SISTEM BILANGAN

Sistem Bilangan atau Number System adalah Suatu cara untuk mewakili besaran

dari suatu item fisik. Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau

basis (base / radix) yang tertentu. Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4

Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu : Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2),

Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelesan mengenai 4

Sistem Bilangan ini :

1. Desimal (Basis 10)

Desimal (Basis 10) adalah Sistem Bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Sistem bilangan desimal dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction).

Untuk melihat nilai bilangan desimal dapat digunakan perhitungan seperti berikut, misalkan contoh bilangan desimal adalah 8598. Ini dapat diartikan :

Dalam gambar diatas disebutkan Absolut Value dan Position Value. Setiap simbol dalam sistem bilangan desimal memiliki Absolut Value dan Position Value. Absolut value adalah Nilai Mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position Value adalah Nilai Penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel dibawah ini.

Dengan begitu maka bilangan desimal 8598 bisa diartikan sebagai berikut :

Sistem bilangan desimal juga bisa berupa pecahan desimal (decimal fraction), misalnya : 183,75 yang dapat diartikan :

2.Biner(Basis2)

Biner (Basis 2) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 0 dan 1. Bilangan Biner ini di populerkan oleh John Von Neumann. Contoh Bilangan Biner 1001, Ini dapat di artikan (Di konversi ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :

Position Value dalam sistem Bilangan Biner merupakan perpangkatan dari nilai 2 (basis), seperti pada tabel berikut ini :

Berarti, Bilangan Biner 1001 perhitungannya adalah sebagai berikut :

3. Oktal (Basis 8)

Oktal (Basis 8) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 8 Simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Contoh Oktal 1024, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :

Position Value dalam Sistem Bilangan Oktal merupakan perpangkatan dari nilai 8 (basis), seperti pada tabel berikut ini :

Berarti, Bilangan Oktal 1022 perhitungannya adalah sebagai berikut :

4. Hexadesimal (Basis 16)

Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan Desimal berarti 10 adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada Sistem Bilangan Hexadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf. Huruf A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya sampai Huruf F mewakili angka 15.

Contoh Hexadesimal F3D4, Ini dapat di artikan (Di konversikan ke sistem bilangan desimal) menjadi sebagai berikut :

Position Value dalam Sistem Bilangan Hexadesimal merupakan perpangkatan dari nilai 16 (basis), seperti pada tabel berikut ini :

Berarti, Bilangan Hexadesimal F3DA perhitungannya adalah sebagai berikut :

Bilangan Biner

Sebagai contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157:

157(10) = (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)

Perhatikan! bilangan desimal ini sering juga disebut basis 10. Hal ini dikarenakan perpangkatan 10 yang didapat dari 100, 101, 102, dst.

Mengenal Konsep Bilangan Biner dan DesimalPerbedaan mendasar dari metoda biner dan desimal adalah berkenaan dengan basis. Jika desimal berbasis 10 (X10) berpangkatkan 10x, maka untuk bilangan biner berbasiskan 2 (X2) menggunakan perpangkatan 2x. Sederhananya perhatikan contoh di bawah ini!

Untuk Desimal:14(10) = (1 x 101) + (4 x 100)= 10 + 4= 14

Untuk Biner:1110(2) = (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)= 8 + 4 + 2 + 0= 14

Bentuk umum dari bilangan biner dan bilangan desimal adalah :

Biner 1 1 1 1 1 1 1 1 11111111

Desimal 128 64 32 16 8 4 2 1 255

Pangkat 27 26 25 24 23 22 21 20 X1-7

Sekarang kita balik lagi ke contoh soal di atas! Darimana kita dapatkan angka desimal 14(10) menjadi angka biner 1110(2)?

Mari kita lihat lagi pada bentuk umumnya!

Biner 0 0 0 0 1 1 1 0 00001110

Desimal 0 0 0 0 8 4 2 0 14

Pangkat

27 26 25 24 23 22 21 20 X1-7

Mari kita telusuri perlahan-lahan! Pertama sekali, kita jumlahkan angka pada desimal sehingga menjadi 14. anda

lihat angka-angka yang menghasilkan angka 14 adalah 8, 4, dan 2! Untuk angka-angka yang membentuk angka 14 (lihat angka yang diarsir), diberi

tanda biner “1”, selebihnya diberi tanda “0”. Sehingga kalau dibaca dari kanan, angka desimal 14 akan menjadi 00001110

(terkadang dibaca 1110) pada angka biner nya.

Mengubah Angka Biner ke DesimalPerhatikan contoh!1. 11001101(2)

Biner 1 1 0 0 1 1 0 1 11001101

Desimal 128 64 0 0 8 4 0 1 205

Pangkat 27 26 25 24 23 22 21 20 X1-7

Note: Angka desimal 205 didapat dari penjumlahan angka yang di arsir

(128+64+8+4+1) Setiap biner yang bertanda “1” akan dihitung, sementara biner yang bertanda

“0” tidak dihitung, alias “0” juga.

2. 00111100(2)

Biner 0 0 1 1 1 1 0 0 00111100

0 0 0 32 16 8 4 0 0 60

Pangkat 27 26 25 24 23 22 21 20 X1-7

Mengubah Angka Desimal ke BinerUntuk mengubah angka desimal menjadi angka biner digunakan metode pembagian dengan angka 2 sambil memperhatikan sisanya.

Perhatikan contohnya!1. 205(10)

205 : 2 = 102 sisa 1102 : 2 = 51 sisa 051 : 2 = 25 sisa 125 : 2 = 12 sisa 112 : 2 = 6 sisa 06 : 2 = 3 sisa 03 : 2 = 1 sisa 11 sebagai sisa akhir “1”

Note:Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan dilakukan dari bawah yang berarti 11001101(2)

2. 60(10)

60 : 2 = 30 sisa 030 : 2 = 15 sisa 015 : 2 = 7 sisa 17 : 2 = 3 sisa 13 : 2 = 1 sisa 11 sebagai sisa akhir “1”

Note:Dibaca dari bawah menjadi 111100(2) atau lazimnya dituliskan dengan 00111100(2). Ingat bentuk umumnnya mengacu untuk 8 digit! Kalau 111100 (ini 6 digit) menjadi 00111100 (ini sudah 8 digit).

Aritmatika BinerPada bagian ini akan membahas penjumlahan dan pengurangan biner. Perkalian biner adalah pengulangan dari penjumlahan; dan juga akan membahas pengurangan biner berdasarkan ide atau gagasan komplemen.

Penjumlahan BinerPenjumlahan biner tidak begitu beda jauh dengan penjumlahan desimal. Perhatikan contoh penjumlahan desimal antara 167 dan 235!

1 7 + 5 = 12, tulis “2” di bawah dan angkat “1” ke atas!167235---- +402

Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah aturan pasangan digit biner berikut:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 1 = 0 dan menyimpan 1

sebagai catatan bahwa jumlah dua yang terakhir adalah :1 + 1 + 1 = 1 dengan menyimpan 1

Dengan hanya menggunakan penjumlahan-penjumlahan di atas, kita dapat melakukan penjumlahan biner seperti ditunjukkan di bawah ini:

1 1111 “simpanan 1” ingat kembali aturan di atas!01011011 bilangan biner untuk 9101001110 bilangan biner untuk 78------------ +10101001 Jumlah dari 91 + 78 = 169

Silahkan pelajari aturan-aturan pasangan digit biner yang telah disebutkan di atas!

Contoh penjumlahan biner yang terdiri dari 5 bilangan!11101 bilangan 1)

10110 bilangan 2)

1100 bilangan 3)

11011 bilangan 4)

1001 bilangan 5)

-------- +

untuk menjumlahkannya, kita hitung berdasarkan aturan yang berlaku, dan untuk lebih mudahnya perhitungan dilakukan bertahap!

11101 bilangan 1) 10110 bilangan 2) ------- + 110011 1100 bilangan 3) ------- + 111111 11011 bilangan 4) ------- + 011010 1001 bilangan 5) ------- +1100011 Jumlah Akhir .

Berapakah bilangan desimaluntuk bilangan 1,2,3,4 dan 5 !!

Berapakah bilangan desimaluntuk bilangan 1,2,3,4 dan 5 !!

sekarang coba tentukan berapakah bilangan 1,2,3,4 dan 5! Apakah memang perhitungan di atas sudah benar?

Pengurangan BinerPengurangan bilangan desimal 73426 – 9185 akan menghasilkan:

73426 lihat! Angka 7 dan angka 4 dikurangi dengan 1 9185 digit desimal pengurang.--------- -64241 Hasil pengurangan akhir .

Bentuk Umum pengurangan :0 – 0 = 01 – 0 = 01 – 1 = 00 – 1 = 1 dengan meminjam ‘1’ dari digit disebelah kirinya!

Untuk pengurangan biner dapat dilakukan dengan cara yang sama. Coba perhatikan bentuk pengurangan berikut:

1111011 desimal 123 101001 desimal 41--------- -1010010 desimal 82

Pada contoh di atas tidak terjadi “konsep peminjaman”. Perhatikan contoh berikut!

0 kolom ke-3 sudah menjadi ‘0’, sudah dipinjam!111101 desimal 61 10010 desimal 18 ------------ -101011 Hasil pengurangan akhir 43 .

Pada soal yang kedua ini kita pinjam ‘1’ dari kolom 3, karena ada selisih 0-1 pada kolom ke-2. Lihat Bentuk Umum!

7999 hasil pinjaman800046397261--------- -402705

Sebagai contoh pengurangan bilangan biner 110001 – 1010 akan diperoleh hasil sebagai berikut:

1100101 1010 ---------- - 100111

KomplemenSalah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua). Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini:

“Komplemen sembilan dari bilangan desimal diperoleh dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan 9, sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1”

Lihat contoh nyatanya!Bilangan Desimal 123 651 914Komplemen Sembilan 876 348 085Komplemen Sepuluh 877 349 086 ditambah dengan 1!

Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya adalah simetris. Jadi, dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari 123 adalah 876 dengan simple menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )!Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1 pada komplemen 9, berarti 876+1=877!

Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh!

893 893 893321 678 (komp. 9) 679 (komp. 10)---- - ---- + ---- +572 1571 1572

1

---- + 572 angka 1 dihilangkan!

Analogi yang bisa diambil dari perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masing-masing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0. Sedangkan komplemen dua adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .!

Bilangan Biner 110011 101010 011100Komplemen Satu 001100 010101 100011Komplemen Dua 001101 010110 100100

Pengurangan biner 110001 – 1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini!

110001 110001 110001001010 110101 110110--------- - --------- + --------- +100111 100111 1100111

dihilangkan!

Alasan teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan memperhatikan sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang membaca nol!

Sistem Oktal dan Heksa DesimalBilangan oktal adalah bilangan dasar 8, sedangkan bilangan heksadesimal atau sering disingkat menjadi heks. ini adalah bilangan berbasis 16. Karena oktal dan heks ini merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki hubungan yang sangat erat. oktal dan heksadesimal berkaitan dengan prinsip biner!

1. Ubahlah bilangan oktal 63058 menjadi bilangan biner !

6 3 0 5 oktal110 011 000 101 biner

Note: Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit (biner) Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Oktal di bawah!

2. Ubahlah bilangan heks 5D9316 menjadi bilangan biner !

heks biner5 0101D 1101

9 10013 0011

Note: Jadi bilangan biner untuk heks 5D9316 adalah 0101110110010011 Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Heksadesimal di bawah!

3. Ubahlah bilangan biner 1010100001101 menjadi bilangan oktal !

001 010 100 001 101 biner3 2 4 1 5 oktal

Note: Kelompokkan bilangan biner yang bersangkutan menjadi 3-bit mulai dari kanan!

4. Ubahlah bilangan biner 101101011011001011 menjadi bilangan heks !

0010 1101 0110 1100 1011 biner2 D 6 C B heks

Tabel Digit OktalDigit Oktal Ekivalens 3-Bit

0 0001 0012 0103 0114 1005 1016 1107 111

Tabel Digit HeksadesimalDigit Desimal Ekivalens 4-Bit

0 00001 00012 00103 00114 0100

5 01016 01107 01118 10009 1001

A (10) 1010B (11) 1011C (12) 1100D (13) 1101E (14) 1110F (15) 1111

Gerbang logikaPENGERTIAN

Gerbang logika atau gerbang logik adalah suatu entitas dalam elektronika dan matematika

Boolean yang mengubah satu atau beberapa masukan logik menjadi sebuah sinyal keluaran

logik. Gerbang logika terutama diimplementasikan secara elektronis menggunakan dioda

atau transistor, akan tetapi dapat pula dibangun menggunakan susunan komponen-

komponen yang memanfaatkan sifat-sifat elektromagnetik (relay), cairan, optik dan bahkan

mekanik.

Ringkasan jenis-jenis gerbang logika

Nama Fungsi Lambang dalam rangkaian Tabel

kebenaran

IEC 60617-12 US-Norm

DIN 40700

(sebelum

1976)

Gerbang-

AND

(AND)

A B Y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Gerbang-OR

(OR)

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Gerbang-

NOT

(NOT,

Gerbang-

komplemen,

Pembalik(Inver

ter))

\

A Y

0 1

1 0

Gerbang-

NAND

(Not-AND)

A B Y

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Gerbang-

NOR

(Not-OR)

A B Y

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Gerbang-

XOR

(Antivalen,

Exclusive-OR)

atau

A B Y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Gerbang-

XNOR

(Ekuivalen,

Not-Exclusive-

OR)

atau

A B Y

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

PENJELASAN GERBANG LOGIKA

Gerbang Logika adalah rangkaian dengan satu atau lebih dari satu sinyal masukan tetapi

hanya menghasilkan satu sinyal berupa tegangan tinggi atau tegangan rendah.Dikarenakan

analisis gerbang logika dilakukan dengan Aljabar Boolean maka gerbang logika sering juga

disebut Rangkaian logika. Gerbang logika merupakan dasar pembentukan sistem digital.

Gerbang logika beroperasi dengan bilangan biner, sehingga disebut juga gerbang logika

biner.Tegangan yang digunakan dalam gerbang logika adalah TINGGI atau RENDAH.

Tegangan tinggi berarti 1, sedangkan tegangan rendah berarti 0.

Ada 7 gerbang logika yang kita ketahui yang dibagi menjadi 2 jenis, yaitu :

1. Gerbang logika Inventer

Inverter (pembalik) merupakan gerbang logika dengan satu sinyal masukan dan satu sinyal

keluaran dimana sinyal keluaran selalu berlawanan dengan keadaan sinyal masukan.

Input (A) Output ( )

Rendah Tinggi

0 1

Tinggi Rendah

1 0

Tabel Kebenaran/Logika Inverter

Inverter disebut juga gerbang NOT atau gerbang komplemen (lawan) disebabkan keluaran

sinyalnya tidak sama dengan sinyal masukan.

2. Gerbang logika non-Inverter

Berbeda dengan gerbang logika Inverter yang sinyal masukannya hanya satu untuk gerbang

logika non-Inverter sinyal masukannya ada dua atau lebih sehingga hasil (output) sinyal

keluaran sangat tergantung oleh sinyal masukannya dan gerbang logika yang dilaluinya

(NOT, AND, OR, NAND, NOR, XO , XNO ). Yang termasuk gerbang logika non-Inverter

adalah :

Input (A) Input (B) Output (Y)

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Tabel Logika AND dengan dua masukan.

Input Input Input Output

(A) (B) (C) (Y)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Tabel Logika AND dengan tiga masukan.

* untuk mempermudah mengetahui jumlah kombinasi sinyal yang harus dihitung

berdasarkan inputanya, gunakan rumus ini :

- 2 pangkat n , dimana n adalah jumlah input.

Contoh :

n = 2 maka -2 pangkat n = 4, jadi jumlah kombinasi sinyal yang harus dihitung sebanyak 4

kali.

Adapun   gerbang logika adalah sebagai berikut:

1. Gerbang AND

Gerbang AND digunakan untuk menghasilkan logika 1 jika semua masukan mempunyai

logika 1, jika tidak maka akan dihasilkan logika 0.Gerbang AND mempunyai dua atau

lebih dari dua sinyal masukan tetapi hanya satu sinyal keluaran. Dalam gerbang AND,

untuk menghasilkan sinyal keluaran tinggi maka semua sinyal masukan harus bernilai

tinggi. Gerbang Logika AND pada Datasheet nama lainnya IC TTL 7408.

Masukan

A B

Keluaran

Y

0 0

0 1

1 0

1 1

0

0

0

1

Tabel Kebenaran AND

Pernyataan Boolean untuk Gerbang AND

A . B = Y (A and B sama dengan Y )

2. Gerbang NAND (Not AND)

Gerbang NAND akan mempunyai keluaran 0 bila semua masukan pada logika 1.

sebaliknya jika ada sebuah logika 0 pada sembarang masukan pada gerbang NAND, maka

keluaran akan bernilai 1.Gerbang NAND adalah suatu NOT-AND, atau suatu fungsi AND

yang dibalikkan. Dengan kata lain bahwa gerbang NAND akan menghasilkan sinyal

keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai tinggi. Gerbang Logika NAND pada

Datasheet nama lainnya IC TTL 7400.

Gambar Gerbang Logika NAND

Masukan

A B

Keluaran

Y

0 0

0 1

1 0

1 1

1

1

1

0

Tabel Kebenaran NAND

3. Gerbang OR

Gerbang OR akan memberikan keluaran 1 jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1.

jika diinginkan keluaran bernilai 0, maka semua masukan harus dalam keadaan 0.Gerbang

OR akan memberikan sinyal keluaran tinggi jika salah satu atau semua sinyal masukan

bernilai tinggi, sehingga dapat dikatakan bahwa gerbang OR hanya memiliki sinyal

keluaran rendah jika semua sinyal masukan bernilai rendah. Gerbang Logika OR pada

Datasheet nama lainnya IC TTL 7432.

4. Gerbang NOR

Gerbang NOR adalah suatu NOT-OR, atau suatu fungsi OR yang dibalikkan

sehingga dapat dikatakan bahwa gerbang NOR akan menghasilkan sinyal keluaran tinggi

jika semua sinyal masukannya bernilai rendah. Gerbang NOR akan memberikan keluaran 0

jika salah satu dari masukannya pada keadaan 1. jika diinginkan keluaran bernilai 1, maka

semua masukannya harus dalam keadaan 0.Gerbang Logika NOR pada Datasheet nama

lainnya IC TTL 7402.

5. Gerbang XOR

Gerbang X-OR akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika semua sinyal masukan

bernilai rendah atau semua masukan bernilai tinggi atau dengan kata lain bahwa X-OR

akan menghasilkan sinyal keluaran rendah jika sinyal masukan bernilai sama semua.

Gerbang XOR (dari kata exclusive OR) akan memberikan keluaran 1 jika masukan-

masukannya mempunyai keadaan yang berbeda. Gerbang Logika XOR pada Datasheet

nama lainnya IC TTL 7486.

6. Gerbang NOT

Gerbang NOT merupakan gerbang satu masukan yang berfungsi sebagai pembalik

(inverter). Sebuah inverter (pembalik) adalah gerbang dengan satu sinyal masukan dan satu

sinyal keluaran dimana keadaan keluarannya selalu berlawanan dengan keadaan masukan.

Gerbang Logika INV pada Datasheet nama lainnya IC TTL 7404.

Gambar Gerbang Logika XOR

Masukan

A

Keluaran

Y

0

1

1

0

7. Gerbang X-NOR

Gerbang X-NOR akan menghasilkan sinyal keluaran tinggi jika semua sinyal

masukan bernilai sama (kebalikan dari gerbang X-OR). Gerbang Logika X-NOR pada

Datasheet nama lainnya IC TTL 74266.