13  

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

II.1. Vehicle Routing Problem

II.1.1. Definisi VRP

Vehicle routing problem (VRP) adalah istilah umum yang diberikan untuk

permasalahan yang melibatkan rute kendaraan dengan berbasis depot yang melayani

pelanggan yang tersebar dengan permintaan tertentu. Tujuan umum VRP adalah

melayani sekumpulan pelanggan dengan ongkos operasi yang minimum.

VRP adalah istilah umum yang dipakai banyak pihak. Beberapa ahli lain

menggunakan nama berbeda, dengan permasalahan yang sama. Berikut ini adalah

istilah VRP yang lain : vehicle scheduling problem (Clarke and Wright, 1964) dan

vehicle dispatching (Dantzig Ramser, 1959). Perbedaan yang nyata antara defenisi

routing problem dan scheduling problem diberikan oleh Bodin and Golden(1981)

dalam Mahaputra (2006). Routing problem menekankan pada bagaimana membuat

urutan mengunjungi pelanggan dengan kendaraan yang berangkat dan berakhir

didepot (fasilitas sentral). Bila diberikan tambahan keterangan waktu seperti waktu

keberangkatan dan waktu kedatangan maka permasalahan menjadi scheduling

problems.

VRP pertama kali dipelajari oleh Dantzig dan Ramser (1959) dalam bentuk rute dan

penjadwalan truk. Clarke dan Wright (1964) kemudian melanjutkan penelitian ini

dengan memperkenalkan istilah depot sebagai tempat keberangkatan dan kembalinya

kendaraan. Clarke dan Wright mengunakan saving algorithm. Sejak saat itu

penelitian VRP terus berkembang karena peran VRP yang penting dalam distribusi

dunia industry. Perkembangan VRP meliputi pendekatan pemecahan masalah dan

munculnya kendala-kendala baru.

VRP dikenal sebagai permasalahan kombinatorial yang termasuk kategori NP-Hard

yang berarti effort komputasi akan meningkat secara eksponensial seiring dengan

meningkatnya ukuran permasalahan. Dengan demikian, metode yang tepat untuk

permasalahan ini adalah algoritma heuristik. Algoritma ini memberikan solusi yang

14  

baik dan cepat jika dibandingkan dengan penjelajahan seluruh ruang solusi dengan

menggunakan metode enumerasi.

VRP yang standar dapat dijelaskan sebagai berikut: terdapat sebuah depot dan

beberapa pelanggan dengan lokasi dan permintaan yang diketahui. VRP bertujuan

untuk menentukan beberapa rute yang meminimumkan fungsi tujuan dengan tetap

memenuhi seluruh permintaan pelanggan. Sebuah rute mencakup urutan

mengunjungi pelanggan dengan kendaraan yang berangkat dan berakhir di depot.

Total permintaan semua pelanggan dalam satu rute tidak boleh melebihi kapasitas

kendaraan yang digunakan. Setiap rute ditunjukan oleh satu kendaraan yang

mengunjungi pelanggan sebanyak satu kali. Karena terdapat keterbatasan pada

kapasitas kendaraan, VRP standar sering disebut dengan capacitated vehicle routing

problem (CVRP).

Secara umum fungsi tujuan dari permasalahan VRP adalah meminimumkan jumlah

kendaraan yang digunakan dana memenimumkan total jarak tempuh kendaraan.

Meminimumkan jumlah kendaraan biasanya diletakan sebagai fungsi tujuan yang

utama baru kemudian meminimumkan jarak tempuh kendaraan. Fungsi tujun lain

yang dapat ditambahkan adalah meminimumkan waktu penyelesaian untuk setiap

kendaraan, maupun rentang waktu penyelesaian antar kendaraan, ataupun jenis

fungsi tujuan lain sesuai kebutuhan dan karakteristik masing-masing kasus.

Ilustrasi dari permasalahan VRP dapat dilihat pada gambar II.1. Misalnya, terdapat

satu depot, sepuluh pelanggan, dan tiga kendaraan. Permasalahan yang muncul

adalah penentuan rute kendaraan untuk mengunjungi pelanggan dengan memenuhi

batasan yang ada (termasuk pemenuhan permintaan pelanggan) dan sekaligus

meminimumkan biaya operasi total. Dengan menggunakan metode-metode

pemecahan masalah rute kendaraan diperoleh seperti yang terlihat pada gambar II.1.

Kendaraan pertama secara berurutan mengunjungi pelanggan 2,1, dan 9, lalu kembali

ke depot. Kendaraan kedua secara berurutan mengunjungi pelanggan 3,5, dan 4 lalu

kembali ke depot. Kendaraan tiga berangkat dari depot lalu secara berurutan

mengunjungi pelanggan 8,10, 7, dan 6 lalu kembali kedepot.

15  

Gambar II.1. Ilustrasi VRP

II.1.2. Model Matematik VRP

Rumus matematik untuk VRP dapat dinyatakan dalam rumusan yang berbasis

traveling salesman problem (TSP) dan set partitioning problem (SPP). Rumusan

pemrograman matematik ini sesuai untuk ukuran permasalahan yang kecil. Selain

kelemahan yang disebutkan sebelumnya, rumusan matematik berbasis TSP memiliki

kelemahan dalam menangani pembatas-pembatas tambahan yang biasanya muncul

dalam praktek (seperti multiple trip, split delivery, dan sebagainya). Sebaliknya,

keunggulan rumusan pemrograman matematik berbasis SPP adalah kemampuan

untuk mengakomodasi pembatas-pembatas tambahan yang biasanya muncul dalam

praktek. Tetapi, kelemahan rumusan pemrograman berbasis SPP ini terletak pada

pembangkitan rute yang layak.

Rumusan matematik VRP dasar berbasis TSP

Suprayogi dan Yamato (2003) menyederhanakan perumusan VRP dasr berbasis TSP.

Diketahui sebuah jaringan G = (N,L) dengan N menunjukan sekumpulan node N =

{0,1,…,n} dan L= {(i,j); i,j∈ N, i≠j} menunjukan himpunan arc (link). Node O

menunjukan depot dengan terdapat sejumlah NV kendaraan. Matriks jarak D =

didefinisikan pada L. Jika dij = dij untuk semua (i,j), maka permasalahan dapat

dikatakan simetri dan arc merepresentasikan busur yang tidak berarah (undirected

arcs). Permintaan pelanggan i dinyatakan dengan qi dan jumlah permintaan

pelanggan dalam satu rute tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan Qk. Tujuan dari

16  

VRP dasar ini adalah penentuan rute NV kendaraan yang memberikan jarak total

minimal dengan setiap kendaraan berangkat dari depot dan kembali lagi ke depot.

Formulasi model matematik untuk VRP dasar dapat dinyatakan sebagai berikut :

∑∑∑i j k

ijkij xdMin (2-1)

Dengan pembatas:

jxi k

ijk∑∑ = semuauntuk ,1 (2-2)

kpxxi j

pjkijk , semuauntuk ,0∑ ∑ =− (2-3)

kQxq ki j

ijki semuauntuk ,≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ ∑ (2-4)

kxn

jjk semuauntuk , 1

10∑

=

≤ (2-5)

∑=

≠≠≠−≤+−NV

kijkji jijinxnyy

1

0,0,,1 (2-6)

kjixijk ,, semuauntuk },1,0{∈ (2-7)

arbitrary iy (2-8)

Fungsi tujuan yang meminimumkan jarak total ditunjukan pada persamaan (2-1).

Pembatas (2-2) menjamin bahwa setiap node hanya dilalui oleh satu kendaraan.

Pembatas (2-3) menjamin bahwa kendaraan yang meninggalkan node i telah

melayani node i tersebut. Pembatas kapasitas kendaraan dinyatakan dengan

pertidaksamaan (2-4). Pembatas (2-5) menjamin bahwa kendaraan yang ditugaskan

tidak melebihi NV kendaraan. Pembatas (2-6) berperan sebagai pembatas eliminasi

subtur sehingga rute kendaran selalu dimulai dari depot dan berakhir di depot.

17  

Rumusan matematik VRP dasar berbasis SPP

Balinski dan Quandt (1964) merumuskan pemograman matematis berbasis SPP

untuk VRP dasar. Rumusan berbasis SPP dinyatakan sebagai berikut: R menunjukan

kumpulan kandidat rute lang layak. N menunjukan himupunan pelanggan yang yang

dinyatakan dengan N = {1,…,n}. Air adalah konstanta yang bernilai 1 jika rute r

mencakup pelanggan I dan bernilai 0 jika rute r tidak mencakup pelanggan i. Biaya

untuk rute r (gabungan dari biaya tetap dan biaya variable) dinyatakan dengan notasi

cr dan xr adalah variable biner yang bernilai 1 jika rute r dipilih sebagai

solusioptimal.

∑∈Rr

Min rr xc (2-9)

dengan pembatas

∑∈

∈∀=Rr

,1 NixA rir (2-10)

Rrx r ∈∀∈ },1,0{ (2-11)

Fungsi tujuan (2-9) biaya total yang mencakup biaya tetap kendaraan dan biaya

variabel berupa biaya perjalanan kendaraan. Pembatas (2-10) menamin bahwa tiap

pelanggan hanya dikunjungi oleh satu kendaraan. pembatas (2-11) menunjukan

batasan nilai variabel biner. Solusi yang optimal diperoleh dengan menyelesaikan

formulasi SPP ini menggunakan integer programming solver.

Himpunan rute yang layak dibangkitkan melalui enumerasi semua rute yang

mungkin dari tiap subset himpunan pelanggan. Tiap rute yang dibangkitkan untuk

tiap subset diperiksa kelayakannya terhadap pembatas kapasitas.

II.1.3. Klasifikasi VRP

VRP muncul dengan variasi bentuk yang tergantung pada sejumlah faktor, kendala,

dan fungsi tujuan. Jenis VRP ada yang muncul dengan kendala jarak tempuh dan

waktu tempuh, ada yang muncul dengan fungsi tujuan berupa total ongkos, waktu,

jarak tempuh, ada juga yang muncul dengan kendala ketidaksimetrisan jarak atau

18  

waktu tempuh, dan sebagainya. Suprayogi (2003) memberikan beberapa contoh

varian dari VRP antara lain:

• Pelanggan punya rentang waktu layanan (VRP Time Windows: VRPTW)

• Pelanggan dilayani oleh kendaraan berbeda (VRP Split Delivery: VRPSD)

• Pelanggan terjadi proses pengambilan dan pengantaran produk (VRP PickUp

anf Delivery: VRPPD)

• Depot lebih dari satu (VRP Multiple Depots: VRPMD)

• Permintaan pelanggan lebih dari satu produk (VRP Multiple Produk:

VRPMP)

• Kendaraan menempuh beberapa rute dengan kembali ke depot dahulu (VRP

Mu;tiple Trips: VRPMT)

• Kendaraan yang digunakan bermacam-macam dengan karakteristik yang

berbeda pula (VRP Heterogeneous Fleet of Vehicles: VRPHFV)

• Pelayanan kepada pelanggan dapat dilakukan dalam beberapa waktu horizon

perencanan (Periodic VRP : PVRP)

• Parameter angka (seperti jumlah pelanggan, permintaan masing-masing

pelanggan, dan waktu layanan) bnersifat acak (Stochastic VRP: SVRP)

• Pelanggan bersifat tidak tetap untuk masing-masing horizon waktu (Dynamic

VRP: DVRP)

II.1.4. Fleet Mix Vehicle Routing Problem (FMVRP)

II.1.4.1. Definisi FMVRP

Fleet mix vehicle routing problem (FMVRP) adalah suatu kasus besar problem

optimasi. Pada umumnya armada atau kendaraan yang digunakan untuk distribusi

mempunyai ukuran kapasitas yang heterogen. (Montané dan Vianna, 2007)

FMVRP merupakan salah satu varian dari vehicle routing problem (VRP) klasik.

FMVRP berbeda dari VRP klasik, yang mana FMVRP mempunyai armada atau

kendaraan yang heterogen, kapasitas kendaraan yang bervariasi, adanya fixed cost

dan variable cost. FMVRP membentuk sekumpulan rute kendaraan, dimana setiap

kendaraan mulai dan berakhir di depot, melayani pelanggan yang mempunyai

permintaan tertentu dengan kendaraan atau armada yang heterogen. Masing-masing

19  

pelanggan di kunjungi hanya sekali, dan total permintaan dari satu rute tidak

melebihi kapasitas kendaraan yang ditugaskan. Biaya perajalanan (routing cost)

kendaraan adalah jumlah dari fixed cost dan variable cost yang terjadi sebanding

dengan jarak yang ditempuh. Tujuannya adalah untuk meminimasi total routing cost.

Jumlah kendaraan diasumsikan tidak terbatas (Choi dan Tcha, 2007).

Choi dan Tcha (2007) ada tiga versi VRPH yang telah dipelajari, pertama kali

diperkenalkan oleh Golden et.al (1984), dimana variable cost adalah uniform untuk

semua tipe kendaraan dengan jumlah kendaraan yang tersedia diasumsikan tidak

terbatas untuk setiap tipe. Versi ini juga disebut fleet size and mix VRP, Golden et.al

(1984) atau fleet size and composition VRP, Gheysen et.al (1986). Versi yang kedua

mempertimbangkan variable cost yang tergantung pada tipe kendaraan, yang

berbeda dengan versi yang pertama yang tidak mempertimbangkannya. Versi ini

dikenal juga sebagai heterogeneous fleet vehicle routing problem (HVRP), Genderau

et.al (1999), VFM with variable unit running costs, Salhi S et.al (1992) atau fleet mix

VRP, Wassan dan Osman (2002). Versi yang terakhir disebut VRP with

heterogeneous fleet of vehicles, Taillard (1996), atau the heterogeneous fixed fleet

VRP, Tarantilis et.al (2004) yang merupakan generalisasi dari versi yang kedua

dengan jumlah kendaraan untuk masing-masing tipe terbatas.

Gambar II.2 berikut ini akan merupakan ilustrasi FMVRP. Misalkan terdapat satu

depot, sepuluh pelanggan, dan tiga tipe kendaraan. Permasalahan yang muncul

adalah penentuan rute kendaraan untuk masing-masing tipe yang mengunjungi

pelanggan dengan memenuhi batasan-batasan yang ada (termasuk pemenuhan

pelanggan) dan sekaligus meminimumkan total biaya operasi. Selain tujuan FMVRP

untuk meminimumkan total biaya operasi juga tujuan utama lainnya adalah

meminimumkan jumlah kendaraan untuk masing-masing tipe. Dengan menggunakan

metode-metode pemecahan masalah diperoleh rute kendaraan seperti yang terlihat

pada gambar II.2. kendaraan tipe pertama secara berurutan mengunjungi pelanggan

2, 1, 9, dan 8 lalu kembali ke depot. Kendaraan tipe kedua secara berurutan

mengunjungi pelanggan 3, 5, dan 4 lalu kembali ke depot. Kendaraan tipe ketiga

secara berurutan mengunjungi pelanggan 10, 7 dan 6 lalu kembali ke depot.

20  

0

6

7

10

8

3

5

4

2

19

9

8

7

8

3

5

5

1

4

1

Gambar II.2. Ilustrasi FMVRP

II.1.4.2. Model Matematik FMVRP.

Rumusan pemograman matematis FMVRP diambil dari Gheysens et.al (1984) yang

mana ada n pelanggan yang terletak pada lokasi yang berbeda-beda yang harus di

layani oleh kendaraan dari depot. Depot dinotasikan dengan angka 0 dan lokasi

pelanggan dinotasikan dengan i = 1,..., n. masukan berikut diasumsikan tersedia:

T = jumlah dari tipe kendaraan

Qk = kapasitas dari kendaraan tipe k (Q1 < Q2<...<QT)

fk = fixed cost dari kendaraan tipe k (f1 < f2 <...< fT)

dj = demand dari pelanggan j

cij = biaya perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j (diasumsikan cij = cji)

Variabel keputusan yang digunakan adalah

⎩⎨⎧

=otherwise

jikxk

ij 0 ke dai perjalananmelakukan tipekendaraan jika 1

yij = aliran barang dari i ke j

sehingga FMVRP dapat dirumuskan sebagai berikut:

∑∑∑∑∑= = ===

+T

k

n

i

n

j

kijij

n

j

kj

T

kk xcxf

1 0 010

1Min (2-12)

21  

Dengan pembatas :

njxT

k

n

i

kij ,...,1 1

1 0

==∑∑= =

(2-13)

∑ ∑= =

===−n

i

n

l

kjl

kij Tknjxx

0 0

,...,1 ;,...,0 0 (2-14)

njdyy j

n

ljl

n

iij ,...,1

00

==−∑∑==

(2-15)

njxQyT

k

kjkj ,...,1

100 =≤∑

=

(2-16)

njixMyT

k

kijij ,...,0

1

=≠≤ ∑=

(2-17)

njiyij ,...,0 0 =≠≥ (2-18)

Tknjixkij ,...,1 ;,...,0 }1,0{ ==≠∈ (2-19)

Sebagai catatan ∑=

n

j

kjx

10 menggambarkan jumlah total kendaraan dari tipe k yang

tercakup dalam armada tersebut. Fixed cost fk terjadi untuk masing-masing

kendaraan, berikutnya menunjukan biaya perjalanan (2-12). Pembatas (2) dan (3)

memastikan tepat hanya satu kali kendaraan masuk dan meninggalkan pelanggan.

Persamaan (2-15) menunjukan pergerakan dari barang diasumsikan untuk semua

permintaan konsumen harus tercukupi. Pembatas (2-16) menunjukan total load

(muatan) dalam sekali perjalanan (trip) y0j tidak melebihi kapasitas kendaraan untuk

masing-masing tipe. Persamaan (2-17) menyatakan tidak ada perjalanan barang dari i

ke j jika tidak ada perjalanan kendaraan dari i ke j (yaitu jika kjx0 = 0 untuk semua k).

M dalam jumlah yang besar sedemikian sehingga persamaan (2-17) menjadi

berlebihan jika 11

=∑=

T

k

kijx . Sepesifikasi lengkap dari semua variabel k

ijx secara

simultan memperbaiki komposisi dan struktur rute kendaraan untuk setiap kendaraan

dalam armada.

22  

II.1.5. Vehicle Routing Problem with Multiple Products and Multiple Compartments

VRP with multiple products and multiple compartments terjadi jika produk yang

diantarkan terdiri atas lebih dari satu jenis produk yang harus disimpan dalam

kendaraan dalam kompartemen yang berbeda (Christofides et.al, 1979).

Misalkan terdapat satu set pelanggan X, depot x0, dan satu set kendaraan V.

pelanggan xi mempunyai kebutuhan sebagai berikut:

1. Satu set Li, tipe produk yang berbeda yang akan diantarkan menggunakan

kendaraan. Dengan tiap tipe produk (i,l), l = 1,...,Li diasosiasikan kuantitas qil

dan sebuah label πi.

2. Waktu ui dibutuhkan untuk mengunjungi pelanggan dan untuk membongkar

muatan.

Kendaraan vk mempunyai karakteristik sebagai berikut:

1. Satu set kompartemen Hk untuk membawa produk. Dengan tiap kompartemen

(k,h), h = 1,..., Hk diasosiasikan kapasitas Qkh dan label Πkh.

2. Aturan untuk menentukan apakah r buah rlili r

qq ,...,11

, dengan label

rlili rππ ,...,

11 dapat dimsukan atau tidak kedalam kompartemen dengan

kapasitas Qkh yang mempunyai label Πkh.

Aturan ini tidak hanya membutuhkan bahwa kh

r

jli Qq

jj≤∑

=1 tapi juga beberapa fungsi

),,...,(11 khrlili r

f Πππ mempunyai nilai 0.

Sebagai contoh, dalam pendistribusian barang yang harus dibekukan / frozen goods (l

= 1) dan yang tidak dibekukan / nonfrozen goods (l = 2), dengan kendaraan yang

mempunyai refrigerated compartments (h = 1) dan nonrefrigerated compartemens (h

= 2), dapat dibuat πi1 = 1, πi2 = 2, i∀ dan = 1 Πk2 = 2, k∀ dengan fungsi

),,...,(11 khrlili r

f Πππ = 0 jika dan hanya jika khlili Π=== ...21 21

ππ .

Contoh lainnya adalah, pada pendistribusian minyak dengan berbagai tipe, tipe-tipe

minyak tersebut jelas tidak bisa dicampur, tapi bisa saja tidak perlu dipedulikan ke

kompartemen yang mana tiap tipe tersebut dimasukan.

23  

1. Jika kebutuhan/persyaratan pelanggan untuk tipe minyak yang sama dapat

dicampur dalam kompartemen yang sama, tentukan jli j

π sama dengan tipe

minyak (ij, lj) dengan fungsi ),,...,(11 khrlili r

f Πππ = 0 jika dan hanya jika

rlili rππ == ...

11.

2. Jika kebutuhan/persyaratan dari setiap pelanggan untuk setiap tipe minyak

harus disimpan dalam kompartemen yang terpisah, tentukan jli j

π sama

dengan bilangan bulat (integer) yang berbeda dengan ),,...,(11 khrlili r

f Πππ = 0

jika dan hanya jika rlili r

ππ == ...11

.

II.1.6. VRP Multiple Trips (VRPMT)

II.1.6.1. Defenisi VRPMT

Dalam VRP standar, satu kendaraan hanya dapat melayani satu rute dalam horizon

perencanaan. Vehicle Routing Problem With Multiple Trips (VRPMT)

memungkinkan satu kendaraan memiliki lebih dari satu rute selama horizon

pencanaan. Dalam literatur, VRPMT sering disebut juga dengan vehicle routing

problem with multiple use of vehicles. Kendaraan dapat berangkat dan pulang ke

depot lebih dari satu siklus selama periode perencanaan. Kendala tambahan dapat

berupa kendala maksimum total jarak tempuh atau maksimum waktu perjalanan

kendaraan. VRPMT ini pernah diteliti oleh Taillard et.al. (1996), Brandao dan

Mercer (1997), Zhao et.al. (2002) dalam Mahaputra (2006). Fagerholt (1999) dan

Suprayogi et.al. (2001) membahas VRPMT dalam konteks ship routing dengan

merumuskan permasalahan dalam bentuk set partitioning problem (SPP).

Gambar II.3 berikut ini merupakan ilustrasi VRPMT. Misalnya, terdapat satu depot,

sepuluh pelanggan, dan tiga kendaraan. Permasalahan yang muncul adalah penentuan

rute kendaraan untuk mengunjungi pelanggan memenuhi batasan-batasan yang ada

(termasuk pemenuhan permintaan pelanggan) dan sekaligus meminumumkan total

biaya operasi. Selain itu, tujuan utama VRPMT adalah meminimumkan biaya operasi

total. Selain itu, tujuan utama VRPMT adalah meminimumkan jumlah kendaraan

sehingga satu kendaraan diperbolehkan memiliki lebih dari satu rute. Dengan

menggunakan metode-metode pemecahan masalah diperoleh rute kendaraan seperti

24  

yang terlihat pada gambar II.3. Kendaraan pertama secara berurutan mengunjungi

pelanggan 2,1, dan 9, lalu kembali ke depot. Kendaraan kedua secara berurutan

mengunjungi pelanggan 3, 5, dan 4 lalu kembali ke depot. Kendaraan ke tiga

berangkat dari depot lalu secara berurutan mengunjungi pelanggan 8 dan 10 lalu

kembali ke depot dan mengunjungi lagi pelanggan 7 dan 6 lalu kembali ke depot.

 

Gambar II.3. Ilustrasi VRPMT.

II.1.6.2. Model Matematik VRPMT

Rumusan matematik VRPMT berbasis TSP

Rumusan matematis berbasis TSP yang diambil dari Zhao et.al (2002) dalam

Mahaputra (2006) dapat dinyatakan sebagai berikut:

∑∑∑∑∑∑= = = == =

+n

i

n

jijkr

n

i

n

rij

n

j

n

ijkr xcx

0 0 1 11 10Min (2-20)

Dengan n = jumlah pelanggan, f = biaya tetap untuk tiap-tiap kendaraan, cij = biaya

perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j. xijkr = 1 jika kendaraan k melakukan

perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j pada rute r dan dan bernilai 0 jika

sebaliknya. Batas atas dari k dan r adalah n. jadi, item pertama pada fungsi tujuan

memberikan biaya tetap total dan item selanjutnya memberikan biaya variabel total.

Tiap pelanggan hanya di kunjungi satu kali dan tiap kendaraan yang datang ke lokasi

juga meninggalkan lokasi, ditunjukan dengan persamaan (2-21) dan (2-22)

25  

njxn

i

n

k

n

rijkr ,...,1 1

0 1 1

==∑∑∑= = =

(2-21)

nrnknpxxn

jpjkr

n

iipkr ,...,1 ,...,1 ,,...,1 0

00====−∑∑

==

(2-22)

Sebagai tambahan, muatan yang diangkut/ dibawa dalam satu rute tidak boleh

melebihi kapasitas kendaraan dan waktu perjalanan total untuk tiap-tiap kendaraan

pada satu tur tidak boleh melebihi durasi kerja yang ditentukan. Hal ini ditunjukan

dengan pertidaksamaan (2-23) dan (2-24)

nrnkQxqn

jijkr

n

iii ,...,1 ,...,1

00==≤∑∑

==

(2-23)

,...,1 0 0 0

nkHxtn

i

n

iijkr

n

jij =≤⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑ ∑∑= = =

(2-24)

Dengan Q menunjukan kapasitas masing-masing kendaraan, qi menunjukan

permintaan pelanggan, tij menunjukan waktu perjalanan dari pelanggan I ke

pelanggan j (diasumsikan bahwa waktu perjalanan independen dengan jenis

kendaraan), dan H adalaha durasi kerja untuk seua kendaraan. Selanjutnya pembatas

eliminasi sub tur diberikan pada pertidaksamaan berikut ini:

nrnkBNBBxn

Bi

n

Bjijkr ,...,1 ,...,1 2][, 1][ ==≥⊆−≤∑∑

∈ ∈

(2-25)

Dengan N menunjukan set pelanggan dan |B| menunjukan jumlah pelanggan dalam

subset B.

Pembatas yang terakhir adalah yang mengacu pada variabel keputusan.

nrnknjnixijkr ,...,1 ,...,1 ,...,1 ,...,1 }1,0{ ====∈ (2-26)

Permasalahan yang sangat kompleks ini menunjukan bahwa pendekatan eksak tidak

bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini meskipun ukuran

permasalahan kecil (Zhao et.al., 2002).

Rumusan matematik VRPMT berbasis SPP

Fagerholt (1999) dan Suprayogi et.al. (2001) merumuskan pemrograman matematis

berbasis SPP untuk VRPMT. Rumusan berbasis SPP dinyatakan sebagai berikut: T

menunjukan kumpulan kandidat tur yang layak dan mencakup tur dengan rute

26  

tunggal dan mejemuk. N menunjukan himpunan pelanggan yang dinyatakan dengan

N = {1,…,n}. Aij adalah konstanta yang bernilai 1 jika tur t mencakup pelanggan i

dan bernilai 0 jika tur t tidak mencakup pelanggan i. Notasi cr merupakan biaya

untuk tur t (gabungan dari biaya tetap dan biaya variabel) dan xr adalah variabel biner

yang bernilai 1 jika tur t dipilih sebagai solusi optimal.

∑∈Tt

tt xcMin (2-27)

Dengan pembatas

∑∈

∈∀=Tt

tit NixA ,1 (2-28)

Ttxt ∈∀∈ },1,0{ (2-29)

Fungsi tujuan (2-27) meminimumkan biaya total yang mencakup biaya tetap,

kendaraan dan biaya variabel berupa biaya perjalanan kendaraan. Pembatas (2-28)

menjamin bahwa setiap pelanggan hanya dikunjungi oleh satu kendaraan (tur).

Pembatas (2-29) menunjukan batasan nilai dari variabel biner. Solusi yang optimal

dapat diperoleh dengan menyelesaikan formulasi SPP ini menggunakan integer

programming solver.

Suprayogi et al. (2001) himpunan tur (rute tunggal maupun rute majemuk) yang

layak dibangkitkan dengan melalui enumerasi semua tur yang mungkin dari subset

himpunan pelanggan. Tiap tur yang dibangkitkan untuk tiap subset diperiksa

kelayakannya terhadap pembatas kapasitas dan horizon perencanaan.

II.1.7. Split Delivery Vehicle Routing Problem (SDVRP)

II.1.7.1. Defenisi SDVRP

VRP standar mengasumsikan bahwa tiap pelanggan hanya dilayani oleh satu

kendaraan. Dalam split delivery routing, pengantaran kepada satu demand point

dapat dibagi (split) oleh beberapa kendaraan. Walaupun terdapat relaksasi ini,

masalah yang ada tetap sulit untuk diselesaikan.

Dror dan Trudeau (1990) membahas permasalahan SDVRP dengan menganalisis

penghematan (savings) yang terjadi dengan memperbolehkan adanya split dekivery

pada VRP standar, walaupun dengan begitu akan menambah kompleksitas VRP.

27  

Prosedur heuristik yang digunakan adalah k-split interchange (membagi demand

pelanggan jika terdapat penghematan jarak) dan route addition (menambah rute

untuk menghilangkan split delivery jika terdapat penghematan jarak). Menurut Dror

dan Trudeau (1990), jika pelanggan-pelanggan mempunyai demand diatas 10% dari

kapasitas kendaraan, penghematan yang signifikan akan didapatkan jika dilakukan

split delivery. Ilustrasi SDVRP dapat dilihat pada gambar II.14.

Misalkan terdapat satu depot, sepuluh pelanggan, dan tiga kendaraan. Permasalahan

yang muncul adalah penentuan rute kendaraan untuk mengunjungi pelanggan dengan

memenuhi batasan-batasan yang ada dan sekaligus meminimasi biaya operasi total.

Setiap pelanggan tidak harus dikunjungi oleh satu kendaraan saja, dengan kata lain

permintaan (demand) setiap pelanggan dapat diantarkan oleh lebih dari satu

kendaraan. Dengan menggunakan metode-metode pemecahan masalah seperti

metode optimal, heuristik, atau metaheuristik, rute kendaraan diperoleh seperti yang

terlihat pada gambar II.4. Kendaraan pertama secara berurutan mengunjungi

pelanggan 2, 1, 9, dan 10 lalu kembali ke depot. Kendaraan dua secara berurutan

mengunjungi pelanggan 3,5 dan 4 lalu kembali ke depot. Kendaraan tiga berangkat

dari depot lalu secara berurutan mengunjugi pelanggan 8, 10, 7, dan 6 lalu kembali

ke depot. Terlihat bahwa pelanggan 10 dikunjungi dua kali oleh kendaraan satu dan

kendaraan tiga (split delivery dilakukan terhadap demand pelanggan 10).

0

6

7

10

8

3

5

4

2

19

9

8

7

8

3

5

8

1

4

2

2

Gambar II.4. Ilustrasi SDVRP

28  

II.1.7.2. Rumusan Matematik SDVRP

Rumusan pemrograman metematis SDVRP yang diambil dari Dror dan Trudeau

(1990) dapat dinyatakan sebagai berikut:

Cij = biaya perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j

di = demand pelanggan i

Qv = kapasitas kendaraan v

xvij = 1 jika kendaraan v melakukan perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j

dan bernilai 0 jika sebaliknya.

yij = proporsi demand pelanggan i yang diantarkan oleh kendaraan v

NV = jumlah kendaraan

S = menunjukan himpunan semua siklus pada himpunan N, termasuk depot

(titik 0 menunjukan depot)

∑∑∑= = =

n

0

n

0

NV

1szMin

i j v

vijij xC (2-30)

Dengan pembatas

∑∑= =

=≥NV

1

n

0

,...,1,0untuk ,1v i

vij njx (2-31)

NVvnpxxi j

vpj

vip ...,2,1 ;,...,1,0untuk ,0

n

0

n

0===−∑ ∑

= =

(2-32)

∑=

==NV

viv niy

1

;,...,1,0untuk ,1 (2-33)

∑=

=≤n

ivivi NVvQyd

1

;,...,1,0untuk , (2-34)

∑=

==≤n

j

vjiiv NVvnixy

0 ,...,2,1 ;,...,2,1untuk , (2-35)

X ∈ S (2-36)

NVvnjnixvij ,...,2,1 ;,...,1,0 ;,...,1,0untuk ,1,0 ==== (2-37)

NVvniy iv ,...,2,1 ;,...,2,1untuk ,0 ==≥ (2-38)

29  

Persamaan (2-30) menunjukan ongkos total yang dikeluarkan oleh armada

kendaraan. Pembatas (2-31) memastikan bahwa setiap pelanggan akan mendapatkan

setidaknya satu kali pengantaran (bedakan dengan pembatas (2-2) pada VRP

standar, yang mensyaratkan setiap pelanggan hanya dilalui oleh satu kendaraan).

Pembatas (2-32) memastikan bahwa kendaraan yang memasuki node i (termasuk

depot) akan meninggalkan node tersebut. Pembatas (2-33) memastikan bahwa setiap

pelanggan akan menerima kiriman demand seara penuh. Pembatas (2-34)

memastikan bahwa penugasan pengiriman untuk setiap kendaraan tidak melebihi

kapasitas kendaraan. Pelanggan i hanya bisa dilayani oleh kendaraan yang melalui

pelanggan tersebut, hal ini dipastikan oleh pembatas (2-35). Pembatas (2-36)

merupakan pembatas eliminasi subtur yang fungsinya memastikan bahwa rute

kendaraan selalu berawal dan variabel xvij. Pembatas (2-38) adalah pembatas non

negatif untuk variabel yiv.

Berbeda dengan VRP standar, pada SDVRP ini rute kendaraan tidak hanya

ditentukan oleh konfigurasi ruangnya saja, melainkan juga oleh kuantitas yang

dikirimkan pada setiap node. Hal ini ditunjukan melalui pembatas (2-33) sampai (2-

34). Pada VRP standart, rute hanya ditentukan oleh konfigurasi ruang saja,

dikarenakan kuantitas yang dikirimkan pada setiap node ditentukan oleh parameter

permasalahan demand tiap pelanggan, di.

II.2. Ship Routing and Scheduling

Vehicle routing and scheduling problem telah banyak dibahas dalam banyak literatur

dan menjadi salah satu success stories dalam bidang management science atau

operation research. Christiansen (1998b), ada beberapa alasan ketertarikan yang

begitu besar terhadap masalah ini adalah:

• Transaportasi barang dan jasa adalah salah satu komponen biaya utama dalam

berbagai sistem distribusi dan transportasi. Sebagai contoh, pengoperasian

atau penyewaan kapal laut bisa menghabiskan biaya puluhan ribu US$ sehari,

sehingga penentuan rute dan penjadwalan yang tepat dari armada kapal dapat

menghasilkan penghematan yang besar.

• Routing and scheduling problems merupakan masalah yang menarik dilihat

dari sudut pandang teori optimasi. Masalah yang mendasarinya secara

30  

konseptual sederhana, tetapi kompleks secara matematis dan menantang.

Untuk menyelesaikan masalah yang rumit ini, formulasi dari masalah

merupakan keperluan yang vital. Biasanya, formulasi masalah dan teknik

solusi yang dipilih terkait erat satu sama lain.

Christiansen (1998a), penghematan yang signifikan bisa dicapai dengan adanya

penentuan rute dan penjadwalan armada kapal yang efisien. Ronen (1983)

mengemukakan beberapa alasan mengapa ship routing and scheduling problem

hanya mendapat sedikit perhatian. Salah satu alasan yang disebutkan adalah karena

industri perkapalan sudah sejak lama sekali menentukan rute armadanya

menggunakan cara manual. Industri ini tergolong konservatif dan tidak terbuka

terhadap metode-metode baru yang berbasis optimasi. Alasan lain adalah karena

penjadwalan kapal memiliki varian yang lebih banyak dalam struktur

permasalahannya maupun operating environments-nya dibandingkan penjadwalan

kendaraan biasa, sehingga tailor-made systems sering diperlukan sebagai alat

pendukung bagi pengambilan keputusan. Dalam merencanakan penjadwalan

armadanya, banyak shipping companies yang tidak memakai bantuan computer

based decision support system.

II.2.1 Infrastuktur Jaringan Transportasi Produk Minyak

Iakovou (1996) dalam Komara (2006), jaringan transportasi minyak di perairan laut

merupakan sistem yang terdiri dari sekumpulan nodes dan links. Nodes yang

dimaksud adalah pelabuhan-pelabuhan, import/export points, dan lightering zones.

Pelabuhan dan import/export points masing-masing mempunyai supply dan demand

dengan jumlah dan tipe produk minyak yang diterima dan dikirimkan berbeda satu

sama lain. Hubungan (links) antar nodes merupakan jalur pelayaran tanker, terusan,

dan coastal navigation channels.

Produk minyak bisa dikategorikan menjadi minyak mentah (crude oil) dan produk

petroleum. Produk petroleum yang berasal dari pemrosesan minyak mentah antara

lain adalah bensin, minyak tanah (kerosin), distillate, residual fuel oil, lube oil &

greases, petroleum jelly & waxes, naptha & solvents, aspal, tar & pitch, petroleum

coke, liquid natural gas (LNG) dan non-classified petroleum products lainnya.

Pengiriman produk minyak juga dibedakan berdasarkan kategori dan ukuran vessel.

31  

Banyak perusahaan mengirimkan produk atau material mereka kepada konsumen,

atau distribution center atau fasilitas manufaktur, dalam recurrent basis (berulang).

Seringkali pengiriman tidak diinisiasi oleh adanya order dari lokasi penerima,

melainkan pengirim harus menjadwalkan pengiriman agar lokasi penerima tidak

mengalami kekurangan stok. Ini adalah kasus untuk produk (atau material) yang

dikirimkan dalam volume besar (bulk atau semi-bulk), atau dalam kasus perusahaan

harus menjaga tingkat persediaan tertentu. Banyak produk dikirimkan dengan cara

seperti itu, termasuk produk minyak yang dikirim ke SPBU. Dengan metode

pengiriman seperti itu, keputusan harus dibuat tidak hanya dengan

mempertimbangkan routing dan penjadwalan dari setiap kendaraan tapi juga

mempertimbangkan kapan tiap lokasi pengiriman harus dikunjungi dan berapa

banyak yang harus dikirim (Ronen, 2002).

Pengangkutan dengan jumlah besar (bulk) dalam armada perdagangan dunia

biasanya beroperasi dengan kapal dipenuhi barang antara loading dan discharging

port, kemudian kapal tidak mengangkut barang (kapal kosong) hingga mencapai

loading port selanjutnya. Biaya pengiriman ini ditetapkan dengan basis supply atau

demand dan sangat bervariasi. Oleh karena itu, penjadwalan kapal yang tepat

mempunyai potensi yang sangat besar untuk meningkatkan laba perusahaan dan

performansi ekonomis pengiriman barang (Kim dan Lee, 1997).

Douligeris et.al, (1997) dalam Komara (2006) kategori kapal yang digunakan untuk

transportasi produk minyak di laut adalah sebagai berikut:

1. Tanker

a. Kecil (kurang dari 19-foot draft)

b. Medium (19 sampai 30-foot draft)

c. Large (lebih besar daripada 30-foot draft)

2. Tanker barge ( kapal tongkang)

a. Kecil (kurang dari 19-foot draft)

b. Besar (lebih besar atau sama dengan 19-foot draft)

Satu kapal tanker membutuhkan capital investment yang besar. Saat ini, banyak

perusahaan minyak lebih suka menyewa tanker dari pada membangun sendiri.

Pengadaan tanker membutuhkan biaya yang cukup besar karena spesifikasi tanker

32  

harus memenuhi peraturan kelautan tertentu. Biaya pengoperasian satu kapal bisa

mencapai ribuan US$ perhari. Oleh karenanya perbaikan dalam penentuan rute dan

penjadwalan kapal dapat menghasilkan penghematan yang besar yang pada akhirnya

akan memberikan peningkatan profit yang signifikan. Hal ini penting agar bisa

bertahan dalam pasar yang semakin kompetitif.

Biaya pelayaran terutama terdiri dari biaya bahan bakar yang tergantung pada ukuran

kapal, kecepatan kapal, dan banyaknya kargo yang dibawa oleh kapal. Waktu yang

dibutuhkan di pelabuhan tergantung pada kuantitas produk yang harus dimuat

(loaded) atau di bongkar(discharge), dengan rata-rata memerlukan waktu satu hari.

Menurut Ronen (1983) terdapat tiga metode operasi pelayaran yaitu: liner, tramp,

dan industrial. Ketiga mode ini tidak didefenisikan secara jelas ataupun mutually

exclusive. Satu kapal bisa ditransfer dari satu mode ke mode lainnya dan operator

dapat mengoperasikan kapal dalam beberapa mode dalam waktu yang bersamaan.

Linear operation menyerupai armada bus yaitu terdapat jadwal keberangkatan dan

terjadi persaingan dalam mendapatkan kargo. Jadwal dari liner ships mempengaruhi

demand terhadap jasa mereka (kargo yang didapatkan). Liners biasanya beroperasi

dalam rute tertutup dan seringkali asal dan tujuan perjalanan tidak dapat

didefenisikan karena kapal-kapal dapat memuat dan membongkar kargo di setiap

pelabuhan yang dikunjungi dan kapal-kapal tesebut tidak pernah kosong.

Tramp operation menyerupai armada taksi. Kapal dikirimkan ke tempat dimana

kargo berada dan biasanya kapal tersebut penuh, dengan single origin dan satu atau

dua tujuan. Liner dan tramp operation biasanya adalah maksimasi laba per satuan

waktu.

Industrial operation mirip dengan operasi armada truk. Pemilik kargo

mengendalikan armada kapal. Kapal-kapal tersebut bisa merupakan milik perusahaan

itu sendiri atau perusahaan menyewa kapal (carter). Tujuan utama dari industrial

operation ini adalah untuk menjamin pelayanan transportasi bagi perusahaan dan

mereduksi biaya.

33  

II.2.1.1. Jenis terminal

Komara (2006) pola opeasi kapal, baik sebagai pengangkut minyak mentah maupun

produk minyak adalah dari satu terminal loading menuju satu atau beberapa terminal

discharging. Disamping itu, terdapat terminal yang difungsikan sebagai terminal

transit (transhipment).

Ciri pola distribusi minyak mentah adalah kapal bergerak dari sumur minyak

(sebagai terminal loading) menuju ke tempat penyulingan minyak (refinery) atau

menuju ke terminal transit. Sedangkan pada produk minyak, kapal bergerak dari

refenery (terminal loading) menuju depot-depot penerima produk minyak. Untuk

membantu distribusi produk minyak, dikenal juga terminal transit, terminal buffer,

dan terminal backloading. Terminal buffer adalah terminal yang berfungsi untuk

menjaga ketersediaan produk minyak secara nasional dengan cara mengimpor

minyak. Sedangkan terminal backloading adalah terminal yang fungsinya sama

dengan terminal transit, hanya saja kapasitas suplainya kecil.

II.2.1.2. Pola distribusi minyak

Komara (2006) ditinjau dari sebaran geografis permintaan minyak yang ada, pola

transihipment dalam pendistribusian minyak tidak dapat dihindari. Gambar II.1

berikut ini menggambarkan pola distribusi minyak.

Gambar II.5. Pola Distribusi Minyak.

Untuk berproduksi, pusat pengolahan minyak (kilang ) membutuhkan pasokan

minyak mentah, sehingga ada aliran minyak mentah dari sumber minyak menuju

34  

kilang. Minyak mentah yang telah diolah dari tempat penyulingan kemudian

didistribusikan ke terminal transit atau langsung ke depo. Distribusi produk minyak

juga dapat melalui buffer sebagai teminal loading menuju terminal transit atau

langsung ke depo sebagai terminal discharging. Permintaan produk minyak dari tiap

depo dapat juga dilayani dari terminal transit

II.2.1.3. Karakteristik pelabuhan

Dermaga dapat melayani 1 sampai n kapal bersamaan tergantung pada panjang

dermaga, panjang pipa in dan out, panjang kapal, jarak antara pipa in-out satu dengan

lainnya, atau dari data yang ada misalnya dermaga g pada pelabuhan h dapat

melayani maksimal tiga kapal dengan bobot mati x DWT dan dengan panjang y,

(Komara, 2006).

Gambar II.6. Kapal Bersandar pada Dermaga

II.2.1.4. Karakteristik loading dan discharging

Pada gambar II.7 sampai dengan gambar II.10, diilustrasikan macam-macam proses

loading dan discharging pada dermaga (Komara, 2006)

35  

Gambar II.7. Proses Loading dan Discharging 1 Jenis Produk ke/dari r Tangki Kapal

Gambar II.8. Proses Loading dan Discharging 1 Jenis Produk

ke/dari 1 Tangki Kapal Dalam Waktu Bersamaan

 

Gambar II.9. Proses Loading dan Discharging 1..N Jenis Produk ke/dari 1..N Tangki Kapal

36  

Gambar II.10. Proses Loading dan Discharging 1..N Jenis Produk ke/dari 1..N Tangki Kapal dengan Pergerakan Kapal dari Satu Dermaga ke Drmaga lainnya Pada

Pelabuhan yang Sama.

II.2.1.5. Karakteristik Ship Routing

Pada gambar II.11 sampai gambar II.14 diilustrasikan macam-macam karakteristik

ship routing atau karakteristik distribusi produk minyak menggunakan tanker.

Kondisi laden adalah kondisi kapal berlayar dengan mengangkut muatan penuh.

Kondisi inballast adalah kondisi kapal berlayar tanpa muatan (Komara, 2006).

Gambar II.11. Perjalanan Kapal dengan Relasi One to One

37  

Gambar II.12. Perjalanan Kapal dengan Relasi One to Many

Gambar II.13. Perjalanan Kapal dengan Relasi Many to One

Gambar II.14. Perjalanan Kapal dengan Relasi Many to Many

II.2.2. Perbedaan antara standart vehicle routing and scheduling problem dengan ship routing and scheduling problem.

Ronen (1983) menyebutkan perbedaan utama antara standart vehicle routing and

scheduling problem dengan ship routing and scheduling problem yaitu:

38  

1. Armada truk seringkali terdiri dari banyak truk yang identik, sedangkan kapal

hampir selalu berbeda antara satu dengan yang lain baik itu dalam ukuran,

kompartemenisasi, struktur biaya, dan karakteristik lainnya.

2. Marine routing problem seringkali melibatkan beberapa produk yang harus

dikirimkan dalam kompartemen yang terpisah dalam satu kapal. Berbadea

dengan package products yang dapat disimpan secara bersamaan dalam

kompartemen yang sama.

3. Kapal-kapal yang ada mempunyai ukuran yang bervariasi dengan ukuran

kompartemen yang berbeda. Ketika pengiriman terdiri lebih dari satu produk

yang harus dimuat dalam satu kapal, jumlah produk harus disesuaikan agar

sesuai dengan kompartemen yang tersedia.

4. Pelabuhan biasanya hanya mempunyai satu atau sedikit lokasi bongkar muat.

5. Waktu pengiriman biasanya lebih lama (dalam hitungan hari).

6. Permasalahan penjadwalan kapal memiliki tingkat ketidakpastian yang tinggi.

Kapal mungkin mengalami keterlambatan karena masalah cuaca, kerusakan

mesin, pemogokan di pelabuhan, dsb. Demand juga tidak diketahui dengan

pasti. Sebagian informasi baru diketahui seiring berjalan waktu. Kebanyakan

masalah penjadwalan diselesaikan menggunakan stattic procedures dan

dilakukan rerun ketika terdapat update informasi.

7. Kapal tidak harus ke tempat asalnya.

8. Kapal beroperasi 24 jam, sedangkan truk biasanya tidak beroperasi diwaktu

malam.

9. Tujuan kapal dapat berubah sewaktu-waktu ketika berada di laut.

II.3. Algoritma Sequential Insertion

Untuk membentuk solusi VRP, terdapat dua macam cara, yaitu menggabungkan rute

yang ada dengan menggunakan criteria penghematan (saving criterion) dan mencoba

secara berurutan memasukan pelanggan dalam rute kendaraan dengan menggunakan

criteria biaya penyisipan (cost insertion) Laporte et.al.( 2000) dalam Komara (2006).

Metode yang kedua telah terbukti menjadi metode yang popular digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan rute dan penjadwalan kendaraan (vehicle routing and

scheduling problems) (Campbell dan savelsbergh, 2002). Algoritma ini membangun

solusi yang layak yaitu sekumpulan rute yang layak dengan cara berulang kali

mencoba memasukan pelanggan yang belum masuk dalam rute manapun ke dalam

39  

bagian sementara dari rute yang terbentuk saat ini. Isu yang muncul pada algoritma

ini adalah pemelihan pelanggan yang belum masuk dalam rute manapun untuk

disisipkan dan pemilihan lokasi tempat penyisipan pelanggan.

Algoritma heuristic insertion ini sangat terkenal sebab metode ini sangat cepat dalam

memberikan solusi, mudah untuk diimplementasikan, dan mudah dikembangkan

untuk menangani pembatas-pembatas yang sulit. Beberapa literature pernah

menggunakan algoritma ini seperti Solomon (1987) dalam Mahaputra (2006) telah

mengembangkan algoritma ini untuk untuk memecahkan VRPTW. Algoritma

insertion ini sering dipilih untuk meghasilkan solusi awal yang layak pada LS dan

metaheuristik untuk permasalahan rute dan penjadwalan kendaraan (vehicle routing

and scheduling problems).

Untuk menjelaskan algoritma insertion dasar, notasi-notasi yang digunakan didefenisikan terlebih dahulu. Missal, terdapat n pelanggan dan permintaan pelanggan i dinyatakan dengan qi. Campbell dan Savelsbergh (2002) mengasumsikan bahwa qi tidak melebihi kapasitas kendaraan Q dengan kendaraan memiliki kapasitas yang sama (homogeneous). Waktu perjalanan dari pelanggan i ke pelanggan j dinyatakan dengan tij dan diasumsikan tidak terdapat tambahan waktu pada saat pengiriman ke pelanggan selama waktu perjalanan. Sebuah rute didefenisikan sebagai perjalanan dari depot ke beberapa pelanggan secara berturutan dan kembali lagi ke depot. Sebuah rute dinyatakan dengan (0,1,2,…,j,…,n+1) dengan 0 dan n+1 meyatakan depot dan kendaraan akan melayani pelanggan i yang telah menduduki posisi j pada rute tersebut. Algoritma insertion didefenisikan sebagai metode untuk menyisipkan pelanggan yang belum masuk dalam rute, pelanggan i, diantara pelanggan j-1 dan j pada rute (0,1,2,…,j - 1, j,…, n + 1).

Algoritma insertion terdiri dari dua macam yaitu algoritma parallel insertion dan sequential insertion. Algoritma parallel insertion pernah dibahas oleh Potvin dan Rousseau (1992) dalam Mahaputra (2006) untuk menyelesaikan VRPTW dengan beberapa rute dibangun sekaligus dalam waktu yang sama. Prinsip dasar dari algoritma ini adalah pertama-tama membentuk sejumlah rute. Selanjutnya, tiap pelanggan akan disisipkan pada posisi tertentu pada salah satu tur yang memberikan criteria terbaik, jika tidak dimungkinkan lagi terjadi penyisipan maka satu tambahan rute dibangkitkan. Algoritma behenti jika semua pelanggan telah ditugaskan. Potvin

40  

dan Rousseau (1992) dalam Mahaputra (2006) rincian algoritma parallel insertion dapat dinyatakan sebagai berikut:

N = kumpulan pelanggan yang belum ditugaskan R = satu set rute yang selalu berisi rute kosong. Dengan kata lain R menyatakan banyaknya rute yang ingin dibentuk. While N ≠ { } do P * = - ∞ for i ∈ N do for i ∈ R do for (j-1, j) ∈ r do If feasible (i,j) and profit (i,j) > p * Then r* = r i* = i P*= profit (i,j) end if end for end for end for insert (i*,j*) N = N \ j* Update (r*) End while

Pada algoritma sequential insertion, setiap rute harus dilengkapi terlebih dahulu

sebelum membentuk rute baru. Algoritma ini pernah digunakan oleh Suprayogi dan

Yamato (2003) dalam menyelesaikan VRPMTTW. Algoritma ini dikenal juga

dengan nama push forward insertion heuristic (PFIH).

Prinsip dasar dari algoritma sequential insertion adalah mencoba menyisipkan

pelanggan diantara semua busur (edge) yang ada pada rute saat ini. Busur ini

didefenisikan sebagai lintasan yang menghubungkan secara langsung satu lokasi

dengan satu lokasi yang lain. Pada gambar II.15, pelanggan berikutnya dicoba untuk

disisipkan pada busur 1 dan busur 2 yang ada pada rute saat ini

Gambar II.15. Penyisipan Pelanggan pada Rute Saat ini.

41  

Kelayakan diperiksa untuk semua pembatas time window dan kapasitas muatan

kendaraan. Pelanggan dan busur yang memberikan tambahan “biaya” yang paling

kecil dan layak selanjutnya dipilih. Prosedur ini terus berulang hingga semua

pelanggan telah ditugaskan.

Algoritma sequential insertion memiliki kelebihan dibandingkan dengan parallel

insertion (Suprayogi dan Yamato, 2002). Seperti yang pernah dinyatakan oleh Tung

dan Pinnoi (2000) dalam Mahaputra (2006) , algoritma sequential insertion akan

berusaha untuk menghasilkan jumlah kendaraan (tur) sekecil mungkin dengan

memanfaatkan kapasitas kendaraan sebanyak mungkin. Hal ini sesuai dengan tujuan

utama dari VRPMT atau VRPMTTW yaitu jumlah kendaraan diusahakan

seminimum mungkin.

II.4. Genetic Algorithm

Dalam penelitiannya, Braysy (2001) menyebutkan bahwa GA pertama kali

diperkenalkan oleh John Holland pada tahun 1975 setelah mengamati bahwa proses

evolusi dapat dipakai sebagai analogi dari alam untuk persoalan optimasi di bidang

teknik. Prinsip dan mekanisme evolusi disusun menjadi suatu algoritma program

untuk diterapkan dalam software computer, yang diberinama GA.

Goldberg (1989) dalam Mahaputra (2006) menyebutkan bahwa GA merupakan

algoritma pencarian terstruktur yang didasarkan pada mekanisme seleksi alami dan

informasi genetika alami. Algoritma ini mengkombinasikan struktur string yang

paling baik dalam satu generasi dengan struktur yang berasal dari pertukaran

informasi secara acak. Pada setiap generasi, suatu kumpulan dari individu disusun

dengan menggunakan informasi dari individu unggul pada generasi sebelumnya.

Ketika digunakan mekanisme acak, algoritma genetika bukanlah pencarian acak

yang sederhana. Algoritma ini secara efisien mengeksploitasi informasi-informasi

historis untuk kemudian menentukan titik pencarian solusi berikutnya dengan

eksektasi dapat meningkatkan performansi.

GA mengadaptasi mekanisme evolusi. Evolusi adalah proses yang bekerja pada

kromosom-kromosom suatu mahluk hidup dari generasi ke generasi. Kromosom

merupakan sekumpulan molekul besar yang mengkodekan struktur mahluk hidup.

42  

Pada mahluk hidup biasanya terdapat lebih dari satu kromosom dan keseluruhan

kromosom ini disebut genotip (genotype). Kromosom-kromosom ini menyusun

protein asam amino yang ada dalam mahluk hidup yang merupakan pengatur dari

segala macam proses kimiawi yang terjadi. Individu-individu yang ada pada saat

tertentu dalam suatu populasi merupakan individu yang berhasil bertahan, sedangkan

yang lemah akan punah. Individu-individu yang bertahan akan membentuk individu

baru sehingga terjadi proses regenerasi.

Individu-individu dalam suatu populasi dianalogikan sebagai suatu set solusi yang

mungkin dari permasalahan optimasi. Setiap solusi memiliki nilai suaian (fitness)

terhadap fungsi tujuan yang hendak dicapai. Semakin tinggi atau rendah nilai

suaiannya (tergantung pada permasalahan minimasi atau maksimasi) maka solusi

tersebut akan semakin mendekati solusi terbaik. Set solusi baru tersebut dibentuk

berdasarkan informasi-informasi genetika yang bermanfaat dari set solusi yang

mempunyai suaian tinggi.

GA melakukan simulasi evolusi pada populasi kromosom. Seperti evolusi, algoritma

ini menyelesaikan masalah pencarian kromosom yang baik dengan memanipulasi

bagian yang terdapat dalam kromosom secara acak. Algoritma ini tidak mengetahui

tipe permasalahan yang dihadapui. Informasi yang diberikan hanyalah evaluasi nilai

suaian setiap kromosom. Informasi ini akan berpengaruh dalam pemilihan

kromosom, sehingga kromosom yang mempunyai hasil evaluasi yang paling baik

akan direproduksi lebih banyak dibandingkan dengan kromosom yang mempunyai

hasil evaluasi yang buruk.

Goldberg (1998) dalam Mahaputra (2006) menyebutkan bahwa ada tiga tipe untuk

pencarian titik optimal :

• Calculus-based

Metode ini berorientasi pada penyelesaian persamaan matematis untuk

mencari titik ekstrim local. Ada dua jenis, yaitu metode langsung dan tidak

langsung. Metode tidak langsung mencari ekstrim local dengan

menyelesaikan beberapa pertidaksamaan matematis, sampai terjadi tingkat

kemiringan nol untuk semua arah. Metode langsung berharap pada fungsi

pertidaksamaan dan menggerakannya ke solusi sekitar yang memungkinkan

43  

untuk mencapai optimal local. Kedua metode ini memiliki kelemahan, yaitu

kedua metode ini hanya mencapai optimal lokal. Di samping itu, jika suatu

nilai optimal lokal telah tercapai, unttuk mencari solusi yang lebih baik,

dibutuhkan metode modifikasi solusi ekstrim baik berupa mengadaptasi

aspek kerandoman, maupun dengan aturan-aturan tertentu. Permasalahan

lainnya adalah metode ini sangat bergantung pada fungsi turunan dari fungsi

utama.

• Enumerative

Metode ini mencari nilai fungsi obyektif pada setiap poin dalam ruang solusi

satu per satu. Algoritma ini cukup sederhana, tetapi kurang efisien terlebih

untuk permasalahan riil dengan ruang solusi yang sangat besar.

• Random Search

Metode ini banyak menjadi perhatian akhir-akhir ini sejalan dengan

berkembangnya penelitian di bidang algoritma, kecerdasan buatan, dan

komputasi evolusioner. Menyadari kelemahan dua metode sebelumnya,

berbagai variasi metode random search, baik berupa guided search hingga

multiple points solution telah dikemukakan dalam berbagai penelitian yang

pada akhirnya berkembang menjadi metode simulated annealing, GA, dan

algoritma evolusioner lainnya.

GA memiliki perbedaan mendasar dibandingkan dengan metode pencarian solusi

lainnya. Goldberg (1989) dalam Mahaputra (2006) menyebutkan perbedaan

mendasar itu :

1. GA tidak bekerja secara langsung, tetapi bekerja dengan hasil kodifikasi

solusi. Solusi beranalogi dengan sifat fisik mahluk hidup, sedangkan

kodifikasi solusi beranalogi dengan pengkodean sifat fisik mahluk hidup,

sedangkan kodifikasi solusi beranalogi dengan pengkodean sifat fisik ke

dalam kromosom. Evolusi yang merupakan inti dari algoritma genetika

bekerja dengan memanipulasi isi kromosom, dengan tidak memanipulasi sifat

fisiknya secara langsung. Hal ini menyebabkan GA tidak dipengaruhi oleh

persoalan yang dihadapi secara langsung.

2. GA menggunakan kumpulan solusi dalam melakukan pencarian. Hal ini

berbeda dengan metode lainnya yang menggunakan hanya satu solusi untuk

44  

melakukan solusi berikutnya untuk dievaluasi. GA mengikuti proses evolusi

yang bekerja pada suatu populasi. Informasi genetika yang terkandung dalam

populasi itu akan menentukan individu-individu baru dalam generasi

selanjutnya.

3. GA bekerja dengan menggunakan informasi yang diperolehdari fungsi tujuan

saja. Berbeda sekali dengan banyak metode konvensional yang biasanya

menggunakan informasi lain berupa turunan, baik yang dihitung secara

analitik ataupun numerik. Hal ini menyebabkan GA dapat diterapkan pada

masalah-masalah yang melibatkan fungsi multimodal, non-linier, dan

sebagainya.

4. GA menggunakan aturan transisi probabilistic, bukan deterministic. GA

menggunakan mekanisme acak untuk mengeksplorasi ruang solusi.

Karena perbedaaan yang mendasar tersebut, GA menjadi metode yang robust dan

mempunyai kelebihan tersendiri dibanding metode-metode optimasi lainnya.

Proses pengerjaan GA terdapat encoding (kodifikasi) dan decoding (dekodifikasi).

Dalam melakukan encoding dan decoding tersebut, terdapat dua hal penting yang

perlu diperhatikan yaitu :

• Kelayakan Kromosom

Merupakan fenomena apakah solusi yang di-dekodifikasi dari sebuah

kromosom terletak pada daerah yang layak untuk permasalahan tersebut. Tiap

metode optimasi, baik metode konvensional maupun algoritma genetika,

harus dapat mengakomodasi adanya kendala untuk tiap variabel, baik berupa

persamaan atau pertidaksamaan

• Legalitas kromosom

Merupakan fenomena apakah sebuah kromosom benar-benar

merepresantisakan sebuah solusi permasalahan. Kromosom illegal tidak dapat

didekodifikasi menjadi solusi, sehingga kromosom tersebut tidak dapat

dievaluasi. Teknik perbaikan biasanya digunakan untuk memperbaiki

kromosom illegal menjadi legal agar ruang solusi tetap terbuka.

Kodifikasi merupakan ciri penting dari GA. Ada beberapa bentuk kodifikasi yang

sering digunakan:

45  

• String biner (0 dan 1), paling umum digunakan tetapi cukup sulit diterapkan

pada kasus nyata karena kode biner bukanlah kode alami dari persoalan.

• Bilangan riil (real number coding) untuk masalah optimasi berkendala.

• Bilangan bulat (integer number coding) untuk masalah optimasi

kombinatorial.

Braysy (2001) dalam penelitiannya disebutkan bahwa walaupun secara teoritis dan secara umum, representasi kromosom jenis bit-string (1-0) cukup mampu mengakomodasi karakteristik GA, tetapi untuk permasalahan yang membahas tentang urutan, seperti permasalahan rute kendaraan (VRP), representasi kromosom integer akan lebih mudah serta lebih masuk akal.

Faktor terbesar dalam teori evolusi yang menyebabkan suatu kromosom bertahan hidup, mati, melakukan persilangan, atau mengalami mutasi adalah lingkungan pada GA, faktor lingkungan ini direpresentasikan melalui fungsi tertentu sebagai evaluator. Fungsi tujuan adalah hubungan antara algoritma genetika dengan permasalahan yang akan dioptimasi. Fungsi inilah yang akan digunakan untuk mengevaluasi kromosom pada setiap generasi. Masukan, fungsi obyektif adalah kromosom dan keluarannya adalah suatu bilangan yang disebut fitness. Lebih lanjut dinyatakan bahwa, pada beberapa permasalahan berkendala digunakan fungsi suaian (fitness function) yang merupakan fungsi tujuan yang dimodifikasi sebagai evaluator dari kromosom. Fitness juga dapat digunakan untuk mengakomodasi prosedur penalti dan prosedur penanganan kendali lainnya. Operator yang digunakan dalam penyelesaian masalah dengan menggunakan GA terdiri dari 4 macam yaitu:

• Elitis : berfungsi untuk melakukan pemilihan individu yang akan mati untuk kemudian diganti oleh individu lainnya atau individu yang bertahan untuk kemudian diperbanyak

• Migration: berperan untuk memindahkan individu-individu generasi sebelumnya dan membentuk subpopulasi baru yang diharapkan menghasilkan individu-individu baru yang lebih baik.

• Crossover : berfungsi untuk menggabungkan dua string induk yang berbeda menjadi dua string anak yang berbeda dengan string induknya.

• Mutasi : berperan dalam melakukan perubahan pada setiap kromosom dan gen didalammnya.

46  

Algoritma migrasi pembagian populasi dibuat dalam suatu kumpulan subpopulasi dan dengan menentukan interval, membagi informasi diantara subpopulasi. Pei Hong, et.al (2006) memperkenalkan paramater dalam algoritma migrasi yaitu : conection topology (topologi yang dijelaskan dengan hubungan antara subpopulasi), migration policy, migration interval (parameter yang mengontrol seberapa sering migrasi terjadi), migration rate (parameter yang mengontrol berapa jumlah individu yang akan bermigrasi), dan population size (jumlah dari subpopulasi), dan lain-lain. Berikut adalah contoh the multi-population genetic algorithm with fixed migration interval and migration rates: Initialize the parameters;

Generate N sub-population P1, P1,..., PN randomly; generation←1; while generation ≤ max_gen do for each sub-population Pi do use a fitness function to evaluate each individual in Pi; perform crossover in Pi; perform mutation in Pi; perform replacement in Pi; endfor generation← generation+1; if (generation % migration-intervall ==0) perform migration at the fixed migration rate; endwhile

Pada Goldberg (1989) dalam Mahaputra (2006) disebutkan bahwa algoritma dasar

dari GA bekerja sebagai berikut:

Bentuk populasi awal (T=1)

Evaluasi fitness masing-masing individu dari populasi awal

Bentuk generasi berikutnya dengan mekanisme evolusi

Mekanisme evolusi:

Pilih dua individu dengan mekanisme seleksi.

Jika keadaannya memungkinkan, crossover individu tersebut dan

menghasilkan dua individu baru. Jika keadaanya memungkinkan,

mutasikan kedua individu baru tersebut. Masukan individu baru ke

dalam generasi baru. Ulanggi mekanisme evolusi sampai generasi

baru terbentuk.

Evaluasi generasi baru yang telah terbentuk.

Ulangi pembentukan generasi baru sampai kriteria pemberhentian terpenuhi.

47  

Gambar II.16 berikut ini menunjukan diagram alir dari GA

Gambar II.16. Diagram Alir GA