BAB II

BAB II

RELASI

Relasi mengambarkan ada tidaknya interaksi / koneksi antara elemen-elemen dari dua atau lebih himpunan dalam ururtan tertentu. Sebuah relasi melalui perkalian scalar pada koordinat kartesian dimana sumbu x mewakili variable x dan sumbu y mewakili variable y.

Misal : X = { x1 ; x2 } dan Y = { y1 ; y2 }

X x Y = {(x1 ; y1); (x1 ; y2); (x2 ; y1); (x2 ; y2)}

Y x X = {(y1 ; x1); (y2 ; x1); (y1 ; x2); (y2 ; x2)}

X x X = {(x1 ; x1); (x1 ; x2); (x2 ; x1); (x2 ; x2)}

Y x Y = {(y1 ; y1); (y1 ; y2); (y2 ; y1); (y2 ; y2)}

Jadi relasi R antara elemen-elemen dalam himpunan X dan himpunan Y adalah R ( X x Y.

Karena pasangan-pasanagan dalam relasi melibatkan 2 himpunan, maka relasi ini disebut relasi binary.

Jika relasi melibatkan n himpunan disebut relasi berdedmensi n.

II.1. PEMAPARAN RELASI

a. Pemaparan Koordinat

Contoh : R = {(Microsoft, Windows), (IBM, Os/2), (Macintosh, Mac Os)}

Mac Os

Os/2

Win

MicroIBMMac

b. Pemaparan Matrik

MicroIBMMac

Win100

Os/2010

Mac Os001

c. Pemetaan

d. Graph Berarah

Graph berarah merupakan gambaran yang paling tepat untuk relasi R( X2 dengan aturan sebagai berikut :

Setiap anggota himpunan X digambarkan dengan lingkaran.

Garis berarah antar lingkaran menggambarkan adanya relasi antara anggota himpunan.

Contoh :

a1 Prasyarat untuk semua bagian yang lain.

a3 Prasyarat untuk a5 dan a6.

a6 Bukan prasyarat untuk semua bagian yang lain.

a2 Prasyarat untuk a5 dan a4.

a1

a2

a4

a3

a5

a6II.2. Operasi dalam relasi binary

a. Invers relasi (R-1), adalah kebalikan dari relasi R, yaitu dengan menukar susunan anggota pasangan yang ada dalam relasi jika R = Y X

R-1 = X Y

b. Komposisi relasi adalah operasi mengkombinasikan 2 buah relasi binary yang sesuai dan menghasilkan sebuah relasi binary yang baru.

Supaya 2 buah relasi dapat dikomposisikan

P = X Y

Dimana Y di P harus sama dengan Y di Q

Q = Y Z

Relasi P ke Q atau P o Q, didefinisikan R = X Z.

Dengan (X , Z) ( RJika dan hanya jika anggota y dalam himpunan Y mempunyai pasangan minimal 1 dalam himpunan P dan Q.

Contoh :

P Q

P o Q

y1

x1x1

Z1

z1

y2

x2x2

z2

y3Z2x3x3

y4Sifat sifat komposisi relasi

a. Asosiatif (P o Q) o R = P o (Q o R)

b. Tidak komulatif P o Q ( Q o P

c. (P o Q)-1 = Q-1 o P-1II. 3. Jenis-jenis Relasi

a. Relasi Ekivalen

Sebuah relasi binary ekivalen jika memenuhi sifat : refleksi, simetri, dan transitif.

Sebuah relasi bersifat refleksi jika dan hanya jika (x , x) ( R untuk setiap x ( x.

Sebuah relasi bersifat simetri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan anggota himpunan X yaitu (x , y) adalah anggota relasi maka (y , x) juga anggota relasi (inversnya).

Sebuah relasi bersifat transitif jika dan hanya jika untuk 3 anggota x, y, z dalam himpunan X ; (x , y) ) ( R, (y , z) ( R maka (x , z) ( R.

Contoh :

NamaNilaiMata KuliahUmur

AliBMat. Diskrit19

BeniCMet. Numerik19

CicaCKalkulus20

DaniAKalkulus19

EvaAKalkulus19

FaniAFasika21

GalihBAljabar linier21

HaniCMat. Diskrit19

InaBMat. Diskrit19

JonoBFisika21

Himpunan mahasiswa X = { A, B, C, D, E, F, G, H, I, J }

Relasi R dari ke X berdasarkan nilai mahasiswa

R = X X

R ={(A , A), (A , G), (A , I), (A , J), (B , B), (B , C), (B , H),, (C , B), (C , C), (C , H), (D , D), (D , E), (D , F), (E , F), (E , E), (E , D), (F , D), (F , E), (F , F), (G , A), (G , G), (G , J), (G , I), (H , B), (H , C), (H , H), (I , A), (I , G), (I , I), (I , J), (J , A), (J G), (J, I), (J , J)}R bersifat refleksi

(A , A), (B , B), , (J , J).

R bersifat simetri

(A , G), (G , A),

R bersifat transitif

(x, , y) ( R, (y , z) ( R, (x , z) ( R.

Jadi R = X X berdasarkan nilai mahasiswa adalah relasi ekivalen.

Paparan relasi ekivalen dengan graph berarah

A IBC

GJ H

Nilai B

Nilai C

D

E

F

b. Relasi Kompatibel

Sebuah relasi binary dikatakan kompatibel bila memenuhi syarat sifat : refleksi dan simetri, tetapi tidak harus transitif.

K1 ( Relasi kompetibel berdasar MK & umur

K2 ( Relasi kompetibel berdasar nilai & umur

K3 ( Relasi kompetibel berdasar umur

K4 ( Relasi kompetibel berdasar nilai & umur

K5 ( Relasi kompetibel berdasar MK & umur

K6 ( Relasi kompetibel berdasar nilai, MK & umur

c. Poset ( Partially Orderet Set)Sebuah relasi binary dinyatakan poset jika memenuhi sifat : refleksi, anti simetri, dan transitif.

Sebuah relasi binary bersifat anti simetri jika dan hanya jika untuk x dan y anggota himpunan X, bila (x , y) ( R dan (y , x) ( R maka x = y.

Poset sering dinyatakan dengan mendahului atau didahului, seperti :

A < b , a mendahului b

A ( b, a langsung mendahului b

B > a, b didahului a

B ( a, b langsung didahului a

A // b , a tidak dapat dibandingkan dengan b.

Poset biasa dipaparkan dalam diagram Hess

Contoh : Relasi R adalah hubungan dalam himpunan

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} yang didefinisikan x membagi y

Maka dari diagram Hess dapat dilihat :

46

1 < 4

2 3 5

1 ( 2

1

2 // 3 dst

Istilah-istilah yang penting dalam poset :

Upper bound (ub) : batas atas

Least Upper bound (lub) : Supremum : batas atas terkecil

Lower bound (lb) : Batas bawah

Greatest lower bound (glb) : Infimum : Batas bawah terbesar.

Contoh :

Misal himpunan A = {a, b, c, d, e, f, g} diorder menurut diagram Hess.

ab

c

de

fg

Sub himpunan A adalah B = {c, d, e}, maka :

Batas atas dari B = ub (B) = a, b, c

Batas bawah dari B = lb (B) = f, g bukan batas bawah dari B karena g tidak mendahului d,g dan d tidak dapat dibandingkan, c termasuk batas atas dari B karena c mendahului langsung d dan e. Batas atas terkecil dari B = lub (B) = c

Batas bawah terbesar dari B = glb (B) = f

Catatan :

Poset dapat memiliki glb dan lub lebih dari 1 (tidak tunggal)

Poset yang hanya memiliki glb dan lub tunggal disebut latis (lattice).

Micro

IBM

Mac

Mac Os

Win

Os/2

Nilai A

K3

K2

C

B

H

K1

A

K4

K5

I

G

J

F

E

D

K6

_1174153658.unknown