6

BAB II

KAJIAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas mengenai beberapa definisi dan teori yang akan

digunakan pada pembahasan berdasarkan literatur yang relevan.

A. Program Linear

Model Program Linear (MPL) merupakan salah satu model yang dapat

digunakan untuk memodelkan masalah optimasi yang bertujuan memaksimumkan

atau meminimumkan fungsi tujuan yang berbentuk linear dan memenuhi beberapa

fungsi kendala yang juga berbentuk linear. MPL memiliki dua unsur utama yaitu

fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi tujuan adalah fungsi linear dari beberapa

variabel keputusan. Variabel keputusan adalah variabel yang menyatakan

keputusan-keputusan yang akan dibuat. Variabel keputusan akan memberikan

nilai fungsi tujuan yang paling menguntungkan. Variabel keputusan harus

ditentukan terlebih dahulu sebelum menentukan fungsi tujuan dan fungsi kendala.

Fungsi kendala adalah fungsi yang mengendalikan nilai variabel keputusan.

Berikut ini diberikan contoh model program linear untuk lebih memahami yang

dimaksud dengan fungsi tujuan dan fungsi kendala.

Contoh 2.1

Akan ditentukan nilai dari yang memaksimumkan

(2.1)

dengan kendala

(2.2)

7

Fungsi (2.1) merupakan fungsi tujuan dan Fungsi (2.2) merupakan fungsi kendala.

Selanjutnya, Definisi 2.1 berikut menjelaskan tentang fungsi.

Definisi 2.1 Fungsi (Varberg dan Purcell, 2010:57). Sebuah fungsi f adalah suatu

aturan korespondensi yang menghubungkan setiap obyek x dalam satu himpunan

yang disebut daerah asal fungsi, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari himpunan

kedua yang disebut daerah hasil fungsi.

Untuk lebih memahami definisi tentang fungsi, berikut ini diberikan contoh

tentang fungsi.

Contoh 2.2

Gambar 2.1 dibawah ini merupakan contoh gambar bukan fungsi.

Gambar 2.1 Bukan Fungsi

Gambar 2.2 dibawah ini merupakan contoh gambar fungsi.

Gambar 2.2 Fungsi

a

b c

x

y

z

a

b c

x

y

z

8

Salah satu bentuk fungsi yaitu fungsi linear, berikut ini diberikan definisi fungsi

linear.

Definisi 2.2 Fungsi Linear (Winston, 2004:55). Fungsi f( ) =

merupakan fungsi linear dengan merupakan

koefisien dari .

Berikut ini, diberikan contoh mengenai bentuk fungsi linear dan fungsi non linear.

Contoh 2.3

Diberikan fungsi sebagai berikut:

(2.3)

(2.4)

Fungsi (2.3) merupakan fungsi linear dan Fungsi (2.4) merupakan fungsi

nonlinear.

1. Model Program Linear

Menurut B.Susanta (1994) Formula (1.1), (1.2), dan (1.3) dapat dituliskan

dalam bentuk matriks sebagai berikut.

Akan menentukan yang memaksimumkan

(2.5)

dengan kendala:

(2.6)

(2.7)

dengan adalah matriks , adalah vektor kolom , adalah vektor

kolom , dan adalah vektor baris .

9

[ ] (2.8)

[ ] (2.9)

[ ] (2.10)

[

]

(2.11)

MPL banyak digunakan dalam menyelesaikan masalah-masalah

pengalokasian sumber daya, seperti dalam bidang pemasaran, keuangan,

personalia, administrasi dan bidang lainnya. Selain itu dengan kemajuan

teknologi, maka proses perhitungan untuk menyelesaikan MPL sudah

menggunakan komputer, terutama dalam mengahadapi persoalan yang memiliki

variabel cukup banyak, yang apabila dilakukan perhitungan dengan cara biasa

akan memakai waktu yang cukup lama.

Langkah awal yang diperlukan membuat MPL adalah perumusan model.

Model merupakan tiruan suatu realitas, sedangkan perumusan model merupakan

langkah untuk membuat peralihan dari realita ke model kualitatif. Menurut Ayu

(1996), untuk merumuskan model suatu masalah optimasi kedalam bentuk MPL,

harus dipenuhi syarat-syarat berikut:

a. Tujuan masalah tersebut harus jelas dan tegas. Tujuannya yaitu ingin

mendapatkan keuntungan yang maksimal atau meminimumkan biaya

produksi

b. Harus ada beberapa alternatif yang ingin dibandingkan. Misalkan kombinasi

jumlah produksi dan keuntungan yang diperoleh

c. Adanya sumber daya yang terbatas

10

d. Fungsi tujuan dan fungsi kendala dapat dirumuskan secara kuantitatif

e. Adanya keterkaitan peubah

Menurut Hillier & Liebermann (2010:36-41), selain syarat-syarat di atas

juga terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi yaitu:

a. Asumsi Proportionality (Kesebandingan)

Asumsi proportionality menyatakan bahwa perubahan pada variabel

keputusan ( ) akan menyebar dalam proporsi yang sama terhadap fungsi tujuan

( ) dan juga kendalanya ( ). Misalnya, apabila variabel keputusan

dinaikkan dua kali, maka secara proporsional (seimbang dan serasi) nilai-nilai

fungsi tujuan dan kendalanya juga akan menjadi dua kali lipat.

b. Asumsi Divisibility (Pembagian)

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai variabel keputusan yang

dihasilkan oleh setiap aktivitas tidak harus berupa bilangan bulat, artinya nilai

variabel keputusan berupa bilangan real. Apabila diinginkan solusi yang berupa

bilangan bulat (integer) maka harus digunakan metode integer programming.

c. Asumsi Determistic/Certainty (Kepastian)

Asumsi ini menghendaki bahwa semua parameter yang terdapat dalam

model program linear ( ) dapat diperkirakan dengan pasti dan bernilai

tetap. Apabila nilai-nilai parameternya probabilistik, maka harus digunakan

formulasi pemrograman masalah stokastik.

d. Asumsi Linearity (Linearitas)

Asumsi linearity menyatakan bahwa fungsi tujuan dan semua fungsi

kendala harus dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi linear. Suatu fungsi kendala

11

yang melibatkan dua variabel keputusan maka dalam diagram dimensi dua

kendala tersebut akan berupa suatu garis lurus. Demikian juga apabila suatu

kendala melibatkan tiga variabel menghasilkan suatu bidang datar dan kendala

yang melibatkan variabel menghasilkan hyperplane dalam ruang berdimensi .

e. Asumsi Additivity (Aditivitas/ Penambahan)

Menurut B. Susanta (1994:12), asumsi ini menyatakan bahwa nilai

parameter suatu kriteria optimasi (koefisien variabel keputusan pada fungsi

tujuan) merupakan jumlah dari individu-individu dalam program linier.

Misalnya, keuntungan total yang merupakan variabel keputusan, sama dengan

jumlah keuntungan yang diperoleh dari masing-masing kegiatan ( ).

2. Penyelesaian Model Program Linear

MPL dengan dua variabel atau tiga variabel yang dapat disusutkan menjadi

dua variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik. Untuk MPL

yang memuat tiga variabel atau lebih dan tidak dapat disusutkan menjadi MPL

dengan dua varibel dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks (B.

Susanta, 1994:68).

Menurut Supranto (2009:97), metode simpleks merupakan suatu metode

yang secara sistematis dimulai dari suatu penyelesaian layak basis (plb) awal ke

plb lainnya dan dilakukan secara berulang (dengan jumlah ulangan yang terbatas)

sampai diperoleh penyelesaian optimal. Pada setiap langkah metode simpleks

akan menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih baik (besar)

atau sama dari langkah-langkah sebelumnya. Solusi untuk model program linear

yang memenuhi Formula (2.6) dan (2.7) disebut penyelesaian layak (p.l) dan

12

penyelesaian layak yang mengoptimumkan Fungsi (2.5) disebut penyelesaian

optimum (p.o) (B. Susanta, 1994:113).

Menurut B Susanta (1994:69-108) Langkah-langkah penyelesaian MPL

menggunakan tabel simpleks sebagai berikut:

a. Mengubah soal ke dalam bentuk kanonik

Bentuk kanonik MPL memiliki ciri-ciri bahwa semua kendala harus

berbentuk kanonik/persamaan dengan koefisien ruas kanan tidak negatif dan

memiliki variabel basis pada setiap kendala utamanya. Berikut ini diberikan

definisi bentuk kanonik.

Definisi 2.3 Bentuk Kanonik (B. Susanta, 1994:70). Bentuk kanonik MPL

adalah model program linear dengan semua fungsi kendala utama berbentuk

persamaan.

Sehingga setiap kendala utama yang berbentuk pertidaksamaan diubah

terlebih dahulu menjadi persamaan dengan menyisipkan variabel pengetat yaitu

variabel slack dan variabel surplus. Variabel slack adalah variabel yang

berfungsi untuk menampung sisa kapasitas pada kendala yang berupa

pembatas. Sedangkan variabel surplus adalah variabel yang berfungsi untuk

menampung kelebihan nilai ruas kiri pada kendala yang berupa syarat.

Variabel slack ditambahkan pada ruas kiri suatu ketaksamaan () fungsi

kendala dan variabel surplus ditambahkan pada ruas kiri suatu

ketaksamaan ( ) fungsi kendala sehingga bentuk fungsi kendala menjadi:

menjadi

(2.12)

menjadi

(2.13)

13

Selanjutnya dalam pembentukan bentuk kanonik untuk suatu fungsi

kendala utama yang belum memiliki variabel basis perlu ditambahkan variabel

artificial . Penambahan variabel slack, surplus dan artificial pada fungsi

kendala utama mengakibatkan penambahan variabel-variabel tersebut pada

fungsi tujuan. Koefisien ongkos untuk variabel slack dan surplus adalah nol

dan variabel artificial adalah dengan mewakili suatu bilangan yang

sangat besar. Untuk lebih memahami bentuk kanonik, berikut ini diberikan

contoh tentang bentuk kanonik.

Contoh 2.4

Bentuk kanonik dari Contoh 2.1 yaitu:

akan ditentukan nilai , , , yang memenuhi susunan

kendala:

+ = 17

2 + = 15

0

dan memaksimumkan

Kejadian penyelesaian persamaan linear dapat dilihat dengan rank suatu

matriks. Rank suatu matriks adalah ukuran terbesar dari matriks bagian

dari yang determinannya tidak nol (B. Susanta, 1994:34). Rank matriks

dilambangkan dengan Jelas bahwa

14

(2.14)

Suatu matriks bujursangkar disebut singular bila dan disebut

tidak singular bila . Jadi bila tidak singular maka .

Berdasarkan Formula (2.6) dengan cara menulis matriks , disusun

matriks |

|

| adalah matriks yang

dilengkapi dengan suku tetap di ruas kanan. Secara umum, menurut B. Susanta

(1994:38) kejadian penyelesaian persamaan linear dapat ditandai dengan suatu

rank matriks sebagai berikut:

1) Jika ) maka tidak ada penyelesaian.

2) Jika maka ada penyelesaian. Terdapat dua jenis

penyelasaian yang dapat diperoleh dengan mengetahui banyaknya yaitu:

a) Untuk maka diperoleh penyelesaian banyak

b) Untuk maka diperoleh penyelesaian tunggal

Berikut ini diberikan contoh banyaknya penyelesaian pada persamaan linear.

Contoh 2.5

MPL pada Contoh 2.4 diketahui nilai dan sehingga banyaknya

penyelesaian persamaan linear adalah penyelesaian banyak dengan banyaknya

plb adalah

.

b. Menyusun tabel simpleks

Untuk mempermudah langkah-langkah penyelesaikan MPL

menggunakan metode simpleks, berikut ini diberikan bentuk umum tabel

simpleks yang disajikan pada Tabel 2.1.

15

Tabel 2.1 Tabel Simpleks

Keterangan:

: variabel-variabel keputusan

: koefisien teknis

: koefisien ruas kanan

: koefisien ongkos

: variabel yang menjadi basis pada tabel yang ditinjau

: koefisien ongkos dari variabel basis

: (hasil kali dengan kolom )

: (hasil kali dengan )

: selisih dengan

:

, dengan syarat

Masukan seluruh koefisien ongkos, koefisien teknis dan koefisien ruas

kanan dari MPL bentuk kanonik ke dalam simpleks. Selanjutnya dengan

membuat variabel non basis bernilai nol pada Tabel 2.1 akan diperoleh

penyelesaian basis awal yaitu = dan

penyelesaian basis ini dikatakan layak jika nilai penyelesaian lebih besar atau

16

sama dengan nol. Berikut ini akan diberikan contoh penyelesaian metode

simpleks.

Contoh 2.6

Bentuk kanonik Contoh 2.5 dimasukkan kedalam Tabel 2.2 sebagai berikut.

Tabel 2.2 Tabel Awal Simpleks

12

-2M+2 M+3 -15M+76

-2M-3 M-2

Dari Tabel 2.2 dapat diketahui penyelesaian basis awal adalah

.

c. Menguji keoptimuman

Langkah ini bertujuan untuk memeriksa penyelesaian awal basis yang

diperoleh dari tabel simpleks. Suatu penyelesaian layak basis MPL telah

optimum apabila untuk setiap , dengan . Apabila

penyelesaian yang diperoleh dalam tabel simpleks telah optimum, maka

langkah metode simpleks berhenti dan diperoleh penyelesaian yang optimum.

Pada akhir iterasi (solusi akhir), variabel artificial harus bernilai nol. Saat

variabel artificial ini mempunyai nilai yang tidak sama dengan nol, maka

solusi yang diperoleh dinyatakan sebagai solusi tak layak. Namun apabila

penyelesaian yang diperoleh belum optimum, maka dilanjutkan langkah

17

keempat yaitu memperbaiki tabel simpleks untuk memperoleh penyelesaian

yang lebih baik yaitu penyelesaian yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Pada

Contoh 2.6 penyelesaian layak basis MPL belum optimum karena masih ada

.

d. Memperbaiki tabel simpleks

Langkah ini bertujuan untuk mencari penyelesaian layak basis lain yang

akan menghasilkan penyelesaian yang lebih baik yaitu membuat nilai fungsi

tujuan lebih besar dari tabel sebelumnya.

Tabel simpleks yang baru diperoleh dengan cara memilih salah satu

variabel non basis untuk dijadikan variabel basis baru pada tabel simpleks baru

yang akan dibuat dan memilih satu variabel basis yang akan keluar dari basis

karena akan digantikan oleh variabel basis baru yang telah terpilih. Variabel

non basis yang akan menjadi variabel basis fungsi tujuan adalah variabel non

basis pada kolom ke-k yang memiliki nilai paling kecil (

). Selanjutnya kolom yang terpilih tersebut dinamakan kolom kunci.

Apabila ada beberapa alternatif kolom kunci, maka dapat dipilih salah satu

diantaranya secara acak yang nantinya akan menyebabkan tabel simpleks

berputar (cycling) yaitu langkah-langkah simpleks yang akan terus berjalan.

Variabel basis yang harus keluar yaitu variabel basis yang memiliki

nilai yang terkecil dengan

dan . Baris yang terpilih

dinamakan sebagai baris kunci dan perpotongan unsur yang terdapat pada baris

kunci dan kolom kunci dinamakan unsur kunci. Unsur kunci ini yang

digunakan untuk memperbaiki tabel.

18

Tabel baru yang telah diperoleh, dilakukan kembali uji keoptimalan

dengan melihat nilai Apabila penyelesaiannya telah optimal maka

iterasi dihentikan, tetapi apabila penyelesaiannya belum optimal maka langkah

selanjutnya ulangi kembali ke langkah ketiga. Penyelesaian optimum dapat

dilihat di kolom bi. Sedangkan nilai optimal dari fungsi tujuan dapat dilihat di

baris kolom bi.

Contoh 2.6 diketahui bahwa MPL belum optimum maka dilakukan

perbaikan tabel yaitu dengan memilih nilai paling kecil. Nilai

paling kecil pada Tabel 2.2 terdapat pada kolom 1 dan ditetapkan sebagai

kolom kunci. Selanjutnya disusun nilai yang terlihat pada Tabel 2.3 di

bawah ini.

Tabel 2.3 Tabel Uji Keoptimalan Simpleks Iterasi ke-1

Pada Tabel 2.3 masih ada nilai yang bernilai negatif yaitu

kolom 1 dan kolom 7, jadi tabel belum optimum. Sesuai dengan langkah 4,

dipilih kolom 1 sebagai kolom kunci dan disusun . Kemudian terkecil

terdapat pada baris 2, berarti (basis ke-2) harus keluar digantikan oleh .

Tabel perlu diperbaiki dan diperoleh seperti Tabel 2.4 berikut ini.

-2M+2 M+3 -15M+76

-2M-3 M-2

19

Tabel 2.4 Tabel Uji Keoptimalan Simpleks Iterasi ke-2

5 5 2 3 0 0 0 -M

0 0

0 0 1

0

5 1

0 0 0

0

-

2 0

1 0 0

0

25

3 0 1 0 1 0 0 -1 0 12 -

5

2 3 0

-3

0

0 0 -3

-3

Diketahui bahwa Tabel 2.4 belum optimum sehingga dipilih kolom 2

sebagai kolom kunci dan disusun . Kemudian terkecil terdapat baris 1,

berarti (basis ke-1) harus keluar digantikan dengan . Tabel perlu

diperbaiki dan diperoleh seperti Tabel 2.5 berikut ini.

Tabel 2.5 Tabel Uji Keoptimalan Simpleks Iterasi ke-3

20

Diketahui bahwa Tabel 2.5 belum optimum sehingga dipilih kolom 7

sebagai kolom kunci dan disusun . Karena nilai semua pada kolom

kunci maka nilai tidak ada dan dapat disimpulkan bahwa penyelesaian layak

berada di tak berhingga.

Selain kejadian-kejadian diatas terdapat juga kejadian-kejadian khusus

dalam metode simpleks yaitu diantaranya:

a) MPL tidak layak yang disebabkan oleh penyelesaian optimum tidak

memenuhi kendala yang dapat dilihat dari adanya penyelesaian optimum

ada variabel artificial yang bernilai positif.

b) Merosot (degenerate) yang terjadi karena variabel basis dalam penyelesaian

optimum bernilai nol.

c) Kendala berlebih (redundant) terjadi saat terdapat variabel pengetatdan

artificial merupakan variabel basis dalam penyelesaian optimum dan

bernilai tidak nol.

d) Ada alternatif PO (solusi lebih dari satu) yang terjadi karena pada

penyelesaian optimum terdapat entri yang bukan variabel basis

bernilai nol.

e) Solusi tunggal terjadi karena banyaknya entri sama dengan

banyak basisnya.

f) Penyelesaian layak di tak berhingga saat semua koefisien pada kolom kunci

bernilai negatif atau nol.

Masalah optimasi dapat diselesaikan dengan menggunakan Matlab

Optimization Toolbox. Matlab Optimization Toolbox mempunyai subroutine atau

21

solver LINPROG untuk menyelesaikan MPL. Menurut Santoso (2008:82) MPL

(1.1), (1.2), dan (1.3) dapat diformulakan dengan bentuk sebagai berikut:

min

fungsi kendala

(2.15)

Sedangkan sintaks linprog dalam Matlab adalah

>>[x,fx,exitflag,out]=LINPROG (f,A,b,Aeq,beq,[ ],[ ],LB,UB)

dengan adalah koefisien untuk fungsi tujuan dan adalah matriks koefisien

teknis dan adalah vektor koefisien ruas kanan untuk kendala yang berbentuk

pertidaksamaan, dan masing-masing adalah matriks koefisien teknis dan

vektor koefisien ruas kanan untuk kendala yang berbentuk persamaan, serta

dan masing-masing batas bawah dan batas atas. Untuk batas bawah tidak

terbatas maka dan batas atas tidak terbatas maka

Berikut ini contoh dalam software Matlab untuk menyelesaikan MPL.

Contoh 2.7

Berdasarkan Contoh 2.1, fungsi tujuan tersebut harus diubah ke masalah minimasi

dengan mengalikannya dengan -1 yaitu

[ ]

dan kendala yang berbentuk pertidaksamaan bisa diekspresikan sebagai berikut:

[

] [

] [

]

serta kendala yang berbentuk persamaan yaitu

22

[ ] [

] [ ]

Setelah mengkonversikan fungsi tujuan menjadi minimasi, selanjutnya masalah

diatas dapt diselesaiakn dengan LINPROG sebagai berikut:

>> f = [-5 -5 -2 -3] ;

>> A = [1 1 0 0; -2 1 0 0; 0 1 0 1] ; % koefisien teknis

>> b = [ 17 -15 -12] ; % koefisien ruas kanan

>> Aeq = [1 0 1 0] ; % koefisien teknis yang berbentuk =

>> beq = [20] ; % koefisien ruas kanan yang berbentuk =

>> LB = [0 0 0 0] ; % nilai x yang nonnegatif

>> [X,fx,exitflag,output] = LINPROG (f,A b,Aeq,beq,[ ],[ ],LB)

dari hasil output diketahui bahwa salah satu plb untuk MPL di atas

dan nilai fungsi tujuan

serta = -3. Fungsi tujuan yang sebelumnya

diubah menjadi minimasi sehingga diperoleh fungsi tujuan bernilai negatif

sehingga selanjutnya harus dikalikan dengan -1 untuk diperoleh nilai fungsi

tujuan. Sebenarnya nilai , yaitu output ketiga dapat memberikan nilai

salah satu dari berikut ini:

1. 1 jika solusi layak

2. 0 jumlah iterasi maksimum dicapai

3. -2 jika solusi tidak layak

4. -3 jika solusi tak terbatas

23

5. -4 NaN (

) value encountered during execution of algorithm

6. -5 kedua primal dan dual problem infeasible

7. -7 arah pencarian (search) terlalu kecil, tidak bisa menuju titik yang lebih

rendah lagi.

B. Konsep Himpunan Fuzzy

1. Pengertian Himpunan Fuzzy

Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek tertentu yang tercakup

dalam satu kesatuan dengan definisi (syarat) tertentu dan jelas. Himpunan klasik

dapat didefinisikan dengan mendaftar anggota-anggota pada himpunan tersebut.

Suatu anggota dalam suatu himpunan klasik mempunyai derajat keanggotaan

jika dan jika maka derajat keanggotaan = 0.

Himpunan adalah himpunan berbadan tinggi yang didefinisikan sebagai

Tinggi = . Dari definisi tersebut, dapat diketahui bahwa

derajat keanggotaan orang yang memiliki tinggi 165 cm pada himpunan A,

= 1 karena 165 A dan derajat keanggotaan orang yang memiliki

tinggi 164 cm pada himpunan A, = 0 karena 164 A. Derajat

keanggotaan di atas digambarkan menggunakan Gambar 2.3 sebagai berikut.

1

0 165 cm

Gambar 2.3 Grafik Himpunan berbadan tinggi

24

Himpunan fuzzy merupakan pengembangan lebih jauh dari konsep

matematika tentang himpunan klasik. Menurut George J Klir, dkk (1997:6), teori

himpunan fuzzy (fuzzy set) pertama kali diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh pada

tahun 1965, yaitu himpunan yang memiliki batas-batas keanggotaan himpunan

yang tidak jelas. Keanggotaan pada himpunan fuzzy tidak dinyatakan dengan

derajat keanggotaannya 0 atau 1, melainkan dengan derajat keanggotaan berupa

bilangan real pada interval [0,1]. Adapun definisi dari himpunan fuzzy adalah

sebagai berikut.

Definisi 2.4 (Zimmermann, 2001:11-12). Misalkan adalah koleksi dari objek-

objek yang dinotasikan dengan , suatu himpunan fuzzy dalam suatu himpunan

adalah suatu himpunan pasangan berurutan dengan

adalah derajat keanggotaan x di yang nilainya pada rentang [0,1].

Menurut Zimmermann (2001:12-13) himpunan fuzzy dapat dinotasikan dengan

dua cara, yaitu:

a. Himpunan fuzzy dituliskan sebagai pasangan berurutan, dengan elemen

pertama menunjukkan nama elemen dan elemen kedua menunjukkan derajat

keanggotaan.

(2.16)

b. Himpunan fuzzy dinotasikan sebagai

...= , jika diskrit (2.17)

dan

25

, jika kontinu (2.18)

Berikut ini diberikan contoh himpunan fuzzy.

Contoh 2.8

Himpunan tinggi badan sekelompok orang dalam centimeter (cm) dinotasikan

dengan .

Himpunan fuzzy berbadan tinggi dinotasikan dengan yang memiliki fungsi

keanggotaan sebagai berikut:

{

Sehingga dapat dinyatakan sebagai ={(140,0),(145,0.2),(150,0.4),(155,0.6),

(160,0.8),(165,1.0)}.

Seperti himpunan klasik, himpunan fuzzy juga memiliki syarat yang dinyatakan

dalam definisi berikut:

Definisi 2.5 (Ibrahim, 2004:35). Himpunan fuzzy kosong adalah himpunan fuzzy

dengan derajat keanggotaan untuk semua elemen himpunan adalah 0.

Berikut ini diberikan contoh tentang himpunan fuzzy kosong.

Contoh 2.9

Diberikan suatu himpunan dan sehingga

merupakan himpunan fuzzy kosong.

26

Definisi 2.6 (Ibrahim, 2004:35). Himpunan semesta fuzzy adalah himpunan fuzzy

dengan derajat keanggotaan dari semua elemen himpunan adalah 1.

Berikut ini diberikan contoh tentang himpunan semesta fuzzy.

Contoh 2.10

Diberikan dan sehingga

merupakan himpunan semesta fuzzy.

Definisi 2.7 (Zimmermann, 2001:14). Himpunan -cut adalah himpunan

(klasik) elemen-elemen yang ada pada himpunan fuzzy yang untuk

suatu nilai [ ] yaitu:

[ ]

Berikut ini diberikan contoh untuk lebih memahami definisi dari himpunan .

Contoh 2.11

Diberikan dan (l,0.2), (2,0.5), (3,0.8),

(4,1.0), (5,0.7), (6,0.3)}. Untuk ={1,2,3,4,5,6}, ={2,3,4,5}, ={3,4},

={4}.

Definisi 2.8 (Zimmermann, 2001:14). Support dari himpunan fuzzy yang

dinotasikan dengan S( ) adalah himpunan klasik dari dengan

Berikut ini diberikan contoh untuk lebih memahami definisi S( )

Contoh 2.12

Dari Contoh 2.11, adalah support dari himpunan fuzzy .

27

Definisi 2.9 (Ibrahim, 2004:36). Core ( ) adalah himpunan klasik dari semua

dengan derajat keanggotaan

Contoh 2.13

Dari Contoh 2.11, Core ( ) adalah core dari himpunan fuzzy .

Definisi 2.10 (Ibrahim, 2004:36). Height dari himpunan fuzzy adalah

nilai tertinggi dari yang nilai -level-nya tidak kosong.

Contoh 2.14

Berdasarkan Contoh 2.11, nilai , ={1,2,3,4,5,6} dengan ( )

adalah height dari himpunan fuzzy .

2. Jenis Fungsi Keanggotaan Fuzzy

Fungsi keanggotaan fuzzy adalah fungsi yang mengaitkan setiap elemen

dengan suatu bilangan real dalam [0,1]. Fungsi keanggotaan menentukan derajat

keanggotaan dari setiap elemen himpunan. Beberapa fungsi keanggotaan fuzzy

yang dikenal antara lain fungsi linier (linier naik dan linier turun), fungsi segitiga,

fungsi trapesium, fungsi bentuk bahu, fungsi kurva-S, fungsi bentuk lonceng/bell

curve (kurva-PI, kurva Beta dan kurva Gauss).

Fungsi keanggotaan yang digunakan dalam penelitian ini adalah fungsi

keanggotaan linear turun karena bentuk fungsi ini paling sederhana dan menjadi

pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas.

Contoh 2.15

Jumlah persediaan minimal bahan baku gabah pada PB. Guyub Rukun untuk

memproduksi beras slip tepat sebesar 100 ton dan dapat mengusahakan lagi

28

sebesar 20 ton. Suatu himpunan fuzzy sedikit dibentuk untuk menyatakan

variabel jumlah persediaan bahan baku gabah yang digunakan untuk

memproduksi beras slip dengan himpunan universal U=[100,20] dan fungsi

keanggotaannya yaitu:

{

Fungsi keanggotaan linear adalah fungsi pemetaan input ke derajat

keanggotaanya yang digambarkan sebagai suatu garis lurus. Fungsi keanggotaan

linear memiliki dua jenis yaitu:

a. Fungsi Keanggotaan Linear Naik

Fungsi keanggotaan linear naik memiliki representasi derajat

keanggotaan 0 di ruas kiri dan bergerak ke kanan menuju derajat

keanggotaan lebih tinggi atau 1. Menurut Kusumadewi (2002:31) Fungsi

keanggotaan representasi linear naik sebagai berikut:

{

(2.19)

Himpunan fuzzy pada representasi linear naik direpresentasikan pada

Gambar 2.4 di bawah ini.

Gambar 2.4 Fungsi Keanggotaan Linear Naik

1

0

29

Contoh 2.16

Himpunan fuzzy cepat pada variabel waktu yang digunakan untuk

menggiling gabah dengan himpunan universal U=[2100,2880] yang

mempunyai fungsi keanggotaan:

{

jika

jika

jika

Grafik representasi dari fungsi keanggotaan tersebut disajikan dalam Gambar

2.5 sebagai berikut.

Gambar 2.5 Contoh Fungsi Keanggotaan Linear Naik

Berdasarkan fungsi keanggotaan di atas, dimisalkan untuk menentukan

derajat keanggotaan waktu penggilingan gabah sebesar 2568 maka dilakukan

perhitungan:

dapat disimpulkan bahwa derajat keanggotaan waktu penggilingan sebesar

2412 adalah sebesar 0.6 pada himpunan fuzzy .

b. Fungsi Keanggotaan Linear Turun

Fungsi keanggotaan linear turun merupakan kebalikan dari fungsi

keanggotaan linear naik. Fungsi keanggotaan linear turun adalah fungsi

1

0 2100 2880

30

keanggotaan yang memiliki derajat keanggotaan tertinggi atau satu [1] pada

sisi kiri kemudian bergerak ke kanan menuju derajat keanggotaan yang lebih

rendah atau nol [0]. Fungsi keanggotaan linear turun adalah sebagai berikut:

{

(2.20)

Menurut Kusumadewi (2002:32) Himpunan fuzzy pada representasi

linear turun direpresentasikan pada Gambar 2.6 di bawah ini:

Gambar 2.6 Fungsi Keanggotaan Linear Turun

Berikut ini diberikan contoh mengenai fungsi keanggotaan linear turun

sebagai berikut:

Contoh 2.17

Himpunan fuzzy lambat pada variabel waktu yang digunakan untuk

menggiling gabah dengan himpunan universal U=[2100,2880] yang

mempunyai fungsi keanggotaan:

{

31

Grafik representasi dari fungsi keanggotaan tersebut disajikan dalam

Gambar 2.7 sebagai berikut:

1

0 2100 2880

Gambar 2.7 Contoh Fungsi Keanggotaan Linear Turun

Berdasarkan fungsi keanggotaan di atas, dimisalkan untuk menentukan

derajat keanggotaan waktu penggilingan gabah sebesar 2458 maka

dilakukan perhitungan:

dapat disimpulkan bahwa derajat keanggotaan waktu penggilingan sebesar

2458 adalah sebesar 0.6 pada himpunan fuzzy .

3. Bilangan Fuzzy

Konsep bilangan fuzzy muncul dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam

aplikasi teori fuzzy dalam bentuk besaran yang dinyatakan dengan bilangan yang

tidak tepat, seperti misalnya kira-kira 5 kilogram, sekitar 5 unit dan

sebagainya. Secara intuitif dapat diterima bahwa ungkapan kurang lebih 5,

kira-kira 5 kilogram atau sekitar 5 unit dapat dinyatakan dalam suatu

himpunan fuzzy pada semesta bilangan real, dimana bilangan 5 mempunyai niali

keanggotaan sama dengan 1 (satu), bilangan-bilangan di sekitar mempunyai

derajat keanggotaan kurang dari 1 dan semakin jauh bilangan itu dari 5, derajat

32

keanggotaannya semakin mendekati 0 (nol) (Frans Susilo, 2006:111). Berikut

diberikan definisi bilangan fuzzy:

Definisi 2.11 Bilangan Fuzzy (Klir & Yuan, 1995:97). Misalkan adalah

himpunan fuzzy pada . Bilangan fuzzy adalah himpunan fuzzy yang memenuhi

syarat-syarat sebagai berikut:

a. merupakan himpunan fuzzy normal

Himpunan fuzzy dalam normal jika terdapat sehingga .

b. merupakan interval tertutup untuk semua [ ], dan

c. Support merupakan himpunan terbatas

Syarat bahwa merupakan interval tertutup untuk semua [ ] sama dengan

syarat bahwa merupakan himpunan konveks. Himpunan di adalah konveks jika

dan setiap

[ ] (Nasseri,2008:1777). Bilangan fuzzy sebagai himpunan fuzzy normal dan

konveks, serta untuk setiap merupakan interval tertutup. Jadi, bilangan fuzzy

adalah himpunan konveks, normal, dan merupakan interval tertutup. (Chen dan Pham,

2000:42-43)

Bilangan fuzzy yang digunakan dalam tulisan ini adalah bilangan fuzzy

linear turun yang memenuhi syarat fungsi keanggotaan linear sebagai berikut:

{

(2.21)

Dimana adalah puncak nilai yang berarti bahwa derajat keanggotaanya adalah 1

dan adalah nilai persekitarannya dari . Bilangan fuzzy linear ditunjukkan

dengan .

33

Contoh 2.18

Untuk memproduksi 1 kuintal beras kristal biasanya diperlukan bahan baku gabah

sebesar 1,44 kuintal. Akan tetapi pada musim-musim tertentu kadang terjadi

serangan hama yang menyebabkan kualitas bahan baku gabah menurun sehingga

untuk memproduksi 1 kuintal beras kristal diperlukan toleransi penambahan

sebesar 0,05 kuintal. Sehingga jumlah jenis bahan baku gabah yang digunakan

untuk memproduksi beras kristal merupakan bilangan fuzzy dan dapat

dituliskan bahwa dan maka . Representasi

bilangan fuzzy terlihat pada Gambar 2.8 yaitu

Gambar 2.8 Bilangan Fuzzy

Bilangan fuzzy bersifat normal, karena mempunyai derajat keanggotaan 1

untuk . Semua pada bilangan fuzzy tertutup pada selang

[ ]. Support dari himpunan fuzzy terbatas pada (1,44 , 1,49). Bilangan

fuzzy konveks karena untuk nilai dan dan

maka dengan

sehingga

untuk setiap dan setiap [ ].

1

1,44 1,49

34

4. Operasi pada Himpunan Fuzzy

Berikut ini penjelasan mengenai operasi himpunan fuzzy yang berupa

irisan dan gabungan.

Definisi 2.12 Irisan Himpunan Fuzzy (Bellman & Zadeh, 1970:144). Irisan dari

dua himpunan fuzzy dan dinotasikan sebagai dan didefinisikan

sebagai himpunan fuzzy terbesar yang terdapat pada dan . Fungsi

keanggotaan diberikan oleh

Berikut ini diberikan contoh untuk lebih memahami definisi irisan himpunan

fuzzy.

Contoh 2.19

Diberikan himpunan fuzzy yang didefinisikan sebagai berikut:

untuk mencari , terlebih dahulu menghitung untuk

setiap .

.

.

.

.

.

.

Jadi,

35

Definisi 2.13 Gabungan Himpunan Fuzzy (Bellman & Zadeh, 1970:145).

Gabungan dari dua himpunan fuzzy dan dinotasikan sebagai dan

didefinisikan sebagai himpunan fuzzy terkecil yang terdapat pada dan .

Fungsi keanggotaan diberikan oleh

Berikut ini diberikan contoh untuk lebih memahami definisi gabungan himpunan

fuzzy.

Contoh 2.20

Berdasarkan Contoh 2.19, untuk mencari , terlebih dahulu menghitung

.

.

.

.

.

.

.

Jadi, .

C. Program Linear Fuzzy

Program linear menurut Amit Kumar, dkk (2010:37) merupakan salah satu

teknik dalam riset operasi yang paling sering diterapkan. Nilai-nilai parameter

model program linear harus terdefinisi dengan baik (tegas), sedangkan dalam

36

kehidupan nilai-nilai parameter yang tegas bukan merupakan asumsi yang

realistis. Oleh karenanya penggunaan parameter dalam model program linear

direpresentasikan dengan bilangan-bilangan fuzzy.

Menurut Klir & Yuan (1995:410), bentuk umum model program linear

fuzzy sama dengan bentuk umum model program linear biasa. Dalam program

linear fuzzy akan dicari suatu nilai yang merupakan fungsi tujuan yang akan

dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan

dengan menggunakan himpunan fuzzy.

Bentuk matematika dari program linear fuzzy adalah:

Maksimumkan:

(2.22)

dengan kendala

, i = 1,2, ... , m

0 , j = 1,2, ... , n

dengan dan semuanya adalah bilangan fuzzy.

Menurut Klir & Yuan (1995:410-411) program linear fuzzy memiliki dua

kasus yaitu program linear fuzzy dengan hanya koefisien ruas kanan ( ) berbentuk

bilangan fuzzy dan program linear fuzzy dengan koefisien teknis ( ) dan

koefisien ruas kanan ( ) berbentuk bilangan fuzzy. Dalam penelitian ini akan

dibahas mengenai program linear fuzzy dengan koefisien teknis dan koefisien ruas

kanan berbentuk bilangan fuzzy linear turun dengan fungsi tujuan tidak fuzzy

(tunggal).

37

Menurut Klir & Yuan (1995:411), bentuk umum dari program linear fuzzy

dengan koefisien teknis ( ) dan koefisien ruas kanan ( ) berbentuk bilangan

fuzzy ini adalah sebagai berikut:

Maksimumkan:

(2.23)

dengan kendala

, i = 1,2, ... , m

0 , j = 1,2, ... , n

Bilangan linear turun fuzzy yang direpresentasikan dengan untuk a

adalah puncak nilai yang berarti bahwa derajat keanggotaannya adalah satu dan d

adalah nilai persekitarannya dari a yang dituliskan pada koefisien teknis ( )

sehingga ( dan koefisien ruas kanan ( dimisalkan dengan

untuk b adalah puncak nilai yang berarti bahwa derajat keanggotaannya

adalah satu dan p adalah nilai persekitarannya dari b yang dituliskan pada

koefisien ruas kanan ( Sehingga model program linear fuzzy dengan

koefisien teknis ( ) dan koefisien ruas kanan ( ) berbentuk bilangan linear

turun fuzzy dapat diformulasikan sebagai berikut:

Maksimumkan:

(2.24)

dengan kendala

, i = 1,2, ... , m

38

0 , j = 1,2, ... , n

Dalam teori pengambilan keputusan fuzzy dikenal 3 konsep dasar (Bellman

& Zadeh, 1970:147-149) yaitu fuzzy goal, fuzzy constraints, dan fuzzy decisions.

Misalkan adalah himpunan yang memuat solusi dari pengambilan keputusan.

Fuzzy goal adalah himpunan fuzzy pada yang keanggotaannya didefinisikan

melalui fungsi keanggotaan:

: [ ]

Fuzzy constraint adalah himpunan fuzzy pada yang keanggotaannya

didefinisikan melalui fungsi keanggotaan:

C [ ]

Fuzzy decision adalah himpunan fuzzy yang merupakan irisan fuzzy

goal dan fuzzy kendala , yaitu dengan fungsi keanggotaan:

(2.25)

Contoh 2.21

Misalkan dimiliki fuzzy goal dan fuzzy constraint sebagai berikut:

G

{

{

Sehingga fuzzy decision D adalah sebagai berikut:

39

{

,jika

(

) ,jika

(

) ,jika

min (1, 20

10) ,jika

, jika

(2.26)

Keputusan maksimal didefinisikan sebagai berikut:

= G (x), C (x)}. (2.27)

Lebih umum, fuzzy decision hasil dari k fuzzy goal dan fuzzy

kendala didefiinisikan oleh

. (2.28)

Dengan fungsi keanggotaan:

= { , . (2.29)

Keputusan maksimal didefinisikan sebagai:

.

(2.30)

BAB IIKAJIAN TEORIA. Program Linear1. Model Program Linear2. Penyelesaian Model Program Lineara. Mengubah soal ke dalam bentuk kanonikb. Menyusun tabel simpleksc. Menguji keoptimumand. Memperbaiki tabel simpleks

B. Konsep Himpunan Fuzzy1. Pengertian Himpunan Fuzzy2. Jenis Fungsi Keanggotaan Fuzzy3. Bilangan Fuzzy4. Operasi pada Himpunan Fuzzy

C. Program Linear Fuzzy