BENDA TEGAR

6.1 Pendahuluan

BT = rigid body = SP yang jarak antarpartikelnya selalu tetap.

Contoh BT:

(a) Di alam : benda bersuhu 0 K

(b) Idealisasi: BT = benda padat

Dicari: posisi pm (xpm, ypm, zpm); I; pengaruh torsi.

6.2 Letak Pusat Massa BT

(a) Tercatu:

N

iiipm

N

iiipm

N

ii

N

iiipm

zmM

z

ymM

y

mMxmM

x

1

1

11

1

1

;1

(b) Kontinyu:

zdmM

z

ydmM

y

dmMdmxM

x

pm

pm

pm

1

1

;1

(a) Peristilahan:

c.1 Benda homogen = = tetap

c.2 1D; dx

dm ; misal: tali, senar, kawat

c.3 2D; dA

dm ; misal: pelat

c.4 3D; dV

dm ; benda bergeometri sembarang

c.5 Benda homogen bersimetri, pm berada di sumbu simetri.

Contoh: Tentukan letak pusat massa dari 2 benda homogen di bawah

ini.

Gambar 6.1 (a) Pelat bundar di ujung batang, dan (b) pelat di bidang (x,y).

6.3 Momen Inersia Benda Tegar

Lambang I = ukuran kemalasan benda terhadap torsi

I besar = sukar diputar, kalau berputar sukar dihentikan

I bergantung pada: massa benda (m), jarak sb diacu (R),

dan bentuk (geometri) benda.

Bentuk kesetaraan:

Translasi Rotasi

M I

F

v

a

p

L

Gambar 6.2 Benda Tegar diputar di sumbu z.

N

iiiiii LLvrmL

1

;

iiiiiiiiii RvrRrvrv ;sin;sin;

N

iziiz IRmL

1

2 ][

N

iiiz RmI

1

2 = momen inersia BT terhadap sumbu z.

Soal: Hitunglah Iz, Ix, dan Iy pada 2 benda di bawah ini.

Gambar 6.3 (a) Benda tercatu, (b) Benda kontinu

berupa batang homogen

Untuk batang: Iy = 0 (mengapa?); Ix = Iz = dmy 2

Hasilnya: Ix = Iz = ])[(3

33 aaLL

M

Keadaan khusus:

(1) Sumbu x dan z di ujung batang, berarti a = 0; 2

3

1MLII zx

(2) Sumbu x dan z di tengah batang, berarti a = - ½ L 2

12

1MLII zx

Pada M dan geometri tetap, maka I = f(R)

Bagaimanakah I = f(geometri) Dicontohkan 3 benda homogen: M, R

Gambar 6.4 (a) Cincin, (b) Pelat bundar, (c) Bola padat homogen

Cincin: 2MRI z

Pelat bundar: 2

2

1MRI z

Bola padat: 2

5

2MRI z

1. Teorema Sumbu Tegak (TST):

Momen kelembaman terhadap sumbu normal pelat (Iz) sama dengan hasil jumlah momen kelembaman 2 sumbu saling tegak lurus di pelat itu (Ix, Iy). Berarti: Iz = Ix + Iy

Contoh: (a) Cincin homogen M,R: Iz = MR2; Ix = Iy = ½ MR2 (b) Pelat bundar homogen M,R: Iz = ½ MR2; Ix = Iy = ¼ MR2

Gambar 6.5 (a) TST, penerapan TST pada: (b) cincin homogen,

dan (c) pelat bundar humogen.

2. Teorema Sumbu Sejajar (TSS): Momen kelembaman terhadap sumbu (= z’) yang sejajar dengan sumbu yang melewati pusat massa benda tegar (z) adalah sama dengan momen kelembaman terhadap z ditambah hasil kali massa benda tegar (M) dengan kuadrat jarak kedua sumbu itu (= R). TSS: Iz’ = Iz + MR2

Gambar 6.6 (a) TSS, penerapan TSS pada: (a) cincin homogen,

dan (b) pelat bundar homogen. Contoh:

(a) Cincin homogen: Iz’ = Iz + MR2 = 2MR2; Iy = Iy’ = ½ MR2 Ix’ = Ix + MR2 = 1,5 MR2 (b) Pelat bundar homogen: Iz’ = Iz + MR2 = (3/2)MR2 Iy = Iy’ = ¼ MR2; Ix’ = Ix + MR2 = (5/4)MR2

Menghitung momen kelembaman benda tegar 1. Perhatikan Gambar 6.7a, terdapat pelat homogen massa M, di- bidang (x,y), berdimensi (2a)(2b)(z). Hitunglah: Iz, dan Iz’. 2. Perhatikan Gambar 6.7b, sebuah ayunan tersusun oleh batang ho-

mogen (massa 4m, panjang 4a) dan pelat bundar homogen (massa 8m, diameter 2a) yang berada di ujung batang. Hitung momen kelembaman benda itu terhadap sumbu ayun (o).

Gambar 6.7

3. Hitung momen kelembaman terhadap sumbu z (= Iz) pada pelat

homogen berlobang, massa M, jejari 4a. Diketahui lobang itu ber-jejari a dan sumbu lubang berada pada jarak a dari sumbu z (Gambar 6.7c).

6.4 Pengaruh Torsi pada Gerak Benda Tegar

Roda = pelat bundar homogen massa M, jejari R Perhatikan Gambar 6.8

Gambar 6.8 (a) Gaya bekerja di o, (b) Gaya bekerja di P

(a) F

bekerja terhadap o, sehingga terhadap P: pI

Ip = Io + MR2 = 1,5 MR2 (b) F

bekerja terhadap P, sehingga terhadap o: oI

Io = ½ MR2

Pengaruh torka pada roda = gerak menggelinding Menggelinding = gerak campuran translasi + rotasi

Gerak menggelinding dibagi 3:

1. Gerak menggelinding murni: v = R

Gambar 6.9

fgs 0; fgk = 0 Menggelinding selamanya Di lantai kasar Berlaku HKEM

2. Gerak menggelinding tak murni: v R v > R (pesawat mendarat)

v < R (jalan menanjak) fgs dan fgk tidak nol Menggelinding, melambat, berhenti Di lantai agak licin Tidak berlaku HKEM

3. Gerak selip sama sekali: v 0; = 0

fgs = 0; fgk 0 Roda tidak berputar Di lantai amat licin Tidak berlaku HKEM

Contoh soal: Benda homogen (cincin, pelat bundar, bola padat) massa M dan berjejari R, menggelinding di bidang miring yang kasar. Semula diam di A (Gambar 6.10) setinggi h terhadap lan-tai (B), dan di situ berpercepatan gravitasi bumi g. Benda mana yang duluan sampai di B?

Gambar 6.10