BAB I

BAB I

POLYNOMIAL DAN INTERPOLASISebagian besar fungsi dalam matematika tidak dapat dievaluasi dengan tepat dengan cara yang sederhana. Polynomial adalah bentuk yang paling sering digunakan untuk mengevaluasi suatu fungsi yang kontinu. Bentuk polynomial derajat n dalam aljabar yang telah kita kenal sebagai berikut :

pn(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ..+ an xn

Semua fungsi matematik dapat didekati dengan bentuk polynomial diatas. Koefisien ao, a1, .., an dalam polynomial harus diketahui agar bentuk polynomial tersebut dapat digambar. Untuk itu kita ambil, katakan pada titik j yaitu xj, maka bentuk polynomial diatas ditulis :

pn(xj) = ao + a1 xj + a2 xj2 + a3 xj3 + ..+ an xjn

Bila j = 0,1,2,,n maka dapat ditulis dalam bentuk matrik berikut :Dalam bentuk matrik ditulis :

1x0 x0n-1x0na0

p0

1x1 x1n-1x1na1

p1

1x2 x2n-1x2na2=p2 (1-1)

.... ..

....

..

1xn xnn-1xnnan

pn

Dari (1-1) dapat dihitung ao, a1, a2, a3,, an Contoh :Cari polynomial derajat dua yang melalui titik (xj,pj) berikut :

j :012

xj :012

pj :149Solusi :

Dari rumus (1-1) maka didapatkan :

100 ao 1

111 . a1= 4

124 a2 9

Setelah dilakukan dengan eliminasi, maka didapatkan :

ao = 1

a1 = 2

a2 = 1dan persamaan polynomial didapat :

p2(x) = 1 + 2x + x21-1. Polynomial Taylor

Polynomial Taylor adalah identik dengan polynomial aljabar diatas, akan tetapi menyangkut dengan fungsi yang mempunyai turunan. Bentuk polynomial Taylor dengan aplikasi pada gambar 1-1a adalah sebagai berikut f(b) = f(a) + h(a) +

(a) +

(a) +...+

(a) (1-2)Dengan f(b) = f(a+h) dan h = b-a. Persamaan (1-1) menyatakan bahwa f(b) dapat dihitung berdasarkan fungsi pada titik x = a yaitu f(a) beserta turunannya.

f

f f(b) f(a)

f(a) f(b)

h

h

a b x b a x (a)

(b)

Gambar 1-1 : f(a+h) dan f(a-h)Dalam arah x, titik b terletak pada sebelah kanan dari a atau dengan kata lain dari f(a) bergerak ke kanan menuju f(a+h) seperti tanda panah pada Gambar 1-1(a). Apabila titik b berada pada sebelah kiri dari a (Gambar b) maka fungsi bergerak dari kanan ke kiri (tanda panah ke kiri). Pada Gambar (b) bahwa h = a-b. Dengan tetap menjaga seperti diatas bahwa h = b-a maka dalam hal ini untuk gambar (b) haruslah h = -(b-a) = (a-b). Oleh karena itu bentuk polynomial Taylor (1-2) berubah menjadi :f(b) = f(a) - h(a) +

(a) -

(a) +...-

(a) (1-3)Dengan f(b) = f(a-h). Persamaan (1-2) dan (1-3) merupakan bentuk dasar dari metode beda berhingga yang mana persamaan (1-1) adalah prinsip untuk beda kanan dan (1-2) adalah untuk beda kiri.Polynomial Taylor diatas dapat digeneralisir dengan membuat h = (x, a = x, b =(x+(x) pada gambar 1-2(a) dan b =(x-(x) pada gambar 1-2(b). Oleh karena itu persamaan (1-2) dan (1-3) masing-masing menjadi sebagai berikut :

f

f f(x+x) f(x)

f(x) f(x-x)

x

x 0 x x+x 0 x-x x (a)

(b)

Gambar 1-2 : f(x+x)dan f(x-x)f(x+(x) = f(x) + (x(x) +

(x) +

(x) + ..+

(x) (1-4)f(x-(x) = f(x) - (x(x) +

(x) -

(x) + .-

(x) (1-5)Persamaan (1-4) dan (1-5) adalah polynomial Taylor. Bila persamaan tersebut dirubah ke bentuk diskret dengan mengganti x menjadi i dan x menjadi 1 untuk mempermudah didalam pemrograman sehingga menjadi :f(x + x) = fi+1 , f(x-x) = fi-1, f(x) = fi , , dan . Dengan demikian maka persamaan (1-4) dan (1-5) menjadi :fi+1 = fi + (x +

+

+ ..+

(1-6)fi-1 = fi - (x +

-

+ ..-

(1-7)Gambar (1-2) menjadi sebagai berikut :

fi+1

fi fi-1

x

i-1 i i+1 x Gambar 1-3 : fi+1 dan fi-1Contoh : f(x) = , cari fungsi polynomial Taylor yang mendekati fungsi tersebut pada titik disekitar a = 1. Pendekatan pertama akan dilakukaan dengan polynomial Taylor derajat satu. Untuk derajat satu, persaamaan (1-2) menjadi :

P1(x) = f(a) + (x-a) (a)

Kita masukkan nilai f(x=a) = , (x=a) = dan dengan a = 1 maka didapatkan persamaan linier :

P1 = + (x-1) atauP1 = 1,359x

Pendekatan kedua dipilih polynomial Taylor derajat dua. Untuk derajat dua. persamaan (1-2) menjadi :

P2(x) = f(a) + (x-a) (a) + (a)Dengan (x=a) = dan (a) = maka persamaan menjadi :

P2 = + (x-1) +

EMBED Equation.3 atauP2 = 0,6795 + 0,6795x2 Gambar 1-4 : Fungsi

Nilai hasil perhitungan dapat dilihat pada tabel 1-1 dibawah ini.Tabel 1-1 : Nilai fungsi ex

xEksakP1P2

0,00,5000,0000,680

0,20,6110,2720,707

0,40,7460,5440,788

0,60,9110,8160,924

0,81,1131,0881,114

1,01,3591,3601,359

1,21,6601,6321,658

1,42,0281,9042,011

1,62,4772,1762,419

1,83,0252,4482,881

2,03,6952,7203,398

Untuk dua variabel, polynomial Taylor adalah sebagai berikut :

f(x+x,y+y) = f(x,y) + + +

(1-8)1-2 Polynomial LagrangePolynomial yang telah dipelajari diatas merupakan fungsi pendekatan dengan polynomial dengan suatu fungsi yang diberikan dan turunan-turunannya pada suatu titik. Polynomial ini digunakan untuk interval yang kecil dengan turunannya. Kita menentukan polynomial derajat satu yang melalui titik (xo,yo) dan (x1,y1). Tinjau polynomial berikut :

(1-9)Bila x = xo maka dari (1-9) :

P(xo) = 1.yo + 0.y1 = yo

dan bila x = x1 maka didapat :

P(x1) = 0.yo + 1.y1 = y1Metode untuk menentukan P adalah metode interpolasi.

Untuk generalisir konsep interpolasi linier, tinjau polynomial derajat n yang melalui titik n +1 yaitu (xo,f(xo)), (x1,f(x1),.., (xn,f(xn) (Gambar 1-5) yang dibuat dengan persamaan berikut :

Gambar 1-5 : Polynomial melalui tiga titik

dan

Bila x = xo , Lo(xo) = 1 sementara L1(x1) = 0 dan bila x = x1 , Lo(x1) = 0 sementara L1(x1) = 1.

Untuk generalisir kita membuat Ln,k(x), dengan k=0,1,2,,n, dengan sifat Ln,k(x) = 0 bila i k dan Ln,k(x) = 1 bila i = k. Untuk memenuhi agar Ln,k(x) = 0 maka numerator dari Ln,k harus mengandung :

(x xo)(x - x1) (x xk-1)(x - xk+1)(x - xn).

(1-10)Untuk memenuhi Ln,k(x) = 1, denominator Lk harus sama dengan (1-10) bila x = xk. Oleh karena itu maka :

(1-11)

Persamaan (1-11) disebut polynomial Lagrange.

1-3 Interpolasi Polynomial

Berikut ini bentuk polynomial yang dapat ditentukan ari titik-titikyang harus dilaluinya.Tinjau polynomial derajat satu (linier) yaitu persamaan (1-9) yang dapat ditulis dalam bentuk berikut :

(1-12)

Gambar 1-5 : Fungsi y = P1(x)Bila x = xo maka dari (1-9) didapat P1 = yo dan x = x1 maka P1 = y1.

Fungsi ini interpolasi nilai yi pada titik xi dimana i = 0,1 atau :

P1(xi) = yi, i = 0,1

Contoh :

Misalkan data (2,1/2) dan (4,1/4) maka menurut (1-9) didapat :

=

Adapun gambar dari masing-masing ditunjukkan pada gambar 1-6.Sebagian besar data dari suatu kurva berbentuk lengkung dan tak-linier. Untuk hal tersebut mari kita lihat polynomial derajat lebih besar satu. Katakan ada tiga titik (xo,yo), (x1,y1) dan (x2,y2).

Gambar 1-6 : Fungsi y = 1/x dan Kita membuat polynomial kuadrat yang melalui ketiga titik tersebut seperti berikut :

P2(x) = yoLo(x) + y1L1(x) + y2L2(x)

(1-13)

dengan : ,

Persamaan (1-13) disebut rumus Lagrange untuk interpolasi kuadrat polynomial dan Lo, L1, dan L2 disebut fungsi basis interpolasi Lagrange.

Setiap polynomial Li(xj) mempunyai derajat 2 dan oleh karena itu P2(x) mempunyai derajat 2 dengan :

Li(xj) = 0 bila i j dan

Li(xj) = 1 bila i = j Dengan demikian, kita dengan mudah bahwa P2(xi) interpolasi data P2(xi) = yi.

Untuk interpolasi derajat yang lebih besar yaitu derajat n diberikan oleh rumus (1-11) diatas.

Contoh : Interpolasi melalui titik (0,2), (0,5) dan (1,4)Dari (1-13) maka :

Lo(x) = 2x2 3x +1

L1(x) = -5x2 + 4x

L2(x) = 2x2 xSehingga P2(x) = -8x2 + 10x +2 (Gambar 1-7)

Gambar 1-7 : P2(x)Soal latihan : Buatlah pendekatan dengan polynomial Taylor derajat satu dan dua dari

1. f(x) = , a = 1

2. f(x) = sin(x) , a = /4

3. f(x) = log(1 + ex), a = 0

Hitung polynomial kuadrat P2(x) yang menginterpolasikan data berikut :

1. {(0,1), (1,2), (2,3)}, 2. {(0,1), (1,1), (2,1)}

PAGE 12

_1231953283.unknown

_1232006864.unknown

_1232122632.unknown

_1270310252.unknown

_1270606905.unknown

_1270613704.unknown

_1270613784.unknown

_1270613597.unknown

_1270310292.unknown

_1270204135.unknown

_1270308991.unknown

_1270204518.unknown

_1270201612.unknown

_1232006955.unknown

_1232122483.unknown

_1232121432.unknown

_1232006919.unknown

_1232005808.unknown

_1232006451.unknown

_1232006821.unknown

_1232006435.unknown

_1232006300.unknown

_1232006276.unknown

_1231953320.unknown

_1231953321.unknown

_1232005754.unknown

_1231953318.unknown

_1231952989.unknown

_1231953223.unknown

_1231953251.unknown

_1231953267.unknown

_1231953092.unknown

_1231953044.unknown

_1231912102.unknown

_1231912130.unknown

_1231912139.unknown

_1065721433.unknown

_1231908915.unknown

_1231908980.unknown

_1231908950.unknown

_1186933660.unknown

_1231908882.unknown

_1065721508.unknown

_1065721380.unknown