BESAR SUDUT PADA BANGUN RUANG

A. Sudut Antara Garis Dan Garis

Sifat dua buah sudut sama besar dalam geometri bidang dapat

digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua buah garis yang saling

berpotongan maupun bersilangan pada sebidang ruang.

1. Sudut antara Dua Garis Berpotongan

Sudut antara garis g dan garis h yang berpotongan dapat digambarkan

melalui langkah- langkah sebagai berikut:

a. Ambil sebarang titik A pada garis g dan sebarang titik B pada garis h.

b. Besar sudut APB ditetapkan sebagai ukuran sudut antara garis g dan

garis h yang berpotongan.

2. Sudut antara dua garis bersilangan

Dua buah sudut dikatakan sama besar, jika kaki-kaki kedua sudut

itu sejajar dan searah.

Misalkan diketahui garis g dan garis h bersilangan. Garis g

menembus bidang di p dan garis h terletak pada bidang . Sudut antara

garis g dan garis h yang bersilangan itu dapat digambarkan melalui

langkah-langkah sebagai berikut:

a. Ambil sebarang titik O pada bidang .

b. Melalui titik O, buatlah garis g sejajar dengan garis h sejajar dengan

garis h.

g

h

p

A

B

c. Sudut yang dibentuk oleh garis g dan garis h ditetapkan sebagai ukuran

besar sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan.

Contoh 1:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Tentukan besar

sudut antara garis AH dan garis BF.

Jawab:

Catatan

1. Sudut antara garis g dengan garis h dilambangkan dengan .

2. Jika besar = 90 serta

a. g dan h berpotongan, maka garis g dan garis h dikatakan

berpotongan tegak lurus.

b. G dan h bersilangan, maka garis g dan garis h dikatakan

bersilangan tegak lurus.

P O

h

h’

g g‘

a cm

a cm

H G

E

C

B A

Sudut antara garis AH dan garis BF adalah ∠(AH, AE).

Misal,

B. Sudut antara Garis Dan Bidang

Kedudukan garis dan bidang dalam ruang kemungkinannya adalah:

1. Garis terletak pada bidang,

2. Garis sejajar bidang, dan

3. Garis memotong atau menembus bidang.

Jika sebuah garis memotong atau menembus bidang, maka terdapat

ukuran sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang itu. Misalkan bahwa garis g

memotong bidang di titik tembus P. Sudut antara garis g dan bidang

yang berpotongan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

1. Ambil sebarang titik Q pada garis g

2. Melalui titik Q, buatlah garis h yang tegak lurus terhadap bidang . Garis

h ini menembus bidang dititik Q ‘

3. Sudut QPQ’ ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g dan

bidang yang berpotongan.

g’

h

p

Q’

Q

g

Contoh 2:

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm.

a. Hitunglah besar .

b. Jika sudut antara diagonalnruag AG dengan bidang alas ABCD adalah ,

hitunglah:

(i) (ii) (iii)

Jawab:

a. = AH, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis AH

dan garis AD, sebab Add adalah proyeksi AH pada bidang ABCD. ADH

adalah segitiga sama kaki sehingga ∠ DAH= 45 .

Jadi , besar = 45 .

b. = , yaitu sudut AG d yang dibentuk oleh

garis AG dan garis AC, sebab AC adalah proyeksi AG pada bidang

ABCD

ACG merupakan segitiga sik -siku di C dengan AC = 8 cm, AG = 8

cm dan CG = 8cm.

Dengan mengambil sinus, kosinus, dan tangen sudut pada ,

diperoleh:

(i) =

(ii) =

(iii)

A B

C D

E F

G H

A B

C D

E F

G H

C. Sudut antara bidang dan bidang

Kedudukan dua bidang dalam ruang kemungkinannya adalah:

1. Dua bidang berimpit,

2. Dua bidang sejajar, dan

3. Dua bidang berpotongan.

Jika dua bidang berimpit atau dua bidang sejajar, maka sudut yang

dibentuk oleh dua bidang yang berimpit atau dua bidang yang sejajar itu sama

dengan nol. Tetapi jika dua bidang berpotongan, maka terdapat ukuran sudut

yang dibentuk oleh dua bidang yang berpotongan itu.

Misalkan bahwa bidang dan bidang berpotongan pada garis

potong sudut antara bidang dan bidang yang berpotongan dapat

ditentukan melalui langkah- langkah sebagai berikut:

1. Ambil sebarang titik P pada garis potong

2. Melalui titik P, buatllah garis PQ pada bidang dan garis PR pada

bidang yang masing – masing tegak lurus terhadap garis potong .

3. Sudut QPR ditetapkan sebagai ukuran sudut antara bidang dan bidang

yang berpotongan.

Definisi: sudut antara dua bidang berpoyongan

Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk

oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan

sebuah garis lagi pada bidang yang kedua), garis-garis itu tegak lurus

terhadap garis potong antara kedua bidang tersebyt.

Q

R

S

P

Dalam menentukan sudut antara bidang dan bidang (bidang dan

bidang berpotongan), ada beberapa istilah dan ketentuan yang perlu

dipahami. Beberapa istilah dan ketentuan itu diantaranya adalah:

1. Sudut QPR yang menyatakan ukuran sudut antara bidang dan bidang

yang berpotongan dinamakan sebagai sudut tumpuan. Bidang PQRS yang

memuat sudut tumpuan dinamakan sebagai bidang tumpuan

2. Jika mewakili bidang ABC dan mewakili bidang BC, maka sudut

tumpuan antara kedua bidang itu dituliskan sebagai A(BC)D atau

A.BC.D

3. Jika besar sudut antara bidang dan bidang yang berpotongan itu

sama dengan 90 , maka dikatakan bidang tegak lurus bidang dan

sebaliknya atau kedua bidang saling tegak lurus sesamanya.

4. Jika sudut antara dua bidang yang berpotongan itu bukan sudut istimewa ,

maka yang dihitung cukup nilai perbandingan trigonometri (sinus, kosinus

atau tangen) dari sudut itu

5. Rumus – rumus perbandingan trigonometri dan hubungan teorema

pythagoras sering digunakan sebagai pertolongan untuk menentukan

besar sudut antara dua bidang yang berpotongan itu.

Latihan Soal!

1. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 2 cm.

Tentukanlah besar sudut antara garis BH dan bidang ABCD.

2. Diketahui limas tegak beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alasnya 4 cm

dan panjang rusuk tegaknya 6 cm. Hitunglah besar sudut antara garis AB dan

bidang ACT.

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. lukis dan

hitunglah besar sudut antara bidang BDE dengan bidang BDG.

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.

a. Lukis sudut antara garis AG dan bidang ABCD

b. Hitung besar sudutnya

5. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang TA= 10 cm dan panjang

rusuknya 2 cm. Tantukan besar antara bidang TBC dan bidang alas

ABCD.

6. Gambar disamping adalah limas segiempat.

Jika α adalah sudut antara bidang TAD dan ABCD,

maka tentukan nilai .

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut BF dan bidang

BEG adalah α, maka

8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. sudut yang

dibentuk oleh garis AF dan HG adalah α, tentukan besar sudut α.

12 cm

4 cm

6 cm

T

C

B A

9. ABCD adalah persegi panjang pada bidang horizontal dan ADEF adalah

persegi panjang pada bidang vertikal. Jika panjang AF = 3 cm, BC = 4 cm, dan

CE = 7 cm. Sedangkan α adalah sudut antara garis BE dengan bidang ABCD,

maka tentukanlah nilai .

10. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang TA= dan AB= 2.

Tantukan besar antara rusuk TA dan bidang alas ABCD.

Jawaban!

1. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 2 cm. Tentukan

besar sudut antara garis BH dan bidang ABCD!

Penyelesaian:

Untuk menetukan besar sudut tersebut, perhatikan segitiga siku-siku DBH dan

andaikan ∠DBH = α, maka:

Jadi besar ∠DBH =

2. Diketahui limas tegak beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alasnya 4 cm

dan panjang rusuk tegaknya 6 cm. Hitunglah besar sudut antara garis AB dan

bidang ACT.

H G

E

C

B A

Penyelesain:

Perhatikan segitiga siku-siku ABP. Jika sudut tersebut kita namakan β, maka:

Jadi besar sudut ABP adalah .

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. lukis dan

hitunglah besar sudut antara bidang BDE dengan bidang BDG.

Penyelesaian:

Perhatikan gambar berikut!

T

C

B A

4 cm

4 cm

4 cm

α

P

H G

F E

C

B A

D

Sudut antara bidang BDE dan bidang BDG adalah α.

Perhatikan ΔEPA siku-siku di A, sehingga

Karena , maka PG = PE =

Perhatikan ΔEGP

Dari aturan kosinus diperoleh

Maka, besar sudutnya

Jadi, sudut antara bidang BDE dengan bidang BDG adalah .

4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.

a. Lukis sudut antara garis AG dan bidang ABCD

E

A α

H G

F

C

B

D

b. Hitung besar sudutnya

Perhatikan bahwa CG = 10 cm dan AC = cm, maka

Sehingga

Jadi, besar sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah .

5. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang TA = 10 cm dan panjang

rusuknya 2 cm. Tantukan besar antara bidang TBC dan bidang alas

ABCD.

Penyelesaian:

TP =

=

=2

TO =

=

=2

=

6. Gambar disamping adalah limas segiempat.

Jika α adalah sudut antara bidang TAD dan ABCD,

maka tentukan nilai .

p

P

O

10cm

D

8 cm

T

C

B A

12 cm

4 cm

6 cm

T

C

B A

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut BF dan bidang

BEG adalah α, maka

Penyelesain:

Perhatikan bahwa dan

Jadi,

Maka,

Jadi nilai .

8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. sudut yang

dibentuk oleh garis AF dan HG adalah α, tentukan besar sudut α.

Penyelesaian:

Karena , maka

Sehingga:

E

O

A

H G

F

C

B

D

9 cm

9 cm

9 cm

E

A

H G

F

C

B

D

Jadi besar sudut yang di bentuk oleh garis AF dan HG, .

9. ABCD adalah persegi panjang pada bidang horizontal dan ADEF adalah

persegi panjang pada bidang vertikal. Jika panjang AF = 3 cm, BC = 4 cm, dan

CE = 7 cm. Sedangkan α adalah sudut antara garis BE dengan bidang ABCD,

maka tentukanlah nilai .

Penyelesaian:

Perhatikan gambar disamping!

Maka,

Jadi nilai .

α

7 cm

4 cm

3 cm

E

F

A

C

B

D

10. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang TA = dan AB = 2.

Tantukan besar antara rusuk TA dan bidang alas ABCD.

Penyelesaian:

AC =

=

=

= 2

AO =

=

TO =

=

=

= 1

=

=

cm

2 cm

2 cm

T

C

B A