Bab2. Integral Tak Wajar

11
Mat2-unpad INTEGRAL TAK WAJAR 1

Transcript of Bab2. Integral Tak Wajar

Page 1: Bab2. Integral Tak Wajar

Mat2-unpad

INTEGRAL TAK WAJAR1

Page 2: Bab2. Integral Tak Wajar

Mat2-unpad

Integral Tak Wajar

Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlahreiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :

b

a

dxxf )(

a. Batas pengintegralan berhingga

b. Integran(f (x)) kontinu pada selang pengintegralan

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral itu disebut integral tak wajar

Jenis-jenis integral tak wajar

a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga

b. Integral tak wajar dengan integran tak kontinu

2

Page 3: Bab2. Integral Tak Wajar

Mat2-unpad

a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak HinggaDefinisi :

b

a

b

adxxfdxxf )(lim)(

b

aab

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen

(i)

(ii)

(iii)

c

cdx)x(fdx)x(fdx)x(f

b

cb

c

aadx)x(flimdx)x(flim

cdx)x(f

c

dx)x(f

dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen

3

Page 4: Bab2. Integral Tak Wajar

42

1lim

2 be x

b

Mat2-unpad

Contoh: Periksa kekonvergenan ITW

0

2

dxxe xdxxxe

4

2

)xx(

dx

522a. b. c.

Jawab :

dxxedxxxeb

x

b

4

2

lim4

2a.

2

1

2

1

2

1lim

2

a

ae

Jadi integral tak wajar konvergen ke

b.

ae x

a

0

2

1lim

2

dxxedxxxea

x

a

0

2

lim0 2

1616

2

1

2

1 2

eeelim b

b

Jadi integral tak wajar konvergen ke -1/2

16

2

1 e

4

Page 5: Bab2. Integral Tak Wajar

Mat2-unpad

12

1

2 5252522 xx

dx

xx

dx

)xx(

dx

1

122 52

lim52

lima

b

ba xx

dx

xx

dx

b

x

ba

x

a1

211

1

211 tan

2

1limtan

2

1lim

1tantan2

1limtan1tan

2

1lim 1

211

2111

b

b

a

a

422

1

242

1

c.

2

2

Jadi integral tak wajar konvergen ke

5

Page 6: Bab2. Integral Tak Wajar

Mat2-unpad

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Kontinu

(i) Integran Tak Kontinu di Ujung Selang

Jika f kontinu pada [a,b) dan maka

)x(flimbx

s

abs

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

Jika f kontinu pada (a,b] dan maka

)x(flimax

b

tat

b

a

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan konvergen, sebaliknya dikatakan divergen

6

Page 7: Bab2. Integral Tak Wajar

Mat2-unpad

(ii) Integran Tak Kontinu di Titik Dalam Selang Pengintegralan

Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan

)(lim xf

cxmaka

b

cdxxf

c

adxxf

b

adxxf )()()(

b

tdxxf

s

a ctdxxf

cs)(lim)(lim

I II

Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajarb

a

dxxf )(

konvergen.

7

Page 8: Bab2. Integral Tak Wajar

Mat2-unpad

Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar

1

0

dxx

xln

Jawab :

x

xln)x(f Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan

x

xlnlim

x 0maka

1

0

1

0

lnlim

ln

tt

dxx

xdx

x

x

tx

t

1)(ln

2

1lim 2

0

2

0)(ln0

2

1lim tt

Integral tak wajar divergen

8

Page 9: Bab2. Integral Tak Wajar

dxx

x

2

0 1

Mat2-unpad

dxx

x

2

0 1

Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar

Jawab :

Fungsi diskontinu di x=1 ,x

xxf

1)(

2

1

1

0

2

0 111dx

x

xdx

x

xdx

x

x

s

tts

dxx

xdx

x

x

0

2

11 1lim

1lim

0|1|lnlim1

sss

ss

ssxxdx

x

x

0011

|1|lnlim1

lim

Karena

maka integral tak wajar divergen

x

x

x

xxx 1limdan

1lim

11

9

Page 10: Bab2. Integral Tak Wajar

Mat2-unpad

Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan integran diskontinu pada batas pengintegralan, seperti contoh Berikut.

Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar

0 1dx

x

x

Jawab :Integral diatas merupakan integral tak wajar karena - batas atas integral tak hingga

sehingga

0 1dx

x

x

1

0

2

1 2 111dx

x

xdx

x

xdx

x

x

x

xxf

1)( diskontinu di x = 1,

x

x

x

xxx 1limdan

1lim

11

10

Page 11: Bab2. Integral Tak Wajar

Mat2-unpad

b

btt

s

s

dxx

xdx

x

xdx

x

x

2

2

101 111 limlimlim

Karena

0111 10

011

|s|lnslim|x|lnxlimdxx

xlim

s

ss

ss

Maka integral tak wajar divergen .

0 1dx

x

x

Soal-soal latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

024 x

dx

0 4 dxxe

1

1 x

dx

1

0 21 x

dxa. b. c. d.

222 )1( x

dxxe.

11