1

BAB   IPENDAHULUAN

A. DeskripsiModul  Menerapkan  Konsep  Program  Linear  ini  terdiri  atas  empat  kompetensi

dasar, yaitu :1. membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 2 variabel2. menentukan model matematika dari soal cerita (kalimat verbal)3. menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan4. menerapkan garis selidik untuk menentukan nilai optimum

B. PrasyaratKemampuan  awal  yang perlu  dipelajari  untuk mempelajari  Modul    ini  adalah

siswa telah mempelajari dan menguasai Konsep Bilangan Real, Konsep Persamaan danPertidaksamaan.

C. Tujuan AkhirSetelah mempelajari Konsep Program Linear ini diharapkan siswa dapat :

1. menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear 2 variabel2. menggambar grafik himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear3. menentukan nilai optimum suatu sistem pertidaksamaan4. menentukan nilai optimum suatu permasalahaan dengan garis selidik5. menerapkan konsep program linear untuk menyelesaikan permasalahan sehari­hari

D. GlosariumISTILAH KETERANGAN

Program linier Program  linear  adalah  suatu  metode  untuk  mencari  nilaimaksimum  atau  minimum  dari  bentuk  linear  pada  daerahyang dibatasi oleh grafik­grafik fungsi linear

Pertidaksamaan linier Kalimat terbuka yang dihubungan dengan tanda ketidaksamaandan mengadung variabel berpangkat satu

Model matematika Suatu cara untuk memandang suatu permasalahan atau suatupersoalan  dengan  menggunakan  sistem  pertidaksamaanMatematika

Fungsi kendala Batasan­batasan  yang  harus  dipenuhi  oleh  variabel  yangterdapat dalam fungsi obyektif

Fungsi obyektif Fungsi yang akan dicari nialai optimumnyaTitik optimum Suatu titik dimana fungsi obyektif bernilai optimumGaris selidik Garis lurus yang diperoleh dari persamaan fungsi obyektif

.

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

2

E. Ceck Kemampuan

No Pertanyaan Ya Tidak1 Dapatkah anda menjelaskan pengertian program linear ?2 Dapatkah  anda menggambar  grafik  himpunan  penyelesaian

pertidaksamaan linear?3  Dapatkah anda menggambar grafik himpunan penyelesaian   system

pertidaksamaan linear dengan dua variabel?4  Dapatkah anda menjelaskan pengertian model matematika?5  Dapatkah  Anda  menterjemahkan  persoalan  kehidupan  sehari­hari

kedalam model matematika ?6  Dapatkah  anda  membuat  fungsi  obyektif  dari  suatu  masalah

program linear?

7Dapatkah  Anda  menentukan  titik  optimum  dari  daerah  himpunanpenyelesaian system pertidaksamaan linear?

8  Dapatkah anda menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif?9  Dapatkah menjelaskan pengertian garis selidik?

10Dapatkah  anda  membuat  garis  selidik  menggunakan  fungsiobyektif?

11Dapatkah  anda  menentukan  nilai  optimum  fungsi  obyektifmenggunakan garis selidik?

Apabila anda menjawab “ Tidak “ pada salah satu pertanyaan di atas maka pelajarilahmateri tersebut pada modul ini. Apabila Anda menjawab “Ya “ pada semua pertanyaan,maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, test formatif dan evaluasi yang ada padamodul ini.

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

3

BAB    IIPEMBELAJARAN

Kegiatan Belajar 1.Grafik himpunan  penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dengan dua variableTujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini diharapkan siswa dapat :1. menjelaskan pengertian program linear.2. menggambar grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear.3. menggambar grafik himpunan   penyelesaian sistem  pertidaksamaan  linear dengan

dua variabel.

A. Pengertian Program LinearProgram  linear  adalah  suatu  metode  untuk  mencari  nilai  maksimum  atau

minimum dari bentuk linear pada daerah yang dibatasi oleh grafik­grafik fungsi linear.Ide program linier pertama kali dikembangkan dalam bidang kemiliteran selama perangdunia  kedua,  kemudian  dikembangkan  di  dalam  bidang  pemerintahan,  manajeman,komersial dan perdagangan.

Dalam  dunia  bisnis  ada  prinsip  ekonomi  yang  selalu  menjadi  acuan  untukmengambil  keputusan,  yaitu  menggunakan  sumber  daya  seminimal  mungkin  untukmendapatkan hasil semaksimal mungkin.  Perhatikan dua contoh kasus berikut:contoh 1.1:Seorang pemborong memproduksi dua jenis bentuk pagar :­ Pagar jenis I seharga Rp 30.000/m2

­ Pagar jenis II seharga Rp 45.000/m2

Tiap m2 pagar jenis I memerlukan 4 m besi pipa dan 6 m besi beton, sedangkan tiap m2

pagar jenis II memerlukan 8 m besi pipa dan 4 m besi beton. Jika persediaan yang ada640 m besi pipa dan 480 m besi beton. Permasalahannya adalah berapa banyak masing­masing jenis pagar harus dibuat untuk mendapatkan hasil penjualan yang maksimal?contoh 1.2:Seorang peternak akan membuat campuran pakan ternak yang  terdiri atas jagung gilingdan  konsentrat  pabrik  dengan  memperhitungkan  kebutuhan  protein  18%  dan  energimetabolisme 2800Kkal/Kg.  Jika diketahui:­ jagung dan konsentrat pabrik masing­masing  mengandung protein 9% dan 23%  serta

mengandung energi 3300 Kkal/kg dan 2500 KKal/kg.­ harga jagung Rp 1.500/Kg dan harga konsentrat Rp 3.000/kg.Permasalahnnya  adalah  berapa  persen  jagung  dan  konsntrat  yang  digunakan  dalamcampuran pakan agar harganya semurah mungkin?

Sebelum mempelajari hal tersebut lebih lanjut, maka terlebih dahulu akan dibahasberbagai  cara  untuk  menentukan  daerah  himpunan  penyelesaian  dari  sistempertidaksamaan linear.

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

4

B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan LinearPertidaksamaan  linear  adalah    kalimat  terbuka  yang  dihubungan  dengan  tanda

ketidaksamaan  dan  mengadung  variabel  berpangkat  satu.  Bentuk  umum  pertidaksamaanlinear adalah:

(i) ax + by > c(ii) ax + by < c(iii) ax + by ≥ c(iv) ax + by ≤ c

dengan x dan y variabel, a,  b, dan c konstanta.Kedudukan  titik­titik  sebagai  daerah  penyelesaian  pertidaksamaan  linear  pada

bidang Kartesius adalah:1. Kedudukan titik yang memenuhi persamaan ax + by =  c2. Kedudukan titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by > c3. Kedudukan titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by < cdengan  garis ax  +  by  =    c merupakan  garis  pembatas  antara  daerah  yang  memenuhidengan daerah yang tidak memenuhi.

Langkah­langkah untuk menggambar grafik penyelesain pertidaksamaan linear:1. Nyatakan pertidaksamaan linear sebagai persamaan linear dalam bentuk ax + by =  c

(garis pembatas)2. Tentukan titik potong garis ax + by =  c dengan sumbu X dan sumbu Y3. Tarik  garis  lurus  yang  menghubungan  kedua  titik  potong  tersebut.  Jika

pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda ≥ atau ≤ , garis dilukis tidak putus­putus,sedangkan  Jika pertidaksamaan dihubungkan dengan  tanda > atau <  , garis  dilukisputus­putus

4. Tentukan sebarang  titik  (x1,  y1),  masukkan  ke pertidaksamaan.  Jika pertidaksamaanbernilai benar, maka daerah tersebut merupakan daerah penyelesaian, sebaliknya jikabernilai pertidaksamaan bernilai salah, maka daerah tersebut bukan merupakan daerahpenyelesaian.

5. Arsirlah daerah yang memenuhi, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya adalahdaerah  yang  diarsir  atau    arsirlah  daerah  yang  tidak  memenuhi,  sehingga  daerahhimpunan penyelesaiannya adalah daerah yang bersih.

Contoh 1.3. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear: 3x + 2y ≥ 12Jawab:Langkah (1):   tentukan garis pembatas 3x + 2y = 12Langkah (2):   tentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y

Titik potong sumbu x adalah ketika y = 0,sehingga diperoleh:  3x + 2(0) = 12

3x + 0 = 12

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

5

3x = 12x  = 4

titik potong terhadap sumbu x adalah (4,0)Titik potong sumbu y adalah ketika x = 0,sehingga diperoleh:  3(0) + 2y = 12

0 + 2y = 122y = 12y = 6

titik potong terhadap sumbu x adalah (0,6)Langkah (3):   hubungkan kedua titik potong tersebut dengan garis lurusLangkah (4):  ambil sebarang titik, misalnya (0,0), masukkan ke pertidaksamaan:

3(0) + 2(0) ≥ 12 (tidak memenuhi), berarti daerah dimana titik (0,0)terletak bukan merupakan daerah penyelesaian.

Langkah (5):  Arsirlah daerah yang memenuhi.

C. Grafik  Himpunan  Penyelesaian  Sistem  Pertidaksamaan  Linear  dengan  DuaVariabelSistem  pertidaksamaan  linear dua  variabel  adalah  gabungan dari  dua  atau  lebih

pertidaksamaan linear dengan dua variabel.Contoh 1.4 : gambarlah grafik yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear:

      x + y ≤ 15x + 2y ≤ 20x ≥ 0 ; y ≥ 0  x,y ∈ R

Jawab : Buatlah tabel titik potong dengan sumbu koordinat :

x + y = 15x 0 15y 15 0

x + 2y = 20x 0 15y 15 0

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

6

Gambar grafiknya:

Latihan 1.1. Gambarlah grafik­grafik di bawah ini !

a. 2x + 3y = 12  d. y   6 g.  2x – 3y   6b. 3x + 4y   12  e. x   2 h.  3x + 2y   12c. 3x – 4y   12 f.  x – 2y = 6  i.  1   y   3

2. Gambarlah daerah penyelesaian dari sitem pertidaksamaan di bawah ini !a. 2x + y   4 ; 2x – y   8 ; x   0 ; y   0b. 3x – y   ­ 6 ; x + 2y   ­ 2 ; x + 2y   6 ; x   0 ; y   0c. x + 2y   10 ; x – 2y   20 ; x   0 ; y   0d. 6x + 3y   12 ; 3x + 2y   12 ; x   0 ; y   0e. 2x – 4y   8 ; ­ x + 2y    6 ; x   0 ; y   0

3. Tentukan  sistem  pertidaksamaan  linear  yang  daerah  penyelesaiannya  diarsir  dibawah ini !

(a) (b)

y

x(20,0)(0,10)

0

(0,15)

(15,0)

(10,5)

4

2x

0

4

2

­ 2

4

(1,3)

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

7

(c) (d)

(e)

x

y

(2,2)

(1,3) (5,3)

(6,4)

(3,5)

(3,0)

(1,1)

(0,2)

(5,1)

(2,5)

x

y

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

8

Kegiatan Belajar 2:Model MatematikaTujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini diharapkan agar siswa dapat :1. menjelaskan pengertian model matematika.2. mengubah  soal  verbal  ke  dalam  bentuk  model  matematika  (menyusun  system

pertidaksamaan linear)

A. Pengertian Model MatematikaModel Matematika adalah suatu cara untuk memandang suatu permasalahan atau

suatu  persoalan  dengan  menggunakan  sistem  pertidaksamaan  Matematika.  Masalah–masalah  yang  akan  diselesaikan  dengan  kaidah  program  linear  biasanya  memenuhibeberapa syarat untuk dipenuhi oleh variable­variabelnya.

Untuk  menyusun  suatu  model  matematika  diperlukan  pemahaman  tentangimplikasi dari suatu pernyataan yang memenuhi syarat­syarat tertentu, misalnya:

Pernyataan Pertidaksamaan Dinotasikan

x tidak kurang dari 10 x = 10atau x > 10 x ≥ 10

x tidak lebih dari 12 x = 12 atau x < 12 x ≤ 12

B.  Menyusun Model MatematikaContoh 2.1: Buatlah model matematika dari masalah verbal berikut:

Pengusaha  perumahan  akan  membangun  dua  macam  tipe  rumah.  Untuk  tipe  21  luastanah yang diperlukan 60 m2 dan tipe 36 luas tanah 90 m2. Jika banyaknya rumah yangakan dibangun tidak lebih dari 800 unit dan luas tanah yang tersedia adalah 54.000 m2

Jawab :Misalkan :  Tipe 21  = x

Tipe 36  = yMaka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam rabel sebagai berikut :

Tipe 21 Tipe 36 BatasanLuas tanah 60 90 54.000Jml rumah 1 1 800

Maka terjadi hubungan :Kebutuhan luas tanah  : 60 x + 90y ≤ 54.000 ⇔   2x + 3y ≤ 1800Jumlah rumah : x + y ≤ 800 ⇔  x + y ≤ 800

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

9

Karena x dan y menyatakan banyaknya rumah, maka harus berlaku (x,y)∈Cacahdan (x,y) ≥ 0. Jadi model matematikanya adalah :  2x + 3y ≤ 1800 ; x + y ≤ 800 ;x ≥ 0 ; y ≥ 0 dan (x,y)∈Cacah.

Contoh 2.2.Dalam  campuran  pakan  unggas  membutuhkan  sekurang­kurangnya  16%  protein,  2400Kkal/kg  Energi  metabolisme  (EM)  dan  9%  lemak.  Pakan  jenis  A  mengandung  6%protein, 3200  EM  dan 6%  lemak,  sedangkan  pakan  jenis  B  mengandung 20% protein,1600  Kkal/kg  EM  dan  18%  lemak.  Buatlah  model  matematika  dari  permasalahantersebut.Jawab: Misalkan :  Pakan jenis A  = x

Pakan jenis B  = yMaka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :

Kebutuhan Pakan jenis A Pakan jenis B BatasanProtein 8 20 16EM 3200 1900 2400Lemak 6 18 9

Maka terjadi hubungan :Kebutuhan protein   : 8x + 20y ≥ 16 ⇔  2x + 5y ≥ 4Kebutuhan EM : 3200x + 1600y ≥ 2400 ⇔  4x + 2y ≥ 3Kebutuhan lemak  : 6x + 18y ≥ 9 ⇔   x + 3y ≥ 3Karena x dan y menyatakan persentase penggunaan bahan pakan, maka harusberlaku (x,y)∈Cacah dan (x,y) ≥ 0. Jadi model matematikanya adalah :4x + 2y ≥ 3, 4x + 2y ≥ 3,  x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 ; y ≥ 0 dan (x,y)∈Cacah.

Latihan 2.Pilihlah jawaban yang paling tepat!1. Seorang  penjual  buah­buahan  yang  menggunakan  gerobak  mempunyai  modal  Rp

1.000.000. Ia telah membeli jeruk dengan harga Rp 4.000 per kg dan pisang Rp 1.600per kg.  Jika banyak  jeruk yang dibeli x kg, banyak pisang y kg sedangkan muatangerobak tidak dapat melebihi    400 kg maka sistem pertidaksamaan di atas adalah ...a. 5x + 4y ≤ 2500 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 d. 5x + 2y ≤ 1250 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0b. 5x + 4y ≤ 1250 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 e. 5x +   y ≤  750 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0c. 5x + 2y ≤ 2500 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

2. Suatu jenis roti membutuhkan 150 gr tepung dan 25 gr mentega, roti jenis yang lainmembutuhkan  75  gr  tepung dan  50  gr  mentega.  Kita  ingin  membuat dua  jenis  rotisebanyak­banyaknya.  Jika  tersedia  tepung  2,5  kg  dan  mentega  1,25  kg.Pertidaksamaan yang memenuhi adalah …  …

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

10

a. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 6x + y ≤ 100 ; 3x + 2y ≤ 150b. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 6x + 3y ≤ 100 ; x + 2y ≤ 50c. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 6x + y ≤ 150 ; 3x +2y ≤ 100d. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 6x + y ≤ 100 ; 2x + 3y ≤ 50e. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 6x + y ≤ 150 ; 3x +2y ≤ 50

3. Ditentukan luas daerah parkir 480 m2 luas rata­rata permobil 6 m2 dan bus 24 m2. Jikadaerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan, dengan banyak mobil xdan banyak bus y maka model matematika yang memenuhi …  …a. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 4x – y ≤ 30 ; x + y ≤ 80b. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 4x +y ≤ 80 ; x + y ≤ 30c. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 4y ≤ 80 ; x + y ≤ 30d. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 4x – y ≤ 80 ; x + y ≤ 30e. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 4y ≤ 80 ; x + y ≤ 30

4. Rokok A harganya Rp 800 perbungkus  dan  rokok B harganya Rp 400 perbungkus.Seorang  pedagang  rokok  mempunyai  modal  Rp  1.200.000  dan  tidak  mampumenampung 2.000 bungkus  rokok.  Jika  rokok A = x dan rokok B = y maka modelmatematika yang memenuhi adalah …  …a. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 2x + y ≤ 3000 ; x + y ≤ 2000b. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 2x + y ≤ 3000 ; x – y ≤ 2000c. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 2x + y ≤ 3000 ; 2x – 3y ≤ 2000d. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 2y ≤ 3000 ; x + y ≤ 2000e. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 2y ≤ 3000 ; x – y ≤ 2000

5. Biang pengharum unsur A dan B sebuah minyak wangi disadap dari dua bahan x dany,  setiap  kg  x  mengandung  30  gram  unsur  A  dan  20  gr  unsur  B,  setiap  kg  ymengandung  40  gr  unsur  A  dan  10  gr  unsur  B.  Diinginkan  untuk  memenuhikebutuhan  minyak  wangi  yang  mengandung  paling  sedikit  1.200  gr  unsur  A  danpaling sedikit 400 gr unsur B, model matematikanya adalah …  …a. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 3x + 4y ≥ 120 ; 2x + y ≥ 40b. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 4x + 3y ≥ 40 ; 2x + y ≥ 120c. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 3x + 4y ≥ 120 ; x + 2y ≥ 40d. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 4x + 3y ≥ 120 ; 2x + y ≥ 40e. x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 3x + 4y ≥ 40 ; x + 2y ≥ 120

6. Seorang  penjual  buah­buahan  yang  menggunakan  gerobak  mempunyai  modal  Rp1.000.000. Ia telah membeli jeruk dengan harga Rp 4.000 per kg dan pisang Rp 1.600

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

11

per kg.  Jika banyak  jeruk yang dibeli x kg, banyak pisang y kg sedangkan muatangerobak tidak dapat melebihi    400 kg maka sistem pertidaksamaan di atas adalah ...a. 5x + 4y ≤ 2500 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 d. 5x + 2y ≤ 1250 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0b. 5x + 4y ≤ 1250 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 e. 5x +   y ≤  750 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0c. 5x + 2y ≤ 2500 ; x + y ≤ 400 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Tulislah model matematika dari permasalahan di bawah ini !1. Produk  A  membutuhkan  30  kg  bahan  mentah  dan  18  jam  waktu  kerja.  Produk  B

membutuhkan 20 kg bahan mentah dan 24 jam waktu kerja. Jika tersedia 75 kg bahanmentah dan waktu kerja yang tersedia 72 jam .

2. Seorang agen  sepeda  ingin  membeli 20  sepeda  untuk persediaan.  Ia  ingin  membelisepeda biasa dengan harga Rp 300.000 sebuah dan sepeda balap dengan harga     Rp400.000  sebuah.  Ia  merencanakan  tidak  akan  mengeluarkan  uang  lebih  dari      Rp8.400.000.

3. Luas daerah parkir 360 m2, luas rata­rata untuk parkir sebuah mobil adalah 6 m2 danuntuk bus 29 m2 serta daerah parkir itu tidak dapat memuat lebih dari 30 kendaraan.

4. Sebuah  pesawat  udara  mempunyai  tempat  duduk  tidak  lebih  dari  50  penumpang.Setiap  penumpang  kelas  utama  boleh  membawa  bagasi  50  kg,  sedang  untuk  kelasekonomi  20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi 1.500 kg.

5. Sebuah perusahaan angkutan harus mengangkat minimal 60 peti dalam satu minggu,tersedia 4  truk kecil dan 2  truk besar. Satu  truk kecil dapat memuat 6 peti dan satutruk besar dapat memuat 10 peti.

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

12

Kegiatan Belajar 3:Nilai Optimum Fungsi ObyektifTujuan Kegiatan Belajar 3

Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini diharapkan agar siswa dapat :1. menentukan fungsi obyektif dan fungsi kendala2. menentukan titik optimum dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear3. menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif

A. Fungsi obyektif dan fungsi kendalaFungsi  obyektif  atau  fungsi  tujuan  adalah fungsi  yang  akan  dicari  nialai

optimumnya, sedangkan fungsi kendala adalah batasan­batasan yang harus dipenuhi olehvariabel yang  terdapat dalam  fungsi obyektif. Sesuai permasalahannya,  ada dua macamnilai  optimum  dalam  program  linear,  yaitu  maksimisasi  (Maximize)  dan  minimisasi(Minimize).

1. Masalah maksimisasi:Bentuk umum:Maksimumkan fungsi tujuan: z = px + qydengan batasan   :  a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤ c2

M M   anx + bny ≤ cn

x ≥ 0, y ≥ 0 (non­negatifitas)

2. Masalah minimisasi:Minimumkan fungsi tujuan: z = px + qydengan batasan   :  a1x + b1y ≥ c1

a2x + b2y ≥ c2

M M   anx + bny ≥ cn

x ≥ 0, y ≥ 0 (non­negatifitas)

B. Titik Optimum dan Nilai OptimumTitik optimum adalah suatu titik dimana fungsi obyektif bernilai optimum. Titik

optimum  terletak  pada  salah  satu  titik  ekstrim  (titik  sudut)  daerah  penyelesaian.  Nilaioptimum  ditentukan  dengan cara  memasukan  nilai  variabel  (x dan  y)  yang  merupakanpenyelesaian yang layak ke fungsi obyektif.

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

13

Langkah­langkah penentuan nilai optimum :

1. mengubah soal verbal ke dalam bentuk model matematika

2. menggambar grafik

3. menentukan daerah penyelesaiannya

4. menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif

Contoh 3.1. Tentukan  fungsi obyektif,  fungsi kendala dan nilai optimum dari masalahprogram linear berikut:Seorang pengrajin patung akan membuat patung Dewi Sri dan patung Ganesha. Sebuahpatung  Dewi Sri membutuhkan 2 gram  emas  dan 2  gram  perak untuk  lapisan  luarnya.Sedangkan sebuah patung Ganesha membutuhkan 3 gram emas dan 1 gram perak untuklapisan  luarnya.  Persediaan  emas  dan  perak  pengrajin  masing­masing  12  gram  dan    8gram.Jika patung Dewi Sri akan dijual dengan harga Rp 5.000.000 perbuah dan untuk patungGanesha Rp 4.500.000 perbuah, berapa banyak masing­masing  jenis patung yang harusdibuat agar pengrajin memperoleh pendapatan sebanyak­banyaknya?Jawab:Misalkan :  patung Dewi Sri = x

patung Ganesha  = y

maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :Kebutuhan patung Dewi Sri patung Ganesha Batasan

Emas 2 3 12Perak 2 1 8

sehingga terjadi hubungan :Kebutuhan emas : 2x + 3y ≤ 12Kebutuhan perak : 2x + y ≤ 8

Model :Maksimumkan fungsi obyektif: z =  5.000.000x + 4.500.000ydengan batasan : 2x + 3y ≤ 12

2x + y ≤ 8x ≥ 0, y ≥ 0

gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dengan bantuan tabel berikut :

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

14

  2x + 3y = 12 2x + y = 8x 0 6 0 4y 4 0 8 0

Titik­titik ekstrim daerah penyelesaiannya adalah: {(0,0), (0,4), (4,0), (3,2)}Masukkan nilai variabel x dan y pada titik ekstrim ke fungsi obyektif:

(x,y) z = 5.000.000x + 4.500.000y

(0,0) 0

(0,4) 18.000.000

(4,0) 20.000.000

(3,2) 24.000.000Dari  tabel  dapat  disimpulkan  bahwa  nilai  optimum  24.000.000  diperoleh  pada  titikoptimum  (3,2).  Artinya  pendapatan  maksimum  sebesar  Rp  24.000.000  akan  diperolehpengrajin jika membuat 3 buah patung Dewi Sri dan  2 buah patung Ganesha.

Contoh 3.2. Tentukan  fungsi obyektif,  fungsi kendala dan nilai optimum dari masalahprogram linear berikut:Seorang  nutrisionis  rumah  sakit  akan  membuat  menu  makanan  yang  mengandungsekurang­kurangnya  72  gram  lemak,  48  gram  protein,  100  gram  karbohidrat  dan  300miligram Natrium.  Tiap 100 gram bahan makanan A mengandung 6 gram lemak, 8 gramprotein,  10  gram  karbohidrat  dan  20  miligram  Natrium,  sedangkan  bahan  makanan  Bmengandung  12  gram  lemak,  4  gram  protein,  5  gram  karbohidrat  dan  100  miligram

1 2 3  4 6

1234

8

y

x

Titik potong garis 2x + 3y = 12dengan garis 2x + y = 8,yaitu titik (3,2)

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

15

Natrium.  Jika diketahui harga per pak (100 gram) bahan makanan A adalah      Rp 2.500dan  bahan  makan  B  adalah  Rp  3.000,  hitunglah  berapa  banyak  penggunaan  bahanmakanan A dan B agar biaya menu makan semurah mungkin.Jawab :Misalkan :  Bahan makanan A  = x

Bahan makanan B  = y

maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :Kebutuhan Bahan makanan A Bahan makanan B Batasan

Lemak 6 12 72Protein 8 4 48Karbohidrat 10 5 100Natrium 20 100 300

sehingga terjadi hubungan :Kebutuhan Lemak     :  6x + 12y ≥ 72 ⇔   x + 2y ≥ 12Kebutuhan Protein     :  8x + 4y ≥ 48 ⇔  2x + y ≥ 12Kebutuhan Karbohidrat :  50x + 5y ≥ 100 ⇔  10x + y ≥ 20Kebutuhan Natrium       :   20x + 100y ≥ 300 ⇔  x + 5y ≥ 15

Model :Minimumkan fungsi obyektif: z =  2500x + 3000ydengan batasan : x + 2y ≥ 12

2x + y ≥ 1210x + y ≥ 20x + 5y ≥ 15x ≥ 0, y ≥ 0

gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dengan bantuan tabel berikut :

x + 2y = 12 2x + y =12 10x + y =20 x + 5y = 15x 0 12 0 6 0 2 0 15y 6 0 12 0 20 0 3 0

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

16

Titik­titik ekstrim daerah penyelesaiannya adalah: {(0,20), (1,10), (4,4), (10,1),(15,0)}Masukkan nilai variabel x dan y pada titik ekstrim ke fungsi obyektif:

(x,y) z =  2500x + 3000y

(0,20) 60.000

(1,10) 32.500

(4,4) 22.000

(10,1) 28.000

(15,0) 37.500

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa nilai optimum 22.000 diperoleh pada titik optimum(4,4). Artinya dengan menggunakan bahan makanan A dan B masing­masing sebanyak 4pak mengakibatkan  biaya paling murah, yaitu Rp 22.000.

Latihan 3.1. Tentukan nilai minimum fungsi z = 3x + 2y yang memenuhi : 2x + y ≥ 20, 4x + 3y ≥

48, x ≥ 0, y ≥ 0.2. Tentukan nilai maksimum fungsi  z = 5x + 2y dari model matematika berikut :

3x + 2y ≤ 36.000,  x + 2y ≤ 20.000, x ; y ≥ 03. Tentukan nilai maksimum dan minimum q = 6x + 10y pada himpunan penyelesaian

sistem pertidaksamaan x + y ≤ 6 ; x + 2y ≥ 10 ; x ≥ 2  dan y ≥ 0

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

17

4. Tentukan  nilai  maksimum  dan  minimum  q  =  16x  –  2y  +  40  pada  himpunanpenyelesaian sistem pertidaksamaan 6x + 8y ≤ 48 ; 0 ≤ y ≤ 4 dan 0 ≤ x ≤ 7 !

5. Sebuah perusahaan motor ingin memproduksi dua tipe motor,  NSR 500 dan CBR600. Tipe NSR 500 memerlukan waktu 8 jam untuk desain konstruksi dan 2 jamfinalisasi, sedangkan jenis CBR 600 memerlukan waktu 12 jam desain konstruksi dan2 jam finalisasi. Waktu maksimal yang tersedia untuk membuat tipe NSR 500 danCBR 600 adalah 216 jam dan 48 jam. Jika harga jual satu bauh NSR 500 adalah Rp200.000.000 dan satu buah CBR 600 adalah Rp 240.000.000. Tentukan tipe motoryang harus dibaut agar mendapatkan hasil penjualan sebesar­besarnya.

6. Sebuah pabrik sepatu di Bandung membuat dua jenis sepatu yaitu kulit dan karet.Keuntungan dari sepatu kulit Rp 4.000 per pasang dan dari sepatu karet Rp 3.000 perpasang. Sepatu kulit memerlukan 6 jam pengolahan, 4 jam pemasangan dan 5 jampengepakan. Sepatu karet memerlukan 3 jam pengolahan, 6 jam pemasangan  dan 5jam pengepakan. Jika tersedia 54 jam untuk pengolahan, 48 jam untuk pemasangandan 50 jam untuk pengepakan. Hitunglah keuntungan maksimum yang diperolehpabrik tersebut!

7. Pengusaha perumahan akan membangun dua macam tipe rumah. Untuk tipe 21 luastanah yang diperlukan 60 m2 dan tipe 36 luas tanah 90 m2. Banyaknya rumah yangakan dibangun tidak lebih dari 800 unit dan luas tanah yang tersedia adalah 54.000m2. Tentukan banyak rumah tipe 21 dan tipe 36 yang bisa dibuat untuk mendapatkanhasil penjualan maksimum, jika diketahui harga  masing­masing tipe rumah adalahRp 18.000.000 dan Rp 35.000.000.

8. Penduduk suatu perumahan yang terdiri atas 180 orang dewasa dan 240 anak­anakakan mengadakan wisata dengan bis. Jika bis tipe A dapat memuat 20 orang dewasadan 40 orang anak, dan bis tipe B dapatr memuat 30 orang dewasa dan 30 orang anak.Jika harga sewa bis masing tipe adalah Rp 900.000 dan Rp 1.200.000, tentukanjumlah bis yang harus disewa untuk masing­masing tipe agar biaya sewanya semurahmungkin.

9. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki­laki palingsedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut dapatmemuat 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki­laki adalah Rp1.000 dan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 500. Jika banyak sepatu laki­lakitidak boleh melebihi 150 pasang, tentukan keuntungan sebesar­besarnya yang didapatpemilik sepatu tersebut !

10. Sebuah kantin sekolah menyediakan menu mie goreng dan nasi goreng tidak lebihdari 60 porsi perhari. Banyak porsi mie goreng sedikitnya 10 porsi dan paling banyak50 porsi. Harga mie goreng Rp 1.500 perporsi dan nasi goreng Rp 1.000 perporsi.Berapa banyak masing­masing tipe menu yang harus dibuat agar mendapatkan hasilpenjualan yang maksimal ?

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

18

Kegiatan Belajar 4Garis SelidikTujuan Kegiatan Belajar 4Setelah mempelajari Kegiatan Belajar ini diharapkan agar siswa dapat :1. menjelaskan pengertian garis selidik

2. membuat garis selidik menggunakan fungsi obyektif

3. menentukan nilai optimum dengan garis selidik

A. Pengertian Garis Selidik

Garis  selidik  adalah  garis  lurus  yang  diperoleh  dari  persamaan  fungsi  obyektifgaris.  Garis  selidik  diperkirakan  berpotongan  dengan  garis  lain  yang  mendekati  nilaioptimum. Bentuk umum garis selidik adalah :

px + qy = k , p > 0, q > 0 dan k ∈ RB. Penerapan Garis Selidik untuk Menentukan Nilai Optimum

Langkah­langkah  penggunaan  garis  selidik  untuk  menentukan  nilai  optimumadalah sebagai berikut:

1. Gambar daerah penyelesaian dari permasalahan yang diketahui

2. Buat  persamaan  garis  selidik  awal  px  + qy  = k,  dengan k =  pq,  kemudian gambargaris tersebut dengan titik potong pada sumbu x  pada titik (q,0) dan titik potong padasumbu y pada titik (0,p).

3. Buat garis­garis selidik lain yang  sejajar dengan garis selidik awal melalui titik­titkekstrim (titik sudut) daerah penyelesaian.

4. Tentukan titik optimum dengan ketentuan:

• Titik  maksimum adalah  titik  ekstrim yang dilalui oleh  garis  selidik yang palingkanan

• Titik minimum adalah titik ekstrim yang dilalui oleh garis selidik yang paling kiri.

5. Tentukan nilai optimum dengan memasukkan nilai variabel x dan y pada titik optimumke fungsi obyektif.

Contoh 4.1:

Seorang pemborong memproduksi dua jenis bentuk pagar :­ Pagar jenis I seharga Rp 30.000/m2

­ Pagar jenis II seharga Rp 45.000/m2

Tiap m2 pagar jenis I memerlukan 4 m besi pipa dan 6 m besi beton, sedangkan tiap m2

pagar  jenis  II memerlukan 8 m besi pipa dan 4 m besi beton. Jika persediaan yang ada640 m besi pipa dan 480  m besi beton. Tentukan berapa meter persegi masing­masing

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

19

pagar  dapat  dibuat  agar  pemborong  memperoleh  hasil  penjualan  sebanyak­banyaknyadan berapa hasil penjualan tersebut!

Jawab :

Misalkan :  pagar jenis I  = xpagar jenis II   = y

maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :Kebutuhan pagar jenis I pagar jenis II Batasan

Pipa 4 8 640Beton 6 4 480

sehingga terjadi hubungan :Kebutuhan emas : 4x + 8y ≤ 640 ⇔ x + 2y ≤ 160Kebutuhan perak : 6x + 4y ≤ 480 ⇔ 3x + 2y ≤ 240

Model :Maksimumkan fungsi obyektif: z =  30.000x + 45.000ydengan batasan : x + 2y ≤ 160

3x + 2y ≤ 240x ≥ 0, y ≥ 0

gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dengan bantuan tabel berikut :

x + 2y =160 3x + 2y = 240x 0 160 0 80y 80 0 120 0

Buat persamaan garis selidik awal 30x + 45y = 1350 yang memotong sumbu x pada titik(45,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,30), kemudian gambar garis selidik awaltersebut.

Gambar garis selidik lainnya sejajar garis selidik awal melalui titik­titik ekstrim padadaerah penyelesaian.

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

20

Dari gambar terlihat bahwa garis selidik yang paling kanan adalah garis selidik yangmelalui titik potong antara garis x + 2y =160 dengan garis 3x + 2y = 240, yaitu titik(40,60).

Jadi titik optimumnya adalah (40,60) artinya hasil penjualan maksimum jika pemborongmembuat 40 m2 pagar jenis I dan 60 m2 pagar jenis II, yaitu:40(Rp 30.000) + 60(Rp 45.000) =  Rp 3.900.000.

Contoh 4.2:

Suatu perusahaan tambang batubara memiliki dua lokasi penambangan. Lokasi I setiaphari menghasilkan 1 ton batubara kualitas A, 3 ton kualitas B dan 5 ton kualitas C. LokasiII menghasilkan  setiap hari menghasilkan 2 ton batubara untuk masing­masing kualitas.Dalam waktu kurang dari dua bulan perusahaan harus memenuhi pesanan 80 ton batubarakualitas A, 160 ton kualitas B dan 200 ton kualitas C. Jika diketahui biaya penambangandi lokasi I adalah Rp 2.000.000/hari dan di lokasi II adalah Rp 1.500.000, tentukanjumlah hari penambangan di lokasi I dan lokasi II  agar pesanan dapat terpenuhi denganbiaya semurah mungkin!

Jawab:

Misalkan :  Lokasi I  = xLokasi II   = y

maka permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai berikut :Kualitas Lokasi I Lokasi II Batasan

A 1 2 80B 3 2 160C 5 2 200

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

21

sehingga terjadi hubungan :Kualitas A  : x + 2y ≥ 80Kualitas B  : 3x + 2y ≥ 160Kualitas C  : 5x + 2y ≥ 200

Model :Minimumkan fungsi obyektif: z =  2.000.000x + 1.500.000ydengan batasan : x + 2y ≥ 80

3x + 2y ≥ 1605x + 2y ≥ 200x ≥ 0, y ≥ 0

gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas dengan bantuan tabel berikut :

x + 2y = 80 3x + 2y ≥ 160 5x + 2y =200x 0 80 0 53.3 0 40y 40 0 80 0 100 0

Buat persamaan garis selidik awal 20x + 15y = 300 yang memotong sumbu x pada titik(15,0) dan memotong sumbu y pada titik (0,20), kemudian gambar garis selidik awaltersebut.

Gambar garis selidik lainnya sejajar garis selidik awal melalui titik­tik ekstrim pada derahpenyelesaian.

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

22

Dari gambar terlihat bahwa garis selidik yang paling kanan adalah garis selidik yangmelalui titik potong antara garis x + 2y = 80 dengan garis 3x + 2y ≥ 160, yaitu titik(40,20).Jadi titik optimumnya adalah (40,20) artinya biaya produksi minimum jika perusahaanmengoperasikan lokasi selama 40 hari dan lokasi II selama 20 hari , yaitu:

40(Rp 2.000.000) + 20(Rp 1.500.000) = Rp 110.000.000.

Latihan 4.

Gunakan garis selidik untuk menyelesaikan masalah program linear berikut.

1. Tentukan nilai maksimum 4x + 2y pada daerah himpunan penyelesaian :  x ≤ 8 ; y ≤6 ; x + 4y ≥ 8 untuk x,y ∈ R.

2. tentukan nilai maksimum dan minimum 2x – y pada pertidaksamaan  : x + y ≥ 4 ; x +y ≤ 6 ; x ≤ 4 ; y ≤ x + 4 untuk x dan y ∈ R.

3. Seorang alumni SMK mendapat pesanan merakit sepeda dan sepeda motor. Karenajumlah pekerja terbatas, alumni SMK hanya dapat merakit sepeda 120 unit tiap bulandan sepeda motor paling sedikit 10 unit dan paling banyak 60 unit. Pendapatan daritiap unit sepeda sebesar Rp. 40.000,00 dan tiap unit sepeda motor Rp. 268.000,00.Berapa pendapatan maksimum tiap bulan kalau kapasitas produksi dua jenis 160 unit.

4. Peserta study tour SMK Negeri Blambangan ke Bali terdiri dari 60 orang. Merekaakan menginap di Hotel “ Sumringah “ yang mempunyai dua tipe kamar, yaitu tipeA dan tipe B. Tipe A dapat ditempati seorang dan tipe B dapat ditempati 3 orang.Pemilik hotel menghendaki rombongan itu harus menyewa paling sedikit 25 kamar.Berapa tipe A dan tipe B harus disewa supaya semua tertampung dengan biayahotel semurah­murahnya bila  sewa untuk tipe A Rp 20.000 dan untuk tipe B Rp15.000 ?

5. Setiap kg makanan ayam cap “kunci emas” mengandung 10 unit antibiotik A dan 3unit  antibiotik  B,  sementara  1  kg  makanan  ayam  cap  “koin  emas” mengandung  5unit  antibiotik  A  dan  12  unit  antibiotik  B.  Setiap  hari  5 ekor  ayam  membutuhkansekurang­kurangnya 60 unit antibiotik A dan 48 unit antibiotik B.  Jumlah makanancap “kunci emas”  dan cap “koin emas” untuk 5 ekor setiap hari minimal 10 kg. Jikaharga per kg cap “kunci emas”  Rp 1.000 dan cap “koin emas”  untuk 5 ekor ayamsetiap hari   Rp 1.200. Agar pengeluaran biaya sekecil mungkin dan tentukan besarbiaya tersebut !

6. Semua jenis roti membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Untuk roti jenislain membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Kita ingin membuat sebanyak­banyaknya dari dua jenis roti itu. Jika tersedia tepung 2,25 kg dan mentega 1,5 kg,

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

23

berapa banyak roti masing­masing jenis yang dibuat agar diperoleh penyelesaiansebaik­baiknya ?

7. Perusahaan ARDI menghasilkan dua jenis barang : barang A dan barang B. Untukmenghasilkan barang jenis A seharga Rp 50.000 diperlukan 20 kg bahan baku dan 36jam kerja, sedangkan untuk menghasilkan barang Bdiperlukan bahan baku 30 kgdan 18 jam kerja. Tersedia bahan baku 480 kg dan jam kerja 360 jam. Jika barang Adijual  dengan laba Rp 10.000 perbuah dan barang B Rp 15.000 per buah, tentukanbanyaknya masing­masing jenis barang yang harus dibuat agar diperoleh labamaksimum ?

8. Pedagang kaki lima menjajakan barang dagangannya berupa pakaian tidur  lebihdari 400 buah dengan modal Rp 225.000. Jika setiap pakaian A harganya Rp 750 danpakaian B harganya Rp 500 dengan laba masing­masing Rp 250 dan Rp 100.Tentukan besarnya laba maksimum.

9. Seorang pedagang  telah menerima dua jenis kembang gula dari  seorang pengusaha.Dalam tiap jenis memuat coklat, karamel, dan gula dengan perbandingan:

Coklat Karamel Gula

Jenis A (%) 20 20 60

Jenis B (%) 20 60 20

Kedua jenis ini dicampur dan kemudian dimasak lagi untuk dijadikan kembang gulalagi dengan lebel sendiri; dengan perhitungan kembang gula dengan label baru akanlebih laku jika mengandung paling sedikit 4 kg coklat, paling sedikit 6 kg carameldan paling sedikit 6 kg gula. Harga jenis A adalah Rp 100.000,00 per kg dan jenis BRp 150.000,00 per kg. Berapa banyak dari tiap jenis harus dicampur supaya biayaserendah­rendahnya?

10. Seorang penjahit mempunyai bahan 60 m wol dan 40 m katun. Ia akan membuatstelan jas dan rok untuk dijual. Satu stel jas memerlukan 3 m wol dan 1 m katun,sedangkan satu rok memerlukan 2 m wol dan 2 m katun. Berapa stel jas dan rokyang haru ia buat agar mendapat keuntungan sebesar­besarnya jika harga 1 stel jasRp 20.000 dan harga 1 rok Rp 10.000 ?

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

24

UJI KOMPETENSI

1. Gambarlah daerah penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 4 .

2. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan : x + y ≤ 5, 3x + 5y ≥

15, x ≥ 0, y ≥ 0.

3. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang ditunjukkan olehsistem pertidaksamaan : x +y ≤  8 ; x + 2y ≤ 10 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

4. Gambarlah daerah penyelesaian dari model matematika yang ditunjukkan olehsistem pertidaksamaan : 3x +2y ≤  36 ; x + 2y ≥ 20 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

5. Tentukan nilai maksimum z  = 5x + y yang memenuhi sistem pertidaksamaan :x ≥ 0, y ≥ 0,  x + 2y ≤ 12, dan  2x + y ≤ 12 .

6. Tentukan  nilai  maksimum  pada  fungsi  objektif  z  =  5x  +  7y  yang  memenuhisistem pertidaksamaan : x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 14, x ≥ 0, y ≥ 0 .

7. Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang daerah hasilnya seperti padabidang II gamba di bawah ini.

8. Tentukan nilai maksimum fungsi z = 5x + 6y untuk sitem pertidaksamaan linearyang i daerah hasilnya diarsir pada gambar di bawah ini.

x

y

5

5

3

20

I

II III

IV

V

x

y

6

54

50

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com

25

9. Buatlah model matematika untuk masalah program linear berikut:

Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang.Setiap  penumpang  kelas  utama  boleh  membawa  bagasi  60  kg  sedangkan  bagikelas ekonomi hanya 20 kg. Pesawat tersebut dapat membawa bagasi 1.440 kg,bila  x  dan  y  berturut­turut  menyatakan  banyak  penumpang  kelas  utama  danekonomi.

10. Pemborong bangunan kios pasar mempunyai persediaan kayu bengkire, kamperdan  jati,  masing­masing  sebanyak  90,  80  dan  50  m3.  Setiap  kios  tipe  Imenggunakan  2  m3 kayu  bengkire,  1  m3 kamper  dan  1  m3  jati.  Kios  tipe  IImenggunakan  1  m3 kayu  bengkire,  2  m3 kamper  dan  1  m3  jati.  Tentukan  hasilpenjualan  kios  maksimum  yang  bias  diperoleh,  jika  harga  jual  kios  masing­masing adalah Rp 12.000.000 dan Rp 10.000.000!

11. Seorang pengusaha ingin menyewakan rumahnya kepada 540 orang mahasiswa.Pengusaha tersebut membangun rumah tidak lebih dari 120 rumah yang terdiridari tipe A (untuk 4 orang ) yang disewakan Rp 90.000/bulan dan tipe B ( untuk6 orang ) disewakan Rp 107.000/bulan. Buatlah model matematikanya !

12. Seorang penjahit ingin membuat 25 baju sebagai persediaan yang terdiri dari 2jenis. Jenis Eksklusif memerlukan bahan 3 meter dan jenis Ekonomi memerlukanbahan 2,5 meter. Bahan yang tersedia 60 meter. Jika jenis Eksklusif dijual denganRp  75.000  dan  jenis  Hemat  dijual  dengan  Rp  60.000,  buatlah  modelmatematikanya dan tentukan penyelesaian optimumnya !

13. Luas daerah parkir 600 m2. Luas rata­rata untuk mobil 6 m2 dan untuk bis 20 m2.Ongkos  parkir  mobil  Rp  2.000  dan  bis  Rp  5.000.  Jika  daerah  tersbut  memuattidak lebih dari 40 kendaraan, tentukan jumlah kendaraan masing­masing yangparkir agar diperoleh pendapatan maksimum dengan garis selidik!

14. Seorang pedagang paling sedikit menyewa 25 kendaraan untuk jenis truck dancolt untuk mengangkut 224 karung. Truck dapat mengangkut 14 karung dan colt 8karung. Jika ongkos sewa truck Rp 100.000 dan colt Rp 75.000, dengan garisselidik tentukan banyak kendaraan yang harus disewa agar ongkos minimum!

15. Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua macam kapsul obat flu yang diberi nama“Antiflu” dan “Antiflu­Extra”. Masing­masing kapsul memuat tiga unsur utamadengan kadar kandungannya tertera tabel berikut.

Unsur Antiflu Antiflu­Extra

Aspirin 2 1

Bikarbonat 5 8

Kodein 1 6

Menurut dokter, seorang yang sakit flu biasa akan sembuh bila dalam 3 haripaling sedikit menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain kodein.Bila harga “Antiflu” Rp 200,00 dan “Antiflu­Extra” Rp 300,00 per kapsul,Dengan garis selidik, tentukan berapa masing­masing kapsul yang harus dibelisupaya cukup untuk menyembuhkan dengan ongkos sekecil mungkin?

Click t

o buy NOW!

PDF­XCHANGE

www.docu­track.com Clic

k to buy N

OW!PDF­XCHANGE

www.docu­track.com