Bab2_1ModelTradisional

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 2-1

MODEL MATEMATISSISTEM DINAMIS

PENDAHULUAN

KLASIFIKASI SISTEM

MODEL MATEMATIS SISTEM FISIS

PEMODELAN STATE SPACE



PENDAHULUAN

Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus dibuat model fisisnya.

Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem tsb secara memadai.

Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistem ybs.- Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum

Newton.- Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum

Kirchoff, Ohm.

Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yang menggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai.

Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan memodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalam analisis yang teliti.

Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi hasil analisis.



Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktor- faktor penting saja dalam pemodelan.

- Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial), akan menghilangkan sifat-sifat nonlinear tertentu dan parameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada pada sistem.

- Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidak dapat digunakan pada frekuensi tinggi.

Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu menggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi sistem mekanis dengan sistem elektrik).

Dua pendekatan analisis :- Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO)- State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)



KLASIFIKASI SISTEM

- LINEAR VS NONLINEAR

- TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING

- CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME

- DETERMINISTIC VS STOCHASTIC

- LUMPED- VS DISTRIBUTED - PARAMETERS

- TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE



- LINEAR VS NON-LINEAR

- Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkat tertentu.

- Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapat dianggap linear (piece-wise linearisation)

Daerah linear

- Sistem linear : berlaku hukum superposisi:- respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda

merupakan kombinasi respons masing-masing input.

- Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal.

- Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengaja disertakan dalam sistem kendali untuk optimasi unjuk kerja.- Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu,

sistem kendali pesawat dan sistem peluru kendali.



TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING

- Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yang konstan, tak tergantung waktu.

- Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.

- Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yang berubah terhadap waktu.

- Respons nya tergantung pada waktu diberikan input.

- Contoh Sistem Kendali Time-varying:Sistem kendali pesawat ruang angkasa : bobotnya berkurang akibat konsumsi bahan bakar.

CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME

- Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyal yang kontinyu terhadap waktu.

- Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel /sinyal yang diskrit terhadap waktu.



DETERMINISTIC VS STOCHASTIC

- Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu input yang dapat ditebak dan berulang / konsisten.

- Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidak selalu menghasilkan output yang sama.

LUMPED- VS DISTRIBUTED – PARAMETERS

- Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggap bahwa parameter-parameter komponen tsb dapat dimodelkan secara terkumpul disatu titik.

- Dicirikan dengan persamaan differensial biasa.

- Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan, misalnya pada sistem transmisi.

- Dicirikan dengan persamaan differensial parsial.



TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE

- Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear, kontinyu, time-invariant, lumped-parameters, deterministik, dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih) yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantu analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain waktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).

- Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi (ditandai dengan MIMO, non-linear, time-varying, optimal, robust) harus digunakan pendekatan state space yang bersifat domain waktu.



Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)

L R

e c e

Hukum Fisis : KirchoffPersamaan dinamis sistem/ Persamaan differensial

ii

o diL Ri

dt1

1

cidt ei

cidt eo

Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)

sLI (s) RI (s)1

I (s)Cs

Ei (s)

1 I (s)

sCEo (s)

I (s)

CsEo (s)

s 2 LI (s)

RsI (s)I (s)

csEi (s)

Fungsi alih :

E (s)

I (s)C 1

2E i (s)s 2 L Rs

1 I (s)

CRCs 1

+

Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2)

R L1

e(t)i1(t)

C -i2(t)

L2

e0(t)

e(t )

e L

Ri1 L1

di2

di1 e dt 0 (1)

(2)0 2 dt

ic i1 (t )

d

i2 (t )

(t ) i1 i2 C de

0

(3)

i C e 0 dtc dt

2 0

2 1 1 2

Transformasi Laplace :

E (s)E (s) sL I ( s) (2) I ( s) 0 (2)0 2 2 2 sL2

I1 (s) I2 (s) sC E0 (s) (3)

E (s) R sL1

E (s)

I1 (s)

E

E0 (s) (1)

( s)I1 (s) 0

R sL1

(1)

(1) & (2) (3)

E ( s)

E (s) E (s) 0

R sL1

0

sL2

sC E0 ( s)

SL E (s) sL E (s) R sL E (s)2 2 0 1 0sC E0 (s)

R sL1 sL2

sL2 E s R s L1 L2 E0 s R sL1 s2 L C E (s)

sL2 E (s) 2s L2 C R sL1 s L1 L2 R E0 (s)

E0 (s) sL2

E (s) s2 L C R sL s L L R

sL2

s3 L L C s2 L CR s L L R1 2 2 1 2

i

o


R2 Op Amp ideal :2 Zin = ~

R1

Sehingga i0 = 0-

ei

i1

exi0 + eo

ex ~ 0 virtual ground,sehingga

i 1 i 2

Persamaan Rangkaian:

ei ex

R1

ex eo

R2

ei eo

R1 R2

Diperoleh:

e R

2 e:R1

i i2

1

i3


i2 c i1 i2 i3

R ei ex3 1

RR

1

~ ei

Ri

- i1

ex +

ei e

o

i C d (ex

2 dt

eo )

~Cdeo

dtex eo ~

eo

R2 R2

e de e i C o o

R1 dt R2

Ei (s)

R1

sehingga

Eo (s)

sCEo

R2

(s)Eo (s)

R2

1Ei (s) R1 R2 Cs 1

Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Translasi(1)

u input

k

m

y output

pada t < 0 : sistem tak bergerak pada t = 0 gerobak di gerakan dengankecepatan konstan

bdu

kons tandt

y = output relatif terhadap ground

d 2 y m b

dy duk y u 0

dt 2

2

dt dt

m d y

b dy

ky b du

kudt 2 dt dt

Laplace :

ms 2

Y (s)

bs k

bs

Y (s)

k

bs k U (s)

U (s) ms 2 bs k

Model untuk Sistem Mekanis : Translasi(2)

x

k

m gaya luar f

b

Hukum Newton kedua :

ma FM = massa, (kg)A = percepatan, m / s2

F = gaya, Nd 2 x

m dxb kx fd 2 dt

Laplace :

ms2 X (s) bs X ( s)

kX ( s)

F ( s)

Diperoleh Fungsi Alih:

X (s) 1

F ( s) ms2 bs k

Ambil : f = (t) , sehingga F(s) = 1; m= 1; b=2; k = 1

X (s)1

s2 2s 1

1

(s 1)(s 1)

J

Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi

Ja T

J = momen inersia beban kg m2

= percepatan sudut beban rad / s2

T = torsi yang diberikan pada sistem Nm

JT w

d 2q2

b

b dq

Tdt dt

atau := kecepatan sudut rad / s= simpangan sudut (rad)

J dw

dtbw T

e f

k

Model Matematis untuk Generator DC :

Rf Rg Lg

ef Lf

if

eg

ea

zL

ia

if = arus medan n

Kecepatan konstan n

ia = arus jangkar

Arus output ia dapat dikontrol dari besarnya arus if

eg k1 n f

f k2 i f

eg kg i f(1)

Konstanta generator

KVL pada kiri/input :

(1) : R f i f L f

egi

dif

dt(2)

(3)fg

Substitusi (3) - (2):

ege f R f

L f deg

kg kg dt

k

R

e

Dalam Laplace:

1E f (s) R f

g

sL f E g (s)

FungsiAlih :

E g (s) k g

E f (s) R f sL f

KVL pada loop kanan/ouput

ea eg ia Rg Ldia ;gdt

ea ia zL

Atau:

ia ea

zL

Substitusi :

e Lg deea eg

a g

a

zL z L dt

Rg Lg deeg eat

a a

Eg (s)

zL

1Rg

z L dt

sLg Ea (s)z L (s) z L (s)

z (s) L

zL (s)Ea (s)

Diperoleh:

Ea (s)

Eg (s) zL (s)

zL (s)

Rg Lg s

Sehingga :

Ea (s)

E f ( s)

Eg (s)

E f (s)

Rg

E (s) x a

E g (s)

zL (s)

R sLfx

zL (s) Rg sLg

k

Model Matematis untuk Motor DC denganPengontrolan Arus Jangkar

Rm L

m

rangkaian jangkar

ea

em

ia

o(t)

J

simpangan sudut

inersiaia

= arus jangkar Lf B = damping

If

Ef = konstan

if = arus medan

em = tegangan terinduksi

em k1 f n n= kecepatan rotasi (putaran)motor

f k2 i f

If = konstan

= konstan

sehingga

em ke n ke

dqoe

dt= konstanta tegangan motor

s

Persamaan rangkaian :

ea Rm ia Lm

ea Rm ia Lm

dia

dt

dia

dt

em

k dqo e dt

Ea (s) Rm sLm I a ( s)

ke sqo ( s)

Persamaan Beban

Torsi yang dihasilkan motor : sebanding dengan fluksi (yang dalam hal ini konstan) dan sebanding dengan arus jangkar ia

T = kT . ia

KT = konstansta torsi motor

d 2q dqT J o B

dt 2 dt

atau :kT I a(s) Js2 B o (s)

sehingga :

o (s) kT

2 2Ea s J Lm s Rm J Lm B s Rm B ke kT s

a

m

2

Dengan definisi :

T Lm

Rm

T J Rm

ke kT

Konstanta waktu jangkar

Konstanta waktu motor

g Rm B

ke kT

Faktor redaman

Diperoleh:

s s kT

Ea s s TaTm s Tm g Ta s g 1

y

Model Matematis untuk Motor DC denganPengontrolan Arus Jangkar :

back emf voltRa La

ea

ebia

simpangan sudut pores motor rad

J

ia

= arus jangkar

moreninersia

b = kref gesekan motor + bebanNm / rad/s

if konstan

arus medan

motor + bebankg m2

torsi yang dihasilkan motor, Nm

Fluksi oleh arus medan :

y k f i f Konstan untuk if konstan

Torsi T :

T ki ia f ki ia k f i f k ia

k = konstanta motor - torsi

Tegangan Back EMF:

Tegangan EMF: proporsional terhadap fluksi (konstan) &kecepatan sudut putaran poros motor.

dqeb kb dt

Persamaan input :

L dia

a dt

Ra ia eb ea

Persamaan output :

T k id 2q

J b dq

a dt 2 dt

If

Model Matematis untuk Sistem Generator-MotorWard-Leonard

Generator dc mendrive motor dc dengan pengontrolan arus jangkar

Konfigurasi dasar :

Rf Rg

Lg

Rm

Lm

ef L

fif

n

eg e

m

ia o

Jgenerator dc

B E

f

servo motor

Fungsi alih :

E g s

E f s

k g

R f sL f

Persamaan Loop kanan :

eg Rg Rm ia Lg Lm din

dtk

dqo e dt

Eg (s) Rg Rm s Lg Lm Ia (s) ke s o (s)

Persamaan Beban :

d 2q o dqT J B o

d 2 dt

kT I a (s)

Js2

Js2 Bs

B

o (s)

atau :

I a (s) s

kTo (s)

ea eg Rm Rm Rg ; Lm Lm Lg , sehingga

o (s)

Eg (s) s J L L s2

kT

R R J L L B s R R B k km g m g m g m g e T

sehingga :

o s o ( s ) Eg (s)x

e f (s) Eg (s) E f (s)

= ……………………..

d q

a

Model Matematis untuk Motor DC denganPengontrolan Arus Medan

Rf Ia = arus jangkar konstan

ef

Lf E

if

if = arus medan

Jo(t)

B

Torsi yang dihasilkan motor :

T ~ fa kons tan

sehinggaT = kT . if

~ i f

Pers beban :

d 2q dqT J o

dt 2 B o

dt

Ji f kT

2 o

dt 2

dqB o

dt

Pers loop kiri / input :

e i R L di f

f f f f dt

Diperoleh:

q o ( s )

kT R f B

E f ( s )

s 1 T f s 1 Tm s

LfT f Rf

J

Konstanta waktu rangkaian

Tm B Konstanta waktu motor

Bab2_1ModelTradisional

Documents

Transcript of Bab2_1ModelTradisional