Bank Soal Olimpiade Matematika

download Bank Soal Olimpiade Matematika

of 25

  • date post

    10-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    348
  • download

    47

Embed Size (px)

Transcript of Bank Soal Olimpiade Matematika

SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKADAN PENYELESAIANNYA1. Buktikanuntuksetiap bilangan real a, b berlaku ab b a 22 2 +!Bukti : ( ) ab b a b ab a b a 2 0 2 02 2 2 2 2 + + 2. Buktikanuntuksetiap bilangan real a, b dengan 0 0 b dan a berlaku abb a+2 !Bukti :( ) abb aab b a b ab a b a + + + 22 0 2 02Catatan : Bentuk abb a+2 dikenal sebagai AMGMdimana AMsingkatan ArithmeticMean sedangkan GMsingkatan GeometricMean.3. Buktikanuntuksetiap bilangan positifa, b, c dan d berlaku 44abcdd c b a+ + + !Bukti :abcd cd abcd abd c b ad c b a +++++ + +2 22 244. Buktikanuntuksetiap bilangan real a, b dan c dengan 0 0 , 0 c dan b a berlaku33abcc b a+ + Bukti :Misal 3 333y abc y abc dan x c b a xc b a + + + +Maka43 42 2 22 24x y abcx cx abx c b ax c b ax c b a ,_

+

,_

+++++ + +Karenax c b a 3 + +makay x x y x x yx x +3 443435. Buktikanuntuksetiap bilangan positifa, b, c berlaku ( ) ( ) ( ) abc b a a c c b 8 + + +!Bukti :) 3 ....(2) 2 ....(2) 1 ....(2abb acaa cbcc b+++Jika (1) x (2) x (3) maka didapat : abc c b ab a a c c b ,_

+

,_

+

,_

+2 2 22 2 2Atau( ) ( ) ( ) abc b a a c c b 8 + + +6. Jika a bilangan positif, buktikanbahwa01 +aa!Bukti :21012 012 + + ,_

aaaaaa7. Jika a dan b sembarang bilangan, buktikanbahwa2 +abba !Bukti :( ) 2 2 02 2 2 + + abbaab b a b a8. Jika a, b bilangan positifdan a +b =1 maka 21 ab!Bukti :Karena a dan b positifdan a +b =1 maka :) 2 ....( 11) 1 ....( 11ba

Jika (1) +(2) maka 212 1 2 2 21 1 + + + ab ab ab b aabb ab a9. Jika a, b, c , d bilangan positif, maka buktikan ( ) ( ) abcd cd ab bd ac 4 + +!Bukti :) 2 ....( 2 ) 1 ....( 2 + +cddcdanabba Jika (1) +(2) didapat : 4 4 + + + + + +abdccdbacddcabba( ) ( ) abcd cd ab bd acabcdcd b abc abd cd a4 42 2 2 2 + + + + +10. Untuksetiap bilangan real x, buktikanbahwa 21142+ xx !Bukti :( ) 212 1 0 1 2 0 1422 4 2 4 2 2+ + + xxx x x x x11. Untuksetiap bilangan real x, buktikanbahwa 21222++xx !Bukti : ( ) ( ) 1 4 2 4 4 4 4 0222 2 2 4 4+ + + + + x x x x x x( ) ( ) 2121 2 2 1 2 2222 22222++ + + + + xxx x x x12. Hitunglahnilai dari: 2 2 2 2 2 2 2 220051200411 ......413113121121111 + + + + + + + + + + + +Jawab :( )( )22 2 2 22 22 2 2 22 2)) 1 ( () 1 2 ( ) 1 2 () 1 (1 ) 1 (11 11++ + + + + +++ + + +++ +n nn n n n n nn nn n n nn n =( )( )( ) ) 1 ( 11111) 1 (1) 1 (1 2 3 22 2222222 3 4++ ++ ++ +++ +++ + + +n n n n n nn nn nn nn nn n n n =11 11+ +n n Jadi 2 2 2 2 2 2 2 220051200411 ......413113121121111 + + + + + + + + + + + += ,_

+ + + ,_

+ + ,_

+ + ,_

+20051200411 .....413113121121111

=( )200520042004200520042004200511 1 .... 1 1 1 + ,_

+ + + + +13. Diketahuia, b, c, d dan e adalah bilangan real. Jika a+b+c+d+e=19 dan992 2 2 2 2 + + + + e d c b atentukannilai maksimumz !Jawab : ( ) ( )0 35 38 54 396 38 36199 99 99 99 38 36199 38 3612 2 2 2 2 2 99 38 3612 2 2 2 2 2 38 3611922 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 22 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + e ee e ee e e e e ed c d b c b d a c a b a e e ecd bd bc ad ac ab e e ecd bd bc ad ac ab d c b a e ed c b a e Dengan rumus abc didapat 102144 38102144 38 + e Jadi nilaimaksimume =102144 38 +14. Jika 1+2+3+4+.+n=aaa, maka tentukannilain dan aaa !Jawab : 37 ) 6 ( ) 1 (37 ) 3 ( ) 1 (237 ) 3 ( 111) 1 (2.... 3 2 1x xa n nx xa nnx xa xa aaannn + + + + + + +Ini merupakanperkalianberurutan. Jadi a =6 dan n =3615. Jika aabb =2) (xymaka tentukannilai daria, b, x dan y !Jawab : Karena 2) (xyadalah bilangan kuadrat maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6 atau 9.Berartibb =00, 11, 44, 55, 66 atau 99Bilangan kuadrat bila dibagi 4 sisanya 0 (untukgenap) atau 1 (untukganjil)Bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirhabis dibagi 4, jadi bb =44aabb =aa44 =11 x a04 maka a =7aabb =7744=288Sehingga a =7, b =4, x =8 dan y =816. Buktikanbahwa : ( )2 2 2 3 3 3 3) 1 (21141.... 3 2 11]1

+ + + + + + n n n n nBukti : Dibuktikandengan induksi matematika.Untukn =1 maka 2 3) 1 1 ( 1 .2111]1

+ benarMisal untukn =k benar maka 2 3 3 3 3) 1 (21.... 3 2 11]1

+ + + + + k k kUntukn =k +1 maka 3 3 3 3 3) 1 ( .... 3 2 1 + + + + + + k k ( )( ) ( )22 22 22 23 22 121) 2 ( ) 1 (41) 4 4 ( ) 1 (411411) 1 ( ) 1 (211]1

+ + + + + + +

,_

+ + + + +1]1

+ k kk kk k kk k kk k k17. Jika 2 2 32004 B A dimana A dan B bilangan asli, maka tentukannilaiA dan B !Jawab : 2 22 2 32 2 32 3 22 3 3 3 3 3) 2003 . 1002 ( ) 2005 . 1002 (2004 . 2003 .212005 . 2004 .212004) 1 (21) 1 (21) 1 (21) 1 (21) 1 (21) 1 ( .... 3 2 1 1]1

1]1

1]1

1]1

+ 1]1

+ +1]1

1]1

+ + + + + +n n n n nn n n n nn n n nJadi A =1002.2005dan B =1002.200318. Jika 3 3 3 3 3 3 32005 .... 6 5 4 3 2 1 + + + + A , maka tentukannilaiA !Jawab : ( )( )4009 . 1003) 2004 2005 )( 2004 2005 ( 1003) 2004 2005 ( 1003) ) 501 . 4 ( 2005 ( 1003) 1003 . 1002 .21( 16 2006 . 2005 .21) 1002 .... 3 2 1 ( 2 . 2 2005 .... 3 2 1) 2004 .... 3 2 ( 2 2005 .... 3 2 1222 2 22 2 22 23 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 + ,_

+ + + + + + + + + + + + + + +19.na a a a ,...., , ,3 2 1 adalah bilangan cacah yang berbeda. Jika 2005 2 .... 2 2 23 2 1 + + + +na a a a maka tentukannilai darina a a a + + + + ....3 2 1 !Jawab : 46 0 2 4 6 7 8 9 10 ....2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 20051 1111101010 20053 2 10 2 4 6 7 8 9 102 + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + na a a a20. Diketahuix, y, z dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhipersamaan :) 3 ( .... 1000) 2 ( ....1 1 1 1) 1 ( ....3 3 3 3 + + + + + +z y xt z y xt z y xTentukannilai darix +y +z +t Jawab :( ) ( )2000 21000 10003 . 33 ) ( 31 1 1 13 3 3 3 33 3 3 33 3 3 3 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +t t t t z y xt t z y xxyztxyzt z y x txyz yz xz xy z y x z y x z y xtxyzyz xz xyt xyzyz xz xyz y x21. Suatu fungsi dinyatakan sebagai e e ex fxx+ ) ( . Tentukannilai dari)20052004( ... )20052( )20051( f f f + + +Jawab :122) 1 ( ) (111 1111+ ++ ++ + ++ + ++++ + e e e e ee e e e ee e e e e e ee e e e e ee e ee e ex f x fx xx xx x x xx xxxxx1 )20051003( )20051002(..........1 )20052003( )20052(1 )20052004( )20051( + + +f ff ff f+ =100222. Diketahuia dan b adalah bilangan real yang memenuhisyarat :i. 44 32 3 ab aii. 8 32 3 b a bTentukannilai 2 2b a + !Jawab :( ) 64 9 6 8 3 8 31936 9 6 44 ) 3 ( 44 32 4 4 2 6 2 2 2 3 2 34 2 2 4 6 2 2 2 3 2 3 + + b a b a b b a b b a bb a b a a ab a ab a +( )3 3 2 2 3 2 26 4 2 2 4 62 10 2000 20002000 3 3 + + + + +b a b ab b a b a a23. Tentukanbanyaknya bilangan yang terdiridari4 digit angka abcd sehingga memenuhipersamaan abcd +1 =(ac +1)(bd +1) !Jawab :abcd +1 =(ac +1)(bd +1)1000a +100b+10c +d +1 =(10a +c +1)(10b+d +1)=100ab +10ad +10a +10bc +cd +c +10b +d +1990a +90b +9c - 100ab - 10ad - 10bc cd =0(900a 100ab) +(90a 10ad) +(90b 10 bc) +9c cd =0100a (9 b) +10a (9 d) +10b (9 c) +c (9 d) =0Jadi : b =d =c =9a =1, 2, 3, ., 9Sehingga bilangan-bilangan itu : 1999, 2999, 3999, ., 999924. Tentukannilai dari2003 3 2 12 2004 2003 2005....2 4 352 3 242 2 13x x x x x x x x+ + + +Jawab :k k k k kk ka k b ak kkb k akbkak kk2 ). 1 () (2 ). 1 () 1 () 1 .( 2 . 2 2 ). 1 .(2++ + ++ ++jadi a b =1 karena a =2 maka b =1

,_

+ + ,_

+ ,_

+2003120032003 2003 2 2 1 12004 . 2112004 . 212003 . 22....3 . 212 . 222 . 211 . 22) 1 .( 21. 22(kk kk k25. Jika x dan y bilangan asli yang memenuhipersamaan xy +x +y =71 dan8802 2 + xy y xmaka tentukannilai 2 2y x +!Jawab :Misal xy =a dan x +y =b maka :xy +x +y =71 a +b =71 a =71 b .. (1)8802 2 + xy y xxy(x+y) =880 ab =880 . (2)Dari(1) dan (2) didapat :i.b =55dan a =16 maka 2 2y x +=( ) 2993 16 . 2 55 22 2 + xy y xii. b =16 dan a =55 maka 2 2y x +=( ) 146 55 . 2 16 22 2 + xy y x26. Tentukannilai2A dimana A adalah jumlahdarinilaimutlaksemua akar-akar persamaan :xx919911991199119++++ Jawab :383383219 3832 383 192 383 192 383 192 383 190 91 19911922 . 12++++t + AAxx xxx27. Didefinisikan3 2 3 2 3 21 2 1 1 21) (+ + + + +n n n n nn f untuksemua n bilangan asli. Tentukannilai darif(1)+f(3)+f(5)+. +f(999999)!Jawab : ( )( )y xy xy xy xy xy x y x y x y x+ + + + 333233 23233 23333331Misal : 1 1 ) 1 )( 1 (1 ) 1 ( 1 21 ) 1 ( 1 22 22 2 22 2 2 + + + + + + n xy n n n xyn x n n n yn x n n n x21 1) 1 ( ) 1 (1 1) (1) (3 3 3 3333233 2 + + ++ +n nn nn nn fy xy xy xy xn ff(1)+f(3)+f(5)+. +f(999999)=( ) ( ) ( ) ( ) ( )2999999 1000000 .... 6 8 4 6 2 4 0 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 + + + + + = 502100 0+28. Carilah3 bilangan asli x, y, z dimana 2004 < < < x y z dan memenuhipersamaan 5 4 3z y x +!Jawab :3 8 24 24 25 3 6 54 5 31 ) 1 ( a a x a a a a x maka a y dan a z Misaly z xa 1harus bilangan pangkat 3 seperti 1, 8, 27 dsb.Misal a =2 maka256 1 2 23 8 x 64 232 265 yz29. Tunjukkanbahwa untuksetiap bilangan asli n berlakun n n n) 4 ( 1900 25 121 + selalu habis digai 2000!Jawab :2000=125x 16Gunakan teori n nb a habis dibagi a bn n n n) 4 ( 1900 25 121 + = n n n n) 4 ( 121 25 1900 + habis dibagi 16habis dibagi 16habis dibagi 125habis dibagi 125Jadi n n n n) 4 ( 1900 25 121 + habis dibagi 125x 16 =200030. Buktikanbahwa 1998+1999x 20042 habis dibagi 7!Bukti :1998+1999x 20042 =(7n+3) +(7n+4) x (7 +1)668Kita lihat satuannya : 3 +4 x 1668 =3 +4 =7Jadi 1998+1999x 20042 habis dibagi 731. Tentukan3 bilangan asli x, y, z sehingga 200520063 33 3++z xy xJawab :( ) ( )( ) ( )2 22 23 33 3z xz x z xy xy x y xz xy x+ ++ +++Karena 2006dan 2005relatifprima, maka diantara faktor-faktorpembilangdan penyebut harus ada yang sama.x +y =x +ztidak mungkin,karena y =z.1337 668 6692005 22006 22005200620052006) ( ) )( (2 22 2 2 2 + ; + ++ ++ + +++ + + + z y x sehingga z dan yy zz yz z yy z yz xy xz y xz y x z y z yxz xy z yz xz x y xy x32. Tentukanrumus untuk) ! ( ... ) ! 3 3 ( ) ! 2 2 ( ) ! 1 1 ( n x n x x x + + + + !Jawab :( ) [ ]( ) [ ]1 )! 1 ( ! 1 )! 1 ()! 1 ( ! 1) ! )! 1 (( ... ) ! 3 ! 4