BAB IV

DISPERSI DATA

Dispersi adalah ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data.

Ukuran dispersi yang sering digunakan dalam penelitian ialah jangkauan (range),

simpangan rata-rata (mean deviation), variansi (variance), dan deviasi baku (standard

deviation). Selain itu pada bab ini juga dibahas tentang simpangan kuartil, koefisien

variasi, kemiringan, dan kurtosis. Dalam dispersi data dibedakan antara ukuran dispersi

pada populasi dan ukuran dispersi pada sampel.

1. Jangkauan (range)

Jangkauan sebuah distribusi frekuensi dirumuskan sebagai beda antara pengukuran

nilai terbesar dan nilai terkecil yang terdapat dalam sebuah distribusi. Untuk

menghitung jangkauan tidak terdapat perbedaan rumus maupun simbol untuk data

populasi maupun data sampel.

Dirumuskan: Range (r) = nilai max – nilai min

Contoh untuk data tunggal:

• Data 1: 50,50,50,50,50 ; mempunyai r = 50-50=0

• Data 2: 30,40,50,60,70 ; mempunyai r = 70-30=40

Contoh untuk data bergolong:

Mempunyai range data = 73 – 61 = 12

2. Simpangan rata-rata (mean deviation)

Simpangan Rata-rata (SR) adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan

nilai rata-rata dibagi banyaknya data. Baik pada populasi maupun sampel digunakan

rumus yang sama untuk menghitung simpangan rata-rata. Akan tetapi, digunakan

simbol yang berbeda untuk mean ( pada populasi dan X pada sampel) dan untuk

banyaknya data (N pada populasi dan n pada sampel)

a. Simpangan Rata-rata pada Populasi

• Bila data tunggal, maka:

N

XSR

||

• Bila data bergolong, maka:

,||

N

XfSR

populasiuntuk databanyak

populasiuntuk hitungrata-rata

datanilai

:manadi

N

X

Contoh untuk data tunggal:

Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data populasi: 20,30,50,70,80!

205

100

5

302002030

5

|5080||5070||5050||5030||5020|

,5,50hitungrataRata

SR

makaN

Contoh untuk data bergolong:

Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan

data populasi.

Rata – rata dari data tersebut adalah 140,525

396,1140

850,455||

f

XfSR

b. Simpangan Rata-rata pada Sampel

• Bila data tunggal, maka:

n

XXSR

||

• Bila data bergolong, maka:

,n

XXfSR

sampeluntuk databanyak

sampeluntuk hitungrata-rata

datanilai

:manadi

n

X

X

Contoh untuk data tunggal:

Tentukanlah simpangan rata-rata untuk kelompok data sampel: 20,30,50,70,80.

205

100

5

302002030

5

|5080||5070||5050||5030||5020|

,5,50hitungrataRata

SR

makanX

Contoh untuk data bergolong:

Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan

data sampel.

Rata-rata dari data tersebut adalah 140,525

396,1140

850,455||

f

XXfSR

3. Variansi (variance)

Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai

data terhadap rata-rata hitung. Untuk menghitung variansi, digunakan rumus dan

simbol yang berbeda antara data sampel dan data populasi.

a. Variansi Pada Populasi

• Bila data tunggal, maka:

N

X

2

2)(

• Bila data bergolong, maka:

fnmanadiN

Xf,

)( 2

2

databanyakN

hitungratarata

datanilaiX

:manadi

Contoh untuk data tunggal:

Tentukanlah variansi untuk kelompok data populasi 20,30,50,70,80.

5205

9004000400900

5

)5080()5070()5050()5030()5020( 222222

Contoh untuk data bergolong:

Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut jika data tersebut merupakan

data populasi.

449,20240

9741,8097)( 2

2

N

Xf

b. Variansi Pada Sampel

• Bila data tunggal, maka:

1

)( 2

2

n

XXS

• Bila data bergolong, maka:

fnmanadi

n

XXfS ,

1

)( 2

2

sampeldatabanyakn

hitungratarataX

datanilaiX

:manadi

Contoh untuk data tunggal:

Tentukanlah variansi untuk kelompok data sampel: 20,30,50,70,80.

6504

9004000400900

15

)5080()5070()5050()5030()5020( 222222

S

Contoh untuk data bergolong:

Tentukanlah SR data modal 40 perusahaan berikut, jika data tersebut merupakan

data sampel.

64,20739

9741,8097

1

)( 2

2

n

XXfS

4. Deviasi baku (standard deviation)

Deviasi baku adalah adalah akar pangkat dua dari variansi. Oleh karena itu, tentunya

terdapat perbedaan rumus dan simbol untuk menghitung deviasi baku pada data

populasi dan data sampel.

a. Deviasi baku pada Populasi

• Bila data tunggal, maka:

N

X

2)(

• Bila data bergolong, maka:

fNmanadiN

Xf,

)( 2

Contoh untuk data tunggal:

Tentukanlah deviasi baku untuk kelompok data polulasi: 20,30,50,70,80.

804.225205

9004000400900

5

)5080()5070()5050()5030()5020( 22222

Contoh untuk data bergolong:

Tentukanlah deviasi baku data modal 40 perusahaan berikut, jika data tersebut

merupakan data populasi.

229,1445,20240

9741,8097)( 2

N

Xf

b. Deviasi baku pada Sampel

• Bila data tunggal, maka:

1

)( 2

n

XXS

• Bila data bergolong, maka:

fnmanadi

n

XXfS ,

1

)( 2

2

Contoh untuk data tunggal:

Tentukanlah deviasi baku untuk kelompok data sampel: 20,30,50,70,80.

495,25650

4

9004000400900

15

)5080()5070()5050()5030()5020( 22222

S

Contoh untuk data bergolong:

Tentukanlah deviasi baku data modal 40 perusahaan berikut, jika data tersebut

merupakan data sampel.

229,1445,20240

9741,8097)( 2

N

Xf

5. Simpangan kuartil (quartile deviation)

Simpangan kuartil merupakan ukuran setengah jarak antara kuartil ke 3 dan kuartil

ke 1.

Rumusan Deviasi kuartil: DK = [ K3 – K1 ] / 2

Contoh untuk data tunggal:

Tentukanlah simpangan kuartil untuk kelompok data: 20,30,50,70,80.

Contoh untuk data bergolong:

Tentukanlah simpangan kuartil data modal 40 perusahaan berikut.

(kerjakan sebagai latihan)

6. Koefisien variasi (coeficient of variation)

Digunakan untuk membandingkan beberapa kumpulan data yang berbeda

Rumus

%100X

SV

V = ukuran variasi relatif (koefisien variasi)

S = deviasi baku

X = mean

Contoh:

Diketahui data hasil ujian dari 120 orang

MK Statistik:

• Rata-rata = 56

• Deviasi Baku = 23

MK Matematika:

• Rata-rata = 65

• Simpangan Baku = 30

Tentukan hasil ujian yang mana yang variansinya lebih besar.

%07,41%10056

23%100

%15,46%10065

30%100

m

mm

s

ss

X

SV

X

SV

Karena Vs > Vm berarti hasil ujian statistik lebih bervariasi (heterogen) dibanding hasil

ujian matematika.

Jika data tersebut merupakan data populasi, digunakan simbol yang berbeda untuk

mean dan deviasi baku, yaitu untuk mean dan untuk deviasi baku.

7. Kemiringan dan Kurtosis

a. Kemiringan

Kemiringan adalah derajat atau ukuran dari asimetri suatu distribusi data, ada

tiga jenis:

1. Simetris

Letak nilai rata-rata hitung, median dan modus berhimpit.

2. Miring ke kanan/kemiringan positif

Nilai modus paling kecil dan rata-rata hitung paling besar.

3. Miring ke kiri/ kemiringan negatif

4. Nilai modus paling besar dan rata-rata hitung paling kecil.

Terdapat beberapa cara yang dipakai untuk menghitung derajat kemiringan distribusi

data. Data yang dibicarakan pada pembahasan ini adalah data sampel. Untuk data

populasi dapat digunakan cara yang sama dengan mengganti symbol untuk mean (

pada populasi dan X pada sampel) dan variansi ( 2 pada populasi dan s2 pada

sampel)

a) Pearson

S

MedXatau

S

ModX )(3

median

deviasistandar

modus

hitungratarata

Pearsonkemiringanderajat

:

Med

S

Mod

X

manadi

Rumus ini dapat dipakai untuk data tunggal maupun data bergolong,

dengan aturan sbb:

– Bila = 0, distribusi data simetri

– Bila = negatif, distribusi data miring ke kiri

– Bila = positif, distribusi data miring ke kanan

Semakin besar , distribusi data akan semakin miring atau makin tidak

simetri.

freku

en

si

x

Mod=Med=X

freku

en

si

x

Mod Med X

freku

en

si

x

Mod Med X

b) Momen

Bila data tunggal, maka:

3

3

3

)(

nS

XX

Bila data bergolong, maka:

3

3

3

)(

nS

XXf

fn

deviasidarsS

hitungratarataX

kemiringanderajat

manadi

tan

:

3

• Bila 3 = 0, distribusi data simetri

• Bila 3 < 0, distribusi data miring ke kiri

• Bila 3 > 0, distribusi data miring ke kanan

c) Bowley

13

213

QQ

QQQ

Jika distribusi simetris maka 1223 QQQQ sehingga 02 213 QQQ

mengakibatkan sama dengan nol.

Jika distribusinya MIRING, ada 2 kemungkinan:

Q1 = Q2 maka = 1

Q2 = Q3 maka = -1

b. Kurtosis

Keruncingan adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi

data terhadap distribusi normalnya data, ada tiga jenis:

a) Leptokurtis

Distribusi data yang puncaknya relatif tinggi.

b) Mesokurtis

Distribusi data yang puncaknya normal.

c) Platikurtis

Distribusi data yang puncaknya rendah atau terlalu datar

• Bila data tunggal, maka:

4

4

4

)(

nS

XX

• Bila data bergolong, maka:

4

4

4

)(

nS

XXf

fn

deviasidarsS

hitungratarataX

kemiringanderajat

manadi

tan

:

3

Bentuk kurva keruncingan – kurtosis

• Mesokurtik 4 = 3

• Leptokurtik 4 > 3

• Platikurtik 4 < 3

freku

en

si

Puncak runcing

freku

en

si

Puncak normal

freku

en

si

Puncak tumpul

LATIHAN

1. Diketahui data sampel sebagai berikut.

2 4 4 8 2 2 2 2

Carilah:

a. Jangkauan dan simpangan rata-rata.

b. Variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil.

2. Diketahui data populasi nilai Ujian Tengah Semester dari 20 mahasiswa pada mata

kuliah Aljabar Linier seperti pada tabel berikut.

Nilai 50 60 70 80 90 100

Frekuensi 1 5 5 4 3 2

Carilah jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, deviasi baku, dan simpangan

kuartil dari data tersebut.

3. Diberikan tabel frekuensi dari sampel tinggi badan sekelompok mahasiswa sebagai

berikut.

Tinggi badan Banyaknya

mahasiswa

140-144

145-149

150-154

155-159

160-164

165-169

4

7

10

12

6

3

a. Tentukan jangkauan dan simpangan rata-rata.

b. Tentukan variansi, deviasi baku, dan simpangan kuartil.

4. Diberikan tabel frekuensi dari populasi rata-rata gaji harian dari 171 karyawan

sebagai berikut.

Interval Kelas Gaji

(dalam ribuan)

Frekuensi

101-110

111-120

121-130

131-140

141-150

151-160

161-170

9

18

23

23

26

22

18

171-180

181-190

191-200

201-210

211-220

221-230

231-240

15

5

8

2

0

0

2

Carilah jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, deviasi baku, dan simpangan

kuartil dari data tersebut.

Tim Penyusun:

• Sukirman

• Sri Rejeki

Sumber:

• Syamsudin. 2002. Statistik Deskriptif. MUP: Surakarta

• N. Setyaningsih, Pengantar Statistika Matematika, MUP -UMS

• Budiyono, Statistika untuk Penelitian, 2004 , UNS