5

Bab II Tinjauan Pustaka

II.1 Deskripsi Fluida dan Sifat-sifatnya

Fluida dapat didefinisikan sebagai sebuah bahan yang mengalami deformasi

secara terus-menerus ketika diberi sebuah tegangan geser (shearing stress)

berapapun besarnya. Tegangan geser ini berupa sebuah gaya tangensial yang

dikenakan pada sebuah permukaan. Ketika benda-benda padat yang umum seperti

baja atau logam-logam lain dikenai sebuah tegangan geser, bahan-bahan tersebut

pada awalnya akan mengalami deformasi (biasanya sangat kecil), tapi bahan-

bahan tersebut tidak akan mengalami deformasi secara terus-menerus (mengalir).

Definisi fluida tersebut dipenuhi oleh bahan-bahan seperti air, minyak, dan udara

karena bahan-bahan ini akan mengalir ketika dikenai sebuah tegangan geser.

Secara umum fluida dapat dikelompokan ke dalam dua kelompok besar yaitu

fluida gas dan fluida cair.

Fluida memiliki sifat-sifat tertentu yang berkaitan erat dengan perilakunya. Jelas

terlihat bahwa fluida yang berbeda memiliki karakteristik yang berbeda.

Karakteristik-karakteristik ini dapat dijelaskan oleh sifat-sifat fluida tertentu.

II.1.1 Rapat Massa

Rapat massa fluida yang diwakili oleh simbol ρ (rho) didefinisikan sebagai massa

suatu fluida per unit volume. Satuan rapat massa dalam sistem internasional (SI)

ialah kg/m3 dan g/cm3 dalam sistem cgs.

Nilai rapat massa antara fluida-fluida yang berbeda sangatlah bervariasi. Pada

cairan perubahan tekanan dan temperatur hanya sedikit mempengaruhi nilai rapat

massa. Sementara rapat massa fluida gas sangat dipengaruhi oleh tekanan dan

temperatur sehingga termasuk dalam kelompok termampatkan.

6

II.1.2 Viskositas

Viskositas merupakan salah satu sifat fluida yang paling penting. Viskositas ini

timbul sebagai akibat dari interaksi antar molekul di dalam fluida tersebut atau

dengan kata lain molekul-molekul penyusun fluida tersebut. Interaksi yang

dimiliki cairan ialah gaya-gaya kohesif antar molekul, sementara interaksi yang

dimiliki gas ialah tumbukan-tumbukan antar molekul.

Viskositas menunjukkan resistansi fluida untuk mengalir ketika diberi tegangan

geser (shear stress). Viskositas ini didefinisikan sebagai rasio antara tegangan

geser terhadap gradien kecepatan atau terhadap laju perubahan regangan geser

(shear strain).

Gambar II.1. Perilaku fluida yang diletakan di antara dua pelat sejajar (Feynman,

et.al., 1964).

Viskositas dapat ditentukan melalui sebuah eksperimen sederhana dengan

menggunakan dua pelat sejajar yang mengapit suatu fluida (contohnya air) seperti

yang dapat dilihat dalam Gambar II.1. Sebuah pelat dijaga agar tetap diam

sementara pelat yang lain digerakan dengan kecepatan vo. Jika gaya yang

dibutuhkan untuk menggerakkan pelat tersebut diukur, akan ditemukan bahwa

gaya tersebut berbanding lurus dengan luas pelat dan dengan vo/d (d adalah jarak

antar pelat). Sehingga diperoleh hubungan bahwa tegangan geser F/A berbanding

lurus dengan vo/d (Feynman, et.al., 1964):

d

v

A

F oµ= II.1

7

Persamaan di atas dapat juga dituliskan dalam bentuk sebagai berikut (Feynman,

et.al., 1964):

y

v

A

F x

∂∂

=∆∆ µ II.2

Besaran ∂vx/∂y ialah gradien kecepatan atau laju perubahan regangan geser (shear

strain). Konstanta proporsionalitas µ (mu) inilah yang disebut koefisien

viskositas. Satuan viskositas dalam sistem SI ialah Pa.s atau N.s/m2 sementara

satuan viskositas dalam sistem cgs ialah poise (P)

(http://en.wikipedia.org/wiki/Viscosity, 2007).

Jika gerakan fluida di antara kedua pelat di atas diamati dengan lebih seksama

dapat dilihat bahwa fluida yang bersentuhan dengan pelat yang bergerak akan

bergerak dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan pelat, sementara fluida

yang bersentuhan dengan pelat yang diam memiliki kecepatan sama dengan nol.

Pengamatan ini merupakan bagian dari fakta ekperimental yang menyatakan

bahwa dalam semua fluida biasa, molekul-molekul yang berada di sebelah

permukaan benda padat memiliki kecepatan sama dengan nol (relatif terhadap

permukaan benda padat) (Feynman, et.al., 1964).

Nilai viskositas sebuah fluida bergantung pada jenis fluida tersebut. Fluida dapat

memiliki viskositas yang berbeda-beda yang sangat bergantung pada temperatur

dan sedikit bergantung pada tekanan. Fluida yang memiliki hubungan antara

tegangan geser dengan laju perubahan regangan geser (shear strain) yang linier

disebut sebagai fluida Newtonian. Contoh fluida Newtonian ini ialah air.

Selain fluida Newtonian terdapat kelompok fluida lain yang disebut fluida non-

Newtonian. Dalam fluida non-Newtonian hubungan antara tegangan geser dengan

laju perubahan regangan geser (shear strain) tidaklah linier. Dengan kata lain

viskositas fluida non-Newtonian berubah bergantung pada laju perubahan

8

regangan geser (shear strain) yang dialaminya sehingga fluida non-Newtonian

tidak memiliki viskositas yang pasti (http://en.wikipedia.org/wiki/Non-

Newtonian_fluid, 2007). Contoh fluida yang termasuk fluida non-Newtonian

antara lain cat, campuran air-pasir (pasir hisap), dan pasta gigi. Hubungan antara

tegangan geser (shear stress) dengan laju perubahan regangan geser (shear strain)

untuk beberapa jenis fluida dapat dilihat pada Gambar II.2.

Gambar II.2. Hubungan antara tegangan geser dengan laju perubahan regangan

geser untuk beberapa jenis fluida.

Seperti telah disinggung sebelumnya viskositas fluida sangat bergantung pada

temperatur. Viskositas cairan menurun seiring dengan meningkatnya temperatur

sementara pada gas peningkatan temperatur menyebabkan peningkatan viskositas.

Efek temperatur pada viskositas cairan tersebut dapat didekati dengan baik

menggunakan persamaan empiris yang disebut persamaan Andrade:

T

B

De=µ II.3

dengan D dan B adalah konstanta dan T adalah temperatur absolut. Konstanta D

dan B dapat ditentukan jika viskositas cairan pada dua temperatur diketahui.

9

Dalam banyak situasi diperlukan rasio antara gaya viskos yang diwakili oleh

viskositas fluida (µ) terhadap gaya inersial yang diwakili oleh rapat massa fluida

(ρ). Rasio ini diwakili oleh viskositas kinematik yang didefinisikan sebagai

berikut:

ρµν = II.4

II.2 Aliran Fluida

Pemahaman tentang aliran fluida dapat diterapkan dalam banyak bidang seperti

menghitung gaya-gaya dan momen-momen pada pesawat terbang, menentukan

laju aliran massa minyak bumi di dalam pipa, menentukan perilaku aliran darah di

dalam pembuluh, meramalkan pola-pola cuaca. Bahkan beberapa prinsip aliran

fluida ini diterapkan dalam rekayasa lalu lintas dengan menganggap lalu lintas

sebagai fluida yang kontinyu (http://en.wikipedia.org/wiki/Fluid_dynamics,

2006).

II.2.1 Persamaan Dasar Aliran Fluida

Gerakan fluida dapat digambarkan menggunakan sekelompok persamaan yang

disebut persamaan-persamaan Navier-Stokes. Fluida yang dibahas diasumsikan

memiliki sifat-sifat tertentu. Pertama, fluida tersebut bersifat kontinyu (tidak

mengandung ruang kosong seperti gelembung). Asumsi berikutnya ialah seluruh

besaran fisika yang digunakan seperti tekanan, kecepatan, rapat massa,

temperatur, dan lain-lain dapat didiferensiasikan (tidak memiliki transisi fase)

(http://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes_equations, 2006).

Persamaan-persamaan Navier-Stokes diturunkan dari prinsip-prinsip dasar

kekekalan massa, kekekalan momentum, dan kekekalan energi

(http://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes_equations, 2006). Persamaan dasar

aliran fluida yang menyatakan kekekalan massa dapat diturunkan dengan

10

pertama-tama mengambil sebuah elemen volume dengan bentuk sembarang

seperti diperlihatkan pada Gambar II.3.

Gambar II.3. Sebuah elemen volume V

Massa dari elemen volume itu ialah:

dVρ∫ II.5

dengan ρ adalah rapat massa elemen volume. Fluida dapat mengalir masuk atau

keluar elemen volume V. Pada permukaan elemen volume dipilih sebuah elemen

permukaan Sd sembarang, dengan Sd adalah vektor normal permukaan. Massa

fluida yang mengalir keluar melalui permukaan Sd dinyatakan sebagai Sdu •ρ ,

dengan u adalah kecepatan aliran fluida. Laju massa yang keluar dari volume V

dapat dinyatakan sebagai (Landau dan Lifshitz, 1959):

∫ •S

Sduρ II.6

Berkurangnya massa fluida per satuan waktu dari dalam volume V dapat

dituliskan sebagai (Landau dan Lifshitz, 1959):

∫∂∂− dVt

ρ II.7

11

Dari persamaan II.6 dan II.7 diperoleh:

∫ ∫ •−=∂∂

S

SdudVt

ρρ II.8

Tanda minus (-) pada ruas kanan persamaan menunjukkan bahwa laju aliran yang

keluar dari permukaan volume merupakan pengurangan massa fluida dari dalam

elemen volume. Integral permukaan pada persamaan II.6 dapat ditransformasikan

menjadi integral volume menggunakan formula Green (Landau dan Lifshitz,

1959):

( )∫ ∫ •∇=•S V

dVuSdu ρρ II.9

Persamaan yang diperoleh ialah (Landau dan Lifshitz, 1959):

( ) 0=

•∇+∂∂

∫ dVut

ρρ

atau ( )dVudVt ∫∫ •∇−=

∂∂ ρρ

II.10

Selanjutnya semua suku pada persamaan II.10 dikumpulkan dalam satu ruas

sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut (Landau dan Lifshitz, 1959):

( ) 0=•∇+∂∂

ut

ρρ II.11

Persamaan II.11 dikenal sebagai persamaan kontinuitas yang menyatakan

kekekalan massa fluida secara umum. Dalam kasus fluida tak termampatkan

12

(incompressible), persamaan II.11 dapat dituliskan sebagai berikut:

0=•∇ u II.12

Selain pada hukum kekekalan massa, aliran fluida juga berdasar pada hukum

kekekalan momentum. Penurunan persamaan untuk hukum kekekalan momentum

diperoleh dari Hukum II Newton:

Fdt

ud =ρ II.13

dengan F adalah gaya per satuan volume yang bekerja pada elemen fluida.

Bentuk dt

ud adalah percepatan elemen fluida. Terdapat dua hal yang berkontribusi

pada bentuk dt

ud ini. Pertama, kecepatan itu sendiri berubah terhadap waktu

seperti ditunjukkan oleh t

u

∂∂

. Kedua, kecepatan dapat berubah dari satu titik ke

titik lain ketika fluida mengalir (dimensi spasial). Kedua kontribusi ini dapat

dinyatakan sebagai (Landau dan Lifshitz, 1959):

dzz

udy

y

udx

x

udt

t

uud

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂= II.14

Dengan membagi kedua ruas dengan dt persamaan II.14 akan berubah menjadi:

( )uut

u

dt

ud ∇•+∂∂= II.15

13

Fluida yang dijadikan acuan ialah fluida ideal, yaitu fluida yang tidak viskos

(inviscid). Karena itu gaya yang diperhitungkan ialah gaya yang timbul sebagai

akibat dari perbedaan tekanan yaitu (Landau dan Lifshitz, 1959):

∫− SPd II.16

Dengan mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk integral volume akan

diperoleh bentuk (Landau dan Lifshitz, 1959):

∫ ∫∇−=− PdVSPd II.17

Dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa gaya yang bekerja pada elemen fluida

ialah P∇− . Dengan mensubstitusi persamaan II.17 ke dalam persamaan II.13,

dan kemudian mensubstitusikan hasilnya ke dalam persamaan II.15 akan

diperoleh persamaan (Landau dan Lifshitz, 1959):

( ) Puut

u ∇−=∇•+∂∂

ρ1

II.18

Persamaan terakhir ini merupakan persamaan Euler. Persamaan Euler menyatakan

hukum kekekalan momentum di dalam fluida ideal yang tidak viskos (inviscid)

dan tidak termampatkan (incompressible).

II.2.2 Tensor Rapat Fluks Momentum

Penurunan persamaan gerak untuk aliran fluida secara makroskopik dilakukan

dengan menggunakan tensor. Penurunan persamaan ini dimulai dengan

menyatakan laju perubahan momentum dalam volume tetap melalui persamaan

(Landau dan Lifshitz, 1959):

( )t

ut

uu

t ∂∂+

∂∂

=∂∂ ρρρ α

αα II.19

14

Notasi uα menyatakan komponen kecepatan fluida dalam arah α. Kemudian

persamaan kontinuitas II.12 dan persamaan Euler II.18 disubstitusikan ke dalam

persamaan II.19 sehingga diperoleh persamaan (Landau dan Lifshitz, 1959):

( ) ( )β

βα

αβ

αβα

ρρρ

x

uu

x

p

x

uuu

t ∂∂

−∂∂−

∂∂

−=∂∂

II.20

Kemudian persamaan II.20 diubah menjadi (Landau dan Lifshitz, 1959):

( ) ( )βαβα

α ρρ uuxx

Pu

t ∂∂−

∂∂−=

∂∂

II.21

Suku kedua pada ruas kanan memenuhi konvensi somasi Einstein. Pada akhirnya

diperoleh ungkapan sederhana yang menyatakan kesetimbangan momentum yang

berupa persamaan (Landau dan Lifshitz, 1959):

( )β

αβαρ

xu

t ∂

∂−=

∂∂ ∏

II.22

Dalam persamaan tersebut tensor rapat fluks momentum didefinisikan sebagai

(Landau dan Lifshitz, 1959):

βααβαβρδ uuP +=∏ )0(

II.23

dengan δαβ ialah delta Kronecker.

II.2.3 Persamaan Navier-Stokes untuk Aliran Viskos Tak Termampatkan

Untuk menurunkan persamaan Navier-Stokes, persamaan II.19 harus dimodifikasi

supaya dapat mengakomodasi gaya gesek. Bentuk tensor rapat fluks momentum

15

untuk aliran viskos dapat didekati menggunakan persamaan II.22 sehingga

diperoleh (Rothman dan Zaleski, 1997):

∏∏∏ += visc

αβαβαβ

)0( II.24

Ungkapan untuk tensor aliran viskos diberikan oleh persamaan (Rothman dan

Zaleski, 1997):

)( αβγγα

β

β

ααβ

δξµ uxx

u

x

uvisc

∂∂−

∂∂

+∂∂

−=∏ II.25

dengan konstanta ξ merupakan koefisien positif yang berkaitan dengan viskositas.

Persamaan kesetimbangan momentum yang dihasilkan berbentuk (Rothman dan

Zaleski, 1997):

( )β

αβαρ

xu

t ∂

∂−=

∂∂ ∏

II.26

Substitusi persamaan II.23, II.24, dan II.25 akan menghasilkan persamaan

(Rothman dan Zaleski, 1997):

( )

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂

γγα

βα

αββα

βαβ

α ξµρρ uxx

ux

uxx

Px

uux

ut

II.27

Persamaan II.27 menggambarkan hukum kekekalan momentum di dalam fluida

viskos termampatkan. Persamaan ini dapat disederhanakan untuk fluida tak

termampatkan dengan terlebih dahulu mendefinisikan viskositas kinematik seperti

16

pada persamaan II.4. Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:

uPuut

u 21 ∇+∇−=∇•+∂∂ ν

ρ II.28

Persamaan tersebut merupakan persamaan Navier-Stokes untuk aliran viskos tak

termampatkan. Persamaan ini menunjukkan bahwa perubahan momentum

(percepatan) partikel-partikel fluida hanya dipengaruhi oleh perubahan tekanan

dan gaya viskos disipatif yang bekerja di dalam fluida

(http://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes_equations, 2006).

II.3 Batuan Sebagai Medium Porous

Dalam kehidupan sehari-hari dan di alam, medium porous dapat ditemukan

dimana-mana. Material atau struktur porous memiliki salah satu dari dua syarat di

bawah ini (Dullien, 1979):

1. Material atau struktur tersebut harus mengandung ruang-ruang yang

disebut pori, yang tidak berisi bahan padat. Ruang-ruang tersebut

dikelilingi oleh matriks yang padat atau semipadat. Pori-pori umumnya

berisi fluida, seperti udara, air, minyak, dan sebagainya.

2. Material atau struktur tersebut harus permeabel terhadap berbagai jenis

fluida, artinya fluida harus dapat masuk dari satu sisi material dan keluar

dari sisi yang lain. Dalam kasus ini bahan tersebut disebut bahan porous

permeabel.

Dalam kehidupan sehari-hari dan di alam terdapat banyak contoh material-

material porous contohnya kain, kertas, beton, batu bata, kayu, tanah, dan

sebagainya. Dalam tubuh manusia juga terdapat banyak material dan struktur

porous seperti pembuluh darah serta filter dan membran biologis (Dullien, 1979).

Medium porous dan sifat-sifatnya diterapkan secara paling intensif dalam bidang

17

ilmu (Dullien, 1979):

1. Hidrologi, yaitu ilmu yang mempelajari gerakan air di dalam bumi dan

struktur-struktur buatan manusia, aliran dari formasi batuan yang

mengandung air ke sumur, intrusi air laut di pesisir dan masih banyak lagi.

2. Rekayasa perminyakan, yang terutama mempelajari produksi minyak dan

gas bumi, ekplorasi, pemboran sumur, dan sebagainya.

Medium porous yang memainkan peranan penting dan merupakan fokus perhatian

dalam kedua bidang ilmu di atas ialah batuan. Batuan ialah kumpulan mineral-

mineral alami yang mengalami kritalisasi melalui proses-proses pembentukan

batuan (Schön, 1996). Batuan dapat memperlihatkan sifat-sifat yang tidak dimiliki

oleh masing-masing mineral yang menyusun batuan tersebut. Sifat-sifat fisis,

kimiawi, dan geometris dari batuan-batuan bergantung pada sifat-sifat fisis,

kimiawi, dan geometris dari masing-masing mineral, fraksi-fraksi volumenya, dan

distribusinya (Guéguen dan Palciauskas, 1994).

Batuan dapat diklasifikasikan dengan berbagai cara. Salah satu metode klasifikasi

batuan yang paling populer ialah berdasarkan cara pembentukannya. Menurut

metode klasifikasi ini, batuan dapat dibedakan menjadi batuan beku (igneous),

batuan sedimen, dan batuan metamorf (Schön, 1996).

Batuan beku merupakan hasil dari pembekuan bahan lelehan yang berasal dari

dalam bumi. Magma yang mengalir keluar permukaan bumi dan mendingin

dengan cepat membentuk batuan vulkanik (ekstrusif). Sementara magma yang

tidak mencapai permukaan bumi dan memadat dengan lambat di bawah

permukaan bumi membentuk batuan plutonik (intrusif). Secara umum batuan

ekstrusif dan intrusif memiliki kandungan mineral yang sama yaitu silikat. Contoh

batuan beku ini antara lain basalt, andesit, granit (Guéguen dan Palciauskas,

1994).

Batuan sedimen merupakan hasil dari proses pelapukan dan sedimentasi yaitu

batuan-batuan beku, metamorf, dan sedimen yang mengalami penguraian secara

18

fisis dan kimiawi. Kemudian bahan-bahan terurai tersebut berpindah sebagai

serpihan dan dalam larutan dan terakumulasi pada suatu tempat sehingga

membentuk batuan sedimen. Berdasarkan cara pembentukannya batuan sedimen

dapat dikelompokkan menjadi dua jenis utama yaitu sedimen klastik (misalnya

batu pasir (sandstone) dan shale) dan sedimen kimiawi dan biokimiawi (misalnya

karbonat dan evaporit) (Schön, 1996).

Batuan metamorf merupakan hasil dari proses metamorfisme. Proses

metamorfisme ini disebabkan oleh perubahan temperatur dan tekanan. Susunan

mineral yang telah ada diubah menjadi susunan mineral baru yang sesuai dengan

kondisi termodinamik yang dialami susunan mineral tersebut. Contoh batuan

metamorf ini antara lain gneiss, schist, marmer (Schön, 1996).

II.4 Parameter Struktur Pori Makroskopik

Sedikit banyak seluruh sifat makroskopik medium porous dipengaruhi oleh

struktur pori. Pada umunya parameter-parameter struktur pori makroskopik secara

keseluruhan ditentukan oleh struktur pori medium dan tidak bergantung pada

sifat-sifat lain. Parameter-parameter struktur pori makroskopik yang akan dibahas

dalam tulisan ini ialah porositas dan permeabilitas.

II.4.1 Porositas Batuan

Porositas merupakan ukuran volume pori yang tersedia di dalam batuan. Porositas

φ didefinisikan sebagai fraksi volume batuan V yang tidak berisi bahan padat.

Porositas juga dapat didefinisikan dengan persamaan:

V

V

V

VV pm =−

=ϕ II.29

dengan Vm ialah volume bahan padat dan Vp ialah volume pori seperti dapat

dilihat pada Gambar II.4 (Guéguen dan Palciauskas, 1994). Porositas ialah sebuah

19

besaran yang tidak berdimensi dan diberikan sebagai sebuah fraksi desimal atau

sebagai sebuah persentase.

Gambar II.4. Definisi porositas (Schön, 1996).

Porositas ini tidak memberikan informasi apapun mengenai ukuran pori, distribusi

pori, dan derajat konektivitas. Jadi batuan-batuan yang memiliki porositas yang

identik dapat memiliki sifat-sifat fisis seperti permeabilitas yang jauh berbeda

(Guéguen dan Palciauskas, 1994).

Porositas terbentuk sebagai akibat dari berbagai proses geologis, fisis, dan

kimiawi, dan terbentuk saat pembentukan batuan sebagai “porositas primer”

(sedimentasi klastik, organogenesis) dan selama riwayat geologis batuan sebagai

“porositas sekunder” (proses tektonik, proses kimiawi, pelarutan, dan lain-lain)

(Schön, 1996).

Selain itu penting juga untuk membedakan antara dua jenis pori yaitu pori-pori

yang membentuk sebuah fase kontinyu di dalam medium porous, yang disebut

ruang pori “saling berhubungan (interconnected)” atau “efektif”, dan pori-pori

yang membentuk pori-pori “terisolasi” atau “tidak saling berhubungan

(noninterconnected)”. Ruang pori yang saling berhubungan berkontribusi secara

dominan terhadap proses transpor fluida di dalam medium porous. Pori-pori

“buntu” atau “blind” hanya saling berhubungan dari satu sisi. Walaupun pori-pori

20

ini seringkali dapat dimasuki fluida, kontribusi pori-pori ini terhadap proses

transpor fluida biasanya dapat diabaikan (Dullien, 1979).

Pada saat pembentukannya batuan intrusif (plutonik) memiliki porositas yang

sangat kecil. Contohnya ialah granit yang memiliki porositas φ ≈ 10-3, yang

sebagian besar berupa rongga-rongga kecil tidak teratur yang merupakan sisa dari

proses kristalisasi. Batuan vulkanik (ekstrusif) memiliki sifat yang berbeda.

Porositas batuan vulkanik lebih besar dan lebih bervariasi daripada porositas

batuan intrusif. Transpor fluida melalui batuan beku terutama terjadi melalui

crack dan fracture yang terbentuk kemudian sebagai respons terhadap stress

termal atau tektonik (Guéguen dan Palciauskas, 1994).

Porositas batuan sedimen memiliki rentang yang sangat luas dari mendekati nol

hingga lebih dari 0,50. Variasi porositas ini bergantung pada cara pembentukan

batuan sedimen tersebut (akumulasi serpihan atau pengendapan kimiawi).

Porositas awal dari sebuah batuan sedimen klastik tidak begitu bergantung pada

ukuran partikel tapi lebih bergantung pada distribusi ukuran partikel. Sedimen

kimiawi yang terbentuk sebagai akibat dari penguapan air laut (evaporit)

umumnya memiliki porositas yang sangat rendah (10-3) (Guéguen dan

Palciauskas, 1994). Secara umum sulit untuk mendapatkan nilai rata-rata atau

rentang nilai rata-rata porositas untuk kelompok atau jenis batuan. Porositas

batuan ini sebaiknya ditentukan untuk jenis batuan tertentu sesuai dengan daerah,

formasi geologis, dan kedalamannya (Schön, 1996).

II.4.2 Permeabilitas Batuan

Permeabilitas ialah besaran fisika yang menggambarkan kemampuan batuan

untuk melewatkan fluida. Nilai permeabilitas ini hanya bergantung pada struktur

pori batuan (Dullien, 1979). Koefisien permeabilitas menghubungkan sebuah

fluks (fluks fluida) dengan sebuah gaya (gradien tekanan fluida). Dalam kondisi-

kondisi normal fluks fluida tersebut berbanding lurus terhadap gradien tekanan

(Guéguen dan Palciauskas, 1994).

21

Pada tahun 1856 seorang insinyur berkebangsaan Perancis yang bernama Henry

Darcy menemukan hubungan mendasar untuk mendefinisikan aliran laminer

sebuah fluida viskos melalui sebuah batuan porous yang kemudian disebut hukum

Darcy (Schön, 1996). Dalam sebuah medium porous permeabel yang dilalui

sebuah fluida dalam arah +x hukum Darcy menyatakan bahwa (Guéguen dan

Palciauskas, 1994):

dx

dPkq

µ−= II.30

dengan k ialah koefisien permeabilitas, µ ialah viskositas fluida, q ialah kecepatan

Darcy, dan dx

dP ialah gradien tekanan. Tanda negatif dalam hukum Darcy

menunjukkan bahwa aliran bergerak dari daerah bertekanan tinggi ke daerah

bertekanan rendah). Kecepatan Darcy ialah sebuah fluks volume dan bukanlah

kecepatan fluida sebenarnya. Kecepatan Darcy (q) dari sebuah fluida didefinisikan

sebagai volume fluida yang melewati sebuah penampang lintang dengan luas A

yang tegak lurus terhadap sumbu x per satuan luas dan per satuan waktu. Karena

itu hukum Darcy juga dapat dituliskan sebagai berikut:

−=dx

dPkAQ

µ II.31

dengan Q ialah debit aliran dan A ialah luas penampang lintang sampel. Ilustrasi

dari besaran-besaran yang disebut di atas dapat dilihat pada Gambar II.5. Hukum

Darcy ini mirip dengan hukum viskositas Newton, hukum kelistrikan Ohm,

hukum konduksi panas Fourier, dan hukum difusi Fick (Dullien, 1979).

22

Gambar II.5. Fluks volume dalam medium porous permeabel.

Kecepatan Darcy (q) dapat dikaitkan dengan kecepatan rata-rata fluida di dalam

pori (vp) melalui hukum Dupuit-Forchheimer sebagai berikut (Guéguen dan

Palciauskas, 1994):

ϕpvq = II.32

Permeabilitas memiliki dimensi luas, karena itu sistem SI satuan permeabilitas

ialah m2. Dalam prakteknya lebih umum digunakan satuan darcy (D). Satu darcy

dapat didefinisikan sebagai permeabilitas sebuah material yang memungkinkan

fluks volume (q) sebesar 1 cm/s dari sebuah fluida yang memiliki viskositas 1cP

(sentipoise) dengan gradien tekanan sebesar 1 atm/cm. Jadi 1 Darcy sama dengan

0,9869 x 10-12 m2 (Schön, 1996).

Hukum Darcy secara akurat menjelaskan gerakan fluida dalam jangka panjang

ketika kecepatan fluida sebenarnya tidak terlalu besar. Ketika kecepatan tersebut

melewati sebuah nilai kritis, pendekatan yang diberikan pada persamaan II.30

tidak lagi akurat. Batas ini dapat ditentukan dengan menurunkan persamaan-

persamaan dasar mekanika fluida. Untuk sebuah fluida viskos, hubungan stress

dengan kecepatan diberikan sebagai (Guéguen dan Palciauskas, 1994):

∂∂

+∂∂

+−=i

k

k

iijij x

v

x

vp µδσ II.33

A

sumbu + x

q

23

Persamaan II.33 merupakan persamaan konstitutif untuk sebuah fluida viskos.

Jika diasumsikan bahwa fluida tersebut tak termampatkan (incompressible)

artinya rapat massanya konstan, maka kecepatan t

uv

∂∂= (dengan u adalah

pergeseran posisi) memenuhi persamaan (Guéguen dan Palciauskas, 1994):

0=∂∂

k

k

x

v II.34

karena tidak terjadi perubahan volume, 0=∂∂

k

k

x

u, menyiratkan bahwa 0=

∂∂

k

k

x

v.

Persamaan II.33 dan II.34 dapat digabungkan dengan persamaan kesetimbangan

fundamental (Guéguen dan Palciauskas, 1994):

0=+∂∂

ij

ij Fx

σ II.35

sehingga diperoleh persamaan Navier-Stokes (Guéguen dan Palciauskas, 1994):

dt

dvv

x

p ii

i

ρµ =∇+∂∂− 2 II.36

Komponen inersial dt

dviρ pada persamaan II.36 dapat diabaikan ketika (Guéguen

dan Palciauskas, 1994):

vdt

dv 2∇<< µρ II.37

24

Jika l adalah panjang karakteristik, maka l/v ialah waktu karakteristik dan kedua

nilai tersebut berturut-turut memiliki besar sebanding dengan

vl

v

/ρ dan

2l

vµ . Jadi syarat berikut (Guéguen dan Palciauskas, 1994):

1<<µ

ρvl II.38

menyiratkan bahwa komponen dt

dvρ dapat diabaikan. Besaran

µρvl

ialah

bilangan Reynolds (Re). Nilai ρ dan µ ialah sifat-sifat fluida yang telah diketahui,

dan panjang karakteristik (l) ditentukan oleh dimensi pori yang berperan sebagai

saluran untuk gerakan fluida. Ketika Re << 1, komponen inersial pada persamaan

II.34 dapat diabaikan dan persamaan Navier-Stokes disederhanakan menjadi

(Guéguen dan Palciauskas, 1994):

i

i x

pv

∂∂=∇2µ II.39

Persamaan II.39 dapat dilihat sebagai sebuah hubungan antara kecepatan (atau

fluks) dan gradien tekanan (gaya). Hukum Darcy sesuai dengan sebuah solusi

linier yang mendekati solusi persamaan Navier-Stokes ketika Re << 1. Kondisi ini

biasanya dipenuhi dalam medium porous (Guéguen dan Palciauskas, 1994).

Pada Re >> 1 hukum Darcy tidak lagi dapat diterapkan. Tidak seperti yang

diinterpretasikan oleh banyak pihak, hukum Darcy tidak dapat diterapkan pada

nilai Re >> 1 bukan karena aliran fluida berubah menjadi turbulen. Hukum Darcy

tidak berlaku ketika distorsi yang terjadi pada streamlines yang disebabkan oleh

perubahan-perubahan arah gerakan menjadi cukup besar sehingga gaya-gaya

inersial menjadi signifikan bila dibandingkan dengan gaya-gaya viskos.

25

Sementara turbulensi baru terjadi pada nilai bilangan Reynolds yang jauh lebih

besar (Dullien, 1979).

Dalam prinsipnya, pengukuran pada sebuah laju aliran tunak tunggal

memungkinkan penghitungan permeabilitas menggunakan hukum Darcy. Namun

biasanya terdapat kesalahan ekperimental yang cukup besar dalam pengukuran-

pengukuran ini. Karena itu dianjurkan melakukan perngukuran-pengukuran pada

laju aliran yang berbeda-beda, menggambarkan kurva laju aliran terhadap

tekanan, dan membandingkannya dengan sebuah garis lurus pada titik-titik data.

Menurut hukum Darcy, garis ini harus melalui titik nol. Namun kadang-kadang

sebaran titik-titik data mungkin menyebabkan garis lurus yang paling tepat tidak

melalui titik nol. Jika titik-titik data tersebut tidak dapat didekati dengan sebuah

garis lurus maka hukum Darcy tidak dipatuhi dan sistem tersebut harus diselidiki

untuk menemukan penyebab penyimpangan tersebut (Dullien, 1979).

Permeabilitas sebesar 1 darcy (1 D) dapat dianggap sebagai permeabilitas tinggi.

Permeabilitas yang lebih tinggi daripada 1 D hanya ditemukan dalam gravels (103

D atau lebih) dan sandy gravels (10 D atau lebih besar). Pada umumnya nilai

permeabilitas batuan sangat bervariasi dan bergantung pada sifat batuan. Secara

umum batuan plutonik memiliki porositas dan permeabilitas yang sangat rendah

(k < 10 µD). Di sisi lain batuan vulkanik biasanya memiliki porositas dan

permeabilitas yang jauh lebih tinggi (k > 1 mD). Batuan sedimen memiliki

rentang permeabilitas yang sangat luas, dari nilai yang sangat rendah (sedimen

argillaceous, k < 1 µD) hingga nilai yang jauh lebih tinggi (pasir, k ≈ 1 D).

Permeabilitas batu pasir (sandstone) dan karbonat menarik lebih banyak perhatian

karena kedua jenis batuan tersebut membentuk sebagian besar reservoar minyak

bumi. Gambar II.6 memperlihatkan hasil pengukuran laboratorium pada berbagai

material (Brace, 1980).

26

Gambar II.6. Pengukuran permeabilitas yang dilakukan di laboratorium. Tekanan

hidrostatik < 10 Mpa, T = 25° C (Brace, 1980).

II.5 Aliran Fluida di Dalam Pipa

Selanjutnya akan ditinjau fluida viskos tak termampatkan yang mengalir secara

laminer di dalam pipa kapiler berbentuk silinder. Dalam kasus ini diambil sumbu

z sebagai sumbu simetri. Syarat batas yang diterapkan ialah u = 0 pada r = R

sehingga nilai ur = uφ = 0. Persamaan kontinuitas untuk koordinat silinder

diberikan oleh:

( ) 01 =

∂∂+

∂∂+

∂∂=•∇ zr u

zu

rru

rru ϕ

ϕ II.40

Dengan menerapkan syarat batas di atas, dengan 0=∂

∂z

u z dan uz = uz(r,φ) dan

dengan asumsi bahwa aliran fluida seluruhnya simetris terhadap sumbu z, maka

27

diperoleh:

)(ruu zz = II.41

Persamaan Navier-Stokes untuk aliran tunak diberikan sebagai berikut:

r

p

∂∂=0

z

p

r ∂∂= 1

0 II.42

∂∂

∂∂+

∂∂−=

r

ur

rrz

p zµ0

Persamaan Navier-Stokes di atas dapat dituliskan sebagai:

∂∂

∂∂=

∆∆

r

ur

rrz

p z11

µ II.43

Dengan mengintegrasi persamaan II.43 sebanyak dua kali diperoleh solusi umum

sebagai:

( ) rCCrz

pru z ln

4

121

2 ++

∆∆=

µ II.44

Karena nilai uz(r) harus berhingga pada r = 0 maka diperoleh C2 = 0, dan dari

syarat batas yang diberikan oleh persamaan II.41, dengan:

( ) 0=Ru z II.45

28

selanjutnya akan diperoleh:

21 4

1r

z

pC

∆∆−=

µ II.46

Dengan memasukkan nilai-nilai di atas, persamaan II.44 menjadi:

( )

−

∆∆−=

22

14 R

rR

z

pru z µ

II.47

Tanda minus pada persamaan di atas menunjukkan fluida mengalir sebagai akibat

perbedaan tekanan. Pada r = 0 kecepatan aliran fluida maksimum:

( )µ4

02R

z

pru z ∆

∆−== II.48

0)0( uru z ==

Dengan menggabungkan persamaan II.47 dan II.48 dihasilkan:

( )

−=2

0 1R

ruru II.49

Laju aliran volumetrik diberikan oleh:

( )∫ ∫

−==R R

rdrR

rurdrruQ

0

2

0

0 212 ππ II.50

29

Selanjutnya integrasi persamaan II.50 menghasilkan:

02

2

1uRQ π= II.51

Pada akhirnya substitusi persamaan II.48 ke dalam persamaan II.51 menghasilkan:

z

pRQ

∆∆−=

µπ8

4

II.52

dengan ∆p adalah beda tekanan antara kedua ujung pipa kapiler dan ∆z adalah

panjang pipa kapiler serta R adalah jari-jari pipa kapiler yang dilewati fluida.

Dengan mengganti ∆z dengan Le (panjang efektif saluran), maka persamaan II.52

dapat ditulis sebagai (Dullien, 1992):

eL

pRQ

∆−=µ

π8

4

II.53

Persamaan di atas disebut persamaan Hagen-Poiseuille. Persamaan ini

memberikan gambaran yang baik tentang perilaku aliran fluida di dalam sebuah

pipa kapiler.

II.6 Model Permeabilitas Kozeny-Carman

Banyak sekali pendekatan model yang telah dicoba untuk mewakili aliran fluida

fase tunggal. Pendekatan model tersebut dapat dibagi ke dalam dua kelompok

yang memiliki perbedaan-perbedaan yang mendasar. Pada kelompok pertama

digunakan pendekatan aliran di dalam saluran, sementara pada kelompok kedua

digunakan pendekatan aliran di sekeliling obyek-obyek padat yang berada di

dalam fluida. Untuk porositas rendah dan menengah lebih tepat digunakan

pendekatan aliran di dalam saluran, sementara untuk porositas yang sangat tinggi

30

pendekatan kedua lebih sesuai. Namun pada daerah di antara kedua nilai porositas

tersebut tampaknya tidak ada pendekatan yang lebih tepat digunakan. Dalam

kelompok pendekatan aliran di dalam saluran terdapat pendekatan sederhana yang

dinamakan model permeabilitas geometris. Model permeabilitas geometris yang

paling populer dinamakan model Kozeny-Carman (Dullien, 1979).

Pendekatan Kozeny-Carman seringkali disebut teori radius hidrolik. Dalam teori

Kozeny-Carman medium porous dianggap ekuivalen dengan sebuah saluran

dengan penampang lintang berbentuk sangat kompleks tapi memiliki luas yang

konstan.

Gambar II.7. Rekahan sederhana.

Gambar II.7 memperlihatkan skema aliran fluida di dalam rekahan sederhana. Jika

Le adalah panjang saluran efektif, q adalah kecepatan Darcy, vp adalah kecepatan

fluida di dalam pori, Q adalah debit fluida, serta a adalah luas saluran dan A

adalah luas medium maka persamaan aliran fluida dapat dituliskan sebagai

(Dullien, 1992):

avqAQ p== II.54

31

Sedangkan porositas rekahan pada gambar II.6 diperoleh dari persamaan (Dullien,

1992):

AL

aLe=ϕ II.55

Substitusi persamaan II.54 ke dalam persamaan II.53 menghasilkan (Dullien,

1992):

e

p L

pRav

∆−=µ

π8

4

II.56

Sehingga diperoleh persamaan Hagen-Poiseuille untuk kecepatan aliran fluida di

dalam pori (Dullien, 1992):

∆−=µ16

2

o

H

ep k

D

L

pv II.57

dengan ko ialah faktor bentuk (shape factor) yang nilainya berkisar dari 2 hingga 3

bergantung pada bentuk penampang lintang pori seperti yang dapat dilihat dalam

tabel II.1.

Tabel II.1. Faktor bentuk penampang lintang (Schön, 1996).

Bentuk penampang lintang

ko

Lingkaran 2,0 Elips, sumbu a dan b a/b = 2 2,13 a/b = 10 2,45 a/b = 50 2,96 Bujur sangkar 1,78 Persegi empat, sisi a dan b a/b = 2 1,94 a/b = 10 2,65 a/b = ∞ 3,0 Segitiga, sama sisi 1,67

32

Nilai DH yang merupakan diameter saluran didefinisikan sebagai (Dullien, 1992):

K

AD f

H

×=

4 atau

S

VD pori

H

×=

4 II.58

dengan Af ialah luas penampang lintang aliran, K ialah batas tepi pori yang

terbasahi, Vpori ialah volume pori, dan S ialah luas permukaan pori yang terbasahi.

Persamaan II.57 dan persamaan II.30 diasumsikan memiliki memiliki hubungan

sebagai berikut (Dullien, 1979):

=

=L

Lv

L

Lqv e

DFe

p ϕ II.59

Faktor pembagian q dengan φ diperoleh melalui asumsi Dupuit-Forchheimer yang

digunakan untuk mendefinisikan kecepatan rata-rata di dalam pori. Faktor vDF

disebut kecepatan Dupuit-Forchheimer yang merupakan hasil pembagian antara q

dengan φ. Faktor Le/L diajukan oleh Carman untuk mengoreksi persamaan awal

Dupuit-Forchheimer supaya sesuai dengan fakta bahwa sebuah partikel fluida

hipotetik yang digunakan dalam persamaan aliran makroskopis dan mengalir

dengan kecepatan q, menempuh jalur dengan panjang L dalam waktu yang sama

dengan sebuah partikel fluida nyata yang mengalir dengan kecepatan vp melalui

jalur dengan panjang efektif rata-rata Le (Dullien, 1979).

33

Kombinasi persamaan II.30, II.57, dan II.59 memberikan hasil (Dullien, 1979):

2

2

16

=

L

Lk

Dk

eo

HCK

ϕ II.60

Persamaan ini merupakan bentuk persamaan permeabilitas dasar untuk seluruh

model geometris. Perbedaannya untuk model geometris yang berbeda-beda ialah

hanya dalam metode untuk menghitung diameter pori rata-rata dan dalam nilai

yang digunakan untuk 2

L

Lk e

o yang merupakan fungsi dari geometri pori

(Dullien, 1979).

Diameter hidrolik dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut (Dullien, 1979):

( )ϕϕ−

=1

4

oH S

D II.61

dengan So ialah luas permukaan spesifik (specific surface area) yang dinyatakan

sebagai rasio antara luas permukaan pori terhadap volume matriks batuan. Dengan

menggabungkan persamaan II.60 dan II.61 diperoleh bentuk umum dari

persamaan permeabilitas Kozeny-Carman (Dullien, 1979):

( ) 222

3

1 oe

o

CK

SL

Lk

k

ϕ

ϕ

−

= II.62

dengan 2

L

Le biasanya disebut totuositas (τ).

34

II.7 Perkembangan Metode Automata Gas Kisi (Lattice Gas Automata)

II.7.1 Seluler Automata

Seluler automata merupakan istilah dalam bidang biologi yang merujuk pada

sebuah pemodelan yang menggambarkan suatu sistem yang terdiri atas

sekumpulan sel yang dapat mengalami perubahan sesuai dengan keterbatasan

yang dimilikinya. Sistem seluler automata adalah sekumpulan sel yang masing-

masing dapat mengalami perubahan keadaan seiring dengan perubahan waktu.

Transisi dari suatu keadaan ke keadaan lainnya terjadi sesuai dengan aturan-aturan

tertentu yang disebut aturan transisi. Selama masa transisi tiap sel memiliki

kemungkinan untuk berubah. Keadaan baru masing-masing sel bergantung pada

keadaan sel-sel tetangganya.

Ide awal seluler automata ini pertama kali disampaikan oleh John von Neumann

dan Stanislaw Ulam pada tahun 1940-an. Pada awalnya von Neumann melakukan

sebuah penelitian dalam bidang biologi untuk mensimulasikan bagaimana sebuah

mikroorganisme dapat berkembang biak dan mempertahankan populasinya

sampai pada jumlah yang memungkinkan populasi mikroorganisme ini bertahan

hidup. Namun sekarang seluler automata tidak hanya diterapkan dalam bidang

biologi tapi juga dalam bidang fisika dan komputasi.

Dahulu sistem seluler automata memanfaatkan sel-sel yang berbentuk bujur

sangkar sebagai representasi dari sel-sel tersebut ketika berkembang dan bergerak.

Setiap bujur sangkar diberi nilai-nilai tertentu sebagai status keadaan yang

berpengaruh pada status keadaan sel-sel tersebut ketika selanjutnya mengalami

evolusi menurut aturan yang telah diterapkan pada sel-sel tersebut.

II.7.2 Automata Gas Kisi (LGA)

Automata Gas Kisi ialah sebuah sistem yang terdiri dari sekumpulan partikel gas

yang dibebaskan bergerak dengan kecepatan diskrit dari satu kedudukan ke

35

kedudukan lain di dalam ruang yang memiliki geometri teratur tertentu. Automata

Gas Kisi merupakan variasi dari sistem seluler automata yang menggunakan kisi

sebagai mediumnya. Partikel-partikel gas tersebut berevolusi dengan sendirinya

sesuai dengan aturan-aturan yang dikenakan padanya. Setiap satu satuan evolusi,

partikel-partikel tersebut mengalami dua proses. Dalam proses pertama partikel-

partikel bergerak dengan arah sesuai dengan kecepatan yang dimilikinya. Dalam

proses kedua terjadi tumbukan antar partikel dengan kecepatan-kecepatan tertentu.

Dalam setiap kedudukan tidak diperbolehkan adanya penumpukan kecepatan yang

sama. Hukum kekekalan massa dan momentum harus berlaku dalam LGA.

Perubahan momentum dapat terjadi pada setiap partikel ketika terjadi tumbukan

antar partikel. Meskipun dalam setiap tumbukan terjadi perubahan momentum,

kekekalan massa total dan momentum total harus tetap dipertahankan. Dengan

kata lain massa total dan momentum total sebelum dan sesudah tumbukan harus

sama.

II.7.3 Model Frisch-Hasslacher-Pomeau (FHP)

Model FHP diperkenalkan oleh Uriel Frisch, Brosl Hasslacher, dan Yves Pomeau

pada tahun 1986. Model ini merupakan pengembangan dari model HPP yang

diperkenalkan oleh Jean Hardy, Olivier de Pazzis, dan Yves Pomeau pada tahun

1973. Model HPP menggunakan kisi bujur sangkar sementara model FHP

menggunakan kisi segitiga sama sisi.

Model FPP terdiri dari partikel-partikel yang bergerak dari satu sel ke sel lain

dalam kisi segitiga. Dalam kisi segitiga setiap partikel memiliki enam

kemungkinan arah kecepatan. Hal ini dikenal sebagai simetri heksagonal.

Penggunaan segitiga sama sisi dalam model ini ternyata tidak hanya dapat

memodelkan sistem yang bersifat anisotropik tetapi juga sangat memadai jika

diterapkan dalam sistem yang bersifat isotropik. Bentuk segitiga sama sisi jika

disusun dalam jumlah banyak akan memiliki susunan heksagonal seperti

diperlihatkan pada Gambar II.8. Setiap titik perpotongan garis akan menghasilkan

36

kecepatan yang diperbolehkan dimiliki setiap partikel yaitu sebanyak enam

kecepatan.

Gambar II.8. Kisi segitiga sama sisi.

Beberapa contoh tumbukan partikel sederhana yang terjadi dalam sistem

Automata Gas Kisi diberikan pada Gambar II.9. Gambar tersebut memperlihatkan

peristiwa sebelum dan sesudah tumbukan antar partikel di dalam kisi segitiga

sama sisi yang disertai dengan perubahan arah kecepatan.

Gambar II.9. Contoh tumbukan sederhana (Rothman dan Zaleski, 1997).

Persamaan hidrodinamika aliran fluida dari sistem banyak partikel dengan

menggunakan metode Automata Gas Kisi dituliskan secara matematis sebagai

berikut (Rothman dan Zaleski, 1997):

( ) ( ) ( )[ ]txntxntcxn iiii ,,1, ∆+=++ II.63

37

Dalam persamaan di atas t merupakan integer. Nilai n = (n1, n2, …, n6) ialah

besaran Boolean yang menunjukkan keberadaan (ni = 1) atau ketidakadaan (ni =

0) partikel yang bergerak dari sebuah lokasi kisi yang terletak pada posisi x ke

lokasi bertetangga yang terletak pada posisi x + ci. Operator delta (∆) ialah

operator tumbukan yang menggambarkan perubahan nilai ni(x,t) akibat tumbukan.

Operator tumbukan ini dapat memiliki nilai 0, 1, atau -1. Nilai ini merupakan hasil

penjumlahan besaran-besaran dalam ekspresi boolean untuk setiap tumbukan

tertentu yang mungkin terjadi. Jika tidak terdapat perubahan jumlah partikel

dalam arah i akibat peristiwa tumbukan, yaitu jumlah partikel sebelum dan

sesudah tumbukan sama maka nilai ∆i = 1. Partikel bergerak dari posisi x ke posisi

x+ci, dengan kecepatan satu satuan kecepatan dan arah yang diberikan oleh

(Rothman dan Zaleski, 1997):

=6

2sin,

6

2cos

iici

ππ II.64

dengan i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Selain memiliki enam keadaan arah kecepatan, partikel

tersebut juga memiliki kemungkinan berperilaku sebagai partikel diam (rest

mass).

Pada saat bergerak atau terjadi tumbukan dalam medium, partikel-partikel harus

memenuhi hukum kekekalan massa yang diberikan oleh (Rothman dan Zaleski,

1997):

( ) 0=∆∑i

n II.65

serta harus memenuhi hukum kekekalan momentum yang diberikan oleh

(Rothman dan Zaleski, 1997):

( ) 0=∆∑i

ii nc II.66

38

Dengan menggunakan persamaan II.63, persamaan mikrodinamik untuk seluruh

arah i yang menyatakan hukum kekekalan massa diberikan oleh (Rothman dan

Zaleski, 1997):

( ) ( )txntcxni

ii

ii ,1, ∑∑ =++ II.67

Dengan mengalikan persamaan II.67 dengan persamaan II.64 maka hukum

kekekalan momentum akan diperoleh melalui persamaan (Rothman dan Zaleski,

1997):

( ) ( )∑∑ =++i

iiii

ii txnctcxnc ,1, II.68

Persamaan II.67 dan II.68 merupakan persamaan kesetimbangan massa dan

momentum mikroskopik dalam sistem gas kisi yang menggambarkan evolusi

massa dan momentum di dalam medan Boolean. Setiap tumbukan selalu

menghasilkan konfigurasi-konfigurasi tumbukan yang beragam. Sebuah

momentum total yang sama dapat mengandung lebih dari satu konfigurasi dengan

probabilitas kemunculan yang sama.

II.7.4 Aturan Model FHP

Dalam Automata Gas Kisi setiap partikel saling berinteraksi dalam kisi

heksagonal dengan mengikuti aturan-aturan kisi yang telah ditetapkan

sebelumnya. Partikel-partikel tersebut ditempatkan dalam kisi heksagonal dan

bergerak dengan laju yang sama namun dengan arah yang berbeda-beda.

Kecepatan partikel ini telah dibuat sedemikian rupa sehingga setiap partikel hanya

memiliki kecepatan tertentu saja. Gambar II.10 memperlihatkan contoh

pergerakan partikel-partikel ketika berevolusi dalam sebuah sistem gas kisi.

Masing-masing anak panah mewakili satu satuan massa partikel yang bergerak

dengan satu satuan kecepatan (satu momentum) dalam enam kemungkinan arah

yang diberikan oleh kisi.

39

Gambar II.10. Contoh pergerakan partikel dalam LGA (Rothman dan Zaleski, 1997).

Gambar II.10a menggambarkan kondisi awal sebuah sistem gas kisi. Terdapat

enam arah yang dapat ditempuh oleh sebuah partikel bergerak. Dalam setiap titik

kedudukan kisi paling banyak hanya boleh terdapat tujuh partikel yaitu enam

partikel yang bergerak ke enam arah dan satu partikel diam. Aturan gerak yang

diterapkan pada setiap partikel cukup sederhana. Pertama partikel-partikel tersebut

disiapkan untuk bergerak sesuai dengan kecepatan yang dimilikinya. Pada setiap

arah tidak diperbolehkan adanya penumpukan kecepatan (pada setiap arah hanya

boleh terdapat satu kecepatan). Selanjutnya partikel tersebut berpindah ke

kedudukan terdekat dan mengalami tumbukan dengan partikel lain yang pada saat

yang sama bergerak ke tempat yang sama (Gambar II.10b). Tumbukan yang

terjadi dibuat sedemikian rupa sehingga hukum kekekalan massa dan hukum

kekekalan momentum tetap dipenuhi. Pada saat tumbukan partikel tersebut

dibiarkan berevolusi sesuai dengan aturan yang diterapkan sehingga dapat terjadi

perubahan arah kecepatan (Gambar II.10c).

Dalam kisi segitiga kecepatan setiap partikel diskrit, artinya setiap partikel hanya

memiliki dua tingkat kecepatan yaitu sebesar satu satuan kecepatan (unit speed)

dan kecepatan nol (partikel diam / rest mass). Walaupun tidak sempurna dua

tingkat kecepatan ini cukup untuk mensimulasikan aliran fluida.

b

a

c

40

Pada saat partikel betemu dengan rintangan diam partikel tersebut akan

dipantulkan kembali dengan arah kecepatan yang berlawanan dengan kecepatan

awal. Proses tumbukan ini diperlihatkan pada Gambar II.11. Asumsi yang

digunakan dalam proses tumbukan pada rintangan ialah dengan menganggap

rintangan merupakan kumpulan partikel yang berbentuk dan bermassa sama

dengan partikel penumbuk. Dengan kata lain tumbukan yang terjadi ialah

tumbukan antara partikel dengan salah satu partikel dinding rintangan.

Gambar II.11. Tumbukan partikel dengan dinding perintang.

Kemungkinan tumbukan terakhir ialah tumbukan antara partikel penumbuk

dengan partikel diam. Proses tumbukannya diperlihatkan pada Gambar II.12.

Tumbukan yang terjadi harus tetap memenuhi hukum kekekalan massa dan

momentum. Dengan cara ini aliran fluida dapat dimodelkan tanpa harus

menyelesaikan persamaan hidrodinamika untuk memperoleh solusi analitik.

Gambar II.12. Tumbukan partikel penumbuk dengan partikel diam (Rothman dan Zaleski, 1997).

sebelum tumbukan setelah tumbukan

sebelum tumbukan setelah tumbukan