CHAPTER Counting 1

6 Yanyan Ahmad Yani (90115004)

Magister Pengajaran Matematika

Institut Teknologi Bandung

2015

Subbab: 6.1 Menggunakan Basic Counting 6.2 Menggunakan Prinsip Sarang Merpati

KOMBINATORIKA

Combinatorics dan Counting

2

• Kombinatorika

• Ilmu yang mempelajari pengaturan obyek-obyek

• Solusi yang ingin diperoleh dengan kombinatorika adalah jumlah pengaturan obyek-obyek tertentu di dalam kumpulannya.

• Bagian penting dari Matematika Diskrit

• Enumerasi

• Penghitungan obyek dengan sifat tertentu atau menghitung (count) satu persatu setiap kemungkinan jawaban.

• Bagian penting dari Kombinatorika

Contoh Masalah yang Diselesaikan dengan Kombinatorika

“Password dalam suatu sistem komputer terdiri dari 6, 7, atau 8 karakter. Setiap karakter boleh berupa angka atau huruf dalam alfabet. Setiap password harus memuat paling sedikit satu digit bilangan desimal. Berapa banyak password yang dapat dibuat?” “Berapa banyak cara yang mungkin dilakukan dalam memilih 11 pemain dalam suatu tim sepak bola yang memiliki 20 pemain?” “Misalkan nomor plat mobil di negara X terdiri atas 5 angka diikuti dengan 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat?”

Cara yang paling sederhana untuk menyelesaikan persoalan diatas adalah dengan mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya.

Mengenumerasi artinya mencacah atau menghitung (count) satu persatu setiap kemungkinan jawaban.

Misalnya pada contoh persoalan terakhir, bila kita mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya adalah seperti di bawah ini:

12345AB 12345AC 12345BC … 34567AB 34567AC … dan seterusnya …

Dasar-dasar Counting

• The Product Rule (Aturan Perkalian)

• The Sum Rule (Aturan Penjumlahan)

• The Subtraction Rule (Aturan Pengurangan)

• Tree Diagrams (Diagram Pohon)

5

Aturan perkalian

Misalkan suatu prosedur dapat dibagi menjadi dua pekerjaan yang

berurutan. Jika terdapat n1 cara untuk melakukan tugas pertama dan

n2 cara untuk melakukan tugas kedua setelah tugas pertama selesai

dilakukan, maka terdapat n1 n2 cara untuk melakukan prosedur

tersebut.

6

Contoh 1:

Sebuah perusahaan baru dengan dua karyawannya, yaitu Sanchez dan

Patel , menyewa gedung/bangunan di dalamnya terdapat 12 ruangan

kantor. Berapa banyak cara untuk menempatkan dua karyawan

tersebut di ruangan kantor yang berbeda?

Solusi:

Prosedur penempatan ruangan kantor untuk dua karyawan tersebut terdiri dari menugaskan kantor untuk Sanchez , yang dapat dilakukan dalam 12 cara ,

maka menugaskan sebuah kantor untuk Patel berbeda dari yang kantor ditugaskan untuk Sanchez , yang dapat dilakukan dalam 11 cara.

Dengan aturan perkalian , ada 12 · 11 = 132 cara untuk menetapkan ruangan kantor untuk dua karyawan tersebut .

12 11 . = 132 cara

Contoh 2:

Kursi-kursi yang ada di auditorium akan diberi nomor dengan

sebuah huruf kapital diikuti dengan bilangan bulat positif yang

tidak lebih dari 100 (misalnya A12, B99, dan seterusnya). Berapa

jumlah maksimum kursi yang dapat dinomori?

Solusi:

26

Banyak cara memilih huruf kapital

Banyak cara memilih bilangan bulat posotif <=100

100 =

Jumlah penomoran kursi yang dapat dibuat

2600

Jadi, maksimum kursi yang dapat dinomori adalah 2600 buah

Jika suatu prosedur terdiri dari barisan tugas-tugas T1, T2, …, Tm

yang dapat dilakukan dalam n1, n2, …, nm cara, secara berurutan, maka

terdapat n1 n2 … nm cara

untuk melaksanakan prosedur tersebut.

Contoh 1

Berapa banyak strings dengan panjang tujuh yang mungkin terbentuk dari

dua bit (0 dan 1)?

Solusi:

Dengan aturan perkalian diperoleh 27 = 128 strings yang berbeda dengan

panjang 7 karakter.

2 2 2 2 2 2 2

Solusi:

Terdapat 26 kemungkinan untuk memilih huruf pertama,

10 kemungkinan untuk menentukan digit pertama, 10 untuk digit kedua, dan 10

untuk digit ketiga,

kemudian 26 kemungkinan untuk memilih huruf kedua dan 26 untuk huruf ketiga.

Jadi, terdapat 26 10 10 10 26 26 = 17576000 plat nomor kendaraan yang

berbeda.

26 10 10 10 26 26

Contoh 2

Berapa banyak plat nomor kendaraan yang berbeda yang dapat dibuat,

dengan ketentuan memuat tepat satu huruf, tiga digit bilangan desimal,

dan dua huruf?

Contoh 3

Sebuah fungsi dari himpunan dengan m elemen domain ke n elemen kodamain adalah relasi yang memasangkan setiap anggota domain pada tepat satu anggota kodomain, dengan aturan perkalian

𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑛 ⋯ 𝑛 = 𝑛𝑚

11

Solusi:

Ada berapa fungsi dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota?

𝑚 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

Contoh 3

Ada berapa fungsi satu-satu dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota?

Solusi:

Ketika m > n tidak akan ada fungsi satu-satu dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota. Misal 𝑚 ≤ 𝑛. Andaikan elemen pada domain adalah 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎𝑚 . Ada n cara untuk memilih nilai fungsi di 𝑎1. Karena fungsi ini fungsi satu-satu , nilai Fungsi di 𝑎2 dapat diambil dengan n - 1 cara ( karena nilai yang digunakan untuk 𝑎1 tidak dapat digunakan lagi ) . Secara umum , nilai fungsi pada 𝑎𝑘 dapat dipilih dengan n - k + 1 cara . Dengan aturan perkalian, ada n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ··· ( n - m + 1 ) fungsi satu-satu dari himpunan dengan m anggota ke tepat satu dengan n anggota.

Aturan penjumlahan Jika suatu pekerjaan dapat dilaksanakan dengan n1 cara dan pekerjaan kedua dengan n2 cara; serta jika kedua tugas ini tidak dapat dilakukan dalam waktu yang bersamaan, maka terdapat

n1 + n2 cara untuk melakukan salah satu pekerjaan tersebut. Contoh: Jabatan ketua himpuanan pengajaran matematika dapat diduduki oleh mahasiswa angkatan tahun 2014 atau angkatan tahun 2015. Jika terdapat 30 orang mahasiswa angkatan 2014 dan 15 orang mahasiswa angkatan 2015, berapa cara memilih jabatan ketua himpunan?

13

Solusi:

Jabatan yang ditawarkan hanya ada satu, yang dapat diduduki oleh salah seorang mahasiswa dari dua angkatan yang ada. Ada 30 cara memilih satu orang mahasiswa dari angkatan 2014, dan 15 cara memilih satu orang dari angkatan 2015, namun hanya satu dari kedua angkatan itu yang terpilih (angkatan 2014 atau angkatan 2015). Dengan aturan penjumlahan, jumlah cara memilih jabatan ketua himpunan tersebut sama dengan jumlah mahasiswa pada kedua angkatan, yaitu 30 + 15 = 45 cara.

14

Generalisasi aturan penjumlahan

Jika terdapat pekerjaan-pekerjaan T1, T2, …, Tm yang dapat

dilakukan dalam n1, n2, …, nm cara, dan tidak ada dua di

antara pekerjaan-pekerjaan tersebut yang dapat dilakukan

dalam waktu yang bersamaan, maka

terdapat n1 + n2 + … + nm cara

untuk melakukan salah satu dari tugas-tugas tersebut.

15

Solusi:

16

Mahasiswa dapat memilih proyek dengan memilih sebuah proyek dari daftar pertama, daftar yang kedua, atau daftar yang ketiga. Dengan aturan penjumlahan ada 23 + 15 + 19 = 57 cara untuk memilih sebuah proyek.

Contoh:

Seorang mahasiswa dapat memilih satu tugas proyek Matematika Diskrit dari tiga buah daftar, yang masing-masing berisikan 23, 15, dan 19 proyek. Ada berapa tugas proyek yang dapat dipilih?

Prinsip Dasar Counting Aturan penjumlahan dan perkalian juga dapat direpresentasikan dalam istilah himpunan.

Aturan penjumlahan Misalkan A1, A2, …, Am himpunan yang saling lepas. Maka banyaknya cara untuk memilih anggota dari gabungan A1 A2 … Am adalah jumlah dari banyaknya anggota setiap himpunan.

|A1 A2 … Am | = |A1| + |A2| + … + |Am|. Aturan perkalian Misalkan A1, A2, …, Am himpunan hingga. Maka banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari hasil kali Cartesian A1 A2 … Am dilakukan dengan memilih satu anggota dari A1, satu anggota dari A2, …, dan satu anggota dari Am.

|A1 A2 … Am | = |A1| |A2| … |Am|. 17

More Complex Counting Problems

Contoh:

Password suatu login pada sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan. Berapa banyak password yang dapat dibuat untuk suatu login?

18

Solusi: Banyak huruf alfabet adalah 26 (A-Z) dan banyak angka desimal adalah 10 (0-9), jadi seluruhnya 36 karakter. Untuk password dengan panjang 6 karakter, jumlah kemungkinan password adalah (36) (36) (36) (36) (36) (36) = (36)6

Untuk password dengan panjang 7 karakter, jumlah kemungkinan password adalah (36) (36) (36) (36) (36) (36) (36) = (36)7

Untuk password dengan panjang 8 karakter, jumlah kemungkinan password adalah (36) (36) (36) (36) (36) (36) (36) (36) = (36)8 Dengan menggunakan aturan penjumlahan, jumlah seluruh password adalah (36)6 + (36)7 + (36)8 = 2.901.650.833.888 buah.

Jadi, untuk suatu login akan mempunyai 2.901.650.833.888 buah kemungkinan

password.

19

Prinsip Inklusi-Eksklusi

20

Jika tugas dapat dilakukan baik dengan n1 cara atau n2 cara,

maka sejumlah cara untuk melakukan tugas tersebut

adalah n1 + n2 dikurangi jumlah cara untuk melakukan tugas

yang umum untuk dua cara yang berbeda.

Prinsip ini digunakan untuk menentukan kardinalitas

dari gabungan himpunan-himpunan yang tidak

harus saling lepas.

A B= A+B - A B

Berapa banyak strings dengan panjang 8 yang mungkin terbentuk, baik yang dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00? Solusi: Pekerjaan 1: Konstruksi string biner dengan panjang 8 yang dimulai dengan 1. Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1), dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1), dua cara untuk memilih bit ketiga (0 or 1), . . . dua cara untuk memilih bit kedelapan (0 or 1). Aturan perkalian: Pekerjaan 1 dapat dilakukan dengan 127 = 128 cara.

Contoh:

1 2 2 2 2 2 2 2

Pekerjaan 2: Konstruksi string biner dengan panjang 8 yang berakhir dengan 00.

Terdapat dua cara untuk memilih bit pertama (0 or 1), dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1), . . . dua cara untuk memilih bit keenam (0 or 1), satu cara untuk memilih bit ketujuh (0), dan satu cara untuk memilih bit kedelapan(0).

Aturan perkalian: Pekerjaan 2 dapat dilakukan dalam 26.1.1 = 64 cara. 22

2 2 2 2 2 2 1 1

Karena terdapat 128 cara untuk melakukan Pekerjaan 1 dan 64 cara

untuk melakukan Pekerjaan 2, apakah ini berarti bahwa terdapat 192

string biner dengan yang dimulai dengan 1 atau berakhir dengan 00?

Tidak, karena di sini Pekerjaan 1 dan Pekerjaan 2 dapat dilakukan

pada waktu yang bersamaan.

Ketika kita melaksanakan Pekerjaan 1 dan membuat string yang

dimulai dengan 1, beberapa dari string tersebut diakhiri dengan 00.

Jadi, kita kadangkala melakukan Pekerjaan 1 dan 2 pada saat yang

bersamaan, sehingga aturan penjumlahan tidak berlaku. 23

Jika kita ingin menggunakan aturan penjumlahan, dalam kasus ini, kita harus mengurangkan kasus-kasus di mana Pekerjaan 1 dan 2 dilaksanakan pada saat yang bersamaan. Ada berapa kasus? yaitu, ada berapa banyak string yang dimulai dengan 1 dan diakhiri dengan 00? Terdapat satu cara untuk memilih bit pertama (1), dua cara untuk memilih bit kedua (0 or 1), . . . dua cara untuk memilih bit keenam (0 or 1), satu cara untuk memilih bit ketujuh (0), dan satu cara untuk memilih bit kedelapan(0). Aturan perkalian: Dalam 25 = 32 kasus, Pekerjaan 1 dan 2 dilaksanakan pada saat yang sama.

24

1 2 2 2 2 2 1 1

Karena terdapat 128 cara untuk menyelesaikan Pekerjaan 1 dan 64 cara untuk menyelesaikan Pekerjaan 2, dan dalam 32 dari kasus-kasus tersebut Pekerjaan 1 dan 2 diselesaikan pada saat yang bersamaan, maka terdapat

128 + 64 – 32 = 160 cara untuk melakukan salah satu di antara kedua tugas tersebut.

25

Contoh

Berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “11” ? bit ke-1 bit ke-2 bit ke-3 bit ke-4

26

0

0

0 0

1 1

0

1 0 0

1

1 0

0 0

1 1

0 Jadi, terdapat 8 string.

Diagram Pohon

Untuk visualisasi guna mempermudah penyelesaian dalam counting problems.

Prinsip Sarang Merpati Teorema 1 Jika k adalah bilangan bulat positif dan (k + 1) obyek atau lebih ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat dua atau lebih obyek tersebut.

Obyek merpati (pigeons)

Kotak sarang merpati (pigeonholes)

Gambar (1). Burung merpati lebih banyak dari pada sarangnya

Kebenaran dari Prinsip Sarang Merpati

Bukti:

Misalkan tidak terdapat satu wadah pun yang memuat lebih dari satu obyek, maka jumlah obyek terbanyak adalah k, sedangkan jumlah total objeknya k + 1. Namun itu adalah sebuah kontradiksi. Dengan demikian paling sedikit hanyalah ada k + 1 obyek.

Contoh:

1. Dari antara 367 orang, ada sedikitnya dua orang yang lahir pada

tanggal yang sama.

367 orang merpati

366 hari sarang merpati

2. Dari 27 kata ada sedikitnya dua kata yang dimulai dengan huruf

yang sama.

27 kata merpati

26 huruf sarang merpati

3. Jika nilai ujian menggunakan skala 0 s/d. 100, berapa orang

mahasiswa yang megikuti ujian tersebut supaya paling sedikit ada

dua orang yang nilainya sama ?

102 mahasiswa merpati

101 nilai (0..100) rumah merpati

Generalisasi Prinsip Sarang Merpati Teorema 2

Jika N obyek ditempatkan ke dalam k wadah, maka terdapat paling sedikit satu wadah yang

memuat sedikitnya N/k objek.

Bukti:

Misalkan tidak ada wadah yang berisi lebih dari N/k - 1 objek, maka jumlah objek

maksimalnya adalah jumlah wadah dikali isinya yang dilihatkan dalam pertidaksamaan

berikut

𝑘𝑁

𝑘− 1 < 𝑘

𝑁

𝑘+ 1 − 1 ……… (1)

Pertidaksamaan (1) dapat ditulis demikian karena 𝑁

𝑘 tidak mungkin sama atau melebihi

𝑁

𝑘+ 1. Jika ruas kanan disederhanakan , maka hasilnya adalah N, yang berarti

𝑘𝑁

𝑘− 1 < 𝑁

Padahal jumlah objek total adalah N. Maka dari itu, terdapat kontradiksi pada pernyataan,

sehingga prinsip sarang merpati yang digeneralisasikan bernilai benar.

Beberapa masalah yang sering muncul biasanya adalah tentang

menentukan banyaknya obyek minimum demikian sehingga paling sedikit r

obyek dari obyek-obyek ini harus terdapat dalam satu dari k kotak jika

obyek-obyek ini didistribusikan di antara kotak-kotak itu. Jika kita memiliki N

obyek, prinsip sangkar burung merpati yang diperumum menyatakan bahwa

paling sedikit terdapat r obyek dalam 1 kotak asalkan 𝑁

𝑘≥ 𝑟.

Bilangan bulat N terkecil dengan 𝑁

𝑘> 𝑟 − 1, yaitu 𝑁 = 𝑘 𝑟 − 1 + 1,

merupakan bilangan bulat terkecil yang memenuhi ketidaksamaan 𝑁

𝑘≥ 𝑟.

Mungkinkah ada nilai N yang lebih kecil? Tentu tidak, karena jika kita

memiliki k(r - 1) obyek, kita menempatkan r - 1 di antaranya pada tiap-tiap

kotak dari k kotak yang tersedia dan tak ada 1 kotak pun yang

ditempati oleh paling sedikit r obyek.

Contoh

1. Di antara 100 orang ada paling sedikit 100 / 12 = 9

orang yang lahir pada bulan yang sama.

2. Berapa jumlah minimum mahasiswa di dalam kelas

Matematika Diskrit agar sedikitnya 6 orang memperoleh

nilai yang sama, jika nilai yang mungkin terdiri dari A, B,

C, D, dan E?

Solusi:

Nilai huruf adalah A, B, C, D, E dan dalam suatu kelas

ada paling sedikit 6 orang yang mendapat nilai sama.

Banyaknya mahasiswa di kelas itu minimum 26 orang.

Generalisasi Prinsip Sarang Merpati : N/5 = 6.

N = 5 ∙ 5 + 1 = 26

Beberapa aplikasi prinsip sarang merpati

Contoh:

Suatu tim baseball punya 30 hari untuk latihan sebelum turnamen dimulai. Untuk itu pelatih tim menerapkan latihan; setiap hari paling sedikit bermain game sekali, tetapi secara keseluruhan banyaknya permainan game tidak lebih dari 45 kali.

Buktikan bahwa ada barisan hari berturut-turut disaat tim bermain game sebanyak tepat 14 kali.

Solusi: Masalah ini berhubungan dengan prinsip sarang merpati. Kita harus mencoba menghubungkan bilangan-bilangan yang diberikan untuk membentuk sarang dan merpati yang tepat.

Kita misalkan 𝑎𝑖 sebagai banyaknya permainan game yang telah dilakukan samapai hari ke-i dengan 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 30.

Jika demikian maka 𝑎1 paling tidak 1, 𝑎2 paling tidak 2, dst sampai 𝑎30 paling banyak 45, atau bisa ditulis menjadi

1 ≤ 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎30 ≤ 45.

Dan ada 14 banyaknya permaianan yang dilakukan selama beberapa hari berturut-turut. Hal ini mendorong untuk menambahkan setiap 𝑎𝑖 dengan 14. Kemudian perhatikan bahwa 45 + 14 = 59 = 2 ∙ 30 − 1. dengan demikian kita mempunyai sarang dan merpati yang sesuai.

Lanjutan…

Bukti:

Misalkan 𝑎𝑖 banyaknya permainan game yang telah dilakukan sampai i hari. Karena dalam 30 hari banyaknya permainan game tidak lebih dari 45 kali maka

0 < 𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎30 ≤ 45,

Jumlahkan dengan 14, maka diperoleh 14 < 𝑎1 + 14 < 𝑎2 + 14 < ⋯ < 𝑎30 + 14 ≤ 59.

Ada 59 bilangan (sarang), tetapi merpatinya 𝑎1, 𝑎2, ⋯ , 𝑎30, 𝑎1 + 14, 𝑎2 +14, ⋯ , 𝑎30 + 14, ada 60 buah. Akibatnya ada dua merpati yang bersarang sama. Maka ada i, j, sehingga

𝑎𝑖 = 𝑎𝑗 + 14

Ekuivalen dengan 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 = 14

Dengan kata lain pada hari ke-j+1, j+2, …, i, tim baseball bermain game tepat 14 kali.

Aplikasi prinsip sangkar burung merpati memperlihatkan adanya (eksistensi) suatu barisan bagian (subsequence) yang naik atau turun dengan panjang tertentu dalam sebuah barisan bilangan bulat. Sebuah barisan bagian dari barisan 𝑎1, 𝑎2, 𝑎𝑁 didefinisikan sebagai sebuah barisan dalam bentuk 𝑎𝑖1, 𝑎𝑖2, ⋯ , 𝑎𝑖𝑚, dengan 1 ≤ 𝑖1 ≤ 𝑖2 ≤ ⋯ ≤ 𝑖𝑚 ≤ 𝑖𝑁. Ini berarti, sebuah barisan bagian yang diperoleh dari suatu barisan tertentu diperoleh dengan mengambil beberapa suku dari barisan tersebut dalam urutan aslinya, dan mungkin tidak memuat suku-suku lainnya. Sebuah barisan dikatakan naik jika tiap-tiap sukunya selalu lebih besar daripada suku-suku sebelumnya, dan dikatakan turun jika tiap-tiap suku selalu lebih kecil daripada suku-suku sebelumnya.

Teorema 3

Tiap-tiap barisan dari 𝑛2 + 1 bilangan real yang berbeda memuat sebuah barisan yang panjangnya n + 1, dan barisan bagian ini merupakan barisan naik atau turun.

Teori Ramsey

Asumsikan bahwa di dalam suatu kelompok yang terdiri dari 6 orang, setiap pasang terdiri dari dua sahabat atau dua musuh.

Tunjukkan bahwa terdapat tiga orang yang saling bersahabat atau tiga orang yang saling bermusuhan dalam kelompok tersebut.

Solusi:

Misalkan A merupakan salah satu dari keenam orang tersebut, maka setidaknya tiga orang dari lima orang selain A bermusuhan atau berteman dengan A (sesuai prinsip pigeonhole). Anggap B, C, D berteman dengan A. Maka, jika dua dari B, C, D berteman, akan terbentuk tiga orang yang saling berteman. Sebaliknya, jika tidak, maka akan terbentuk tiga orang yang saling bermusuhan.

Teori Ramsey (2)

Bilangan Ramsey R(m,n), dengan m dan n bilangan bulat positif 2, adalah jumlah minimum orang dalam suatu pesta sehingga terdapat m orang yang saling bersahabat atau n orang yang saling bermusuhan, dengan mengasumsikan setiap pasang orang di pesta tersebut adalah sahabat atau musuh.