Bab1 Metoda Matriks Opt Geometri

I-1

I. METODA MATRIKS DALAM OPTIKA GEOMETRI

1.1. Sistem Optik

Sistem optik terdiri dari sejumlah elemen yang berfungsi optik secara khusus

(elemen fungsional), seperti; lensa, cermin, dst. Sebelum melangkah lebih jauh, akan

diperkenalkan pengertian sumbu optik. Sumbu optik adalah suatu garis lurus utama

dalam suatu sistem optik yang menjadi acuan utama bagi arah penjalaran sinar (lintasan

sinar).

1.1.1. Optika Gaussian

Dalam optika gaussian kita meninjau arah lintasan optik yang hampir sejajar

dengan sumbu optik dari sistem yang bersangkutan (berkas yang bersifat paraksial).

Perhatikan Gb. 1.1 di bawah ini.

Arah sinar

sumbu optik Gb. 1.1

Dengan kata lain, bagi berkas sinar Gaussian berlaku aproksimasi sin . Dalam sistem ini, berkas sinar yang berasal dari suatu titik objek tidak akan menghasilkan lebih

dari satu titik citra. Berarti masalah aberasi dapat diabaikan dalam sistem ini. Sistem ini

dapat dipandang sebagai suatu black box dan dikaji dengan analisis secara linear

berdasarkan metoda matriks, seperti dijelaskan oleh gambar dibawah:

Input output

Gb. 1.2

Penerapannya pada sistem optik dalam dua dimensi ditunjukkan oleh Gb. 1.3:

dcba

DIKTAT OPTIKA MODERN Rahmat & Tjia

I-2

Gb. 1.3

Koordinat yang kita pakai untuk menspesifikasikan atau merepresentasikan keadaan

berkas sinar adalah posisi (titik sinar masuk dan keluar, x) dan arah (sinar masuk dan

keluar, ). Dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai:

n

xatau

x

=

Jadi hubungan antara keadaan sinar masuk dan sinar keluar dapat dituangkan dalam

persamaan matriks:

=

=

1

1

1

1

2

2

x

Tx

DCBAx

dengan T = merepresentasikan fungsi sistem optik tersebut, dan A, B, C dan D

merupakan perangkat parameter tetap bagi sistem optik tertentu.

Jelas atas dasar empiris bahwa fungsi optik tersebut harus bersifat bolak-balik.

Artinya hubungan antara keadaan sinar masuk dan sinar keluar tetap sama bila peranan/

status masukan dan keluaran ditukar. Secara matematik ini berarti adanya matriks

inversi dari T , yaitu 1T yang memenuhi syarat:

112

21

1

1

=

=

TT

xT

x

Ini berarti selanjutnya bahwa

[ ] 0det T dan


I-3

[ ] 1det 1 = TT atau

[ ] [ ] 1detdet 1 = TT yang menghasilkan kesimpulan bahwa

[ ] [ ] 1detdet 1 == TT Matriks yang memenuhi persyaratan ini dan transformasi yang bersangkutan dikenal

dengan sebutan unimodular. Perhatikan bahwa hasil kali 2 matriks unimodular tetap

unimodular.

1.2. Karakterisasi Sistem Optik dengan Matriks Transfer

Ciri-ciri dari fungsi sistem optik dapat diungkapkan melalui matriks transfer

tersebut.

1. D = 0

Untuk kasus ini akan diperoleh hubungan:

12

112

CxBAxx

=+=

.

Tafsiran fisis dari persamaan ini dapat dilihat dari Gb. 1.4 di bawah:

bidang masuk bidang keluar

(bidang fokal depan)

Gb. 1.4

Semua sinar masuk melalui 1 titik pada bidang masuk dengan sembarang sudut

masuk, akan diolah oleh sistem sehingga keluarannya berupa sinar-sinar yang

paralel (sudut keluarannya konstan tapi titik keluarannya banyak)


I-4

2. B = 0

Untuk kasus ini berlaku :

112

12

DCxAxx

+==

dimana 1

2

xxA = = faktor magnifikasi posisi. Kembali perhatikan Gb. 1.5

dibawah:

Gb. 1.5

Semua sinar masuk melalui satu titik pada bidang fokal depan dengan

sembarang sudut masuk, akan diolah oleh sistem sehingga keluaranya berupa

sinar-sinar yang keluar pada satu titik pada bidang keluar (sudut keluaran bebas).

3. C = 0

Persamaan matriksnya:

=

1

1

2

2

0 x

DBAx

atau 22

212

DBAxx

=+=

Untuk kasus ini perhatikan Gb. 1.6 di bawah:

Gb. 1.6


I-5

Apabila pada suatu sistem optik diberikan sinar yang masuknya sejajar dan

sembarang posisi pada bidang masukan, maka sistem itu akan mengolah sinar

tersebut sehingga keluarannya di bidang keluaran berupa sinar-sinar yang

sejajar pula. Walaupun sejajar, besar sudut masuk tidak sama dengan besar sudut

keluar dengan faktor maknifikasi sudut 1

2

=D .

4. A = 0

Persamaan matriksnya:

=

1

1

2

2 0x

DCBx

atau 112

12

DCxBx

+==

Perhatikan Gb. 1.7 di bawah:

Gb. 1.7

Artinya, apabila sinar datang dengan sudut tertentu pada bidang masukan maka

sistem optik akan mengolah sinar tersebut sehingga pada bidang keluaran sinar

tersebut keluar di satu titik dengan sembarang sudut keluaran.

1.3. Deskripsi Proses Penjalaran Sinar dalam Sistem Optik

Dalam suatu sistem optok Gaussian, berkas sinar akan mengalami 2 macam

proses:

1. Pergeseran kedudukan sepanjang garis lurus (translasi) yang terjadi dalam suatu

medium homogen.

2. Proses pembiasan (refraksi) yang terjadi pada batas dua medium yang berbeda.


I-6

1.3.1. Translasi ( )


Gb. 1.8

Sepanjang perambatan sinar, dari bidang masukan sampai bidang keluaran, dalam

medium yang berindeks bias n, terjadi perubahan koordinat berkas, yaitu dari

1

1

x

menjadi

2

2

x

. Karena kita meninjau sinar-sinar paraksian maka dapat dilakukan

aproksimasi: == 21 .

Persamaan matriks untuk perubahan ini adalah:

=

2

2

x

1

1

x

Dari Gb. 1.13 diperoleh persamaan : 112 tandxx += . Sesuai dengan pembatasan yang kita berikan ( hanya meninjau sinar-sinar paraksial ), maka:

112 dxx += atau

+=ndxx 112 ,

karena n

11

= dan 12 = . Sehingga dengan demikian, persamaan matriks yang berkenaan dengan keadaan ini:

=

1

1

2

2

10

1x

ndx

dengan matriks translasi:


I-7

=

10

1nd

1.5.2. Matriks Pembiasan ( )

Tinjau batas permukaan antara dua media, masing-masimg berindeks bias n1 dan

n2, yang berupa permukaan bola berjari-jari R dan berpusat di titik C. Perhatikan Gb.

1.9 di bawah ini.

Gb. 1.9

Dari gambar dapat dibaca bahwa:

+= 1m , dan 2 +=b

dan untuk sinar-sinar paraksial dapat dilakukan aproksimasi (ingat bahwa xxx == 21 ):

Rxi m 11...........).........( += , dan

Rxii b 22.................).........( +=

Kalikan persamaan (i) dengan n1 dan persamaan (ii) dengan n2, sehingga diperoleh:

Rxnnn

Rxnnn

b

m

22222

11111

+=

+=

karena iiin = (dengan i = 1, 2), maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai:


I-8

22

22

11

11

.......).........(

......).........(

xRnniv

xRnniii

b

m

+=

+=

Berdasarkan Hukum Snell: bm nn 21 = , maka dari persamaan (iii) dan (iv) diperoleh hubungan:

( ) 02121 =+ Rxnn , atau

( )Rxnn 2112 +=

Karena xxx == 21 , maka persamaan di atas dapat dituliskan dengan lebih baik sebagai

( )Rxnn 12112 +=

Akhirnya kita mendapatkan persamaan matriks:

=

1

121

2

2

101

x

Rnnx

Kemudian didefinisikan daya pembiasan sebagai:

=R

nnp 21

Jadi matriks pembiasan:

=

1

01p

Apabila R dinyatakan dalam meter, maka p memiliki satuan dioptri.

1.4. Penerapan Matrik Translasi dan Mariks Pembiasan

1.4.1. Sistem planar berlapis majemuk (multilayer system)

Perhatikan Gb. 1.10 untuk sinar yang menjalar di lapisan satu, yaitu dari

1

1

x

ke

2

2

x

. Persamaan matriksnya dapat ditulis sebagai:


I-9

=

1

11

1

2

2

10

1x

ndx

= 1

1

1

x

Untuk sinar yang menjalar di lapisan kedua, yaitu dari

2

2

x

ke

3

3

x

, persamaan

matriksnya dapat ditulis sebagai:

=

2

22

2

3

3

10

1x

ndx

= 2

2

2

x

Dengan mensubsitusi matriks untuk

2

2

x

ke persamaan di atas, diperoleh persamaan

matriks yang menghubungkan

1

1

x

dan

3

3

x

dan diungkapkan sebagai berikut:

=

1

11

1

2

2

3

3

10

1

10

1x

nd

ndx

= 1 2

1

1

x

Gb. 1.10

Jadi secara keseluruhan, kita dapat mencari hubungan antara lapiasan pertama

dengan lapisan ke N+1 dan dinyatakan dalam persamaan matriks:

=

+

+

1

11

1

2

2

1

1

1

1

10

1

10

1.....10

1

10

1x

nd

nd

nd

ndx

N

N

N

N

N

N

=

+

+

1

1

N

Nx N N-1 2 1

1

1

x

, atau


I-10

=+

+ =

N

iN

Nx

11

1

i

1

1

x

Apabila kita definisikan; total = =

N

i 1

i, maka persamaan matriks di atas ditulis dalam

bentuk:

=

+

+

1

1

N

Nx total

1

1

x

, dengan

total =

=

10

11

N

i i

i

nd

1.4.2. Lensa Tunggal


Gb. 1.11

Ada tiga macam proses yang dialami oleh berkas sinar tersebut:

1. Refraksi 1, dengan matriks refraksi 1, yang terjadi pada permukaan pertama

(R1).

2. Translasi, dengan matriks translasi , yang terjadi sepanjang jarak d, yaitu

antara permukaan pertama (R1) dan (R2).


I-11

3. Refraksi 2, dengan matriks refraksi 2, yang terjadi pada permukaan kedua (R2).

Sehingga martiks transfer bagi sistem optik ini dapat dituliskan dalam bentuk:

= 1 2

= 1

01

10

1101

22

1 pnd

p

dengan

1

121 R

nnp = dan 2

212 R

nnp = .

Untuk kasus lensa tipis, kita berikan asumsi tambahan pada sistem optik di atas

yaitu:

0d , 11 =n , dan nn =2 Sehingga matriks transfer tersebut ditulis sebagai:

( )

=

=

=

1101

1111

01

1101

1001

1101

21

21

f

RRn

Rn

Rn

dengan

( )

=

21

1111RR

nf

.

Contohnya untuk lensa cembung-cembung kita memiliki f (+), R1 (+) dan R2 (-), untuk

lensa cekung-cekung kita memiliki f(-), R1(-) dan R2 (+).

1.5. Aplikasi matriks transfer untuk berbagai sistem optik

Akan dibahas sifat-sifat dari lensa dengan menggunakan matriks transfer:

1. Untuk kasus 0d dan f(+).


I-12


Gb.1.12

Persamaan matrik untuk sistem ini dapat ditulis sebagai:

=

1

1

2

21101

x

f

x

atau 112

12

1 +===

xf

xxx

Ingat kembali hubungan antara dan untuk sinar-sinar yang paraksial, yaitu:

iii n dengan =i 1, 2 Apabila hubungan ini kita subsitusikan ke persamaan matriks di atas akan

diperoleh:

0112 =+= , dengan 1 f

x .

Jadi telah kita buktikan sifat dari lensa cembung-cembung yang pertama, yaitu

apabila berkas sinar datang seolah-olah berasal dari titik fokus lensa maka lensa

cembung-cembung akan membiaskan berkas sinar itu sejajar dengan sumbu

utama ( 02 = ).

PR: buktikan sifat lensa cembung-cembung yang lain.


I-13

2. Untuk kasus 0d dan f(-). Perhatikan Gb. 1.13 di bawah:

Gb. 1.13

Persamaan matriks untuk sistem optik ini dapat ditulis sebagai:

=

1

1

2

21101

x

f

x

atau 112

12

1 +===

xf

xxx.

Dapat ditulis juga sebagai:

fx

xxx

12

12

2===

Jadi apabila berkas sinar datang pada sistem lensa cekung-cekung melalui titik

fokusnya, maka berkas sinar itu akan dibiaskna oleh sistem lensa ini menjauhi

dari sumbu utama lensa.

PR buktikan sifat lensa cekung-cekung yang lain.

1.6. Pembentukan Bayangan

Bayangan dibentuk oleh sinar yang berasal dari titik yang sama pada objek.

Khususnya, semua berkas sinar dari suatu titik objek akan diolah oleh sistem optik


I-14

sehingga berpotongan pada suatu titik lain. Perhatikan Gb. 1.14 di bawah:

Gb. 1.14

Persamaan matriks untuk sistem di atas adalah:

=

b

bx o b

o

ox , atau

=

o

obo

b

b xd

f

dx 10

11101

101

+

++

=

o

o

b

bobo

b

b x

dff

df

dddfx

1111111

Andaikan titik objek diambil pada sumbu lensa (xo = 0) maka bayangan akan

ditentukan oleh titik potong dari dua berkas sinar yang berasal dari suatu titik objek

setelah melalui lensa. Salah satu dari berkas tersebut menjalar sepanjang sumbu optik

lensa sehingga tidak dibiaskan oleh sistem optik tersebut. Maka bayangan yang

terbentuk pasti berada di sumbu lensa pula (xb = 0). Sehingga persamaan matrik di atas

dapat diubah kedalam bentuk

+

++

=

ob

bobo

b dff

df

dddf

0

111

11110


I-15

Hubungan persamaan matriks di atas dapat dipenuhi dengan syarat:

011 =

++ bob dfdd , atau

fdd bo111 =+

Apabila hasil di atas disubsitusikan kembali ke persamaan matriks, akan diperoleh:

=

1

1

2

2

11

01

x

fd

f

fd

xb

o

, dan

12 1 xfdx o

=

Sehingga kita bisa mendefinisikan faktor magnifikasi, yaitu:

fd

xxM o== 1

1

2

PR. Kerjakan dengan langkah yang sama untuk sistem dua lensa.


Bab1 Metoda Matriks Opt Geometri

Documents

Transcript of Bab1 Metoda Matriks Opt Geometri