BAB IPENDAHULUAN

A. Latar Belakang Distribusi peluang merupakan konsep yang menjadi dasar

pengembangan statistika inferensial, khususnya penaksiran parameter dan pengujian hipotesis, menjadi topik utama dalam makalah ini. Distribusi yang diturunkan dari hasil suatu percobaan dapat dibedakan atas: - Distribusi farik - Distribusi malar

Sesuai dengan sifat yang sampelnya. Jadi, kalau ruang sampelnya farik, distribusinya juga disebut distribusi farik. Demikian juga kalau ruang sampelnya malar, distribusinya disebut distribusi malar. Namun demikian, sebelum membicarakan distribusi peluang, konsep peubah acak perlu dipahami, karena sesungguhnya peubah acak inilah yang memiliki fungsi distribusi.

B. Tujuan Berdasarkan latar belakang diatas makalah ini memiliki

tujuan 1. Mahasiswa dapat menjelaskan apa yang dimaksud distribusi

peluang?2. Mahasiswa dapat membedakan distribusi farik dan distribusi

malar? 3. Mahasiswa dapat memahami konsep peubah arah?

i

BAB IIPEMBAHASAN

A. Peubah Acak Pada percobaan yang digunakan untuk menjelaskan

setiap proses yang menghasilkan pengukuran, sering yang menarik perhatian kita bukan titik sampel itu sendiri melainkan gambaran numeriknya. Misalnya, sebuah mata uang dengan sisi muka (M) dan Belakang (B) yang dilemparkan tiga kali memberikan ruang sampel S = {MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, BBM, BBB}. Bila yang diperhatikan banyaknya sisi muka yang muncul, maka hasil numerik, 0, 1, 2, atau 3 dikaitkan dengan titik sampel.

Transformasi yang memasangkan titik sampel di S ke suatu hasil numeric disebut peubah acak (random variable). Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul dalam tiga kali pelemparan mata uang itu, maka X = 0 merupakan gambaran numeric untuk {BBB} , X = 1 untuk {MBB, BMB, BBM}, X = 2 untuk {MMB, MBM, BMM}, dan X = 3 {MMM}. Karena bilangan cardinal n(S) = 8, diperoleh nilai-nilai peluang P (X = 3) = 1/8, sesuai ed bilangan cardinal masing-masing peristiwa yang berkaitan dengan nilai X tersebut. Nilai-nilai peluang inilah yang disebut fungsi distribusi peluang farik yang biasa disebut fungsi massa peluang dari peubah acak X, yang dapat dibuat dalam sebuah tabel sebagai berikut:

i

3.1. Fungsi massa peluang munculnya sisi muka dalma tiga kali pelemparan

mata uang

x P (X = x) = p (x) 0123

1/83/83/81/8

Karena ruang sampel S adalah ruang sampel farik, maka peubah acak X yang diturunkan dari S juga disebut peubah acak farik, dan distribusi peluangnya disebut distribusi peluang farik. Peubah acak ditulis dengan huruf capital, misalnya X dan symbol nilai pengamatannya dengan huruf kecil x. Untuk penyerderhanaan, kita tulis p (x) untuk x = 0, 1, 2, 3 memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. p(x) ≥ 0 untuk x = 0, 1, 2, 3

2.Sifat-sifat diatas dapat dinyatakan secara umum. Untuk

setiap peubah acak farik X yang mempunyai terhingga banyaknya nilai x1, x2, x3, …..xn dengan peluang p(xi) = pi untuk i = 1, 2, 3, ……n untuk sebaang bilangan asli n, harus memenuhi sifat-sifat fungsi massa peluang berikut: 1. pi ≥ 0 untuk i = 1, 2, 3, …….n

2.Sifat ini dapat diperluas lagi untuk peubah acak yang memiliki tak hingga banyaknya nilai, dan masih dapat dipadankan satu-

i

satu dengan bilangan asli A = {1, 2, 3…}. Misalkan nilai-nilai peubah acak X adalah x1, x2, x3….. dengan peluang masing-masing p1, p2, p3….. harus memenuhi sifat-sifat berikut: 1. pi ≥ 0 untuk i = 1, 2, 3, …….

2.Ada dua momen penting dari peubah acak yang disebut

nilai harapan (expected value) dan variansi (variance). Rumus kedua momen ini berturut-turut adalah:

m = E (X) =

s2 = E (X - m)2 =

Symbol E (X) dalam bahasa Inggris dibaca Expected value of X. rumus variansi dapat pula ditulis dengan s2 = E(X2) - m2, dengan

E(X2) = . Untuk peubah acak farik X yang nilainya

terhingga banyaknya (n), kedua nomen tersebut dinyatakan oleh rumus yang sama, tetapi batas sigma yang berbeda sebagai berikut:

m = E (X) =

s2 = E (X - m)2 =

Hasil suatu percobaan mungkin saja tak hingga banyaknya dan tidak dapat dipadankan satu-satu dengan bilangan asli. Misalnya, penelitian mengenai jarak yang ditempuh sebuah mobil yang dijalankan dengan lima liter bensin. Jika X

i

menyatakan jarak yang ditempuh oleh mobil itu sampai bensin itu habis, maka peubah acak ini memiliki nilai tak hingga banyaknya. Perlu diperhatikan disini bahwa peubah acak X dapat didefinisikan langsung dari percobaan dan tidak melalui transformasi dari ruang sample S, karena ruang sample itu sendiri sudah dinyatakan dengan bilangan riil. Ruang sampel yang memuat takhingga banyaknya titik sampel dan tidak dapat dipadankan satu-satu dengan bilangan asli disebut ruang sampel malar, dan peubah acak yang diturunkannya disebut peubah acak malar.

Peubah acak malar X memiliki fungsi distribusi khusus yang disebut fungsi padat peluang f (x), dan harus memenuhi sifat-sifat berikut: 1. f(x) 0 untuk semua x R = {bilangan riil}

2.

3. P(a<X<b) = untuk a, b R

Nilai harapan dan variansi peubah acak malar dihitung dengan rumus

Rumus-rumus ini dapat dimodifikasi untuk peubah acak malar X yang memiliki nilai terbatas, seperti A X B, untuk bilangan riil A, dan B tertentu. Dalam hal ini, kedua momen tersebut dapat ditulis:

i

Karakteristik yang paling mendasar untuk dikaji dalam mempelajari tingkah laku suatu distribusi adalah fungsi massa atau fungsi padat peluang. Dalam fungsi/padat peluang ini terkandung sifat-sifat mendasar yang menjadi ciri khas distribusi itu. Misalnya, nilai rata-rata dan variansi dapat dihitung dari fungsi massa/pada peluang.

Selanjutnya, kita akan melihat beberapa fungsi peluang farik dan fungsi peluang malar, khususnya yang sudah banyak digunakan dalam statistika terapan. Perhatikan bahwa kita menggunakan istilah fungsi massa peluang untuk distribusi peluang farik dan fungsi pada peluang untuk peluang malar.

B. DISTRIBUSI PELUANG FARIKTakhingga banyaknya distribusi peluang farik yang terjadi

dalam kehidupan nyata, baik yang mempunyai kecenderungan tertentu dan mudah dinyatakan dengan fungsi matematis maupun yang sangat khusus dan sulit dinyatakan dengan sebuah fungsi matematis. Kita akan membicarakan beberapa dari jenis yang pertama. 1. Distribusi Seragam Farik

Distribusi Seragam Farik merupakan salah satu model distribusi peluang yang sering muncul dalam kenyataan. Model ini sering di gunakan dalam teori pengambilan keputusan secara statistik, yakni dalam keadaan dimana kita tidak

i

mengetahui secara pasti apa yang akan terjadi di antara kemungkinan-kemungkinan yang bakal terjadi.

Model distribusi seragam menganut asumsi bahwa peluang setiap keadaan atau hasil adalah sama dan tidak berubah sepanjang suatu rangkaian percobaan. Jika X adalah sebuah peubah acak seragam, fungsi massa peluang dari X adalah:p( x )= 1/n , x = 1, 2, 3, ... n,

Dengan n menyatakan banyaknya keadaan atau hasil yang dapat terjadi. Perlu di jelaskan bahwa cara penukisan p(x) = 1/n untuk x = 1, 2, 3, ..., n dimaksudkan bahwa p(x) = 0 untuk nilai x yang lain. Cara ini akan digunakan untuk keefisienan penukisan. Dengan sedikit pekerjaan matematis diperoleh rumus nilai rumus nilai harapan m = ( n + 1 )/2 dan variansi s2 = (n2 – 1)/12.

2. Distribusi Hipergeometris Distribusi hipergeometris diterapkan pada kasus

penarikan sampel (sampling) dimana objek yang telah diambil tidak dikembalikan lagi ke populasinya. Dalam model ini, populasi yang berisi sejumlah N sub-populasi sukses yang mempunyai anggota sebanyak N1 dan sub-populasi gagal dengan anggota sebanyak N – N1 = N2 yang sifatnya saling berlainan atau bahkan berlawanan. Pengertian sukses dan gagal disini tidak selalu sama maknanya dengan istilah sukses dan gagal dalam pembicaraan sehari-hari, tetapi sekedar menunjukkan adanya dua kategori hasil yang berbeda. Jika X adalah sebuah peubah acak hipergeometris yang

i

menggambarkan pengambilan n objek dari populasi yang berukuran N, fungsi massa peluang dari X adalah:

Dengan N1 = Ukuran sub populasi suksesN2 = Ukuran sub populasi gagalN = Ukuran populasi = N1 + N2 n = ukuran sampel x = banyaknya gejala sukses di antara n objek yang terambil Nilai harapan dan variansi masing-masing

3. Distribusi Rumpun Binomial Distribusi binomial merupakan salah satu model

distribusi peluang untuk peubah aack yang farik. Koefisien binomial menunjukkan peluang timbulnya gejala yang diharapkan (gejala sukses) dari sejumlah n peristiwa. Model distribusi ini diterapkan pada kasus percobaan Bernoulli dengan ciri sebagai berikut: a. Tiap-tiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan

hasil, yakni sukses dan gagal (tidak selalu sama maknanya dengan pengertian sukses dan gagal dalam pembicaraan sehari-hari)

b. Peluang sukses selalu sama pada setiap percobaan, akan tetapi peluang sukses tidak harus sama dengan peluang gagal.

i

c. Percobaan diulangi sebanyak n kali dan bersifat bebas (hasil percobaan yang satu tidak mempengarui hasil percobaan yang lain).

Jika X adalah sebuah peubah acak biomial, maka fungsi massa peluang X adalah:

Dengan p = Peluang percobaan sukses n = banyaknya percobaan x = banyaknya gejala sukses yang terjadi.

Nilai harapan µ = np dan variansi s2 = np (1-p)Dalam keadaan khusus, percobaan dilakukan sekali saja,

yaitu n = 1, kita peroleh peubah acak Bernoulli dengan fungsi massa peluang

Nilai harapan µ = p dan variansi s2 = p (1-p)Andaikan percobaan Bernoulli diulang untuk

mendapatkan k sukses, dan hasil ini diperoleh setelah y kali percobaan. Dengan demikian, peubah acak Y yang menyatakan banyaknya percobaan untuk mendapatkan sukses yang ke-k disebut peubah acak binomial negatif. Fungsi masa peluangnya adalah:

Nilai harapan µ = k/p dan variansi s2 = k (1-p)/ p2 Selanjutnya, kita perhatikan keadaan khusus untuk k=1,

yaitu peubah acak Y yang menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses yang pertama, dan

i

ini disebut peubah acak geometris. Fungsi masa peluangnya dinyatakan dengan: p(y) = p(1-p)y-1 untuk y = 1, 2, 3, …….Nilai harapan µ = l/p dan variansi s2 = (1-p)/ p2

4. Distribusi Multinomial Perluasan distribusi binomial adalah distribusi

multinomial. Misalkan, sebuah percobaan memberikan hasil yang mungkin h1, h2,…..3, n dan p1 + p2 + …….. + pk = 1, Andaikan percobaan ini diulangi secara bebas n kali, maka peubah acak yang menyatakan bahwa kita akan mendapatkan x1 hasil h1, x2 hasil h2,…..xk hasil hk dengan x1 + x2 + ……+ xk = n disebut peubah acak multinomial. Fungsi masa peluang distribusi multinomial dinyatakan dengan: p (x1, x2, ……xk) = dengan x1 + x2 +….. xk = n, 0 < pi < 1, i= 1, 2, 3,…..k dan p1 + p2 +….. pk = 1

5. Distribusi Poisson Distribusi Poisson juga merupakan salah satu model

distribusi peluang untuk peubah acak yang farik. distribusi poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam daerah atau waktu tertentu diharapkan jarang terjadi. Misalnya, banyak orang yang lewat di depan pasar setiap hari, tetapi sangat jarang terjadi seseorang yang menemukan barang hilang dan mengembalkan kepada pemilik-nya atau melaporkannya kepada polisi. Contoh lain, operator telepon banyak menerima permintaan nomor untuk disambungkan, diharapkan jarang sekali terjadi salah sambung

i

setiap menit. Jika X adalah sebuah peubah acak Poisson dengan rata-rata = µ, maka fungsi masa peluang dari X adalah:

Dimana bilangan Euler e = 2,718281828,…. adalah konstanta yang dapat ditemukan pada hampir semua kalkulator, dan juga pada komputer. Menghitung nilai peluang yang menggunakan bilangan e maupun bilangan factorial dapat dilakukan dengan bantuan kalkulator.

C. DISTRIBUSI PELUANG MALAR Distribusi dengan peubah acak malar yang pertama kali kita

bicarakan adalah distribusi normal, kemudian distribusi student t, distribusi chi

kuadrat, dan distribusi F.

1. Distribusi Normal Distribusi normal yang biasa juga disebut distribusi

Gauss banyak digunakan dalam pengujian hipotesis, teori penaksiran parameter, dan distribusi penyampelan.

Sekarang kita akan tinjau mengenai fungsi padat peluang distribusi normal dengan rata-rata µ dan simpangan baku s sebagai berikut

Dengan adalah nilai konstanta yang bisa ditulis dengan = 3,1416 dan e bilangan Euler yang sudah dijelaskan sebelumnya. Nilai juga terdapat hampir semua kalkultor. Peubah acak X dengan daerah nilai -∞ < x < ∞, berdistribusi normal, jika fungsi padat peluangnya seperti f(x) di atas.

i

Andaikan X adalah peubah acak normal dengan rata-rata

µ dan simpangan baku s, transformasi X menjadi Z =

akan membentuk peubah acak normal baku dengan rata-rata nol dan simpangan baku satu. Fungsi padat peluang dari distribusi normal baku adalah :

Grafik f(z) berbenuk simetris terhadap sumbu tegak (sumbu y) dan semuanya di atas sumbu datar (sumbu z), dan dinamai kurva distribusi normal baku seperti pada gambar berikut;

Luas daerah dibawah kurva normal baku di atas sumbu z sama dengan satu. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan hitung integral yaitu:

Teknik integral banyak dibicarakan dalam buku matematika, khususnya kalkulus, dan kita hanya memperkenalkan simbolnya dan pada bagian ini tidak dibicarakan lebih mendalam.

Setelah kita memiliki distribusi normal baku yang didapat dari distribusi normal umum dengan transformasi tersebut di atas, maka daftar distribusi normal baku (lampiran

i

C) dapat digunakan. Dengan daftar ini bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari. Untuk memudakan, kita perhatikan bentuk tabel distribusi normal baku pada lampiran C yang cuplikannya pada tabel berikut. Cara menggunakan tabel tersebut adalah sebagai berikut: Hitung nilai z sampai dua decimal Gambarkan kurvanya Letakkan nilai z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertical

sampai memotong kurva Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara

garis ini dengan garis tegak di titik nol Dalam daftar di lampiran C, cari tempat nilai z pada kolom

paling kiri hanya sampai satu decimal, dan decimal kedua dicari pada baris paling atas.

Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z dibaris atas turun ke bawah, maka di dapat bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang didapat harus ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk empat desimal) Tabel daftar luas di bawah distribusi normal baku

z 1 2 …… 5 ……. 8 9

0,00.1……2.1…3.9

4842

i

Karena luas seluruh daerah di bawah kurva sama dengan satu dan kurva simetris terhadap µ = 0, maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5. Sebagai contoh, kita akan mencari luas daerah kurva normal dengan menggunakan tabel lampiran C.

2. Distribusi Student t Distribusi student t yang biasa disingkat dengan

distribusi t dipublikasikan oleh W. S. Gossett (yang menggunakan nama samara Student) pada tahun 1908 dan disempurnakan oleh R. A. Fisher pada tahun 1926. Distribusi ini merupakan revolusi statitik untuk sampel kecil. Informasi tentang hal ini dapat dilihat pada Snedecor (1982). Fungsi padat peluang distribusi t diberikan oleh;

Dengan v (baca; nu) adalah parameter distribusi dan Γ (.) menyatakan fungsi gamma yang didefinisikan dengan

Beberapa sifat dasar fungsi gamma, antara lain sebagai berikut: Γ (n) = (n-1) Γ (n-1), n>1Γ (n) = (n-1) !, n = 1, 2, 3 ……Γ (1/2) =

i

Dimana = 3,1415…….Dengan sedikit pekerjaan matematis dapat dibuktikan bahwa fungsi padat peluang distribusi t memenuhi:

Grafik f(t) menyerupai kurva distribusi normal sebagai berikut.

Pada fungsi distribusi ini adalah bilangan v yang disebut derajat kebebasan (dk). Dalam praktek, derajat kebebasan itu sama dengan ukuran sampel dikurang satu, atau dk = v = n – 1. Jika sebuah populasi mempunyai model dengan fungsi padat peluang sama dengan f(t) maka populasi itu dapat dianggap berdistribusi t dengan dk = n – 1. Untuk nilai-nilai n yang besar, biasanya n ≥ 30, distribusi t mendeteksi distribusi normal baku.

Untuk perhitungan daftar distribusi t telah disediakan (lampiran D). tabel tersebut berisikan nilai-nilai t untuk dk dan peluang tertentu. Kolom paling kiri, kolom v = dk, berisikan derajat kebebasan, baris teratas berisikan peluang. Tabel daftar luas di bawah kurva distribusi t

V t0,995 t0,99 t0,95 …… …… ……. t0,55

1 1.78

i

…12….…3.9

3. Distribusi Chi Kuadrat Distribusi chi kuadrat adalah distribusi peubah acak

malar yang mempunyai fungsi padat peluang.

dengan v = derajat, kebebasan dan dapat dibuktikan secara

matematis bahwa . Selanjutnya grafik distribusi chi

kuadrat umumnya merupakan kurva positif, yaitu miring ke kanan, yaitu berekor panjang ke kanan. Kemiringan ini semakin berkurang jika derajat kebebasan makin besar.

Grafik distribusi chi kuadrat secara umum dengan derajat kebebasan dk = v, dimana nilai peubah acak X ditulis dengan symbol X2 Luas daerah di bawah kurva yang dibayang-bayangi sama dengan nilai peluang p yaitu luas dari X2p ke sebelah.

Untuk nilai dengan pasangan dk = v dan peluang p yang besarnya tertentu dapat dilihat pada tabel khusus distribusi chi kuadrat. Untuk menjelaskan cara penggunaan tabel khusus ini, terdapat pada baris paling atas terdiri kebebasan n ada pada kolom paling kiri.

i

Tabel Daftar luas di bawah kurva chi kuadrat

v ….. X2 0,95 …… X20,005

12

14…

23.7

4. Distribusi Snedecor F Fungsi padat peluang peubah acak yang berdistribusi

Snedecor F atau dengan singkat distribusi F adalah

Untuk x > 0, dengan v1 = dk pembilang dan v2 = dk penyebut. Distribusi F memiliki dua buah derajat kebebasa. Grafik distribusi F tidak simetris dan umumnya sedikit miring positif. Seperti juga distribusi lainya, untuk keperluan perhitungan dengan distribusi F, tabel distribusi F telah disediakan nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan derajat kebebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang dibayang-bayangi, sedangkan dk = v1 ada pada baris paling atas dan dk = v2 pada kolom paling kiri.

i

Untuk tiap pasang dk, v1 dn v2 tabel berisikan nilai-nilai F dengan kedua luas daerah yaitu 0,01 dan 0,05. Untuk setiap dk (v1, v2), tabel sebagai berikut:

v2 = dk penyebut

v1 = dk pembilang

24

83.125.28

BAB III

PENUTUPA. Kesimpulan

Distribusi yang diturunkan dari hasil suatu percobaan dapat dibedakan atas : 1. Distribusi farik 2. Distribusi malar

Jadi, kalau ruang sampelnya farik, distribusinya juga disebut distribusi farik. Demikian juga kalau ruang sampelnya malar, distribusinya disebut distribusi malar.

Fungsi distribusi terletak pada peubah acak. Peubah acak (random variable) yaitu transformasi yang memasangkan titik sampel di semesta ke suatu hasil numeric. Ruang sampel yang memuat takhingga banyaknya titik sampel dan tidak dapat dipadankan satu-satu dengan bilangan asli disebut ruang sampel malar dan peubah acak yang diturunkannya disebut peubah acak malar.

i

B. Saran Dalam penulisan makalah ini masih memiliki banyak kekurangan sehingga kami mengharapkan sumbangan kritik dan saran demi kesempurnaan makalah kami selanjutnya. Wasalam.

i

DAFTAR PUSTAKA

http://......dasar.statistika.id

Tiro, M. A. 1999a. Analisis Data Frekusi dengan Chi Kuadrat. Ujung Pandang Hasanuddin University Press.

Tiro, M. A. 1999b. Dasar-dasar Statistika. Ujung Pandang Badan Penerbit UNM Ujung Pandang.

Tiro, M. A. 2000. Analisis Regresi dengan Data Kategori. Makassar: Makassar State University Press.

Walpole, R. E. 1993. Pengantar Statistika, Edisi ke-3 Jakarta; Penerbit PT. Gramedia Pustaka Utama.

www.dasar.statistika.com

www.distribusi.peluang.com

i

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah swt yang dengan segala kasih sayang dan menyeru hamba-Nya mengikuti petunjuk yang benar. Shalawat dan salam atas Nabi Muhammad saw Rasul Allah yang telah mencucurkan keringat jihad sebanyak-banyaknya dalam menyebarkan kebenaran dan mengamalkan kebajikan.

Dalam penulisan makalah ini kami sangat bersyukur karena dengan kerjasama antara anggota kelompok sehingga makalah yang berjudul “Distribusi Peluang” ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya.

Tiada gading yang tak retak, begitu juga dengan penulisan makalah ini, sehingga kami sebagai penulis mengharapkan sumbangsi saran, ide, maupun kritik yang membangun untuk kelanjutan penulisan makalah kedepan.

Makassar, 22 Januari 2009Penulis

Kelompok III

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ..................................................................... iDAFTAR ISI ................................................................................ iiBAB I PENDAHULUAN ................................................................ 1

A. Latar Belakang ........................................................... 1B. Tujuan ........................................................................ 1

BAB II PEMBAHASAN ................................................................. 2A. Peubah Acak .............................................................. 2B. Distribusi Peluang Farik ............................................. 6

1. Distribusi seragam farik ....................................... 62. Distribusi Hipergeometris .................................... 73. Distribusi Rumpun Bionomia................................. 84. Distribusi Multinomial ........................................... 105. Distribusi Poisson ................................................. 10

C. Distribusi Peluang Malar ............................................ 111. Distribusi Normal ................................................. 112. Distribusi student t ............................................... 143. Distribusi chi kuadrat ........................................... 154. Distribusi Snedecor F ........................................... 17

BAB III PENUTUP ....................................................................... 18A. Kesimpulan ................................................................ 18B. Saran ......................................................................... 18

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................... 19

i