BAB IV Osilasi Tujuan Instruksional · dalam pegas shock absorber mobil. Karakteristik gerak...

94

BAB IV

Osilasi

Tujuan Instruksional

Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat:

1. Menuliskan persamaan differensial ayunan sederhana.

2. Menentukan solusi analitik persamaan differensial ayunan sederhana.

3. Menentukan solusi numerik persamaan differensial ayunan sederhana.

4. Menuliskan persamaan differensial gerak harmonik sederhana.

5. Menentukan solusi analitik persamaan differensial gerak harmonik sederhana.

6. Menentukan solusi numerik persamaan differensial gerak harmonik sederhana.

7. Memahami pengaruh Increment terhadap solusi numerik persamaan

differensial dengan solusi berupa gelombang sinusoidal.

8. Memahami metode Leapfrog sebagai metode perbaikan metode Euler dalam

analisis osilasi.

9. Memahami metode Euler-Cromer sebagai metode perbaikan metode Euler

dalam analisis osilasi.

10. Menentukan solusi numerik osilator non harmonik.

11. Menentukan solusi analitik dan numerik gerak harmonik dengan redaman.

Pendahuluan

Gerak harmonik sederhana merupakan satu topik penting dalam ilmu

fisika. Pemahaman tentang gerak harmonik sederhana menjadi suatu kebutuhan

bukan saja untuk ilmuwan akan tetapi juga kalangan insinyur. Hal ini terjadi

karena bagi ilmuwan gerak harmonik sederhana merupakan dasar-dasar

memahami berbagai gejala fisika yang lebih kompleks seperti redaman sedangkan

bagi insinyur pemahaman tentang gerak harmonik sederhana penting sekali

sebagai dasar perancangan berbagai aplikasi gerak harmonik sederhana seperti

dalam pegas shock absorber mobil. Karakteristik gerak harmonik sederhana

biasanya dinyatakan dalam persamaan differensial yang secara umum diselesaikan

menurut analisis analitik namun demikian pada banyak kasus (gerak yang tidak

95

harmonik) ditemui banyak kesulitan untuk menentukan solusi menurut

pendekatan analitik, pada keadaan demikian pemecahan dengan pendekatan

analisis numerik dapat dipergunakan untuk mempelajari karakteristik sistemnya.

4.1 Ayunan Sederhana

4.1.1 Analisis Ayunan Sederhana dengan Pendekatan Analitik

Osilasi terjadi jika suatu sistem diganggu dari posisi kesetimbangan

stabilnya. Karakteristik pokok gerak osilasi adalah adanya gerak yang bersifat

periodik (berulang-ulang). Salah satu contoh gerak osilasi adalah gerak osilasi

bandul (ayunan sederhana). Gerak bandul dikategorikan gerak harmonik jika

amplitudo geraknya kecil. Sebagai contoh bandul sederhana adalah sebuah beban

bermassa m yang dihubungkan dengan benang yang massanya dapat diabaikan

seperti gambar berikut.

Gambar 4.1 Ayunan Sederhana yang Terdiri Atas Sebuah Beban yang

Dihubungkan pada Seutas Benang yang Digantungkan pada

Dinding

Misalkan Ѳ adalah sudut yang dibuat oleh benang terhadap garis vertikal

dengan asumsi benang selalu tegang (tidak kendor). Berdasarkan gambar (4.1)

dapat diuraikan gaya-gaya yang bekerja pada beban sebagi berikut. T menyatakan

tegangan tali dan mg menyatakan gaya gravitasi. Pada beban bekerja dua gaya

yaitu mg cos θ sebagai komponen radial dan dan mg sin θ sebagai komponen

tangensial. Lintasan gerak ayunan sederhana berupa busur lingkaran sehingga

m g cos θ mg mg sinθ

θ

θ T l

s

96

gaya berat berfungsi sebagai gaya sentripetal agar beban tetap bergerak dalam

lintasan busur lingkaran sedangkan komponen tangensialnya berperan sebagai

gaya pemulih. Dengan demikian besarnya gaya pemulih adalah

𝐹𝜃 = −𝑚𝑔 sin 𝜃 …(4.1)

dengan g menyatakan percepatan gravitasi, tanda minus menandakan bahwa gaya

pemulih selalu berlawanan dengan arah gerak beban.

Dengan aplikasi hukum Newton kedua yang menyatakan bahwa gaya

sebanding dengan massa dikalikan percepatan partikel sepanjang busur lingkaran

sebagai lintasan partikel, maka gaya juga dapat dinyatakan dengan persamaan

𝐹𝜃 = 𝑚 𝑑2𝑠

𝑑𝑡 2 …(4.2)

dengan demikian apabila persamaan (4.1) dan (4.2) digabungkan akan diperoleh

𝑑2𝑠

𝑑𝑡 2 = −𝑔 sin 𝜃 …(4.3)

Perpindahan sepanjang busur lingkaran adalah s = l sin θ dimana l menyatakan

panjang tali dan θ menyatakan sudut simpangannya. Apabila diasumsikan bahwa

Ѳ nilainya kecil maka berlaku sin Ѳ Ѳ, sehingga dapat dinyatakan s =l θ,

apabila persamaan ini dideferensialkan dua kali terhadap t akan diperoleh

𝑑2𝑠

𝑑𝑡 2 = 𝑙𝑑2𝜃

𝑑𝑡 2 …(4.4)

Apabila persamaan (4.4) disubstitusikan dalam persamaan (4.3) akan diperoleh

𝑙𝑑2𝜃

𝑑𝑡 2 = −𝑔 sin 𝜃

𝑑2𝜃

𝑑𝑡 2= −

𝑔

𝑙𝜃

𝑑2𝜃

𝑑𝑡 2 +𝑔

𝑙𝜃 = 0 …(4.5)

Persamaan (4.5) disebut sebagai persamaan differensial ayunan sederhana.

Adapun solusi umumnya persamaan (4.5) adalah

𝜃 = 𝜃0 𝑠𝑖𝑛 ( ω 𝑡 + ϕ ) …(4.6)

Apabila 𝜙 = 𝛿 +𝜋

2 maka persamaan (4.6) dapat dituliskan sebagai

𝜃 = 𝜃0 𝑐𝑜𝑠 ( ω 𝑡 + δ ) …(4.7)

97

Berdasarkan persamaan (4.6) dan (4.7) disimpulkan bahwa untuk gerak harmonik

sederhana dapat digambarkan sebagai fungsi gelombang sinus maupun cosinus,

adapun yang membedakan gelombang sinus dan cosinus adalah adanya perbedaan

fase (𝜙). Dengan mendefferensialkan persamaan (4.7) terhadap waktu dapat

ditentukan persamaan kecepatan sudut dan percepatan sudut sehingga akan

diperoleh persamaan berikut.

𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡= −𝜃0 ω sin(ωt + δ) …(4.8)

𝛼 = 𝑑2𝜃

𝑑𝑡 2= −𝜃0 ω2 𝑐𝑜𝑠 (ω𝑡 + δ) …(4.8)

dimana

𝜔 = 𝑔

𝑙

Berdasarkan definisi bahwa 𝜔 =2𝜋

𝑇 maka periode ayunannya dapat dinyatakan

dengan persamaan

𝑇 = 2𝜋 𝑙

𝑔 …(4.9)

Untuk menentukan besarnya periode kita juga dapat menggunakan cara lain yakni

apabila sin Ѳ Ѳ maka kita dapat menuliskan persamaan (4.1) dengan

𝐹𝜃 = −𝑚𝑔𝜃 …(4.10)

Dengan mensubstitusi s =l θ ke dalam persamaan (4.10) akan diperoleh

𝐹𝜃 = −𝑚𝑔𝑠

𝑙= −

𝑚𝑔

𝑙𝑠

Untuk sudut ayunan yang kecil maka besar gaya pemulih sebanding dengan

tetapan gaya k = mg/l sehingga berdasarkan definisi 𝜔 = 𝑘

𝑚 maka

𝜔 = 𝑚𝑔

𝑙𝑚=

𝑔

𝑙

Dengan demikian berlaku

𝑇 = 2𝜋 𝑙

𝑔

Berdasarkan definisi 𝑓 = 1

𝑇 maka frekuensi osilasinya dapat dinyatakan dengan

98

𝑓 =1

2𝜋

𝑙

𝑔 …(4.11)

dengan:

𝜃0 = posisi awal (rad)

𝜙 = fase awal

𝛿 = tetapan

𝜔 = kecepatan sudut (rad/s)

T = periode (s)

f = frekuensi (Hz)

Berdasarkan persamaan (4.6) sampai (4.11) disimpulkan bahwa posisi, kecepatan

dan percepatan sudutnya merupakan fungsi gelombang sinusoidal terhadap waktu.

Periode dan frekuensi ayunan hanya dipengaruhi oleh panjang talinya saja, masa

beban tidak berpengaruh terhadap periode ayunannya.

4.1.2 Analisis Ayunan Sederhana dengan Pendekatan Numerik

Dengan menggunakan pendekatan analitik dalam menyelesaikan suatu

persoalan maka akan diperoleh hasil yang eksak. Namun demikian dalam

pendekatan dengan analisis analitik kita sering dihadapkan pada persoalan yang

cukup rumit seperti ketika kita harus menyelesaikan suatu persamaan differensial

namun kita tidak tahu solusi analitik persamaan differensial tersebut. Kesulitan

lain yang mungkin ditemui adalah persamaan differensial yang tidak linear. Cara

yang dapat digunakan untuk mengatasi kesulitan tersebut adalah dengan

menggunakan pendekatan numerik.

Adapun langkah dalam menganalisis kasus ayunan sederhana dengan

analisis numerik adalah sebagai berikut. Persamaan (4.5) dapat dinyatakan

kembali dengan persamaan

𝑑2𝜃

𝑑𝑡 2 =𝑔

𝑙𝜃 …(4.12)

Berdasarkan definisi

𝑑2𝜃

𝑑𝑡 2=

𝑑𝜔

𝑑𝑡

maka persamaan ( 4.12) dapat dituliskan

𝑑𝜔

𝑑𝑡= −

𝑔

𝑙𝜃 …(4.13)

99

dengan mempergunakan teori Euler maka persamaan (4.13) dapat diuraikan

menjadi

𝑑𝜔

𝑑𝑡= limΔ𝑡→0

𝜔 𝑡+Δ𝑡 −𝜔(𝑡)

Δ𝑡= −

𝑔

𝑙𝜃 …(4.14)

sehingga dapat dituliskan

𝜔 𝑡+Δ𝑡 −𝜔(𝑡)

Δ𝑡= −

𝑔

𝑙𝜃

atau

𝜔 𝑡 + Δ𝑡 = 𝜔 𝑡 −𝑔

𝑙𝜃(𝑡) Δ𝑡 …(4.15)

secara umum persamaan ( 4.15 ) dapat dituliskan

𝜔1+1 = 𝜔𝑖 − 𝑔

𝑙 𝜃𝑖 Δ𝑡 …(4.16)

dengan cara yang sama, berdasarkan definisi

𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝜔 …(4.17)

maka persamaan (4.17) dapat diuraikan menjadi

𝜃 𝑡+Δ𝑡 −𝜃(𝑡)

Δ𝑡= 𝜔

𝜃 𝑡 + Δ𝑡 = 𝜃 𝑡 + 𝜔 Δ𝑡 …(4.18)

Secara umum persamaan (4.18) dapat dinyatakan dengan

𝜃𝑖+1 = 𝜃𝑖 + 𝜔𝑖 Δ𝑡 …(4.19)

dengan:

ω = kecepatan sudut ( rad/s)

Ѳ = posisi sudut (rad)

∆t = selang waktu

ωi = kecepatan sudut pada t = t

ωi+1 = kecepatan sudut pada t = t+∆t

θi = posisi sudut pada t = t

θi+1 = posisi sudut pada t = t+∆t

100

Contoh 4.1

Suatu ayunan sederhana terdiri dari seutas tali yang memiliki panjang 1m dengan

beban dengan masa 10 gram mula-mula dalam keadaan diam dengan posisi sudut

awal 0,15 rad. Jika kecepatan sudut awalnya 0 rad/s dan beban kemudian

dilepaskan analisislah gerakannya dengan menggunakan Spreadsheet dengan

menggunakan pendekatan analitik dan analitik numerik (catatan g = 9,8 dan ∆t =

0,03).

Penyelesaian:

Langkah awal dalam menyelesaikan soal dalam Spreadsheet adalah dengan

mendeklarasikan variabel-variabel dalam persamaan ayunan sederhana seperti

dalam tabel berikut.

Tabel 4.1 Varibel-Variabel dalam Persamaan Ayunan Sederhana

Variabel Nilai Satuan

L 1 m

m 0,01 kg

g 9.8 m/s2

ωo 0 rad/s

∆t 0.03

θ0 0.15 rad

ω 3.130495168

Langkah selanjutnya adalah melakukan komputasi dengan Spreadsheet sehingga

akan diperoleh tabel hasil komputasi seperti berikut.

101

Tabel 4.2 Perbandingan Nilai θ, ω dan α untuk Ayunan Sederhana dengan

Pendekatan Analitik dan Numerik

t θ_numerik ω_numerik α_numerik θ_analitik ω_analitik α_analitik

0 0.15 0 -1.47 0.15 0 -1.47

0.03 0.15 -0.0441 -1.47 0.149339 -0.044035 -1.4635221

0.06 0.148677 -0.0882 -1.4570346 0.147362 -0.087682 -1.4441453

0.09 0.146031 -0.131911038 -1.4311038 0.144086 -0.130557 -1.4120406

0.12 0.142073669 -0.174844152 -1.39232195 0.13954 -0.17228 -1.3674909

0.15 0.136828344 -0.216613811 -1.34091777 0.133764 -0.212485 -1.3108887

0.18 0.13032993 -0.256841344 -1.27723331 0.126809 -0.250818 -1.242733

0.21 0.12262469 -0.295158343 -1.20172196 0.118737 -0.28694 -1.1636244

0.24 0.113769939 -0.331210002 -1.11494541 0.109618 -0.320533 -1.0742602

0.27 0.103833639 -0.364658364 -1.01756967 0.099533 -0.351301 -0.975428

0.3 0.092893888 -0.395185454 -0.91036011 0.088571 -0.378973 -0.8679988

0.33 0.081038325 -0.422496257 -0.79417558 0.076829 -0.403304 -0.7529196

0.36 0.068363437 -0.446321525 -0.66996168 0.064409 -0.424081 -0.6312044

0.39 0.054973791 -0.466420375 -0.53874315 0.051421 -0.441121 -0.5039261

0.42 0.04098118 -0.48258267 -0.40161556 0.03798 -0.454273 -0.3722065

0.45 0.0265037 -0.494631137 -0.25973626 0.024205 -0.46342 -0.2372064

0.48 0.011664766 -0.502423225 -0.11431471 0.010216 -0.468484 -0.1001157

0.51 -0.00340793 -0.505852666 0.033397723 -0.003863 -0.469419 0.03785744

0.54 -0.01858351 -0.504850734 0.182118407 -0.017908 -0.466216 0.17549688

0.57 -0.03372903 -0.499387182 0.330544523 -0.031795 -0.458904 0.31158957

0.6 -0.04871065 -0.489470846 0.477364354 -0.045402 -0.447548 0.44493606

… … … … … … …

Berdasarkan tabel 4.2 dapat dikemukakan bahwa t = 0,03 s menurut analisis

analitik posisi beban adalah 0.149339 rad sedangkan menurut analisis numerik

posisi beban adalah 0.15 rad sehingga perhitungan secara numerik mengandung

kesalahan 0,44%. Menurut analisis numerik ayunan ini memiliki periode 1,77 s

sedangkan menurut analisis analitik periode ayunan ini adalah 2,00 s dengan

demikian perhitungan dengan analisis numerik mengandung kesalahan sebesar

11,5 %. Pada saat t = 6 s posisi beban menurut analisis analitik adalah 0.149668

radian sedangkan menurut analisis numerik posisi beban adalah 0.358298712

102

radian sehingga perhitungan analisis numerik ini mengandung kesalahan sebesar

139.3963 %.

Grafik 4.1 Hubungan Antara Posisi dan Waktu untuk Ayunan Sederhana dengan


Berdasarkan grafik 4.1 dapat disimpulkan bahwa untuk grafik simpangan

terhadap waktu dengan menggunakan pendekatan analitik berupa grafik

sinusoidal dengan amplitudo tetap sedangkan grafik simpangan terhadap waktu

dengan pendekatan numerik juga berupa grafik sinusoidal namun amplitudo

simpangannya tidak tetap, melainkan semakin bertambah besar seiring

bertambahnya waktu. Hal ini menunjukkan bahwa semakin lama maka kesalahan

yang diakibatkan oleh solusi numerik semakin bertambah.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 2 4 6 8

sim

pan

gan

(ra

d)

waktu

θ_numerik θ_analitik

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8

Ke

cep

atan

Su

du

t (r

ad/s

)

Waktu (s)

ω_numerik ω_analitik

103

Grafik 4.2 Hubungan Antara Kecepatan dan Waktu untuk Ayunan Sederhana

dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

Berdasarkan tabel 4.2 dan grafik 4.2 dapat dikemukakan bahwa t = 0,03 s

menurut analisis analitik kecepatan beban adalah -0.044035 rad/s sedangkan

menurut analisis numerik kecepatan ayunan adalah -0.0441 rad/s sehingga

perhitungan secara numerik mengandung kesalahan 0,15%. Pada waktu t = 6 s

menurut analisis analitik kecepatan beban adalah 0.031243 rad/s sedangkan

menurut analisis numerik kecepatan ayunan adalah 0.13697 rad/s sehingga

perhitungan secara numerik mengandung kesalahan 338.4087 %. Berdasarkan

grafik 4.2 dapat disimpulkan bahwa untuk grafik kecepatan terhadap waktu

dengan menggunakan pendekatan analitik berupa grafik sinusoidal dengan

amplitudo tetap sedangkan grafik kecepatan terhadap waktu dengan pendekatan

numerik juga berupa grafik sinusoidal namun amplitudo kecepatannya tidak tetap,

melainkan semakin bertambah besar seiring bertambahnya waktu. Hal ini

menunjukkan bahwa semakin lama maka kesalahan yang diakibatkan oleh solusi

numerik semakin bertambah.

Grafik 4.3 Hubungan Antara Percepatan dan Waktu untuk Ayunan Sederhana

dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

-4

-2

0

2

4

0 2 4 6 8

Pe

rce

pat

an S

ud

ut

(rad

/s^2

)

Waktu (s)

α_numerik α_analitik

104

Berdasarkan tabel 4.2 dan grafik 4.3 dapat dikemukakan bahwa t = 0,03 s menurut

analisis analitik percepatan beban adalah -1.463 rad/s2 sedangkan menurut analisis

numerik percepatan beban adalah -1.47 rad/s2 sehingga perhitungan secara

numerik mengandung kesalahan 0,44%. Pada waktu t = 6 s menurut analisis

analitik percepatan beban adalah -1.46674 rad/s2 sedangkan menurut analisis

numerik percepatan ayunan adalah -3.51133 rad/s2 sehingga perhitungan secara

numerik mengandung kesalahan 139.4 %. Berdasarkan grafik 3.3 dapat

disimpulkan bahwa untuk grafik percepatan terhadap waktu dengan menggunakan

pendekatan analitik berupa grafik sinusoidal dengan amplitudo tetap sedangkan

grafik percepatan terhadap waktu dengan pendekatan numerik juga berupa grafik

sinusoidal namun amplitudo kecepatannya tidak tetap, melainkan semakin

bertambah besar seiring bertambahnya waktu. Hal ini menunjukkan bahwa

semakin lama maka kesalahan yang diakibatkan oleh solusi numerik semakin

bertambah.

Berdasarkan hasil analisis tabel 4.2 dan grafik 4.1 sampai 4.3 disimpulkan

bahwa seiring dengan bertambahnya waktu untuk grafik hubungan posisi sudut,

kecepatan dan percepatan sudut terhadap waktu dengan pendekatan numerik

semakin tidak konvergen (ditandai adanya amplitudo ayunan yang semakin

besar). Apabila diteliti secara seksama disimpulkan bahwa hasil yang diperoleh

dengan pendekatan numerik sangat menyimpang dibandingkan solusi analitiknya.

Idealnya solusi dengan pendekatan analitik akan menghasilkan solusi eksak

karena dalam kasus ini gesekan diabaikan sehingga total energi ayunan

seharusnya selalu tetap sehingga perlu diadakan perbaikan teknik numeriknya

agar hasilnya mendekati solusi eksaknya.

Berdasarkan penjelasan sebelumnya, semakin kecil nilai Increment ∆t

maka kesalahan solusi numerik dengan metode Euler semakin kecil. Namun

demikian untuk kasus ayunan sederhana, simpangan ayunannya seiring

bertambahnya waktu maka simpangan akan semakin besar untuk nilai ∆t selain

nol. Jika nilai Increment ∆t dibuat semakin kecil hanya berpengaruh terhadap

semakin kecilnya laju penambahan amplitudo ayunan. Walaupun dengan merubah

105

nilai Increment ∆t sekecil apapun akan tetapi untuk Increment ∆t yang tidak sama

dengan nol akan selalu ditemukan bahwa amplitudo ayunannya selalu bertambah

seiring dengan bertambahnya waktu dengan demikian disimpulkan bahwa

penggunaan metode Euler untuk gerak harmonik sederhana kurang tepat. Hal ini

menunjukkan bahwa metode Euler tidak stabil. Meskipun tidak stabil namun

metode Euler terbukti cukup ampuh dalam menyelesaikan persoalan-persoalan

yang tidak harus memenuhi hukum kekekalan energi sehingga kesalahan

penggunaan metode numerik dengan metode Euler dapat diabaikan. Sebaliknya

untuk permasalahan-permasalahan yang melibatkan gerak osilasi dimana kita

sering menyelidiki perilaku ayunan untuk berbagai nilai periode maka metode

numerik yang digunakan harus dapat memenuhi hukum kekekalan energi

sehingga pada kasus ini metode Euler bukanlah pilihan yang tepat.

Salah satu hal dapat dilakukan untuk memperbaiki metode Euler adalah

menggunakan metode Euler-Cromer maupun metode Leapfrog. Dalam

kesempatan ini metode yang akan dipakai adalah metode Leapfrog. Berdasarkan

penjelasan bab II tentang metode Leapfrog, maka dengan menggunakan metode

Leapfrog, persamaan posisi dan kecepatan sudut ayunan sederhana diituliskan

dengan persamaan berikut.

𝜃𝑖+1 = 𝜃𝑖 + 𝜔𝑖∆𝑡 +𝛼𝑖 ∆𝑡2

2 …(4.20)

𝜔𝑖+1 = 𝜔𝑖 +𝛼𝑖+𝛼𝑖+1

2 ∆𝑡 …(4.21)

dengan demikian apabila contoh 4.1 kita kerjakan dengan menggunakan metode

Leapfrog akan kita dapatkan solusi-solusi yang dinyatakan dalam tabel berikut.

106


Pendekatan Analitik dan Numerik dengan metode Leapfrog

t θ_analitik ω_analiti α_analitik θ_numerik ω_numerik α_numerik

0 0.15 0 -1.47 0.15 0 -1.47

0.03 0.149339 -0.044035 -1.463522 0.1493385 -0.0440028 -1.463517

0.06 0.147362 -0.087682 -1.444145 0.1473598 -0.0876174 -1.444126

0.09 0.144086 -0.130557 -1.412041 0.1440815 -0.1304593 -1.411998

0.12 0.13954 -0.17228 -1.367491 0.1395323 -0.1721505 -1.367416

0.15 0.133764 -0.212485 -1.310889 0.1337524 -0.2123234 -1.310774

0.18 0.126809 -0.250818 -1.242733 0.1267929 -0.2506235 -1.24257

0.21 0.118737 -0.28694 -1.163624 0.118715 -0.2867132 -1.163407

0.24 0.109618 -0.320533 -1.07426 0.1095901 -0.320274 -1.073983

0.27 0.099533 -0.351301 -0.975428 0.0994986 -0.3510101 -0.975086

0.3 0.088571 -0.378973 -0.867999 0.0885295 -0.3786502 -0.867589

0.33 0.076829 -0.403304 -0.75292 0.0767796 -0.4029506 -0.75244

0.36 0.064409 -0.424081 -0.631204 0.0643524 -0.423697 -0.630654

0.39 0.051421 -0.441121 -0.503926 0.0513577 -0.4407064 -0.503306

0.42 0.03798 -0.454273 -0.372206 0.0379101 -0.4538288 -0.371519

0.45 0.024205 -0.46342 -0.237206 0.024128 -0.4629484 -0.236455

0.48 0.010216 -0.468484 -0.100116 0.0101332 -0.4679848 -0.099305

0.51 -0.003863 -0.469419 0.037857 -0.003951 -0.4688935 0.0387205

0.54 -0.017908 -0.466216 0.175497 -0.018 -0.4656667 0.1764044

0.57 -0.031795 -0.458904 0.31159 -0.031891 -0.4583326 0.3125325

0.6 -0.045402 -0.447548 0.444936 -0.0455 -0.4469561 0.445904

… … … … … … …

107

Grafik 4.4 Hubungan Antara Posisi dan Waktu untuk Ayunan Sederhana dengan

Pendekatan Analitik dan Numerik dengan metode Leapfrog

Berdasarkan tabel 4.3 dan grafik 4.4 dapat diilustrasikan bahwa pada

t = 0,03 s menurut analisis analitik posisi beban pada 0.149339 rad sedangkan

menurut analisis numerik posisi beban adalah 0.1493385 rad sehingga

perhitungan secara numerik mengandung kesalahan 0.00033%. Sekarang setelah

interval waktunya diperbaiki menurut analisis numerik ayunan ini memiliki

periode 2,01 s sedangkan menurut analisis analitik periode ayunan ini adalah

2,01s dengan demikian perhitungan dengan analisis numerik mengandung

kesalahan sebesar 0%. Pada saat t = 0,6 s posisi beban menurut analisis analitik

adalah -0.045402 rad sedangkan menurut analisis numerik posisi beban adalah

-0.0455 rad sehingga perhitungan analisis numerik ini mengandung kesalahan

sebesar 0.043688 %.

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 2 4 6 8

Sim

pan

gan

(ra

d)

Waktu (s)

θ_analitik θ_numerik

108

Grafik 4.5 Hubungan Kecepatan Sudut dan Waktu untuk Ayunan Sederhana

dengan Pendekatan Analitik dan Numerik dengan metode Leapfrog

Grafik 4.6 Hubungan Percepatan Sudut dan Waktu untuk Ayunan Sederhana

dengan Pendekatan Analitik dan Numerik dengan metode Leapfrog

Berdasarkan grafik 4.4 dapat dilihat dengan jelas bahwa solusi analitik dan solusi

numerik persamaan ayunannya merupakan suatu gelombang harmonik dengan

amplitudo tetap. Demikian juga berdasarkan grafik 4.5 dan 4.6 dapat disimpulkan

bahwa untuk solusi numerik persamaan kecepatan dan percepatannya

gelombangnya juga bersifat harmonik. Sebagai gambaran pada t = 6 s kecepatan

sudut menurut analisis analitik adalah 0.031243 rad/s sedangkan kecepatan sudut

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 2 4 6 8K

ece

pat

an s

ud

ut

(rad

/s)

waktu

ω_analitik ω_numerik

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8

Pe

rce

pat

an S

ud

ut

(rad

/s^2

)

Waktu (s)

α_analitik α_numerik

109

menurut analisis numeriknya adalah 0.0279745 rad/s sehingga perhitungan

analisis numeriknya mengandung kesalahan 10%. Dengan demikian dapat

disimpulkan bahwa dengan menggunakan metode Leapfrog dapat menghasilkan

suatu solusi numerik yang cukup teliti.

Pertanyaan 4.1

Berdasarkan contoh 4.1, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut!

1. Berapakah periode bandul tersebut? Bandingkan nilai periode yang diperoleh

berdasarkan metode analitik dan numerik!

2. Bagaimanakah pengaruh nilai Increment waktu (∆t) terhadap grafik numerik

jika dibandingkan dengan grafik analitiknya?

3. Bagaimanakah pengaruh perubahan nilai ω0 terhadap grafik numerik jika

dibandingkan dengan grafik analitiknya?

4. Analog dengan soal di atas, jika nilai ∆t divariasikan pada nilai 0,01 s, 0,1 s

dan 1s pada nilai Increment (∆t) berapakah grafik numeriknya menunjukkan

bentuk yang hampir sama dengan grafik dengan pendekatan analitik?

5. Bagaimanakah pengaruh panjang tali terhadap periode getarannya?

6. Bagaimanakah pengaruh amplitudo terhadap periode getarannya?

4.2 Gerak Harmonik Sederhana

4.2.1 Analisis Gerak Harmonik Sederhana dengan Pendekatan Analitik

4.2.1.1 Analisis Gerak Harmonik Sederhana dengan Pendekatan Analitik

pada Beban dan Pegas pada Posisi Horizontal

Gerak harmonik sederhana merupakan salah satu contoh gerak osilasi yang

sangat penting dalam fisika. Sebagai contoh gerak harmonis sederhana adalah

sebuah beban bermassa m yang diikatkan pada pegas ideal dengan konstanta

pegas k dimana beban tesebut bebas bergerak di atas permukaan horizontal tanpa

gesekan.

110

Gambar 4.2 Pegas dalam Posisi Horizontal

Sesuai hukum Hooke, jika beban digeser k ke kanan, maka gaya yang dilakukan

oleh pegas mengarah ke kiri. Jika beban bergeser ke arah kiri, maka gaya yang

akan dilakukan oleh pegas mengarah ke kanan dengan persamaan F= -kx. Pada

keadaan ini, gaya yang dilakukan pegas disebut sebagai gaya pemulih dan gerak

beban yang berisolasi ini adalah gerak harmonik sederhana. Untuk menganalisis

gerakan ini, maka dipergunakan hukum kedua Newton yaitu

F= m a = -kx …(4.22)

dengan mengingat bahwa 𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = 𝑎 maka persamaan (4.22) dapat dituliskan

sebagai

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = −𝑘𝑥 …(4.23)

atau

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2+

𝑘

𝑚𝑥 = 0 …(4.24)

dengan solusi umum persamaan (4.24) adalah

𝑥 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 ( ω 𝑡 + ϕ ) …(4.25)

apabila 𝜙 = 𝛿 +𝜋

2 maka persamaan (4.25) dapat dituliskan sebagai

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 ( ω 𝑡 + δ ) …(4.26)

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝐴𝜔 Sin (ωt + δ) …(4.27)

F

F

x

x

x = 0 F= 0

111

a= 𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = −𝐴ω2 𝐶𝑜𝑠 (ω𝑡 + δ) …(4.28)

dimana 𝜔 = km

Berdasarkan definisi bahwa 𝜔 =2𝜋

𝑇 maka periode gerak harmonik sederhana

dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑇 = 2𝜋 𝑚

𝑘 …(4.29)

Dengan mengingat definisi 𝑓 = 1

𝑇 maka frekuensi osilasinya dapat dinyatakan

dengan

𝑓 =1

2𝜋

𝑘

𝑚 …(4.30)

dengan:

= fase awal

A = amplitudo maksimum (m)

𝛿 = tetapan

m = masa beban (kg)

k = konstanta pegas (N/m)

berdasarkan persamaan (4.26) sampai (4.28) dapat disimpulkan bahwa gerak

harmoniknya dapat digambarkan sebagai fungsi gelombang sinusoidal terhadap

waktu selamanya tanpa mengalami peluruhan dengan asumsi bahwa gesekan

dapat diabaikan. Kecepatan sudut osilasi ( merupakan fungsi panjang tali dan k

tetapi tidak tergantung pada m dan amplitudo geraknya.

112

4.2.1.2 Analisis Gerak Harmonik Sederhana dengan Pendekatan Analitik

pada Beban dan Pegas Vertikal dengan Posisi Vertikal

Misalkan sebuah beban bermasa m tergantung pada sebuah pegas yang

memiliki panjang l, kostanta pegas k dan masa pegas dapat diabaikan seperti

gambar berikut.

Gambar 4.3 Pegas dalam Posisi Vertikal

Jika beban digantungkan pada pegas maka pegas akan memanjang sebesar y0 dari

posisi setimbang. Pada keadaan ini, pegas akan memberikan gaya pemulih pada

beban sebesar

𝐹1 = −𝑘 𝑦0

𝑦0 = −𝐹1

𝑘 …(4.31)

sedangkan pada beban bekerja gaya berat sebesar mg. Apabila gaya ke bawah

dianggap positif maka persamaan kesetimbangannya dapat dinyatakan dengan

persamaan

𝑚𝑔 − 𝑘 𝑦0 = 0

𝑦0 =𝑚𝑔

𝑘

apabila beban ditarik ke bawah sepanjang y dari y0 maka besarnya gaya pemulih

yang diberikan pegas terhadap beban adalah

𝐹2 = −𝑘 (𝑦 + 𝑦0) …(4.32)

dengan mensubstitusikan persamaan (4.31) dalam persamaan (4.32) diperoleh

𝐹2 = −𝑚𝑔 − 𝑘𝑦

l

y0

y

113

dengan mengaplikasikan hukum Newton kedua maka gaya total yang bekerja

pada beban dinyatakan dengan persamaan

𝑚𝑑2𝑦

𝑑𝑡 2= −𝑘𝑦

𝑑2𝑦

𝑑𝑡 2 +𝑘

𝑚𝑦 = 0 …(4.33)

Solusi umum persamaan differensial (4.33) adalah

𝑦 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛿) …(4.34)

dengan 𝜔 =𝑘

𝑚

berdasarkan definisi 𝜔 =2𝜋

𝑇 maka periode gerak harmoniknya adalah

𝑇 = 2𝜋 𝑚

𝑘 …(4.36)

dengan mensubstitusikan 𝑦0 =𝑚𝑔

𝑘 ke dalam persamaan (4.36) akan diperoleh

𝑇 = 2𝜋 𝑦0

𝑔 …(4.37)

Persamaan (4.36) dan (4.37) dapat digunakan untuk menentukan periode gerak

harmonik, namun demikian dengan menggunakan persamaan (4.37) kita dapat

menentukan periode gerak harmonik tanpa harus mengetahui nilai konstanta pegas

dan masa bebannya. Adapun langkah yang perlu dilakukan untuk menentukan

kecepatan dan percepatannya adalah dengan menurunkan persamaan (4.34)

terhadap t.

4.2.2 Analisis Gerak Harmonik Sederhana dengan Pendekatan Numerik

4.2.2.1 Analisis Gerak Harmonik Sederhana dengan Pendekatan Numerik

pada Beban dan Pegas dengan Posisi Horizontal

Berdasarkan definisi bahwa percepatan merupakan turunan kecepatan

terhadap waktu ( 𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2=

𝑑𝑣

𝑑𝑡) maka persamaan (4.23) dapat disusun kembali menjadi

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −

𝑘

𝑚𝑥 …(4.38)

dengan mempergunakan teori Euler maka

𝑑𝑣


𝑣 𝑡+Δ𝑡 −𝑣(𝑡)

Δ𝑡= −

𝑘

𝑚𝑥

114

sehingga


Δ𝑡= −

𝑘

𝑚𝑥 …(4.39)

atau

𝑣 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑣 𝑡 −𝑘

𝑚𝑥(𝑡) Δ𝑡

Secara umum persamaan (4.39 ) dapat dituliskan sebagai

𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 − 𝑘

𝑚 𝑥 𝑖Δ𝑡 …(4.40)

dengan cara yang sama berdasarkan definisi bahwa kecepatan merupakan turunan

posisi terhadap waktu

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣

Apabila persamaan di atas di uraikan dengan teori Euler akan diperoleh

𝑥 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑥(𝑡) + 𝑣(𝑡) Δ𝑡

secara umum persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖 Δ𝑡 …(4.41)

dengan:

v = kecepatan linear (m/s)

k = konstanta pegas (N/m)

∆t = selang waktu (Increment )

vi = kecepatan linear pada t = t

vi+1 = kecepatan linear pada t = t+∆t

xi = posisi beban pada t = t

xi+1 = posisi beban pada t = t+∆t

Contoh 4.2

Suatu sistem terdiri dari pegas dengan tetapan 2 N/m dengan beban seberat 2 kg

mula-mula dalam keadaan diam kemudian beban ditarik sepanjang 10 cm dalam

arah horizontal kemudian dilepaskan. Analisislah gerakannya dengan

115

menggunakan Spreadsheet melalui pendekatan analisis analitik dan analisis

numerik (catatan bahwa g = 9,8 dan ∆t = 0,1).

Penyelesaian

Sebagai langkah awal untuk menyelesaikan soal di atas adalah dengan

mendeklarasikan variabel-variabel persamaan geraknya seperti dalam tabel

berikut.

Tabel 4.4 Varibel-Variabel dalam Persamaan Gerak Harmonik


m 2 kg

A 0.03 m

k 9 N/m

to 0 s

∆t 0.1 s

ω 2.12132 rad/s

Langkah selanjutnya adalah mengadakan komputasi dengan menggunakan

Spreadsheet sehingga akan diperoleh nilai-nilai posisi, kecepatan dan percepatan

seperti tabel berikut.

116

Tabel 4.5. Perbandingan Nilai x, v dan a untuk Ayunan Sederhana dengan


t x_analitik V_analitik a_analitik X_numerik V_numerik a_ Numerik

0 0.03 0 -0.135 0.03 0 -0.135

0.1 0.029328 -0.013399 -0.131974 0.03 -0.0135 -0.135

0.2 0.02734 -0.026197 -0.123031 0.02865 -0.027 -0.128925

0.3 0.024127 -0.037821 -0.108573 0.02595 -0.0398925 -0.11677

0.4 0.019833 -0.047749 -0.089247 0.02196075 -0.05157 -0.098823

0.5 0.014649 -0.055537 -0.06592 0.01680375 -0.06145234 -0.0756168

0.6 0.008808 -0.060835 -0.039638 0.010658516 -0.06901403 -0.0479633

0.7 0.002573 -0.063405 -0.011578 0.003757114 -0.07381036 -0.0169070

0.8 -0.00378 -0.063133 0.0169998 -0.00362392 -0.07550106 0.01630765

0.9 -0.00996 -0.060031 0.044816 -0.01117403 -0.07387029 0.05028313

1 -0.01569 -0.054237 0.0706231 -0.01856106 -0.06884198 0.08352476

1.1 -0.02073 -0.046012 0.093264 -0.02544526 -0.06048951 0.11450365

1.2 -0.02483 -0.035724 0.1117237 -0.03149421 -0.04903914 0.14172393

1.3 -0.02782 -0.023834 0.1251747 -0.03639812 -0.03486675 0.16379154

1.4 -0.02956 -0.010876 0.1330139 -0.03988479 -0.01848759 0.17948158

1.5 -0.02998 0.0025696 0.1348899 -0.04173355 -0.00053944 0.18780099

2 -0.01358 0.0567463 0.0611094 -0.02362156 0.08518533 0.10629702

2.1 -0.00764 0.0615395 0.0343948 -0.01510303 0.095815032 0.06796362

2.2 -0.00136 0.0635738 0.0061383 -0.00552152 0.102611394 0.02484686

2.3 0.004976 0.062758 -0.022393 0.004739616 0.105096079 -0.02132827

2.4 0.011094 0.0591286 -0.049921 0.015249224 0.102963252 -0.06862151

2.5 0.016714 0.0528484 -0.075211 0.025545549 0.096101102 -0.11495497

2.6 0.021584 0.044199 -0.097129 0.035155659 0.084605605 -0.15820047

2.7 0.025487 0.033568 -0.114692 0.04361622 0.068785558 -0.19627299

2.8 0.028248 0.0214321 -0.127114 0.050494775 0.049158259 -0.22722649

2.9 0.029742 0.0083354 -0.133837 0.055410601 0.02643561 -0.24934771

3 0.029902 -0.005135 -0.13456 0.058054162 0.00150084 -0.26124373

3.1 0.028722 -0.018375 -0.12925 0.058204246 -0.02462353 -0.26191911

3.2 0.026255 -0.030792 -0.118146 0.055741893 -0.05081544 -0.25083852

3.3 0.02261 -0.041828 -0.101745 0.050660348 -0.0758993 -0.22797157

3.4 0.017952 -0.050988 -0.080783 0.043070419 -0.09869645 -0.19381688

3.5 0.012489 -0.057863 -0.056199 0.033200774 -0.11807814 -0.14940348

… … … … … … …

117

Langkah selanjutnya adalah membuat grafik hubungan simpangan, kecepatan dan

percepatan terhadap waktu seperti tabel berikut.

Grafik 4.7 Hubungan Antara Posisi dan Waktu untuk Gerak Harmonik

Sederhana dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

Grafik 4.8 Hubungan Antara Kecepatan dan Waktu untuk Gerak

Harmonik Sederhana dengan Pendekatan Analitik dan

Numerik

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 5 10 15Sim

pan

gan

(m

)

Waktu (s)

x_analitik X_numerik

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15

Ke

cep

atan

(m

/s)

Waktu (s)

V_analitik V_numerik

118

Grafik 4.9 Hubungan Antara Percepatan dan Waktu untuk Gerak Harmonik

Sederhana dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

Berdasarkan grafik (4.7) dapat disimpulkan bahwa seiring dengan

bertambahnya waktu untuk grafik hubungan sudut terhadap waktu dengan

pendekatan numerik semakin tidak konvergen, demikian pula untuk grafik

kecepatan dan percepatan terhadap waktu. Apabila dicermati lebih dalam

berdasarkan tabel 4.5 diperoleh data bahwa pada t = 0,1 s posisi beban menurut

analisis analitik adalah 0.029328 m sedangkan menurut analisis numerik posisi

beban adalah 0.03 m dengan demikian perhitungan dengan analisis numerik

menyebabkan kesalahan 2,3% sedangkan untuk kecepatan perhitungan numerik

sebesar 0,75% dan untuk percepatan juga menyebabkan kesalahan 2,3%. Untuk t

= 10 s posisi beban menurut analisis analitik adalah -0.02137 m sedangkan posisi

beban menurut analisis numerik adalah -0.12585 m dengan demikian perhitungan

dengan analisis numerik menyebabkan kesalahan 488,9% sedangkan perhitungan

kecepatan dengan analisis numerik menyebabkan kesalahan 1039.82% demikian

pula untuk perhitungan percepatan dengan analisis numerik ternyata menimbulkan

kesalahan 488,9%.

Menurut analisis analitik periode gerak harmonik adalah selalu 2,96 s

sedangkan menurut analisis numerik periodenya 2,6 s kemudian 0,9 s, 1,9 s dan

4,3 s. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa perhitungan periode gerak

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15

Pe

rce

pat

an (

m/s

^2)

Waktu (s)

a_analitik a_Numerik

119

harmonik sederhana dengan metode Euler tidak dapat diterima karena periode

ayunan selalu berubah-ubah semakin lama semakin besar sedangkan menurut

analisis analitik periodenya selalu tetap.

Berdasarkan hasil-hasil tersebut maka disimpulkan bahwa perhitungan

kasus gerak harmonik sederhana dengan metode Euler tidak dapat dipakai

sehingga dibutuhkan metode numerik yang lain. Salah satu metode numerik yang

akan dipakai pada kesempatan ini adalah metode Euler-Cromer dimana metode ini

merupakan metode perbaikan dari metode Euler. Berdasarkan penjelasan bab II

tentang metode Euler-Cromer , maka kecepatan dan posisi beban dapat dinyatakan

dengan persamaan

𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 −𝑘

𝑚 𝑥𝑖∆𝑡 ...(4.42)

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖+1 ∆𝑡 ...(4.43)

dengan membandingkan persamaan (4.40) sampai (4.41) dan persamaan ((4.42)

sampai (4.43) disimpulkan bahwa apabila menggunakan metode Euler nilai v dan

x sebelumnya dipakai untuk menghitung nilai v dan x yang baru sedangkan

dengan metode Euler-Cromer nilai v dan x sebelumnya dipakai untuk menghitung

nilai v yang baru akan tetapi nilai v yang baru dipergunakan untuk menghitung

nilai x yang baru. Dengan demikian apabila soal (4.2) dikerjakan dengan metode

Euler-Cromer akan diperoleh hasil komputasi seperti dalam tabel berikut.

120


Pendekatan Analitik dan Numerik dengan metode Euler-Cromer

t x_analitik V_analitik a_analitik X_numerik V_numerik a_Numerik

0 0.03 0 -0.135 0.03 0 -0.135

0.1 0.029328 -0.0134 -0.131973 0.02865 -0.0135 -0.128925

0.2 0.02734 -0.0262 -0.123031 0.0260108 -0.0263925 -0.11704838

0.3 0.024127 -0.03782 -0.108572 0.022201 -0.03809734 -0.09990457

0.4 0.019833 -0.04775 -0.089246 0.0173922 -0.04808779 -0.07826507

0.5 0.014649 -0.05554 -0.06592 0.0118008 -0.0559143 -0.05310363

0.6 0.008808 -0.06083 -0.039637 0.0056783 -0.06122466 -0.02555253

0.7 0.002573 -0.06341 -0.011578 -0.0006997 -0.06377992 0.003148432

0.8 -0.00378 -0.06313 0.0169998 -0.0070462 -0.06346507 0.031707715

0.9 -0.00996 -0.06003 0.044816 -0.0130756 -0.0602943 0.058840152

1 -0.01569 -0.05424 0.0706231 -0.0185166 -0.05441029 0.083324781

1.1 -0.02073 -0.04601 0.093264 -0.0231244 -0.04607781 0.104059795

1.2 -0.02483 -0.03572 0.1117237 -0.0266916 -0.03567183 0.120112119

1.3 -0.02782 -0.02383 0.1251747 -0.0290576 -0.02366062 0.130759397

1.4 -0.02956 -0.01088 0.1330139 -0.0301161 -0.01058468 0.135522502

1.5 -0.02998 0.00257 0.1348899 -0.0298194 0.00296757 0.134187095

1.6 -0.02905 0.0159 0.1307186 -0.0281807 0.01638628 0.126813268

1.7 -0.02682 0.028518 0.120687 -0.025274 0.02906761 0.113732845

1.8 -0.02339 0.039857 0.1052448 -0.0212299 0.04044089 0.095534443

1.9 -0.01891 0.049409 0.0850843 -0.0162304 0.04999434 0.073036991

2 -0.01358 0.056746 0.0611094 -0.0105006 0.05729804 0.047252875

2.1 -0.00764 0.06154 0.0343948 -0.0042983 0.06202332 0.019342379

2.2 -0.00136 0.063574 0.0061383 0.0020974 0.06395756 -0.00943852

2.3 0.004976 0.062758 -0.022393 0.0083988 0.06301371 -0.03779469

2.4 0.011094 0.059129 -0.049921 0.0143222 0.05923424 -0.0644501

2.5 0.016714 0.052848 -0.075211 0.0196012 0.05278923 -0.08820525

2.6 0.021584 0.044199 -0.097128 0.023998 0.0439687 -0.10799117

2.7 0.025487 0.033568 -0.114692 0.027315 0.03316959 -0.12291749

2.8 0.028248 0.021432 -0.127114 0.0294028 0.02087784 -0.13231251

2.9 0.029742 0.008335 -0.133837 0.0301674 0.00764659 -0.13575348

3 0.029902 -0.00513 -0.134559 0.0295746 -0.00592876 -0.13308554

… … … … … … …

121

Grafik 4.10 Hubungan Antara Simpangan dan Waktu untuk Gerak Harmonik

Sederhana dengan Pendekatan Analitik dan Numerik dengan Metode

Euler-Cromer

Berdasarkan tabel 4.5 dan grafik 4.10 sampai 4.12 dapat disimpulkan bahwa pada

pada t = 0.1 s posisi beban menurut analisis numerik adalah 0.02865 m sedangkan

menurut analisis analitik posisi beban adalah 0.029328 m dengan demikian

perhitungan dengan analisis numerik menyebabkan kesalahan 2.31%. Pada t = 10

s posisi beban menurut analisis numerik adalah -0.024348 m sedangkan menurut

analisis analitik posisi beban adalah -0.02137 m dengan demikian perhitungan

dengan analisis numerik menyebabkan kesalahan 13,93%.

Menurut analisis analitik, periode gerak harmoniknya adalah selalu 2,96 s

sedangkan menurut analisis numerik periodenya 2,9 s kemudian 3 s dan 2,9 s.

Dengan demikian perhitungan dengan analisis numerik ini berturut-turut

menimbulkan kesalahan 2,03%, 1,35% dan 2,03% sehingga dapat disimpulkan

bahwa perhitungan periode gerak harmonik sederhana dengan metode Euler-

Cromer dapat diterima karena periode ayunan hampir sama periode menurut

analisis analitik.

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0 5 10 15

Sim

pan

gan

(m

)

Waktu (s)

x_analitik X_numerik

122

Grafik 4.11 Hubungan Antara Kecepatan dan Waktu untuk Gerak Harmonik

Sederhana dengan Pendekatan Analitik dan Numerik dengan

Metode Euler-Cromer

Berdasarkan tabel 4.5 dan grafik 4.10 sampai 4.12 dapat disimpulkan bahwa pada

pada t = 0.1 s posisi beban menurut analisis numerik adalah 0.02865 m sedangkan

menurut analisis analitik posisi beban adalah 0.029328 m dengan demikian

perhitungan dengan analisis numerik menyebabkan kesalahan 2.31% demikian

pula dalam perhitungan kecepatan dan percepatannya analisis numerik

menyebabkan kesalahan 0,75% dan 2,31%. Pada t = 10 s posisi beban menurut

analisis numerik adalah -0.024348 m sedangkan menurut analisis analitik posisi

beban adalah -0.02137 m dengan demikian perhitungan dengan analisis numerik

menyebabkan kesalahan 13,93% demikian pula dalam perhitungan kecepatan dan

percepatannya analisis numerik menyebabkan kesalahan 3,59% dan 13,93%.

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 5 10 15

kece

pat

an (

m/s

)

waktu (s)

V_analitik V_numerik

123

Grafik 4.12 Hubungan Antara Percepatan dan Waktu untuk Gerak Harmonik

Sederhana dengan Pendekatan Analitik dan Numerik dengan Metode

Euler-Cromer

Menurut analisis analitik periode gerak harmoniknya adalah selalu 2,96 s

sedangkan menurut analisis numerik periodenya 2,9 s kemudian 3 s dan 2,9 s.

Dengan demikian perhitungan dengan analisis numerik ini berturut-turut

menimbulkan kesalahan 2,03%, 1,35% dan 2,03% sehingga dapat disimpulkan

bahwa perhitungan periode gerak harmonik sederhana dengan metode Euler-

Cromer dapat diterima karena periode ayunan hampir sama periode menurut

analisis analitik.

Pertanyaan 4.2

Berdasarkan contoh soal 4.2, jawablah soal-soal berikut!

1. Jika nilai ∆t divariasikan pada nilai 0,01 s, 0,1 s dan 1s pada nilai increment

(∆t) berapakah periode gerak harmonik sederhana yang dihitung dengan

analisis numerik paling mendekati periode eksaknya?

2. Dengan menggunakan analisis analitik dan numerik selidikilah apakah periode

getaran pada pegas untuk gerak harmonik sederhana dipengaruhi oleh

amplitudonya?

3. Bagaimanakah pengaruh perubahan massa (m) terhadap periode gerak

harmonik sederhana? Apakah grafiknya dengan pendekatan numerik sesuai

dengan bentuk grafik dengan analisis analitik?

4. Bagaimanakah pengaruh perubahan nilai k terhadap periodenya?

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 5 10 15

Pe

rce

pat

an (

m/s

^2

Waktu (s)

a_analitik a_Numerik

124

4.2.2.2 Analisis Gerak Harmonik Sederhana dengan Pendekatan Numerik

pada Beban dan Pegas dengan Posisi Vertikal

Untuk kasus beban pada pegas vertikal ini karakteristiknya sama dengan

beban pada pegas horizontal sehingga untuk menganalisisnya digunakan teori

Euler-Cromer. Analog dengan kasus beban pada pegas horizontal maka solusi

numerik posisi dan kecepatan beban dirumuskan sebagai.


𝑚 𝑦𝑖∆𝑡 …(4.44)

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖+1 ∆𝑡 …(4.45)

dengan:

𝑣𝑖+1 = kecepatan beban pada waktu t = t +∆t

𝑣𝑖 = kecepatan beban pada waktu t = t

∆𝑡 = nilai Increment waktu (s)

4.2.3 Energi Gerak Harmonik Sederhana

Pada gerak harmonik sederhana berlaku hukum kekekalan energi sehingga

jumlah energinya selalu konstan. Hal ini berlaku jika tidak ada gaya disipatif yang

bekerja seperti adanya gaya gesek. Secara matematis persamaan energi untuk

gerak harmonik sederhana adalah

𝐸 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑘 …(4.46)

dimana Ep menyatakan energi potensial sedangkan Ek menyatakan energi

kinetik. Secara matematis besarnya energi potensial ini dirumuskan sebagai

𝐸𝑝 =1

2𝑘𝑥2 …(4.47)

dengan 𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 ( ω 𝑡 + δ ) Sehingga persamaan (4.47) dapat dituliskan

sebagai

𝐸𝑝 =1

2𝑘𝐴2 𝑐𝑜𝑠2 ( ω 𝑡 + δ ) …(4.48)

Karena cosines maksimum bernilai 1 maka besarnya energi potensial maksimum

adalah 𝐸𝑝 =1

2𝑘𝐴2. Secara umum besarnya energi kinetik gerak harmonik

sederhana dirumuskan sebagai

125

𝐸𝑘 =1

2 𝑚𝑣2 …(4.49)

dengan mengingat bahwa 𝑣 = −𝐴𝜔 Sin (ωt + δ) maka persamaan (4.49) dapat

dituliskan menjadi

𝐸𝑘 =1

2 𝑚𝐴2𝜔2 Sin2 (ωt + δ) …(4.50)

Karena 𝜔 = 𝑘

𝑚 maka persamaan (4.50) dapat dituliskan menjadi

𝐸𝑘 =1

2 𝑘𝐴2 Sin2 (ωt + δ) …(4.51)

Berdasarkan persamaan (4.50) dan (4.51) disimpulkan bahwa energi kinetik akan

bernilai maksimum 1

2 𝑚𝐴2𝜔2 dan

1

2 𝑘𝐴2. Besarnya energi mekanik adalah

𝐸𝑀 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑘

𝐸𝑀 =1

2𝑘𝐴2 …(4.52)

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa besarnya energi mekanis totalnya

adalah tetap, pada saat energi kinetiknya maksimum maka besarnya energi

potensial adalah nol dan sebaliknya.

Contoh 4.3

Suatu sistem terdiri dari pegas dengan tetapan 2 N/m dengan beban seberat 2 kg

mula-mula dalam keadaan diam kemudian beban ditarik sepanjang 10 cm dalam

arah horizontal kemudian dilepaskan. Analisislah gerakannya dengan

menggunakan Spreadsheet. Gunakan analitik dan metode metode Euler-Cromer

kemudian bandingkan hasil komputasinya (gunakan g= 9.8 m/s2 dan ∆t = 0,01s).

Penyelesaian

Langkah awal yang perlu kita lakukan untuk menyelesaikan soal tersebut adalah

dengan mendeklarasikan variable-variabel persamaanya dalam Spreadsheet


Tabel 4.6 Variabel-Variabel Energi Gerak Harmonik Sederhana


m 2 kg

A 0.1 m

k 2 N/m

to 0 s

∆t 0.01 s

126

ω 1 rad/s

Langkah selanjutnya adalah mengadakan komputasi dengan Spreadsheet untuk

menentukan nilai energi potensial, energi kinetik dan energi mekanik seperti tabel

berikut.

Tabel 4.7 Perbandingan Energi Potensial, Energi Kinetik dan Energi Mekanik

t Ep Ek EP +EK EM

0 0.01000 0.00000 0.01000 0.01

0.01 0.01000 0.00000 0.01000 0.01

0.02 0.00999 0.00000 0.01000 0.01

0.03 0.00999 0.00001 0.01000 0.01

0.04 0.00998 0.00002 0.01000 0.01

0.05 0.00997 0.00002 0.01000 0.01

0.06 0.00996 0.00004 0.00999 0.01

0.07 0.00994 0.00005 0.00999 0.01

0.08 0.00993 0.00006 0.00999 0.01

0.09 0.00991 0.00008 0.00999 0.01

0.1 0.00989 0.00010 0.00999 0.01

0.11 0.00987 0.00012 0.00999 0.01

0.12 0.00984 0.00014 0.00999 0.01

0.13 0.00982 0.00017 0.00999 0.01

0.14 0.00979 0.00019 0.00999 0.01

0.15 0.00976 0.00022 0.00999 0.01

0.16 0.00973 0.00025 0.00998 0.01

0.17 0.00970 0.00029 0.00998 0.01

0.18 0.00966 0.00032 0.00998 0.01

0.19 0.00962 0.00036 0.00998 0.01

0.2 0.00959 0.00039 0.00998 0.01

0.21 0.00955 0.00043 0.00998 0.01

0.22 0.00950 0.00048 0.00998 0.01

0.23 0.00946 0.00052 0.00998 0.01

0.24 0.00941 0.00057 0.00998 0.01

0.25 0.00936 0.00061 0.00998 0.01

0.26 0.00931 0.00066 0.00998 0.01

0.27 0.00926 0.00071 0.00997 0.01

0.28 0.00921 0.00076 0.00997 0.01

0.29 0.00915 0.00082 0.00997 0.01

0.3 0.00910 0.00087 0.00997 0.01

… … … … …

127

Grafik 4.13 Hubungan antara Energi terhadap waktu

Berdasarkan tabel 4.7 dapat disimpulkan bahwa perhitungan energi mekanik

dengan menggunakan penjumlahan energi kinetik dan potensial berbeda dengan

perhitungan energi mekanik secara langsung dari persamaan 𝐸𝑀 =1

2𝑘𝐴2. Hal ini

dapat juga kita lihat dari grafik 4.13. Berdasarkan grafik 4.13 terlihat bahwa grafik

EP + EK tidak menghasilkan garis lurus yang betul-betul lurus akan tetapi

menghasilkan garis yang memiliki beberapa simpangan. Sebagai ilustrasi pada t =

0,01 s jumlah energi mekanik dari penjumlahan energi kinetik dan potensial

menurut analisis numerik adalah 0.009999 J sedangkan menurut perhitungan

energi mekanik secara langsung dari persamaan energi mekanik adalah 0.01 J

dengan demikian perhitungan energi mekanik dari penjumlahan energi potensial

dan energi kinetik menimbulkan kesalahan 0.009999 %. Apabila data-data tabel

4.7 diperiksa secara keseluruhan akan kita dapati bahwa kesalahan maksimum

yang terjadi adalah hanya sekitar 0,5 %. Kesalahan yang terjadi ini sedemikian

kecil sehingga disimpulkan bahwa perhitungan jumlah energi dari penjumlahan

energi kinetik dan potensial menunjukkan nilai yang sama dengan nilai energi

mekanik jika dihitung dari persamaan 𝐸𝑀 =1

2𝑘𝐴2. Sumber utama kesalahan ini

adalah pada penggunaan jumlah angka desimal yang dipakai. Perhitungan energi

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0 5 10 15

Ene

rgi (

J)

Waktu (s)

Ep

Ek

EP +EK

128

mekanik dengan persamaan 𝐸𝑀 =1

2𝑘𝐴2 menggunakan 2 angka desimal

sedangkan perhitungan jumlah energi dari penjumlahan energi kinetik dan

potensial menggunakan 4 angka desimal sehingga otomatis menghasilkan hasil

perhitungan yang berbeda. Oleh karena itu hal yang perlu dilakukan agar hasil

perhitungan menunjukkan nilai yang teliti perlu dilakukan dengan angka desimal

yang banyak namun jumlah angka desimal yang digunakan sama.

Grafik 4.14 Hubungan Energi Terhadap Simpangan

Grafik 4.14 menunjukkan energi potensial, energi kinetik dan energi mekanik

sebagai fungsi dari simpangan dari titik kesetimbangannya. Berdasarkan gambar

4.14 dapat dilihat bahwa pada posisi setimbang (simpangannya bernilai nol)

energi potensialnya adalah nol sedangkan energi kinetiknya maksimum ( 0,01 J).

pada posisi yang lain energi kinetik dan potensial selalu memiliki jumlah yang

selalu sama dengan energi mekaniknya ( berapapun energi potensial dan energi

kinetiknya jumlah energinya selalu 0,01 J).

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

Ene

rgi (

J)

Simpangan (m)

Ep

Ek

EM

129

Pertanyaan 4.3

Berdasarkan soal contoh 4.3, jawablah pertanyaan-pertanyan berikut!

1. Bagaimanakah pengaruh fase getaran terhadap energi mekaniknya?

2. Berapakah energi potensial rata-ratanya?

3. Kapan jumlah energi potensial besarnya sama dengan energi kinetiknya?

4. Apa yang perlu dilakukan agar energi mekanik gerak harmonik sederhana

menjadi dua kali energi awal? Bagaimanakah pengaruhnya terhadap frekuensi

getarannya?

5. Berapakah energi kinetik dan potensialnya jika simpangannya adalah

setengah dari simpangan maksimumnya?

4.3 Osilator Non Harmonik

Pada sub bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa salah satu ciri gerak

harmonik adalah periode osilasi yang tidak bergantung pada amplitudo. Pada

kasus tersebut selalu berlaku hukum Hooke, namun untuk suatu sistem dengan

pegas yang tidak mematuhi hukum Hooke apakah periodenya tetap tidak

tergantung amplitudonya? Untuk menjawab pertanyaan ini mungkin berdasarkan

intusisi dapat dikemukakan bahwa periodenya tergantung pada amplitudonya.

Namun bagaimanakah hubungan antara periode terhadap amplitudonya?

Misalkan terdapat suatu pegas yang diletakkan pada bidang datar diberikan

beban pada ujungnya kemudian beban ini ditarik pada jarak tertentu, pegas yang

dipakai memiliki gaya pemulih yang dinyatakan dengan persamaan F = -k x3.

Berdasarkan hukum kedua Newton maka persamaan geraknya dapat dituliskan

𝐹 = 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥3 …(4.53)

Apabila percepatan dinyatakan dalam persamaan differensial maka persamaan

(4.53 ) dituliskan sebagai

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = −𝑘𝑥3

130

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = −𝑘

𝑚𝑥3 …(4.54)

apabila persamaan (4.54) dituliskan dalampersamaan differensial, maka akan kita

peroleh persamaan berikut

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2+

𝑘

𝑚𝑥3 = 0

persamaan differensial di atas tentu cukup sulit dipecahkan apabila kita

menggunakan pendekatan analitik karena sifatnya yang tidak linear. Salah satu

cara yang dapat kita gunakan untuk memecahkan persamaan (4.54) adalah dengan

menggunakan metode numerik, dengan uraian sebagai berikut. Persamaan (4.54)

dapat kita tuliskan dalam bentuk lain sebagai berikut

𝑑𝑣

𝑑𝑡= −

𝑘

𝑚𝑥3 …(4.55)

dengan mempergunakan teori Euler maka persamaan (4.55) dapat kita tuliskan

menjadi

𝑑𝑣



Δ𝑡= −

𝑘

𝑚𝑥3

sehingga


Δ𝑡= −

𝑘

𝑚𝑥3

atau

𝑣 𝑡 + Δ𝑡 = 𝑣 𝑡 −𝑘

𝑚𝑥3(𝑡) Δ𝑡 …(4.56)

Secara umum persamaan (4.56 ) dapat dituliskan

𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 − 𝑘

𝑚 𝑥3

𝑖 Δ𝑡 …(4.57)

dengan cara yang sama, maka persamaan posisi x dapat kita peroleh dengan cara

yang sama yakni dengan menuliskan persamaan posisi dalam persamaan berikut

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣 …(4.58)

131

apabila diuraikan dengan teori Euler maka persamaan (4.58) dituliskan sebagai

𝑥𝑖+1 = 𝑥3𝑖 + 𝑣𝑖 Δ𝑡

karena osilator non harmonik tidak memenuhi hukum kekekalan energi, maka

maka metode Euler tidak dapat digunakan lagi. Metode yang kita pilih adalah

metode Euler-Cromer sehingga persamaan kecepatan dan posisinya dapat

dinyatakan dengan persamaan berikut.


𝑚 𝑥3

𝑖 ∆𝑡 …(4.59)

𝑥𝑖+1 = 𝑥3𝑖 + 𝑣𝑖+1 ∆𝑡 …(4.60)

Contoh 4.4

Suatu osilator non harmonik terdiri dari pegas dengan tetapan 9 N/m dengan

beban seberat 0,2 kg mula-mula dalam keadaan diam kemudian beban ditarik

sepanjang 20 cm dalam arah horizontal kemudian dilepaskan. Analisislah

gerakannya dengan menggunakan Spreadsheet. Gunakan analitik dan metode

metode Euler-Cromer kemudian bandingkan hasil komputasinya. Catatan bahwa

g = 9,8 dan ∆t = 0,01s). Kemudian bandingkan hasilnya jika simpangan

maksimumnya diubah menjadi 1 m!

Penyelesaian


dengan mendeklarasikan variabel-variabel persamaanya dalam Spreadsheet


Tabel 4.8 Variabel-Variabel dalam Osilator Non Harmonik


m 0.2 kg

A 0.2 m

k 9 N/m

to 0 s

∆t 0.01 s

vo 0 m/s

132



berikut.

Tabel 4.9 Posisi, Kecepatan dan Percepatan untuk Osilator Non Harmonik

Amplitudo = 0,2 m Amplitudo = 1 m

t Posisi Kecepatan Percepatan Posisi Kecepatan Percepatan

0 0.2 0 -0.36 1 0 -45

0.01 0.199964 -0.0036 -0.3598056 0.9955 -0.45 -44.3952296

0.02 0.199892019 -0.00719805 -0.359417 0.986560477 -0.8939523 -43.2099389

0.03 0.199784097 -0.01079222 -0.35883538 0.97329996 -1.3260516 -41.4908785

0.04 0.199640291 -0.01438058 -0.35806106 0.955890355 -1.7409604 -39.3040001

0.05 0.199460679 -0.01796119 -0.35709551 0.934550351 -2.1340004 -36.7299746

0.06 0.199245358 -0.02153214 -0.35594028 0.909537349 -2.5013002 -33.8589998

0.07 0.198994442 -0.02509155 -0.35459724 0.881138446 -2.8398902 -30.7854117

0.08 0.198708067 -0.02863752 -0.35306853 0.849661003 -3.1477443 -27.6025732

0.09 0.198386385 -0.03216820 -0.35135659 0.815423302 -3.4237700 -24.3984292

0.1 0.198029567 -0.03568177 -0.34946415 0.778745759 -3.6677543 -21.2519897

0.11 0.197637803 -0.03917641 -0.34739420 0.739943016 -3.8802742 -18.2308677

0.12 0.1972113 -0.04265035 -0.34515001 0.699317187 -4.0625829 -15.38987

0.13 0.196750281 -0.04610185 -0.34273511 0.65715237 -4.2164816 -12.7705837

0.14 0.196254989 -0.0495292 -0.34015325 0.613710494 -4.3441875 -10.4016722

0.15 0.195725681 -0.0529307 -0.33740845 0.569228452 -4.4482042 -8.29988953

0.16 0.195162633 -0.0563048 -0.33450492 0.52391642 -4.5312031 -6.47140446

0.17 0.194566134 -0.0596498 -0.33144713 0.477957249 -4.5959171 -4.91337227

0.18 0.193936491 -0.0629643 -0.32823970 0.431506739 -4.6450509 -3.61555741

0.19 0.193274024 -0.0662467 -0.32488748 0.384694674 -4.6812064 -2.56189329

0.2 0.192579067 -0.0694956 -0.3213954 0.33762642 -4.7068254 -1.73189590

0.21 0.191851972 -0.0727095 -0.31776884 0.290384976 -4.724144 -1.10188163

0.22 0.191093099 -0.0758872 -0.31401292 0.243033344 -4.7351632 -0.64596666

0.23 0.190302825 -0.07902739 -0.31013317 0.195617116 -4.7416228 -0.33684729

0.24 0.189481538 -0.08212872 -0.30613513 0.148167202 -4.7449913 -0.14637562

0.25 0.188629637 -0.0851900 -0.30202459 0.100702651 -4.7464551 -0.04595526

133

0.26 0.187747534 -0.08821032 -0.2978072 0.053233505 -4.7469145 -0.00678840

0.27 0.18683565 -0.09118839 -0.29348895 0.00576368 -4.7469825

-8.61613E-

06

0.28 0.185894417 -0.09412328 -0.28907567 -0.04170614 -4.7469826 0.00326447

0.29 0.184924277 -0.09701403 -0.28457339 -0.08917564 -4.7469499 0.031911801

0.3 0.183925679 -0.09985977 -0.27998812 -0.13664195 -4.7466308 0.114806034

0.31 0.182899082 -0.10265965 -0.27532591 -0.18409673 -4.7454828 0.280770265

0.32 0.181844953 -0.10541291 -0.27059282 -0.23152353 -4.7426750 0.558467548

0.33 0.180763765 -0.10811884 -0.26579490 -0.27889443 -4.7370904 0.976184872

0.34 0.179655997 -0.11077679 -0.26093820 -0.32616772 -4.7273285 1.561476533

0.35 0.178522135 -0.11338617 -0.25602874 -0.37328486 -4.7117138 2.340634742

Berdasarkan tabel 4.9 dapat disimpulkan bahwa pada saat amplitudonya bernilai

0,2 m maka periode adalah sekitar 5.51 s sedangkan pada saat amplitudonya 1

maka periodenya menjadi 2,19 s hal ini menunjukkan bahwa untuk sistem osilator

non harmonik berlaku bahwa jika amplitudo semakin besar maka periode osilasi

osilatornya semakin kecil.

Grafik 4.15 Posisi Terhadap Waktu Dalam Osilator Non Harmonik untuk

Amplitudo 0,2 m

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 2 4 6 8Po

sisi

(m

)

Waktu (s)

134

Grafik 4.16 Kecepatan Terhadap Waktu untuk Osilator Non Harmonik

untuk Amplitudo 0,2 m

Grafik 4.17 Hubungan Percepatan Terhadap Waktu untuk Osilator Non

Harmonik untuk Amplitudo 0,2 m

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 2 4 6 8

Ke

cep

atan

(m

/s)

Waktu (s)

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 2 4 6 8

Pe

rce

pat

an (

m/s

^2)

Waktu (s)

135

Grafik 4.18 Hubungan Posisi Terhadap Waktu Dalam Osilator Non

Harmonik untuk Amplitudo 1 m

Grafik 4.19 Hubungan Kecepatan Terhadap Waktu untuk Osilator Non


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8Po

sisi

(m

)

Waktu (s)

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 2 4 6 8

Ke

cep

atan

(m

/s)

Waktu (s)

136

Grafik 4.20 Hubungan Percepatan Terhadap Waktu untuk Osilator Non


Berdasarkan grafik 4.15 sampai grafik 4.20 dapat disimpulkan bahwa semakin

besar amplitudo getarannya maka periodenya makin kecil, sebaliknya semakin

kecil amplitudonya maka periodenya makin besar. Apabila kita bandingkan antara

grafik 4.15 terhadap grafik 4.18 dapat disimpulkan bahwa perubahan amplitudo

hanya mempengaruhi periodenya saja getarannya tetap bersifat periodik.

Berdasarkan grafik (4.15) sampai (4.20) dapat pula diketahui bahwa pada

saat amplitudonya maksimum, maka kecepatan getaran adalah nol sedangkan

percepatannya bernilai minimum. Getaran akan berada pada nilai minimum dan

minimum jika nilai percepatan dan posisinya menunjukkan angka nol. Seiring

dengan bertambahnya waktu ternyata nilai maksimum dan minimum dari

amplitude, kecepatan dan percepatannya tetap. Dengan demikian disimpulkan

bahwa salah satu karakter osilator non harmonik adalah periode getaran

dipengaruhi amplitudonya.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8

Pe

rce

pat

an (

m/s

^2)

Waktu (s)

137

4.4 Gerak Harmonik Teredam (Damped harmonik Motion)

4.4.1 Gerak Harmonik Teredam Menurut Analisis Analitik

Selama ini dalam pembahasan gerak harmonik selalu diasumsikan adanya

keadaan ideal yaitu tidak ada gesekan yang bekerja pada osilator. Namun pada

kenyataannya tidaklah demikian, sebagai contoh dalam kasus ayunan sederhana

apabila diberikan suatu simpangan maka semakin lama amplitudonya semakin

kecil sehingga akhirnya berhenti. Dengan demikian jelas bahwa adanya gesekan

sangat mempengaruhi amplitudo ayunan. Gaya gesek ini dapat berupa gaya gesek

yang ditimbulkan udara ataupun dalam sistem ayunan sistem itu sendiri( gesekan

antara ujung tali dan dinding).

Gambar 4.4 Osilator Harmonik Teredam

Gambar 4.4 menunjukkan sebuah silinder yang dihubungkan beban yang

dimasukkan dalam suatu fluida dengan gaya redaman −𝑏𝑑𝑥

𝑑𝑡 dan gaya pemulih

pegas adalah –kx. Jika silinder diberi simpangan kemudian dilepaskan maka

silinder akan berosilasi dalam fluida dengan amplitudo yang semakin lama

semakin berkurang. Berkurangnya amplitudo gerak harmonik karena adanya

gesekan ini sering disebut sebagai redaman. Biasanya besarnya gesekan ini

sebanding dengan kecepatan akan tetapi berlawanan arahnya. Untuk

mempermudah dalam menganalisis digunakan pendekatan bahwa besarnya

beban

138

gesekan sebanding dengan kecepatan beban yang berosilasi. Gejala adanya

redaman dalam gerak harmonik ini dapat ditemui pada shock absorber sepeda

motor atau mobil. Misalkan besarnya gaya gesek adalah Fx = - b vx dimana vx

menyatakan kecepatan gerak osilasinya. Tanda negatif muncul karena gaya gesek

ini berlawanan arah dengan arah gerak osilasinya. Dengan menggunakan hukum

kedua Newton maka gaya total yang bekerja pada beban yang berosilasi

dinyatakan dengan

Σ𝐹𝑥 = −𝑏𝑣𝑥 − 𝑘𝑥 …(4.61)

𝑚 𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = −𝑏𝑑𝑥

𝑑𝑡− 𝑘𝑥

apabila kedua ruas persamaan dibagi dengan m akan diperoleh

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 =−𝑏

𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡−

𝑘

𝑚𝑥 …(4.62)

persamaan (4.62) dapat pula kita susun kembali menjadi persamaan berikut

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 +𝑏

𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝑘

𝑚𝑥 = 0 …(4.63)

Persamaan (4.63) adalah persamaan differensial gerak osilator harmonik dengan

redaman. solusi analitik persamaan (4.63) adalah

𝑥 = 𝐴𝑒− 𝑏

2𝑚 𝑡cos(𝜔′𝑡 + 𝜙) …(4.64)

frekuensi sudut 𝜔′ didefinisikan sebagai

𝜔′ = 𝑘

𝑚−

𝑏

2𝑚

2

…(4.65)

Kita dapat mengecek kebenaran bahwa persamaan (4.64) merupakan solusi

persamaan (4.63) dengan menghitung turunan pertama dan kedua dari x kemudian

mensubstitusikan kedalam persamaan (4.62 ) lalu mengecek bahwa suku kiri dan

kanan adalah sama.

139

Berdasarkan persamaan (4.64) dapat disimpulkan bahwa amplitudo

getaran 𝐴𝑒− 𝑏

2𝑚 𝑡 tidaklah konstan akan tetapi berkurang menurut faktor 𝑒−

𝑏

2𝑚 𝑡

sehingga amplitudo getarannya dapat berfluktuasi hingga menjadi nol. Dengan

memperhatikan persamaan (4.65) kita ketahui bahwa nilai 𝜔′ tidak tetap tetapi

tergantung pada nilai b dengan uraian sebagai berikut.

Jika 𝑘

𝑚=

𝑏

2𝑚

2

maka akan terjadi redaman kritis (Critical Damped).

Pada keadaan redaman kritis ini sistem tidak akan berosilasi lagi akan

tetapi akan kembali pada posisi kesetimbangan tanpa berosilasi ketika

diberi simpangan kemudian dilepaskan.

Jika 𝑘

𝑚>

𝑏

2𝑚

2

maka akan terjadi redaman kurang (Under Damped) pada

kondisi ini maka sistem akan berosilasi namun dengan amplitudo yang

akan semakin berkurang dengan bertambahnya waktu.

Jika 𝑘

𝑚<

𝑏

2𝑚

2

maka akan terjadi redaman lebih (Over Damped). Pada

keadaan ini sistem tidak akan berosilasi lagi, namun sistem akan kembali

pada posisi kesetimbangan lebih lambat jika dibandingkan dalam kasus

teredam kritis.

4.4.2 Gerak Harmonik Teredam Menurut Analisis Numerik

Pada kesempatan ini kita akan menganalisis gerak harmonik dengan

redaman menggunakan pendekatan analisis numerik. Untuk menganalisis gerak

tersebut akan digunakan metode Euler-Cromer dengan uraian sebagai berikut.

Persamaan (4.63 ) kita uraiakan sebagai berikut

𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 =−𝑏

𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡−

𝑘

𝑚𝑥 …(4.66)

Berdasarkan definisi bahwa 𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 maka persamaan ( 4.66) dapat dituliskan

menjadi

𝑑𝑣

𝑑𝑡=

−𝑏

𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡−

𝑘

𝑚𝑥 …(4.67)

140

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣 …(4.68)

Solusi numerik dengan metode Euler-Cromer persamaan (4.67) dan (4.68) adalah

𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 −𝑏

𝑚 𝑣𝑖 Δ𝑡 −

𝑘

𝑚𝑥𝑖 Δ𝑡 …(4.69)

dan

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖+1 Δ𝑡 …(4.70)

Berdasarkan persamaan (4.69 ) dan (4.70) jelas dapat disimpulkan bahwa solusi

dengan analisis numerik lebih mudah dibandingkan solusi eksaknya.

Contoh 4.5

Misalkan dalam sistem gerak harmonik teredam terdapat balok dengan massa 1 kg

dan konstanta pegas 8 N/m. Kemudian balok ditarik sejauh 20 cm kemudian

dilepaskan, jika b= 0,23 analisislah geraknya kemudian bandingkan solusi analitik

terhadap solusi numeriknya.

Penyelesaian


dengan mendeklarasikan variabel-variabel persamaanya dalam Spreadsheet


Tabel 4.10 Variabel-Variabel dalam Gerak Harmonik Teredam


v 0 m/s

k 8 N/m

xo 0.2 m

b 0.23

dt 0.05 s

m 1 kg

141



berikut.

Tabel 4.11 Perbandingan Posisi Benda Menurut Analisis Analitik dan

Numerik

t v X _Numerik

X

_Analitik

0 0 0.2 0.2

0.05 -0.08 0.196 0.19687136

0.1 -0.15748 0.188126 0.18987013

0.15 -0.23092 0.17658003 0.1791796

0.2 -0.2989 0.16163524 0.16505417

0.25 -0.36011 0.14362961 0.14781355

0.3 -0.41342 0.12295845 0.12783561

0.35 -0.45785 0.10006584 0.10554827

0.4 -0.49261 0.07543518 0.0814204

0.45 -0.51712 0.04957907 0.05595201

0.5 -0.53101 0.02302872 0.02966406

0.55 -0.53411 -0.0036769 0.00308779

0.6 -0.5265 -0.0300018 -0.0232459

0.65 -0.50844 -0.055424 -0.048817

0.7 -0.48043 -0.0794453 -0.0731266

0.75 -0.44312 -0.1016015 -0.0957065

0.8 -0.39739 -0.1214709 -0.1161282

0.85 -0.34423 -0.1386823 -0.134011

0.9 -0.2848 -0.1529222 -0.1490289

0.95 -0.22035 -0.1639398 -0.1609165

1 -0.15224 -0.171552 -0.1694737

1.05 -0.08187 -0.1756456 -0.1745685

1.1 -0.01067 -0.1761792 -0.1761395

1.15 0.059922 -0.173183 -0.1741957

1.2 0.128507 -0.1667577 -0.168816

1.25 0.193732 -0.1570711 -0.1601464

1.3 0.254332 -0.1443545 -0.1483967

1.35 0.309149 -0.128897 -0.1338353

1.4 0.357153 -0.1110394 -0.1167834

1.45 0.397461 -0.0911663 -0.0976081

1.5 0.429357 -0.0696985 -0.0767143

1.55 0.452299 -0.0470835 -0.0545365

1.6 0.465931 -0.023787 -0.0315295

142

1.65 0.470087 -0.0002826 -0.0081597

1.7 0.464795 0.02295714 0.01510488

1.75 0.450267 0.04547046 0.03780359

… … … …

Langkah selanjutnya adalah membuat grafik dengan Spreadsheet untuk hubungan

simpangan terhadap waktu seperti tabel berikut.

Gambar 4.21 Gerak Harmonik Teredam Terhadap Waktu untuk 𝜙 = 0

Berdasarkan tabel (4.7) dan grafik (4.21) disimpulkan bahwa amplitudo

gerak harmonik dengan redaman tidaklah tetap, akan tetapi amplitudonya

menurun sebagai fungsi waktu. Berdasarkan tabel (4.7) dapat disimpulkan bahwa

simpangan pada t = 0.05 s menurut analisis analitik adalah 0.19687136 m

sedangkan menurut analisis numerik simpangannya adalah 0.196 m dengan

demikian perhitungan dengan analsis numerik mengandung kesalahan 0.44%.

Namun demikian kesalahan yang ditimbulkan perhitungan dengan analisis

numerik tidaklah linear akan tetapi selalu berfluktuasi terhadap waktunya.

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 10 20 30 40 50 60Sim

pan

gan

(m

)

Waktu (s)

x Numerik x Analitik

143

Gambar 4.22 Grafik Gerak Harmonik Dengan Redaman untuk b yang

berbeda

Berdasarkan gambar (4.22) terlihat bahwa dengan semakin besar nilai b

maka amplitudo getarannya semakin cepat menurun apabila dibandingkan

untuk nilai b yang lebih kecil akan tetapi jika nilai b semakin besar maka

periodenya akan bertambah.

Grafik 4.23 Gerak Harmonik Dengan Redaman untuk k yang berbeda

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 10 20 30 40 50 60

Sim

pan

gan

(m

)

Waktu (s)

b= 0.25 b= 0.1

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 10 20 30 40 50 60Sim

pan

gan

(m

)

Waktu (s)

k=1 k=8

144

Berdasarkan gambar (4.23) dapat disimpulkan bahwa nilai k tidak berpengaruh

terhadap laju penurunan amplitudonya, apabila k semakin kecil maka periodenya

semakin besar.

Pertanyaan 4.4

Berdasarkan soal dalam contoh 4.5, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut!

1. Tentukan nilai b sehingga sistem berperilaku sebagi redaman kritis!

Gambarkan grafiknya!

2. Tentukan nilai b sehingga sistem berperilaku sebagi redaman lebih!

Gambarkan grafiknya!

3. Bagaimanakah pengaruh sudut fase terhadap laju penurunan amplitudo dan

periodenya!

4. Apakah jenis redamannya ditentukan oleh nilai k ?

5. Bagaimanakah pengaruh masa beban terhadap redamannya?

145

Kesimpulan

1. Solusi analitik ayunan sederhana untuk sudut yang cukup kecil dinyatakan

dalam persamaan:

𝜃 = 𝜃0 𝑐𝑜𝑠 ( ω 𝑡 + δ )

𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡= −𝜃0 ω sin(ωt + δ)

𝛼 = 𝑑2𝜃

𝑑𝑡 2 = −𝜃0 ω2 𝑐𝑜𝑠 (ω𝑡 + δ)

2. Solusi numerik ayunan sederhana untuk sudut yang cukup kecil

dinyatakan dalam persamaan:

𝜔1+1 = 𝜔𝑖 − 𝑔

𝑙 𝜃𝑖 Δ𝑡

𝜃𝑖+1 = 𝜃𝑖 + 𝜔𝑖 Δ𝑡

3. Solusi numerik ayunan sederhana untuk sudut yang cukup kecil dengan

metode Leapfrog dinyatakan dalam persamaan:

𝜃𝑖+1 = 𝜃𝑖 + 𝜔𝑖∆𝑡 +𝛼𝑖 ∆𝑡2

2

𝜔𝑖+1 = 𝜔𝑖 +𝛼𝑖+𝛼𝑖+1

2 ∆𝑡

4. Solusi analitik gerak harmonik sederhana dengan pegas dalam posisi

horizontal dinyatakan dalam persamaan:

𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 ( ω 𝑡 + δ )

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝐴𝜔 Sin (ωt + δ)

a= 𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 = −𝐴ω2 𝐶𝑜𝑠 (ω𝑡 + δ)

5. Solusi analitik posisi untuk gerak harmonik sederhana dengan pegas dalam

posisi vertikal dinyatakan dalam persamaan 𝑦 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝛿)

6. Solusi numerik gerak harmonik sederhana dengan pegas dalam keadaan

horizontal dinyatakan dalam persamaan:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖 Δ𝑡

𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 − 𝑘

𝑚 𝑥 𝑖Δ𝑡


horizontal dengan metode Euler Cromer dinyatakan dalam persamaan:

146


𝑚 𝑥𝑖∆𝑡

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖+1 ∆𝑡


vertical dengan metode Euler Cromer dinyatakan dalam persamaan:


𝑚 𝑦𝑖∆𝑡

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖+1 ∆𝑡

9. Besarnya energi pada gerak harmonik sederhana dinyatakan dengan

persamaan:

𝐸𝑝 =1

2𝑘𝐴2 𝑐𝑜𝑠2 ( ω 𝑡 + δ )

𝐸𝑘 =1

2 𝑘𝐴2 Sin2 (ωt + δ)

𝐸𝑀 =1

2𝑘𝐴2

10. Pada gerak Osilasi Non harmonik periode osilasinya tergantung pada

amplitudo getarannya.

11. Persamaan differensial gerak harmonik dengan redaman dinyatakan

dengan persamaan 𝑑2𝑥

𝑑𝑡 2 +𝑏

𝑚

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝑘

𝑚𝑥 = 0

12. Solusi analitik gerak harmonik dengan redaman dinyatakan dalam

persamaan:

𝑥 = 𝐴𝑒− 𝑏

2𝑚 𝑡cos(𝜔′𝑡 + 𝜙)

𝜔′ = 𝑘

𝑚−

𝑏

2𝑚

2

13. Solusi numerik gerak harmonik dengan redaman dinyatakan dalam

persamaan:

𝑣𝑖+1 = 𝑣𝑖 −𝑏

𝑚 𝑣𝑖 Δ𝑡 −

𝑘

𝑚𝑥𝑖 Δ𝑡

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖+1 Δ𝑡

147

Soal:

1. Buatlah lembar kerja dalam Spreadsheet untuk menganalisis pengaruh

sudut osilasi dalam kasus ayunan sederhana dengan sudut yang besar

misalkan pada sudut 200 terhadap periode getarannya. Bandingkan hasil

komputasi Anda dengan analisis analitik yang menyatakan bahwa untuk

sudut besar berlaku bahwa periodenya dirumuskan menurut persamaan:

𝑇 = 2𝜋 𝑙

𝑔 1 +

12

22𝑠𝑖𝑛2

𝜃

2+

12

22

32

42𝑠𝑖𝑛4

𝜃

2+ ⋯

2. Suatu ayunan sederhana terdiri dari seutas tali yang memiliki panjang 1m

dengan beban seberat 10 gra.m mula-mula dalam keadaan diam dengan

posisi sudut awal 0,15 rad. Jika kecepatan sudut awalnya 0 rad/s dan beban

kemudian dilepaskan analisislah gerakannya dengan menggunakan

Spreadsheet dengan menggunakan analitik dan pendekatan numerik

dengan menggunakan metode Euler-Cromer dan metode Leapfrog

kemudian selidikilah metode manakah yang memiliki ketelitian lebih

tinggi jika dibandingkan solusi analitiknya. (catatan bahwa g = 9,8 dan ∆t

= 0,04).

3. Gaya pemulih suatu pegas dalam kasus gerak harmonik sederhana

dinyatakan dengan 𝐹 = −𝑘𝑥2. Buatlah suatu lembar kerja dalam

Spreadsheet untuk menganalisis kasus ini kemudian selidikilah apakah

periode getarannya tergantung pada amplitudo getarannya atau tidak!

4. Buatlah lembar kerja dalam Spreadsheet untuk menganalisis pengaruh

beda fase terhadap periode getaran gerak harmonik dengan redaman.

BAB IV Osilasi Tujuan Instruksional · dalam pegas shock absorber mobil. Karakteristik gerak...

Documents

Transcript of BAB IV Osilasi Tujuan Instruksional · dalam pegas shock absorber mobil. Karakteristik gerak...