A dan B berordo nxn disebut kongruen jika terdapat suatu matriks non singular P sedemikian sehingga: B = PTAP Matriks-matriks kongruen mempunyai rank sama Bila P diekspresikan sebagai hasilkali matriks kolom elementer, maka PT adalah hasilkali matriks elementer baris yg sama dalam urutan terbalik KONGRUENSI A dan B kongruen dengan syarat A dapat direduksi menjadi B dengan memakai sebarisan pasangan transformasi elementer. Tiap pasangterdiri atas suatu transformasi elementer baris yang diikuti transformasi elementer kolom yang sama KONGRUENSI Setiap matriks simetris A dengan rank r kongruen terhadap suatu matriks diagonal yang r elemen pertama adalah tak nol dan elemen lain nol. Contoh: Tentukan matriks non singular P sehingga D = PTAP adalah diagonal (((((

=8 10 8 210 8 5 38 5 3 22 3 2 1AKONGRUENSI | |(((((

=1 0 0 0 8 10 8 20 1 0 0 10 8 5 30 0 1 0 8 5 3 20 0 0 1 2 3 2 1H A(((((

~1 0 0 2 12 4 4 00 1 0 3 4 1 1 00 0 1 2 4 1 1 00 0 0 1 0 0 0 1KONGRUENSI (((((

~1 0 4 10 4 0 0 00 1 1 1 0 0 0 00 0 1 2 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1| |TP D =(((((

~0 1 1 1 0 0 0 01 0 4 10 0 4 0 00 0 1 2 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1KONGRUENSI (((((

=0 1 0 01 0 0 01 4 1 01 10 2 1P Matriks D yg berasal dari A yang direduksi tidak unik. Misalnya transformasi H3() dan K 3() akan menggantikan D dengan (((((

=0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1DBENTUK BILINEAR Suatu ekspresi yang linear dan homogen pada setiap himpunan peubah (x1, x2, ...xn) dan (y1, y2, ...yn) disebut bentuk bilinear dari peubah-peubah ini. Bentuk umum:f(x,y) =a11x1y1+ a12x1y2 + ...+ a1nx1yn + a21x2y1+ a22x2y2+ ...+ a2nx2yn + ................................................ + am1xmy1 + am2xmy2 + ... + amnxmyn BENTUK BILINEAR

= ==minjj i ijy x a y x f1 1) , (| |(((((

(((((

=n mn m mnnmyyya a aa a aa a ax x x212 12 22 211 12 112 1..... .......... ....................AY XT=BENTUK BILINEAR

| |((((

((((

=3213 2 11 0 00 1 11 0 1yyyx x xAY XT=Contoh: Bentuk bilinear x1y1+ x1y3+ x2y1 + x2y2+ x3y3

BENTUK KANONIK

Misalnya m buah x dapat digantikan oleh peubah baru u melalui transformasi linear: dan n buah y dapat digantikan oleh peubah baru v melalui transformasi linear: Sehingga: BU X atau m i u b xnjj ij i= = ==) ,... 2 , 1 ( ,1CV Y atau n i v c ynjj ij i= = ==) ,... 2 , 1 ( ,1V AC B U CV A BU AY XT T T T) ( ) ( ) ( = =BENTUK KANONIK

((

=0 00rIPAQDua bentuk bilinear disebut setara jika dan hanya jika terdapat transformasi linear tak singular yang membawa bentuk satu kebentuk lainnya. 1. Dua bentuk bilinear dengan matriks A dan B ordo mxn setara jika rank keduanya sama. Jika rank matriks P dan Q non singular maka BENTUK KANONIK

r rrT Tv u v u v u VIU V PAQ U + + + =((

= ...0 00) (2 2 1 1Dengan mengambil B = PT dan C = Q, bentuk bilinear direduksi ke: 2. Sembarang bentuk bilinear dengan rank r dapat direduksi melalui transformasi linear non singular menjadi bentuk kanonik r rv u v u v u + + + ...2 2 1 1BENTUK KANONIK

Contoh: tentukan bentuk kanonik dari matriks berikut ((((

=1 0 00 1 11 0 1ABENTUK KUADRAT

Polinom homogen: Yang koefisien-koefisien aij adalah elemen bentuk kuadrat dalam peubah-peubah x1, x2, , xn. = == =ninjj i ijTy x a AX X q1 1BENTUK KUADRAT

Contoh: q = x12 + 2x22 7x32 4x1x2 + 8x1x3 Matriks simetri A = [aij] disebut matriks dari bentuk kuadrat dan rank A disebut rank bentuk kuadrat. Jika rank r