55

BAB IV

JAJAR GENJANG, BELAH KETUPAT, LAYANG-LAYANG,

TRAPESIUM DAN LINGKARAN

1. Jajar Genjang

Pengertian Jajar Genjang

Segitiga ABC pada gambar di atas diputar setcngah putaran pada titik

tengah BC, maka ABC dan bayangannya membentuk bangun jajar genjang

ABDC (Gambar (ii)). Jadi, jajar genjang dibentuk dari suatu segitiga dan

bayangannya setelah diputar setengah putaran pada titik tengah salah satu sisinya.

Bila ABC diputar setengah putaran pada titik tengah sisi yang lain, maka ABC

dan bayangannya akan membentuk jajargenjang berikut.

Pada Gambar (i) ABC diputar setengah putaran pada titik tcngah AC,

rnaka ABC dan bayangannya membentuk jajargenjang ABCD. Pada Gambar (ii)

ABC diputar setengah putaran pada titik tengah AB, maka ABC dan

bayangannya membentuk jajar genjang ADBC.

(i) (ii)

A

D

B

C

C

A B

D

56

Sifat-sifat Jajar Genjang

1) Jajar genjang ABCD diputar setengah putaran pada O, rnaka:

AB → CD

Jadi, AB = CD dan AB//CD.

BC → DA

jadi, BC = DA dan BC// DA

Karena AB # CD dan BC # DA ( #: sama

dan sejajar), maka dapat disimpulkan

bahwa:

Pada setiap jajar genang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

2) Jajar genjang ABCD diputar setengah putaran pada O, maka:

ABC → CDA, Jadi ABC = CDA

BAD → DCB, Jadi BAD= DCB

Karena ABC = CDA dan BAD = DCB maka dapat disimpulkan

bahwa:

Pada setiap jajar genjang sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

3) Pada jajar genjang ABCD, AB // CD dan AD // BC

Karena AB//CD dan A dengan D

maupun B dengan C merupakan sudut

dalam sepihak, maka:

A + D = 180°

B + C = 180°

Karena AD//BC dan A dengan B

maupun C dengan D merupakan sudut

dalam sepihak, maka:

B C

D A

C

D A

B

O

57

A + B = 180°

C + D = 180°

Dengan demikian dapat disimpulkan:

Pada setiap jajar genjang jumlah besar sudut-sudut yang berdekatan = 180O

4) Jajargenjang ABCD diputar setengah putaran pada O, maka:

OA → OC

Jadi, OA = OC

OB → OD

Jadi, OB = OD

Karena OA = OC dan OB = OD, maka dapat disimpulkan bahwa:

Pada setiap jajar genjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama

panjang.

Berdasarkan sifat-sifat di atas dapat kita berikan batasan berikut:

Jajargenjang adalah segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar dan sama

panjang serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Contoh:

Pada jajargenjang PQRS yang diagonal-diagonalnya berpotongan di O

diketahui PQ = 8cm, PS = 6 cm, QS = 7 cm, dan QPS = 58°. Tentukanlah:

a. Panjang QR

b. Panjang QO

c. Besar QRS

d. Besar PQR

Jawab:

58

a. QR = PS (sisi-sisi yang berhadapan sama besar)

= 6 cm

b. QO = 2

1QS (diagonal-diagonal saling membagi dua sama panjang)

= 2

1 x 7 cm

= 32

1 cm

c. QRS = QPS (sudut yang berhadapan sama besar)

= 58O

d. PQR = 180O – QPS (jumlah sudut yang berdekatan 180O)

= 180O – 58O

= 122O

2. Belah Ketupat

59

Gambar (i) di atas adalah segitiga sama kaki ABC dengan AB = BC dicerminkan

terhadap alas AC (Gambar (ii)) sehingga ABC dan bayangannya membentuk

segiempat ABCB yang disebut belah ketupat (Gambar (iii)).

Jadi, belahketupat dibentuk dari segitiga sama kaki dan bayangannya oleh

pencerminan terhadap alas segitiga tersebut.

Belahketupat ABCD (Gambar (i)) dibentuk dari segitiga sama kaki ABC dan

bayangannya (ADC) setelah dicerminkan terhadap alas AC.

Belahketupat PQRS (Gambar (ii)) dibentuk dari segitiga sama kaki PQR dan

bayangannya (PSR) setelah dicerminkan terhadap alas PR.

Sifat-sifat Belahketupat

1. ABC kongruen dengan ADC, maka:

AB = AD ..................................................(1)

BC = CD ...................................................(2)

ABC sama kaki, maka:

AB = BC ...................................................(3)

ADC sama kaki, maka:

CD = AD ................................................. (4)

Dan persamaan-persamaan di atas dapat disimpulkan hal berikut ini.

AB = BC ........................ (3)

BC = CD ......................... (2)

60

CD = AD ........................ (4)

Jadi, AB = BC = CD = AD

Semua sisi pada setiap belahketupat sama panjang. .

2. Perhatikan belahketupat ABCD pada Garnbar 5.8.

Segitiga ABC sama kaki dengan AB = CB, maka BC merupakan sumbu

simetri. Segitiga ABC sama kaki dengan AD = CD, maka OD merupakan

sumbu simetri.

Karena BOC dan COD saling berpelurus, maka BD adalah garis lurus

yang merupakan sumbu simetri belahketupat.

Segitiga sama kaki ABC kongruen dengan segitiga sama kaki ADC, maka AC

merupakan sumbu simetri belahketupat.

Karena AC dan BD merupakan sumbu simetri, maka dapat disimpulkan

bahwa:

Pada setiap belah ketupat kedua diagonalnya merupakan sumbu simetri.

3.

61

Pada letak 2, belahketupat ABCD dibalik menurut sumbu simetri BD, maka:

A → C, sehingga A = C.

Pada letak 3, belahketupat ABCD dibalik menurut sumbu simetri AC, maka:

B → D, sehingga, B = D

Karerta A = C, B = D dan kedua diagonal belahketupat merupakan

sumbu simetri, maka dapat disimpulkan:

Pada setiap belahketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi

dua smaa besar oleh diagonalnya.

4. Pada gambar di samping, belahketupat ABCD diputar setengah putaran pada

O, maka:

OA → OC, sehingga OA = OC

OB → OD, sehingga OB = OD

AOB = AOD = ½ x 180O

= 90O

Karena OA = OC, OB = CD dan

AOB = 90O, maka dapat

disimpulkan hal berikut ini.

Pada setiap belahketupat kedua diagonalnya saling membagi dua sama

panjang dan saling berpotongan tegak lurus

Berdasarkan sifat-sifat di atas dapat kita berikan batasan berikut.

Belahketupat adalah segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar, keempat

sisinya sama panjang dan sudut-sudut yang berhadapan sarna besar

62

Berdasarkan sifat-sifat belahketupat yang telah kita pelajari, kita dapat

mengerjakan lukisan dalam Geometri yang pengerjaannya menggunakan mistar

dan jangka.

Pelajaran lukisan dasar dalam Geometri ini bertahun-tahun lamanya

menggunakan buku karangan Euclides, seorang ahli Matematika Yunani yang

hidup di Iskandaria kira-kira pada tahun 300 S.M.

Dengan lukisan dasar Geometri, kita dapat melukis garis-garis istimewa

dalam suatu segitiga, yaitu:

1. Garis tinggi

2. Garis bagi

3. Garis berat

4. Garis sumbu

Melukis Garis Tegak Lurus

a. Melukis Garis Tegak Lurus pada Suatu Garis dan Suatu Titik di luar Garis

Untuk melukis garis dari titik P yang tegak lurus dengan garis k (Gambar (i)),

bayangkanlah titik P sebagai titik sudut belahketupat dan garis k scbagai garis

yang memuat diagonal belahketupat (Gambar (ii)).

Dengan demikian langkah-langkah rnelukisnya adalah:

1. Lukis busur lingkaran dengan pusat P sehingga memotong garis k di titik

A dan B.

2. Dengan titik A dan B sebagai pusat dan jari-jari tetap, buatlah busur

lingkaran yang saling berpotongan di titik C.

63

3. Hubungkan P dan C, maka PC tegak lurus dengan garis k (PC ⊥ k) karena

PACB belahketupat

b. Melukis Garis Tegak Lurus pada Suatu Garis dan Suatu Titik yang Terletak

pada Garis

Untuk melukis garis dari titik M yang tegak lurus dengan garis k,

bayangkanlah titik M sebagai titik tengah dan alas segitiga sama kaki

(Gambar (ii)) sehingga sudut pada M rnerupakan sudut siku-siku.

Dengan demikian, langkah-langkah melukisnya adalah:

0) Lukis busur Iingkaran dengan pusat M sehingga memotong garis k di titik

A dan B.

1) Dengan titik A dan B sebagai pusat dan jari-jari lebih panjang dari MA

buatlah busur lingkaran yang saling berpotongan di C.

2) Hubungkan C dan M, maka CM tegak lurus dengan garis k (CM ⊥ k)

64

c. Garis Tinggi Suatu Segitiga

Dangan pengetahuan melukis garis tegak lurus

terhadap garis yang ditentukan, maka kita dapat

melukis garis tinggi suatu segitiga AD tegak

lurus dengan sisi BC. AD disebut garis tinggi

segitiga ABC. Garis tinggi yang lain adalah B E

dan CF. Ketiga garis tinggi, yaitu AD, BE, dan

CF bertemu pada satu titik yaitu T. T disebut

titik tinggi.

Catatan: tiga garis atau lebih yang melalui suatu titik disebut konkruen.

iGaris tinggi suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga

dan tegak lurus terhadap sisi di hadapannya.

Melukis Garis Bagi Suatu Sudut

a. Membagi Sudut Menjadi dua Sama Besar

Untuk melukis garis yang membagi sudut (Gambar (i)) menjadi dua bagian

yang sama, bayangkan kedua kaki sudut sebagai sisi-sisi yang berdekatan

pada belahketupat dan garis bagi sudut sebagai salah satu diagonalnya

(Gambar (ii)).

65

Dengan demikian, langkah-langkah melukisnya adalah:

1) Lukis busur lingkaran dengan pusat P sehingga memotong kaki sudut PQ

di S dan kaki sudut PR di T.

2) Dengan titik S dan T sebagai pusat dari jari-jarinya tetap, buatah busur

lingkaran yang saling berpotongan di titik U.

3) Hubungkan P dan U, maka PU adalah garis yang membagi QPR

menjadi dua sudut sama besar, yaitu QPU dan RPU.

b. Garis Bagi Suatu Segitiga

AD membagi BAC menjadi dua sudut

sama besar, yaitu BAD = CAD. AD

disebut garis bagi pada ABC. Garis

bagi yang lain adalah BE dan CF. Ketiga

garis bagi bertemu pada satu titik yaitu

Z. Z merupakan titik pusat lingkaran

dalam pada ABC.

Garis bagi suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan

membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besar

Melukis Sumbu Ruas Garis

a. Melukis Sumbu Ruas Garis

Sumbu ruas garis adalah garis yang membagi dua sama panjang ruas garis itu

dan tegak lurus pada ruas garis itu. Untuk melukis sumbu ruas garis AB,

bayangkan titik A dan B sebagai titik sudut belahketupat dan AB sebagai

A

66

diagonal belahketupat, sehingga diagonal yang lain merupakan sumbu ruas

garis AB.

Dengan demikian, langkah-langkah melukisnya adalah:

1) Dengan titik A sebagai pusat dan

jari-jari lebih dari ½ AB, buatah

busur lingkaran di atas dan di bawah

garis AB.

2) Dengan titik B sebagai pusat dan

jari-jari tetap, buatlah busur

lingkaran di atas dan di bawah garis

AB, sehingga berpotongan dengan

busur tadi di titik P dan Q.

3) Hubungkan P dan Q maka PQ adalah

sumbu garis AB.

b. Garis Sumbu Suatu Segitiga

c.

Ketiga garis sumbu pada segitiga ABC

di samping bertemu pada satu titik, yaitu

M. Titik M merupakan titik pusat

lingkaran luar segitiga ABC, yaitu

lingkaran yang melalui titik sudut A, B,

dan C.

67

Garis sumbu suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari pertengahan sisi

segitiga dan tegaklurus dengan sisi itu.

d. Garis Berat Suatu Segitiga

Titik D, B, dan F adalah titik tengah dan sisi-sisi segitiga ABC.

Garis AD, BE, dan CF disebut garis

berat segitiga ABC. Ketiga garis berat

bertemu pada satu titik (titik C) yang

disebu titik berat.

Garis berat suatu segitga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke

pertengahan sisi di hadapannya.

3. Layang-layang

Pengertian Layang-Layang

Kedua segitiga pada Gambar (i) dan (ii) di atas adalah segitiga sama kaki yang

memiliki alas yang sama panjang, yaitu BD. Bila segitiga ABD dan CBD

diimpitkan alasnya, maka terbentuk bangun segiempat ABCD pada Gambar (iii)

dan (iv) yang disebut layang-layang.

Sifat-sifat Layang-Layang

68

1. Layang-layang ABCD dibentuk dari segitiga sama kaki ABD dan segitiga

sama kaki BCD.

ABD sama kaki, maka AB = AD.

BCD sama kaki, maka BC = CD.

Karena AB = AD dan BC = CD, maka

dapat disimpulkan

Pada setiap layang-layang, sisinya

sepasang-sepasang sama panjang.

2. ABD sama kaki, maka ABD = ADB

BCD sama kaki, maka CBD = CDB

ABD + CBD = ADB + CDB

Jadi, ABC = ADC

Karena ABC = ADC, maka dapat

disimpulkan:

Pada setiap layang-layang, sepasang sudut

yang berhadapan sama besar.

3. Segitiga ABD sama kaki dengan AB = AD,

maka AO merupakan sumbu simetri.

Segitiga BCD sama kaki dengan BC = CD,

maka OC merupakan sumbu simetri.

Karena AOD dan DOC saling berpelurus,

maka AC adalah garis lurus yang merupakan

sumbu simetri layang-layang ABCD.

Dengan demikian dapat disimpulkan:

Pada setiap layang-layang salah satu

diagonalnya merupakan sumbu simetri.

69

4. Pada gambar di samping, layang-layang

ABCD dibalik menurut sumbu simetri AC,

maka:

OB →OD

Jadi, OB = OD

AOB = AOD = ½ x 180°

= 90O

Karena OB = OD dan AOB = 90°, maka dapat disimpulkan:

Pada setiap layang-layang salah satu diagonal membagi dua sama panjang

diagonal lain dan tegak lurus dengan diagonal itu.

4. Trapesium

Pengertian Trapesium

Keempat segiempat pada Gambar di atas masing-masing hanya memiliki

sepasang sisi berhadapan yang sejajar. Segiempat seperti itu disebut trapesium.

Gambar (i) dan (ii) adalah trapesium yang keempat sisinya tidak sama

panjangnya, disebut trapesium sembarang. Gambar (iii) adalah trapesium yang

memiliki sepasang sisi berhadapan sama panjang, disebut trapesium sama kaki.

Sedangkan Gambar (iv) adalah trapesium yang memiliki sudut siku-siku, disebut

trapesium siku-siku.

Trapesium adalah segiempat dengan sepasang sisi yang berhadapan sejajar

70

5. Lingkaran

Unsur-unsur Lingkaran

Dari benda-benda yang kita lihat, sering terdapat benda yang pada bagian

tepinya berbentuk lengkung melingkar yang disebut lingkaran. Beberapa benda

yang bagian tepinya berbentuk lingkaran di antaranya diperlihatkan pada gambar

berikut.

Selain benda-berida tersebut, masih banyak benda lain yang bagian

tepinya berbentuk lingkaran. Dapatkah kamu menyebutkan contoh lainnya?

Selanjutnya untuk memahami unsur-unsur yang terdapat pada lingkaran,

perhatikan uraian berikut ini.

- Titik O disebut pusat lingkaran

- Garis OA, OB dan OC disebut jari-jari

atau radius (r).

- Garis AC disebut garis tengah atau

diameter (d), yaitu garis yang

menghubungkan dua titik pada

lingkaran dan melalui titik pusat

lingkaran

- Garis lurus FG disebut tali busur.

- Garis lengkung AB dan FG disebut busur.

- Daerah arsiran yang dibatasi oleh dua jari-jari, misalnya OA, OB, dan busur

AB disebut juring atau sektor.

71

- Daerah arsiran yang dibatasi oleh tali busur EG dan busur FG disebut

tembereng.

- Garis OD (tegak lurus FG) disebut apotema, yaitu jarak terpendek antara tali

busur dengan pusat lingkaran.