Logika Fuzzy

Pada akhir abad ke-19 hingga akhir abad ke-20 teori probabilitas memegang peranan

penting untuk penyelesaian masalah ketidakpastian. Teori ini terus berkembang hingga

akhirnya pada tahun 1965, Lotfi A. Zadeh memperkenalkan teori himpunan fuzzy yang

secara tidak langsung mengisyaratkan bahwa tidak hanya teori probabilitas yang dapat

digunakan untuk merepresentasikan masalah ketidakpastian. Namun demikian, teori

himpunan fuzzy bukanlah merupakan pengganti dari teori probabilitas. Ross (2005)

menjelaskan bahwa pada teori himpunan fuzzy komponen utama yang sangat berpengaruh

adalah fungsi keanggotaan. Fungsi keanggotaan merepresentasikan derajat kedekatan suatu

obyek terhadap atribut tertentu, sedangkan pada teori probabilitas lebih pada penggunaan

frekuensi relatif (Kusumadewi, 2006).

Teori himpunan fuzzy merupakan kerangka matematis yang digunakan untuk

merepresentasikan ketidakpastian, ketidakjelasan, ketidaktepatan, kekurangan informasi dan

kebenaran parsial (Tettamanzi, 2001). Kurangnya informasi dalam menyelesaikan

permasalahan sering kali dijumpai di berbagai bidang kehidupan. Pembahasan tentang

ketidakjelasan (vagueness) telah dimulai semenjak 1937, ketika seorang filosof bernama Max

Black mengemukakan pendapatnya tentang ketidakjelasan (Ross, 2005). Black

mendefinisikan suatu proposisi tentang ketidakjelasan sebagai suatu proposisi dimana status

kemungkinan dari proposisi tersebut tidak didefinisikan dengan jelas. Sebagai contoh, untuk

menyatakan seseorang termasuk kedalam kategori muda. Pernyataan “muda” dapat

memberikan interpretasi yang berbeda dari setiap individu dan tidak dapat dilakukan

pemberian umur tertentu untuk mengatakan seseorang masih muda atau tidak (Kusumadewi,

2006).

Ketidakjelasan juga dapat digunakan untuk mendeskripsikan sesuatu yang

berhubungan dengan ketidakpastian yang diberikan dalam bentuk informasi linguistik atau

intuisi. Sebagai contoh, untuk menyatakan kualitas suatu data dikatakan “baik”, atau derajat

kepentingan seorang pengambil keputusan dikatakan “sangat penting”. Namun demikian,

dalam bentuk semantik ketidakjelasan (vagueness) dan fuzzy secara umum tidak dapat

dikatakan bersinonim. Zadeh (1995) mengatakan bahwa biasanya proposisi yang

mengandung ketidakjelasan adalah fuzzy, tetapi tidak sebaliknya (Kusumadewi, 2006).

Logika fuzzy dianggap sebagai kotak hitam yang menghubungkan antara ruang input

menuju ruang output (Gelley, 2000). Kotak hitam tersebut berisi cara atau metode yang dapat

digunakan untuk mengolah data input menjadi output dalam bentuk informasi yang baik

(Kusumadewi, 2010).

Gambar 3.1 Contoh Pemetaan Input-Output Model Gelley (Kusumadewi, 2010)

Cox, 1994 mengemukakan bahwa ada beberapa alasan mengapa orang menggunakan logika

fuzzy, antara lain (Kusumadewi, 2006):

1. Konsep logika fuzzy mudah dimengerti. Konsep matematis yang mendasari penalaran

fuzzy sangat sederhana dan mudah dimengerti.

2. Logika fuzzy sangat fleksibel.

3. Logika fuzzy memiliki toleransi terhadap data-data yang tidak tepat.

4. Logika fuzzy mampu memodelkan fungsi-fungsi non-linear yang sangat kompleks.

Ruang Output

(Semua jumlah produksi

barang yang mungkin

Ruang Input

(Semua total persediaan

barang yang mungkin

Persediaan

barang akhir

Kotak

Hitam

Produksi Barang

Esok Hari

5. Logika fuzzy dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman-pengalaman para

pakar secara langsung tanpa harus melalui proses pelatihan.

6. Logika fuzzy dapat bekerjasama dengan teknik-teknik kendali secara konvensional.

7. Logika fuzzy didasarkan pada bahasa alami.

III.3.2 Himpunan Fuzzy

III.3.2.1 Himpunan Klasik (Crisp)

Pada dasarnya, teori himpunan fuzzy merupakan perluasan teori himpunan klasik.

Pada teori himpunan klasik (crisp), keberadaan suatu elemen pada suatu himpunan A hanya

akan memiliki 2 kemungkinan, yaitu menjadi anggota A atau tidak menjadi anggota A (Chak,

1998). Suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar tingkat keanggotaan suatu elemen (x)

dalam suatu himpunan (A) sering dikenal dengan nama nilai keanggotaan atau derajat

keanggotaan, dinotasikan dengan µA(x). Pada himpuan klasik hanya ada 2 nilai kenggotaan,

yaitu µA(x)=1 untuk x menjadi anggota A; dan µA(x)=0 untuk x bukan anggota dari A

(Kusumadewi, 2006).

III.3.2.2 Himpunan Tidak Pasti (Fuzzy)

Zimmermarman (1991). Teori himpunan fuzzy diperkenalkan oleh A. Zadeh pada

tahun 1965. Zadeh memberikan definisi tentang himpunan fuzzy , sebagai (Kusumadewi,

2006):

Jika X adalah koleksi dari obyek-obyek yang dinotasikan secara genetik oleh x, maka

suatu himpunan fuzzy dalam X adalah suatu himpunan pasangan berurutan:

(3.1)

dengan µA(x) adalah derajat keanggotaan x yang memetakan X ke ruang keanggotaan M yang

terletak pada rentang (0,1).

III.3.2.3 Fungsi Keanggotaan

Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukan

pemetaan titik input data ke dalam nilai keanggotaannya (derajat keanggotaan) yang memiliki

interval 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai

keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Ada beberapa fungsi yang digunakan.

1. Representasi Linear

Pada representasi linear, pemetaan input ke derajat keanggotaan digambarkan sebagai

suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan mendaji pilhan yang baik untuk

mendekati suatu konsep yang kurang jelas. Reprentasi linear ada 2 yaitu linear naik

dan linear turun.

Gambar 3.2 Representasi Linear nain dan linear turun

Fungsi keanggotaan linear naik

0; x a

[x]= (x-a)/(b-a); a x b

1; x b (3.2)

Fungsi keanggotaan linear turun

0; x b

[x]=

(b-x)/(b-a); a x b (3.3)

2. Reprentasi Kurva Segitiga

Kurva segitiga pada dasarnya meupakan gabungan antara kurva linear naik dan kurva

linear turun.

Gambar 3.3 Representasi kurva segitiga

Fungsi Keanggotaan:

0; x a atau x c

[x]= (x-a)/(b-a); a x b

(b-x)/(b-a); a x b (3.4)

3. Reprentasi Kurva Trspesium

Kurva trapesium merupakan kurva segitiga yang memiliki beberapa titik dimana titik-

titik ini memiliki nilai keanggotaan 1.

a

1.0

b0

Trapesium

c d

Gambar 3.4 reprentasi kurva trapesium

Fungsi keanggotaan :

0; x a atau x d

[x] = (x-a)/(b-a); a x b

1; b x c

(d-x)/(d-c); c x d (3.5)

4. Reprentasi Kurva Sigmoid

Kurva sigmoid sering juga disebut sebagai kurva S. kurva sigmoid terdiri dari dua

yaitu sigmoid naik dan sigmoid turun. Sigmoid naik akan bergerak dari sisi paling kiri

(nilai keanggotaan = 0) menuju sisi paling kanan (nilai keanggotaan = 1). Sigmoid

turun akan bergerak dari sisi kanan (nilai keanggotaan = 1) menuju sisi paling kiri

(nilai keanggotaan = 0).

Gambar 3.5 Representasi kurva sigmoid naik dan sigmoid turun

Fungsi keanggotaan sigmoid naik :

(3.6)

Fungsi keanggotaan simoid turun :

(3.7)

5. Reprentasi Kurva Phi

Kurva phi berbentuk seperti lonceng dengan derajat keanggotaan 1 terletak pada pusat

domain (γ) dan lebar kurva (β).

Gambar 3.6 Representasi kurva phi

Fungsi keanggotaan :

(3.8)

III.3.3.3 Fuzzy Multi Attribute Decision Makking (FMADM)

Pada dasarnya, proses MADM dilakukan melalui 3 tahap, yaitu penyusunan

komponen-komponen situasi, analisis dan sintesis informasi (Rudolphi, 2000). Pada tahap

penyusunan komponen, komponen situasi akan dibentuk tabel taksiran yang berisi

identifikasi alternatif dan spesifikasi tujuan, kriteria dan atribut. Salah satu cara untuk

menspesifikasikan tujuan situasi |Oi’ i=1,...n|. Selain itu juga disusun atribut-atribut yang akan

digunakan |Ak’ k=1,...m| (Kusumadewi, 2006).

Tahap analisis dilakukan melalui 2 langkah. Pertama, mendatangkan taksiran dari

besaran yang potensial, kemungkinan, dan ketidakpastian yang berhubungan dengan dampak-

dampak yang mungkin pada setiap alternatif. Kedua, meliputi pemilihan dari preferensi

pengambil keputusan untuk setiap nilai dan ketidakpedulian terhadap resiko yang timbul.

Pada langkah pertama, beberapa metode menggunakan fungsi distribusi |Pj(X)| yang

menyatakan probabilitas kumpulan-kumpulan atribut |ak| terhadap setiap alternatif |Ai|.

Konsekuen juga dapat ditentukan secara langsung dari agregasi sederhana yang dilakukan

pada informasi terbaik yang tersedia. Demikian pula, ada beberapa cara untuk menentukan

preferensi pengambil keputusan pada setiap konsekuen yang dapat dilakukan pada langkah

kedua. Metode yang paling sederhana untuk menurunkan bobot atribut dan kriteria adalah

dengan fungsi utilitas atau penjumlahan berbobot (Kusumadewi, 2006).

Zimmerman (1991) mendefinisikan model multi-attribute decision making secara

umum sebagai berikut(Kusumadewi, 2006):

Misalkan A={ai | i=1,...,n} adalah himpunan alternatif-alternatif keputusan dan C={c j |

j=1,...,m} adalah himpunan tujuan yang diharapkan, maka akan ditentukan alternatif x0 yang

memiliki derajat harapan tertinggi terhadap tujuan-tujan yang relevan cj.

Kusumadewi (2006) mengutip penjelasan dari Yeh (2002) bahwa sebagian besar

pendekatan MADM dilakukan melalui 2 langkah, yaitu: pertama, melakukan agregasi

terhadap keputusan-keputusan yang dianggap terhadap semua tujuan pada setiap alternatif;

kedua, melakukan perankingan alternatif-alternatif keputusan tersebut berdasarkan hasil

agregasi keputusan. Dengan demikian, bisa dikatakan bahwa masalah MADM adalah

mengevaluasi m alternatif Ai (i=1,2,...,n) terhadap sekumpulan atribut atau kriteria Cj

(j=1,2,...,n), dimana setiap atribut saling tidak bergantung satu dengan yang lainnya. Matriks

keputusan setiap alternatif terhadap setiap atirbut X diberikan sebagai:

(3.9)

dimana xij merupakan rating kinerja alternatif ke-i terhadap atribut ke-j. Nilai bobot yang

menunjukkan tingkat kepentingan relatif setiap atribut, diberikan sebagai W: W={w1’w2’...,wn}

(3.10)

Rating kinerja (X) dan nilai bobot (W) merupakan nilai utama yang merepresentasikan

preferensi absolut dari pengambil keputusan. Masalah MADM diakhiri dengan proses

perankingan untuk mendapatkan alternatif terbaik yang diperoleh berdasarkan nilai

keseluruhan preferensi yang diberikan.

III.3.3.4 Simple Additive Weighting Method (SAW)

Metode SAW sering juga dikenal dengan istilah metode penjumlahan terbobot.

Konsep dasar SAW adalah mencari penjumlahan terbobot dari rating kinerja pada setiap

alternatif pada semua atribut (Fishburn, 1967) (MacCrimmon, 1968). Metode SAW

membutuhkan proses normalisasi matriks keputusan (X) ke suatu skala yang dapat

diperbandingkan dengan semua rating alternatif yang ada.

(3.11)

dimana rij adalah rating kinerja ternormalisasi dari alternatif Ai pada atribut Cj; i=1,2,...,m dan

j=1,2,...n. Nilai preferensi untuk setiap alternatif (V i) diberikan sebagai berikut:

. (3.12)

Nilai Vi yang lebih besar mengindikasikan bahwa alternatif Ai lebih terpilih (Kusumadewi,

2006).