BAHAN AJAR

Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP)

Matematika SMA/MA Kota PadangPembibing : Drs. H. Mara Sutan, M.Pd

Koordinataor

: Drs. Nursal Samin

Dra. Rahmaniar, M. Kom

Ketua

: Drs. Antoni Ariston

Tim Penyusun Matematika XII IPA1. Drs. Antoni Ariston

SMAN 12 Padang

2. Dra. Drita Yani

SMAN 3 Padang

3. Dra. Ernitawati

SMAN 3 Padang4. Dra.Elida,M.Pd

SMAN 3 Padang

5. Dra. Fitriani, M.si

SMA PGRI 1 Padang

6. Gusniati, S.Pd

SMAN 5 Padang

7. Dra. Isra Murni

SMAN 4 Padang

8. Irawati Tahar, S.Pd

SMAN 4 Padang

9. Dra. Yusfida Heleni

SMA Bunda Padang

10. Yessi Fitriyanti, S.Pd

SMAN 15 Padang

11. Dra. Zulfatmi

SMAN 6 Padang

12. Dra. Zunidar

MAN 2 Padang

Hitung Integral dan Differensial

I. Standar Kompetensi :

Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalahII. Kompetensi Dasar :

1.1 Memahami konsep integral tak tentu 1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana

1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putarIII. Indikator :

1. Mengenal arti integral tertentu 2. Merumuskan sifat sifat integral tak tentu dari turunan 3. Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri

4. Mengenal arti integral tak tentu

5. Menentukan integral tak tentu dengan menggunakan sifat integral

6. Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak tentu

7. Menentukan integral dengan cara substitusi 8. Menentukan integral dengan integral parsil

9. Menentukan integral dengan cara substitusi trigonometri 10. Mendiskusikan cara menentukan luas daerah di bawah kurva

11. Menyelesaikan masalah luas daerah di bawah kurva

12. Mendiskusikan cara menentukan volume benda putar

13. Menyelesaikan masalah benda putarIV. Tujuan Pembelajaran : Setelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu :

1. Menggunakan konsep, sifat dan aturan dalam perhitungan integral tak tentu dan integral tentu. 2. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar.

A. Integral Sebagai Anti Differensial

1. Pengertian Integral Sebagai Ixnvers Pendiffrensialan

Perhatikan diagram berikut

A = f(x) differensial B = f(x)

f(x) X3 f(x) X3 + 3 X2 X3 - 5

Sehingga untuk f(x) = x2, maka bentuk f(x) dapat bermacam-macam, dan fungsi f(x) hanya berbeda pada suku konstanta. Semua bentuk anti turunan f(x) dari f(x) dapat ditulis : F(x) = x

Fx) = =

Secara umum

, n -1Sifat-sifat yang lain

1.

=

2.

3.

Contoh :

Tentukanlah integral berikut ini :

1. 3. 5.

2. 4.

Jawab:

1. 3.

= 15x3 + C 4.

2. =

= = 4

=

Latihan 1

1. = 8.

2. 9.

3. 10. 4. 11.

5. 12.

6. 13.

7. 14.

15.

2. Menentukan F(x) jika F(x) dan F(a) diketahui dimana a konstanta.

Contoh :

Diketahui f(x) = 4x 3 dan f(2) = 9. Tentukanlah f(x)

Jawab :

f (x) =

=

f(x) = 2x2 3x + C

f(2) = 2(2)2 3.2 + C

9 = 8 6 + C

C = 7

Jadi f(x) = 2x2 3x + 7Latihan 2

Tentukan fungsi F jika diketahui F(a) dan F(x) sebagai berikut :

1. Diketahui F(x) = 6x2- 2x + 1 dan F(2) = 4

2. Diketahui F(x) = 4x + 4 dan f(2) = 19

3. Diketahui F(x) = 2( 6x2- 1) dan F(0) = -5

4. Diketahui F(x) = x - dan F(2) = 7

5. Diketahui F(x)= ax + b ,F(1) = 4, F(2) = 9 dan F(-2) = 25.3. Menentukan Persamaan Kurfa y = f(x) jika diketahui dan sebuah ttitik pada kurfa.

Contoh 1 :

Gradien garis singgung disetiap titik pada kurfa adalah = 4. Jika kurfa itu melalui titik (2,3), tentukan persamaan kurfa tersebut.

Jawab :

= f(x)

y =

= 4x + C

Kurfa melalui titik (2,3), maka

3 = 4.2 + C

C = -5

Jadi persamaan kurfa itu y = 4x 5

Contoh 2 :

Suatu benda yang bergerak dengan percepatan a = 6t 4 ( t dalam detik). Jika pada detik ke-1 kecepatan benda adalah 0 dan pada detik ke-2 menempuh jarak 3m. Tentukan rumus untuk jarak (S).

Jawab :

a= dan v =

a =

dv = (6t 4)dt

V = 3t2 4t + C

Untuk t = 1 , v = 0

0 = 3(1)2 4.1 + C

C = 1

V = 3t2 4t + 1

V =

dS = vdt

S =

= t3 2t2 + t + C

Pada saat t = 2, jarak = 3

3 = 23 2.22 + 2 + C

3 = 8 - 8 + 2 + C

C = 1

Jadi rumus untuk S adalah S(t) = t3 2t2 + t + 1

Latihan 3

Tentukan persamaan kurfa yang memenuhi syarat di bawah ini !

1. , kurfa melalui titik (2,9)

2. 6x , kurfa melalui titik (-2,10)

3. 1 - , kurfa melalui titik (2,5).

4. Pada tiap titik (x,y) pada sebuah kurfa berlaku hubungan = 6x, adalah turunan kedua dari y = f(x). Jika persamaan garis singgung pada kurfa di titik (1,3) adalah y = x + 2. Carilah persamaan kurfa itu.

5. Kurfa kecepatan waktu dari suatu benda yang bergerak dengan kecepatan v pada saat t adalah sebuah sebuah garis lurus dengan persamaan v = 5 2t. Jika diketahui bahwa v = dan pada saat t = 1, S = 10. Carilah rumus untuk S.

B. Integral Tertentu

Y = f(x)

x = a x = b Luas daerah yang diarsir adalah L =

L = F(x) ]ba = F(b) F(a)

Contoh :

1. Tentukan dengan mengarsir daerah yang luasnya dinyatakan oleh :

L =

Jawab ; 2

-2 -1 112. Dengan menggunakan rumus L = tentukan rumus luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :

1 1

-1 3

Jawab :

Persamaan garis l : x y = -1 Y = x + 1

Luas =

Latihan 4.

Arsirlah daerah yang luasnya dirumuskan oleh :

1. 4 .

2. 5.

3.

Dengan menggunakan rumus L = tentukan rumus luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini.

7. 8.

2

1

4 -2

9. 10.

2

1 2 -1 1

-1

11. Hitung nilai :

a. b.

12. Tentukan nilai a sehingga :

a.

b.

c.

d.

2. Beberapa Integral Khusus

1.

2. d = + C

n + 1

Contoh :

1. dx =

2.

3.

4.

=

=

=

5. d

=

=

=

Latihan 6.

Selesaikanlah integral berikut :

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4.

EMBED Equation.3 8.

2.C Integral Fungsi Trigonometri

F(x) differensial F(x)

Sin x cos x Cos x - sin x

Tan x sec2x

Cotan x - cosec2x

Sec x sec x.tan x

Cosec x -cosec x.cot x

integral F(x) =

EMBED Equation.3

Contoh 1 :

a.

=

= sin (2x+3) + C

b.

=

=

c.

=

=

Secara umum didapatkan

d = sin + CContoh 2 :

a.

EMBED Equation.3 =

= -cos(2x-3) + C

b. sin(ax+b)dx =

= -

Secara umum didapatkan

d = -cos + C

Catatan :

Sin 2x = 2sin x.cos x

Cos 2x = cos2x sin2x

= 2cos2x 1

= 1 2sin2x

2sin x.cos y = sin(x+y) + sin(x-y)

2cos x.sin y = sin(x+y) sin(x-y)

2cos x.cosy = cos(x+y) + cos(x-y)

2sin x.sin y = cos(x-y) cos(x+y)

Contoh 3.

=

= {sin(2x+x) + sin(2x-x)} + C

= (sin 3x + sin x) + C

= sin 3x + sin x + C

Latihan 6

1. Tentukan integral dari :

a. f.

b. g.

c. h.

d. i.

e. j.

2. Hitung nilai dari :

a. a.

EMBED Equation.3 2.D. Integral dengan Cara Substitusi Integral ini juga dapat diselesaikan dengan memakai rumus

n+1

n d = + C n+1

contoh :

1. sin x.cos x dx =

= sin2x + C

2. sin x.cos x dx = -

= -cos2x + C

3. sin3x.cosx dx =

=

4.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 .sin x dx

= -

=

=

5.

=

6.

EMBED Equation.3 = [

=

=

= 22

Latihan 7 .

Dengan menggunakan integral substitusi selesaikan soal berikut,

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

2F. Menentukan Hasil dari dengan substitusi x = a sin t.

Contoh 1 :

= . . . ..

Misalkan x = a sin t t = arc sin

dx = a cos t dt

x2 = a2sin2t

sehingga

=

=

=

= = t + C

= arc sin + C

= arc sin + C Rumus

Contoh 2

. . . . .. .

Misalkan x = a sin t maka t = arc sin

dx = a cos t dt

x2 = a2sin2t

=

=

=

=

= a2

EMBED Equation.3 =

=

=

Contoh 3

arc sin

Contoh 4

[arc sin

= arc sin

= arc sin 1 arc sin 0

=

=

Contoh 5

[

= (

=

=

Latihan 8

Selesaikanlah integral berikut!

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

2.G Integral parsil

Integral parsil digunakan untuk integral perkalian jika mengalami kesulitan dalam bentuk integral substitusi.

Dari rumus turunan

Y = U.V dy = d(u.v) = vdu + udv

u.v =

Contoh 1 .

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 = -

= -(xcos x -

= - (x cos x sin x ) + C

= -x cos x + sin x + C

Contoh 2

= x2sin x -

= x2sin x -

= x2sin x - 2

= x2sin x + 2(x cos x -

= x2sin x + 2x cos x 2 sin x + C

Cara lain dapat juga dilakukan

1.

Didifferensialkan integralkan

x sin x

1 - cos x

0 - sin x

-xcos x sin x + C 2.

Didifferensialkan integralkan

x2 cos x

2x sin x

2 - cos x

0 - sin x

x2sin x + 2x cos x 2 sin x + C

Latihan 9

Selesaikanlah dengan integral parsil

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

EMBED Equation.3 3. Model Integral Untuk Luas Daerah dan Volume Benda Putar

A. Menentukan luas daerah antara kurfa y = f(x), sumbu-x, garis x = a dan garis x = b y = f(x)

Luas = F(b) F(a)

x = a x = b

Contoh 1.

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurfa y = x2 4x + 3, sumbu x, x = 0

dan x = 4

Jawab.

y = x2 4x + 3 y = ( x - 3 )( x - 1 )

titik potong kurfa dengan sumbu-x, syarat y = 0 maka titik potong itu (3,0) dan (1,0). Kurfa terbuka ke atas karena a >0, maka daerah luas yang akan dihitung seperti terlihat pada grafik di bawah ini.

3

I III

0 1 3 4

II

Luas daerah I =

= [

= (

Luas daerah II = -

=

= [

= (1 - ( 9 18 + 9) = 1

Luas daerah III =

=

= ( (

=

Jadi luas seluruhnya = + + = 4

Contoh 2

Hitunglah luas daerah yang diarsir di bawah ini

3

1 3

Jawab.

f(x) = (x 1)(x 3)

f(x) = x2 4x + 3

luas =

=

= - 2 + 3 0 = 1

Latihan 10.

Hitung luas daerah yang diarsir berikut ini :

1.

0

2.

-1 1

3. 3

0 2 6

4. Tentukan titik potong kurfa y = x3 4x dengan sumbu x dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurfa tersebut dengan sumbu x.

5. Diketahui parabola dengan persamaan y = (x + 3)(x 2). Daerah yang dibatasi oleh parabola denga sumbu x terbagi menjadi 2 bagian oleh sumbu y. Hitunglah perbandingan luas kedua bagian daerah tersebut.

B. Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurfa y = f(x), y = g(x), garis x = a da garis x = b. y = g(x) y = g(x) x = a x = b

Luas =

Contoh 1:

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurfa y = x2 dan y = 2x + 3 Jawab :

a b

y = x2 dan y = 2x + 3 dieliminasi maka x2 = 2x + 3

x2 - 2x 3 = 0

( x 3)(x + 1) = 0

x1 = 3 atau x2= - 1

Luas daerah yang diarsir adalah

L =

=

=

= ( -9 + 9 + 9) (

= 9 + = 10

Contoh 2.

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurfa y = x2 4 dan y = 8 + 2x x2

Jawab.

Grafik y = x2 4 terbuka ke atas dan memotong sumbu x jika y = 0

Maka x2 4 = 0

(x + 2)(x 2) = 0

x1 = - 2 atau x2 = 2

Grafik y = 8 + 2x x2 terbuka ke bawah dan memotong sumbu x jika y = 0

Maka 8 + 2x x2 = 0

x2 2x 8 = 0

( x 4)(x + 2) = 0

x1= 4 atau x = -2sketsa grafik :

-2 2 3

Daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh kedua kurfa dengan titik potong kedua kurfa adalah dengan mensubstitusikan kedua persamaan sebagai berikut :

y = x2 4 dan y = 8 + 2x x2 x2 4 = 8 + 2x x2 2x2 2x 12 = 0

x2 x 6 = 0 (x 3)(x + 2) = 0

x1 = 3 , x2 = -2 maka luas = =

=

= (-81 + 9+36) ( -8 + 4 24) = 41

Cara singkat :

Luas daerah yang dibatasi oleh 2 kurfa dapat dicari dengan menggunakan rumus

Luas = , dimana D = b2- 4ac.

Contoh :

Luas daerah yang dibatasi oleh kurfa y = x2 4 dg y = 8 + 2x x2

Setelah di eliminasi didapat 2x2 2x 12 = 0

D = b2- 4ac

= 4 4(2)(-12)

= 100

Luas =

= = 41

Latihan 11

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurfa y = 4 x2 dan y = 3x

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurfa y = x2 7x + 10 dan y = 2 x

3. Hitung luas daerah yang diarsir berikut ini dengan menggunakan integral,

a.

3

-1 3

b.

(4,4)

0 (6,0)

C. Volume Benda Putar Jika sebuah bangun datar diputar mengelilingi garis tertentu sejauh 3600 maka terjadilah suatu benda putar. Garis tertentu itu disebut sumbu putar.

Contoh :

x = a x = b

V = x Jika sumbu y sebagai sumbu putar d d

c

V =

Contoh :

Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurfa berikut, diputar mengelilingi :

a. sumbu x

b. sumbu y

1.

1

6

6

2.

3

1 3

3.

3 4. Tentukan volume dari kurva,yang terletak di kuadran pertama di

putar sejauh 360 mengelilingi :

a.) Sumbu x

b.) sumbu y

D. Volume benda putar antara 2 kurfa

Y = g(x)

Y = f(x)

x = a x = b

V =

Jika ddiputar mengelilingi sumbu y

x = g(y) x = f(y)

c

V =

d Contoh :

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurfa

Y = 2x dan y = x2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600

Jawab :

Lukis grafik y = x2 dan y = 2x

0 2

Titik potong y = 2x dg y = x2

x2 = 2x

x2 - 2x = 0

x( x 2 ) = 0

x1 = 0 , x2 = 2

V =

EMBED Equation.3 V =

= = (

EMBED Equation.3 =

2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva

Y = - X2 + 1 dan Y = - X + 1 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600.

Jawab :

Sketsa grafik:

garis y = -x + 1 memotong sumbu x di titik (1,0) dan memotong sumbu y di titik (0,1)

parabola y = -x2 + 1 memotong sumbu x dititik (-1,0) dan (1,0), dengan puncak ( memotong sumbu y)di titik (0,1)

y = -x2 + 1

x2 = 1 y

y = -x + 1

x2 = (1 y)

1

-1 1 V = (1 y) (1 y)2dy

= 1 y (1 2y + y2)dy

= y y2dy

=

= (

=

Latihan 12

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurfa kurfa berikut diputar :

a. y2 = x da y = x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600.

b. y2 = x da y = x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600.

2. Diketahui parabola y = x2 + 1 dan titik P (1,2) terletak pada parabola., a. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik P pada parabola tersebut.

b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh parabola, garis singgung di titik P dan sumbu y jika diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600.PROGRAM LINIER

Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah program linier

Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sisti pertidaksamaan linier dua variabel

Indikator : 1 .Mengenal arti sistim pertidaksamaan linier dua variabel.

2. Menentukan penyelesaian sistim pertidaksaman linier.

Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menyelesaikan masalah dalam sistim pertidaksamaan linier

Uraian Materi

Materi prasarat

A) Menentukan persamaan garis melalui titik ( a,0 ) dan ( 0,b )

atau bx + ay = ab

Contoh : Perhatikan gambar disamping

Sb y Persamaan garis melalui titik ( 0,2) dan (3,0)

Adalah 2 x + 3 y = 6

2

Sbx

3

B ) Menentukan persamaan garis melalui 2 buah titik (X1,Y1) dan ( X2, Y2)

Contoh : Tentukan persamaan garis melalui titik (1,2) dan (-1,3)

Jawab :

X - 1 = -2Y + 4

X + 2Y = 5

C) Menentukan gradien sebuah garis

Jika persamaan garis dalam bentuk AX +BY +C =0 ,maka gradiennya m = -

Jika persamaan garis dalam bentuk Y = AX + B , maka gradiennya m = A

Syarat 2 buah garis sejajar Syarat 2 buah garis tegak lurus

g g

h

h mg x mh = - 1

mg = mh

Latihan 1

1. Tentukan persamaan garis yang melalui pasangan titik berikut

a. ( 1,2 ) dan ( 5,6 )

d. ( 2,0 ) dan (0,-3 )

b. (-2,3 ) dan ( 4,-5)

e. ( 2,0 ) dan ( 2,-3 )

c. ( 0,0 ) dan ( 1,2 ) f. ( 3,4 ) dan ( -5,4 )

2. Tentukan persamaan garis berikut

a. Melalui titik A(1,2) dan sejajar dengan garis x 2y + 3 = 0

b. Melalui titik B( 0,3 ) dan sejajar dengan garis y = -2x + 5

c. Melalui titik P( 2,-1) dan tegak lurus terhadap garis 2x - 3y + 1 = 0

d. Melalui titik R( -2,4) dan tegak lurus terhadap 2y = 3x + 6

3. Tentukan persamaan garis berikut

a. k b.

4 3

-2 0 0 7

c. 1,6 d.

s g

(4,2) 3

l k

-3

4. Lukislah grafik garis lurus berikut.

a. y = x

d. y = 3x + 3

b. y = 2x e. 2x + 3y 6 = 0

c. y = 2x 4 f. 3x 2y = 12

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel.Contoh 1.Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan berikut dengan mengarsir daerah yang bukan merupakan himpunan penyelesaiannya.

x 0 ; y 0 ; 2x + 3y 12

Untuk menentukan daerah HP dari suatu pertidaksamaan linier, lakukan pengujian dengan sebarang titik diluar garis tersebut sebagai wakil dari blok daerah pengujian.

4

0

2x + 3y = 12

Contoh 2

Tentukan daerah HP dari system pertidaksamaan berikut

x 0 ; y ; 2x + 4y 16 ; x + y 5

Jawab :

5

4

0 5 8

Contoh 3

Tentukan daerah HP dari system pertidaksamaan berikut :

X 0 ; y 0 ; 3x + 2y 12 ; x 2y -4

Jawab :

6

2

- 4 0 Contoh 4.

Tentukan system pertidaksamaan linier dari daerah yang diarsir di bawah ini.

4

2

0 2 3 g1 g2 Jawab :

x 0 ; y 0

garis g1 melalui titik ( 0,2 ) dan ( 3,0 )

persamaan g1 adalah 2x + 3y = 6 , uji titik ( 0,0) maka 2x + 3y 6

Garis g2 melalui titik ( 2,0 ) dan ( 0,4 )

Persamaan garis g2 adalah 4x + 2y = 8, uji titik ( 0,0 ) maka 2x + y 4

Jadi system pertidaksamaan linier dari gambar di atas adalah :

x 0 ; y 0

2x + 3y 6

2x + y 4

Merancang model matematika Contoh 1

Seorang siswa boleh memilih progam IPA dengan syarat :

a. jumlah nilai matematika dan fisika minimal 130

b. nilai minimal masing-masing pelajaran harus 60

Buatlah model matematikanya.

Jawab :

Misalkan nilai matematika x dan nialai fisika y

Sistem pertyidaksamaan liniernya adalah :

x + y 130

x 60 ; y 60

Contoh 2

Untuk memproduksi barang A diperlukannwaktu 6 jam pada mesin I dan 4 jam pada mesin II, sedangkan untuk memproduksi barang B diperlukan waktu 2 jam pada mesin I dan 8 jam pada mesin II. Kedua mesin tersebut setiap hari ekerja tidak lebih dari 18 jam jika setiap hari diproduksi x buah barang A dan y buah barang B. Rancanglah model matematika dari permasalahan tersebut di atas.

Jawab : Misal barang A = x dan barang B = y

Barang barang A (x) barang B (y) kapasitas

mesin

mesin I 6 2 18

mesin II 4 8 18

Contoh 3 :

Seorang penjaja kue, membeli kue A dengan harga Rp.1.000,00 dan dapat memjualnya dengann harga Rp.1.300,00 perpotong dan membeli kue B dengan harga Rp.2.000,00 setiap potongnya dan menjualnya dengan harga Rp.2.200,00 perpotong. Jika ia mempunyai modal Rp.40.000,00 dan jika setiap hari ia hanya dapat menjual kedua kue itu sebanyak 30 potong saja maka laba terbesar yang dapat ia terima setiap harinya adalah ?Jawab :

Misalkan kue A = x buah dan kue B = y buah

Jenis kue kue A (x) kue B (x) kapasitas

Harga 1000 2000 40.000

Jumlah x y 30

Laba 300 200

Model matematikanya adalah : x 0 ; y 0

1000x + 2000y 40.000

x + y 30

fungsi laba f(x,y) = 300x + 200y

Nilai Optimum dari Fungsi Objektif

Ada 2 cara untuk menentukan nilai optimum dari fungsi objektif :

a. dengan uji titik sudut daerah HP

b. menggunakan garis selidik ax + by = ab

contoh :

1. , Dengan menggunakan metode uji titik sudut, tentukan nilai maksimum fungsi z = 4x + 5y dengan syarat x,y 0 ; x + 2y 10 dan x + y 7

7

5

(4,3)

0 7 10

Titik potong kedua garis : x + 2y = 10

x + y = 7

-

Y = 3 ; x = 4

Z = f(x,y) = 4x + 5y

F(0,0) = 0 + 0 = 0

F(7,0) = 4.7 + 0 = 28

F(4,3) = 4.4 + 5.3 = 31

F(0,5) = 0 + 5.3 = 15

Nilai maksimum untuk system pertidaksamaan di atas adalah 31, dicapai jika

x = 4 dan y = 3

2. Nilai minimum darai z = 3x + 6y yang memenuhi syarat 4x + y 20

x + y 20 ; x + y 0; x 0 ; y 0

Jawab :

20

10

A (,

0 5 10 20

4x + y = 20 x + y = 20

x + y = 10

Koordinat titik A : 4x + y = 20

x + y = 10

3x = 10

x = ; y =

Nilai minimum dengan metode uji titik sudut untuk z = f(x,y) = 3x + 6y adalah :

z = f(x,y) = 3x + 6y

f(10,0) = 3.10 + 0 = 30

f(20,0) = 3.20 + 0 = 60

f(0,20) = 0 + 6.20 = 120

f(= 3. + 6. = 50

Nilai minimum untuk system pertidaksamaan di atas adalah 30 untuk x = 10

dan y = 0

3. Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang A dan B. Barang A memerlukan

kayu, plastic dan baja masing-masing sebanyak 1kg, 3kg dan 2kg. Barang B memerlukan masing-masing 3kg, 4kg dan 1 kg. Pabrik mempunyai pewrsediaan kayu, plastic dan baja masing-masing sebanyak 240 kg, 370 kg dan 180 kg.Jika barang A dijual seharga Rp.400.000,00 dan barang B seharga Rp.600.000,00, tentukan banyak masing-masing barang yang harus dibuat agar mendapat pemasukan maksimum.

Jawab.

Bahan barang A (x) barang B (x) persediaan

Kayu 1 3 240

Plastic 3 4 370

Baja 2 1 180

Harga 40.000 60.000

Model matematikanya :

x 0 ; y 0

x + 3y 240

3x + 4y 370

2x + y 180

Fungsi objektif : f(x,y) = 400.000x + 600.000y

D(0, 80) C

B (70,40)

0 A(90,0) x + 3y = 240

3x + 4y = 370

2x + y = 180

Penyelesaian dengan metode uji titik sudut untuk z = 400.000x + 600.000y

z = f(x) = 400.000x + 600.000y

(0,0) f(0,0) = 0

(90,0) f(90,0) = 400.000.90 + 0 = 36.000.000

(70,40) f(70,40) = 400.000.70 + 600.000.40 = 52.000.000

(30,70) f(30,70) = 400.000.30 + 600.000.70 = 54.000.000

(0,80) f(0,80) = 0 + 600.000.80 = 48.000.000

Jadi pemasukan maksimum adalah Rp.54.000.000,00 jika yang diproduksi barang A sebanyak 30 dan barang B sebanyak 70.

Soal-soal latihan

1. Nilai maksimum dari 2x + y dengan syarat x 0 ; y 0 ; 3x + 5y 15 adalah

a. 15 c. 5 e. 2

b. 10 d. 3

2. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 8x + 6y dengan syarat : 4x + 2y 60

2x + 4y 48 ; x 0 ; y 0 adalah

a. 132c. 136e 152

b. 134d. 144

3. Nilai maksimum dari 4y x dengan syarat : y 2x ; 3y 2x ; 2x + y 20

x + y 3 adalah

a. 32c. 19e. 4

b. 28d. 7

4. Nilai maksimum untuk f(x,y) di daerah yang diarsir sama dengan

a. 4

2 b. 4

c. 5

4 d. 6

e. 6

0 1 2

5. Sesuai denga gambar di bawah ini maka nilai maksimum f(x,y) = 4x + 5y da

Erah yang diarsir adalah

a. 5

4

b. 8

c. 10

d. 11

2 e. 14

0 2 3

6. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedangkan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. harga tiketb kelas utama Rp.150.000,00 dan kelas ekonomi Rp.100.000,00. Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, maka jumlah tempat duduk kelas utama haruslah sebanyak . . . .

a. 12 kursi

c. 24 kursi

e. 30 kursi

b. 20 kursi

d. 26 kursi

7. Persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m akan dibuat 2 model pakaian. Model I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris, model II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Jumlah total pakaian jadi maksimum jika model I dan model II masing-masing :

a. 4 dan 8

c. 6 dan 4

e. 7 dan 5

b. 5 dan 9

d. 8 dan 6

8. dalam system pertidaksamaan 2y x ; y 2x ; 2y + x 20 ; x + y 9

Maksimum untuk 3y x dicapaiu di titik . .

R

Q

S

P

T

a. P

c. R

e. T

b. Q

d. S

9. Tanah seluas 10.000 m2akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan tanah 100 m2 dan tipe B 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A Rp.600.000,00 perunit dan tipe B Rp.400.000,00 perunit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah

a. Rp.550.000.000,00

c. Rp.800.000.000,00

b. Rp.600.000.000,00 e. Rp.900.000.000,00

c. Rp.700.000.000,00

10. Jumlah dua bilangan ril tak negative x dan 2y tidak lebih besar dari 10. Jika y + 8 tidak lebih kecil dari 2x, maka nilai maksimum dari 3x + y adalah

a. 4

c. 15

e. 20

b. 12

d. 18

Soal essay

11. Gambarlah daerah yang menunjukan himpunan penyelesaian system pertidak

Samaan : 7x + 5y 35 ; 2x + 9y 18 ; x 9 ; y 5

12. Tentuka system pertidaksamaan linier yang himpunan penyelesaiannya ditunjukan oleh daerah yang diarsir di bawah ini

4

2

- 2 0 6

13. Tentukan niali maksimum fungsi objektif z = 40x + 10y yang memenuhi system pertidaksamaan berikut

2 x + y 12 ; x + y 10 ; x 0 ; y 0

14. Untuk membuat sat5u paket roti A diperlukan 50 g mentega dan 60 g tepung

Sedangkan satu paket roti B memerlukan 100 g mentega dan 20 g tepung. Jika tersedia 3,5 kg mentega dan 2,2 kg tepung, temntukan :

a. modelm matematikanya

b. banyaknya masing-masing roti maksimum yang dapat dibuat.

15. Berdasarkan soalm nomor 4, jika harga satu paket roti A dan roti B masing-masing Rp.20.000,00 dan Rp.25.000,00 maka jumlah uang maksimum yang diperoleh dari openjualan roti tersebut adalah . .

a. Rp 800000,,-

b. Rp 1000000.-

c. Rp 1300000.-

d. Rp 1400000.-

e. Rp 2000000,-

5. Tukang roti mempunyai bahan A,B,C yang beratnya aalah 160 kg ,110 kg,150kg.roti 1 memerlukan 2 kg bahan A,1kg bahan B dan 1 kg bahan C ,roti 2 memerlukan 1 kg bahan A 2 kg bahan B san 3 kg bahan C , roti 1 dijual dengan harga Rp 30000,- dan roti 2 seharga Rp 50000,- pendapatan maksimum yang diperoleh adalah ..

a. Rp 8000000,-

b. Rp 4500000,-

c. Rp 3900000,-

d. Rp 3100000,-

e. Rp 2900000,-

6. Seorang penjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak ,pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp8000/kg dan pisang Rp 6000/ kg .modal yang tersedia Rp 1200000,- dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg

. Jika harga jual mangga Rp 9200/kg dan pisang Rp 7000/kg maka laba maksimum yang diperoleh adalah ........

a. Rp 150000

b. Rp 180000

c. Rp 192000

d. Rp 204000

e. Rp 216000

7. Luas daerah parkir 1760 m2 ,luas rata-rata untuk mobil kecil 4m2dan mobil besar 20m2 . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan ,biaya parkir mobil kecil Rp 1000/jam dan mobil besar Rp 2000/jam .Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang maka hasil maksimum tempat parkir adalah ......

a. Rp 176000

b. Rp 200000

c. Rp 260000

d. Rp 300000

e. Rp 340000

8. Dengan persediaan kain polos 2om dan kain bergaris 10m ,seorang penjahit akan membuat 2 pakaian jadi ,model 1 memerlukan 1m kain polos dan 1,5 m kain kain bergaris. Model 2 memerlukan 2m kain polos dan 0,5 kain bergaris.Bila pakaian tersebut dijual setiap model 1 memperoleh untung Rp 15000,-dan model 2 memperoleh untung Rp 10000, laba maksimum yang diperoleh adalah ..........

a. Rp 100000

b. Rp 140000

c. Rp 160000

d. Rp 200000

e. Rp 300000

9. seorang pedagang mempunyai gudang yang hanya dapat menampug paling banyak 90 peti barang .Setiap peti barang A dibeli dengan harga Rp 200000 dan akan dijual dengan laba Rp 40000.setiap peti barang B dibeli dengan 100000 dan akan dijual dengan laba Rp 15000. Jika modal yang tersedia Rp 13000000.maka laba maksimum yang diperoleh adalah .......

a. Rp 2750000

b.Rp 2600000

c. Rp 2350000

d. Rp 1350000

e Rp 1200000

10 Nilai maksimum dari fungsi f(x,y)= 2x + 3y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + 2y 6 ; x y -1 ; x 4 adalah.......

a.11

b. 21

c. 23

d. 24

e. 25

11. Nilai maksimum fungsi objewkif 20x +30y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x +y 4 ;x + 3y 6 ; x 0; y 0 adalah

a.60

b.70

c.80

d.90

e.100

12 Nilai maksimum dari fungsi sasaran z = 6x + 8y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 4x + 2y 60;2x + 4y ; x 0 ; y 0 adalah..........

a. 120

b. 118

c. 116

d. 114

e. 112

13. Nilai minimuim dari fungsi f(x,y) = 3x + 4y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 3x +2y 12 x + y 5 ; x 0 ; y 0 adalah a. 15

b. 17

c. 18

d. 20

e. 24 14. Nilai minimum dari fungsi z = 3x + 4y yang memenuhi sistim pertidaksamaan 2x + y 30 ; 15 x + y 20; x 0;y 0 adalah ........

a.25

b. 45

c.60

d 80

e.100

Matriks

I. Standar Kompetensi

Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

II. Kompetensi Dasar

Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan ahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain.

III. Indikator

1. Menjelaskan pengertian matriks

2. Menentukan ordo suatu matriks

3. Menentukan macam-macam matriks

4. manentukan transpose matriks

5. menentukan kesamaan dua matriks

6. menentukan operasi-operasi pada matriks

IV. Tujuan pembelajaran

Siswa dapat:

1. Menentukan ordo suatu matriks

2. Menentukan penjumlahan suatu matriks

3. Menentukan pengurangan suatu matriks

4. Menentukan perkalian matriks

5. Menentukan transpose matriks

6. Menentukan nilai suatu variabel dari kesamaan matriks

V. Uraian materi

1. Matrik adalah susunan bilangan yang berbentuk persegi atau persegi panjang yang di atur menurut baris dan kolom dan di letakkan di antara dua kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ].

Contoh:

A =

B =

C =

Pada matriks A: 3 adalah elemen baris ke satu kolom ke satu, 1 adalah elemen baris ke dua kolom ke dua

2. Ordo suatu matriks di tentukan oleh banyaknya baris dan kolom.

Contoh:

* ,matriks A berordo 2x2

* , matriks P berordo 2x3

3. Macam-macam matriks:

Matriks Nol

Contoh:

Matriks baris

Contoh:

Matriks kolom

Contoh:

Matriks bujur sangkar/ matriks persegi

Contoh:

Matriks diagonal

Contoh:

Matriks Identitas (matriks satuan)

Contoh:

Matriks segi tiga atas

Contoh:

Matriks segitiga bawah

Contoh:

4. Transpose matriks dari matriks A adalah suatu matriks yang di peroleh dari matriks A dengan baris matriks ini adalah kolom matriks A dan sebaliknya. Transpose dari matriks A dinyatakan dengan .

Contoh:

5. Kesamaan dua matriks

Dua buah matriks A dan B di katakan sama (ditulis A = B), jika dan hanya jika kedua matriks itu mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletaknya sama.

Contoh:

a.

Matriks : A = B = C D

b. Diketahui:

Jika K = L, tentukan nilai c?

Jawab:

Karena K = L, maka a = 6

b = 2a = 2 x 6 = 12

3c = 4b = 4 x 12 = 48

c = 16

Jadi nilai c = 16

c. Diketahui

Carilah x dan y, jika A =

Jawab:

A = BT

Dengan memasukkan harga x = 3 ke salah satu persamaan diperoleh x + y = 6

3 + y = 6

y = 3

Jadi nilai x = 3 dan y = 3Kompetensi 1

1. Sebutkan defenisi dari sebuah matriks!

2. Tentukan ordo dari tiap-tiap matriks di bawah ini!

3. Buatlah masing-masing sebuah contoh untuk matriks baris, matriks kolom, matriks persegi, matriks diagonal, matriks identitas, matriks nol dan matriks segitiga!

4. Buatlah transpose dari matriks-matriks berikut:

5. Diketahui:

Jika A = B, tentukan nilai p dan q!

6. Diketahui matriks

Jika A = BT, carilah nilai x + y !

7. Carilah nilai x yang memenuhi persamaan berikut!

Operasi aljabar pada matriks

1.) Penjumlahan matriks

Jika A dan B dua buah matriks berordo sama, maka jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah sebuah matriks baru C yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen B yang seletak.

Contoh:

a.

=

b. Diketahui persamaan matriks:

Tentukan nilai x + y!

Jawab:

Jadi x + y = 1 + 3 = 4

Sifat-sifat pada penjumlahan matriks

1. Sifat komutatif

A + B = B + A

2. Sifat asosiatif

(A + B) + C = A + (B + C)

3. Lawan suatu matriks

Misalkan terdapat dua buah matriks A dan B yag berordo sama. Matriks B disebut lawan atau negatif dari A, jika berlaku . Matriks B yang bersifat seperti itu biasa di tulis sebagai A, sehingga A + (-A) = 0.

Perhatikan dua matriks berikut:

Jika A dijumlahkan dengan B, maka:

2.) Pengurangan matriks

Pengurangan matriks A dengan matriks B adalah suatu matriks yang elemen-elemennya diperoleh dengan cara mengurangkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian (seletak) atau dapat pula diartikan sebagai menjumlahkan matriks A dengan lawan (negatif) dari B, dituliskan:

Contoh:

Uji Kompetensi 2

1. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut:

Carilah:

a. A + B

b. B + A

c. A + C

d. Apakah berlaku sifat komutatif, yaitu: A + B = B + A?

e. (A + B) + C

f. A + (B + C)

g. Apakah berlaku sifat asosiatif, yaitu: (A + B) + C = A + (B + C)?

2. Tentukan nilai a, b, c pada persamaan matriks berikut ini:

3. Jika X adalah matriks berordo 2x2, tentukanlah matriks X yang memenuhi persamaan:

4. Diketahui:

3.) Perkalian matriks dengan skalar

Contoh:

Diketahui Matriks

Jawab:

Jadi, perkalian bilangan real skalar k dengan matriks A ditulis kA

Adalah suatu matriks yang didapat denganmengalikan setiap elemen matriks A dengan k.

Uji Kompetensi 31. Diketahui matriks-matriks berikut:

Carilah:

a.) 3A

b.) -2B

c.) 1/2C

2. Jika X adalah matriks ordo 2x2, carilah X dari:

3. Diketahui:

4. Carilah nilai x dan y dari persamaan berikut:

5. Jika , tentukan p, q, r, dan s!

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar

Jika matriks A dan B berordo sama, dan k, m R (bilangan real) berlaku sifat-sifat sebagai berikut;

1.) kA = Ak

2.) (k + m) A = kA + mA

3.) k (A + B) = kA + kB

4.) k (mA) = (km) A

4.) Perkalian dua matriks

Perhatikan daftar jumlah buku yang dibeli oleh masing-masing siswa dan daftar harga untuk masing-masing buku yang ditampilkan pada dua tabel berikut:

Tabel Daftar Pembeli

Nama PembeliJudul Buku

Di bawah Lindungan KabahSiti Nurbaya

Intan

Salsabil4

32

5

Tabel Daftar Harga

Judul BukuHarga

Di Bawah Lindungan Kabah

Siti NurbayaRp. 30.000

Rp. 50.000

Dari daftar tersebut di atas uang yang harus di bayarkan oleh masing-masing siswa adalah:

Intan sebesar

Salsabil sebesar

Contoh kasus di atas dalam matriks di kenal sebagai perkalian matriks. Apabila dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks, maka di tulis sebagai berikut:

Dengan memperhatikan kasus perkalian di atas, maka dua buah matriks dapat di kalikan hanya jika kolom matriks kiri sama dengan banyak baris matriks kanan. Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

Untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B ialah mengalikan baris-baris matriks A dengan kolom-kolom matriks B, kemudian jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom itu.

Secara umum:

Contoh:

Diketahui:

Tentukan: a.) A.B

b.) B.A

Jawab:

Pemangkatan Matriks Persegi

Jika A adalah sebuah matriks mxm, maka perkalian A.A. .A (k faktor) dapat dinyatakan dengan Ak.

Jadi, jika k sebuah bilangan bulat positif, maka

Contoh:

Diketahui matriks tentukanlah A2 dan A3.

Jawab:

Uji Kompetensi 4

1. Tentukanlah hasil kali matriks di bawh ini:

2. Tentukanlah nilai x dari persamaan berikut ini:

3. Tentukanlah nilai x dan y dari persamaan berikut:

4. Diketahui:

Carilah:

a.) A2b.) A3c.) f(A), jika f(x) = x2 + 2x

5. Jika carilah p dan q, sehingga : A2 = p.A + q.I dengan

6. Diketahui tentukanlah nilai dari a + b + c + d.

Determinan dan Invers MatriksI. Standar Kompetensi

Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam permecahan masalah.

II. Kompetensi Dasar

Menentukan determinan dan invers matriks 2x2

III. Indikator

1. Menentukan determinan matriks 2x2

2. menentukan invers dari matriks 2x2

IV. Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat:

1. Menentukan determinan matriks 2x2

2. Menentukan invers dari matriks persegi 2x2

V. Uraian Materi

Determinan dari suatu matriks persegi berordo 2 adalah pengurangan dari hasil kali antara elemen-elemen pada diagonal utama dengan diagonal lainnya.

Misalkan matriks maka determinan dari matriks A adalah:

Contoh:

Jika determinan matriks A atau det A = 0, maka disebut matriks singular.Jika det A 0, disebut matriks nonsingular. Rumus invers matriks prsegi ordo 2

Diketahui matriks

Jika A dikalikan dari kanan dengan B, maka diperoleh:

Perhatikan det A =

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa AB = det A . I

Dari persamaan (iii) dan menurut sifat identitas A-1.A = I, dapat disimpulkan bahwa adalah invers dari A dan A adalah invers dari

Matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan cara:

Mempertukarkan elemen-elemen pada diagonal utama

Mengubah tanda elemen-elemen pada diagonal yang lain.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Jika matriks maka invers dari matriks A di lambangkan dengan A-1, dan di tentukan dengan rumus:

Contoh:

Diketahui matriks

1.) Tentukan A-12.) Buktikan bahwa A-1.A = I

Jawab:

1.)

2.) A . A-1 = I

Uji Kompetensi 51. Carilah determinan dari matriks-matriks berikut:

a)

b)

2. Diketahui matriks

Carilah nilai x, agar determinan A = determinan B

3. Carilah nilai x dari

4. Tentukan nilai x, agar matriks berikut ini merupakan matriks singular

5. Diketahui matriks

Hitunglah:

6. Diketahui matriks tentukan invers dari transpose A!

Penerapan Matriks I. Standar kompetensi

Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.

II. Kompetensi dasar

Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

III. Indikator

1. Menentukan persamaan matriks dari sistem persamaan linear.

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks invers

IV. Tujuan pembelajaran

Siswa dapat:

1. Menentukan persamaan matriks dari sistem persamaan linear.

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks invers

V. Uraian materi

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan invers matriks

Perhatikan sistem persamaan linear dua variabel di bawah ini!

x dan y merupakan variabel dalam himpunan bilangan real.

3x + y = 7

3x + 2y = 5

Sistem persamaan ini dapat dinyatakan dalambentuk persamaan matriks:

Berikutnya adalah kalikan dari kiri kedua ruas persamaan (i) dengan:

Jadi x = 3 dan y = -2

Contoh:

Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan matriks!

4x y = 5

2x + 3y = 9

Jawab:

Jadi x =

Uji Kompetensi 6Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan metoda invers matriks.

1) 2x + y = 12

3x 2y = 25

2) 5x 3y = 9

7x 6y = 9

3) x + y 5 = 0

2x 3y 15 = 0

4) 2x 3y 1= 0

4x + y + 5 = 0

SOAL LATIHAN ULANGAN UMUM1. Jika Maka b =..

a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3

2. Jika A = Matriks (A-kI) merupakan matriks singular untuk nilai k =.

a. -2 atau 5

d. 3 atau 4

b. -5 atau 2

e. 1 atau 2

c. 2 atau 5

3.Nilai a dari persamaan matriks

adalah

a. 75d. -9

b. 11e. -11

c. 9

4.Matriks X yang memenuhi persamaan : X.adalah.

a.

d.

b.

e.

c.

5. Diketahui matriks A = , jika M = A + B , maka invers M adalah.

a.

d.

b.

e.

c.

6.Diketahui matriks A = , Jika A-1 = Bt, maka nilai x =

a. 2

d. 5

b. 3e. 6

c. 4

7. Diketahui matriks A = , dan At = B dengan At menyatakan transpose dari A. Nilai x + 2y adalah.

a. -2d. 1

b. -1e. 2

c. 0 8.Diketahui matriks A = , jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan determinan A = determinan B, maka x12 + x22 =.

a. 1

d. 4

b. 2

e. 5

c. 4

9.Jika A = , maka (AB)-1 =

a.

d.

b.

e.

c.

10. Diketahui matrik P = dan Q = , maka (AB)-1= . . .

a.

d.

b.

e.

c.

11. Persamaan matrik merupakan persamaan dua garis lurus yang berpotongan di titik yang jumlah absis dan ordinatnya sama dngan . . .

a. 0

d. 4

b. 2

e. 5

c. 3

12.Diketahui matrik B = , C = dan determinan matrik BC adalah k. Jika garis 2x y = 5 dan x + y = 1 berpotongan di titik A, persamaan garis yang melalui titik A dengan gradient k adalah . . .

a. x 12y + 25 = 0

d. y 12x 11 = 0

b. y 2x + 25 = 0

e. y 12x + 11 = 0

c. x + 12y + 11 = 0

13. AT adalah transpose matrik A. Jika C = , B = dan A = C-1. Determinan matrik ATB adalah . . .

a. -196

d. 196

b. -188

e. 169

c. 188

14. Diketahui matrik A = , B = dan C = .

Jika A + B = C2, maka nilai q 2t = . . .

a.-3

d. 0

b. -2

e. 1

c. -1

15. Diketahui matrik A = B = dan C = dengan B-1 adalah invers matrik B. Jika A2 + B-1 = C, maka nilai m yang memenuhi adalah . . .

a. -2

d. 2

b. -

e. 6

c.

16. Hasil kali akar-akar persamaan yang dinyatakan oleh : adalah . . .

a. -

d.

b. -

e.

c. -

17. Diketahui matrik A = B = dan C = . Jika matrik

A B = C-1, maka nilai 2p = . . .

a. 1

d. 1

b. -

e. 2

c.

18. Diketahui matrik A = dan B = . Jika = , maka nilai x = . . .

a. -2 atau -3

d. 6 atau 1

b. 3 atau 2

e. 1 atau 6

c. 2 atau 3

19. Jika MN matrik satuan dari N = , maka M . . .

a.

d.

b.

e.

c.

20.Diketahui matriks A = dan Un adalah suku ke n barisan aritmatika. Jika U6 = 18 dan U10 = 30, determinan matriks A adalah

a. -30c. -12

e. 18

b. -18d. 12Vector

STNDAR KOMPETENSI ; Mengunakan konsep matriks, vector, dan transformasi

dalam pemecahan masalah.

KOMPETENSI DASAR :

3.4 Menggunakan sifat sifat dan operasi aljabar vector dalam pemecahan masalah 3.5 Menggunakan sifat sifat dan operasi perkalian skalar dua vector dalam pemecahan masalah.

INDIKATOR.1. Menjelaskan vector sebagai besaran yang memiliki besar dan arah

2. Mengenal vector satuan.

3.Menentukan operasi aljabar vector, jumlah, selisih, hasil kali vector dengan scalar dan lawan suatu vector

4.Menjelaskan sifat sifat vector secara aljabar dan trigonometri.

5 Mengunakan rumus perbandingan vector.

URAIAN MATERI

Vektor adalah suatu besaran yang mempuyai nilai dan arah.

Notasi vector

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 B

A

Vektor AB adalah vector yang berpangkal di A dan ujungnya B

KESAMAAN DUA VEKTOR B Q M

S

A P R N

=

=

= -

PENJUMLAHAN VEKTOR = = D C = =

+ =

+ = (1) A B

+ =

+ = . .(2)

Dari ( 1 ) dan ( 2 ) maka + = + ( berlaku sifat komutatif

D

=

=

=

A C

= +

= +

=

EMBED Equation.3 +

B +

= + = +

= ( + ) + .( 1 ) = + ( + ).( 2 )

Dari persamaan (1 ) dan ( 2 )

( + ) + = + ( + ) .. sifat asosiatifPENGURANGAN VEKTOR

C =

=

- =

A B - =

CONTOH : T =

=

=

=

Nyatakan vektor vector berikut dalam a , b , c

D C d .

1 . 3.

A B 2. 4.

Jawab:

= - = - = - =

EMBED Equation.3 -

= - = - = -

EMBED Equation.3 = -

LATIHAN. 1. Diketahui jajaran genjang ABCD , = , = Nyatakan vector vector berikut dalam dan D C a. e.

b. f.

E c.

A B d.

2. Dari gambar nomor satu nyatakan selih vector berikut sebagai ruas garis berarah tunggal

a. - c. -

b. - d. -

3. Nyatakan vector vector berikut dengan sebuah vector tunggal a. + + +

b. +

EMBED Equation.3 + +

c. - + -

d. + - + - 2 + +

EMBED Equation.3 VEKTOR DALAM RUANGVektor nol adalah vector yang panjangnya nol.

Vektor posisi dalam ruang

z

y disebut vector pisisi

O X

Vektor satuan adalah vector yang panjangnya 1 satuan

Z vector satuan searah dengan sumbu x Y vector satuan searah dengan sumbu y

vector satuan searah denga sumbu z

x

; ;

Vektor basis adalah vector yang dapat dinyatakan dalam bentuk i, j , k

Z P(x1,y1,z1)

z1 y x

y1

0 x1 x

Panjang/besar vector. =

z

B(b1,b2,b3)

y

A(a1,a2,a3)

0 x

= -

Panjang vector

Contoh :

dan

Tentukan : a.

c.

b.

d. Vektor satuan dari

Jawab :

a. =

=

b. =

EMBED Equation.3 =

c.

=

=

d. Vektor satuan dari =

=

Latihan

1. Perhatikan gambar di bawah ini

G F ; ;

D E Nyatakan vector-vektor berikut dalam bentuk vector basis

C B a. c.

O A b. d.

2. Tentukan koordinat masing-masing titik pada gambar soal nomor 1

3. Pada segibtiga ABC diketahui A(4,1,-1) , B(2,5,3) dan C(6,-1,1)

Tentukan : a. panjang dan

b. Gunakan aturan kosinus untuk menentukan besar

4. Diketahui A(-1,1,2), B(-2,-1,1). Jika O titik pangkal koordinat, segitiga apakah segitiga AOB ?

5. Tunjukan bahwa A(1,3,-1) , B(3,5,0) dan C(-1,4,1) adalah titik titik sudut segitiga sama kaki Rumus Pembagian a. Pembagian ruas garis dalam perbandingan m : n

m n

A P B

AP : PB = m : n

Jika P membagi AB di dalam berarti AP dan PB mempunyai arah yang sama,jika P membagi AB di luar, maka dan mempunyai arah yang berlawanan.

m

n

A B P

AP : PB = m : - n

Contoh 1.

m n

A P B

Jika AP : PB = m : n, maka AP : AB = m : ( m + n )

AB : BP = (m + n) : - n

Contoh 2.

4

2

A B P

AP : PB = 4 : -2

= 2 : -1

AP : AB = 4 : 2

= 2 : 1

b. Rumus pembagian dalam bentuk vector

A P B

O

AP : PB = m : n

n(AP) = m(PB)

n(- = m(-

n = m

n

(m + n) = m

=

Contoh 1 : Pada segitiga ABC diketahui CD adalah garis berat dari titik C dan AE adalah garis berat dari titik A.

C

E

A D B

Maka dan

Perpotongan CD dengan AE disebut titik berat segitiga ABC dilambangkan dengan titik Z, sehingga AZ : ZE = 2 : 1 atau CZ : ZD = 2 : 1, maka didapat

=

Contoh 2 :

Jika AP : PB = 3 : 2, tentukan vector posisi titik P.

Jawab : Vektor posisi titik P adalah

Contoh 3 :

Jika AQ : QB = 3 : -1, tentukan vector posisi titik Q

Jawab : Vektor posisi titik Q adalah

Rumus Pembagian dalam Bentuk Koordinat

Contoh :

C(x,y,z)

B(1,0,2)

0

a. Jika C membagi AB di dalam dengan perbandingan 3 : 1. Tentukan koordinat titik C

Jawab : AC : CB = 3 : 1

A(1,4,6) C(..,..,..) B(1,0,2)

3 1

C (

C ( 1,1,3 )b. Jika C membagi AB di luar dengan perbandingan 3 : 1 , tentukan koordinat titik C

Jawab :

A(1,4,6) B(1,0,2) C (,,)

AP : PB = 3 : -1

Koordinat titik C(

C ( 1, -2, 0 )

Latihan.

1. Suatu ruas garis AE dibagi menjadi 4 bagian yang sama oleh titik B, C dan D. Carilah nilai perbandingan dari :

a. AB : BD

b. AB : AE

c. AE : EC

d. BE : ED

e. DA : AC

f. CE : EB

2. Gunakan rumus untuk menyataka vector-vektor posisi dari titik-titik berikut dalam dan

a. C membagi AB dengan perbandingan 3 : 2

b. D membagi AB dengan perbandingan 3 : -2

c. E dan F membagi AB didalam dan diluar dengan perbandingan 1 : 2

3. Jika P pada AB, carilah koordinat titik P jika :

a. A( -2,-3 ) , B( 3,7 ) dan AP : PB = 3 : 2

b. A( -3,-2,-1 ) , B( 0,-5,2 ) dan AP : PB = 4 : -3

c. A( 5,2,1 ) , B( 9,10,13 ) dan AB : AP = 4 : 1

4. Diketahui segitiga ABC dengan A( 1,2,3 ) , B( 2,3,1 ) dan titik C( 3,1,2 )

a. Carilah koordinat titik Z jika Z adalah titik berat segitiga ABC

b. Carilah panjang AZ

`5. Diketahui titik A( -1,5,4 ), B( 2,-1,2 ) dan C( 3,p,q ) segaris. Tentukan :

a. hitunglah p dan q

b. AB : BC

6. Jika titik A( 1,-2,5 ), B( 2,-4,4 ) dan C ( p,q,7) segaris, tentukanlah nilai p dan q

Perkalian Skalar 2 VektorUraian Materi

a. Perkalian dengan bilangan scalar

contoh :

Diketahui : dan

Tentukan : 2

Jawab : Jika dan , maka

Contoh :

Diketahui dan

= 12 + 0 20

= -8

c. Jika adalah sudut antara vector dengan vector , maka

Bukti :

Dengan menggunakan aturan cosinus

B( b1,b2,b3)

A( a1,a2, a3 )

= + - 2

(b1-a1)2 + (b2-a2)2 + (b3-a3)2 = a + a + a + b + b + b - 2

- 2a1b1 2a2b2 2a3b3 = - 2

Jika maka

Contoh a)

dan

Sudut antara dan adalah 600, tentukan

Jawab : =

=

=

=

Contoh b).

= 7 1200

= 9

Maka = 9.7 cos 1200

= 63 ( - )

= - 63/2

Contoh c).

0

= 4.7cos 1800

= - 28

L a t i h a n

1. 7

3 4

5

Dari gambar di atas hitunglah : a.

d.

b.

e. .

c.

2. Jika , , dan , tentukan nilai

3. Hitung jika diketahui :

a. dan

b. dan

4. Diketahui titik P( 1,2,-3 ) dan titik Q( 11,-3,7 ). PQ dibagidi dalam oleh R dengan perbandingan 3 : 2. wakil dari vector dan wakil vector . Hitunglah :

a. Koordinat titik R

b.

5. Jika dan saling tegak lurus, maka tentukanlah nilai x6. Diketahui , dan besar sudut antara dengan adalah 600, tentukanlah

a. b.

7. Diketahui , dan

Tentukan nilai x jika

8. JIka : , dan dan besar sudut antara dengan

adalah

Tentukan niali tangent

9. Jika , , dan ABC = 600. Tentukan nilai c

10. Diketahui , dan Tentukan nilai

Besar Sudut Antara Dua VectorDari rumus

. = a1. b1 + a2 b2 + a3 . b3 dan . = . cos

Maka diperoleh :

Cos =

Contoh :

Tentukan besar sudut antara vector dan

Jawab:

= -2 + 1 2 = -3

Latihan

1. Tentukan nilai cosinus sudut-sudut antara vector berikut:

a) dan

b) dan

2. Pada PQR dengan koordinat titik P( 4, 7, 0 ), Q(6, 10, -6), dan R(1, 9, 0). Tentukan besarQPR

3. Diketahui titik A(5, 3, -4), B(6, 2, -4), C(5, 4, -4). Tentukan tangen sudut antara dan

Proyeksi Ortogonal Suatu Vector Pada Vector lain

a) Proyeksi skalar pada

adalah proyeksi pada

disebut panjang proyeksi pada

Dari rumus:

Dari (1) dan (2) didapat

Jadi panjang proyeksi vector pada adalah

b) Proyeksi vector

EMBED Equation.3 pada

adalah proyeksi pada

Vector satuan dari vector adalah vector yang arahnya sama dengan vector sehingga vector satuan adalah

Jadi vector proyeksi dari vector

EMBED Equation.3 pada adalah . = .

Atau .

Contoh:

Diketahui vector = , = , jika adalah proyeksi vector pada tentukanlah :

a) panjang proyeksi vector pada

b) panjang proyeksi vector pada

c) vector proyeksi vector pada

Jawab:

a) panjang proyeksi vector pada

b) panjang proyeksi vector pada

c) vector proyeksi vector pada

.

EMBED Equation.3 Latihan

1. Diketahui vector = ,

EMBED Equation.3 , Tentukanlah:

d) panjang proyeksi vector pada

e) panjang proyeksi vector pada

f) vector proyeksi vector pada

2. Proyeksi skalar vektor pada adalah 6 , = dan = dan panjang vector = , tentukanlah nilai x dan y

3. Diketahui vector = , vector

EMBED Equation.3 dan panjang proyeksi vector pada adalah , sudut antara vector dan vector adalah . Tentukanlah :

a) cos

b) sin

c) tan

Barisan Dan DeretI. Standar Kompetensi

Menggunakan konsep barusan dan deret dalam pemecahan masalah

II. Kompetensi Dasar

Menentukan suku ke n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri

III. Indikator

1. Menjelaskan arti barisan dan deret

2. Menemukan rumus barisan dan deret aritmatika

3. Menghitung suku ke n dan jumlah n suku deret aritmatika

4. Menghitung suku ke n dan jumlah n suku deret geometri

IV. Tujuan Pembelajaran

0. siswa dapat menentukan suku ke n suatu barisan

1. siswa dapat menentukan rumus suku ke n suatu barisan

2. siswa dapat menentukan suku ke n suatu barisan aritmatika

3. siswa dapat menentukan jumlah suku n suku deret aritmatika

4. siswa dapat menentukan suku ke n suatu barisan geometri

5. siswa dapat menentukan jumlah n suku deret geometri

6. siswa dapat menentukan jumlah tak hingga suatu deret geometri

V. Uraian Materi

A. pola bilangan dan barsan bilangan

barisan bilangan ialah bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Masing-masing bilangan dinamakan suku dari barisan tersebut

perhatikan barisan bilangan berikut:1.

2.

3.

4.

barisan di atas :

1. disebut barisan bilangan genap

2. disebut barisan bilangan ganjil

3. disebut barisan aritmatika

4. disebut barisan geometri

ada juga barisan lain seperti

1, 3, 6, 10 disebut barisan bilangan segitiga.

1, 4, 9, 16 disebut barisan bilangan bujursangkar.

1, 2, 3, 5 disebut barisan bilangan fibonaci

contoh

1. tentukan suku ke 5 suatu barisan dimana suku ke n ditentukan oleh Un = 2n + 3jawab:

Un = 2n + 3U2 = 2.2 + 3U3 = 2.3 + 3U4 = 2.4 + 3

U1 = 2.1 + 3U2 = 7

U3 =9

U4 = 11

U5 = 5

Jadi, empat suku pertamanya: 5, 7, 9, 112. Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7 tentukan suku ke nJawab:

U1 = 2.1 1

U2 = 2.2 1

U3 = 2.3 1

U4 = 2.4 1

Un= 2.n - 1Barisan Aritmatika

Perhatikan barisan bilangan berikut a. 1, 4, 7, 10, ...

b. 2, 3, 6, 8, ...

c. 10, 6, 2, -2, ...Perhatikan selisih dua suku yang urutannya selalu tetap (konstan) selisih yang tetap ini disebut dengan bedaBeda = b = Un Un-1Rumus suku ke n

Jika U1 = a, U2 = a + b, U3 = a + 2b dan U4 = a + 3b dst

Maka diperoleh barisan aritmatika

U1 , U2 , U3 , U4 , , Un

a, a+b , a+2b, a+3b, ,

Un = a + (n-1)b

Un = suku ke n

a= suku pertama

n= banyak suku

b= Un Un-1Contoh:

1. Tentukan suku ke 50 dari barisan 3, 7, 11, 14, ...

Jawab:

Un = a + (n-1) 6

U50 = 3 + (50-1) 4

U50 = 3 + 196

U50 = 199

Jadi suku ke 50 adalah 1992. dari barisan aritmatika, suku ke delapan 23 dan suku kesebelas 44. hitung suku keseratus.Jawab:

U8 = a + 7b

23 = a + 7b ...(1)

U15 = a + 14b

44 = a + 14b ...(2)

Dari (1) dan (2)

a + 7b = 23

a + 14b = 44

-7b = -21

b = 3

a + 7b = 23

a = 23 21

a = 2

U100 = a + 99b

= a + 99.3

= 2 + 297

U100 = 299

Suku tengah dan sisipan pada barisan aritmatika

Untuk barisan aritmatika dengan n ganjil, dan Ut adalah suku tengah, maka

Ut = suku tengah

U1 = suku pertama

Un = suku ke nDari barisan aritmatika 2, 5, 8, ... 56. tentukan suku barisan itu (banyak sukunya ganjil)

Jawab:

Jadi suku tengah 29

Diantara bilangan x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga bilangan semula dengan bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika maka bedanya adalah:

, x,y real

k bilangan asliDan barisan 1, 13, 25, 37, 49, ... antara dua suku disisipkan bilangan sehingga membentuk barisan baru. Tentukan beda.

Jawab:

Uji Kompetensi 1

1. Tulis empat suku pertama barisan yang rumus suku ke-n seperti dibawah ini:

a. Un = n(n+2)

b. Un = 3n2 1

c. Un = 222. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut:

a. 1, 4, 9, 16, ...

b. 1, 3, 9, 27, ...

c. 10, 5, 0, -5, ...3. Barisan-barisan

a. 1, 5, 9, 13, ...U15 = ...

b. 19, 17, 15, 13, ...U37 = ...

c. -8, -3, 2, 7, ...U21 = ...4. Suku ke-7 dan ke-10 barisan aritmatika 13 dan 19 tentukan suku ke 20!5. Ditentukan suku ke-n suatu barisan adalah Un = n2 5n

a. Tentukan suku ke 6

b. Suku ke berapa yang besarnya 150 Deret Aritmatika

Diketahui: jika barisan aritmatika 1, 2, 3, 4, ..., 100. maka bentuk 1+2+3+4+...+100 disebut deret aritmatika.

Sn = a + a+b + a+2b+ ... + a+(n-2)b + a+(n-1)b

Sn = a+(n-1)6 + a+(n-2)b + + a

2Sn = 2a+(n-1)b + + 2a+(n-1)b

2Sn = n[2a+(n-1)b]

Sn =Jumlah Suku

n=Banyak Suku

a=Suku Pertama

b=Un Un

Contoh :

1. 8 + 11 + 14 +

Tentukan jumlah n suku pertamanya

Jawab :

Sn =

S10 =

= 5 [16 + 27]

= 2152. 2 + 5 + 8 + 11 + + 272

Hitung jumlah deret itu

Jawab :

Un = a + (n 1) b

272 = 2 + (n -1) 3

272 = 2 + 3n 3

n = 91

Sn =

S91 =

= 91 . 137

= 124673. hitung jumlah semua bilangan asli dari 1 sampai yang habis di bagi 7 yaitu : 7, 14, 21, ..497

4n = a + (n 1) b

497 = 7 + (n 1) 7

490 = 7n 7

n = 71

Sn =

Sn =

Sn =

= 17892

Bilangan yang habis dibagi 7 dan habis dibagi 3

21, 42, 63, , 483

Un = a + (n 1) b

483 = 21 + (n 1) 21

483 = 21 + 21n 21

483 = 21n

n = 23

Sn =

=

=

= 5196

Jadi jumlah bilangan-bilangan yang habis dibagi 7 dan tidak habis di bagi 3 adalah 179892 5796 = 12096

4. 2 + 4 + 6 + .. + x = 9, tentukan x

Un = a + (n 1) b

= 2 + (n 1) 2

= 2 + 2n 2

= 2n

Sn =

930 =