Berkas Garis

17
 2. 5 BERKAS GARIS Kita dapat menyatak an persamaan garis dalam berbagai bentuk. Persamaan-persamaan tersebut diantaranya sebagai berikut  y =mx +b  dan  x a +  y b =1 Masing-masing persamaan tersebut mempunyai dua konstan ta yang mempunyai makna geometris. Konstanta-konstanta dari persamaan pertama adalah m  dan b . Konstanta m  menunjukkan kemiringan garis, sedangkan konstanta b  menunjukkan pe rpotongan garis den gan sumbu Y . Pada persamaan kedua, konstanta a  menunjukkan perpotongan garis dengan sumbu X, sedangkan konstanta b  menunjukkan perpotonga n garis denga n sumbu Y . Ketika nilai tertentu diperuntukkan untuk konstanta-k onstanta tersebut, suatu garis ditentukan secara lengkap. Nilai yang berbeda untuk konstan ta tersebut tentu saja menentukan garis yang berbeda pula. Dengan demikian, nilai m  dan b  ditentukan untuk sebarang garis tertentu tetapi nilai m  dan b  berbeda untuk satu garis dan garis yang lain. Ko nstanta ini disebut parameter. Pada persamaan kedua a  dan b  yang akan menjadi parameter. Pers amaan linier dengan satu parameter merepr esentasikan semua garis dengan siat-siat khusus. !ebagai contoh, persamaan  y =3 x +b  merepresentasikan suatu garis dengan gradien " dan perpotongannya dengan sumbu Y adalah b . Kita memperhatikan b  sebagai parameter yang dapat diasumsikan sebarang nilai real. #radien garis sama untuk semua nilai b , maka persamaan tersebut merepresentasikan himpunan garis-garis sejajar. Keseluruhan garis yang ditentukan demikian disebut berkas garis.  $ entu saja, ter dapat tak hingga

description

sumber : google

Transcript of Berkas Garis

2. 5 BERKAS GARISKita dapat menyatakan persamaan garis dalam berbagai bentuk. Persamaan-persamaan tersebut diantaranya sebagai berikut dan

Masing-masing persamaan tersebut mempunyai dua konstanta yang mempunyai makna geometris. Konstanta-konstanta dari persamaan pertama adalah dan . Konstanta menunjukkan kemiringan garis, sedangkan konstanta menunjukkan perpotongan garis dengan sumbu Y. Pada persamaan kedua, konstanta menunjukkan perpotongan garis dengan sumbu X, sedangkan konstanta menunjukkan perpotongan garis dengan sumbu Y. Ketika nilai tertentu diperuntukkan untuk konstanta-konstanta tersebut, suatu garis ditentukan secara lengkap. Nilai yang berbeda untuk konstanta tersebut tentu saja menentukan garis yang berbeda pula. Dengan demikian, nilai dan ditentukan untuk sebarang garis tertentu tetapi nilai dan berbeda untuk satu garis dan garis yang lain. Konstanta ini disebut parameter. Pada persamaan kedua dan yang akan menjadi parameter.Persamaan linier dengan satu parameter merepresentasikan semua garis dengan sifat-sifat khusus. Sebagai contoh, persamaan merepresentasikan suatu garis dengan gradien 3 dan perpotongannya dengan sumbu Y adalah . Kita memperhatikan sebagai parameter yang dapat diasumsikan sebarang nilai real. Gradien garis sama untuk semua nilai , maka persamaan tersebut merepresentasikan himpunan garis-garis sejajar. Keseluruhan garis yang ditentukan demikian disebut berkas garis. Tentu saja, terdapat tak hingga garis dalam berkas garis. Pada kenyataanya, garis dari berkas garis melalui masing-masing titik pada bidang koordinat.

Contoh 1 Tuliskan persamaan dari berkas garis dengan gradien .

PenyelesaianKita memilih persamaan

untuk merepresentasikan berkas garis. Grafik dari persamaan ini adalah garis dengan gradien untuk sebarang nilai khusus dari parameter . Dengan demikian, dengan nilai yang bervariasi, merepresentasikan keluarga dari garis paralel. Gambar di bawah menunjukkan beberapa garis dari berkas garis yang bersesuaian dengan nilai tertentu.

Contoh 2 Diskusikan berkas garis yang direpresentasikan oleh persamaan

Penyelesaian merupakan persamaan berkas garis yang melalui . Berkas garis memuat semua garis yang melalui titik kecuali garis vertikal (). Tidak ada nilai parameter yang memenuhi untuk garis vertikal. Beberapa garis dari berkas garis digambarkan pada gambar berikut

Contoh 3Tuliskan suatu persamaan berkas garis yang tegak lurus dengan garis

Penyelsaian:Gradien garis adalah . Karena kita menginginkan berkas garis yang tegak lurus, maka berkas garis tersebut haruslah bergradien . Oleh karena itu kita memilih persamaan

Contoh 4Tuliskan persamaan berkas garis yang mempunyai hasil kali perpotongan dengan sumbu koordinat sama dengan 4PenyelesaianMissal digunakan sebagai parameter, kita memperoleh hasil perpotongan dengan sumbu koordinat dan . Dengan demikian kita dapat menuliskan persamaan

Berkas garis dapat juga dinyatakan

Contoh 5Tuliskan persamaan berkas garis yang sejajar dengan garis . Tentukan persamaan dari garis yang berjarak 3 satuan dari titik yang merupakan anggota berkas garis tersebut.PenyelesaianSetiap garis anggota dari berkas garis sejajar dengan garis . Kita mencari parameter yang menghasilkan garis yang berjarak 3 satuan dari titik , satu garis di atas titik dan satu garis di bawah titik . Menggunakan rumus jarak dari titik ke garis, diperoleh persamaan

dan

Penyelesaian dari persamaan tersebut adalah dan . Dengan demikian persamaan garis yang dimaksudkan adalah dan

Selanjutnya kita akan membahas berkas garis yang melalui perpotongan dua garis lain yang diberikan dengan persamaan sebagai berikut dan Perpotongan kedua garis dapat diperoleh dengan subtitusi. Perhatikan

Subtitusikan pada persamaan

Sehingga diperoleh,

Dengan demikian diperoleh perpotongan kedua garis adalah . Dari persamaan-persamaan garis tersebut, kita dapat membentuk persamaan berkas garis sebagai berikut dengan sebagai parameter. Persamaan ini merupakan persamaan berderajat satu untuk dan untuk sebarang nilai . Kemudian, dengan menggunakan nilai dan , kita memperoleh

Hasil ini menunjukkan bahwa persamaan dipenuhi oleh koordinat , untuk sebarang nilai . Dengan demikian persamaan tersebut mendefinisikan berkas garis yang melalui perpotongan kedua garis yang diberikan.Secara umum, misal diberikan persamaan

mendefinisikan perpotongan dua garis. Maka persamaan

merepresentasikan berkas garis yang melalui perpotongan dua garis. Untuk membuktikan pernyataan ini, pertama-tama kita mengamati bahwa persamaan tersebut linier untuk sebarang nilai . Selanjutnya kita catat bahwa koordinat titik potong kedua garis menyebabkan bagian pada tanda kurung menjadi 0, dan dengan demikian memenuhi persamaan untuk sebarang nilai .

Contoh 6Tuliskan persamaan berkas garis yang melalui perpotongan garis dan garis . Tentukan anggota berkas garis yang melalui . Sketsalah grafiknya.

PenyelesaianPersamaan berkas garis yang melalui perpotongan garis yang diberikan adalah

Untuk menentukan anggota berkas garis yang melalui , kita ganti dengan dan dengan , sehingga diperoleh Selanjutnya kita ganti pada persamaan dengan , diperoleh Gambar dari persamaan garis tersebut sebagai berikut

Contoh 7Tuliskan persamaan berkas garis yang melalui perpotongan garis dan . Tentukan anggota berkas garis yang mempunyai gradien 3.PenyelesaianPersamaan berkas garis yang melalui perpotongan garis dan adalah

Dengan mengumpulkan suku yang sejenis, diperoleh

Gradien dari masing-masing garis pada berkas garis ini, kecuali pada garis vertical, adalah . Diketahui bahwa garis yang akan dicari bergradien 3, maka d diperoleh persamaan

Jadi, anggota berkas garis tersebut untuk adalah

2.6 LINGKARANKita telah melihat bagaimana menuliskan persamaan garis yang posisinya pada bidang koordinat terinci. Kita akan menemukan bahwa sama mudahnya menuliskan persamaan lingkaran jika posisi pusat dan jari-jarinya diketahui. Bagaimanapun, pertama kita akan memberikan definisi eksplisit dari lingkaran.Definisi LingkaranLingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap pada bidang. Titik tetap itu disebut titik pusat dan jarak dari pusat ke sebarang titik pada lingkaran disebut jari-jari.Misal titik pusat suatu lingkaran adalah dan jari-jarinya sama dengan . Jika merupakan sebarang titik pada lingkaran, jarak dari titik ke sama dengan . Kondisi ini memenuhi persamaan

Selanjutnya, dengan mengkuadratkan kedua ruas,diperoleh

Rumus ini memperlihatkan koordinat titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran, akibatnya persamaan ini sering disebut persamaan lingkaran bentuk pusat jari-jari.Sebaliknya, grafik dari persamaan adalah lingkaran dengan pusat dan jari-jari . Fakta ini terbukti karena persamaan hanya dipenuhi oleh titik-titik yang jaraknya terhadap adalah . Oleh karena itu, mudah untuk menuliskan persamaan lingkaran yang titik pusat dan jari-jarinya diketahui serta mudah pula untuk menggambar lingkaran yang mempunyai persamaan yang dinyatakan dalam bentuk .Jika pusat lingkaran adalah titik pusat koordinat (berarti dan ) dan jari-jarinya , persamaannya adalah

Contoh 1Tentukan persamaan lingkaran berjari-jari 4 yang berpusat di PenyelesaianJika titik pusat lingkaran dan jari-jarinya 4, maka persamaan lingkarannya adalah

Dengan menjabarkan bentuk kuadrat dan menjumlahkan suku-suku sejenis pada persamaan di atas, diperoleh bentuk

Persamaan dapat ditampilkan dalam bentuk lain melalui pengkuadratan serta menjumlahkan suku-suku sejenis. Dengan demikian, Persamaan yang terakhir merupakan bentuk

Bentuk ini disebut bentuk umum persamaan lingkaran.Sebaliknya, suatu persamaan dengan bentuk dapat diubah menjadi bentuk melalui kuadrat sempurna untuk suku-suku dalam variabel dan . Kita mengilustrasikan cara mengubahnya. Perhatikan bentuk

Untuk membuat bentuk tersebut menjadi bentuk kuadrat sempurna, kita pisahkan suku dengan variabel dan dan meletakkan konstanta ke sebelah kanan. Dengan demikian, diperoleh

Selanjutnya kita menambahkan kuadrat setengah koefisien pada suku dengan variabel dan setengah koefisien pada suku dengan variabel serta menambahkan nilai yang sama pada ruas kanan. Hal ini menjadikan persamaan

Sekarang kita ubah bentuk di atas menjadi kuadrat sempurna. Oleh karena itu, kita bisa menuliskan

Persamaan di atas merupakan persamaan dalam bentuk pusat jari-jari dengan . Persamaan tersebut dapat digambarkan jika bentuk

positif. Kita juga akan bisa menggambarkan grafiknya jika bentuk sama dengan nol. Kemudian grafiknya akan mencakup satu titik . Dalam kasus ini titik ini disebut titik pusat lingkaran. Secara jelas, tidak ada bilangan real dan memenuhi persamaan saat negatif.

Contoh 2Ubahlah persamaan menjadi persamaan bentuk pusat jari-jariPenyelesaianPertama kita akan membagi persamaan di atas dengan 2 agar menjadi persamaan bentuk umum.

Selanjutnya, kita akan melengkapkan kuadrat untuk masing-masing variabel dan .

Persamaan di atas dalam bentuk yang diinginkan, dan memperlihatkan bahwa persamaan yang diberikan merupakan lingkaran dengan pusat dan berjari-jari . Grafik dari persamaan tersebut sebagai berikut

Kalkulator grafik hanya menggambar fungsi, dan tidak akan menggambar relasi yang bukan fungsi. Jika ingin menggambar grafik lingkaran, kita perlu membagi lingkaran menjadi dua, yaitu, setengah lingkaran atas dan setengah lingkaran bawah, yang masing-masing merupakan fungsi. Dengan demikian, untuk menggambar lingakaran seperti pada contoh 2 pada kalkulator grafik, pertama harus menuliskan persamaan untuk , diperoleh

Kemudian, kita menggambarkan grafik dari kedua fungsi pada satu layar. Layar yang tampak harus cukup luas untuk menampilkan interval pada domain dan pada range. Hasil grafiknya mungkin tidak terlihat seperti lingkaran jika skala vertical dan horizontal tidak sama.

Soal LatihanExercise 2.5 Halaman 80-81 nomor 33Sisi-sisi dari suatu segitiga terletak pada garis , , dan . Tanpa menentukan titik puncak segitiga terlebih dahulu, tentukan persamaan garis tingginya.PenyelesaianSegitiga tersebut memiliki tiga garis tinggi.i) Misal sisi yang terletak pada garis merupakan sisi alas.Perhatikan bahwa garis dengan persamaan dan berpotongan, sehingga diperoleh persamaan berkas garis

Persamaan berkas garis ini mempunyai gradien

Perhatikan bahwa garis mempunyai gradien

Garis tinggi yang akan dicari merupakan anggota berkas garis yang tegak lurus terhadap garis . Oleh karena itu, diperoleh

Untuk nilai , maka diperoleh

Jadi persamaan garis tinggi yang ditarik dari perpotongan garis dan adalah

ii) Misal sisi yang terletak pada garis merupakan sisi alas.Perhatikan bahwa garis dengan persamaan dan berpotongan, sehingga diperoleh persamaan berkas garis

Persamaan berkas garis ini mempunyai gradien

Perhatikan bahwa garis mempunyai gradien

Garis tinggi yang akan dicari merupakan anggota berkas garis yang tegak lurus terhadap garis . Oleh karena itu, diperoleh

Untuk nilai , maka diperoleh

19Jadi persamaan garis tinggi yang ditarik dari perpotongan garis dan adalah19iii) Dengan cara yang sama seperti i) dan ii)Misal sisi yang terletak pada garis merupakan sisi alas.Maka persamaan garis tinggi yang ditarik dari perpotongan garis dan adalah

Exercise 2.5 Halaman 80 81 nomor 34Tentukan persamaan berkas garis yang dengan sumbu koordinat membentuk segitiga dengan luas 17 satuan luasPenyelesaianMisal persamaan berkas garis tersebut adalah

baYX

Garis ini memotong sumbu X di dan memotong sumbu Y di sehingga luas segitiga yang dimaksud bisa dihitung

Karena diketahui , maka diperoleh

Subtitusikan hasil ini pada persamaan

diperoleh

Jadi persamaan berkas garis tersebut adalah

Soal Problem SolvingSebuah lingkaran berpusat di P berada di dalam seperempat lingkaran besar dengan jari-jari 8, seperti ditunjukkan pada gambar di samping. Tentukan jari-jari dari lingkaran yang berpusat di P.PenyelesaianGambar semen garis PC dan PD berturut-turut memotong ruas garis AO dan BO. Sehingga dan .Akibatnya segiempat merupakan persegi panjang.Karena , maka merupakan persegi.Misal , maka .Dengan rumus Pythagoras diperoleh .Perhatikan bahwa . Dengan demikian diperoleh .Selanjutnya diketahui bahwa jari-jari lingkaran besar adalah 8, maka Sehingga diperoleh persamaan

Jadi jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah