3

II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial (SPD)

Definisi 1 (SPD Linear)

Suatu SPD yang dinyatakan sebagai

0, (0)dx

x Ax b x xdt

(2.1)

dengan A adalah matriks koofisien konstan berukuran n n dan b vektor konstan.

Sistem tersebut dinamakan sistem persamaan diferensial linear orde 1 dengan

kondisi awal 0(0)x x . Jika 0b sistem dikatakan homogen dan dikatakan

takhomogen jika 0b .

(Tu 1994)

Definisi 2 (SPD Tak Linear)

Suatu SPD yang dinyatakan sebagai

( , )x f t x (2.2)

dengan x = dan f(t,x) = dimana f merupakan

fungsi tak linear pada disebut sistem persamaan diferensial tak linear.

(Braun 1983)

Definisi 3 (SPD Mandiri)

Misalkan diberikan suatu SPD orde 1 sebagai berikut :

, nx (2.3)

dengan f merupakan fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan

parsial kontinu. Persamaan (2.3) disebut persamaan diferensial mandiri

(autonomous) karena tidak memuat t secara eksplisit di dalamnya.

(Tu 1994)

2.2 Titik Tetap

Definisi 4 (Titik Tetap)

Misalkan diberikan suatu SPD sebagai berikut

4

(2.4)

Titik x disebut titik tetap atau titik kritis ataupun disebut juga titik kesetimbangan

jika ( ) 0f x .

(Tu 1994)

Definisi 5 (Titik Tetap Stabil)

Misalkan x adalah titik tetap SPD mandiri dan x(t) adalah solusi dengan

nilai awal dengan x . Titik x dikatakan titik tetap stabil, jika

untuk setiap , terdapat , sedemikian sehingga 0  x x r , maka

solusi x(t) memenuhi x untuk setiap t>0.

(Vershulst 1990)

Definisi 6 (Titik Tetap Stabil Asimtotik Lokal)

Titik x dikatakan titik tetap stabil asimtotik jika titik x stabil dan terdapat

0 sedemikian sehingga jika 0x x maka lim ( )t

x t x , dengan 0 (0).x x

(Szidarovzky & Bahill 1998)

Definisi 7 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)

Misalkan A adalah matriks n n , suatu vektor tak nol x di dalam n

disebut vektor eigen dari A , jika suatu skalar yang disebut nilai eigen dari A

berlaku :

Ax x (2.5)

Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang

berukuran n n , maka persamaan (2.5) dapat dituliskan sebagai berikut :

( ) 0A I x (2.6)

dengan I adalah matriks identitas. Persamaan (2.5) memiliki solusi tak nol jika

dan hanya jika det( ) 0A I yang disebut dengan persamaan karakteristik.

(Anton 1995)

Analisis Kestabilan Titik Tetap

Analisa kestabilan untuk setiap titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai

eigen yakni :

5

1. Sistem x Ax adalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A

bagian realnya bernilai negatif.

2. Sistem x Ax adalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu nilai

eigen dari A bagian realnya bernilai positif.

(Borrelli & Coleman 1998)

2.3 Kondisi Routh Hurwitz

Misalkan bilangan-bilangan real, . Semua

nilai eigen dari persamaan karakteristik ( 1) ( 2)

1 2( ) ... 0k k k

kp a a a

mempunyai bagian real yang negatif jika determinan dari matriks jH adalah

positif. Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz jH sebagai berikut

jH

dengan ( )j lmH h dan

2

1 , untuk 2

0 , untuk 2 ata

, untuk 0 2

u 2

l m

lm

a l m k

l m

l m l k m

h

semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real yang

negatif (titik tetap stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua matriks

Hurwitz positif, yaitu : 0, untuk 1,2,...,jH j k sehingga menurut kondisi

Routh-Hurwitz untuk suatu k, k =2,3,4 disebutkan bahwa titik tetap stabil jika

dan hanya jika (untuk k =2,3,4),

1. k=2,

2. k=3,

3. k=4,

(Edelstein-Keshet 1998)

Untuk kasus 3k , kriteria Routh-Hurwitz disajikan dalam teorema berikut.

6

Teorema 1

Misalkan A,B,C bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan

karakteristik p( = + adalah negatif jika dan hanya jika

A,C bernilai positif dan AB>C.

Bukti : (Lampiran 1)

2.4 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan Reproduksi Dasar ) adalah rata-rata banyaknya individu rentan

yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila

individu yang terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih

rentan.

Kondisi yang akan timbul adalah salah satu diantara kemungkinan berikut :

1. Jika , maka penyakit akan menghilang.

2. Jika 0 1R , maka penyakit akan menetap (endemik).

3. Jika , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah.

(Blyuss & Kyrychko 2005)