Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

17
BAB IV ANALISA DATA EKSPERIMEN Semua data eksperimen harus diperiksa. Analisa bisa berupa penilaian lisan tentang hasil uji atau bisa merupakan analisis yang kompleks dengan menggunakan metode-metode statistik. Kesalahan akan selalu ada dalam setiap eksperimen. Kesalahan ada yang bersifat acak dan ada pula disebabkan karena kekeliruan pelaksanaan eksperimen. Data buruk yang disebabkan oleh kekeliruan yang nyata harus dibuang. Untuk data yang "tampaknya buruk" tidak boleh dibuang begitu saja, hanya karena tidak sesuai dengan yang kita harapkan, kecuali kita tahu betul bahwa ada sesuatu yang tidak beres. Sebab Sebab Kesalahan Eksperimen Data dapat dibedakan atas data sampel-tunggal atau cuplikan tunggal (single sample) dan data sampel rangkap atau cuplikan majemuk (multisample). Data sampel tunggal adalah data dimana terdapat ketidak pastian (uncertainty) yang ditemukan dengan ulangan (pengukuran dilakukan dengan 1 instrumen). Data sampel rangkap didapatkan dalam hal dimana sejumlah eksperimen telah dilakukan dan keandalan hasil-hasilnya dapat dijamin oleh statistik (pengukuran dilakukan oleh lebih dari 1 instrumen). Kesalahan asli dalam data eksperimen adalah faktor-faktor yang memang selalu samar-samar dan mengandung ketakpastian. Tugas kita ialah menentukan berapa ketakpastian pengamatan rata-rata. Beberapa jenis kesalahan yang sering menyebabkan ketakpastian dalam pengukuran eksperimen : 1. Selalu ada kekeliruan nyata dalam pemasangan peralatan atau instrumen yang mungkin merusak validitas data. 2. Mungkin ada semacam kesalahan tetap (fixed error) yang menyebabkan pembacaan berulang-ulang mengandung kesalahan yang besarnya hampir sama, dan sebabnya tidak diketahui. Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta. 25

description

Materi

Transcript of Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

Page 1: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

BAB IV

ANALISA DATA EKSPERIMEN

Semua data eksperimen harus diperiksa. Analisa bisa berupa penilaian lisan tentang hasil uji atau bisa merupakan analisis yang kompleks dengan menggunakan metode-metode statistik.

Kesalahan akan selalu ada dalam setiap eksperimen. Kesalahan ada yang bersifat acak dan ada pula disebabkan karena kekeliruan pelaksanaan eksperimen. Data buruk yang disebabkan oleh kekeliruan yang nyata harus dibuang. Untuk data yang "tampaknya buruk" tidak boleh dibuang begitu saja, hanya karena tidak sesuai dengan yang kita harapkan, kecuali kita tahu betul bahwa ada sesuatu yang tidak beres.

Sebab Sebab Kesalahan Eksperimen

Data dapat dibedakan atas data sampel-tunggal atau cuplikan tunggal (single sample) dan data sampel rangkap atau cuplikan majemuk (multisample).

Data sampel tunggal adalah data dimana terdapat ketidak pastian (uncertainty) yang ditemukan dengan ulangan (pengukuran dilakukan dengan 1 instrumen).

Data sampel rangkap didapatkan dalam hal dimana sejumlah eksperimen telah dilakukan dan keandalan hasil-hasilnya dapat dijamin oleh statistik (pengukuran dilakukan oleh lebih dari 1 instrumen).

Kesalahan asli dalam data eksperimen adalah faktor-faktor yang memang selalu samar-samar dan mengandung ketakpastian. Tugas kita ialah menentukan berapa ketakpastian pengamatan rata-rata.

Beberapa jenis kesalahan yang sering menyebabkan ketakpastian dalam pengukuran eksperimen :

1. Selalu ada kekeliruan nyata dalam pemasangan peralatan atau instrumen yang mungkin merusak validitas data.

2. Mungkin ada semacam kesalahan tetap (fixed error) yang menyebabkan pembacaan berulang-ulang mengandung kesalahan yang besarnya hampir sama, dan sebabnya tidak diketahui.

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

25

Page 2: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

3. Ada kesalahan acak (random error) yang mungkin disebabkan fluktuasi elektronik acak pada peralatan atau instrumen, pengaruh gesekan dan sebagainya.

Analisa Kesalahan Atas Dasar Akal Sehat

Salah satu mengukur ketakpastian pengukuran primer adalah dengan cara analisa akal sehat (common sense) atas data yang dapat dilakukan dengan berbagai cara berikut :

1. Aturan tebak (rule of thumb) yaitu kesalahan itu sama dengan kesalahan maksimum dalam parameter yang digunakan untuk menghitung hasil.

2. Menggabungkan semua kesalahan itu untuk mendapat efek terburuk, untuk menentukan kesalahan maksimum dalam hasil akhir.

Perhatikan perhitungan daya listrik berikut ini :

P = EI

dimana E dan I diukur sebagai :

E = 100 V ± 2 V

I = 10 A ± 0,2 A

Nilai nominal daya adalah : 100 x 10 = 1000 W. Dengan mengambil variasi terburuk voltase dan arus, dapatlah kita hitung :

Pmaks = (100 + 2)(10 + 0,2) = 1040,4 W

Pmin = (100 - 2)(10 - 0,2) = 960,4 W

Jadi ketidak pastian daya ialah +4,04% dan -3,96%.

Analisa Ketakpastian

Metode ini lebih seksama dari metode akal sehat. Misal suatu bacaan tekanan tertentu dinyatakan :

p = 100 kN/m2 ± 1 kN/m2

Tanda ± menyatakan tanda ketakpastian.

Orang yang membuat penandaan ketakpastian sebenarnya menyatakan berapa menurut pendapatnya derjat ketelitian pengukuran yang dilakukannya itu.

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

26

Page 3: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

Sebagai cara yang lebih baik dalam memberikan spesifikasi ketakpastian suatu pengukuran, Kline dan McClintock menyarankan agar pelaku eksperimen menyatakan taruhan (kemungkinan) ketakpastian itu. Jadi persamaan tekanan tadi dapat kita tulis :

p = 100 kN/m2 ± 1 kN/m2 (20 banding 1)

dengan kata lain, pelaku eksperimen berani bertaruh dengan kemungkinan 20 banding 1 pengukuran itu akan berada dalam ± 1 kN/m2.

Misal sejumlah pengukuran dilakukan dimana ketakpastian masing-masing pengukuran dapat dinyatakan dengan taruhan yang sama. Perangkat pengukuran ini lalu digunakan untuk menghitung hasil eksperimen yang dikehendaki. Kita ingin menaksir ketakpastian dalam hasil perhitungan atas dasar ketakpastian dalam pengukuran-pengukuran primer. Hasil R ialah suatu fungsi dari variabeltak-tergantung atau tak gayut (independent) x1, x2, x3, ...., xn. Jadi,

R = R(x1, x2, x3, ...., xn) (4-1)

Umpamakan: wR = ketakpastian dalam hasil

w1, w2,...., wn = ketakpastian dalam variabel tak-tergantung.

Jika semua ketakpastian variabel independent mempunyai taruhan yang sama, maka ketakpastian dalam hasil yang mempunyai taruhan diberikan oleh persamaan :

2/122

22

2

11 ⎥

⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= nn

R wxRw

xRw

xRw L (4-2)

contoh 4-1:

Tahanan kiawat tembaga mempunyai ukuran tertentu, dinyatakan oleh:

R = Ro[1 + α(T - 20]

dimana : Ro = 6Ω ± 0,3% pada 20 oC

α = 0,004/oC ± 1%

T = 30o ± 1 oC

Hitunglah tahanan kawat dan ketakpastian !.

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

27

Page 4: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

Jawab

Tahanan Nominal adalah :

R = (6)[1 + (0,004(30 - 20)] = 6,24 Ω

Ketakpastian :

C 1

C 10 x 4)01,0)(004,0(

018,0)003,0)(6(

024,0)004,0)(6(

60)2030)(6()20(

04,1)2030()004,0(1)20(1

0

1-050

0

0

0

=

==

Ω==

===∂∂

=−=−=∂∂

=−−+=−+=∂∂

T

R

w

w

w

RTR

TRR

TRR

α

α

α

α

Jadi ketakpastian tahanan ialah :

wR = [(1,04)2(0,018)2 + (60)2(4 x 10-5)2 + (0,024)2(1)2]1/2

= 0,0305 Ω atau 0,49%

Kalau ketakpastian satu variabel jauh lebih besar dari ketakpastian variabel lainnya, maka ketakpastian yang terbesarlah yang menonjol, sedang yang lain mungkin dapat diabaikan. Sebagai ilustrasi, umpamakan ada tiga variabel dengan hasil perkalian kepekaan dan ketakpastian [(∂R/∂x)wx)] mempunyai nilai 1, sedangkan satu variabel nilainya 5, ketakpastian dalam hasil diberikan oleh :

(52 + 12 + 12 + 12 )1/2 = (28)1/2 = 5,29

Oleh karena itu memperbaiki hasil eksperimen secara keseluruhan haruslah dilakukan dengan memperbaiki instrumentasi dan teknik instrumentasi yang berhubungan dengan ketakpastian yang relatif besar.

Persamaan (4-2) dapat digunakan secara efektif untuk melakukan analisis kesalahan eksperimen sebelim melakukan eksperimen.

Contoh 4-2:

Sebuah resistor mempunyai nilai nominal 10 Ω ± 1 persen. Resistor diberi tegangan, dan disipasi/lesapan daya dihitung dengan dua cara: (1) dari P = E2/R dan (2) P = EI. Dalam (1) kita hanya mengukur tegangan, sedang dalam (2) baik arus maupun tegangan diukur.

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

28

Page 5: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

Hitunglah ketakpastian dalam penentuan daya dalam kedua kasus diatas, bila nilai-nilai E dan I menurut pengukuran adalah :

E = 100 V ± 1 % (untuk kedua kasus)

I = 10 A ± 1 %

Jawab :

2

2

2RE

RP

RE

EP

−=∂∂

=∂∂

dan kita terapkan persamaan (4-2) dan mendapat :

2/1

22

2

22

22⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= REP w

REw

REw

Dibagi dengan P = E2/R, didapat :

2/122

4⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Rw

Ew

Pw REP

Sisipkan nilai numerik ketakpastian,

wP/P = [4(0,01)2 + (0,01)2]1/2 = 2,236%

Untuk kasus kedua, kita punya :

EIPI

EP

=∂∂

=∂∂

dan setelah manipulasi aljabar kita dapat:

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

29

Page 6: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

2/122

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Iw

Ew

Pw IEP

dengan menyisipkan nilai numerik ketakpastian,

wP/P = [(0,01)2 + (0,01)2]1/2 = 1,414%

Jadi, metode kedua penentuan daya diatas memberikan ketakpastian yang jauh lebih kecil dari metode pertama, walaupun besaran primer dalam kedua hal sama.

Dalam contoh diatas, kegunaan analisis ketakpastian adalah memberi kita dasaruntuk memilih metode pengukuran yang memberikan hasil dengan ketakpastian yang sekecil-kecilnya.

Evaluasi Ketakpastian Untuk Reduksi Data Rumit

Umpamakan telah kita kumpulkan seperangkat data dalam variabel x1, x2, ...., xn dan kita hitung hasilnya. Sementara itu variabel-variabel itu kita ubah dengan Δx1, Δx2 dan seterusnya dan kita hitung hasilnya, kita dapat :

),...,,()(

),...,,()(),...,,()(

212

21111

211

n

n

n

xxxRxR

xxxxRxxRxxxRxR

=

Δ+=Δ+=

),...,()( 22122 nxxxxRxxR Δ++=Δ+

untuk nilai Δx yang cukup kecil derivatif parsialnya didekati dengan :

2

222

2

1

111

1

)()(

)()(

xxRxxR

xR

xxRxxR

xR

Δ−Δ+

≈∂∂

Δ−Δ+

≈∂∂

dan nilai ini dapat disisipkan ke persamaan (4-2) untuk menghitung ketakpastian hasil.

Contoh 4-3:

Hitunglah ketakpastian dalam tahanan kawat dalam contoh 4-1 dengan menggunakan teknik yang ditunjukkan dalam bagian ini.

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

30

Page 7: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

Jawab :

Dalam contoh 4-1 telah kita hitung tahanan nominal yaitu 6,24 ohm. Sekarang kita ubah sedikit ke tiga variabel Ro, α dan T untuk mendapatkan turunan parsialnya. Kita buat

ΔRo = 0,01 Δα = 1 x 10-5 T = 0,1

Jadi,

R(Ro + ΔRo) = (6,01)[1 + (0,004)(30 - 20)] = 6,2504

dan turunannya didekati dengan :

04,101,0

24,62504,6)(

0

00

0

=−

−Δ+≈

∂∂

RRRRR

RR

atau sama hasilnya dengan contoh 4-1. Demikian pula :

R(α + Δα) = (6,0)[1 + (0,00401)(30 - 20)] = 6,2406

6010x 1

24,62406,6)(5- =

−=

Δ−Δ+

≈∂∂

ααα

αRRR

R(T + ΔT) = (6)[1 + (0,004)(30,1 - 20)] = 6,2424

24,01,0

24,62424,6)(=

−=

Δ−Δ+

≈∂∂

TRTTR

TR

Semua turunan ini sama dengan dalam contoh 4-1, sehingga ketakpastian dalam R sama, yaitu 0,0305 ohm.

Analisis-Statistik Data Eksperimen

Bila kita melakukan pembacaan dari suatu eksperimen, pembacaan tersebut mungkin agak berbeda satu sama lain. Pelaku eksperimen biasanya lebih memperhatikan purata atau pukul rata (mean) seluruh bacaan itu. Jika setiap bacaan ditandai dengan xi dan ada n bacaan, maka purata aritmetik (aritmetik mean) ialah:

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

31

Page 8: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

∑=

=n

iim x

nx

1

1 (4-3)

- Deviasi atau penyimpangan (deviation) di dari masing-masing bacaan dicari dengan :

di = xi – xm (4-4)

- Rerata atau rata-rata (average) deviasi seluruh bacaan ialah nol, karena:

∑∑==

−==n

imi

n

iii xx

nd

nd

11)(11 (4-5)

0)(1=−= mm nx

nx

- Rerata nilai absolut deviasi diberikan oleh :

∑∑==

−==n

imi

n

iii xx

nd

nd

11

11 (4-6)

Perhatikan bahwa besaran ini tidak selalu nol.

- Deviasi Standar (standard deviation) atau deviasi akar purata kwadrat (root mean square deviation) didefinisikan sebagai :

2/1

1

2)(1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑

=

n

imi xx

nσ (4-7)

Pangkat dua deviasi standar disebut varians (variance).

Sering dalam berbagai deviasi, para insinyur tidak dapat mengumpulkan data dalam jumlah yang cukup yang diperlukan untuk menerangkan suatu populasi. Pada umumnya diperlukan sedikitnya 20 pengukuran untuk membuat taksiran yang dapat diandalkan. Untuk data yang jumlahnya kecil, deviasi standar didefinisikan sebagai deviasi standar tak doyong/bias (unbiased standard deviation) atau disebut juga deviasi standar sampel (sample standard deviation) yang dirumuskan :

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

32

Page 9: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

2/1

1

2

1

)(

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−=∑=

n

xxn

imi

σ (4-8)

- Median adalah nilai yang membagi dua titik-titik data, umpamanya jika pengukuran yang dilakukan atas lima buah resistor hasil produksi menghasilkan 10, 12, 13 dan 15 kohm, nilai mediannya ialah 13 ohm dan purata aritmetiknya adalah :

Ω=++++

= k 8,125

1514131210mR

Distribusi Probabilitas

Probabilitas adalah suatu besaran matematik yang berhubungan dengan frekwensi terjadinya suatu fenomena setelah dicoba berkali-kali (jumlah ulangan besar). Misalnya bila kita melambungkan sebuah koin maka kemungkinan/probabilitas munculnya permukaan atas adalah 1/2 dan permukaan belakang juga 1/2.

Umpamakan kita lempar sebuah sepatu kuda ke suatu jarak x. Hasil lemparan tidak akan tepat sama apabila lemparan diulang berkali-kali. Oleh karena setiap jarak x berbeda dari jarak x lainnya, ada baiknya kita hitung probabilitas lemparan itu mencapai suatu tambahan jarak x antara x dan dx. Bila dilakukan perhitungan maka kita akan menemukan situasi seperti gambar 1.

Gambar 1. Distribusi lemparan sepatu kuda oleh pemain yang ”mahir”.

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

33

Page 10: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

Kurva pada gambar 1 disebut distribusi probabilitas. Kurva tersebut menunjukkan bagaimana probabilitas keberhasilan dalam satu peristiwa tertentu terdistribusi di sepanjang x. Deviasi dari xm dapat dianggap sebagai kesalahan dalam lemparan itu.

Suatu distribusi probabilitas yang khas ialah distribusi binomial. Distribusi ini memberikan jumlah sukses n diantara jumlah N buahperistiwa tak tergantung yang mungkin bila setiap peristiwa mempunyai probabilitas sukses p. Probabilitas bahwa n peristiwa akan berhasil adalah :

nNn ppnnN

Nnp −−−

= )1(!)(

!)( (4-10)

Perlu dicatat bahwa (1-p) adalah probabilitas kegagalan dari masing-masing variabel tak tergantung.

Contoh 4-4

Sebuah mata uang logam yang tak diberati dilambungkan tiga kali. Hitunglah probabilitas untuk mendapatkan nol, satu, dua atau tiga muka dari ketiga lemparan tersebut.

Jawab :

Distribusi binomial kita terapkan disini. Probabilitas mendapatkan muka pada setiap lemparan adalah p = ½ dan N = 3, sedang n mempunyai nilai 0, 1, 2 dan 3. Probabilitas dihitung sebagai berikut :

81

21

21

)!3)(!0(!3)3(

83

21

21

)!2)(!1(!3)2(

83

21

21

)!1)(!2(!3)1(

81

21

21

)!0)(!3(!3)0(

03

12

21

30

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

p

p

p

p

Sekarang umpamakan jumlah peristiwa independen N sangat besar dan probabilitas terjadinya p sangat kecil, maka perhitungan probabilitas n sukses dengan menggunakan persamaan (4-10) menjadi tidak praktis. Limit distribusi binomial jika N→ ∝ dan p→ 0 sehingga :

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

34

Page 11: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

Np = a = konstan

disebut Distribusi Poisson dan diberikan oleh persamaan

p na e

na

n a

( )!

=−

Deviasi standar poisson adalah : σ = (a)1/2

Distribusi probabilitas yang didapat dari pembahasan yang terdahulu didapatkan bila pengamatan frekwensi kejadian dilakukan dalam jumlah pengamatan sangat besar. Bila jumlah pengamatan terbatas, dan datanya kita gambarkan dalam grafik, grafik yang didapat disebut histogram.

Sebagai contoh, lemparan sepatu kuda oleh seorang pemain memberikan data sbb:

Jarak dari sasaran Jumlah lemparan 0 -10 5 10-20 15 20-30 13 30-40 11 40-50 9 50-60 8 60-70 10 70-80 6 80-90 7 90-100 5 100-110 5 110-120 3 lebih dari 120 2

jumlah 99

Data diatas digambarkan dalam bentuk histogram dengan menggunakan tambahan Δx = 10 cm sebagai berikut:

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

35

Page 12: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

Gambar 2. Histogram dengan Δx = 10 cm.

Frekwensi kumulatif dapat pula digunakan untuk data seperti ini seperti terlihat

pada gambar 3.

Gambar 3. Diagram frekuensi sasaran, cm.

Distribusi Kesalahan Gauss Atau Distribusi kesalahan Normal

Bila kita melakukan suatu pengamatan eksperimen dan hasilnya dicatat.

Kita tahu (atau kita perkirakan) bahwa pengamatan tersebut banyak

mengandung kesalahan acak/rambang. Kesalahan acak menyebabkan bacaan

akhir terlalu besar atau terlalu kecil. Andaikan ada banyak kesalahan kecil yang

mungkin ikut membentuk kesalahan akhir, dan bahwa semua kesalahan kecil

sama besarnya, dan sama kemungkinannya untuk mempunyai nilai positif atau

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

36

Page 13: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

negatif maka dapatlah kita turunkan distribusi kesalahan gauss (gaussian error

distribution) atau distribusi kesalahan normal (normal error distribution). Jika

pengukuran ditandai dengan x, maka distribusi Gauss memberikan probabilitas

bahwa pengukuran itu terletak antara x dan x + dx dan dituliskan :

P x e x xm( ) ( ) /= − −12

2 22

σ πσ (4-13)

Grafik persamaan (4-13) diperlihatkan pada gambar 4. Bacaan yang

probabilitasnya paling tinggi adalah xm. Deviasi standar ialah ukuran lebar

kurva distribusi itu, makin besar nilai deviasi makin rendah/ceper kurva tersebut

dan karena itu makin besar kesalahan yang diperkirakan dari semua

pengukuran.

Gambar 4. Distribusi kesalahan Gauss atau normal untuk dua nilai deviasi standar.

Persamaan (4-13) dinormalisasikan sehingga luas bidang dibawah kurva

adalah satu, jadi :

(4-14) ∫+∞

∞−= 0,1)( dxxP

Terlihat ada keserupaan antara grafik kesalahan normal dengan kurva

distribusi eksperimen melemparkan sepatu kuda pada gambar 1. Pada gambar

1 terlihat bahwa pelempar sepatu kuda yang mahir maka lemparannya akan

terkumpul di sekitar sasaran. Makin trampil pelempar maka makin dekat

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

37

Page 14: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

lemparannya terkumpul di sekitar harga rata-rata dan makin tinggi pula

probabilitas harga rata-rata xm.

Kita bisa menerapkan distribusi kesalahan normal untuk menentukan

presisi atau ketepatan seperangkat pengukuran eksperimen. Pertanyaannya

adalah bagaimana mengetahui bahwa pengandaian dalam penurunan

distribusi kesalahan normal berlaku untuk eksperimen kita? Jawabannya

adalah bahwa untuk perangkat data yang jumlahnya cukup besar, eksperimen

menunjukkan bahwa pengukuran memang mengikuti distribusi seperti gambar

4.

Dari fungsi Gauss, probabilitas maksimum terjadi pada x = xm, dan nilai

probabilitasnya adalah :

P xm( ) =12σ π

(4-15)

P(xm) disebut juga ukuran presisi data karena nilainya lebih besar pada nilai

deviasi standar yang lebih kecil.Probabilitas pengukuran untuk jatuh didalam

batas jangkauan x1 bacaan rata-rata adalah:

P ex x

x x x x

m

mm=

+ − −∫1

1 2 212

2

σ πσ( ) / dx (4-16)

Dengan memasukkan substitusi variabel

ησ

=−x xm

persamaan (4-16) menjadi :

P e= −

+

∫12

2 2

1

1

πηη

η

η / d (4-17)

dimana : η1 = x1/σ (4-18)

Nilai fungsi kesalahan normal Gauss :

12

2 2

πηe− /

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

38

Page 15: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

Integral fungsi Gauss sesuai dengan persamaan (4-17) diberikan pada tabel 1

dan 2.

Jika kita mempunyai cukup banyak titik data, kesalahan untuk setiap titik harus

mengikuti distribusi Gauss dan kita dapat menentukan probabilitas suatu data

tertentu masuk dalam deviasi tertentu dari harga rata-rata. Tabel 3 berisikan

peluang untuk deviasi tertentu dari nilai rata-rata kurva distribusi normal.

Tabel 3. Peluang untuk deviasi dari nilai rata-rata distribusi normal.

Deviasi peluang hasil untuk jatuh dalam deviasi tertentu ± 0,6745 σ 1-1 σ 2,15-1 2σ 21-1 3σ 369-1

Contoh 4-5

Hitunglah probabilitas bahwa suatu pengukuran jatuh dalam satu, dua,

dan tiga deviasi standar dari nilai rata-rata, dan bandingkan dengan nilai

dalam tabel 3.

Jawab :

Kita lakukan perhitungan dengan menggunakan persamaan (4-17) dan

η1 = 1, 2 dan 3. Nilai integral didapatkan dari tabel 2 :

e d e d− −

+= ∫∫ η ηη

η

ηη η

2 22 2

0

1

1

12/ /

sehingga : P(1) = (2)(0,34134) = 0,6827

P(2) = (2)(0,47725) = 0,9545

P(3) = (2)(0,49865) = 0,9973

dengan menggunakan taruhan dalam tabel 3, probabilitas dapat dihitung

sbb:

6827,0115,2

15,2)1( =+

=P

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

39

Page 16: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

9545,0121

21)2( =+

=P

9973,01369

369)3( =+

=P

Lampiran.

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

40

Page 17: Bab4-Alat Bantu Alat Ukur

Asyari Daryus – Alat Bantu dan Alat Ukur Universitas Darma Persada – Jakarta.

41